立体几何中的轨迹问题(总结+讲义+练习).docx
立体几何中的轨迹问题探索(教师讲义)
立体几何中的轨迹问题探索一、单选题1．如图为正方体1111ABCD A B C D -，动点M 从1B 点出发，在正方体表面沿逆时针方向运动一周后，再回到1B 的运动过程中，点M 与平面11A DC 的距离保持不变，运动的路程x 与11 l MA MC MD =++之间满足函数关系() l f x =，则此函数图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】先由题意，得到点M 在1B AC ∆的边上沿逆时针方向运动，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，取线段1B A 的中点为N ，根据题意确定当动点M 运动到点N 时，111 =++<==N A B C l NA NC ND l l l ，同理得到动点M 运动到线段AC 或1CB 的中点时，也符合上式，根据变化情况，结合选项，即可得出结果. 【详解】由题意可知：点M 在1B AC ∆的边上沿逆时针方向运动，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，取线段1B A 的中点为N ， 则当动点M 运动到点N 时，111 22=++=<+===N A B C l NA NC ND l l l ， 同理，当动点M 运动到线段AC 或1CB 的中点时，符合C选项的图像特征.故选：C【点睛】本题主要考查空间几何体中的轨迹问题，熟记空间几何体的结构特征即可，属于常考题型.EF=，长为4的线段AB的两端点分别在直线a、b上2．已知异面直线a、b成60°角，其公垂线段为EF，||2运动，则AB中点的轨迹为（）A．椭圆B．双曲线C．圆D．以上都不是【答案】A【解析】【分析】AB EF的中点,O P所在的平面，建立合适坐标系，先根据余弦定理求出根据条件画出合适的示意图，确定,OM ON之间的关系，然后利用P的坐标形式表示出,OM ON之间的关系，由此得到对应的轨迹形状.,【详解】如图所示：M N，设EF的中点为O，过O作EF的垂面α，则AB的中点P必在平面α内，设,A B在平面内的射影点为,以MON ∠的角平分线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示：设OM m =，ON n =，由余弦定理可知：2220122cos60MN m n mn ==+-，所以2212m n mn +-=，又因为30MOx NOx ∠=∠=︒，设(),P x y，所以)()22122x m n y m n ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以223m x y n x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 将上述结果代入等式2212m n mn +-=中化简可得：2219x y +=，故轨迹是椭圆.故选：A. 【点睛】本题考查立体几何中的轨迹问题，难度较难.处理立体几何中的轨迹问题的方法：首先根据空间中的点线面位置关系确定出线段的长度，然后将问题统一到一个平面中并在该平面中建立合适的平面直角坐标系，借用坐标表示线段间的长度关系，进而化简可得轨迹方程即可判断轨迹形状.3．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )A ．aB ．2aCD．2【答案】D【分析】设H ，I 分别为1CC 、11C D 边上的中点，由面面平行的性质可得F 落在线段HI 上，再求HI 的长度即可. 【详解】解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点， 则ABEG 四点共面， 且平面1//A BGE 平面1B HI ， 又1//B F 面1A BE ，F ∴落在线段HI 上，正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ，1122HI CD a ∴==，即F 在侧面11CDD C ． 故选：D ．【点睛】本题考查了面面平行的性质及动点的轨迹问题，属中档题.4．已知直线a 平行于平面α，且它们的距离为2d ，我们把到直线a 与到平面α的距离都相等的点构成的集合定义为集合A ，那么集合A 中同属于某个平面的点构成的图形不可能是（ ） A ．椭圆 B ．两条平行直线 C ．一条直线 D ．抛物线【答案】A 【解析】 【分析】把问题放在正方体ABCD -EFGH 中去，建立空间直角坐标系，找出关于,,x y z 的方程，通过方程判断可能的图形． 【详解】棱长2d ，如图，建立空间直角坐标系，设点M (,,)x y z ，则点M 到平面α的距离为z ，(2,0,2),(0,0,2E d d H d ），(2,0,0),(,,2HE d HM x y z d ∴==-）， |cos ,|2HE HM HE HM HE HMd ⋅∴<>==则sin ,1HE HM<>==点M 到直线a 的距离为：sin ,MH HEHM x ⋅<>==z ∴=整理得：22440y d dz +-=当z d =时，20y =，即0y =，一条直线，C 有可能；当z d >时，24()y d z d =-，即y =B 有可能； 当z 不取常数，为一个变量时，22440y d dz +-=是一个抛物线的方程，D 有可能；故选：A ． 【点睛】本题考查利用空间直角坐标解决空间图形的轨迹问题，是一道难题．5．在正方体1111ABCD A B C D -的侧面11ABB A 内有一动点P 到直线11A B 与直线BC 的距离相等，则动点P 所在的曲线的形状为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】由BC ⊥平面11ABB A 可知P 到直线BC 的距离即为P 到点B 的距离，从而可得其轨迹为抛物线的一部分且过点A ，依次判断各个选项即可. 【详解】BC ⊥平面11ABB A ，PB ⊂平面11ABB A P B B C∴⊥ P ∴到直线BC 的距离为PB ，即P 点到点B 的距离P ∴点轨迹是以B 为焦点，11A B 所在直线为准线的抛物线的一部分又P 在平面11ABB A 上，1AB AA = P ∴点轨迹过点A,A C 中轨迹不是抛物线，则,A C 错误；D 中轨迹不过A ，则D 错误.本题考查立体几何中点的轨迹的求解，关键是能够通过线面垂直关系确定动点轨迹为抛物线的一部分.6．给定正三棱锥P ABC -，点M 为底面正ABC ∆内(含边界)一点，且M 到三个侧面PAB ,,PBC PCA 的距离依次成等差数列，则点M 的轨迹为( ) A ．椭圆的一部分 B ．一条线段 C ．双曲线的一部分 D ．抛物线的一部分【答案】B 【解析】 【分析】根据M 到三个侧面PAB ,,PBC PCA 的距离依次成等差数列可设距离分别为,,d a d d a -+,根据等体积法可求得d 为常数。
2025数学大一轮复习讲义人教版 第七章 立体几何中的动态、轨迹问题
跟踪训练1 正四棱锥S－ABCD的底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，
动点P在正四棱锥表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的
周长为
√A. 6＋ 2
B. 6－ 2
C.4
D. 5＋1
如图，设AC，BD交于O，连接SO， 由正四棱锥的性质可得SO⊥平面ABCD， 因为AC⊂平面ABCD，故SO⊥AC. 又BD⊥AC，SO∩BD＝O，SO，BD⊂平面SBD， 故AC⊥平面SBD. 由题意，PE⊥AC则动点P的轨迹为过E且垂直AC的平面与正四棱锥 S－ABCD的交线，即平面EFG，则AC⊥平面EFG.
所成的角为π4，所以∠BPO＝π4，故 OP＝12， 则点 P 的轨迹是以 O 为圆心，半径 r＝12的半圆弧， 所以动点 P 的轨迹长为 πr＝π2.
思维升华
距离、角度有关的轨迹问题 (1)距离：可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义 或者球和圆的定义等知识求解轨迹. (2)角度：直线与面成定角，可能是圆锥侧面；直线与定直线成等角， 可能是圆锥侧面.
∴平面A1BD∥平面GHN， 又∵点M在四边形EFGH上及其内部运动， MN∥平面A1BD， 则点M在线段GH上运动，即满足条件，
又 GH＝ 22a，则点 M 轨迹的长度是
2a 2.
思维升华
动点轨迹的判断一般根据线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理， 结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向 量的坐标运算求出动点的轨迹方程.
设 AB＝a，BC＝b，则 a2＋b2＋22＝ 5，可得 a2＋b2＝1，
所以 V＝2ab≤a2＋b2＝1，当且仅当 a＝b＝ 22时，等号成立.
如图，设AC，BD相交于点O，
因为BO⊥AC，BO⊥AA1，AC∩AA1＝A，AC，AA1⊂平面A1ACC1， 所以 BO⊥平面 A1ACC1，因为直线 BP 与平面 A1ACC1
立体几何中的轨迹问题探索(教师讲义)
立体几何中的轨迹问题探索一、单选题1．如图为正方体1111ABCD A B C D -，动点M 从1B 点出发，在正方体表面沿逆时针方向运动一周后，再回到1B 的运动过程中，点M 与平面11A DC 的距离保持不变，运动的路程x 与11 l MA MC MD =++之间满足函数关系() l f x =，则此函数图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】先由题意，得到点M 在1B AC ∆的边上沿逆时针方向运动，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，取线段1B A 的中点为N ，根据题意确定当动点M 运动到点N 时，111 =++<==N A B C l NA NC ND l l l ，同理得到动点M 运动到线段AC 或1CB 的中点时，也符合上式，根据变化情况，结合选项，即可得出结果. 【详解】由题意可知：点M 在1B AC ∆的边上沿逆时针方向运动，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，取线段1B A 的中点为N ， 则当动点M 运动到点N 时，111 22=++=<+===N A B C l NA NC ND l l l ， 同理，当动点M 运动到线段AC 或1CB 的中点时，计算得111 22=++=<===A B C l MA MC MD l l l . 符合C 选项的图像特征.故选：C【点睛】本题主要考查空间几何体中的轨迹问题，熟记空间几何体的结构特征即可，属于常考题型.2．已知异面直线a 、b 成60°角，其公垂线段为EF ，||2EF =，长为4的线段AB 的两端点分别在直线a 、b 上运动，则AB 中点的轨迹为（ ） A ．椭圆 B ．双曲线C ．圆D ．以上都不是【答案】A 【解析】 【分析】根据条件画出合适的示意图，确定,AB EF 的中点,O P 所在的平面，建立合适坐标系，先根据余弦定理求出,OM ON 之间的关系，然后利用P 的坐标形式表示出,OM ON 之间的关系，由此得到对应的轨迹形状.【详解】 如图所示：设EF 的中点为O ，过O 作EF 的垂面α，则AB 的中点P 必在平面α内，设,A B 在平面内的射影点为,M N ，因为2AP BP ==，1AM BN ==，所以MN =以MON ∠的角平分线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示：设OM m =，ON n =，由余弦定理可知：2220122cos60MN m n mn ==+-，所以2212m n mn +-=，又因为30MOx NOx ∠=∠=︒，设(),P x y，所以)()22122x m n y m n ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以2323m x y n x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 将上述结果代入等式2212m n mn +-=中化简可得：2219x y +=，故轨迹是椭圆.故选：A. 【点睛】本题考查立体几何中的轨迹问题，难度较难.处理立体几何中的轨迹问题的方法：首先根据空间中的点线面位置关系确定出线段的长度，然后将问题统一到一个平面中并在该平面中建立合适的平面直角坐标系，借用坐标表示线段间的长度关系，进而化简可得轨迹方程即可判断轨迹形状.3．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )A ．aB ．2aCD．2【答案】D 【解析】 【分析】设H ，I 分别为1CC 、11C D 边上的中点，由面面平行的性质可得F 落在线段HI 上，再求HI 的长度即可.【详解】解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点， 则ABEG 四点共面， 且平面1//A BGE 平面1B HI ， 又1//B F 面1A BE ，F ∴落在线段HI 上，正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ，1122HI CD a ∴==，即F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是2． 故选：D ．【点睛】本题考查了面面平行的性质及动点的轨迹问题，属中档题.4．已知直线a 平行于平面α，且它们的距离为2d ，我们把到直线a 与到平面α的距离都相等的点构成的集合定义为集合A ，那么集合A 中同属于某个平面的点构成的图形不可能是（ ） A ．椭圆 B ．两条平行直线C ．一条直线D ．抛物线【答案】A 【解析】 【分析】把问题放在正方体ABCD -EFGH 中去，建立空间直角坐标系，找出关于,,x y z 的方程，通过方程判断可能的图形． 【详解】如图在棱长为2d 正方体ABCD -EFGH 中，将面ABCD 当作平面α，将直线EH 当作直线a ，其距离为正方体的棱长2d ，如图，建立空间直角坐标系，设点M (,,)x y z ，则点M 到平面α的距离为z ，(2,0,2),(0,0,2E d d H d ），(2,0,0),(,,2HE d HM x y z d ∴==-）， |cos ,|2HE HM HE HM HE HMd ⋅∴<>==则sin ,1HE HM<>==点M 到直线a 的距离为：sin ,MH HE HMx ⋅<>==z ∴=，整理得：22440y d dz +-=当z d =时，20y =，即0y =，一条直线，C 有可能；当z d >时，24()y d z d =-，即y =B 有可能； 当z不取常数，为一个变量时，22440y d dz +-=是一个抛物线的方程，D 有可能； 方程22440y d dz +-=任何时候都不可能是椭圆的方程，故A 不可能． 故选：A ． 【点睛】本题考查利用空间直角坐标解决空间图形的轨迹问题，是一道难题．5．在正方体1111ABCD A B C D -的侧面11ABB A 内有一动点P 到直线11A B 与直线BC 的距离相等，则动点P 所在的曲线的形状为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】由BC ⊥平面11ABB A 可知P 到直线BC 的距离即为P 到点B 的距离，从而可得其轨迹为抛物线的一部分且过点A ，依次判断各个选项即可. 【详解】BC ⊥平面11ABB A ，PB ⊂平面11ABB A PB BC ∴⊥P ∴到直线BC 的距离为PB ，即P 点到点B 的距离P ∴点轨迹是以B 为焦点，11A B 所在直线为准线的抛物线的一部分又P 在平面11ABB A 上，1AB AA = P ∴点轨迹过点A,A C 中轨迹不是抛物线，则,A C 错误；D 中轨迹不过A ，则D 错误.故选：B 【点睛】本题考查立体几何中点的轨迹的求解，关键是能够通过线面垂直关系确定动点轨迹为抛物线的一部分.6．给定正三棱锥P ABC -，点M 为底面正ABC ∆内(含边界)一点，且M 到三个侧面PAB ,,PBC PCA 的距离依次成等差数列，则点M 的轨迹为( ) A ．椭圆的一部分 B ．一条线段 C ．双曲线的一部分 D ．抛物线的一部分【答案】B 【解析】 【分析】根据M 到三个侧面PAB ,,PBC PCA 的距离依次成等差数列可设距离分别为,,d a d d a -+,根据等体积法可求得d 为常数。
立体几何中的轨迹问题汇总
例析空间中点的轨迹问题的转化求空间图形中点的轨迹既是中学数学学习中的一个难点，又是近几年高考的一个热点，这是一类立体几何与解析几何的交汇题，既考查空间想象能力，同时又考查如何将空间几何的轨迹问题转化为平面的轨迹问题来处理的基本思想。
一．轨迹为点例1已知平面βα||，直线α⊂l ，点P l ∈，平面βα,之间的距离为8，则在β内到P 点的距离为10且到直线l 的距离为9的点的轨迹是 ( )A ．一个圆 B.两条直线 C.两个点 D.四个点解析:设Q 为β内一动点，点P 在β内射影为O ，过O, l 的平面与β的交线为l '， PQ=10，∴OQ==-228106点Q 在以O 为圆心6为半径圆上，过Q 作QM l '⊥于M ，又 点Q 到直线l 的距离为9∴QM=178922=-则点Q 在以l '平行距离为17的两条平行线上 两条平行线与圆有四个交点∴这样的点Q 有四个，故答案选D 。
点评:本题以空间图形为背景，把立体几何问题转化到平面上，再用平面几何知识解决，要熟记一些平面几何点的轨迹。
二． 轨迹为线段例2． 如图，正方体1111ABCD A BC D -中，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，并且总保持1AP BD ⊥，则动点P 的轨迹是（ ）。
βαlMOQPA. 线段1B CB.线段1BCC. 1BB 中点与1CC 中点连成的线段D. BC 中点与11B C 中点连成的线段解：连结11,,AB AC B C ，易知111BD A AB ⊥所以11111,,AB BD AC BD B C BD ⊥⊥⊥，所以1BD ⊥面1ABC ，若P ∈1B C ，则AP ⊂平面1ABC ，于是1BD AP ⊥，因此动点P 的轨迹是线段1B C 。
评注：本题是由线面垂直的性质从而求出点P 的轨迹。
例3 已知圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面中心，M 为SO 的中点，动点P 在圆锥底面内(包括圆周)，若MP AM ⊥，则点P 的轨迹是________。
新高考数学之立体几何综合讲义第12讲 立体几何空间轨迹问题(解析版)
一．选择题（共 14 小题）
1．已知正方体
ABCD
A1B1C1D1
的棱长为
1，在正方体的侧面
BCC1B1
上的点
P
到点
A
距离为
2
3 3
的点的轨
迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是 ( )
A．
B．
C．
D．
【解答】解：正方体的侧面
BCC1B1
上的点
P
到点
A
距离为
2
3 3
的点的轨迹形成圆弧，如图：
C．双曲线
D．抛物线
【解答】解：由题意知，直线 C1D1 平面 BB1C1C ，则 C1D1 PC1 ，即 | PC1 | 就是点 P 到直线 C1D1 的距离，
那么点 P 到直线 BC 的距离等于它到点 C1 的距离，所以点 P 的轨迹是抛物线．
1
故选： D ． 3．如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， P 为棱 A1B1 中点，点 Q 在侧面 DCC1D1 内运动，若
故选： B ．
6．如图，在四棱锥 P ABCD 中，侧面 PAD 为正三角形，底面 ABCD 为正方形，侧面 PAD 底面 ABCD ， M 为底面 ABCD 内的一个动点，且满足 MP MC ，则点 M 在正方形 ABCD 内的轨迹为 ( )
A．
B．
C．
D．
【解答】解：根据题意可知 PD DC ，则点 D 符合“ M 为底面 ABCD 内的一个动点，且满足 MP MC ”
4
故选： A ． 7．如图，在长方形 ABCD 中， AB 3 ，BC 1 ，E 为线段 DC 上一动点，现将 AED 沿 AE 折起，使点 D
最新立体几何中的轨迹问题(总结+讲义+练习)
立体几何中的轨迹问题在立体几何中，某些点、线、面依一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化．对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题．对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性．立体几何中的最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值或面积的最值的问题．其一般方法有： 1、 几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值；2、 代数方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式，利用函数的单调性、有界性，以及不等式的均值定理等，求出最值．轨迹问题【例1】 如图，在正四棱锥S －ABCD 中，E 是BC 的中点，P 点在侧面△SCD 内及其边界上运动，并且总是保持PE ⊥AC ．则动点P 的轨迹与△SCD 组成的相关图形最有可能的是 ( )解析：如图，分别取CD 、SC 的中点F 、G ，连结EF 、EG 、FG 、BD ．设AC 与BD 的交点为O ，连结SO ，则动点P 的轨迹是△SCD 的中位线FG ．由正四棱锥可得SB ⊥AC ，EF ⊥AC ．又∵EG ∥SB∴EG ⊥AC∴AC ⊥平面EFG ，∵P ∈FG ，E ∈平面EFG ， ∴AC ⊥PE ．另解：本题可用排除法快速求解．B 中P 在D 点这个特殊位置，显然不满足PE ⊥AC ；C 中P 点所在的轨迹与CD 平行，它与CF 成π4角，显然不满足PE ⊥AC ；D 于中P 点所在的轨迹与CD 平行，它与CF 所成的角为锐角，显然也不满足PE ⊥AC ．评析：动点轨迹问题是较为新颖的一种创新命题形式，它重点体现了在解析几何与立体几何的知识交汇处设计图形．不但考查了立体几何点线面之间的位置关系，而且又能巧妙地考查求轨迹的基本方法，是表现最为活跃的一种创新题型．这类立体几何中的相关轨迹问题，如“线线垂直”问题，很在程度上是找与定直线垂直的平面，而平面间的交线往往就是动点轨迹．【例2】 (1)如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是CC 1、C 1D 1、DD 1、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足 时，有MN ∥平面B 1BDD 1．(2) 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，且总保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是 线段B 1C ．(3) 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱A 1B 1，BC 上的动点，且A 1E =BF ，P 为EF 的中点，则点P 的轨迹是 线段MN (M 、N 分别为前右两面的中心)．(4) 已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体的侧面BCC 1B 1上到点A 距离为233的点的集合形成一条曲线，那么这条曲线的形状是 ，它的长度是 ．若将“在正方体的侧面BCC 1B 1上到点A 距离为23 3 的点的集合”改为“在正方体表面上与点A 距离为233的点的集合” 那么这条曲线的形状又是 ，它的长度又是 ．1AC C 1AEC C 1A AB1A 1(1)(2)(3)(4)DDA ．B ．C ．D ． A【例3】 (1)(04北京)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是 ( D )A ． A 直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线 变式：若将“P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等”改为“P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离之比为1：2(或2：1)”， 则动点P 的轨迹所在的曲线是 椭圆 (双曲线)． (2)(06北京)平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是 (A )A ．一条直线B ．一个圆C ．一个椭圆D ．双曲线的一支解：设l 与l 是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线AB 垂直这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点A 与AB 垂直所有直线都在这个平面内，故动点C 都在这个平面与平面α的交线上，故选A ． (3)已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 在棱AB 上，且AM =13，点P 到直线A 1D 1的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则点P 的轨迹为 抛物线 ．(4)已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为3，长为2的线段MN 点一个端点M 在DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，则MN 的中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积为 π6． 【例4】 (04重庆)若三棱锥A -BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与△ABC 组成图形可能是：( D )【例5】 四棱锥P -ABCD ，AD ⊥面P AB ，BC ⊥面P AB ，底面ABCD 为梯形，AD =4，BC =8，AB =6，∠APD =∠CPB ，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是( )A ．圆B ．不完整的圆C ．抛物线D ．抛物线的一部分 分析：∵AD ⊥面P AB ，BC ⊥平面P AB ∴AD ∥BC 且AD ⊥P A ，CB ⊥PB ∵∠APD =∠CPB ∴tanAPD =tanCPB∴AD P A =CB PB ∴PB =2P A在平面APB 内，以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (-3，0)、B (3，0)，设P (x ，y )(y ≠0)，则(x -3)2+y 2=4[(x +3)2+y 2](y ≠0)即(x +5)2+y 2=16(y ≠0) ∴P 的轨迹是(B )BABCDAB1A lAB Cα A B CD D 1 C 1B 1A 1 M PABCDD 1 C 1 B 1 A 1 M N3 323P A BC D立体几何中的轨迹问题（教师版）1．在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB与到直线B1C1的距离相等，则动点P所在曲线的形状为（D）．2．在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB的距离与到直线B1C1的距离之比为2：1，则动点P所在曲线的形状为（B）．A．线段B．一段椭圆弧C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分3．在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB的距离与到直线B1C1的距离之比为1：2，则动点P所在曲线的形状为（C）．A．线段B．一段椭圆弧C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AA1的中点，点P在其对角面BB1D1D内运动，若EP总与直线AC成等角，则点P的轨迹有可能是（A）．A．圆或圆的一部分B．抛物线或其一部分C．双曲线或其一部分D．椭圆或其一部分简析由条件易知：AC是平面BB1D1D的法向量，所以EP与直线AC成等角，得到EP与平面BB1D1D 所成的角都相等，故点P的轨迹有可能是圆或圆的一部分．5a，定点M在棱AB上（但不在端点A，B上），点P是平面ABCD内的动点，且点P P到点M的距离的平方差为a2，则点P的轨迹所在曲线为（A）．A．抛物线B．双曲线C．直线D．圆连结PE．则PE2=a2+PF2，又PE2-PM2=a2，所以PM2=PF2，从而PM＝PF，故点P到直线AD与到点M的距离相等，故点P的轨迹是以M为焦点，AD为准线的抛物线．6P在侧面BCC1B1及其边界上运动，总有1，则动点P的轨迹为的轨迹为_______________．答案线段MN（M、N分别为SC、CD8．若A、B P C（不同于A、B，则动点C在平面内的轨迹是________．（除去两点的圆）A—BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与组成的图形可能是：（D）A A AP PP PB C B C B C B C A B C D简析 动点P 在侧面ABC 内，若点P 到AB 的距离等于到棱BC 的距离，则点P 在∠ABC 的内角平分线上．现在P 到平面BCD 的距离等于到棱AB 的距离，而P 到棱BC 的距离大于P 到底面BCD 的距离，于是，P 到棱AB 的距离小于P 到棱BC 的距离，故动点P 只能在∠ABC 的内角平分线与AB 之间的区域内．只能选D ． 10．已知P 是正四面体S-ABC 的面SBC 上一点，P 到面ABC 的距离与到点S 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（B ）． A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线解题的要领就是化空间问题为平面问题，把一些重要元素集中在某一个平面内，利 用相关的知识去解答，象平面几何知识、解析几何知识等．11．已知正方体ABCD A B C D -1111的棱长为1，在正方体的侧面BCC B 11上到点A 距离为233的点的轨迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是_________，它的长度为__________． 简析以B 为圆心，半径为33且圆心角为π2的圆弧，长度为36π． 12．已知长方体ABCD A B C D -1111中，AB BC ==63,，在线段BD 、A C 11上各有一点P 、Q ，PQ 上有一点M ，且PM MQ =2，则M 点轨迹图形的面积是 ． 提示轨迹的图形是一个平行四边形．13．已知棱长为3的正方体ABCD A B C D -1111中，长为2的线段MN 的一个端点在DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，求MN 中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积．简析 由于M 、N 都是运动的，所以求的轨迹必须化“动”为“静”，结合动点P 的几何性质，连结DP ，因为MN=2，所以PD=1，因此点P 的轨迹是一个以D 为球心，1为半径的球面在正方体内的部分，所以点P 的轨迹与正方体的表面所围成的几何体的体积为球的体积的18，即1843163⨯⨯=ππ．14．已知平面//α平面β，直线l α⊂，点l P ∈，平面α、β间的距离为4，则在β内到点P 的距离为5且到直线l 的距离为29的点的轨迹是（ ） 简析：如图，设点P 在平面β内的射影是O ，则OP 是α、β的公垂线，OP=4．在β内到点P 的距离等于5的点到O 的距离等于3，可知所求点的轨迹是β内在以O 为圆心，3为半径的圆上．又在β内到直线l 的距离等于29的点的集合是两条平行直线m 、n ，它们到点O 的距离都等于32174)29(22<=-，所以直线m 、n 与这个圆均相交，共有四个交点．因此所求点的轨迹是四个点，故选C ．16．在四棱锥ABCD P -中，⊥AD 面PAB ，⊥BC 面PAB ，底面ABCD 为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，CPB APD ∠=∠，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是（ ）A ．圆B ．不完整的圆C ．抛物线D ．抛物线的一部分简析：因为⊥AD 面PAB ，⊥BC 面PAB ，所以AD//BC ，且︒=∠=∠90CBP DAP ． 又8BC ,4AD ,CPB APD ==∠=∠，可得CPB tan PB CB PA AD APD tan ∠===∠，即得2ADCBPA PB == 在平面PAB 内，以AB 所在直线为x 轴，AB 中点O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A （-3，0）、B（3，0）．设点P （x ，y ），则有2y )3x (y )3x (|PA ||PB |2222=+++-=，整理得09x 10y x 22=+++由于点P 不在直线AB 上，故此轨迹为一个不完整的圆，选B ．17．如图，定点A 和B 都在平面α内，定点P ,PB ,α⊥α∉C 是α内异于A 和B 的动点．且AC PC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（ ）A ．一条线段，但要去掉两个点B ．一个圆，但要去掉两个点C ．一个椭圆，但要去掉两个点D ．半圆，但要去掉两个点简析：因为PC AC ⊥，且PC 在α内的射影为BC ，所以BC AC ⊥，即︒=∠90ACB ．所以点C 的轨迹是以AB 为直径的圆且去掉A 、B 两点，故选B ．18．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，P 是侧面1BC 内一动点，若P 到直线BC 与直线11D C 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线简析：因为P 到11D C 的距离即为P 到1C 的距离，所以在面1BC 内，P 到定点1C 的距离与P 到定直线BC 的距离相等．由圆锥曲线的定义知动点P 的轨迹为抛物线，故选D ．19．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，点P 是平面AC 内的动点，若点P 到直线11D A 的距离等于点P 到直线CD 的距离，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．直线简析：如图4，以A 为原点，AB 为x 轴、AD 为y 轴，建立平面直角坐标系．设P （x ，y ），作AD PE ⊥于E 、11D A PF ⊥于F ，连结EF ，易知1x |EF ||PE ||PF |2222+=+=又作CD PN ⊥于N ，则|1y ||PN |-=．依题意|PN ||PF |=，即|1y|1x2-=+，化简得0y2yx22=+-故动点P的轨迹为双曲线，选B．20．如图，AB是平面a的斜线段，A为斜足，若点P在平面a内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（）（A）圆（B）椭圆（C）一条直线（D）两条平行直线分析：由于线段AB是定长线段，而△ABP的面积为定值，所以动点P到线段AB的距离也是定值．由此可知空间点P在以AB为轴的圆柱侧面上．又P在平面内运动，所以这个问题相当于一个平面去斜切一个圆柱(AB是平面的斜线段)，得到的切痕是椭圆．P的轨迹就是圆柱侧面与平面a的交线．21．如图，动点P在正方体1111ABCD A B C D-的对角线1BD上．过点P作垂直于平面11BB D D的直线，与正方体表面相交于M N，．设BP x=，MN y=，则函数()y f x=的图象大致是（）分析：将线段MN投影到平面ABCD内，易得y为x一次函数．22．已知异面直线a，b成︒60角，公垂线段MN的长等于2，线段AB两个端点A、B分别在a，b上移动，且线段AB长等于4，求线段AB中点的轨迹方程．图5简析：如图5，易知线段AB的中点P在公垂线段MN的中垂面α上，直线'a、'b为平面α内过MN的中点O分别平行于a、b的直线，'a'AA⊥于'A，'b'BB⊥于'B，则P'B'AAB=⋂，且P也为'B'A的中点．由已知MN=2，AB=4，易知,2AP,1'AA==得32'B'A=．则问题转化为求长等于32的线段'B'A的两个端点'A、'B分别在'a、'b上移动时其中点P的轨迹．现以'OB'A∠的角平分线为x轴，O为原点建立如图6所示的平面直角坐标系．A BCDMNPA1 B1C1D1yxOyxOyxOyxO图6设)y ,x (P ，n |'OB |,m |'OA |==， 则)n 21,n 23('B ),m 21,m 23('A - )n m (41y ),n m (43x -=+=222)32()n m (41)n m (43=++- 消去m 、n ，得线段AB 的中点P 的轨迹为椭圆，其方程为1y 9x 22=+．点评：例5和例6分别将立体几何与解析几何中的双曲线与椭圆巧妙地整合在一起，相互交汇和渗透，有利于培养运用多学科知识解决问题的能力．立体几何中的轨迹问题1．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 与到直线B 1C 1的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为 （ ） A ．线段 B ．一段椭圆弧 C ．双曲线的一部分 D ．抛物线的一部分2．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离之比为2：1，则动点P 所在曲线的形状为 （ ） A ．线段 B ．一段椭圆弧 C ．双曲线的一部分 D ．抛物线的一部分3．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离之比为1：2，则动点P 所在曲线的形状为 （ ） A ．线段 B ．一段椭圆弧 C ．双曲线的一部分 D ．抛物线的一部分4．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为AA 1的中点，点P 在其对角面BB 1D 1D 内运动，若EP 总与直线AC 成等角，则点P 的轨迹有可能是 （ ） A ．圆或圆的一部分 B ．抛物线或其一部分 C ．双曲线或其一部分 D ．椭圆或其一部分5a ，定点M 在棱AB 上（但不在端点A ，B 上），点P 是平面ABCD内的动点，且点P P 到点M 的距离的平方差为a 2，则点P 的轨迹所在曲线为（ ） A ．抛物线 B ．双曲线 C ．直线 D ．圆A —BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与组成的图形可能是（ ）A A AB C B C B C B CA B C DA B C D 7．已知P 是正四面体S-ABC 的面SBC 上一点，P 到面ABC 的距离与到点S 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是 （ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线8．已知平面//α平面β，直线l α⊂，点l P ∈，平面α、β间的距离为4，则在β内到点P 的距离为5且到直线l 的距离为29的点的轨迹是（ ）A ．一个圆B ．两条平行直线C ．四个点D ．两个点9．在四棱锥ABCD P -中，⊥AD 面PAB ，⊥BC 面PAB ，底面ABCD 为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，CPB APD ∠=∠，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．不完整的圆 C ．抛物线 D ．抛物线的一部分10．如图，定点A 和B 都在平面α内，定点P ,PB ,α⊥α∉C 是α内异于A 和B 的动点．且AC PC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（ ）A ．一条线段，但要去掉两个点B ．一个圆，但要去掉两个点C ．一个椭圆，但要去掉两个点D ．半圆，但要去掉两个点11．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，点P 是平面AC 内的动点，若点P 到直线11D A 的距离等于点P 到直线CD 的距离，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．直线12．如图，AB 是平面a 的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面a 内运动，使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．一条直线D ．两条平行直线 13．如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（ ）14．在正方体ABCD A B C D -1111中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，总有AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹为________．15．在正四棱锥S-ABCD 中，E 是BC 的中点，点P 在侧面∆SCD 内及其边界上运动，总有PE ⊥AC ，则动点P 的轨迹为_______________．16．若A 、B 为平面α的两个定点，点P 在α外，PB ⊥α，动点C （不同于A 、B ）在α内，且PC ⊥AC ，则动点C 在平面内的轨迹是________．17．已知正方体ABCD A B C D -1111的棱长为1，在正方体的侧面BCC B 11上到点A 距离为233的点的轨迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是_________，它的长度为__________．18．已知长方体ABCD A B C D -1111中，AB BC ==63,，在线段BD 、A C 11上各有一点P 、Q ，PQ 上有一点M ，且PM MQ =2，则M 点轨迹图形的面积是 ．A BC D MNP A 1B 1C 1D 1 yxOyOxOyx O19．已知棱长为3的正方体ABCD A B C D -1111中，长为2的线段MN 的一个端点在DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，则MN 中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积是 ．20．已知异面直线a ，b 成︒60角，公垂线段MN 的长等于2，线段AB 两个端点A 、B 分别在a ，b 上移动，且线段AB 长等于4，求线段AB 中点的轨迹方程．。
立体几何中的轨迹问题(详细版)
立体几何中的轨迹问题高考数学有一类学科内的综合题,它们的新颖性、综合性，值得我们重视,在知识网络交汇点处设计试题是高考命题改革的一个方向,以空间问题为为背景的轨迹问题作为解析几何与立体几何的交汇点，由于知识点多，数学思想和方法考查充分，求解比较困难.通常要求学生有较强的空间想象能力,以及能够把空间问题转化到平面上,再结合解析几何方法求解，以下精选几个问题来对这一问题进行探讨，旨在探索题型规律,揭示解题方法。
一、用空间运动的观点来得到点的轨迹。
例1:直线PA 是平面M 的一条斜线，斜足为A ，动直线PB 过点P 且与直线PB 垂直，且交平面M 于点B ，求动点B 的轨迹.解：先探讨直线PB 的运动轨迹，由于直线PB 始终与PA 垂直，可知PB 的运动轨迹应是直线PA 的垂直平面N 。
再结合点B 一定在平面M 内，所以点B 的轨迹应该是两个平面的交线，所以点B 的轨迹是一条直线.针对以上解法,我们对这一问题作一深层次的探讨:若直线PA 与平面M 成α角,直线PB 始终与直线PA 成β角，再来求点B 的轨迹。
由上述解法可知，我们只要得到直线PB 的空间轨迹，再来考察该轨迹与平面M 的交线即可。
由简单的模型模拟即可知，直线PB 的轨迹是一个圆锥面，再用一个平面截圆锥面，这一知识在平面解析几何中圆锥曲线的来历中有提到，即所得曲线可能是圆、椭圆、抛物线、双曲线。
因此,我们在以下命题：直线PA 是平面M 的一条斜线，且与平面M 成α角，斜足为A ，动直线PB 过点P 且与直线PB 成β角，交平面M 于点B,求动点B 的轨迹。
结论: （1）若α=90°,β≠90°，则动点B 的轨迹是一个圆； （2)若α≠90°，β=90°,动点B 的轨迹是一条直线；（3）若α≠90°,β≠90°，则①若90°〉α〉β，则轨迹是椭圆； ②若α=β，则轨迹是抛物线； ③若α<β，则轨迹是双曲线。
立体几何中的轨迹问题探索(教师讲义)
立体几何中的轨迹问题探索一、单选题1．如图为正方体1111ABCD A B C D -，动点M 从1B 点出发，在正方体表面沿逆时针方向运动一周后，再回到1B 的运动过程中，点M 与平面11A DC 的距离保持不变，运动的路程x 与11 l MA MC MD =++之间满足函数关系() l f x =，则此函数图象大致是( )A ．B ．C ．D ．2．已知异面直线a 、b 成60°角，其公垂线段为EF ，||2EF =，长为4的线段AB 的两端点分别在直线a 、b 上运动，则AB 中点的轨迹为（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．圆D ．以上都不是3．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )A ．aB ．2aCD ．24．已知直线a 平行于平面α，且它们的距离为2d ，我们把到直线a 与到平面α的距离都相等的点构成的集合定义为集合A ，那么集合A 中同属于某个平面的点构成的图形不可能是（ ）A ．椭圆B ．两条平行直线C ．一条直线D ．抛物线5．在正方体1111ABCD A B C D -的侧面11ABB A 内有一动点P 到直线11A B 与直线BC 的距离相等，则动点P 所在的曲线的形状为（ ）A ．B ．C ．D ．6．给定正三棱锥P ABC -，点M 为底面正ABC ∆内(含边界)一点，且M 到三个侧面PAB ,,PBC PCA 的距离依次成等差数列，则点M 的轨迹为( )A ．椭圆的一部分B ．一条线段C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分7．设点M 是长方体1111ABCD A B C D -的棱AD 的中点，14AA AD ==，5AB =，点P 在面11BCC B 上，若平面1D PM 分别与平面ABCD 和平面11BCC B 所成的锐二面角相等，则P 点的轨迹为（ ）A ．椭圆的一部分B ．抛物线的一部分C ．一条线段D ．一段圆弧8．如图为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，动点M 从B 1点出发，在正方体表面沿逆时针方向运动一周后，再回到B 1的运动过程中，点M 与平面A 1DC 1的距离保持不变，运动的路程x 与l=MA 1+MC 1+MD 之间满足函数关系l=f （x ），则此函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在侧面11ADD A 及边界上运动，并且保持1BP AC ⊥，则动点P 的轨迹是（ ）A ．线段1A DB ．线段1ADC ．AD 的中点与11A D 的中点连成的线段 D ．1AA 的中点与1DD 的中点连成的线段10．美学四大构件是:史诗、音乐、造型、建筑等，绘画和数学素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步，某同学在画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体)的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若“切面所在平面与底面成60°角，则该椭圆的离心率为()A ．12BCD ．1311．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 是底面ABCD 上的动点,1PA PC ≥，则满足条件的点P 构成的图形的面积等于（ ）A ．12B ．4πC ．44π- D ．7212．长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 是对角线AC 1上一点，Q 是底面ABCD 上一点，若AB =√2，BC =AA 1=1，则PB +1PQ 的最小值为（ ）A ．32B ．√3+12C ．√3D ．213．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是棱11D C 的中点，点F 在正方体内部或正方体的表面上，且//EF 平面11A BC ，则动点F 的轨迹所形成的区域面积是（ ）A ．98 B C D14．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，定点M 在棱AB 上(不在端点,A B 上)，点P 是平面ABCD 内的动点，且点P 到直线11A D 的距离与点P 到点M 的距离的平方差为2a ，则点P 的轨迹所在的曲线为 A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线15．给定正三棱锥P ﹣ABC ，M 点为底面正三角形ABC 内（含边界）一点，且M 到三个侧面P AB 、PBC 、P AC 的距离依次成等差数列，则点M 的轨迹为（ ）A ．双曲线的一部分B ．圆的一部分C ．一条线段D ．抛物线的一部分16．如图，AB 是平面α的斜线段，A 为斜足，点C 满足sin sin (0)CAB CBA λλ∠=∠>，且在平面α内运动，则（ ）A ．当1λ=时，点C 的轨迹是抛物线B ．当1λ=时，点C 的轨迹是一条直线C ．当2λ=时，点C 的轨迹是椭圆D ．当2λ=时，点C 的轨迹是双曲线抛物线17．如图，直二面角AB αβ--，P α∈，C β∈，D β∈，且AD AB ⊥，BC AB ⊥，5AD =，10BC =，6AB =，APD CPB ∠=∠，则点P 在平面α内的轨迹是（ ）A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．一条直线D ．两条直线18．已知点P 是单位正方体1111ABCD A B C D -的对角面11BB D D 上的一动点，过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体的侧面相交于M 、N 两点，则BMN ∆的面积的最大值为（ ）A B ．12 C D 19．历史上，许多人研究过圆锥的截口曲线．如图，在圆锥中，母线与旋转轴夹角为30，现有一截面与圆锥的一条母线垂直，与旋转轴的交点O 到圆锥顶点M 的距离为1，对于所得截口曲线给出如下命题：①曲线形状为椭圆；②点O 为该曲线上任意两点最长距离的三等分点；③该曲线上任意两点间的最长距离为32（ ）A ．①②④B ．①②③④C ．①②③D ．①④20．如图，矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将ADE 沿直线DE 翻转为1A DE ．若M 为线段1A C 的中点，则在ADE 翻转过程中，有下列命题：①BM 是定值；②点M 在圆上运动；③一定存在某个位置，使1DE A C ⊥；④若1A ∉平面BEDC ，则MB 平面1A DE ．其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．421．已知正方体1111ABCD -A B C D ，空间一动点P 满足11A P AB ⊥，且11APB ADB ∠=∠，则点P 的轨迹为A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线22．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 在棱AB 上，且1AM 3=，点P 在平面ABCD 上，且动点P 到直线11A D 的距离的平方与点P 到点M 的距离的平方的差为1，在以AB 、AD 为坐标轴的平面直角坐标系中，动点P 的轨迹是（ ）A ．圆B ．抛物线C ．双曲线D ．直线23．已知正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，E 为AD 的中点，P 为正方形1111D C B A 内的一个动点（含边界），且PE ≤111PA PB PC ++的最小值为（ ）A 1-B 3CD 124．在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD DD ==，AB =,,E F G 分别是棱1,,AB BC CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线1D P 与平面EFG 没有公共点，则三角形1PBB 面积的最小值为（ ）A B ．1 C D ．12二、填空题25．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 是棱11D C 的中点，点F 在正方体内部或正方体的表面上，且//EF 平面11A BC ，则动点F 的轨迹所形成的区域面积是______.26．如图，在圆柱的轴截面ABCD 中，4AB =，2BC =，1O ，2O 分别为圆柱上下底面的中心，M 为12O O 的中点，动点P 在圆柱下底面内（包括圆周）.若AM MP ⊥，则点P 形成的轨迹的长度为______.27．点M 为棱长是的正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 的球面上的动点，点N 为11B C 的中点，若满足DM BN ⊥，则动点M 的轨迹的长度为________28．在长方体1111ABCD A B C D -中，已知底面ABCD 为正方形，P 为11A D 的中点，1AD =，1AA 点Q 为正方形ABCD 所在平面内的一个动点，且满足QC =，则线段BQ 的长度的最大值为 _______. 29．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 中点，动点P 在底面ABCD 内（不包括边界），使四面体1A BMP 体积为23，则1C P 的最小值是___________．30．如图，在棱长为 1 的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面ABCD 内（不包括边界），若1//B P 平面1A BM ，则1C P 的最小值是____．31．如图，在边长为2正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在正方体表面上移动，且满足11B P D E ⊥，则点1B 和满足条件的所有点P 构成的图形的面积是_______.32．在长方体1111ABCD A B C D -中，已知底面ABCD 为正方形，P 为11A D 的中点，1AD =，1AA ，点Q 为正方形ABCD 所在平面内的一个动点，且满足QC =，则线段BQ 的长度的最大值是________. 33．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的表面上运动， 且(0PA r r =<<，记点P 的轨迹的长度为()f r ，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______. 34．已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1棱长为2，点P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一动点，若三棱锥P −ABC 的外接球表面积恰为41π4，则此时点P 构成的图形面积为________.35．在棱长为1的透明密闭的正方形容器1111ABCD A B C D -中，装有容器总体积一半的水（不计容器壁的厚度），将该正方体容器绕1BD 旋转，并始终保持1BD 所在直线与水平平面平行，则在旋转过程中容器中水的水面面积的最大值为__________．36．在正方体1111ABCD A B C D -中边长AB 为2，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，Q 为正方形ABCD 内一点，M ，N 分别为AB ，BC 上靠近A 和C 的三等分点，若线段1D Q 与OP 相交且互相平分，则点Q 的轨迹与线段MN 形成的封闭图形的面积为____．37．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为4，E 为棱CC 1的中点，点M 在正方形BCC 1B 1内运动，且直线AM ∥平面A 1DE ，则动点M 的轨迹长度为______．38．正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面上的射影是底面中心）S -ABCD 的底面边长为4，高为4，点E 、F 、G 分别为SD ，CD ，BC 的中点，动点P 在正四棱锥的表面上运动，并且总保持PG ∥平面AEF ，则动点P 的轨迹的周长为______．一、单选题1．如图为正方体1111ABCD A B C D -，动点M 从1B 点出发，在正方体表面沿逆时针方向运动一周后，再回到1B 的运动过程中，点M 与平面11A DC 的距离保持不变，运动的路程x 与11 l MA MC MD =++之间满足函数关系() l f x =，则此函数图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】 先由题意，得到点M 在1B AC ∆的边上沿逆时针方向运动，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，取线段1B A 的中点为N ，根据题意确定当动点M 运动到点N 时，111 =++<==N A B C l NA NC ND l l l ，同理得到动点M 运动到线段AC 或1CB 的中点时，也符合上式，根据变化情况，结合选项，即可得出结果.【详解】由题意可知：点M 在1B AC ∆的边上沿逆时针方向运动，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，取线段1B A 的中点为N ，则当动点M 运动到点N 时，111 22=++=<+===N A B C l NA NC ND l l l ， 同理，当动点M 运动到线段AC 或1CB 的中点时，计算得111 22=++=<===A B C l MA MC MD l l l . 符合C 选项的图像特征.故选：C【点睛】本题主要考查空间几何体中的轨迹问题，熟记空间几何体的结构特征即可，属于常考题型.2．已知异面直线a 、b 成60°角，其公垂线段为EF ，||2EF =，长为4的线段AB 的两端点分别在直线a 、b 上运动，则AB 中点的轨迹为（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．圆D ．以上都不是【答案】A【解析】【分析】根据条件画出合适的示意图，确定,AB EF 的中点,O P 所在的平面，建立合适坐标系，先根据余弦定理求出,OM ON 之间的关系，然后利用P 的坐标形式表示出,OM ON 之间的关系，由此得到对应的轨迹形状.【详解】如图所示：设EF 的中点为O ，过O 作EF 的垂面α，则AB 的中点P 必在平面α内，设,A B 在平面内的射影点为,M N ， 因为2AP BP ==，1AM BN ==，所以MN =以MON ∠的角平分线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示：设OM m =，ON n =，由余弦定理可知：2220122cos60MN m n mn ==+-，所以2212m n mn +-=，又因为30MOx NOx ∠=∠=︒，设(),P x y，所以)()2122x m n y m n ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以22m x y n x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，将上述结果代入等式2212m n mn +-=中化简可得：2219x y +=，故轨迹是椭圆. 故选：A.【点睛】本题考查立体几何中的轨迹问题，难度较难.处理立体几何中的轨迹问题的方法：首先根据空间中的点线面位置关系确定出线段的长度，然后将问题统一到一个平面中并在该平面中建立合适的平面直角坐标系，借用坐标表示线段间的长度关系，进而化简可得轨迹方程即可判断轨迹形状.3．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )A ．aB ．2aCD ．2【答案】D【解析】【分析】 设H ，I 分别为1CC 、11C D 边上的中点，由面面平行的性质可得F 落在线段HI 上，再求HI 的长度即可.【详解】解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点，则ABEG 四点共面，且平面1//A BGE 平面1B HI ，又1//B F 面1A BE ，F ∴落在线段HI 上，正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ，112HI CD ∴==，即F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是2a ． 故选：D ．【点睛】本题考查了面面平行的性质及动点的轨迹问题，属中档题.4．已知直线a平行于平面α，且它们的距离为2d，我们把到直线a与到平面α的距离都相等的点构成的集合定义为集合A，那么集合A中同属于某个平面的点构成的图形不可能是（）A．椭圆B．两条平行直线C．一条直线D．抛物线【答案】A【解析】【分析】x y z的方程，通过方程判断可能的图形．把问题放在正方体ABCD-EFGH中去，建立空间直角坐标系，找出关于,,【详解】如图在棱长为2d正方体ABCD-EFGH中，将面ABCD当作平面α，将直线EH当作直线a，其距离为正方体的棱长2d，如图，建立空间直角坐标系，x y z，则点M到平面α的距离为z，设点M (,,)(2,0,2),(0,0,2E d d H d），∴==-），(2,0,0),(,,2HE d HM x y z d|cos ,|2HE HMHE HM HE HM d ⋅∴<>==则sin ,1HE HM<>==点M 到直线a 的距离为： sin ,MH HE HMx ⋅<>==z ∴=，整理得：22440y d dz +-=当z d =时，20y =，即0y =，一条直线，C 有可能； 当z d >时，24()y d z d =-，即y =B 有可能；当z 不取常数，为一个变量时，22440y d dz +-=是一个抛物线的方程，D 有可能；方程22440y d dz +-=任何时候都不可能是椭圆的方程，故A 不可能．故选：A ．【点睛】本题考查利用空间直角坐标解决空间图形的轨迹问题，是一道难题．5．在正方体1111ABCD A B C D -的侧面11ABB A 内有一动点P 到直线11A B 与直线BC 的距离相等，则动点P 所在的曲线的形状为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】由BC ⊥平面11ABB A 可知P 到直线BC 的距离即为P 到点B 的距离，从而可得其轨迹为抛物线的一部分且过点A ，依次判断各个选项即可.【详解】BC ⊥平面11ABB A ，PB ⊂平面11ABB A PB BC ∴⊥P ∴到直线BC 的距离为PB ，即P 点到点B 的距离P ∴点轨迹是以B 为焦点，11A B 所在直线为准线的抛物线的一部分又P 在平面11ABB A 上，1AB AA = P ∴点轨迹过点A,A C 中轨迹不是抛物线，则,A C 错误；D 中轨迹不过A ，则D 错误.故选：B【点睛】本题考查立体几何中点的轨迹的求解，关键是能够通过线面垂直关系确定动点轨迹为抛物线的一部分.6．给定正三棱锥P ABC -，点M 为底面正ABC ∆内(含边界)一点，且M 到三个侧面PAB ,,PBC PCA 的距离依次成等差数列，则点M 的轨迹为( )A ．椭圆的一部分B ．一条线段C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分 【答案】B【解析】【分析】根据M 到三个侧面PAB ,,PBC PCA 的距离依次成等差数列可设距离分别为,,d a d d a -+,根据等体积法可求得d 为常数。
立体几何中的轨迹问题
C
知识应用
1、如图，AB是平面а的斜线段，A为斜足，若点P
在平面а内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的 轨迹是（C）
A、圆 B、直线 C、椭圆 D、两条平行直线
B
反思： 1、圆锥和圆柱模型 2、注意面切入方向
A
а
P
课堂小结 典例分析
例2、已知正方体ABCD---A1B1C1D1的棱长为1，在
立体几何中的轨迹问题
青田中学 章建斌
知识背景
圆锥被不同的平面所截得到的曲线——圆锥曲线 圆锥曲线是两种几何体相交产生的——交轨法 大轨迹下的小轨迹
几何模型 交轨法 切面的方向
几何模型
圆锥
1、以直角三角形的一条直角边 为轴进行旋转
圆柱
3、以矩形的一条边为轴进行旋转
2、两条相交直线成定角，其中 一条为定直线，一条为动直线， 绕其转动。
A B
D
C
知识应用
3、如图，在正四棱锥S—ABCD中，E是BC的中点， P点在侧面△SCD内及其边界上运动，并总保持PE与AC垂直， 则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形最有可能的是（ A ）
S P A． S S P D C． S
D
C D
P
B．
C
C
D
P
C
S D． G P D A O F B E C
4、两条平行直线距离为定值，其中 一条为定直线，另外一条绕其转动。
知识探究
轴截面
00
双曲线 抛物线 椭圆 圆
90 0 90 0
典例分析
例1、平面а的斜线AB交а于点B点且与а成600，平面а内 一动点C满足 BAC = 300，则动点C的轨迹为（ C） A、一条直线 B、一个圆 C、一个椭圆 D、双曲线一支
立体几何中的“轨迹”问题
拟考试中立体几何的 一 类 常 见 问 题 ．
这 类 与 “轨 迹”有
关的问题,在 立 体 几 何 与 解 析 几 何 的 交 会 处 命 题,对
促进学生思维能力和掌握 核 心 概 念 大 有 裨 益,能 很 好
地考查学生的直观想象能 力 和 知 识 综 合 运 用 能 力,下
n∠CAB ＝λs
i
n∠CBA (
λ＞０),且
在平面α 内运动,则( )．
错解 由 f(
x )＝
aex －l
nx－１,可得
１
x０)＝ －l
nx０ －１≥０．
f(
x０
１
′(
x)＝aex － ．
f
x
当 a ≤０ 时,
′(
x )＜
f
结合图 １,易知此时 f
热点追踪
(
２)欲证a≥
１
,
因
x)≥０,即证aex ≥l
nx＋１．
f(
e
１
为 ex ≥x ＋１,则 aex ≥ ex ＝ex－１ ≥x,因 此 可 将 所
e
证不等式转化为 x≥l
nx＋１,即 x－１≥l
nx,所 以 当
a≥
１
时,
x)≥０．
f(
e
剖析 上述解法的错误之处有两点 ．
１)在第(
１)问中求出 a 的值后,没有检验 ．
′(
x)＝aex －
f
１
１
１
１
,
′( )＝aea －a＝a(
ea －１)＞０;
f
x
a
１
１
立体几何中的轨迹问题(详细版)
立体几何中的轨迹问题高考数学有一类学科内的综合题，它们的新颖性、综合性，值得我们重视，在知识网络交汇点处设计试题是高考命题改革的一个方向，以空间问题为为背景的轨迹问题作为解析几何与立体几何的交汇点，由于知识点多，数学思想和方法考查充分，求解比较困难。
通常要求学生有较强的空间想象能力，以及能够把空间问题转化到平面上，再结合解析几何方法求解，以下精选几个问题来对这一问题进行探讨，旨在探索题型规律，揭示解题方法。
一、用空间运动的观点来得到点的轨迹。
例1：直线PA 是平面M 的一条斜线，斜足为A ，动直线PB 过点P 且与直线PB 垂直，且交平面M 于点B ，求动点B 的轨迹。
解：先探讨直线PB 的运动轨迹，由于直线PB 始终与PA 垂直，可知PB 的运动轨迹应是直线PA 的垂直平面N 。
再结合点B 一定在平面M 内，所以点B 的轨迹应该是两个平面的交线，所以点B 的轨迹是一条直线。
针对以上解法，我们对这一问题作一深层次的探讨：若直线PA 与平面M 成α角，直线PB 始终与直线PA 成β角，再来求点B 的轨迹。
由上述解法可知，我们只要得到直线PB 的空间轨迹，再来考察该轨迹与平面M 的交线即可。
由简单的模型模拟即可知，直线PB 的轨迹是一个圆锥面，再用一个平面截圆锥面，这一知识在平面解析几何中圆锥曲线的来历中有提到，即所得曲线可能是圆、椭圆、抛物线、双曲线。
因此，我们在以下命题：直线PA 是平面M 的一条斜线，且与平面M 成α角，斜足为A ，动直线PB 过点P 且与直线PB 成β角，交平面M 于点B ，求动点B 的轨迹。
结论： （1）若α=90°，β≠90°，则动点B 的轨迹是一个圆； （2）若α≠90°，β=90°，动点B 的轨迹是一条直线；（3）若α≠90°，β≠90°，则①若90°>α>β，则轨迹是椭圆； ②若α=β，则轨迹是抛物线； ③若α<β，则轨迹是双曲线。
立体几何中的轨迹问答(归纳讲义理解练习)
立体几何中的轨迹问题在立体几何中，某些点、线、面依一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化．对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题．对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性．立体几何中的最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值或面积的最值的问题．其一般方法有： 1、 几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值；2、 代数方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式，利用函数的单调性、有界性，以及不等式的均值定理等，求出最值．轨迹问题【例1】 如图，在正四棱锥S －ABCD 中，E 是BC 的中点，P 点在侧面△SCD 内及其边界上运动，并且总是保持PE ⊥AC ．则动点P 的轨迹与△SCD 组成的相关图形最有可能的是 ( )解析：如图，分别取CD 、SC 的中点F 、G ，连结EF 、EG 、FG 、BD ．设AC 与BD 的交点为O ，连结SO ，则动点P 的轨迹是△SCD 的中位线FG ．由正四棱锥可得SB ⊥AC ，EF ⊥AC ．又∵EG ∥SB∴EG ⊥AC ∴AC ⊥平面EFG ， ∵P ∈FG ，E ∈平面EFG ， ∴AC ⊥PE ．另解：本题可用排除法快速求解．B 中P 在D 点这个特殊位置，显然不满足PE ⊥AC ；C 中P 点所在的轨迹与CD 平行，它与CF 成π4角，显然不满足PE ⊥AC ；D 于中P 点所在的轨迹与CD 平行，它与CF 所成的角为锐角，显然也不满足PE ⊥AC ．评析：动点轨迹问题是较为新颖的一种创新命题形式，它重点体现了在解析几何与立体几何的知识交汇处设计图形．不但考查了立体几何点线面之间的位置关系，而且又能巧妙地考查求轨迹的基本方法，是表现最为活跃的一种创新题型．这类立体几何中的相关轨迹问题，如“线线垂直”问题，很在程度上是找与定直线垂直的平面，而平面间的交线往往就是动点轨迹．【例2】 (1)如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是CC 1、C 1D 1、DD 1、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足 时，有MN ∥平面B 1BDD 1．(2) 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，且总保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是 线段B 1C ．(3) 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱A 1B 1，BC 上的动点，且A 1E =BF ，P 为EF 的中点，则点P 的轨迹是 线段MN (M 、N 分别为前右两面的中心)．(4) 已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体的侧面BCC 1B 1上到点A 距离为23 3 的点的集合形成一条曲线，那么这条曲线的形状是 ，它的长度是 ．DDA ．B ．C ．D ．A若将“在正方体的侧面BCC 1B 1上到点A 距离为23 3 的点的集合”改为“在正方体表面上与点A 距离为233 的点的集合” 那么这条曲线的形状又是 ，它的长度又是 ．【例3】 (1)(04北京)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是 ( D )A ． A 直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线变式：若将“P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等”改为“P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离之比为1：2(或2：1)”， 则动点P 的轨迹所在的曲线是 椭圆 (双曲线)．(2)(06北京)平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是 (A )A ．一条直线B ．一个圆C ．一个椭圆D ．双曲线的一支解：设l 与l 是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线AB 垂直这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点A 与AB 垂直所有直线都在这个平面内，故动点C 都在这个平面与平面α的交线上，故选A ．(3)已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 在棱AB 上，且AM =13，点P到直线A 1D 1的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则点P 的轨迹为 抛物线 ．(4)已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为3，长为2的线段MN 点一个端点M 在DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，则MN 的中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积为 π6．【例4】 (04重庆)若三棱锥A -BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与△ABC 组成图形可能是：( D )【例5】 四棱锥P -ABCD ，AD ⊥面PAB ，BC ⊥面PAB ，底面ABCD 为梯形，AD =4，BC =8，AB =6，∠APD =∠CPB ，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是()A ．圆B ．不完整的圆C ．抛物线D ．抛物线的一部分分析：∵AD ⊥面PAB ，BC ⊥平面PAB ∴AD ∥BC 且AD ⊥PA ，CB ⊥PBBABCD1AC C 1AE C C 1A AB1A 1(1)(2)(3)(4)C C 1A lAB Cα A B C D D 1C 1B 1A 1M PABCDD 1 C 1B 1A 1MN 3323PABCD∵∠APD =∠CPB ∴tanAPD =tanCPB ∴AD PA =CB PB∴PB =2PA在平面APB 内，以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (-3，0)、B (3，0)，设P (x ，y )(y ≠0)，则(x -3)2+y 2=4[(x +3)2+y 2](y ≠0)即(x +5)2+y 2=16(y ≠0) ∴P 的轨迹是(B )立体几何中的轨迹问题（教师版）1．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 与到直线B 1C 1的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为（D ）．A ．线段B ．一段椭圆弧C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分 简析本题主要考查点到直线距离的概念，线面垂直及抛物线的定义．因为B 1C 1面AB 1，所以PB 1就是P 到直线B 1C 1的距离，故由抛物线的定义知：动点的轨迹为抛物线的一段，从而选D ．2．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离之比为2：1，则动点P 所在曲线的形状为（B ）．A ．线段B ．一段椭圆弧C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分3．在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB的距离与到直线B1C1的距离之比为1：2，则动点P所在曲线的形状为（C）．A．线段B．一段椭圆弧C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AA1的中点，点P在其对角面BB1D1D内运动，若EP总与直线AC成等角，则点P的轨迹有可能是（A）．A．圆或圆的一部分B．抛物线或其一部分C．双曲线或其一部分D．椭圆或其一部分简析由条件易知：AC是平面BB1D1D的法向量，所以EP与直线AC成等角，得到EP与平面BB1D1D 所成的角都相等，故点P的轨迹有可能是圆或圆的一部分．5．已知正方体的棱长为a，定点M在棱AB上（但不在端点A，B上），点P是平面ABCD 内的动点，且点P到直线的距离与点P到点M的距离的平方差为a2，则点P的轨迹所在曲线为（A）．A．抛物线B．双曲线C．直线D．圆简析在正方体中，过P作PF AD，过F作FE A1D1，垂足分别为F、E，连结PE．则PE2=a2+PF2，又PE2-PM2=a2，所以PM2=PF2，从而PM＝PF，故点P到直线AD与到点M的距离相等，故点P的轨迹是以M为焦点，AD为准线的抛物线．6．在正方体中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，总有AP BD1，则动点P的轨迹为__________．简析在解题中，我们要找到运动变化中的不变因素，通常将动点聚焦到某一个平面．易证BD1面ACB1，所以满足BD1AP的所有点P都在一个平面ACB1上．而已知条件中的点P是在侧面BCC1B1及其边界上运动，因此，符合条件的点P在平面ACB1与平面BCC1B1交线上，故所求的轨迹为线段B1C．本题的解题基本思路是：利用升维，化“动”为“静”，即先找出所有点的轨迹，然后缩小到符合条件的点的轨迹．7．在正四棱锥S-ABCD中，E是BC的中点，点P在侧面SCD内及其边界上运动，总有PE AC，则动点P 的轨迹为_______________．答案线段MN（M、N分别为SC、CD的中点）8．若A、B为平面的两个定点，点P在外，PB，动点C（不同于A、B）在内，且PC AC，则动点C在平面内的轨迹是________．（除去两点的圆）9．若三棱锥A—BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与ABC组成的图形可能是：（D）A A AB C B C B C B CA B C D简析动点P在侧面ABC内，若点P到AB的距离等于到棱BC的距离，则点P在的内角平分线上．现在P到平面BCD的距离等于到棱AB的距离，而P到棱BC的距离大于P到底面BCD的距离，于是，P到棱AB的距离小于P到棱BC的距离，故动点P只能在的内角平分线与AB之间的区域内．只能选D．10．已知P是正四面体S-ABC的面SBC上一点，P到面ABC的距离与到点S的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（B）．A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解题的要领就是化空间问题为平面问题，把一些重要元素集中在某一个平面内，利用相关的知识去解答，象平面几何知识、解析几何知识等．11．已知正方体的棱长为1，在正方体的侧面上到点A距离为的点的轨迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是_________，它的长度为__________．简析以B为圆心，半径为且圆心角为的圆弧，长度为．12．已知长方体中，，在线段BD、上各有一点P、Q，PQ上有一点M，且，则M点轨迹图形的面积是．提示轨迹的图形是一个平行四边形．13．已知棱长为3的正方体中，长为2的线段MN的一个端点在上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，求MN 中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积． 简析由于M 、N 都是运动的，所以求的轨迹必须化“动”为“静”，结合动点P 的几何性质，连结DP ，因为MN=2，所以PD=1，因此点P 的轨迹是一个以D 为球心，1为半径的球面在正方体内的部分，所以点P 的轨迹与正方体的表面所围成的几何体的体积为球的体积的，即．14．已知平面//α平面β，直线l α⊂，点l P ∈，平面α、β间的距离为4，则在β内到点P 的距离为5且到直线l 的距离为29的点的轨迹是（ ） A ．一个圆B ．两条平行直线C ．四个点D ．两个点简析：如图，设点P 在平面β内的射影是O ，则OP 是α、β的公垂线，OP=4．在β内到点P 的距离等于5的点到O 的距离等于3，可知所求点的轨迹是β内在以O 为圆心，3为半径的圆上．又在β内到直线l 的距离等于29的点的集合是两条平行直线m 、n ，它们到点O 的距离都等于32174)29(22<=-，所以直线m 、n 与这个圆均相交，共有四个交点．因此所求点的轨迹是四个点，故选C ．16．在四棱锥ABCD P -中，⊥AD 面PAB ，⊥BC 面PAB ，底面ABCD 为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，CPB APD ∠=∠，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是（ ）A ．圆B ．不完整的圆C ．抛物线D ．抛物线的一部分简析：因为⊥AD 面PAB ，⊥BC 面PAB ，所以AD//BC ，且︒=∠=∠90CBP DAP ． 又8BC ,4AD ,CPB APD ==∠=∠， 可得CPB tan PB CBPA AD APD tan ∠===∠，即得2ADCB PA PB == 在平面PAB 内，以AB 所在直线为x 轴，AB 中点O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A （-3，0）、B（3，0）．设点P （x ，y ），则有2y )3x (y )3x (|PA ||PB |2222=+++-=，整理得09x 10y x 22=+++由于点P 不在直线AB 上，故此轨迹为一个不完整的圆，选B ．17．如图，定点A 和B 都在平面α内，定点P ,PB ,α⊥α∉C 是α内异于A 和B 的动点．且AC PC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（ ）A ．一条线段，但要去掉两个点B ．一个圆，但要去掉两个点C ．一个椭圆，但要去掉两个点D ．半圆，但要去掉两个点简析：因为PC AC ⊥，且PC 在α内的射影为BC ，所以BC AC ⊥，即︒=∠90ACB ．所以点C 的轨迹是以AB 为直径的圆且去掉A 、B 两点，故选B ．18．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，P 是侧面1BC 内一动点，若P 到直线BC 与直线11D C 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线简析：因为P 到11D C 的距离即为P 到1C 的距离，所以在面1BC 内，P 到定点1C 的距离与P 到定直线BC 的距离相等．由圆锥曲线的定义知动点P 的轨迹为抛物线，故选D ．19．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，点P 是平面AC 内的动点，若点P 到直线11D A 的距离等于点P 到直线CD 的距离，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．直线简析：如图4，以A 为原点，AB 为x 轴、AD 为y 轴，建立平面直角坐标系．设P （x ，y ），作AD PE ⊥于E 、11D A PF ⊥于F ，连结EF ，易知1x |EF ||PE ||PF |2222+=+=又作CD PN ⊥于N ，则|1y ||PN |-=．依题意|PN ||PF |=，即|1y |1x 2-=+，化简得0y 2y x 22=+- 故动点P 的轨迹为双曲线，选B ．20．如图，AB 是平面a 的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面a 内运动，使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是（ ）（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）一条直线 （D ）两条平行直线分析：由于线段AB 是定长线段，而△ABP 的面积为定值，所以动点P 到线段AB 的距离也是定值．由此可知空间点P 在以AB 为轴的圆柱侧面上．又P 在平面内运动，所以这个问题相当于一个平面去斜切一个圆柱(AB 是平面的斜线段)，得到的切痕是椭圆．P 的轨迹就是圆柱侧面与平面a 的交线 ．21．如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（ ）分析：将线段MN 投影到平面ABCD 内，易得y 为x 一次函数．22．已知异面直线a ，b 成︒60角，公垂线段MN 的长等于2，线段AB 两个端点A 、B 分别在a ，b 上移动，且线段AB 长等于4，求线段AB 中点的轨迹方程．ABC D MNP A 1B 1C 1D 1 yxOyxOyxOyx O图5简析：如图5，易知线段AB 的中点P 在公垂线段MN 的中垂面α上，直线'a 、'b 为平面α内过MN 的中点O 分别平行于a 、b 的直线，'a 'AA ⊥于'A ，'b 'BB ⊥于'B ，则P 'B 'A AB =⋂，且P 也为'B 'A 的中点．由已知MN=2，AB=4，易知,2AP ,1'AA ==得32'B 'A =．则问题转化为求长等于32的线段'B 'A 的两个端点'A 、'B 分别在'a 、'b 上移动时其中点P 的轨迹．现以'OB 'A ∠的角平分线为x 轴，O 为原点建立如图6所示的平面直角坐标系．图6设)y ,x (P ，n |'OB |,m |'OA |==， 则)n 21,n 23('B ),m 21,m 23('A - )n m (41y ),n m (43x -=+=222)32()n m (41)n m (43=++- 消去m 、n ，得线段AB 的中点P 的轨迹为椭圆，其方程为1y 9x 22=+．点评：例5和例6分别将立体几何与解析几何中的双曲线与椭圆巧妙地整合在一起，相互交汇和渗透，有利于培养运用多学科知识解决问题的能力．立体几何中的轨迹问题1．在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB与到直线B1C1的距离相等，则动点P所在曲线的形状为（）A．线段B．一段椭圆弧C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分2．在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB的距离与到直线B1C1的距离之比为2：1，则动点P所在曲线的形状为（）A．线段B．一段椭圆弧C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分3．在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB的距离与到直线B1C1的距离之比为1：2，则动点P所在曲线的形状为（）A．线段B．一段椭圆弧C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AA1的中点，点P在其对角面BB1D1D内运动，若EP总与直线AC成等角，则点P的轨迹有可能是（）A．圆或圆的一部分B．抛物线或其一部分C．双曲线或其一部分D．椭圆或其一部分5．已知正方体的棱长为a，定点M在棱AB上（但不在端点A，B上），点P是平面ABCD 内的动点，且点P到直线的距离与点P到点M的距离的平方差为a2，则点P的轨迹所在曲线为（）A．抛物线B．双曲线C．直线D．圆6．若三棱锥A—BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与ABC组成的图形可能是（）A A AB C B C B C B CA B C DA B C D7．已知P 是正四面体S-ABC 的面SBC 上一点，P 到面ABC 的距离与到点S 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线8．已知平面//α平面β，直线l α⊂，点l P ∈，平面α、β间的距离为4，则在β内到点P 的距离为5且到直线l 的距离为29的点的轨迹是（ ） A ．一个圆B ．两条平行直线C ．四个点D ．两个点9．在四棱锥ABCD P -中，⊥AD 面PAB ，⊥BC 面PAB ，底面ABCD 为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，CPB APD ∠=∠，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是（ ）A ．圆B ．不完整的圆C ．抛物线D ．抛物线的一部分10．如图，定点A 和B 都在平面α内，定点P ,PB ,α⊥α∉C 是α内异于A 和B 的动点．且AC PC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（ ）A ．一条线段，但要去掉两个点B ．一个圆，但要去掉两个点C ．一个椭圆，但要去掉两个点D ．半圆，但要去掉两个点11．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，点P 是平面AC 内的动点，若点P 到直线11D A 的距离等于点P 到直线CD 的距离，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ） A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．直线12．如图，AB 是平面a 的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面a 内运动，使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．一条直线D ．两条平行直线13．如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（ ）14．在正方体中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，总有APBD 1，则动点P 的轨迹为________．15．在正四棱锥S-ABCD 中，E 是BC 的中点，点P 在侧面SCD 内及其边界上运动，总有PE AC ，则动点P 的轨迹为_______________． 16．若A 、B 为平面的两个定点，点P 在外，PB，动点C （不同于A 、B ）在内，且PC AC ，则动点C 在平面内的轨迹是________． 17．已知正方体的棱长为1，在正方体的侧面上到点A 距离为的点的轨迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是_________，它的长度为__________． 18．已知长方体中，，在线段BD 、上各有一点P 、Q ，PQ 上有一点M ，且，则M 点轨迹图形的面积是 ．19．已知棱长为3的正方体中，长为2的线段MN 的一个端点在上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，则MN 中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积是 ．20．已知异面直线a ，b 成︒60角，公垂线段MN 的长等于2，线段AB 两个端点A 、B 分别在a ，b 上移动，且线段AB 长等于4，求线段ABABC D MNP A 1B 1C 1D 1 yxOyxOyxOyx O中点的轨迹方程．。
立体几何中的轨迹问题(强化练习)
立体几何中的轨迹问题（强化练习）1．在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB与到直线B1C1的距离相等，则动点P所在曲线的形状为（ D）A．线段B．一段椭圆弧C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分2．在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB的距离与到直线B1C1的距离之比为2：1，则动点P所在曲线的形状为（ B）A．线段B．一段椭圆弧C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分3．在正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面AB1内有一点P到直线AB的距离与到直线B1C1的距离之比为1：2，则动点P所在曲线的形状为（ C）A．线段B．一段椭圆弧C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AA1的中点，点P在其对角面BB1D1D内运动，若EP总与直线AC成等角，则点P的轨迹有可能是（A ）A．圆或圆的一部分B．抛物线或其一部分C．双曲线或其一部分D．椭圆或其一部分5．已知正方体的棱长为a，定点M在棱AB上（但不在端点A，B上），点P是平面ABCDA D的距离与点P到点M的距离的平方差为a2，则点P的轨内的动点，且点P到直线11迹所在曲线为（A ）A．抛物线B．双曲线C．直线D．圆6．若三棱锥A—BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与ABC组成的图形可能是（ D）A B C D7．已知P是正四面体S-ABC的面SBC上一点，P到面ABC的距离与到点S的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（B）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线8．已知平面平面，直线，点，平面、间的距离为4，则在内到点P的距离为5且到直线的距离为的点的轨迹是（C）A．一个圆B．两条平行直线C．四个点D．两个点9．在四棱锥中，面PAB，面PAB，底面ABCD为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，，满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是（B）A．圆B．不完整的圆C．抛物线D．抛物线的一部分10．如图，定点A和B都在平面内，定点P C是内异于A和B的动点．且，那么动点C在平面内的轨迹是（B）A．一条线段，但要去掉两个点B．一个圆，但要去掉两个点C．一个椭圆，但要去掉两个点D．半圆，但要去掉两个点11．已知正方体的棱长为1，点P是平面AC内的动点，若点P到直线的距离等于点P到直线CD的距离，则动点P的轨迹所在的曲线是（ B）A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．直线12．如图，AB是平面的斜线段，A为斜足，若点P在平面内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（B）A．圆 B．椭圆 C．一条直线 D．两条平行直线13．如图，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于．设，，则函数的图象大致是（ B）14．在正方体1111A BC D ABCD -中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，总有AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹为__ （ 线段1B C ）15．在正四棱锥S-ABCD 中，E 是BC 的中点，点P 在侧面SCD 内及其边界上运动，总有PE ⊥AC ，则动点P 的轨迹为_______________．(连接SC 与CD 两边中点的线段)16．已知正方体1111A BC D ABCD -的棱长为1，在正方体的侧面11BCC B 上到点A 距离为3的点的轨迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是____圆弧_____，它的长度为． 17．已知长方体1111A BC D ABCD -中，6,3AB BC ==，在线段BD 、11AC 上各有一点P 、Q ，PQ 上有一点M ，且2PM MQ =，则M 点轨迹图形的面积是 8 ．18．已知棱长为3的正方体中，长为2的线段MN 的一个端点在1DD 上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，则MN 中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积是 ．6π。
立体几何图形中的动点轨迹（PDF）
立体几何图形中的动点轨迹桂 松(祁阳县第四中学,湖南 426181) 动点的轨迹与立体几何相结合的问题要求学生结合曲线的性质和点在立体几何中的特征,灵活地运用知识,创造性地解决问题.本文旨在对有关动点的轨迹在立体几何中的运用作出一个小结归纳,仅供参考.图1例1 如图1,在正方体AB CD -A 1B 1C 1D 1中,P 是侧面CB B 1C 1内一动点,若点P 到直线B C 与直线C 1D 1的距离相等,则动点P 的轨迹所在的曲线是( )(A )直线. (B )圆.(C )双曲线.(D )抛物线.分析 在正方体AB CD -A 1B 1C 1D 1中,因为C 1D 1⊥面B C 1,所以点P 到C 1D 1的距离为PC 1;又因为P 到B C 的距离为P 到B C 的垂线段的长度,即点P 到定点C 1的距离等于P 到定直线B C 的距离,且P 在侧面CB B 1C 1内,根据抛物线的定义可以知道,点P 的轨迹所在的曲线为抛物线.答案为(D ).图2例2 如图2,在正方体AB CD -A 1B 1C 1D 1中,点P 是侧面CB B 1C 1内一动点,若点P 到平面A B CD 的距离等于它到直线C 1D 1的距离的2倍,则动点P 的轨迹所在的曲线是( )(A )椭圆. (B )双曲线.(C )抛物线.(D )圆.分析 作PE 垂直B C 于E ,则PE ⊥面AB CD ,连接PC 1,因为C 1D 1⊥面BCC 1B 1,所以PC 1⊥C 1D 1,即PE 为点P 到面A B CD 的距离,PC 1为点P 到直线C 1D 1的距离,根据题意可以知道PC 1PE =12,结合椭圆的第二定义可以知道点P 在以C 1为焦点、以B C 为准线的椭圆上.答案为(A ).图3例3 在长方体AB CD -A 1B 1C 1D 1中,A A 1=1,EF =2,D 1B >2,E 在A 1D 1上,F 在A B 上,则EF 的中点P 的轨迹为( )(A )圆的一部分.(B )椭圆.(C )双曲线.(D )抛物线.分析 如图3,连接A 1F ,A 1P ,则△EA 1F 为直角三角形,因为P 为E F 的中点,所以A 1P =12EF =1,即点P 到A 1的距离为定长,所以点P 在以A 1为球心、1为半径的球面上.又因为A 1D 1,AB 为异面直线,且P 为E F 的中点,所以P 在异面直线A 1D 1与AB 的公垂线A A 1的中垂面上.所以点P 的轨迹为A 1D 1,AB 的公垂线段A A 1的中垂面与以A 1为球心、1为半径的球面的交线,但这个球面只有长方体内的一部分,即点P 为圆的一部分.答案为(A ).图4例4 高为5m 和3m 的两根旗杆竖在水平地面上,且相距10m ,如果把两根旗杆底部的坐标分别确定为A (-5,0),B (5,0),在地面测得21数学通讯 2007年第12期与两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹曲线是.分析 如图4,以AB 所在直线为x 轴、以AB 中点为坐标原点O 建立空间直角坐标系.因为所求点轨迹仍是在平面xOy 上,故可以用平面xOy 上的点的坐标设出符合要求的点P 的坐标为(x ,y ),从而有tan ∠A PC=tan ∠B PD ,即5A P=3B P,把坐标代入得5(x +5)2+y 2=3(x -5)2+y 2,即4x2+4y 2-85x +100=0,所以点P 的轨迹为一个圆.若从距离变化的角度也可以知道A P =53PB ,即到两定点距离之比为一常数,所以点P 的轨迹为一个圆.图5例5 若三棱锥A -B CD 的侧面A B C 内一动点P 到底面B CD 的距离与到棱AB 的距离相等,则动点P 的轨迹与面A B C 组成的图形可能为( )(A ) (B ) (C ) (D )分析 如图5,设点P 到AB 的距离为PE ,点P 到面BCD 的距离为PF ,PE =PF ,将这个结论进行转化.过点P 作PM ⊥BC 于M ,连结FM ,则∠PM F 为二面角A -BC -D 的平面角α,而α在三棱锥A -BCD中为一定值,PF =PM ·sinα,所以PE PM =PE ·sin αP F =sin α≤1,从而点P 为面AB C 内到AB 的距离与到BC 的距离之比为一个小于或等于1的常数的点,即点P 的轨迹为一条偏向AB 的线段,当且仅当面AB C ⊥面BCD 时,点P 的轨迹为∠AB C 的平分线.答案为(C ).图6例6 已知正三角A D P 所在平面与正方形A B CD 所在的平面互相垂直,O 为正方形的中心,M为正方形A B CD 内一动点,且满足MC=M P ,则点M 的轨迹为( )(A ) (B ) (C ) (D )解法1 因为MC =M P ,所以M 在线段PC 的中垂面上,因为PC 的中垂面与平面A B CD 的交线为一直线,取PC 的中点Q ,连结DQ ,因为D P =DC ,所以DQ ⊥PC.设PC 的中垂面交A B 于N ,连结N C ,N P ,因为N C =N P ,且B C =A P ,∠PA N =∠CB N =90°,所以△NB C ≌△N A P ,所以A N =B N ,即N 为A B 的中点.连接N D ,即PC 的中垂面与AB CD 的交线为N D ,且N 为A B 的中点.即点M 的轨迹为线段N D.答案为(A ).图7解法2 取A D 的中点O ,以O 为坐标原点,建立如图7的空间直角坐标系.设正方形的边长为2,则C (-1,2,0),P (0,0,3),D (-1,0,0).AB 的中点N (1,1,0).设M (x ,y ),由|MC |2=|M P |2知(x +1)2+(y -2)2+(0-0)2=(x -0)2+(y -0)2+(0-3)2,即-x +2y -1=0,故M 的轨迹为线段D N .从上面的例题,我们不难发现,在点轨迹与立体几何结合的问题中,只要抓住点在立体几何中的特征,结合点在平面几何中的轨迹定义,就能较轻松地解决这类问题.(收稿日期:2007-03-01)312007年第12期 数学通讯。
立体几何与轨迹(答案)
立体几何的轨迹问题答案：1．平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是 （ ）A ．一条直线B ．一个圆C ．一个椭圆D ．双曲线的一支答案A2．已知平面α∥平面β，直线l α⊂.点P l ∈．平面,αβ间的距离为4.则在β内到点P 的距离为5且到直线l 的距离为4的点的轨迹是 （ ）A ．一个圆B ．两条平行直线．C ．四个点D ．两个点答案D3.如图，AB 是平面α的斜线段，A 是斜足，若点P 在平面α内运动，使得ABP ∆的面积为定值，则动点P 的轨迹是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．一条直线D ．两条平行直线答案B4. 在正方体1111D C B A ABCD -中,M 是1CC 的中点，若点P 在11ABB A 所在的平面上，满足11PDB MDB ∠=∠，则点P 的轨迹是 （ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线答案C解：设11C D 中点为N ，由已知，11,DN ABB A 平面11DM ABB A 平面，所以选D 5.在棱长为4的正方体1111D C B A ABCD -中, ,E F 分别是AD ,11A D 的中点,长为2的线段MN 的一个端点M 在线段EF 上运动,另一个端点N 在底面1111A B C D 上运动,则线段MN的中点P 的轨迹(曲面)与二面角111A A D B --所围成的几何体的体积为 （ ） A. 43π B. 23π C. 3π D. 6π 答案C解:根据题意可以知道,因此点P 的轨迹是以点F 为球心、1为半径的球面的.于是所求的体积是.所以C 选项是正确的.6.四棱锥P ABCD -中, AD ⊥面PAB, BC ⊥面PAB ,底面ABCD 为梯形,4AD =,8BC =,6AB =,APD CPB ∠=∠,满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是 （ ）A. 圆的一部分B. 椭圆的一部分C. 球的一部分D. 抛物线的一部分答案 A解:在平面PAB 内,以AB 所在直线为x 轴,AB 的中垂线为y 轴,建立平面直角坐标系. 设点,则根据题意可得,.,,,,,, ,. 即,故有, 整理得:,表示一个圆.因为点P 不能在直线AB 上(否则,不能构成四棱锥),故点P 的轨迹是圆的一部分,所以A 选项是正确的.7.四棱锥P ABCD -底面为正方形,侧面PAD 为等边三角形,且侧面PAD ⊥底面ABCD ,点M 在底面正方形ABCD 内运动,且满足MP MC =,则点M 在正方形ABCD 内的轨迹一定是 ( )A. B.C. D.答案B解: MP MC = ,M ∴在PC 的中垂面α上,点M 在正方形ABCD 内的轨迹一定是平面α和正方形ABCD 的交线,ABCD 为正方形,侧面PAD 为等边三角形,PD CD ∴=,取PC 的中点N ,有DN PC ⊥,取AB 中点H ,可证CH HP =,HN PC ∴⊥,∴点M 在正方形ABCD 内的轨迹一定是HD . 故答案选 B.8.如图,在正方体1111D C B A ABCD -中, M 为BC 的中点,点N 在四边形 11CDD C 及其内部运动 .若 11MN AC ⊥,则N 点的轨迹为 ( )A. 线段B. 圆的一部分C. 椭圆的一部分D. 双曲线的一部分答案A解析本题考查线线垂直和线面垂直 .取棱 1111,B C C D 的中点 ,P Q ,连接,MP PQ ,设平面MPQ 与棱CD 交于点R (R 为棱CD 的中点),如图所示,因为11MP AC ⊥,11PQ AC ⊥,所以11AC ⊥平面MPQ .所以当点N 在线段QR 上运动时,满足MN AC ⊥.故答案为A .9．A AC D ． 答案D解：由题意，此问题的实质是以A 为半径的球在正方体1111D C B A ABCD -各个面上交线的长度计算，正方体的各个面根据与球心位置关系分成两类：ABCD 、11AA DD 、11AA BB 为过球心的截面，截痕为大圆弧， 各弧圆心角为6π、1111A B C D 、11B BCC 、11DD CC 为与球心距离为1的截面，截痕为小圆弧，由于截面圆半径为3r =2π．∴这条曲线长度为3362ππ⋅+⋅= 故选D ．10.若三棱锥 A BCD -侧面ABC 内一动点 P 到底面 BCD 的距离与到棱 AB 的距离相等，则动点 P 的轨迹与 ABC ∆组成图形可能是 （ ）A ．B ．C ．D ．答案 BCD 面， R 为垂足，PQR θ=，且由条件sin PT PR PQ θ==，所以，则问题转化为在ABC ∠内，动点P 到角两P 的轨迹是直线．。
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的侧面AB
1
内有一点P到直线AB的距离与到直线
B C
的距离之比为
1：2，则动
1
1
1
1
1
1
点P所在曲线的形状为（
C）．
A．线段
B．一段椭圆弧
C．双曲线的一部分
D．抛物线的一部分
4．在正方体ABCD-A B C D
中，E为AA
1
的中点，点
P在其对角面BB
1
D D内运动，若EP总与直线AC成等
1
1
1
P到棱BC的距离，故动点P只能在ABC的内角平分线与AB之间的区域内． 只能选D．
S-ABC的面SBC上一点，P到面ABC的距离与到点S的距离相等，则动点P的轨迹所
在的曲线是（B）．
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
解题的要领就是化空间问题为平面问题，把一些重要元素集中在某一个平面内，利用相关的知识去解答，象平面几何知识、解析几何知识等．
6, BC
3
，在线段BD、A1C1上各有一点P、Q，PQ上有一点
M，且PM
2 MQ，则M点轨迹图形的面积是
．
提示
轨迹的图形是一个平行四边形．
13．已知棱长为3的正方体ABCD
A1B1C1D1中，长为
2的线段MN的一个端点在
DD1上运动，另一个端点
N在底面ABCD上运动，求MN中点P的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积．
及其边界
1
1
1
上运动，因此，符合条件的点
P在平面ACB1与平面BCC1B1交线上，故所求的轨迹为线段
B1C．本题的解题基
本思路是：利用升维，化“动”为“静”
，即先找出所有点的轨迹，然后缩小到符合条件的点的轨迹．
7．在正四棱锥S-ABCD中，E是BC的中点，点P在侧面
SCD内及其边界上运动，总有
PE
AC，则动点P
CF成 角，显然不满足PE AC；D于中P点所在的轨迹与
4
锐角，显然也不满足
PE AC．
评析：动点轨迹问题是较为新颖的一种创新命题形式，
它重点体现了在解析几何与立体几何的知识交汇处设
计图形． 不但考查了立体几何点线面之间的位置关系，
而且又能巧妙地考查求轨迹的基本方法，
是表现最为活跃
的一种创新题型．这类立体几何中的相关轨迹问题，如
6．在正方体ABCD
A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，总有
AP BD1，则动点P的轨迹为
__________．
简析
在解题中， 我们要找到运动变化中的不变因素，
通常将动点聚焦到某一个平面．
易证BD1
面
ACB
，所以满足BD
1
AP的所有点P都在一个平面ACB
1
上．而已知条件中的点
P是在侧面BCC B
1
B C
D
中，P在侧面BCC
1
B
1
及其边界上运动，且总保持
AP⊥BD
，则动点P的轨迹
1
1
1
1
是
线段B1C
．
中，E、F分别是棱A B，BC上的动点，且A E=BF，P为EF的中点，则点
(3)正方体ABCD—A B C D
1
1
1
1
1
1
1
P的轨迹是 线段MN (M、N分别为前右两面的中心
)．
1
1
1
1
的棱长为1，在正方体的侧面
A（-3，0）、B
（3，0）．设点
P（x，y），则有| PB |
(A )
A．一条直线B．一个圆
C．一个椭圆
D．双曲线的一支
解： 设l与l是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线
AB垂直
这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点
A与AB垂直所
有直线都在这个平面内，故动点
C都在这个平面与平面α的交线上，故选
A．
1
(3)已知正方体
1
1
角，则点P的轨迹有可能是（
A）．
A．圆或圆的一部分
B．抛物线或其一部分
C．双曲线或其一部分
D．椭圆或其一部分
简析
由条件易知：AC是平面BB D D的法向量，所以EP与直线AC成等角，得到EP与平面BB
D D
1
1
1
1
所成的角都相等，故点
P的轨迹有可能是圆或圆的一部分．
5．已知正方体ABCD
A1B1C1D1的棱长为a，定点M在棱AB上（但不在端点
轨迹问题
S
【例1】 如图，在正四棱锥S－ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD
G
内及其边界上运动，并且总是保持
PE
AC．则动点P的轨迹与△SCD组成的
P
相关图形最有可能的是
(
)
D
F
C
S
S
S
S
M NE
O
P
P
A
B
P
CD
CD
CD
P
C
D
C
D
．
．
．
．
A
B
解析： 如图，分别取
CD、SC的中点F、G，连结EF、EG、FG、BD．设AC与BD的交点为O，连结SO，
P的轨迹是（
）
A．圆
B．不完整的圆
C．抛物线
D．抛物线的一部分
简析：因为
AD面PAB，BC
面PAB，所以AD//BC，且DAP
CBP
90．
又
APD
CPB,AD
4,BC
8，
可得tan
AD
CB
tan
CPB
，即得
PB
CB
2
APD
PB
PA
AD
PA
在平面PAB内，以AB所在直线为x轴，AB中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，则
11．已知正方体ABCD
A1B1C1D1的棱长为
1，在正方体的侧面
BCC1B1
上到点A距离为2 3的点的轨迹形
3
成一条曲线，那么这条曲线的形状是
_________，它的长度为__________．
简析
以B为圆心，半径为
3且圆心角为
的圆弧，长度为
3
．
3
2
6
12．已知长方体ABCD
A1B1C1D1中，AB
简析
由于M、N都是运动的，所以求的轨迹必须化“动”为“静”
，结合动点P的几何性质，连结
DP，因为MN=2，所以PD=1，因此点P的轨迹是一个以
D为球心，1为半径的球面在正方体内的部分，所以点
P的轨迹与正方体的表面所围成的几何体的体积为球的体积的
1，即1
4
13
．
8
8
3
6
14．已知平面
//平面 ，直线l
立体几何中的轨迹问题
在立体几何中， 某些点、 线、面依一定的规则运动， 构成各式各样的轨迹， 探求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化．对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，
然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题．对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性．
就是P到直线B1C1的距离，故由抛物线的定义知：动点的轨迹为抛物线的一段，从而选
D．
2．在正方体ABCD-A B
C D
的侧面AB
1
内有一点P到直线AB的距离与到直线
B C
的距离之比为
2：1，则动
1
1
1
1
1
1
点P所在曲线的形状为（
B）．
A．线段
B．一段椭圆弧
C．双曲线的一部分
D．抛物线的一部分
3．在正方体ABCD-A B
“线线垂直 ”问题，很在程度上是找与定直线垂直的平面，
而平面间的交线往往就是动点轨迹．
【例2】
(1)如图，在正四棱柱
ABCD—A1B1C1
D1
中，E、F、G、H分别是CC1
、C1D1、DD1、DC的中点，
N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则
M满足
时，有MN∥平面B1BDD1．
(2)正方体ABCD—A
A．A直线
B．圆
C．双曲线
D．抛物线
A1
变式：若将“P到直线BC与直线C1D1的距离相等”改为 “P到直线BC与直线C1D1的
距离之比为1：2(或2：1)”，则动点P的轨迹所在的曲线是
椭圆(双曲线)．
(2)(06北京)平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交αA
于点C，则动点C的轨迹是
A，B上），点P是平面ABCD
内的动点，且点
P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为a2，则点P的轨迹所在曲线为（
A）．
A．抛物线
B．双曲线
C．直线
D．圆
简析
在正方体ABCD
A1B1C1D1中，过
P作PF AD，过F作FE
A1D1，垂足分别为
F、E，
连结PE．则PE2=a2+PF2，又PE2-PM2=a2，所以PM2=PF2，从而PM＝PF，故点P到直线AD与到点M的距离相等，故点P的轨迹是以M为焦点，AD为准线的抛物线．
ABCD
【例5】 四棱锥P-ABCD，AD⊥面PAB，BC⊥面
满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是()
A．圆B．不完整的圆C．抛物线
分析：∵AD⊥面PAB，BC⊥平面PAB
∴AD∥BC且AD⊥PA，CB⊥PB∵∠APD =∠CPB