数列求和课件
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课件4：6.4 数列求和
若干项． ❖ (4)倒序相加法 ❖ 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的
推导过程的推广． ❖ (5)错位相减法 ❖ 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数
列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．
❖ (6)并项求和法
❖ 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求 和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
活学活用 2 (2015·黑龙江哈尔滨三模)已知数列{an}的各
项均为正数，前 n 项和为 Sn，且 Sn＝ana2n＋1，n∈N＋.
(1)求证：数列{an}是等差数列；
(2)设 bn＝21Sn，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求 Tn.
(1)证明：∵2Sn＝a2n＋an.
①
当 n＝1 时，2a1＝a21＋a1，∵a1＞0，∴a1＝1.
第六章 数 列
6.4 数列求和
考纲要求
❖ 1．熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式． ❖ 2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法． ❖ 3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并
能用相关知识解决相应的问题．
[要点梳理] 1．求数列的前 n 项和的方法 (1)公式法 ①等差数列的前 n 项和公式 Sn＝na12＋an＝na1＋nn2－1d.
即(an＋an－1)(an－an－1－3)＝0.
∵an＋an－1＞0，∴an－an－1＝3(n≥2)．
❖ 当a1＝2时，a2＝5，a6＝17，此时a1，a2，a6不成等比数列， ∴a1≠2；
❖ 当a1＝1时，a2＝4，a6＝16，此时a1，a2，a6成等比数列， ❖ ∴a1＝1. ❖ ∴an＝3n－2，bn＝4n－1. ❖ (2)由(1)得 ❖ Tn＝1×4n－1＋4×4n－2＋…＋(3n－5)×41＋(3n－2)×40，③ ❖ ∴4Tn＝1×4n＋4×4n－1＋7×4n－2＋…＋(3n－2)×41. ④ ❖ 由④－③，得
《数列求和》课件
《数列求和》PPT课件
数列求和 PPT课件大纲
介绍
数列是数学中的重要概念，我们将探讨数列的定义和性质，以及数列求和的意义与公式
了解等差数列的定义和公式，能够根据公式计算等差数列的求和。
2
推导与应用
探究等差数列求和公式的推导过程，并学会利用公式解决实际问题。
3
实例演练
通过实例演练，加深对等差数列求和的理解和应用能力。
深入推导斯特林公式，掌握其原 理和推到过程。
应用示例
探索斯特林公式在数学和科学中 的实际应用，并解决相关问题。
零阶贝塞尔函数
1
定义与性质
学习零阶贝塞尔函数的定义和性质，了解其在数学和物理领域的重要作用。
2
公式推导
深入推导零阶贝塞尔函数的公式，掌握其基本原理。
3
应用案例
研究零阶贝塞尔函数在实际问题中的应用，加深对其应用场景的理解。
总结
数列求和在数学中具有重要的地位，掌握各种数列求和公式的区别和应用， 能够进一步拓展数列求和的研究方向。
等比数列求和
定义与公式
了解等比数列的定义和公式， 能够根据公式计算等比数列 的求和。
推导与应用
探究等比数列求和公式的推 导过程，并学会利用公式解 决实际问题。
实例演练
通过实例演练，加深对等比 数列求和的理解和应用能力。
斯特林公式
定义与定理
学习斯特林公式的定义和定理， 了解其在数学中的重要性。
推导过程
数列求和 PPT课件大纲
介绍
数列是数学中的重要概念，我们将探讨数列的定义和性质，以及数列求和的意义与公式
了解等差数列的定义和公式，能够根据公式计算等差数列的求和。
2
推导与应用
探究等差数列求和公式的推导过程，并学会利用公式解决实际问题。
3
实例演练
通过实例演练，加深对等差数列求和的理解和应用能力。
深入推导斯特林公式，掌握其原 理和推到过程。
应用示例
探索斯特林公式在数学和科学中 的实际应用，并解决相关问题。
零阶贝塞尔函数
1
定义与性质
学习零阶贝塞尔函数的定义和性质，了解其在数学和物理领域的重要作用。
2
公式推导
深入推导零阶贝塞尔函数的公式，掌握其基本原理。
3
应用案例
研究零阶贝塞尔函数在实际问题中的应用，加深对其应用场景的理解。
总结
数列求和在数学中具有重要的地位，掌握各种数列求和公式的区别和应用， 能够进一步拓展数列求和的研究方向。
等比数列求和
定义与公式
了解等比数列的定义和公式， 能够根据公式计算等比数列 的求和。
推导与应用
探究等比数列求和公式的推 导过程，并学会利用公式解 决实际问题。
实例演练
通过实例演练，加深对等比 数列求和的理解和应用能力。
斯特林公式
定义与定理
学习斯特林公式的定义和定理， 了解其在数学中的重要性。
推导过程
课件3：6.4 数列求和
(2)由(1)知a2n－11a2n＋1＝3－2n11－2n ＝12(2n1－3－2n1－1)， 从而数列a2n－11a2n＋1的前 n 项和为12(－11－11＋11－13＋… ＋2n1－3－2n1－1)＝1－n2n.
三 错位相减法求和
【例 3】(2013·湖南)设 Sn 为数列{an}的前项和，已知 a1≠0,2an－a1＝S1·Sn，n∈N*
【跟踪训练 2】 已知等差数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 S3 ＝0，S5＝－5.
(1)求{an}的通项公式； (2)求数列{a2n－11a2n＋1}的前 n 项和．
解析：(1)设{an}的公差为 d， 则 Sn＝na1＋nn－2 1d. 由已知可得35aa11＋＋31d0＝d＝0－5 ，解得ad1＝＝－1 1 . 故{an}的通项公式为 an＝2－n.
(2)因为 an＝n，所以 a1＝1，Sn＝1＋2＋…＋n＝nn＋2 1， 所以S1n＝nn2＋1＝2(1n－n＋1 1)， 所以S11＋S12＋…＋S1n
＝2[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n－n＋1 1)] ＝2(1－n＋1 1)＝n2＋n1.
【温馨提示】使用裂项相消法求和时，要注意正负项 相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消 去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正 负相消是此法的根源与目的．
(1)证明：数列ann是等差数列； (2)设 bn＝3n· an，求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
解析：(1)证明：由已知可得na＋n＋11＝ann＋1， 即na＋n＋11－ann＝1， 所以ann是以a11＝1 为首项，1 为公差的等差数列．
(2)由(1)得ann＝1＋(n－1)·1＝n，所以 an＝n2. 从而 bn＝n·3n. Sn＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n·3n，① 3Sn＝1×32＋2×33＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1.② ①－②得，－2Sn＝31＋32＋…＋3n－n·3n＋1
第讲数列的求和精选课件
若一个数列是由等比数列或是等差数列组成，以 考查公式为主，可先分别求和，再将各部分合并，这就是我们说 的分组求和．
【互动探究】 1．(2019 年陕西)已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，
且 a1，a3，a9 成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{2 a n}的前 n 项和 Sn.
4．数列 112，214，318，…，n＋21n，…的前 n 项和 Sn＝______ __12_n_(n_＋__1_)_＋__1_－__21_n___.
5．数列{an}的通项公式 an＝
1 n＋
n＋1，若前
n
项的和为
10，
则项数 n＝___1_2_0___.
考点1 利用公式或分组法求和
例1：(2011 年重庆)设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2， a3＝a2＋4.
数列求和常用的方法
1．公式法 (1)等差数列{an}的前
n
项和公式：Sn＝nnaa1＋ 12＋nann2－，1d.
(2)等比数列{an}的前n项和Sn：①当q＝1时，Sn＝__n_a_1_；
a11－qn
a1－anq
②当 q≠1 时，Sn＝____1_－__q___＝____1_－__q__.
2．分组求和法 把一个数列分成几个可以直接求和的数列． 3．错位相减法 适用于一个等差数列和等比数列对应项相乘构成的数列求 和． 4．裂项相消法 有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消 去中间项，只剩有限项再求和．
解析：(1)P1(－1,0)，an＝n－2，bn＝2n－2. (2)f(n)＝n2－ n－2， 2，n为 n为奇偶数数，. 假设存在符合条件． ①若 k 为偶数，则 k＋5 为奇数． 有 f(k＋5)＝k＋3，f(k)＝2k－2. 如果 f(k＋5)＝2f(k)－2，则 k＋3＝4k－6⇒k＝3 与 k 为偶数矛 盾．故不符(舍去)． ②若 k 为奇数，则 k＋5 为偶数， 有 f(k＋5)＝2k＋8，f(k)＝k－2. ∴2k＋8＝2(k－2)－2 这样的 k 也不存在． 综上所述：不存在符合条件的 k.
【互动探究】 1．(2019 年陕西)已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，
且 a1，a3，a9 成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{2 a n}的前 n 项和 Sn.
4．数列 112，214，318，…，n＋21n，…的前 n 项和 Sn＝______ __12_n_(n_＋__1_)_＋__1_－__21_n___.
5．数列{an}的通项公式 an＝
1 n＋
n＋1，若前
n
项的和为
10，
则项数 n＝___1_2_0___.
考点1 利用公式或分组法求和
例1：(2011 年重庆)设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2， a3＝a2＋4.
数列求和常用的方法
1．公式法 (1)等差数列{an}的前
n
项和公式：Sn＝nnaa1＋ 12＋nann2－，1d.
(2)等比数列{an}的前n项和Sn：①当q＝1时，Sn＝__n_a_1_；
a11－qn
a1－anq
②当 q≠1 时，Sn＝____1_－__q___＝____1_－__q__.
2．分组求和法 把一个数列分成几个可以直接求和的数列． 3．错位相减法 适用于一个等差数列和等比数列对应项相乘构成的数列求 和． 4．裂项相消法 有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消 去中间项，只剩有限项再求和．
解析：(1)P1(－1,0)，an＝n－2，bn＝2n－2. (2)f(n)＝n2－ n－2， 2，n为 n为奇偶数数，. 假设存在符合条件． ①若 k 为偶数，则 k＋5 为奇数． 有 f(k＋5)＝k＋3，f(k)＝2k－2. 如果 f(k＋5)＝2f(k)－2，则 k＋3＝4k－6⇒k＝3 与 k 为偶数矛 盾．故不符(舍去)． ②若 k 为奇数，则 k＋5 为偶数， 有 f(k＋5)＝2k＋8，f(k)＝k－2. ∴2k＋8＝2(k－2)－2 这样的 k 也不存在． 综上所述：不存在符合条件的 k.
数列的求和优秀课件
aS a 2 a 3 a ( n 1 ) a n n
2 3 4
n
n 1
( 1 a ) S a a 1
a ( 1 a) na 若 a 1 , 则 S n 2 ( 1 a ) 1 a
1 1 1 a n n ( n 1 ) n n 1 1 1 1 1 a ( ) n ( 2 n 1 )( 2 n 1 ) 2 2 n 12 n 1
1 1 1 1 a [( )] n n ( n 1 )( n 2 )2 n ( n 1 )( n 1 )( n 2 )
常数)，
且
的值； 的前n项的和 S
n
的
10.设数列 a n 满足
2 n 1
（Ⅰ）求数列 n a n 的通项； b b n （Ⅱ）设 求数列 n an
的前 n 项和 S
n
n a 3 a 3 a … 3a 1 2 3 n 3
aN
*
.
19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。 20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 21、理想是反映美的心灵的眼睛。 22、人生最高之理想，在求达于真理。 便有了文明。 24、生当做人杰，死亦为鬼雄。 25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。 26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。 27、生活中没有理想的人，是可怜的。 28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。 29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。 30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。 31、理想是美好的，但没有意志，理想不过是瞬间即逝的彩
2025高考数学一轮复习-6.4-数列求和【课件】
【解析】 ∵an＝nn1＋1＝1n－n＋1 1 ∴数列{an}的前 n 项和 Sn＝1－n＋1 1＝n＋n 1 又 Sn＝22001290，∴n＝2019，故选 B.
易错易混 4．在数列{an}中，已知 an＝n＋11n＋3(n∈N*)，则{an}的前 n 项和 Sn＝
_____12__56_－__n_＋1__2_－__n_＋1__3_ ______. 【解析】 ∵an＝n＋11n＋3＝12n＋1 1－n＋1 3， ∴Sn＝1212－14＋13－15＋14－16＋15－17＋…＋n＋1 1－n＋1 3 ＝1212＋13－n＋1 2－n＋1 3 ＝1256－n＋1 2－n＋1 3.
第六章 数列
第四节 数列求和
课前双基巩固
——整合知识 夯实基础
『知识聚焦』 1．公式法 (1)等差数列{an}的前 n 项和 Sn＝na12＋an＝na1＋nn－2 1d. 推导方法：倒序相加法．
na1，q＝1， (2)等比数列{an}的前 n 项和 Sn＝a111－－qqn，q≠1. 推导方法：乘公比， 错位相减法 ．
6．若{log2an}是首项为 1，公差为 2 的等差数列，则数列{nan}的前 n 项和为 _S_n_＝__2_＋__6_n_9－__2__·4_n_．
【解析】 由题意可得 log2an＝1＋2(n－1)＝2n－1， ∴an＝22n－1＝2·4n－1，∴nan＝2n·4n－1， ∴数列{nan}的前 n 项和 Sn＝2(1×40＋2×41＋3×42＋…＋n×4n－1)， ∴12Sn＝1×40＋2×41＋3×42＋…＋n×4n－1， ∴2Sn＝1×41＋2×42＋3×43＋…＋n×4n，
课堂考点突破
——精析考题 提升能力
考点一 分组转化求和 【例 1】 已知数列{an}满足 a1＝1，an＋an－1＝2n(n≥2，n∈N*)． (1)记 bn＝a2n，求数列{bn}的通项公式； (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.
易错易混 4．在数列{an}中，已知 an＝n＋11n＋3(n∈N*)，则{an}的前 n 项和 Sn＝
_____12__56_－__n_＋1__2_－__n_＋1__3_ ______. 【解析】 ∵an＝n＋11n＋3＝12n＋1 1－n＋1 3， ∴Sn＝1212－14＋13－15＋14－16＋15－17＋…＋n＋1 1－n＋1 3 ＝1212＋13－n＋1 2－n＋1 3 ＝1256－n＋1 2－n＋1 3.
第六章 数列
第四节 数列求和
课前双基巩固
——整合知识 夯实基础
『知识聚焦』 1．公式法 (1)等差数列{an}的前 n 项和 Sn＝na12＋an＝na1＋nn－2 1d. 推导方法：倒序相加法．
na1，q＝1， (2)等比数列{an}的前 n 项和 Sn＝a111－－qqn，q≠1. 推导方法：乘公比， 错位相减法 ．
6．若{log2an}是首项为 1，公差为 2 的等差数列，则数列{nan}的前 n 项和为 _S_n_＝__2_＋__6_n_9－__2__·4_n_．
【解析】 由题意可得 log2an＝1＋2(n－1)＝2n－1， ∴an＝22n－1＝2·4n－1，∴nan＝2n·4n－1， ∴数列{nan}的前 n 项和 Sn＝2(1×40＋2×41＋3×42＋…＋n×4n－1)， ∴12Sn＝1×40＋2×41＋3×42＋…＋n×4n－1， ∴2Sn＝1×41＋2×42＋3×43＋…＋n×4n，
课堂考点突破
——精析考题 提升能力
考点一 分组转化求和 【例 1】 已知数列{an}满足 a1＝1，an＋an－1＝2n(n≥2，n∈N*)． (1)记 bn＝a2n，求数列{bn}的通项公式； (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.
第四节 数列求和 课件(共48张PPT)
－
1 n＋3
）＝
1 2
56－n＋1 2－n＋1 3. 答案：1256－n＋1 2－n＋1 3
考点1 分组转化法求和 [例1] （2020·焦作模拟）已知{an}为等差数列，且 a2＝3，{an}前4项的和为16，数列{bn}满足b1＝4，b4＝ 88，且数列{bn－an}为等比数列. （1）求数列{an}和{bn－an}的通项公式； （2
an＝n（n1＋k）型
[例2] （2020·中山七校联考）已知数列{an}为公差 不为0的等差数列，满足a1＝5，且a2，a9，a30成等比数列.
（1）求{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足bn＋1－bn＝an（n∈N*），且b1＝
3，求数列b1n的前n项和Tn.
1.裂项时常用的三种变形.
（1）n（n1＋1）＝n1－n＋1 1.
（2）n（n1＋2）＝12n1－n＋1 2.
（3）（2n－1）1（2n＋1）＝122n1－1－2n1＋1.
（4）
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n.
2.应用裂项相消法时，应注意消项的规律具有对称 性，即前面剩第几项则后面剩倒数第几项.
3.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为 参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
） B. 2 020－1
C. 2 021－1 D. 2 021＋1
解析：由f（4）＝2，可得4α＝2，解得α＝12，
则f（x）＝ x.
所以an＝
1 f（n＋1）＋f（n）
＝
1 n＋1＋
＝ n
n＋1 －
n，
所以S2 020＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 020＝（ 2 － 1 ）＋ （ 3－ 2）＋（ 4－ 3）＋…＋（ 2 021－ 2 020）＝
数列求和的几种方法课件ppt
２、设法消去中间项:
（2）乘公比,错位相减(对“A·G”型);
（3）裂通项,交替相消
1、转化成等差、等比数列求和
（公式法、分组求和法、错位相减法、 裂（并）项法求和）
练习： 指出下列求和的方法：
合并项求和
特殊的数列，在求数列的和时，可将一些项放在一起先求和，然后再求Sn.
[例] 在各项均为正数的等比数列中，若
的值.
求和： (1)Sn=1+(3+4)+(5+6+7)+…+(2n-1+2n+ …+3n-2); (2)Sn=12-22+32-42+…+(-1)n-1·n2.
(1)一般应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为适用特点的形式，从而求和．
数列求和的方法
(2)解决非等差、等比和，两种思路： ①转化的思想，即化为等差或等比数列． ②裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等求和．
数列求和的常用方法:
(1) 拆项（对A±G型 如果拆项不明显，写出通项，如例2 ）
na1+ d
n(n+1)(2n+1)
n2(n+1)2
倒序相加
令
例题1. 求和
(1)
[解Байду номын сангаас原式=
n(n+3)/2
(x≠1)
(x=1)
分析:原式=(1+2+3+…+n)+
我们把这种类型的数列称为“A+G”型。而求此类数列的和，一般是把数列的每一项分成两项，再分别利用等差和等比数列的求和公式求解。此方法称为分组求和法。
（2）乘公比,错位相减(对“A·G”型);
（3）裂通项,交替相消
1、转化成等差、等比数列求和
（公式法、分组求和法、错位相减法、 裂（并）项法求和）
练习： 指出下列求和的方法：
合并项求和
特殊的数列，在求数列的和时，可将一些项放在一起先求和，然后再求Sn.
[例] 在各项均为正数的等比数列中，若
的值.
求和： (1)Sn=1+(3+4)+(5+6+7)+…+(2n-1+2n+ …+3n-2); (2)Sn=12-22+32-42+…+(-1)n-1·n2.
(1)一般应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为适用特点的形式，从而求和．
数列求和的方法
(2)解决非等差、等比和，两种思路： ①转化的思想，即化为等差或等比数列． ②裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等求和．
数列求和的常用方法:
(1) 拆项（对A±G型 如果拆项不明显，写出通项，如例2 ）
na1+ d
n(n+1)(2n+1)
n2(n+1)2
倒序相加
令
例题1. 求和
(1)
[解Байду номын сангаас原式=
n(n+3)/2
(x≠1)
(x=1)
分析:原式=(1+2+3+…+n)+
我们把这种类型的数列称为“A+G”型。而求此类数列的和，一般是把数列的每一项分成两项，再分别利用等差和等比数列的求和公式求解。此方法称为分组求和法。
数列求和ppt课件
法，分别求和后相加减．
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的
一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等
比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项
和即可用错位相减法求解．
如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的
(4)倒序相加法：
两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数
an，n 为奇数，
2．若数列{cn}的通项公式为 cn＝
其中数列{an}，{bn}
bn，n 为偶数，
是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前 n 项和．
聚焦必备知识
11
突破核心命题
限时规范训练
1．(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10
＝40.
(1)求{an}的通项公式；
列的前n项和即可用倒序相加法求解．
(3)错位相减法：
聚焦必备知识
4
常用结论
1．一些常见的数列的前 n 项和
n（n＋1）
(1)1＋2＋3＋…＋n＝
；
2
(2)2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；
(3)1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2.
突破核心命题
限时规范训练
聚焦必备知识
5
突破核心命题
限时规范训练
裂项相消法:适用的通项公式如下
( + ) +
聚焦必备知识
16
突破核心命题
考 点 二 裂项相消法求和
1
(1)数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 an＝
，则 Sn=____
n（n＋1）
训练2
已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝n2.
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的
一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等
比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项
和即可用错位相减法求解．
如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的
(4)倒序相加法：
两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数
an，n 为奇数，
2．若数列{cn}的通项公式为 cn＝
其中数列{an}，{bn}
bn，n 为偶数，
是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前 n 项和．
聚焦必备知识
11
突破核心命题
限时规范训练
1．(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10
＝40.
(1)求{an}的通项公式；
列的前n项和即可用倒序相加法求解．
(3)错位相减法：
聚焦必备知识
4
常用结论
1．一些常见的数列的前 n 项和
n（n＋1）
(1)1＋2＋3＋…＋n＝
；
2
(2)2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；
(3)1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2.
突破核心命题
限时规范训练
聚焦必备知识
5
突破核心命题
限时规范训练
裂项相消法:适用的通项公式如下
( + ) +
聚焦必备知识
16
突破核心命题
考 点 二 裂项相消法求和
1
(1)数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 an＝
，则 Sn=____
n（n＋1）
训练2
已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝n2.
高考专题复习数学数列求和 PPT课件 图文
设 n N * ， xn 是曲线 y x2n2 1 在点 (1，2)
处的切线与 x 轴交点的横坐标.
（1）求数列 {xn} 的通项公式；
（2）记Tn x12x32
x2 2n1
，证明
Tn
1 4n
.
在数 1 和 100 之间插入 n 个实数，使得这 n 2 个数 构成递增的等比数列，将这 n 2 个数的乘积记作Tn ， 再令 an lg Tn, n≥1.
（2）求数列an 的通项公式；
（3）是否存在实数 a ，使不等式
(1 1 )(1 1 ) (1 1 ) 2a2 3
a1
a2
an 2a 2n 1
对一切正整数 n 都成立？若存在，
求出 a 的取值范围；若不存在，请说明理由．
设数列an 的前 n 项和为 Sn ,满足
2Sn an1 2n1 1 , n N* ,
则数列
1
的前10
项和为_________
an
设数列an，其前 n 项和 Sn 3n2 ，
bn为单调递增的等比数列， b1b2b3 512 ， a1 b1 a3 b3
（1）求数列an, bn的通项公式；
（2）若 cn
bn
bn
2 bn
1 n
bn
bn1
1(n
N* )
.
（1）求 an 与 bn ；（2）记数列{anbn} 的前 n 项和为Tn ，求Tn .
已知数列an ,bn , an 3n 1,bn 2n
记 Tn anb1 an1b2 a1bn , n N * ，求：Tn
数列求和PPT课件
第26页/共61页
[方法引航] 错位相减法求和的具体步骤 步骤 1：写出 Sn＝c1＋c2＋…＋cn； 步骤 2：等式两边同乘以等比数列的公比 q，即 qSn＝qc1＋qc2＋… ＋qcn； 步骤 3：两式错位相减转化成等比数列求和； 步骤 4：两边同除以 1－q，求出 Sn.同时注意对 q 是否为 1 进行讨 论.
答案：B
第12页/共61页
(2)数列{an}满足 an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前 60 项和为 ________．
第13页/共61页
解析：利用数列的递推式的意义结合等差数列求和公式求解． ∵an＋1＋(－1)nan＝2n－1， ∴a2＝1＋a1，a3＝2－a1，a4＝7－a1，a5＝a1，a6＝9＋a1， a7＝2－a1，a8＝15－a1，a9＝a1，a10＝17＋a1，a11＝2－a1，a12＝ 23－a1，…，a57＝a1，a58＝113＋a1，a59＝2－a1，a60＝119－a1， ∴a1＋a2＋…＋a60＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)＋…＋(a57 ＋a58＋a59＋a60)＝10＋26＋42＋…＋234 ＝15×102＋234＝1 830.
第3页/共61页
(2)分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组 成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
第4页/共61页
2．倒序相加法与并项求和法 (1)倒序相加法 如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相 等或等于 同一个常数 ，那么求这个数列的前 n 项和可用倒序相加 法，如等差数列的前 n 项和公式即是用此法推导的．答案Leabharlann 1 830第14页/共61页
[方法引航] 分组转化法求和的常见类型 (1)若 an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组转 化法求{an}的前 n 项和． (2)通项公式为 an＝bcnn，，nn为为偶奇数数， 的数列，其中数列{bn}，{cn} 是等比或等差数列，可采用分组转化法求和．
[方法引航] 错位相减法求和的具体步骤 步骤 1：写出 Sn＝c1＋c2＋…＋cn； 步骤 2：等式两边同乘以等比数列的公比 q，即 qSn＝qc1＋qc2＋… ＋qcn； 步骤 3：两式错位相减转化成等比数列求和； 步骤 4：两边同除以 1－q，求出 Sn.同时注意对 q 是否为 1 进行讨 论.
答案：B
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(2)数列{an}满足 an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则{an}的前 60 项和为 ________．
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解析：利用数列的递推式的意义结合等差数列求和公式求解． ∵an＋1＋(－1)nan＝2n－1， ∴a2＝1＋a1，a3＝2－a1，a4＝7－a1，a5＝a1，a6＝9＋a1， a7＝2－a1，a8＝15－a1，a9＝a1，a10＝17＋a1，a11＝2－a1，a12＝ 23－a1，…，a57＝a1，a58＝113＋a1，a59＝2－a1，a60＝119－a1， ∴a1＋a2＋…＋a60＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)＋…＋(a57 ＋a58＋a59＋a60)＝10＋26＋42＋…＋234 ＝15×102＋234＝1 830.
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(2)分组求和法 若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组 成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
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2．倒序相加法与并项求和法 (1)倒序相加法 如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相 等或等于 同一个常数 ，那么求这个数列的前 n 项和可用倒序相加 法，如等差数列的前 n 项和公式即是用此法推导的．答案Leabharlann 1 830第14页/共61页
[方法引航] 分组转化法求和的常见类型 (1)若 an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组转 化法求{an}的前 n 项和． (2)通项公式为 an＝bcnn，，nn为为偶奇数数， 的数列，其中数列{bn}，{cn} 是等比或等差数列，可采用分组转化法求和．
数列求和公开课课件
如等差数列求和解决均匀加速直线运动问题、等比数列求和解决复利计算问题等。
数列求和在实际生活中的应用
如存款利息计算、物品分批购买等。
通过实际问题理解数列求和的意义
将实际问题抽象为数列求和，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
数列求和与其他数学知识的联系
数列求和与函数的关系
数列是一种特殊的函数，数列求和可以看作是函数求和在离散点 上的应用。
数列求和与极限的联系
数列求和的极限就是无穷级数的和，无穷级数是分析数学的重要工 具。
数列求和与微积分的联系
通过微积分的基本定理，可以将数列求和转化为定积分进行计算。
数列求和的思维训练与拓展
培养逻辑思维
通过数列求和的学习，培 养学生的逻辑思维能力， 学会从已知条件出发推导 出结论。
培养创新思维
通过一题多解、一题多变 等方式，培养学生的创新 思维能力，学会从不同角 度思考问题。
在计算机科学中，数列求和常用 于算法分析和数据处理等方面。 例如，在计算某个算法的时间复 杂度时，需要用到数列求和的知
识。
02
等差数列求和
等差数列的定义与性质
定义
等差数列是指在一个数列中，从 第二项起，每一项与它的前一项 的差等于同一个常数的一种数列 。
性质
等差数列的公差是一个常数，等 差数列的任意两项之和是一个常 数，等差数列的中项等于首项与 末项的平均数。
数列求和公开课课件
目录
• 引言 • 等差数列求和 • 等比数列求和 • 分组数列求和 • 递推数列求和 • 数列求和的综合应用
01
引言
数列求和的背景与意义
数列求和的概念
数列求和是数学中的一个重要概念，指的是将数列中的所有项加起来得到的结 果。
数列求和在实际生活中的应用
如存款利息计算、物品分批购买等。
通过实际问题理解数列求和的意义
将实际问题抽象为数列求和，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
数列求和与其他数学知识的联系
数列求和与函数的关系
数列是一种特殊的函数，数列求和可以看作是函数求和在离散点 上的应用。
数列求和与极限的联系
数列求和的极限就是无穷级数的和，无穷级数是分析数学的重要工 具。
数列求和与微积分的联系
通过微积分的基本定理，可以将数列求和转化为定积分进行计算。
数列求和的思维训练与拓展
培养逻辑思维
通过数列求和的学习，培 养学生的逻辑思维能力， 学会从已知条件出发推导 出结论。
培养创新思维
通过一题多解、一题多变 等方式，培养学生的创新 思维能力，学会从不同角 度思考问题。
在计算机科学中，数列求和常用 于算法分析和数据处理等方面。 例如，在计算某个算法的时间复 杂度时，需要用到数列求和的知
识。
02
等差数列求和
等差数列的定义与性质
定义
等差数列是指在一个数列中，从 第二项起，每一项与它的前一项 的差等于同一个常数的一种数列 。
性质
等差数列的公差是一个常数，等 差数列的任意两项之和是一个常 数，等差数列的中项等于首项与 末项的平均数。
数列求和公开课课件
目录
• 引言 • 等差数列求和 • 等比数列求和 • 分组数列求和 • 递推数列求和 • 数列求和的综合应用
01
引言
数列求和的背景与意义
数列求和的概念
数列求和是数学中的一个重要概念，指的是将数列中的所有项加起来得到的结 果。
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2n－1＋22n－3＋„＋2)＋2＝22(n＋1)－1.4分
1)＋„＋(a2－a1)]＋a1＝3(2
而a1＝2，符合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.6分
工具
第五章
数列
栏目导引
(2)由 bn＝nan＝n·2n－1 知 2 Sn＝1· 2＋2·3＋3·5＋„＋n·2n 1， ①8 分 2 2 2 从而 22·n＝1·3＋2·5＋3·7＋„＋n·2n 1.② 9 分 S 2 2 2 2 ①－②得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋„＋22n 1－n·2n 1，10 分 2 1 ＋ 即 Sn＝ [(3n－1)22n 1＋2].12 分 9
工具
第五章
数列
栏目导引
数列{an}中a1＝3，已知点(an，an＋1)在直线y＝x＋2上，
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝an·n，求数列{bn}的前n项和Tn. 3 解析： (1)∵点(an，an＋1)在直线y＝x＋2上， ∴an＋1＝an＋2，即an＋1－an＝2. ∴数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列， ∴an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.
数列
栏目导引
(本小题满分12分)(2010· 全国新课标卷)设数列{an}满足a1＝2，an
22n－1. ＋1－an＝3· (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn. 【规范解答】 (1)由已知，当n≥1时，an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－
1 ＝2n－2＋ n－1. 2
工具
第五章
数列
栏目导引
1．一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列
{an·n}的前n项和时，可采用错位相减法． b 2．用乘公比错位相减法求和时，应注意 (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错位项对 齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．
答案： B
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第五章
数列
栏目导引
4．已知数列{an}的通项an＝－5n＋2，则其前n项和Sn＝______.
解析： Sn＝a1＋a2＋a3＋„＋an ＝－5(1＋2＋3＋„＋n)＋2n －5nn＋1 ＝ ＋2n 2 －5n2－n ＝ . 2
－5n2－n 答案： 2
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第五章
数列
栏目导引
1 1 1 5．数列 1,42，74，108，„前 10 项的和为________．
成立．
1 1 1 1 ， 解析： (1)∵an＝ ＝ ＝2 － 1＋2＋3＋„＋n nn＋1 n n＋1 2 1 1 1 1 1 1－ ＋2 － ＋„＋2 － ∴Sn＝2 n n＋1 2 2 3 1 2n Sn 2 ＝ ＝21－ ，∴bn＝ ＝ (n∈N＋)． n＋1 n＋1 n n＋1
工具
第五章
数列
栏目导引
1 1 2 2 4 － (2)证明：Cn＝bn·n＋1＝ b · ＝ ＝4n＋1 n＋2 ， n＋1 n＋2 n＋1n＋2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 － ＝4 － ＜4× ＝2， ∴Tn＝42－3＋43－4＋„＋4 2 n＋1 n＋2 2 n＋2
当n＝4时，24－12－1＝3＞0，
∴2n－3n－1＜0中n的最大值为3.
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第五章
数列
栏目导引
(2)Sn＝a1＋a2＋„＋an ＝(2＋22＋„＋2n)－3(1＋2＋3＋„＋n)－n 21－2n nn＋1 ＝ －3· 2 －n 1－2 ＝2
n＋1
n3n＋5 － －2. 2
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第五章
数列
＋1
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第五章
数列
栏目导引
1 1 数列通项形如 an＝ ，bn＝ 等可用此法．使 nn－1 2n－1＋ 2n＋1 用裂项法，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项；你是 否注意到由于数列{an}中每一项 an 均裂成一正一负两项，所以互为相反 数的项合并为零后，所剩正数项与负数项的项数必是一样多的，切不可 漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点．实质上，正负项 相消是此法的根源和目的．
对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n项和的数列来求之．
工具
第五章
数列
栏目导引
已知函数f(x)＝2x－3x－1，点(n，an)在f(x)的图象上，an的前n项
和为Sn. (1)求使an＜0的n的最大值． (2)求Sn. 解析： (1)依题意an＝2n－3n－1， ∴an＜0即2n－3n－1＜0. 当n＝3时，23－9－1＝－2＜0.
工具
第五章
数列
栏目导引
3 3 由①②得 a1＝5，d＝5， 3 3 3 ∴an＝5＋(n－1)×5＝5n(n∈N＋)． n2＋n＋1 25 n2＋n＋1 (2)bn＝3 3 ＝9· nn＋1 n·n＋1 5 5 1 25 1 ， ＝ 1＋n－ 9 n＋1 ∴b1＋b2＋b3＋„＋b99 1 1 1 1 1 1 1 25 ＝ 9 1＋1－2＋1＋2－3＋1＋3－4＋„＋1＋99－100 1 25 ＝ 99＋1－100 9 ＝275＋2.75＝277.75.
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第五章
数列
栏目导引
等差数列{an}是递增数列，前 n 项和为 Sn，且 a1，a3，a9 成等比 数列，S5＝a52. (1)求数列{an}的通项公式； n2＋n＋1 (2)若数列{bn}满足 bn＝ ，求数列{bn}的前 99 项的和． an·n＋1 a
解析： (1)设数列{an}的公差为 d(d＞0)， ∵a1，a3，a9 成等比数列，∴a32＝a1a9， ∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，∴d2＝a1d， ∵d＞0，∴a1＝d，① 5×4 ∵S5＝a52，∴5a1＋ · d＝(a1＋4d)2② 2
第4课时
数列求和
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第五章
数列
栏目导引
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第五章
数列
栏目导引
求数列的前 n 项和的方法 1．公式法 (1)等差数列的前 n 项和公式 na1＋an nn－1 na1＋ d S n＝ ＝ 2 2 (2)等比数列前 n 项和公式 ①当 q＝1 时，Sn＝na1； a11－qn a1－anq ②当 q≠1 时，Sn＝ ＝ . 1－q 1－q
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第五章
数列
栏目导引
1．数列{(－1)n· n}的前2 010项的和S2 010为(
A．－2 010 C．2 010 B．－1 005 D．1 005
)
解析： S2 010＝－1＋2－3＋4－5＋„－2 009＋2 010＝(－1＋2)＋ (－3＋4)＋„＋(－2 009＋2 010)＝1 005. 答案： D
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第五章
数列
栏目导引
(2)∵bn＝an·n，∴bn＝(2n＋1)·n， 3 3 ∴Tn＝3×3＋5×32＋7×33＋„＋(2n－1)·n－1＋(2n＋1)·n，① 3 3 ∴3Tn＝3×32＋5×33＋„＋(2n－1)·n＋(2n＋1)·n＋1，② 3 3 由①－②得 －2Tn＝3×3＋2(32＋33＋„＋3n)－(2n＋1)·n 3 91－3n 1 ＋ ＝9＋2× －(2n＋1)·n 1 3 1－3
即 Tn＜2 对任意 n∈N＋成立．
工具
第五章
数列
栏目导引
数列求和的方法
(1)一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后
通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形 式，从而选择合适的方法求和． (2)数列求和的常见类型及方法 ①an＝kn＋b，利用等差数列前n项和公式直接求解； ②an＝a·n－1，利用等比数列前n项和公式直接求解，但要注意对q q 分q＝1与q≠1两种情况进行讨论；
栏目导引
【变式训练】
1 1 1 1＋ ＋ ＋„＋ n－1 2 4 2
1 1 1 1. 求 和 Sn ＝ 1 ＋ 1＋2 ＋ 1＋2＋4 ＋ „ ＋
解析： 和式中的第 k 项为： 1 1 1 ak＝1＋2＋4＋„＋ k－1＝ 2
1k 1－2 1 ＝21－2k. 1 1－ 2
第五章
数列
栏目导引
1 3．数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 an＝ ，则 S5 等于( nn＋1 A．1 5 B. 6 1 C. 6 1 D. 30
)
n＋1－n 1 1 1 解析： an＝ ＝ ＝ － nn＋1 nn＋1 n n＋1 ∴S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5 1 1 1 1 1 5 ＝1－2＋2－3＋„＋5－6＝6.
工具
第五章
数列
栏目导引
③an＝bn＋cn，数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，采用分组转 化法求{an}前n项和； ④an ＝bn·n ，{bn}是等差数列，{cn}是等比数列，采用错位相减法 c 求{an}前n项和；
⑤an＝f(n)－f(n－1)，采用裂项相消法求{an}前n项和；
⑥an－k＋ak＝cbn，可考虑倒序相加法求和；
.
工具
第五章
数列
栏目导引
2．分组转化法
把数列的每一项分成两项，使其转化为几个等差、等比数列，再求
解．
3．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． 4．倒序相加法 把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和公式的推导过程的 推广)．
5．错位相减法
主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求 和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．
－ ＋1
∴Tn＝n·n 1. 3
＋
工具
第五章
数列
栏目导引
【变式训练】 2.已知数列{an}满足：Sn＝1－an(n∈N＋)，其中 Sn 为 数列{an}的前 n 项和． (1)试求{an}的通项公式； n (2)若数列{bn}满足：bn＝a (n∈N＋)，试求{bn}的前 n 项和公式 Tn. n
1)＋„＋(a2－a1)]＋a1＝3(2
而a1＝2，符合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.6分
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第五章
数列
栏目导引
(2)由 bn＝nan＝n·2n－1 知 2 Sn＝1· 2＋2·3＋3·5＋„＋n·2n 1， ①8 分 2 2 2 从而 22·n＝1·3＋2·5＋3·7＋„＋n·2n 1.② 9 分 S 2 2 2 2 ①－②得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋„＋22n 1－n·2n 1，10 分 2 1 ＋ 即 Sn＝ [(3n－1)22n 1＋2].12 分 9
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第五章
数列
栏目导引
数列{an}中a1＝3，已知点(an，an＋1)在直线y＝x＋2上，
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝an·n，求数列{bn}的前n项和Tn. 3 解析： (1)∵点(an，an＋1)在直线y＝x＋2上， ∴an＋1＝an＋2，即an＋1－an＝2. ∴数列{an}是以3为首项，2为公差的等差数列， ∴an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.
数列
栏目导引
(本小题满分12分)(2010· 全国新课标卷)设数列{an}满足a1＝2，an
22n－1. ＋1－an＝3· (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn. 【规范解答】 (1)由已知，当n≥1时，an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－
1 ＝2n－2＋ n－1. 2
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第五章
数列
栏目导引
1．一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列
{an·n}的前n项和时，可采用错位相减法． b 2．用乘公比错位相减法求和时，应注意 (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错位项对 齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．
答案： B
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第五章
数列
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4．已知数列{an}的通项an＝－5n＋2，则其前n项和Sn＝______.
解析： Sn＝a1＋a2＋a3＋„＋an ＝－5(1＋2＋3＋„＋n)＋2n －5nn＋1 ＝ ＋2n 2 －5n2－n ＝ . 2
－5n2－n 答案： 2
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第五章
数列
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1 1 1 5．数列 1,42，74，108，„前 10 项的和为________．
成立．
1 1 1 1 ， 解析： (1)∵an＝ ＝ ＝2 － 1＋2＋3＋„＋n nn＋1 n n＋1 2 1 1 1 1 1 1－ ＋2 － ＋„＋2 － ∴Sn＝2 n n＋1 2 2 3 1 2n Sn 2 ＝ ＝21－ ，∴bn＝ ＝ (n∈N＋)． n＋1 n＋1 n n＋1
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第五章
数列
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1 1 2 2 4 － (2)证明：Cn＝bn·n＋1＝ b · ＝ ＝4n＋1 n＋2 ， n＋1 n＋2 n＋1n＋2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 － ＝4 － ＜4× ＝2， ∴Tn＝42－3＋43－4＋„＋4 2 n＋1 n＋2 2 n＋2
当n＝4时，24－12－1＝3＞0，
∴2n－3n－1＜0中n的最大值为3.
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第五章
数列
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(2)Sn＝a1＋a2＋„＋an ＝(2＋22＋„＋2n)－3(1＋2＋3＋„＋n)－n 21－2n nn＋1 ＝ －3· 2 －n 1－2 ＝2
n＋1
n3n＋5 － －2. 2
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第五章
数列
＋1
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数列
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1 1 数列通项形如 an＝ ，bn＝ 等可用此法．使 nn－1 2n－1＋ 2n＋1 用裂项法，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项；你是 否注意到由于数列{an}中每一项 an 均裂成一正一负两项，所以互为相反 数的项合并为零后，所剩正数项与负数项的项数必是一样多的，切不可 漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点．实质上，正负项 相消是此法的根源和目的．
对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n项和的数列来求之．
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第五章
数列
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已知函数f(x)＝2x－3x－1，点(n，an)在f(x)的图象上，an的前n项
和为Sn. (1)求使an＜0的n的最大值． (2)求Sn. 解析： (1)依题意an＝2n－3n－1， ∴an＜0即2n－3n－1＜0. 当n＝3时，23－9－1＝－2＜0.
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数列
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3 3 由①②得 a1＝5，d＝5， 3 3 3 ∴an＝5＋(n－1)×5＝5n(n∈N＋)． n2＋n＋1 25 n2＋n＋1 (2)bn＝3 3 ＝9· nn＋1 n·n＋1 5 5 1 25 1 ， ＝ 1＋n－ 9 n＋1 ∴b1＋b2＋b3＋„＋b99 1 1 1 1 1 1 1 25 ＝ 9 1＋1－2＋1＋2－3＋1＋3－4＋„＋1＋99－100 1 25 ＝ 99＋1－100 9 ＝275＋2.75＝277.75.
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第五章
数列
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等差数列{an}是递增数列，前 n 项和为 Sn，且 a1，a3，a9 成等比 数列，S5＝a52. (1)求数列{an}的通项公式； n2＋n＋1 (2)若数列{bn}满足 bn＝ ，求数列{bn}的前 99 项的和． an·n＋1 a
解析： (1)设数列{an}的公差为 d(d＞0)， ∵a1，a3，a9 成等比数列，∴a32＝a1a9， ∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，∴d2＝a1d， ∵d＞0，∴a1＝d，① 5×4 ∵S5＝a52，∴5a1＋ · d＝(a1＋4d)2② 2
第4课时
数列求和
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数列
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数列
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求数列的前 n 项和的方法 1．公式法 (1)等差数列的前 n 项和公式 na1＋an nn－1 na1＋ d S n＝ ＝ 2 2 (2)等比数列前 n 项和公式 ①当 q＝1 时，Sn＝na1； a11－qn a1－anq ②当 q≠1 时，Sn＝ ＝ . 1－q 1－q
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第五章
数列
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1．数列{(－1)n· n}的前2 010项的和S2 010为(
A．－2 010 C．2 010 B．－1 005 D．1 005
)
解析： S2 010＝－1＋2－3＋4－5＋„－2 009＋2 010＝(－1＋2)＋ (－3＋4)＋„＋(－2 009＋2 010)＝1 005. 答案： D
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第五章
数列
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(2)∵bn＝an·n，∴bn＝(2n＋1)·n， 3 3 ∴Tn＝3×3＋5×32＋7×33＋„＋(2n－1)·n－1＋(2n＋1)·n，① 3 3 ∴3Tn＝3×32＋5×33＋„＋(2n－1)·n＋(2n＋1)·n＋1，② 3 3 由①－②得 －2Tn＝3×3＋2(32＋33＋„＋3n)－(2n＋1)·n 3 91－3n 1 ＋ ＝9＋2× －(2n＋1)·n 1 3 1－3
即 Tn＜2 对任意 n∈N＋成立．
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第五章
数列
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数列求和的方法
(1)一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后
通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形 式，从而选择合适的方法求和． (2)数列求和的常见类型及方法 ①an＝kn＋b，利用等差数列前n项和公式直接求解； ②an＝a·n－1，利用等比数列前n项和公式直接求解，但要注意对q q 分q＝1与q≠1两种情况进行讨论；
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【变式训练】
1 1 1 1＋ ＋ ＋„＋ n－1 2 4 2
1 1 1 1. 求 和 Sn ＝ 1 ＋ 1＋2 ＋ 1＋2＋4 ＋ „ ＋
解析： 和式中的第 k 项为： 1 1 1 ak＝1＋2＋4＋„＋ k－1＝ 2
1k 1－2 1 ＝21－2k. 1 1－ 2
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数列
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1 3．数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 an＝ ，则 S5 等于( nn＋1 A．1 5 B. 6 1 C. 6 1 D. 30
)
n＋1－n 1 1 1 解析： an＝ ＝ ＝ － nn＋1 nn＋1 n n＋1 ∴S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5 1 1 1 1 1 5 ＝1－2＋2－3＋„＋5－6＝6.
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数列
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③an＝bn＋cn，数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，采用分组转 化法求{an}前n项和； ④an ＝bn·n ，{bn}是等差数列，{cn}是等比数列，采用错位相减法 c 求{an}前n项和；
⑤an＝f(n)－f(n－1)，采用裂项相消法求{an}前n项和；
⑥an－k＋ak＝cbn，可考虑倒序相加法求和；
.
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数列
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2．分组转化法
把数列的每一项分成两项，使其转化为几个等差、等比数列，再求
解．
3．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． 4．倒序相加法 把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和公式的推导过程的 推广)．
5．错位相减法
主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求 和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．
－ ＋1
∴Tn＝n·n 1. 3
＋
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数列
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【变式训练】 2.已知数列{an}满足：Sn＝1－an(n∈N＋)，其中 Sn 为 数列{an}的前 n 项和． (1)试求{an}的通项公式； n (2)若数列{bn}满足：bn＝a (n∈N＋)，试求{bn}的前 n 项和公式 Tn. n