黑龙江省哈三中2014-2015学年度高三第一次测试数学(文)试卷(含答案)
【恒心】黑龙江省哈尔滨市第三中学2013-2014年高三下学期第三次高考模拟考试数学(文科)试题及参考答案
黑龙江省哈尔滨市第三中学2013-2014年高三下学期第三次高考模拟考试数学试卷（文史类）考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 （选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. 已知全集R U =，集合}032{2>--=x x x A ，}42{<<=x x B ，那么集合 =B A C U )(（A ）}41{≤≤-x x （B ）}32{≤<x x （C ）}32{<≤x x （D ）}41{<<-x x 2. 复数1021i i i +++等于（A ）i （B ）i - （C ）i 2 （D ）i 2- 3. 已知3.02.0=a ，3log 2.0=b ，4log 2.0=c ，则（A ）c b a >> （B ）b c a >> （C ）a c b >> （D ） a b c >> 4. 已知直线n m ,和平面α，则n m //的一个必要条件是（A ）α//m ，α//n （B ）α⊥m ，α⊥n （C ）α//m ，α⊂n （D ）n m ,与α成等角 5. 已知x 与y 之间的一组数据：已求得关于y 与x 的线性回归方程为＝2.1＋0.85，则的值为 （A ）1 （B ）85.0 （C ）7.0 （D ）5.06. 在数列{}n a 中，已知1221-=+++n n a a a ，则22221na a a +++ 等于 （A ）()212-n（B ）()3122-n（C ）14-n（D ）314-n7. 执行如图所示的程序框图，若输出15=S 可以填入（A ）4>n （B ）8>n （C ）16>n（D ）16<n8. 已知y x z +=2，其中实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥a x y x x y 2，且z 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是（A ）112 （B ）41（C ）4 （D ）2119. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A , B 两点，且与其中一条渐近线垂直，若4=，则该双曲线的离心率是 （A ）5 （B ）52 （C ）510（D ） 510210. 已知函数)42sin(3)(π-=x x f ，则下列结论正确的是（A ）若0)()(21==x f x f ，则)(21Z k k x x ∈=-π（B ）函数()x f 的图象与)42cos(3)(π+=x x g 的图象相同（C ）函数()x f 的图象关于)0,8(π-对称（D ）函数()x f 在区间]83,81[ππ-上是增函数11. 已知一个正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD 是边长为23的正方形，则该正四面体的内切球的表面积为（A ）π6 （B ）π54 （C ）π12 （D ）π4812. 定义在),1(+∞上的函数)(x f 满足下列两个条件：（1）对任意的),1(+∞∈x 恒有)(2)2(x f x f =成立；（2）当(]2,1∈x 时，x x f -=2)(．记函数=)(x g )1()(--x k x f ，若函数)(x g 恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（A ）[)2,1 （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,34 （C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛2,34 （D ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,342014年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试数学试卷（文史类） 第Ⅱ卷 （非选择题， 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13. 从1,2,3,4,5,6这六个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是 .14. 若等边ABC ∆的边长为2，平面内一点M 满足2131+=，则=⋅ .15. 已知)2,0(,1010)4cos(πθπθ∈=+，则=-)32sin(πθ . 16. 若在由正整数构成的无穷数列}{n a 中，对任意的正整数n ，都有1+≤n n a a ，且对任意的正整数k ，该数列中恰有12-k 个k ，则2014a = .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. （本小题满分12分）设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，满足C b c B c b A a sin )32(sin )32(sin 2-+-=．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若2=a ，32=b ，求ABC ∆的面积．18. （本小题满分12分）某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩(百分制，均为整数)分成)50,40[，)60,50[，)70,60[，)80,70[，)90,80[，]100,90[六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题.（Ⅰ）求分数在[)80,70内的频率，并补全这个频率分布直方图；（Ⅱ）从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数；（Ⅲ）若从第1组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率.19. （本小题满分12分）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，211====BC AB A B B B ，︒=∠901BC B ，D 为AC 的中点，D B AB 1⊥．（Ⅰ）求证：平面⊥11A ABB 平面ABC ； （Ⅱ）求三棱锥D BB C 1-的体积．20. （本小题满分12分）已知椭圆:C 12222=+by a x （0>>b a ）的左，右焦点分别为21,F F ，上顶点为B ．Q 为抛物线xy 122=的焦点，且01=⋅QB B F ，=+1212QF F F 0． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过定点)2,0(P 的直线l 与椭圆C 交于N M ,两点（M 在N P ,之间），设直线l的斜率为k （0>k ），在x 轴上是否存在点)0,(m A ，使得以AN AM ,为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．ABCD1A1B 1CC A21. （本小题满分12分）已知函数1ln )(+-=ax x x f （0>a ）. （Ⅰ）求函数)(x f 的最大值；（Ⅱ）若21=a ，且关于x 的方程b x x f +-=61)(在[]4,1上恰有两个不等的实根， 求实数b 的取值范围；（Ⅲ）设各项为正数的数列{}n a 满足11=a ，2ln 1++=+n n n a a a （*∈N n ）， 求证：12-≤n n a .请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22. （本小题满分10分）选修4－1如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为B ，CGE CFD ADE ,,都是⊙O 的割线，AB AC =（Ⅰ）证明：2AC AE AD =⋅； （Ⅱ）证明：AC FG //．23. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-= 21 233t y t x （t 为参数）. （Ⅰ）过极点作直线l 的垂线，垂足为点P ，求点P 的极坐标； （Ⅱ）若点N M ,分别为曲线C 和直线l 上的动点，求MN 的最小值.24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数m x x g x x f ++-=-=3)(,2)(.（Ⅰ）若关于x 的不等式0)(≥x g 的解集为}15{-≤≤-x x ，求实数m 的值； （Ⅱ）若)()(x g x f >对于任意的R x ∈恒成立，求实数m 的取值范围.2014年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试数学答案（文史类）选择题:1B 2A 3A 4D 5D 6D 7B 8B 9D 10D 11A 12D 填空题:13．52 14. 98- 15.10334- 16.45 解答题:17. 解：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得c b c b c b a )32()32(22-+-=，整理得bc a c b 3222=-+， ………………………… 2分 所以23cos =A ． ………………………… 4分 又),0(π∈A ，故6π=A ． ………………………… 5分（Ⅱ）由正弦定理可知B b A a sin sin =，又2=a ，32=b ，6π=A ， 所以23sin =B ． ………………………… 6分 又)65,0(π∈B ，故3π=B 或32π． ………………………… 8分若3π=B ，则2π=C ，于是3221==∆ab S ABC ； ………………………… 10分若32π=B ，则6π=C ，于是3sin 21==∆C ab S ABC ． ………………………… 12分18.解：（Ⅰ）3.0………………………………2分 （Ⅱ）3220………………………………6分 （Ⅲ）第1组：61.060=⨯人（设为1，2，3，4，5，6） 第6组：31.060=⨯人（设为A ，B ，C ）共有36个基本事件，满足条件的有18个，所以概率为21…………12分 19.解：（Ⅰ）取AB 中点为O ，连接OD ，1OB ．因为A B B B 11=，所以AB OB ⊥1． 又D B AB 1⊥，111B D B OB = ，所以⊥AB 平面OD B 1，因为⊂OD 平面OD B 1，所以OD AB ⊥．…3分 由已知，1BB BC ⊥，又BC OD //，1A1B 1C所以1BB OD ⊥，因为B BB AB =1 ， 所以⊥OD 平面11A ABB ．又⊂OD 平面ABC ，所以平面⊥ABC 平面11A ABB ． ………………6分 （Ⅱ）三棱锥D BB C 1-的体积=三棱锥BCD B -1的体积由（Ⅰ）知，平面⊥ABC 平面11A ABB ,平面 ABC 平面AB A ABB =11,AB OB ⊥1, ⊂1OB 平面11A ABB所以ABC OB 平面⊥1,即BCD OB 平面⊥1,O B 1即点1B 到BCD 平面的距离, 31=O B …………………………9分121==∆∆ABC BCD S S ………………………… 11分 所以33313111=⨯⨯==--BCD B D BB C V V ………………………… 12分 20. 解：（Ⅰ）由已知)0,3(Q ，QB B F ⊥1，c c QF +==34||1，所以1=c ． ……… 1分 在BQ F Rt 1∆中，2F 为线段Q F 1的中点， 故=||2BF 22=c ，所以2=a ．……… 2分于是椭圆C 的标准方程为13422=+y x ．…4分 （Ⅱ）设2:+=kx y l （0>k ），),(),,(2211y x N y x M ，取MN 的中点为,(00y x E 假设存在点)0,(m A 使得以AN AM ,0416)34(13422222=+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=kx x k y x kx y ， 4102>⇒>∆k ，又0>k ，所以21>k ． ………………………… 6分因为3416221+-=+k k x x ，所以34820+-=k k x ，3462200+=+=k kx y ． ……… 8分因为MN AE ⊥，所以k k AE 1-=，即k m k k k 1348034622-=-+--+，整理得kk k km 3423422+-=+-=． ………………………… 10分因为21>k 时，3434≥+k k ，]123,0(341∈+kk ，所以)0,63[-∈m ． ……… 12分 21.解：（Ⅰ）函数的定义域为()+∞,0， )0(1)(>--='x xax x f ， 单调递增，)(,0)(,1,0x f x f a >'⎪⎭⎫ ⎝⎛单调递减，)(,0)(,1x f x f a <'⎪⎭⎫⎝⎛∞+ 当a x 1=时，)(x f 取最大值aaf ln )1(-= ……………………………………4分 （Ⅱ）21=a ，由b x x f +-=61)(得b xx =+-13ln 在[]4,1上有两个不同的实根，设[]4,1,13ln )(∈+-=x xx x gxxx g 33)(-='，[)3,1∈x 时，0)(>'x g ，(]4,3∈x 时，0)(<'x g3ln )3()(max ==g x g ，312ln 2)4(,32)1(-==g g 02ln 21312ln 232)4()1(<-=+-=-g g ，得)4()1(g g <则⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈3ln ,312ln 2b ……………………………………8分 （Ⅲ）由（1）知当1=a 时，1ln -<x x 。
2014-2015学年黑龙江省哈尔滨三中高一(上)期末数学试卷含参考答案
个单位后，再将得到的图象上各点的
横坐标伸长到原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数 y=g（x）的图象，求 g（x） 的单调递减区间． 21． （12.00 分）函数 f（x）=2sinxcosx+m（sinx+cosx）﹣2， （1）当 m=1 时，求 f（x）的值域； （2）若对于任意的 x∈R，f（x）＜0 恒成立，求 m 的取值范围． 22． （12.00 分）已知 f（x）=logax，其反函数为 g（x） ． （1）解关于 x 的方程 f（x﹣1）=f（a﹣x）﹣f（5﹣x） ； （2）设 F（x）=（2m﹣1）g（x）+（ ﹣ ）g（﹣x） ，若 F（x）有最小值，试 求其表达式 h（m） ； （3）求 h（m）的最大值．
A．[2，+∞） B．[2，4） C． （2，4） D．[2，4] 8． （5.00 分） 为了得到函数 y=cos （2x﹣ A．向左平移 B．向左平移 ） 的图象， 可以将 y=sin2x 的图象 （ D．向右平移 ）
C．向右平移
9． （5.00 分）函数 f（x）=log2x﹣ +a 的一个零点在（1，4）内，则实数 a 的取 值范围为（ ）
A． （﹣ ，2） B． （4，6） C． （2，4） D． （﹣3，﹣ ） 10． （5.00 分）已知函数 f（x）=sinx+sin（x+ 为（ ） ） ，x∈[0，π]，则 f（x）的值域
A．[﹣
，
]
B．[﹣
，
]
C．[
，
] D．[﹣2，2]
11． （5.00 分）方程 的取值范围为（ ）
sin2x+cos2x=2k﹣1，x∈[0，π]有两个不 ] ∪（ ，+∞）
2014-2015学年黑龙江省哈三中高二上学期期中数学试卷与解析(文科)
2014-2015学年黑龙江省哈三中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知曲线C的方程为x2﹣xy+y2﹣2=0，则下列各点中，在曲线C上的点是（）A．（0，）B．（1，﹣2）C．（2，﹣3）D．（3，8）2．（5分）已知A为圆A：（x﹣1）2+y2=25的圆心，平面上点P满足PA=，那么点P与圆A的位置关系是（）A．点P在圆A上B．点P在圆A内C．点P在圆A外D．无法确定3．（5分）双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离为（）A．2 B．C．3 D．24．（5分）抛物线y=2x2的准线方程为（）A．B．C．D．5．（5分）△ABC的周长是8，B（﹣1，0），C（1，0），则顶点A的轨迹方程是（）A．B．C．D．6．（5分）已知实数x、y满足x2+y2+2x=0，则x+y的最小值为（）A．B．C．D．7．（5分）设定点F1（0，﹣2）、F2（0，2），动点P满足条件|PF1|+|PF2|=m+（m ＞0），则点P的轨迹是（）A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段8．（5分）已知点P（8，8）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，直线l与抛物线C 相切于点P，则直线l的斜率为（）A．B．C．D．9．（5分）若过点A（4，0）的直线l与曲线（x﹣2）2+y2=1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A．B．C．D．10．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=3，则|QF|=（）A．1 B．C．D．211．（5分）从双曲线=1的左焦点F引圆x2+y2=3的切线FP交双曲线右支于点P，T为切点，M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|﹣|MT|等于（）A．B．C．D．12．（5分）已知椭圆=1上一点A（2，1）和该椭圆上两动点B、C，直线AB、AC的斜率分别为k1、k2，且k1+k2=0，则直线BC的斜率k（）A．k＞或k＜﹣B．k=﹣C．k= D．k的值不确定二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知AB为过双曲线C的一个焦点F且垂直于实轴的弦，且|AB|为双曲线C的实轴长的2倍，则双曲线C的离心率为．14．（5分）顶点在原点，经过圆C：x2+y2﹣2x+2y=0的圆心且准线与x轴垂直的抛物线方程为．15．（5分）已知方程4x2+ky2=1的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为．16．（5分）已知圆C1：（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1与圆C2：x2+y2=1，在下列说法中：①对于任意的θ，圆C1与圆C2始终相切；②对于任意的θ，圆C1与圆C2始终有四条公切线；③直线l：2（m+3）x+3（m+2）y﹣（2m+5）=0（m∈R）与圆C2一定相交于两个不同的点；④P，Q分别为圆C1与圆C2上的动点，则|PQ|的最大值为4．其中正确命题的序号为．三、简答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知直线y=kx+2与椭圆2x2+3y2=6有两个公共点，求k的取值范围．18．（12分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为：y=±x，右顶点为（1，0）．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）已知直线y=x+m与双曲线C交于不同的两点A、B，且线段AB的中点为M（x0，y0）．当x0≠0时，求的值．19．（12分）在直角坐标系xoy中，曲线y=x2﹣6x+5与坐标轴的交点都在圆C上．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）求过点（2，4）的直线被该圆截得的弦长最小时的直线方程以及最小弦长．20．（12分）已知F1、F2为椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右焦点，椭圆C 的离心率为，过左焦点F1的直线与C相交于A、B两点，△ABF2面积的最大值为3，求椭圆C的方程．21．（12分）已知点F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点F的直线l与C交于A、B 两点．（1）设直线l的斜率为1，求向量与夹角余弦值的大小；（2）设向量=λ，若∈[4，9]，求直线l在y轴上截距的变化范围．22．（12分）已知椭圆E1：=1的焦点F1、F2在x轴上，且椭圆E1经过P（m，﹣2）（m＞0），过点P的直线l与E1交于点Q，与抛物线E2：y2=4x交于A、B两点，当直线l过F2时△PF1Q的周长为20．（Ⅰ）求m的值和E1的方程；（Ⅱ）以线段AB为直径的圆是否经过E2上一定点，若经过一定点求出定点坐标，否则说明理由．2014-2015学年黑龙江省哈三中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知曲线C的方程为x2﹣xy+y2﹣2=0，则下列各点中，在曲线C上的点是（）A．（0，）B．（1，﹣2）C．（2，﹣3）D．（3，8）【解答】解：把A、B、C、D坐标分别代入曲线方程x2﹣xy+y2﹣2=0，只有（0，）满足方程，所以（0，）在曲线上．故选：A．2．（5分）已知A为圆A：（x﹣1）2+y2=25的圆心，平面上点P满足PA=，那么点P与圆A的位置关系是（）A．点P在圆A上B．点P在圆A内C．点P在圆A外D．无法确定【解答】解：A为圆A：（x﹣1）2+y2=25的圆心，圆的半径为5，平面上点P满足PA=，∵，∴点P与圆A的位置关系是：点P在圆A内．故选：B．3．（5分）双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离为（）A．2 B．C．3 D．2【解答】解：由题得：其焦点坐标为（±4，0）．渐近线方程为y=±x所以焦点到其渐近线的距离d==2．故选：D．4．（5分）抛物线y=2x2的准线方程为（）A．B．C．D．【解答】解：抛物线的方程可变为x2=y故p=，其准线方程为y=﹣，故选：D．5．（5分）△ABC的周长是8，B（﹣1，0），C（1，0），则顶点A的轨迹方程是（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ABC的两顶点B（﹣1，0），C（1，0），周长为8，∴BC=2，AB+AC=6，∵6＞2，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，且2a=6，c=1，b=2，所以椭圆的标准方程是．故选：A．6．（5分）已知实数x、y满足x2+y2+2x=0，则x+y的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：把x2+y2+2x=0配方得：（x+1）2+y2=1，显然，这是一个圆的方程，设x+1=cosα，y=sinα，则x+y=cosα﹣1+sinα=（cosα+sinα）﹣1=sin（）﹣1，由sin（）∈[﹣1，1]，所以x+y的最小值为：﹣﹣1．故选：B．7．（5分）设定点F1（0，﹣2）、F2（0，2），动点P满足条件|PF1|+|PF2|=m+（m ＞0），则点P的轨迹是（）A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段【解答】解：∵m＞0，m+≥2=4．故当m+=4时，满足条件|PF1|+|PF2|=m+=|F1 F2|的点P的轨迹是线段F1F2 ．当m+＞4时，满足条件|PF1|+|PF2|=m+（m＞0）的点P的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆．故选：D．8．（5分）已知点P（8，8）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，直线l与抛物线C 相切于点P，则直线l的斜率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵点P（8，8）在抛物线C：y2=2px，∴64=2p×8，解得：2p=8，故抛物线C的标准方程为：y2=8x，即x=y2，则x′=y，当y=8时，x′=2，故过点P（8，8）与抛物线C相切的直线方程为：2（y﹣8）=x﹣8，即y=x+4，即直线l的斜率为，故选：C．9．（5分）若过点A（4，0）的直线l与曲线（x﹣2）2+y2=1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：设直线方程为y=k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k=0，直线l与曲线（x﹣2）2+y2=1有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径，得4k2≤k2+1，k2≤，故选：C．10．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=3，则|QF|=（）A．1 B．C．D．2【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，∵=3，∴|PQ|=2d，∴直线PF的斜率为±，∵F（1，0），∴直线PF的方程为y=±（x﹣1），与y2=4x联立可得x=，∴||=d=1+=．故选：B．11．（5分）从双曲线=1的左焦点F引圆x2+y2=3的切线FP交双曲线右支于点P，T为切点，M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|﹣|MT|等于（）A．B．C．D．【解答】解：设双曲线的右焦点为F'，连结OT∵O为FF'中点，M为PF中点，∴MO为△PFF'的中位线，可得|MO|=|PF'|，|FM|=|PF|又∵|MT|=|FM|﹣|FT|=|PF|﹣|FT|，∴|MO|﹣|MT|=（|PF'|﹣|PF|）+|FT|=|FT|﹣a，∵a=，|FT|==，∴|MO|﹣|MT|=﹣．故选：C．12．（5分）已知椭圆=1上一点A（2，1）和该椭圆上两动点B、C，直线AB、AC的斜率分别为k1、k2，且k1+k2=0，则直线BC的斜率k（）A．k＞或k＜﹣B．k=﹣C．k= D．k的值不确定【解答】解：∵点A（2，1）在椭圆=1上，直线AB、AC的斜率分别为k1、k2，且k1+k2=0，∴设直线AB的方程为：y﹣1=k1（x﹣2），直线AC的方程为：y﹣1=k2（x﹣2）=﹣k1（x﹣2），即直线AB的方程为：y=k1（x﹣2）+1，直线AC的方程为：y=﹣k1（x﹣2）+1，将y=k1（x﹣2）+1，代入=1得：（）x2﹣x+=0，由A的横坐标为2，结合韦达定理可得B点的横坐标为：﹣2=，则B点的纵坐标为，即B点坐标为：（，），同理可得：C点的坐标为：（，）故BC的斜率k==，故选：C．二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知AB为过双曲线C的一个焦点F且垂直于实轴的弦，且|AB|为双曲线C的实轴长的2倍，则双曲线C的离心率为．【解答】解：设双曲线C：，焦点F（c，0），由题设得A点坐标为（c，a），代入双曲线的方程得到：所以，a=bc=a，∴e==．故答案为：．14．（5分）顶点在原点，经过圆C：x2+y2﹣2x+2y=0的圆心且准线与x轴垂直的抛物线方程为y2=2x．．【解答】解：因为圆C：x2+y2﹣2x+2y=0的圆心是（1，﹣）抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，且经过点（1，﹣），设标准方程为y2=2px，因为点（1，﹣）在抛物线上，所以（﹣）2=2p，所以p=1，所以所求抛物线方程为：y2=2x．故答案为：y2=2x．15．（5分）已知方程4x2+ky2=1的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为0＜k＜4．【解答】解：椭圆方程4x2+ky2=1化为，由于椭圆的焦点在y轴上，则＞，即0＜k＜4，故答案为：0＜k＜4．16．（5分）已知圆C1：（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1与圆C2：x2+y2=1，在下列说法中：①对于任意的θ，圆C1与圆C2始终相切；②对于任意的θ，圆C1与圆C2始终有四条公切线；③直线l：2（m+3）x+3（m+2）y﹣（2m+5）=0（m∈R）与圆C2一定相交于两个不同的点；④P，Q分别为圆C1与圆C2上的动点，则|PQ|的最大值为4．其中正确命题的序号为①③④．【解答】解：对于①结论是正确的，由圆C1：（x﹣2cosθ）2+（y﹣2sinθ）2=1与圆C2：x2+y2=1可知两圆圆心分别为C1（2cosθ，2sinθ）与C2（0，0），半径分布为r1=1，r2=1∴圆心距|C1 C2|==2，|C 1C2|=r1+r2，故对于任意的θ，圆C1与圆C2始终相切；对于②结论是不正确的，由①可知两圆向外切，只有3条公切线．对于③结论是正确的，由直线l：2（m+3）x+3（m+2）y﹣（2m+5）=0可化为：m（2x+3y﹣2）+6x+2y﹣5=0解方程组，得交点M（，），|MO|==＜1，故点M在圆C2内，所以直线l与圆C2一定相交于两个不同的点．对于④结论是正确的，如下图所示，当P，Q两点与公切点共线时距离最大为|PQ|=（r1+r2）=4综上，正确的结论是①③④．故答案为：①③④三、简答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知直线y=kx+2与椭圆2x2+3y2=6有两个公共点，求k的取值范围．【解答】解：联立，消去y，得（3k2+2）x2+12kx+6=0，∵直线y=kx+2和椭圆2x2+3y2=6有两个公共点，∴△=（12k）2﹣24（3k2+2）＞0，解得k＜﹣或k＞，故k的取值范围是：（﹣）∪（，+∞）．18．（12分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为：y=±x，右顶点为（1，0）．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）已知直线y=x+m与双曲线C交于不同的两点A、B，且线段AB的中点为M（x0，y0）．当x0≠0时，求的值．【解答】解：（Ⅰ）双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为：y=±x，则由题意得，=，a=1，解得b=，则双曲线的方程为：x2﹣=1；（Ⅱ）联立直线方程和双曲线方程，得到，，消去y，得2x2﹣2mx﹣m2﹣3=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则判别式△=4m2+8（m2+3）＞0，x1+x2=m，中点M的x0=，y0=x0+m=m，则有=3．19．（12分）在直角坐标系xoy中，曲线y=x2﹣6x+5与坐标轴的交点都在圆C上．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）求过点（2，4）的直线被该圆截得的弦长最小时的直线方程以及最小弦长．【解答】解：（1）曲线y=x2﹣6x+5与坐标轴x轴的交点令x2﹣6x+5=0解得：A（1，0），B（5，0）与y轴的交点C（0，5）设圆的一般式为：x2+y2+Dx+Ey+F=0把A（1，0），B（5，0），C（0，5）代入圆的方程：解得圆的方程为：x2+y2﹣6x﹣6y+5=0（2）根据（1）的结论x2+y2﹣6x﹣6y+5=0转化为标准式：（x﹣3）2+（y﹣3）2=13点（2，4）与圆心（3，3）的距离为所以最短弦的直线的斜率k与点（2，4）与圆心（3，3）所构成的直线斜率乘积为﹣1．所以k=1进一步求出直线方程为：x﹣y+2=0．所以圆心（3，3）到直线的距离为：d==设半弦长为l则：l2+d2=r2解得：则弦长为2l=220．（12分）已知F1、F2为椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右焦点，椭圆C 的离心率为，过左焦点F1的直线与C相交于A、B两点，△ABF2面积的最大值为3，求椭圆C的方程．【解答】解：当AB与椭圆的长轴垂直时，△ABF2面积取最大值，此时|AB|=，AB边上的高为2c，∵此时△ABF2面积为3，故××2c=3，又∵椭圆C的离心率e==，又由a2=b2+c2，解得：a2=6，b2=3，故椭圆C的方程为：．21．（12分）已知点F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点F的直线l与C交于A、B 两点．（1）设直线l的斜率为1，求向量与夹角余弦值的大小；（2）设向量=λ，若∈[4，9]，求直线l在y轴上截距的变化范围．【解答】解：（1）C的焦点为F（1，0），直线l的斜率为1，∴l的方程为y=x﹣1．将y=x﹣1代入方程y2=4x，整理得x2﹣6x+1=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x2=6，x1x2=1，y1+y2=4，y1y2=﹣4．∴cos＜，＞===﹣．∴与夹角的余弦值为﹣．（2）由题设得（x2﹣1，y2）=λ（1﹣x1，﹣y1），即x2﹣1=λ（1﹣x1）①，y2=﹣λy1②由②得y22=λ2y12，∵y12=4x1，y22=4x2，∴x2=λ2x1③联立①③解得x2=λ．依题意有λ＞0．∴B（λ，2）或B（λ，﹣2），又F（1，0），得直线l的方程为（λ﹣1）y=2（x﹣1）或（λ﹣1）y=﹣2（x﹣1）当λ∈[4，9]时，l在y轴上的截距为或﹣，设g（λ）=，λ∈[4，9]，可知g（λ）=在[4，9]上是递减的，∴≤≤，或﹣≤﹣≤﹣，即直线l在y轴上截距的变化范围为≤≤，或﹣≤﹣≤﹣．22．（12分）已知椭圆E1：=1的焦点F1、F2在x轴上，且椭圆E1经过P（m，﹣2）（m＞0），过点P的直线l与E1交于点Q，与抛物线E2：y2=4x交于A、B两点，当直线l过F2时△PF1Q的周长为20．（Ⅰ）求m的值和E1的方程；（Ⅱ）以线段AB为直径的圆是否经过E 2上一定点，若经过一定点求出定点坐标，否则说明理由．【解答】解：（Ⅰ）△PF1Q的周长4a=20，∴a=5，a2=75，故椭圆E1的方程为：=1，将P（m，﹣2）代入=1得：m2=25，∵m＞0，∴m=5，（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2），过P（5，﹣1）点的直线为：x﹣5=m（y+2），即x=m（y+2）+5，代入y2=4x得：y2﹣4my﹣8m﹣20=0而以线段AB为直径的圆的方程为x2+y2﹣（x1+x2）x+x1x2﹣（y1+y2）y+y1y2=0，x2+y2﹣[（y1+y2）2﹣2y1y2]x+﹣（y1+y2）y+y1y2=0，整理得x2+y2﹣4my﹣（4m2+4m+10）x+4m2+12m+5=0，整理成关于m的方程4m2（1﹣x）+4m（3﹣x﹣y）+x2+y2﹣10x+5=0由于以上关于m的方程有无数解，故1﹣x=0且3﹣x﹣y=0且x2+y2﹣10x+5=0，由以上方程构成的方程组有唯一解x=1，y=2．由此可知，以线段AB为直径的圆必经过定点（1，2）。
2015学年度高三数学试题
哈三中2013－2014学年度高三学年第一次验收考试数学试卷（理）考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷一、选择题（本题共有12小题，每小题5分， 共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．设集合}1{},03{2-<=<+=x x B x x x A ，则集合=B A I)(A }0{>x x )(B }13{-<<-x x )(C }03{<<-x x )(D }1{-<x x2．函数xy 2=的值域为)(A [)+∞,0 )(B [)+∞,1 )(C ()+∞,1 )(D (]1,03．函数)2ln(x x y -=的定义域为)(A )2,0( )(B )2,0[ )(C ]2,0( )(D ]2,0[4．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0>x 时，xx x f 1)(2+=，则)1(-f 等于 )(A 2- )(B 0 )(C 1 )(D 25．四个函数3x y =，x y =，xx y 1+=，xe y =中，是奇函数且在),0(+∞上单调递增的函数的个数是)(A 4 )(B 3 )(C 2 )(D 16．已知命题02,:2≤++∈∃a ax x R x p ，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是)(A [)+∞,1 )(B []1,0 )(C ()1,0 )(D (]1,07．设33=a ，2)31(-=b ，2log 3=c ，则)(A c b a >> )(B a c b >> )(C b a c >> )(D b c a >>8．已知0lg lg =+b a （10≠>a a 且,10≠>b b 且），则函数x a x f =)(与x x g b log )(-= 的图象可能是)(A )(B )(C )(D9．某公司租地建设仓库，已知仓库每月租地费1y 与仓库到车站的距离成反比，而每月车运货物的运费2y 与仓库到车站的距离成正比，据测算，如果在距车站10km 处建仓库，这两项费用1y ，2y 分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应该建在离车站)(A 5km 处 )(B 4km 处 )(C 3km 处 )(D 2km 处10．已知221ln )(x x a x f +=，若对任意两个不等的正实数21,x x 都有 0)()(2121>--x x x f x f 成立，则实数a 的取值范围是)(A [)+∞,0 )(B ()+∞,0 )(C ()1,0 )(D (]1,011．已知函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的对称中心为00(,)M x y ，记函数)(x f 的导函数为)(x f '，)(x f '的导函数为)(x f ''，则有0)(0=''x f ．若函数233)(x x x f -=，则可求得=+++)20134025()20134024()20132()20131(f f f f Λ )(A 4025)(B 4025- )(C 8050 )(D 8050-12．已知函数)(x f 的定义域为]5,1[-，部分对应值如下表， )(x f 的导函数)(x f y '=的图象如图所示，给出关于)(x f 的下列命题:① 函数)(x f y =在2=x 时，取极小值； ② 函数)(x f 在]1,0[是减函数，在]2,1[是增函数； ③ 当12a <<时，函数a x f y -=)(有4个零点；④ 如果当],1[t x -∈时， )(x f 的最大值是2，那么t 的最小值为0， 其中所有正确命题的个数是)(A 1 )(B 2 )(C 3 )(D 4第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题， 每小题5分）13．若复数z 满足i i z -=+1)1(（i 是虚数单位），则复数=z________．14．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧-=-2112)(xx f x 00>≤x x ，若1)(≥m f ，则实数m 的取值范围是 ．15．已知偶函数)(x f 在R 上可导,且'(1)1f =,(2)(2),f x f x +=-则曲线)(x f y =在5-=x 处的切线的斜率为 ．16．已知对于],1,0[∈∀x 不等式0)1(4)1(4222>-+-+-x x x x a a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知集合{}2680A x x x =-+≤，{}22B x a x a =≤≤+，若B A ⊆，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分12分）设32)(+-=x x x f ．（Ⅰ）求不等式7)(≤x f 的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式032)(≤-+t x f 有解，求实数t 的取值范围．某兴趣小组研究某城市雾霾等极端天气发生次数与患呼吸道疾病人数多少之间的关系，他们分别到气象局和某医院抄录了1至6月份的雾霾等极端天气发生次数情况与患呼吸道疾病而就诊的人数，得到如下数据：该兴趣小组确定的研究方案是：先从6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验线性回归方程是否理想.（Ⅰ）若选出的是1月份和6月份两组数据进行检验，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+; （Ⅱ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到是线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？并写出具体判断过程.参考公式：1122211()()ˆ()n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y bxnxx x ====---==--∑∑∑∑ˆˆay bx =-20．（本小题满分12分）已知函数)10(,)2111()(≠>+-=a a x a x f x且． （Ⅰ）求函数)(x f 的定义域; （Ⅱ）讨论函数)(x f 的奇偶性;（Ⅲ）求实数a 的取值范围，使)(x f 0>在定义域上恒成立．已知函数)(x f y =是定义在R 上的偶函数，其图象均在x 轴上方，对任意的[)+∞∈,0,n m ，都有[]nm f n m f )()(=⋅，且4)2(=f ，又当0≥x 时，其导函数0)(>'x f 恒成立．（Ⅰ）求)1(),0(-f f 的值;（Ⅱ）解关于x 的不等式：2)422(22≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡++x kx f ，其中)1,1(-∈k ．22．（本小题满分12分）已知函数()()ln 1x mf x ex -=-+，其中m R ∈.（Ⅰ）若0x =是函数()f x 的极值点，求m 的值并讨论函数()f x 的单调性； （Ⅱ）当1m ≤-时，证明：()0f x >.哈三中2014－2015学年度高三学年第一次验收考试数学试卷（理）答案一 选择题1.B2.B3.B4.A5.D6.C7.A8.B9.A10.A11.D12.C 二 填空题13.i - 14.),1[]1,(+∞--∞Y 15.-1 16.)2,(--∞ 三 解答题17.解：{}24A x x =≤≤; （1）B =Φ时，2a > （2）B ≠Φ时，12a ≤≤ 综上，1a ≥18.解：（Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧-≤+-<<---≥-=)3(3)03(33)0(3)(x x x x x x x f 所以7)(≤x f 的解集为]10,4[-．（Ⅱ）若关于x 的不等式032)(≤-+t x f 有解,则只需32)(min --≤t x f ， 所以32)0(--≤t f ，所以323--≤-t ,实数t 的取值范围]3,0[．19.解：（Ⅰ）1830ˆ77yx =- （Ⅱ）该小组得到的线性回归方程是理想的. 20.解：（Ⅰ）),0()0,(+∞-∞Y ；（Ⅱ）偶函数 ； （Ⅲ）),1(+∞.21.解：（Ⅰ）2)1(,1)0(=-=f f ；（Ⅱ）01<<-k 时，]0,14[2k k-； 10<<k 时，]14,0[2kk-； 0=k 时，{0}．22.解：（Ⅰ）由已知()00f '=知：0m =当0m =时，()()ln 1xf x e x =-+，()11x f x e x '=-+为()1,-+∞上的增函数，又由于()00f '=， 故()1,0x ∈-时，()0f x '<，()f x 递减；()0,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 递增； （Ⅱ）当1m ≤-时，对于()1,x ∈-+∞， 首先：x R ∈时，1xe x ≥+恒成立；其次：()1,x ∈-+∞时，()ln 1x x ≥+恒成立； ()11ln 1x mx x ee e x x x -+≥>≥+>≥+所以，()0f x >成立.。
东北三省三校高三第一次联合模拟考试数学文word版含答案
2014年哈师大附中第一次高考模拟考试文 科 数 学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合2{|20}A x x x =-≤，{|40}B x x =-≤≤，则R A C B = A ．RB ．{|0}x R x ∈≠C ．{|02}x x <≤D ．∅ 2．若复数z 满足iz = 2 + 4i ，则复数z =A ．2 + 4iB ．2 - 4iC ．4 - 2iD ．4 + 2i3．命题“2,320x R x x ∀∈-+≥”的否定是A ．2,320x R x x ∃∈-+<B ．2,320x R x x ∃∈-+>C ．2,320x R x x ∃∈-+≤D ．2,320x R x x ∃∈-+≥ 4．等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 2 + a 4 + a 6 = 12，则S 7的值是 A ．21 B ．24 C ．28 D ．75．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①()sin f x x =，②()cos f x x =，③1()f x x=，④2()f x x =， 则输出的函数是 A ．()sin f x x = B ．()cos f x x = C ．1()f x x=D ．2()f x x =6．变量x ，y 满足约束条件1,2,0,y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪-≥⎩则x + 3y 最大值是A ．2B ．3C ．4D ．5 7．直线m ，n 均不在平面α，β内，给出下列命题：① 若m ∥n ，n ∥α，则m ∥α； ② 若m ∥β，α∥β，则m ∥α； ③ 若m ⊥n ，n ⊥α，则m ∥α； ④ 若m ⊥β，α⊥β，则m ∥α。
哈尔滨第三中学届高三高考模拟考试数学试题及答案 (文)
黑龙江省哈尔滨市第三中学2013-2014年高三下学期第三次高考模拟考试数学试卷（文史类）第I 卷 （选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. 已知全集R U =，集合}032{2>--=x x x A ，}42{<<=x x B ，那么集合=B A C U )(（ ）（A ）}41{≤≤-x x （B ）}32{≤<x x （C ）}32{<≤x x （D ）}41{<<-x x 2. 复数1021i i i +++等于（ ）（A ）i （B ）i - （C ）i 2 （D ）i 2- 3. 已知3.02.0=a ，3log 2.0=b ，4log 2.0=c ，则（ ）（A ）c b a >> （B ）b c a >> （C ）a c b >> （D ） a b c >> 4. 已知直线n m ,和平面α，则n m //的一个必要条件是（ ）（A ）α//m ，α//n （B ）α⊥m ，α⊥n （C ）α//m ，α⊂n （D ）n m ,与α成等角 5. 已知x 与y 之间的一组数据：已求得关于y 与x ） （A ）1 （B ）85.0 （C ）7.0 （D ）5.06. 在数列{}n a 中，已知1221-=+++n n a a a ，则22221na a a +++ 等于（ ） ()212-n（B ）()3122-n（C ）14-n（D ）314-n7. 执行如图所示的程序框图，若输出15=S ，则框图中①处可以填入（ ）（A ）4>n （B ）8>n （C ）16>n （D ）16<n8. 已知y x z +=2，其中实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥a x y x x y 2，且z 的最大值是最小值的4倍，则a的值是（ ） （A ）112 （B ）41（C ）4 （D ）2119. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A , B 两点，且与其中一条渐近线垂直，若4=，则该双曲线的离心率是（ ）（A ）5 （B ）52 （C ）510（D ） 510210. 已知函数)42sin(3)(π-=x x f ，则下列结论正确的是（ ）（A ）若0)()(21==x f x f ，则)(21Z k k x x ∈=-π（B ）函数()x f 的图象与)42cos(3)(π+=x x g 的图象相同（C ）函数()x f 的图象关于)0,8(π-对称（D ）函数()x f 在区间]83,81[ππ-上是增函数11. 已知一个正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD 是边长为23的正方形，则该正四面体的内切球的表面积为 （ ）（A ）π6 （B ）π54 （C ）π12 （D ）π4812. 定义在),1(+∞上的函数)(x f 满足下列两个条件：（1）对任意的),1(+∞∈x 恒有)(2)2(x f x f =成立；（2）当(]2,1∈x 时，x x f -=2)(．记函数=)(x g )1()(--x k x f ，若函数)(x g 恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ）（A ）[)2,1 （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,34 （C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛2,34 （D ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,34第Ⅱ卷 （非选择题， 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．） 13. 从1,2,3,4,5,6这六个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是 .14. 若等边A B C ∆的边长为2，平面内一点M 满足2131+=，则=⋅MB MA .15. 已知)2,0(,1010)4cos(πθπθ∈=+，则=-)32sin(πθ . 16. 若在由正整数构成的无穷数列}{n a 中，对任意的正整数n ，都有1+≤n n a a ，且对任意的正整数k ，该数列中恰有12-k 个k ，则2014a = .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. （本小题满分12分）设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，满足C b c B c b A a sin )32(sin )32(sin 2-+-=．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若2=a ，32=b ，求ABC ∆的面积．18. （本小题满分12分）某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩(百分制，均为整数)分成)50,40[，)60,50[，)70,60[，)80,70[，)90,80[，]100,90[六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题.（Ⅰ）求分数在[)80,70内的频率，并补全这个频率分布直方图；（Ⅱ）从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数；（Ⅲ）若从第1组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率.19. （本小题满分12分）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，211====BC AB A B B B ，︒=∠901BC B ，D 为AC 的中点，D B AB 1⊥．（Ⅰ）求证：平面⊥11A ABB 平面ABC ； （Ⅱ）求三棱锥D BB C 1-的体积．20. （本小题满分12分）已知椭圆:C 12222=+by a x （0>>b a ）的左，右焦点分别为21,F F ，上顶点为B ．Q 为抛物线x y 122=的焦点，且01=⋅QB B F ，=+1212QF F F 0． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；ABD1A1B 1CA（Ⅱ）过定点)2,0(P 的直线l 与椭圆C 交于N M ,两点（M 在N P ,之间），设直线l 的斜率为k （0>k ），在x 轴上是否存在点)0,(m A ，使得以AN AM ,为邻边的平、行四边形为菱形？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．21. （本小题满分12分）已知函数1ln )(+-=ax x x f （0>a ）. （Ⅰ）求函数)(x f 的最大值；（Ⅱ）若21=a ，且关于x 的方程b x x f +-=61)(在[]4,1上恰有两个不等的实根，求实数b 的取值范围；（Ⅲ）设各项为正数的数列{}n a 满足11=a ，2ln 1++=+n n n a a a （*∈N n ）， 求证：12-≤n n a .请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22. （本小题满分10分）选修4－1如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为B ， CGE CFD ADE ,,都是⊙O 的割线，AC =（Ⅰ）证明：2AC AE AD =⋅； （Ⅱ）证明：AC FG //．23. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是θρcos 4=，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-= 21 233t y t x （t 为参数）.（Ⅰ）过极点作直线l 的垂线，垂足为点P ，求点P 的极坐标； （Ⅱ）若点N M ,分别为曲线C 和直线l 上的动点，求MN 的最小值.24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数m x x g x x f ++-=-=3)(,2)(.（Ⅰ）若关于x 的不等式0)(≥x g 的解集为}15{-≤≤-x x ，求实数m 的值； （Ⅱ）若)()(x g x f >对于任意的R x ∈恒成立，求实数m 的取值范围.2014年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试数学答案（文史类）选择题:1B 2A 3A 4D 5D 6D 7B 8B 9D 10D 11A 12D 填空题:13．52 14. 98- 15.10334- 16.45 解答题:17. 解：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得c b c b c b a )32()32(22-+-=，整理得bc a c b 3222=-+， ………………………… 2分所以23cos =A ． ………………………… 4分 又),0(π∈A ，故6π=A ． ………………………… 5分（Ⅱ）由正弦定理可知B b A a sin sin =，又2=a ，32=b ，6π=A ， 所以23sin =B ． ………………………… 6分 又)65,0(π∈B ，故3π=B 或32π． ………………………… 8分 若3π=B ，则2π=C ，于是3221==∆ab S ABC ； ………………………… 10分若32π=B ，则6π=C ，于是3sin 21==∆C ab S ABC ． ………………………… 12分18.解：（Ⅰ）3.0………………………………2分 （Ⅱ）3220………………………………6分 （Ⅲ）第1组：61.060=⨯人（设为1，2，3，4，5，6） 第6组：31.060=⨯人（设为A ，B ，C ）共有36个基本事件，满足条件的有18个，所以概率为21…………12分 19.解：（Ⅰ）取AB 中点为O ，连接OD ，1OB ．因为A B B B 11=，所以AB OB ⊥1． 又D B AB 1⊥，111B D B OB = ， 所以⊥AB 平面OD B 1，因为⊂OD 平面OD B 1，所以OD AB ⊥．…3分 由已知，1BB BC ⊥，又BC OD //， 所以1BB OD ⊥，因为B BB AB =1 ， 所以⊥OD 平面11A ABB ．又⊂OD 平面ABC ，所以平面⊥ABC 平面11A ABB ． ………………6分 （Ⅱ）三棱锥D BB C 1-的体积=三棱锥BCD B -1的体积由（Ⅰ）知，平面⊥ABC 平面11A ABB ,平面 ABC 平面AB A ABB =11,AB OB ⊥1, ⊂1OB 平面11A ABB所以ABC OB 平面⊥1,即BCD OB 平面⊥1,O B 1即点1B 到BCD 平面的距离, 31=O B …………………9分121==∆∆ABC BCD S S ………… 11分 所以33313111=⨯⨯==--BCD B D BB C V V …………………… 12分 20.解：（Ⅰ）由已知)0,3(Q ，QB B F ⊥1，c c QF +==34||1，所以1=c ． ……… 1分 在BQ F Rt 1∆中，2F 为线段Q F 1的中点， 故=||2BF 22=c ，所以2=a ．……… 2分ABCD1A 1B 1C O于是椭圆C 的标准方程为13422=+y x ．…4分 （Ⅱ）设2:+=kx y l （0>k ），),(),,(2211y x N y x M ，取MN 的中点为),(00y x E ．假设存在点)0,(m A 使得以AN AM ,为邻边的平行四边形为菱形，则MN AE ⊥．0416)34(13422222=+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=kx x k y x kx y ， 4102>⇒>∆k ，又0>k ，所以21>k ． ………………………… 6分因为3416221+-=+k k x x ，所以34820+-=k kx ，3462200+=+=k kx y ． ……… 8分因为MN AE ⊥，所以k k AE 1-=，即k m k k k 1348034622-=-+--+， 整理得kk k km 3423422+-=+-=． ………………………… 10分因为21>k 时，3434≥+k k ，]123,0(341∈+kk ，所以)0,63[-∈m ． ……… 12分 21.解：（Ⅰ）函数的定义域为()+∞,0， )0(1)(>--='x xax x f ， 单调递增，)(,0)(,1,0x f x f a >'⎪⎭⎫ ⎝⎛单调递减，)(,0)(,1x f x f a <'⎪⎭⎫⎝⎛∞+ 当a x 1=时，)(x f 取最大值aa f ln )1(-= …………………4分（Ⅱ）21=a ，由b x x f +-=61)(得b xx =+-13ln 在[]4,1上有两个不同的实根， 设[]4,1,13ln )(∈+-=x xx x gxxx g 33)(-='，[)3,1∈x 时，0)(>'x g ，(]4,3∈x 时，0)(<'x g 3ln )3()(max ==g x g ，312ln 2)4(,32)1(-==g g 02ln 21312ln 232)4()1(<-=+-=-g g ，得)4()1(g g < 则⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈3ln ,312ln 2b …………………8分 （Ⅲ）由（1）知当1=a 时，1ln -<x x 。
黑龙江省哈三中2015届高三上第一次测试语文试题及答案
哈三中2014—2015学年度高三第一次测试语文试卷本试卷分第Ⅰ卷（阅读题）和第Ⅱ卷（表达题）两部分。
考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
【注意事项】1.答题前务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2.答题时使用0.5毫米黑色签字笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4.保持卡面清洁，不折叠、不破损。
第Ⅰ卷阅读题甲必考题一、现代文阅读（9分，每小题3分）阅读下面的文字，完成1～3题。
神话‚是人类心理在最基层水平上的象征和形象的表现‛，西方神话学理论认为，神话中最早出现的是创世神话，这是神话发展的第一个阶段。
这个时期人尚未完全意识到自己的存在，自我意识刚刚萌芽，与客观世界混沌为一的动物意识还占着上风，主宰着人类。
英雄神话的产生是神话发展的第二个阶段，‚在英雄神话中，世界作为宇宙的中心，而人则处于世界的中心‛。
可以看出，有些西方神话学理论对于神话的分类，主要不是根据神话的内容，而是根据神话所体现的人类意识和精神的成长历程，也就是根据神话所蕴含的哲学观念。
这种植根于以希腊神话为代表的西方神话和历史文化土壤中的西方神话理论，未必适用于中国神话。
产生于自然崇拜观念基础上的希腊神话，其新神、旧神之间不但界限清楚，而且由于自然崇拜观念的统一性，具有一个内在统一的普遍的神系以及处于神系统治地位的主神。
具有内在统一性和系统性的神话便于容纳和展示系统的东西，所以，人类意识和精神的发展能够在其中比较清晰地反映出来。
正因为如此，希腊神话在被哲学家、思想家批判、扬弃之后，才能被希腊哲学吸收，成为希腊精神的原型。
与希腊神话不同，主要是产生于祖先崇拜观念基础上的中国神话，不但新神、旧神之间的界限不清楚，而且由于祖先崇拜所崇拜的对象不同，所以始终没有形成一个内在统一的普遍的神系以及处于核心地位上的主神。
哈尔滨市第三中学届高三第一次模拟考试数学试题及答案(文)
哈尔滨三中2015年第一次模拟考试数学试卷（文史类）第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1. 集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+-=031x x xP ，{}24x y x Q -==，则=Q PA ．]2,1(B ．]2,1[C ．(,3)(1,)-∞-+∞D ．)2,1[2. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4，则公差d 等于A ．1B ．35C ．2-D ．3 3. 在ABC ∆中，3=AB ，1=AC ，30=∠B ，ABC ∆的面积为23，则=∠C A ．30 B ．45 C ．60 D ．75 4. 下列函数在),0(+∞上为减函数的是A ．1--=x yB ．x e y =C ．)1ln(+=x yD ．)2(+-=x x y 5. 设定义在R 上的奇函数()f x 满足)0(4)(2>-=x x x f ，则0)2(>-x f 的解集为A ．(4,0)(2,)-+∞B ．(0,2)(4,)+∞C ．(,0)(4,)-∞+∞D ．(4,4)-6. 将函数()()ϕ+=x x f 2sin 的图象向左平移8π个单位，所得到的函数图象关于y 轴对称，则ϕ的一个可能取值为A ．43πB ．4πC ．0D ．4π-7. 给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β的四个命题：① 若α⊂m ，A l =α ，点m A ∉，则l 与m 不共面；② 若m 、l 是异面直线，α//l ，α//m ，且l n ⊥，m n ⊥，则α⊥n ； ③ 若α//l ，β//m ，βα//，则m l //；④ 若α⊂l ，α⊂m ，A m l = ，β//l ，β//m ，则βα//， 其中为真命题的是A ．①③④B ．②③④C ．①②④D ．①②③8. 变量x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧->≤≤+-1101x y y x ，则22)2(y x +-的最小值为A ．223 B ．5 C ．29 D ．59. 如图， AOB ∆为等腰直角三角形，1=OA ，OC 为斜边AB 的高，P 为线段OC 的中点，则=⋅A ．1-B ．81-C ．41-D ．21-10. 如图，四棱锥ABCD P -中，90=∠=∠BAD ABC ，AD BC 2=，PAB ∆和PAD∆都是等边三角形，则异面直线CD 与PB 所成角的大小为 A ．90 B ． 75 C ． 60 D ． 4511. 已知抛物线C ：x y 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的BDCPAAOCBP侧视图一个交点，若QFPF3=，则QF=A．25B．38C．3D．612.设xxf lg)(=，若函数axxfxg-=)()(在区间)4,0(上有三个零点，则实数a的取值范围是A．10,e⎛⎫⎪⎝⎭B．lg2lg,2ee⎛⎫⎪⎝⎭C．lg2,2e⎛⎫⎪⎝⎭D．lg20,2⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题, 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13. 正项等比数列{}n a中，42=a，164=a，则数列{}n a的前9项和等于．14. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积为．15.已知椭圆C：2211612x y+=，点M与C的焦点不重合，若M关于C的两焦点的对称点分别为P，Q，线段MN的中点在C上，则||||PN QN+=．16．定义：如果函数)(xfy=在定义域内给定区间],[ba上存在x)(bxa<<，满足abafbfxf--=)()()(，则称函数)(xfy=是],[ba上的“平均值函数”，x是它的一个均值点，例如2xy=是]1,1[-上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数mxxxf+=3)(是]1,1[-上的平均值函数，则实数m的取值范围是．俯视图三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17.（本小题满分12分）设ABC ∆是锐角三角形，三个内角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c ，并且)3sin()3sin()sin )(sin sin (sin B B B A B A +-=+-ππ.（Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若12=⋅，72=a ，求b ，c （其中c b <）． 18.（本小题满分12分）已知数列}{n a 满足)(3)1)(1(11++-=--n n n n a a a a ，21=a ，令11-=n n a b . （Ⅰ）证明：数列}{n b 是等差数列； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式． 19.（本小题满分12分）ABC ∆为等腰直角三角形，4==BC AC ， 90=∠ACB ，D 、E 分别是边AC 和AB的中点，现将ADE ∆沿DE 折起，使面ADE ⊥面DEBC ，H 是边AD 的中 点，平面BCH 与AE 交于点I ． （Ⅰ）求证：IH //BC ； （Ⅱ）求三棱锥HIC A -的体积.20.（本小题满分12分）如图，抛物线1C ：px y 22=与椭圆2C ：1121622=+y x 在第一象限的交点为B ，O 为AHICDBE坐标原点，A 为椭圆的右顶点，OAB ∆的面积为368. （Ⅰ）求抛物线1C 的方程；（Ⅱ）过A 点作直线l 交1C 于C 、D 两点，求OCD ∆面积的最小值．21.（本小题满分12分）设函数)1(ln )(2-+=x b x ax x f )0(>x ，曲线)(x f y =过点)1,(2+-e e e ，且在点)0,1(处的切线方程为0=y .（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）证明：当1≥x 时，2)1()(-≥x x f ；（Ⅲ）若当1≥x 时，2)1()(-≥x m x f 恒成立，求实数m 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，延长BA 和CD 相交于点P ，41=PB PA ， 21=PC PD . （Ⅰ）求BCAD的值； （Ⅱ）若BD 为⊙O 的直径，且1=PA ，求BC 的长．P23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==242222t y t x （t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程)4cos(2πθρ+=.（Ⅰ）判断直线l 与曲线C 的位置关系；（Ⅱ）设M 为曲线C 上任意一点，求y x +的取值范围． 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数212)(--+=x x x f . （Ⅰ）解不等式0)(≥x f ；（Ⅱ）若存在实数x ，使得a x x f +≤)(，求实数a 的取值范围．答案及评分标准一、选择题：二、填空题： 13. 1022 14. 83π 15. 16 16. 3(3,]4-- 三、解答题： 17.解：(Ⅰ)B B B B B A 22sin )sin 21cos 23()sin 21cos 23(sin +-⋅+= 43)sin (cos 4322=+=B B ， 23sin =∴A ，3π=∴A ． ………………………… 6分(Ⅱ) 12cos ==⋅A b AC AB ，24=∴bc ，又bc c b A bc c b a 3)(cos 22222-+=-+=，10=+∴c b ，c b < ，4=∴b ，6=c ．………………………… 12分18.解：(Ⅰ)[])1()1(3)1)(1(11---=--++n n n n a a a a ，3111111=---∴+n n a a ，即311=-+n n b b ，{}n b ∴是等差数列．………6分(Ⅱ)11=b ，3231+=∴n b n ，………………………… 10分 231+=-n a n ，25++=∴n n a n ．………………………… 12分19. (Ⅰ)因为D 、E 分别是边AC 和AB 的中点，所以BC ED //，因为⊂BC 平面BCH ，⊄ED 平面BCH ，所以//ED 平面BCH因为⊄ED 平面BCH ，⊂ED 平面AED ，平面BCH ⋂平面HI AED = 所以HI ED // 又因为BC ED //，所以IH //BC . …………………………… 6分(Ⅱ)211121=⨯⨯=∆AIC S 高2=CD3122131=⨯⨯=V …………………………………… 12分20. 解: (Ⅰ)因为OAB ∆的面积为368,所以364=B y ，……………2分 代入椭圆方程得)364,34(B ，抛物线的方程是：x y 82= ……………6分(Ⅱ) 直线CD 斜率不存在时，OCD S ∆=直线CD 斜率存在时，设直线CD 方程为(4)y k x =-，带入抛物线，得28320ky y k --=1212OCD S OA y y ∆=-=>综上OCD S ∆最小值为. ……………12分21.解：(Ⅰ)()2ln f x a x ax b '=++，(1)0f a b '=+=，22()(1)(1)f e ae b e a e e =+-=-+21e e =-+ 1=∴a ，1-=b ．………………………………4分(Ⅱ)2()ln 1f x x x x =-+，设22()ln g x x x x x =+-，(1)x ≥，()2ln 1g x x x x '=-+(())2ln 0g x x ''=>，∴)(x g '在[)+∞,0上单调递增，∴()(1)0g x g ''≥=，∴)(x g 在[)+∞,0上单调递增，∴()(1)0g x g ≥=．∴2()(1)f x x ≥-．………………………………8分（Ⅲ）设22()ln (1)1h x x x x m x =---+，()2ln 2(1)1h x x x x m x '=+---，(Ⅱ) 中知22ln (1)1(1)x x x x x x ≥-+-=-，∴ln 1x x x ≥-，∴()3(1)2(1)h x x m x '≥---，①当023≥-m 即23≤m 时，0)(≥'x h ，)(x h ∴在[1,)+∞单调递增，()(1)0h x h ∴≥=，成立．②当03<-m 即23>m 时，()2ln (12)(1)h x x x m x '=---， (())2ln 32h x x m ''=+-，令(())0h x '=，得232021m x e-=->，当[)01,x x ∈时，()(1)0h x h ''<=，)(x h ∴在[)01,x 上单调递减()(1)0h x h ∴<=，不成立． 综上，23≤m ．………………………………12分22. (Ⅰ)由PAD ∠=PCB ∠，A A ∠=∠，得PAD ∆与PCB ∆相似，设,PA x PD y ==则有24x y y y x=⇒=，所以2AD x BC y ==…………………………5分(Ⅱ)90C ∠=，4,PA PC ===10分23.解：(Ⅰ)直线l 的普通方程为0x y -+=曲线C 的直角坐标系下的方程为22((122x y -++=圆心到直线0x y -+=的距离为51d ==> 所以直线l 与曲线C 的位置关系为相离. ……………5分(Ⅱ)设cos ,sin )M θθ++，则cos sin )4x y πθθθ⎡+=+=+∈⎣.……………10分24. (Ⅰ)① 当12x ≤-时，1223x x x --+≥⇒≤-，所以3x ≤- ② 当102x -<<时，12123x x x ++≥⇒≥，所以为φ ③ 当0x ≥时，121x x +≥⇒≥，所以1x ≥综合①②③不等式的解集为(][),31,-∞-⋃+∞……………5分(Ⅱ)即12122122ax x a x x +-≤+⇒+-≤+ 由绝对值的几何意义，只需11322aa -≤+⇒≥-…………………10分。
黑龙江省哈尔滨市第三中学2015届高三第一次模拟考试(
哈尔滨三中2015年第一次模拟考试数学试卷（理工类）第I卷（选择题, 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. 集合，，则A．B．C．D．2. 等差数列的前项和为，且=，=，则公差等于A．B．C．D．3. 在中，，，，则的面积为，A．B．C．D．4. 下列函数在上为减函数的是A．B．C．D．5. 方程的解所在的区间为A．B．C．D．6. 将函数的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于轴对称，则的一个可能取值为A．B．C．D．7. 给出下列关于互不相同的直线、、和平面、的四个命题：①若，，点，则与不共面；②若、是异面直线，，，且，，则；③若，，，则；④若，，，，，则，其中为真命题的是A ．①③④B ．②③④C ．①②④D ．①②③8. 变量、满足条件⎪⎩⎪⎨⎧->≤≤+-1101x y y x ，则的最小值为A ．B ．C ．D ．9. 如图，为等腰直角三角形，，为斜边的高，点在射线上， 则的最小值为A ．B ．C ．D ．10. 如图，四棱锥中，90=∠=∠BAD ABC ，， 和都是等边三角形，则异面直线与所成角的大小为 A ． B ． C ． D ．11. 已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与 的一个交点，若，则=A ．B ．C ．D ．12. 设函数在上存在导数，，有，在上，若m m f m f 48)()4(-≥--，则实数的取值范围为A ．B ．C ．D ．哈尔滨三中2015年第一次模拟考试数学试卷（理工类）第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．） 13. 正项等比数列中，，，则数列的前项和等于 ．14. 某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为 ．15. 已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率，则 ．16．定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点，例如是上的平均值函数，就是它的均值点．现有函数是上的平均值函数，则实数的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17.（本小题满分12分）设是锐角三角形，三个内角，，所对的边分别记为，，，并且)3sin()3sin()sin )(sin sin (sin B B B A B A +-=+-ππ.（Ⅰ）求角的值； （Ⅱ）若，，求，（其中）．18.（本小题满分12分）已知数列满足)(3)1)(1(11++-=--n n n n a a a a ，，令. （Ⅰ）证明：数列是等差数列； （Ⅱ）求数列的通项公式．19.（本小题满分12分）为等腰直角三角形，，，、分别是边和的中点，现将沿折起，使面面，、分别是边和的中点，平面与、分别交于、两点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）求的长．20.（本小题满分12分）如图，抛物线：与椭圆：在第一象限的交点为，为坐标原点，为椭圆的右顶点，的面积为.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）过点作直线交于、两点，射线、分别交于、两点，记和的面积分别为和，问是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．21.（本小题满分12分）设函数bx x x a x f +++=)1ln()1()(2，曲线过点，且在点处的切线方程为. （Ⅰ）求，的值； （Ⅱ）证明：当时，；（Ⅲ）若当时，恒成立，求实数的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，四边形是⊙的内接四边形，延长和相交于点，， .（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若为⊙的直径，且，求的长．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==242222t y t x （是参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程.（Ⅰ）判断直线与曲线的位置关系； （Ⅱ）设为曲线上任意一点，求的取值范围．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数212)(--+=x x x f . （Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若存在实数，使得，求实数的取值范围．哈尔滨三中2015年第一次模拟考试 数学试卷（理工类）答案及评分标准一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ACCDBBCDBABB二、填空题：13. 14. 15. 16. 三、解答题： 17.解：(Ⅰ)B B B B B A 22sin )sin 21cos 23()sin 21cos 23(sin +-⋅+= 43)sin (cos 4322=+=B B ， ，． ………………………… 6分 (Ⅱ) 12cos ==⋅A b ，，又bc c b A bc c b a 3)(cos 22222-+=-+=，， ，，．………………………… 12分18.解：(Ⅰ)[])1()1(3)1)(1(11---=--++n n n n a a a a ， 3111111=---∴+n n a a ，即，是等差数列．………6分 (Ⅱ)，，………………………… 10分 ，．………………………… 12分 19. (Ⅰ)因为、分别是边和的中点，所以，因为平面，平面， 所以平面因为平面，平面，平面平面 所以 又因为，所以. …………………………………… 4分(Ⅱ) 如图，建立空间右手直角坐标系，由题意得，，，， ，，， ，， ，，设平面的一个法向量为，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n n ，⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-001111y x z x ，令，解得，，则 设平面的一个法向量为，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0022n n CH ，⎪⎩⎪⎨⎧==+-002221x z y ，令，解得，则 15155321,cos 21=⋅->=<n n ， 所以二面角的余弦值为 …………………………… 8分 （Ⅲ）法（一），设)2,,3(λλλλ-==)12,,3()2,,3()1,0,0(---=---=-=λλλλλλ则，解得，3142)2(13323222=-++==AF AG ………………… 12分 法（二）取中点，连接交于点，连接，与相似， 得，易证，所以…………… 12分 20. 解: (Ⅰ)因为的面积为,所以，……………2分代入椭圆方程得，抛物线的方程是： ……………4分(Ⅱ) 存在直线: 符合条件解：显然直线不垂直于轴，故直线的方程可设为，与联立得.设,则32,82121-=⋅=+y y m y y12211sin 21sin 2E FOC OD COD OC OD y y S S OE OF y y OE OF EOF ∠∴===∠.……………6分 由直线OC 的斜率为,故直线的方程为，与联立得 ，同理，所以1)1211664)(1211664(22212=+⋅+⋅y y y F ………8分可得要使，只需22232(12148)77362563m +⎛⎫= ⎪⨯⎝⎭………10分即解得，所以存在直线: 符合条件………………………… 12分 21.解：(Ⅰ)b x a x x a x f +++++=')1()1ln()1(2)(，，22(1)(1)(1)f e ae b e a e e -=+-=-+，． ………………………………4分 (Ⅱ)x x x x f -++=)1ln()1()(2，设22)1ln()1()(x x x x x g --++=，，x x x x g -++=')1l n ()1(2)((())2ln(1)10g x x ''=++>，在上单调递增，，在上单调递增，．．………………………………8分（Ⅲ）设22)1ln()1()(mx x x x x h --++=，mx x x x x h 2)1ln()1(2)(-+++='，(Ⅱ) 中知)1()1ln()1(22+=+≥++x x x x x x ，， ，①当即时，，在单调递增，，成立．②当即时，x m x x x h )21()1ln()1(2)(--++='，m x x h 23)1ln(2)(-++=''，令，得，当时，，在上单调递减，不成立． 综上，．………………………………12分22. (Ⅰ)由，，得与相似，设则有 ，所以………………………………5分 (Ⅱ)，4,PA PC ===10分23.解：(Ⅰ)直线 的普通方程为曲线的直角坐标系下的方程为22((1x y ++=圆心到直线的距离为51d ==>所以直线与曲线的位置关系为相离. ……………5分(Ⅱ)设(cos ,sin )22M θθ+-+，则cos sin )4x y πθθθ⎡+=+=+∈⎣.……………10分24. (Ⅰ)① 当时，1223x x x --+≥⇒≤-，所以② 当时，12123x x x ++≥⇒≥，所以为 ③ 当时，，所以综合①②③不等式的解集为……………5分(Ⅱ)即12122122a x x a x x +-≤+⇒+-≤+ 由绝对值的几何意义，只需…………………10分。
2015年黑龙江省哈尔滨三中高考一模数学试卷(文科)【解析版】
2015年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）集合P＝{x|＞0}，Q＝{x|y＝}，则P∩Q＝（）A．（1，2]B．[1，2]C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D．[1，2）2．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3＝6，a1＝4，则公差d等于（）A．1B．C．﹣2D．33．（5分）在△ABC中，，AC＝1，∠B＝30°，△ABC的面积为，则∠C＝（）A．30°B．45°C．60°D．75°4．（5分）下列函数在（0，+∞）上为减函数的是（）A．y＝﹣|x﹣1|B．y＝e x C．y＝ln（x+1）D．y＝﹣x（x+2）5．（5分）设定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）＝x2﹣4（x＞0），则f（x﹣2）＞0的解集为（）A．（﹣4，0）∪（2，+∞）B．（0，2）∪（4，+∞）C．（﹣∞，0）∪（4，+∞）D．（﹣4，4）6．（5分）将函数f（x）＝sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则φ的一个可能取值为（）A．B．C．0D．7．（5分）给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题：①若m⊂α，l∩α＝A，点A∉m，则l与m不共面；②若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；③若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m；④若l⊂α，m⊂α，l∩m＝A，l∥β，m∥β，则α∥β，其中为真命题的是（）A．①③④B．②③④C．①②④D．①②③8．（5分）变量x、y满足条件，则（x﹣2）2+y2的最小值为（）A．B．C．5D．9．（5分）如图，△AOB为等腰直角三角形，OA＝1，OC为斜边AB的高，P为线段OC的中点，则•＝（）A．﹣1B．﹣C．﹣D．﹣10．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△P AB和△P AD都是等边三角形，则异面直线CD与PB所成角的大小为（）A．90°B．75°C．60°D．45°11．（5分）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝3，则|QF|＝（）A．B．C．3D．212．（5分）设f（x）＝|lgx|，若函数g（x）＝f（x）﹣ax在区间（0，4）上有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．（5分）正项等比数列{a n}中，a2＝4，a4＝16，则数列{a n}的前9项和等于．14．（5分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积为．15．（5分）已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的两焦点的对称点分别为P，Q，线段MN的中点在C上，则|PN|+|QN|＝．16．（5分）定义：如果函数y＝f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a ＜x0＜b），满足，则称函数y＝f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．如y＝x2是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f（x）＝x3+mx是区间[﹣1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）设△ABC是锐角三角形，三个内角A，B，C所对的边分别记为a，b，c，并且（sin A﹣sin B）（sin A+sin B）＝sin（﹣B）sin（+B）．（Ⅰ）求角A的值；（Ⅱ）若•＝12，a＝2，求b，c（其中b＜c）．18．（12分）已知数列{a n}满足（a n+1﹣1）（a n﹣1）＝3（a n﹣a n+1），a1＝2，令．（Ⅰ）证明：数列{b n}是等差数列；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式．19．（12分）△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，D、E分别是边AC和AB的中点，现将△ADE沿DE折起，使面ADE⊥面DEBC，H 是边AD的中点，平面BCH与AE交于点I．（Ⅰ）求证：IH∥BC；（Ⅱ）求三棱锥A﹣HIC的体积．20．（12分）如图，抛物线C1：y2＝2px与椭圆C2：在第一象限的交点为B，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，△OAB的面积为．（Ⅰ）求抛物线C1的方程；（Ⅱ）过A点作直线l交C1于C、D两点，求△OCD面积的最小值．21．（12分）设函数f（x）＝ax2lnx+b（x﹣1）（x＞0），曲线y＝f（x）过点（e，e2﹣e+1），且在点（1，0）处的切线方程为y＝0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）证明：当x≥1时，f（x）≥（x﹣1）2；（Ⅲ）若当x≥1时，f（x）≥m（x﹣1）2恒成立，求实数m的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长BA和CD相交于点P，＝，＝．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若BD为⊙O的直径，且P A＝1，求BC的长．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线C的极坐标方程ρ＝2cos（θ+）．（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系；（Ⅱ）设M为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|x|﹣2（Ⅰ）解不等式f（x）≥0（Ⅱ）若存在实数x，使得f（x）≤|x|+a，求实数a的取值范围．2015年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）集合P＝{x|＞0}，Q＝{x|y＝}，则P∩Q＝（）A．（1，2]B．[1，2]C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D．[1，2）【解答】解：集合P＝{x|＞0}＝{x|x＞1或x＜﹣3}，Q＝{x|y＝}＝{x|﹣2≤x≤2}，P∩Q＝{x|1＜x≤2}＝（1，2]．故选：A．2．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3＝6，a1＝4，则公差d等于（）A．1B．C．﹣2D．3【解答】解：∵S3＝6＝（a1+a3），且a3＝a1+2d，a1＝4，∴d＝﹣2，故选：C．3．（5分）在△ABC中，，AC＝1，∠B＝30°，△ABC的面积为，则∠C＝（）A．30°B．45°C．60°D．75°【解答】解：∵△ABC中，B＝30°，AC＝1，AB＝，由正弦定理可得：＝，∴sin C＝，∴C＝60°或120°，C＝60°时，A＝90°；C＝120°时A＝30°，当A＝90°时，∴△ABC的面积为•AB•AC•sin A＝，当A＝30°时，∴△ABC的面积为•AB•AC•sin A＝，不满足题意，则C＝60°．故选：C．4．（5分）下列函数在（0，+∞）上为减函数的是（）A．y＝﹣|x﹣1|B．y＝e x C．y＝ln（x+1）D．y＝﹣x（x+2）【解答】解：①y＝﹣|x﹣1|＝∴（0，+∞）不是减函数，故A不正确．②y＝e x，在（﹣∞，+∞）上为增函数，故B不正确．③y＝ln（x+1）在（﹣1，+∞）上为增函数，故C不正确．④y＝﹣x（x+2）在（﹣1，+∞）上为减函数，所以在（0，+∞）上为减函数故D正确．故选：D．5．（5分）设定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）＝x2﹣4（x＞0），则f（x﹣2）＞0的解集为（）A．（﹣4，0）∪（2，+∞）B．（0，2）∪（4，+∞）C．（﹣∞，0）∪（4，+∞）D．（﹣4，4）【解答】解：∵f（x）＝x2﹣4（x＞0），∴当x＞0时，若f（x）＞0，则x＞2，又由函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，﹣x＞0，若f（x）＞0，则f（﹣x）＜0，则0＜﹣x＜2，即﹣2＜x ＜0，故f（x）＞0的解集为（﹣2，0）∪（2，+∞），故f（x﹣2）＞0时，x﹣2∈（﹣2，0）∪（2，+∞），x∈（0，2）∪（4，+∞），即f（x﹣2）＞0的解集为（0，2）∪（4，+∞）．故选：B．6．（5分）将函数f（x）＝sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于y轴对称，则φ的一个可能取值为（）A．B．C．0D．【解答】解：将函数f（x）＝sin（2x+φ）的图象向左平移个单位，可得到的函数y＝sin[2（x+）+φ）]＝sin（2x++φ）的图象，再根据所得图象关于y轴对称，可得+φ＝kπ+，即φ＝kπ+，k∈z，则φ的一个可能取值为，故选：B．7．（5分）给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题：①若m⊂α，l∩α＝A，点A∉m，则l与m不共面；②若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；③若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m；④若l⊂α，m⊂α，l∩m＝A，l∥β，m∥β，则α∥β，其中为真命题的是（）A．①③④B．②③④C．①②④D．①②③【解答】解：①若m⊂α，l∩α＝A，点A∉m，则l与m不共面，正确；②若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，利用线面垂直的判定定理即可判断出：n⊥α正确；③若l∥α，α∥β，α∥β，则l与m不一定平行，不正确；④若l⊂α，m⊂α，l∩m＝A，l∥β，m∥β，利用面面平行的判定定理可得：α∥β，正确．其中为真命题的是①②④．故选：C．8．（5分）变量x、y满足条件，则（x﹣2）2+y2的最小值为（）A．B．C．5D．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，设z＝（x﹣2）2+y2，则z的几何意义为区域内的点到定点D（2，0）的距离的平方，由图象知CD的距离最小，此时z最小．由得，即C（0，1），此时z＝（x﹣2）2+y2＝4+1＝5，故选：C．9．（5分）如图，△AOB为等腰直角三角形，OA＝1，OC为斜边AB的高，P为线段OC的中点，则•＝（）A．﹣1B．﹣C．﹣D．﹣【解答】解：由题意可得AB＝，OC＝，OP＝，∠AOP＝45°，则•＝（﹣）•＝﹣＝（）2﹣1×＝﹣．故选：B．10．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△P AB和△P AD都是等边三角形，则异面直线CD与PB所成角的大小为（）A．90°B．75°C．60°D．45°【解答】解：设AD＝1，则BC＝2，过A作AE∥CD，则AD＝CE，过E作EF ∥PB，则∠AEF为所求，如图过F作FG∥CD，连接AG，则四边形AEFG是梯形，其中FG∥AE，EF＝PB ＝，AG＝，AE＞FG，过G作GH∥EF，则∠GHA＝∠AEF，在△GHA中，GH＝EF＝，AH＝AE﹣FG＝﹣＝，AG＝，AG2＝GH2+AH2，所以∠AEF＝90°，故选：A．11．（5分）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝3，则|QF|＝（）A．B．C．3D．2【解答】解：设l与x轴的交点为M，过Q向准线l作垂线，垂足为N，∵＝3，∴＝，又|MF|＝p＝4，∴|NQ|＝，∵|NQ|＝|QF|，∴|QF|＝．故选：A．12．（5分）设f（x）＝|lgx|，若函数g（x）＝f（x）﹣ax在区间（0，4）上有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：函数g（x）＝f（x）﹣ax在区间（0，4）上有三个零点，就是g（x）＝f（x）﹣ax＝0在区间（0，4）上有三个根，也就是f（x）＝ax的根有3个，即两个函数y＝f（x）与y＝ax图象在区间（0，4）上的交点个数为3个．如图：由题意以及函数的图象可知函数有3个零点，直线y＝ax过A，与l之间时，满足题意．A（4，lg4），k OA＝．设l与y＝lgx的切点为（t，f（t）），可得y′＝，切线的斜率为：＝＝，即lgt＝lge，t＝e．可得切线l的斜率为：，a∈．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13．（5分）正项等比数列{a n}中，a2＝4，a4＝16，则数列{a n}的前9项和等于1022．【解答】解：由a2＝4，a4＝16，得到q2＝＝＝4，解得：q＝2（舍去负值），∴a1＝＝2，则数列的前9项之和S9＝＝，即S9＝1022．故答案是：1022．14．（5分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积为．【解答】解：由三视图知几何体为倒放的半个圆锥，圆锥的底面圆半径为2，高为4，∴圆锥的母线长为2，∴几何体的体积V＝××π×22×4＝．故答案为：．15．（5分）已知椭圆C：，点M与C的焦点不重合，若M关于C的两焦点的对称点分别为P，Q，线段MN的中点在C上，则|PN|+|QN|＝16．【解答】解：设椭圆C的长轴长为2a，则由，得a＝4，又设F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，K为线段MN的中点，如右图所示，由已知条件，易得F1，F2分别是线段MB，MA的中点，则在△NBM和△NAM中，有|NB|＝2|KF1|，|NA|＝2|KF2|，又由椭圆定义，得|KF1|+|KF2|＝2a＝8，故|AN|+|BN|＝2（|KF1|+|KF2|）＝16．故答案为：16．16．（5分）定义：如果函数y＝f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a ＜x0＜b），满足，则称函数y＝f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．如y＝x2是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f（x）＝x3+mx是区间[﹣1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是﹣3＜m≤．【解答】解：函数f（x）＝x3+mx是区间[﹣1，1]上的平均值函数，故有x3+mx＝在（﹣1，1）内有实数根．由x 3+mx ＝⇒x 3+mx ﹣m ﹣1＝0，解得x 2+m +1+x ＝0或x ＝1．又1∉（﹣1，1）∴x 2+m +1+x ＝0的解为：，必为均值点，即⇒﹣3＜m ≤．⇒＜m ≤∴所求实数m 的取值范围是﹣3＜m ≤．故答案为：﹣3＜m ≤．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）设△ABC 是锐角三角形，三个内角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c ，并且（sin A ﹣sin B ）（sin A +sin B ）＝sin （﹣B ）sin （+B ）．（Ⅰ）求角A 的值； （Ⅱ）若•＝12，a ＝2，求b ，c （其中b ＜c ）．【解答】解：（Ⅰ）（sin A ﹣sin B ）（sin A +sin B ）＝sin （﹣B ）sin （+B ）．可得：＝，∴，∴． …（6分）（Ⅱ），∴bc ＝24，又a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝（b +c ）2﹣3bc ， ∴b +c ＝10，∵b ＜c ，∴b ＝4，c ＝6．…（12分）18．（12分）已知数列{a n }满足（a n +1﹣1）（a n ﹣1）＝3（a n ﹣a n +1），a 1＝2，令．（Ⅰ）证明：数列{b n }是等差数列；（Ⅱ）求数列{a n }的通项公式．【解答】解：（Ⅰ）（a n +1﹣1）（a n ﹣1）＝3[（a n ﹣1）﹣（a n +1﹣1）]，两边同除：（a n +1﹣1）（a n ﹣1）， ∴，即，∴{b n }是等差数列．…（6分） （Ⅱ）∵b 1＝1，∴，…（10分），∴．…（12分）19．（12分）△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ＝4，∠ACB ＝90°，D 、E 分别是边AC 和AB 的中点，现将△ADE 沿DE 折起，使面ADE ⊥面DEBC ，H 是边AD 的中点，平面BCH 与AE 交于点I ．（Ⅰ）求证：IH ∥BC ；（Ⅱ）求三棱锥A ﹣HIC 的体积．【解答】（Ⅰ）证明：因为D 、E 分别是边AC 和AB 的中点， 所以ED ∥BC ，因为BC ⊂平面BCH ，ED ⊄平面BCH ， 所以ED ∥平面BCH因为ED ⊄平面BCH ，ED ⊂平面AED ，平面BCH ∩平面AED ＝HI 所以ED ∥HI 又因为ED ∥BC ， 所以IH ∥BC ．…（6分） （Ⅱ）解：V A ﹣CIH ＝V C ﹣AIH ，高CD＝2，…（12分）20．（12分）如图，抛物线C1：y2＝2px与椭圆C2：在第一象限的交点为B，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，△OAB的面积为．（Ⅰ）求抛物线C1的方程；（Ⅱ）过A点作直线l交C1于C、D两点，求△OCD面积的最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为△OAB的面积为，所以，…（2分）代入椭圆方程得，抛物线的方程是：y2＝8x…（6分）（Ⅱ）直线CD斜率不存在时，；直线CD斜率存在时，设直线CD方程为y＝k（x﹣4），代入抛物线，得ky2﹣8y ﹣32k＝0，y1+y2＝，y1•y2＝32，，最小值为．…（12分）综上S△OCD21．（12分）设函数f（x）＝ax2lnx+b（x﹣1）（x＞0），曲线y＝f（x）过点（e，e2﹣e+1），且在点（1，0）处的切线方程为y＝0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）证明：当x≥1时，f（x）≥（x﹣1）2；（Ⅲ）若当x≥1时，f（x）≥m（x﹣1）2恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝ax2lnx+b（x﹣1）（x＞0），可得f′（x）＝2alnx+ax+b，∵f′（1）＝a+b＝0，f（e）＝ae2+b（e﹣1）＝a（e2﹣e+1）＝e2﹣e+1∴a＝1，b＝﹣1．…（4分）（Ⅱ）f（x）＝x2lnx﹣x+1，设g（x）＝x2lnx+x﹣x2，（x≥1），g′（x）＝2xlnx﹣x+1，（g′（x））′＝2lnx+1＞0，∴g′（x）在[0，+∞）上单调递增，∴g′（x）≥g′（1）＝0，∴g （x）在[0，+∞）上单调递增，∴g（x）≥g（1）＝0．∴f（x）≥（x﹣1）2．…（8分）（Ⅲ）设h（x）＝x2lnx﹣x﹣m（x﹣1）2+1，h′（x）＝2xlnx+x﹣2m（x﹣1）﹣1，（Ⅱ）中知x2lnx≥（x﹣1）2+x﹣1＝x（x﹣1），∴xlnx≥x﹣1，∴h′（x）≥3（x﹣1）﹣2m（x﹣1），①当3﹣2m≥0即时，h′（x）≥0，∴h（x）在[1，+∞）单调递增，∴h（x）≥h（1）＝0，成立．②当3﹣m＜0即时，h′（x）＝2xlnx﹣（1﹣2m）（x﹣1），（h′（x））′＝2lnx+3﹣2m，令（h′（x））＝0，得，当x∈[1，x0）时，h′（x）＜h′（1）＝0，∴h（x）在[1，x0）上单调递减∴h （x）＜h（1）＝0，不成立．综上，．…（12分）请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长BA和CD相交于点P，＝，＝．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若BD为⊙O的直径，且P A＝1，求BC的长．【解答】解：（Ⅰ）由∠P AD＝∠PCB，∠A＝∠A，得△P AD与△PCB相似，设P A＝x，PD＝y则有，所以…（5分）（Ⅱ）因为P A＝1，＝，所以PB＝4，因为P A•PB＝PD•PC，＝，所以PC＝2，因为BD为⊙O的直径，所以∠C＝90°，所以BC＝＝2．…（10分）选修4-4：坐标系与参数方程23．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线C的极坐标方程ρ＝2cos（θ+）．（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系；（Ⅱ）设M为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由，消去t得：y＝x+．由，得，即，∴，即．化为标准方程得：．圆心坐标为，半径为1，圆心到直线x﹣y+＝0的距离d＝＞1．∴直线l与曲线C相离；（Ⅱ）由M为曲线C上任意一点，可设，则x+y＝sinθ+cosθ＝，∴x+y的取值范围是．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|x|﹣2（Ⅰ）解不等式f（x）≥0（Ⅱ）若存在实数x，使得f（x）≤|x|+a，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝|2x+1|﹣|x|﹣2＝，当x＜﹣时，由﹣x﹣3≥0，可得x≤﹣3．当﹣≤x＜0时，由3x﹣1≥0，求得x∈∅．当x≥0时，由x﹣1≥0，求得x≥1．综上可得，不等式的解集为{x|x≤﹣3 或x≥1}．（Ⅱ）f（x）≤|x|+a，即|x+|﹣|x|≤+1①，由题意可得，不等式①有解．由于|x+|﹣|x|表示数轴上的x对应点到﹣对应点的距离减去它到原点的距离，故|x+|﹣|x|∈[﹣，]，故有+1≥﹣，求得a≥﹣3．。
黑龙江省哈尔滨市第三中学高三上学期第一次月考数学(文)试题(解析版).docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作黑龙江省哈尔滨三中2015届高三上学期第一次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列结论正确的有( )①集合A={1，2}，集合B={x|x是4的因数}，A与B是同一个集合；②集合{y|y=2x2﹣3}与集合{（x，y）|y=2x2﹣3}是同一个集合；③由1，，，|﹣|，0.5这些数组成的集合有5个元素；④集合{（x，y）|xy≤0，x、y∈R}是指第二和第四象限内的点集．A．0个B．1个C．2个D．3个考点：命题的真假判断与应用．专题：集合．分析：①整数的因数是指能被整除的整数，②两集合相等是指两集合中元素完全相同，③集合中元素必需满足互异性，④当x=0，或y=0时也适合不等式xy≤0．解答：解：①B={x|x是4的因数}={﹣4，﹣2，﹣1，1，2，4}，所以A≠B，所以①错误；②集合{y|y=2x2﹣3}={y|y≥﹣3}是数集，{（x，y）|y=2x2﹣3}表示曲线y=2x2﹣3上的点，是一个点集，所以两个集合不是同一个集合，所以②错误；③∵=，|﹣|=0.5，∴由1，，，|﹣|，0.5这些数组成的集合有3个元素，所以③错误；④当x=0或y=0也满足xy≤0，所以集合{（x，y）|xy≤0，x、y∈R}是指第二和第四象限内或坐标轴上的点集．所以④错误．故选择：A．点评：本题考查了，集合的有关性质，如集合中元素的互异性，集合的代表元，集合相等，这些都是集合中常考的知识点．属于基础题．2．函数的定义域是( )A．[﹣3，1]B．（﹣3，3）C．（﹣3，2）∪（2，3）D．[﹣3，2）∪（2，3]考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：求出使原函数中根数内部的代数式大于等于0的x的集合，再求出使分母不等于0的x的取值集合，然后取交集．解答：解：要使原函数有意义，则，解得：﹣3≤x≤3且x≠2．所以原函数的定义域为[﹣3，2）∪（2，3]．故选D．点评：本题考查了函数的定义域及其求法，求函数的定义域时，开偶次方根要保证被开方数大于等于0．定义域的形式一定是集合或区间，此题是基础题．3．函数y=的值域是( )A．[0，+∞）B．[0，5]C．[0，5）D．（0，5）考点：函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的解析式得0＜5x≤25，所以﹣25≤﹣5x＜0，，这样便求出了函数y的值域：[0，5）．解答：解：解25﹣5x≥0得：x≤2；∴0＜5x≤52=25，∴﹣25≤﹣5x＜0，0≤25﹣5x＜25；；∴函数y的值域是[0，5）．故选C．点评：考查函数值域的概念，指数函数的值域，被开方数满足大于等于0．4．函数的图象( )A．关于原点对称B．关于直线y=x对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称考点：奇偶函数图象的对称性．专题：计算题．分析：题设条件用意不明显，本题解题方法应从选项中突破，由于四个选项中有两个选项是与奇偶性有关的，故先验证奇偶性较好，解答：解：，∴f（x）是偶函数，图象关于y轴对称故选D．点评：考查函数的对称性，宜从奇偶性入手研究．5．给定函数①，②，③y=|x﹣1|，④y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是( )A．①②B．②③C．③④D．①④考点：函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：本题所给的四个函数分别是幂函数型，对数函数型，指数函数型，含绝对值函数型，在解答时需要熟悉这些函数类型的图象和性质；①为增函数，②为定义域上的减函数，③y=|x﹣1|有两个单调区间，一增区间一个减区间，④y=2x+1为增函数．解答：解：①是幂函数，其在（0，+∞）上即第一象限内为增函数，故此项不符合要求；②中的函数是由函数向左平移1个单位长度得到的，因为原函数在（0，+∞）内为减函数，故此项符合要求；③中的函数图象是由函数y=x﹣1的图象保留x轴上方，下方图象翻折到x轴上方而得到的，故由其图象可知该项符合要求；④中的函数图象为指数函数，因其底数大于1，故其在R上单调递增，不合题意．故选B．点评：本题考查了函数的单调性，要注意每类函数中决定单调性的元素所满足的条件．6．设全集U=R，集合E={x|x≤﹣3或x≥2}，F={x|﹣1＜x＜5}，则集合{x|﹣1＜x＜2}等于( ) A．E∩F B．∁U E∩F C．∁U E∪∁U F D．∁U（E∪F）考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：对选支逐一计算看哪个符合结论的解答：解：选项A 易知E∩F={x|2≤x＜5}不合题意选项B C U E={x|﹣3＜x＜2}，C U E∩F={x|﹣1＜x＜2}符合题意选项C C U E={x|﹣3＜x＜2}，C U F={x|x≤﹣1或x≥5}，则C U E∪C U F={x|﹣3＜x≤﹣1}不合题意选项D E∪F={x|x≤﹣3或x＞﹣1}，C U（E∪F）={x|﹣3＜x≤﹣1}不合题意，故选B．点评：本题考查了交集、并集、补集的混合运算，解题需注意端点能否取到．7．设，则a，b，c的大小关系是( )A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a考点：幂函数图象及其与指数的关系．分析：根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来．解答：解：∵在x＞0时是增函数∴a＞c又∵在x＞0时是减函数，所以c＞b故答案选A点评：本题主要考查幂函数与指数的关系．要充分利用函数图象、函数的单调性来解决问题．8．函数y=a x﹣（a＞0，a≠1）的图象可能是( )A．B．C． D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：讨论a与1的大小，根据函数的单调性，以及函数恒过的定点进行判定即可．解答：解：函数y=a x﹣（a＞0，a≠1）的图象可以看成把函数y=a x的图象向下平移个单位得到的．当a＞1时，函数y=a x﹣在R上是增函数，且图象过点（﹣1，0），故排除A，B．当1＞a＞0时，函数y=a x﹣在R上是减函数，且图象过点（﹣1，0），故排除C，故选D．点评：本题主要考查了指数函数的图象变换，指数函数的单调性和特殊点，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．9．已知函数f（x）=，则f（1+log23）的值为( )A．6 B．12 C．24 D．36考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据分段函数的表达式，代入即可得到结论．解答：解：∵2＜1+log23＜3，∴4＜2+1+log23＜5，即4＜log224＜5，∵当x＜4时，f（x）=f（x+2），∴f（1+log23）=f（2+1+log23）=f（log224）=，故选：C点评：本题主要考查函数值的计算，根据分段函数的表达式以及函数的周期性是解决本题的关键．10．对于连续不间断的函数y=f（x），定义面积函数y=∫f（x）为直线x=a，x=b，y=0与y=f（x）围成的图形的面积，则∫x+∫（2x﹣4）﹣∫log2x的值为( )A．6 B．8 C．9 D．10考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：根据定积分的几何意义，∫（2x﹣4）=∫log2x，而∫x表示三角形的面积，问题得以解决．解答：解：如图所示∫（2x﹣4）=∫log2x，而∫x表示三角的面积，其面积为=8故∫x+∫（2x﹣4）﹣∫log2x=|=8，故选：B点评：本题主要考查了定积分的几何意义，属于基础题．11．函数f（x）=的零点个数为( ) A．1个B．2个C．3个D．4个考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：分段函数的零点要讨论，对第一部分要作图．解答：解：①x≤0时，f（x）=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4=0，解得，x=﹣1或x=3（舍去）．②x＞0时，由y=lnx与y=x2﹣2x的图象可知，其有（0，+∞）上有两个交点，故有两个解；则函数f（x）=的零点个数为3．故选C．点评：本题考查了分段函数的零点个数，属于中档题．12．设x∈R，若函数f（x）为单调递增函数，且对任意实数x，都有f[f（x）﹣e x]=e+1（e是自然对数的底数），则f（ln2）的值等于( )A．1 B．e+l C．3 D．e+3考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用换元法将函数转化为f（t）=e+1，根据函数的对应关系求出t的值，即可求出函数f（x）的表达式，即可得到结论．解答：解：设t=f（x）﹣e x，则f（x）=e x+t，则条件等价为f（t）=e+1，令x=t，则f（t）=e t+t=e+1，∵函数f（x）为单调递增函数，∴函数为一对一函数，解得t=1，∴f（x）=e x+1，即f（ln2）=e ln2+1=2+1=3，故选：C．点评：本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）13．f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么当x＜0时，f（x）=x2+4x．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：利用偶函数的定义求函数解析式．解答：解：当x＜0时，﹣x＞0，∵f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，∴f（x）=f（﹣x）=x2+4x；故答案为：x2+4x．点评：本题考查了函数奇偶性的应用，属于基础题．14．已知函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，且f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围（﹣∞，3）．考点：函数单调性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由f（2）=0，知f（x﹣1）＞0化为f（x﹣1）＞f（2），再利用函数的单调性可可得x﹣1＜2．解答：解：∵f（2）=0，∴f（x﹣1）＞0化为f（x﹣1）＞f（2），又f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，∴x﹣1＜2，解得x＜3，∴x的取值范围是（﹣∞，3），故答案为：（﹣∞，3）．点评：该题考查函数的单调性及其应用，属基础题，正确利用函数的单调性去掉不等式中的符号“f”是解题关键．15．若偶函数f（x）对定义域内任意x都有f（x）=f（2﹣x），且当x∈（0，1]时，f（x）=log2x，则f（）=﹣1．考点：抽象函数及其应用；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：先判断函数为周期函数，利用周期性和偶函数得到f（）=f（），再有条件即可求出值．解答：解：∵偶函数f（x）对定义域内任意x都有f（x）=f（2﹣x），∴f（x）=f（x﹣2），∴函数f（x）是以2为周期的周期函数，∴f（）=f（8﹣）=f（），∵x∈（0，1]时，f（x）=log2x，∴f（）=log2=﹣1故答案为：﹣1点评：本题考查了函数的奇偶性、周期性、函数值的计算，属于中档题．16．已知f（x）为奇函数，当x∈[0，2]时，f（x）=﹣x2+2x；当x∈（2，+∞）时，f（x）=2x﹣4，若关于x的不等式f（x+a）＞f（x）有解，则a的取值范围为（﹣2，0）∪（0，+∞）．考点：函数单调性的性质．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：根据题意画出函数f（x）的图象，根据图象及函数f（x）的单调性，f（x+a），和f（x）的取值即可找出a的范围．解答：解：由题意作出函数f（x）的图象，如图所示：若a＞0，则x≥2时，x+a＞2，x+a＞x；f（x）在[2，+∞）上单调递增，所以f（x+a）＞f（x），即该不等式有解；若a＜0，x+a＜x，若x≥2，则x+a≥2+a，要使不等式f（x+a）＞f（x）有解，需2+a＞0，即a＞﹣2；若0≤x＜2，则a≤x+a＜2+a，则需2+a＞0，即a＞﹣2时，f（x+a）＞f（x）有解；若﹣2＜x＜0，﹣2+a＜x+a＜a，则需a＞﹣2，不等式f（x+a）＞f（x）有解；若x≤﹣2，x+a≤a﹣2＜﹣2，函数f（x）在（﹣∞，﹣2]为增函数，所以f（x+a）＜f（x），即不等式f（x+a）＞f（x）无解；综上得a的取值范围是（﹣2，0∪（0，+∞）．故答案为：（﹣2，0）∪（0，+∞）．点评：考查奇函数的概念，二次函数图象，奇函数图象关于原点的对称性，以及函数单调性的定义．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．全集U={x|x2﹣x+1≥0}，A={x||x﹣1|＞1}，B={x|≥0}．求集合A∩B，A∪（∁U B）．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出全集U中不等式的解集确定出U，求出A与B中不等式的解集确定出A与B，进而求出A与B的交集，A与B补集的并集即可．解答：解：由全集U中不等式解得：x≤或x≥2，即全集U=（﹣∞，]∪[2，+∞），由A中不等式变形得：x﹣1＜﹣1或x﹣1＞1，即x＜0或x＞2，∴A=（﹣∞，0）∪（2，+∞），由B中不等式解得：x＞2或x≤﹣1，即B=（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞），∴∁U B=（﹣1，2]，则A∩B=（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞），A∪（∁U B）=R．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．18．已知函数f（x）=lg（a≠1）是奇函数，（1）求a的值；（2）若g（x）=f（x）+，x∈（﹣1，1），求g（）+g（﹣）的值．考点：函数奇偶性的性质；函数的值．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：先根据奇函数的定义得到a的值，再结合定义域关于原点对称即可确定实常数a的值．解答：解：（1）因为函数f（x）=lg是奇函数；所以：f（﹣x）+f（x）=0⇒lg+lg=0⇒lg=0⇒=1．∴a=±1，又a≠1，∴a=﹣1．（2）∵g（x）=f（x）+，且f（x）为奇函数，∴g（）+g（﹣）=f（）+f（﹣）++=2（﹣1）+=2．点评：本题主要考查函数奇偶性的性质．一个函数存在奇偶性的前提是定义域关于原点对称．19．已知定义在（0，+∞）上函数f（x）对任意正数m，n都有f（mn）=f（m）+f（n）﹣，当x ＞1时，f（x）＞，且f（）=0．（1）求f（2）的值；（2）解关于x的不等式：f（x）+f（x+3）＞2．考点：抽象函数及其应用；其他不等式的解法．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用赋值法，先令m=n=1，求得（1）=，再令m=2，n=，求得f（2），（2）先判断函数f（x）为增函数，再题意得到不等式组，解得即可．解答：解：（1）∵f（mn）=f（m）+f（n）﹣，令m=n=1，则f（1）=f（1）+f（1）﹣，所以f（1）=，再令m=2，n=，则f（1）=f（2）+f（）﹣，∴f（2）=1（2）任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则f（x2）﹣f（x1）=f（）﹣因为x1＜x2，所以＞1，∵x＞1时，f（x）＞，则f（）＞，∴f（x2）＞f（x1），所以f（x）在（0，+∞）上是增函数，因为f（4）=f（2）+f（2）﹣=所以f（x）+f（x+3）=f（x2+3x）+＞2．即f（x2+3x）＞=f（4），所以，解得x＞1，故不等式的解集为（1，+∞）点评：本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据抽象函数，利用赋值法是解决本题的关键．综合性较强．20．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF=1，（1）求证：BD⊥平面AED；（2）求B到平面FDC的距离．考点：直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由题意及图可得，先由条件证得AD⊥BD及AE⊥BD，再由线面垂直的判定定理即可证得线面垂直；（2）设点B到平面FDC的距离为h，利用等积法即则V F﹣CDB=V B﹣FDC得到关于h的方程解之．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，∴∠ADC=∠BCD=120°．又CB=CD，∴∠CDB=30°，∴∠ADB=90°，AD⊥BD，又AE⊥BD且，AE∩AD=A，AE，AD⊂平面AED，∴BD⊥平面AED；解：（2）设点B到平面FDC的距离为h，则V F﹣CDB=V B﹣FDC，∴∵，∴h=．点评：本题考查线面垂直的证明与点到面的距离的求法，解题的关键是熟练掌握线面垂直的判定定理及等积法求点到面的距离．21．已知函数f（x）=m•6x﹣4x，m∈R．（1）当m=时，求满足f（x+1）＞f（x）的实数x的范围；（2）若f（x）≤9x对任意的x∈R恒成立，求实数m的范围．考点：其他不等式的解法；函数恒成立问题．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）当m=时，f（x+1）＞f（x）即可化简得，（）x＜，由单调性即可得到；（2）f（x）≤9x对任意的x∈R恒成立即m≤=（）﹣x+（）x对任意的x∈R恒成立，运用基本不等式即可得到最小值，令m不大于最小值即可．解答：解：（1）当m=时，f（x+1）＞f（x）即为•6x+1﹣4x+1＞6x﹣4x，化简得，（）x＜，解得x＞2．则满足条件的x的范围是（2，+∞）；（2）f（x）≤9x对任意的x∈R恒成立即为m•6x﹣4x≤9x，即m≤=（）﹣x+（）x对任意的x∈R恒成立，由于（）﹣x+（）x≥2，当且仅当x=0取最小值2．则m≤2．故实数m的范围是（﹣∞，2]．点评：本题考查指数不等式的解法，以及指数函数的单调性及运用，考查不等式的恒成立问题，运用分离参数的方法和基本不等式求最值，属于中档题．22．设x=m和x=n是函数的两个极值点，其中m＜n，a∈R．（Ⅰ）求f（m）+f（n）的取值范围；（Ⅱ）若，求f（n）﹣f（m）的最大值．注：e是自然对数的底数．考点：函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）确定函数f（x）的定义域，求导函数，利用极值的运用，建立方程，结合韦达定理，即可求f（m）+f（n）的取值范围；（Ⅱ）设，确定t的范围，表示出f（n）﹣f（m），构造新函数，利用导数法确定函数的单调性，即可求得结论．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），．依题意，方程x2﹣（a+2）x+1=0有两个不等的正根m，n（其中m＜n）．故，∴a＞0，并且m+n=a+2，mn=1．所以，=故f（m）+f（n）的取值范围是（﹣∞，﹣3）．…（Ⅱ）当时，．若设，则．于是有，∴，∴t≥e∴构造函数（其中t≥e），则．所以g（t）在[e，+∞）上单调递减，．故f（n）﹣f（m）的最大值是．…点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值与最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
黑龙江省哈尔滨市第三中学2015届高三第一次模拟数学(文)试卷
哈尔滨三中2015年第一次模拟考试 数学试卷（文史类）答案及评分标准一、选择题：二、填空题： 13. 1022 14. 83π 15. 16 16. 3(3,]4-- 三、解答题： 17.解：(Ⅰ)B B B B B A 22sin )sin 21cos 23()sin 21cos 23(sin +-⋅+= 43)sin (cos 4322=+=B B ， 23sin =∴A ，3π=∴A ． ………………………… 6分 (Ⅱ) 12cos ==⋅A b AC AB ，24=∴bc ，又bc c b A bc c b a 3)(cos 22222-+=-+=，10=+∴c b ，c b < ，4=∴b ，6=c ．………………………… 12分18.解：(Ⅰ)[])1()1(3)1)(1(11---=--++n n n n a a a a ，3111111=---∴+n n a a ，即311=-+n n b b ，{}n b ∴是等差数列．………6分(Ⅱ)11=b ，3231+=∴n b n ，………………………… 10分231+=-n a n ，25++=∴n n a n ．………………………… 12分 19. (Ⅰ)因为D 、E 分别是边AC 和AB 的中点，所以BC ED //，因为⊂BC 平面BCH ，⊄ED 平面BCH ，所以//ED 平面BCH因为⊄ED 平面BCH ，⊂ED 平面AED ，平面BCH ⋂平面HI AED = 所以HI ED // 又因为BC ED //，所以IH //BC . …………………………………… 6分 (Ⅱ)211121=⨯⨯=∆AIC S 高2=CD3122131=⨯⨯=V …………………………………… 12分20. 解: (Ⅰ)因为OAB ∆的面积为368,所以364=B y ，……………2分 代入椭圆方程得)364,34(B ，抛物线的方程是：x y 82= ……………6分(Ⅱ) 直线CD 斜率不存在时，OCD S ∆=；直线CD 斜率存在时，设直线CD 方程为(4)y k x =-，带入抛物线，得28320ky y k --=121162OCD S OA y y ∆=-=>，综上OCD S ∆最小值为. ……………12分21.解：(Ⅰ)()2ln f x a x ax b '=++，(1)0f a b '=+=，22()(1)(1)f e ae b e a e e =+-=-+21e e =-+ 1=∴a ，1-=b ．………………………………4分(Ⅱ)2()ln 1f x x x x =-+，设22()ln g x x x x x =+-，(1)x ≥，()2ln 1g x x x x '=-+(())2ln 0g x x ''=>，∴)(x g '在[)+∞,0上单调递增，∴()(1)0g x g ''≥=，∴)(x g 在[)+∞,0上单调递增，∴()(1)0g x g ≥=． ∴2()(1)f x x ≥-．………………………………8分（Ⅲ）设22()ln (1)1h x x x x m x =---+， ()2ln 2(1)1h x x x x m x '=+---，(Ⅱ) 中知22ln (1)1(1)x x x x x x ≥-+-=-，∴ln 1x x x ≥-， ∴()3(1)2(1)h x x m x '≥---，①当023≥-m 即23≤m 时，0)(≥'x h ，)(x h ∴在[1,)+∞单调递增，()(1)0h x h ∴≥=，成立．②当03<-m 即23>m 时，()2ln (12)(1)h x x x m x '=---， (())2ln 32h x x m ''=+-，令(())0h x '=，得232021m x e -=->，当[)01,x x ∈时，()(1)0h x h ''<=，)(x h ∴在[)01,x 上单调递减()(1)0h x h ∴<=，不成立． 综上，23≤m ．………………………………12分22. (Ⅰ)由PAD ∠=PCB ∠，A A ∠=∠，得PAD ∆与PCB ∆相似，设,PA x PD y ==则有24x y y y x=⇒=，所以2AD x BC y == ………………………………5分(Ⅱ)90C ∠=，4,PA PC ===10分23.解：(Ⅰ)直线l 的普通方程为0x y -+=曲线C 的直角坐标系下的方程为22((1x y +=圆心到直线0x y -+=的距离为51d > 所以直线l 与曲线C 的位置关系为相离. ……………5分(Ⅱ)设cos ,sin )M θθ+，则cos sin )4x y πθθθ⎡+=+=+∈⎣.……………10分24. (Ⅰ)① 当12x ≤-时，1223x x x --+≥⇒≤-，所以3x ≤- ② 当102x -<<时，12123x x x ++≥⇒≥，所以为φ ③ 当0x ≥时，121x x +≥⇒≥，所以1x ≥综合①②③不等式的解集为(][),31,-∞-⋃+∞……………5分 (Ⅱ)即12122122a x x a x x +-≤+⇒+-≤+ 由绝对值的几何意义，只需11322a a -≤+⇒≥-…………………10分。
黑龙江省哈尔滨三中高三数学上学期第一次月考试卷 理(含解析)
黑龙江省哈尔滨三中2015届高三上学期第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列结论正确的有( )①集合A={1，2}，集合B={x|x是4的因数}，A与B是同一个集合；②集合{y|y=2x2﹣3}与集合{（x，y）|y=2x2﹣3}是同一个集合；③由1，，，|﹣|，0.5这些数组成的集合有5个元素；④集合{（x，y）|xy≤0，x、y∈R}是指第二和第四象限内的点集．A．0个B．1个C．2个D．3个考点：命题的真假判断与应用．专题：集合．分析：①整数的因数是指能被整除的整数，②两集合相等是指两集合中元素完全相同，③集合中元素必需满足互异性，④当x=0，或y=0时也适合不等式xy≤0．解答：解：①B={x|x是4的因数}={﹣4，﹣2，﹣1，1，2，4}，所以A≠B，所以①错误；②集合{y|y=2x2﹣3}={y|y≥﹣3}是数集，{（x，y）|y=2x2﹣3}表示曲线y=2x2﹣3上的点，是一个点集，所以两个集合不是同一个集合，所以②错误；③∵=，|﹣|=0.5，∴由1，，，|﹣|，0.5这些数组成的集合有3个元素，所以③错误；④当x=0或y=0也满足xy≤0，所以集合{（x，y）|xy≤0，x、y∈R}是指第二和第四象限内或坐标轴上的点集．所以④错误．故选择：A．点评：本题考查了，集合的有关性质，如集合中元素的互异性，集合的代表元，集合相等，这些都是集合中常考的知识点．属于基础题．2．函数的定义域是( )A．B．（﹣3，3）C．（﹣3，2）∪（2，3） D．考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：求出使原函数中根数内部的代数式大于等于0的x的集合，再求出使分母不等于0的x 的取值集合，然后取交集．解答：解：要使原函数有意义，则，解得：﹣3≤x≤3且x≠2．所以原函数的定义域为．故选D．点评：本题考查了函数的定义域及其求法，求函数的定义域时，开偶次方根要保证被开方数大于等于0．定义域的形式一定是集合或区间，此题是基础题．3．函数y=的值域是( )A．C．分析：题设条件用意不明显，本题解题方法应从选项中突破，由于四个选项中有两个选项是与奇偶性有关的，故先验证奇偶性较好，解答：解：，∴f（x）是偶函数，图象关于y轴对称故选D．点评：考查函数的对称性，宜从奇偶性入手研究．5．给定函数①，②，③y=|x﹣1|，④y=2x+1，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是( )A．①②B．②③C．③④D．①④考点：函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：本题所给的四个函数分别是幂函数型，对数函数型，指数函数型，含绝对值函数型，在解答时需要熟悉这些函数类型的图象和性质；①为增函数，②为定义域上的减函数，③y=|x﹣1|有两个单调区间，一增区间一个减区间，④y=2x+1为增函数．解答：解：①是幂函数，其在（0，+∞）上即第一象限内为增函数，故此项不符合要求；②中的函数是由函数向左平移1个单位长度得到的，因为原函数在（0，+∞）内为减函数，故此项符合要求；③中的函数图象是由函数y=x﹣1的图象保留x轴上方，下方图象翻折到x轴上方而得到的，故由其图象可知该项符合要求；④中的函数图象为指数函数，因其底数大于1，故其在R上单调递增，不合题意．故选B．点评：本题考查了函数的单调性，要注意每类函数中决定单调性的元素所满足的条件．6．设全集U=R，集合E={x|x≤﹣3或x≥2}，F={x|﹣1＜x＜5}，则集合{x|﹣1＜x＜2}等于( )A．E∩F B．∁U E∩F C．∁U E∪∁U F D．∁U（E∪F）考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：对选支逐一计算看哪个符合结论的解答：解：选项A 易知E∩F={x|2≤x＜5}不合题意选项B C U E={x|﹣3＜x＜2}，C U E∩F={x|﹣1＜x＜2}符合题意选项C C U E={x|﹣3＜x＜2}，C U F={x|x≤﹣1或x≥5}，则C U E∪C U F={x|﹣3＜x≤﹣1}不合题意选项D E∪F={x|x≤﹣3或x＞﹣1}，C U（E∪F）={x|﹣3＜x≤﹣1}不合题意，故选B．点评：本题考查了交集、并集、补集的混合运算，解题需注意端点能否取到．7．设，则a，b，c的大小关系是( ) A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a考点：幂函数图象及其与指数的关系．分析：根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来．解答：解：∵在x＞0时是增函数∴a＞c又∵在x＞0时是减函数，所以c＞b故答案选A点评：本题主要考查幂函数与指数的关系．要充分利用函数图象、函数的单调性来解决问题．8．函数y=a x﹣（a＞0，a≠1）的图象可能是( )A．B．C． D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：讨论a与1的大小，根据函数的单调性，以及函数恒过的定点进行判定即可．解答：解：函数y=a x﹣（a＞0，a≠1）的图象可以看成把函数y=a x的图象向下平移个单位得到的．当a＞1时，函数y=a x﹣在R上是增函数，且图象过点（﹣1，0），故排除A，B．当1＞a＞0时，函数y=a x﹣在R上是减函数，且图象过点（﹣1，0），故排除C，故选D．点评：本题主要考查了指数函数的图象变换，指数函数的单调性和特殊点，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．9．已知函数f（x）=，则f（1+log23）的值为( ) A．6 B．12 C．24 D．36考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据分段函数的表达式，代入即可得到结论．解答：解：∵2＜1+log23＜3，∴4＜2+1+log23＜5，即4＜log224＜5，∵当x＜4时，f（x）=f（x+2），∴f（1+log23）=f（2+1+log23）=f（log224）=，故选：C点评：本题主要考查函数值的计算，根据分段函数的表达式以及函数的周期性是解决本题的关键．10．函数f（x）=的零点个数为( )A．1个B．2个C．3个D．4个考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：分段函数的零点要讨论，对第一部分要作图．解答：解：①x≤0时，f（x）=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4=0，解得，x=﹣1或x=3（舍去）．②x＞0时，由y=lnx与y=x2﹣2x的图象可知，其有（0，+∞）上有两个交点，故有两个解；则函数f（x）=的零点个数为3．故选C．点评：本题考查了分段函数的零点个数，属于中档题．11．设x∈R，若函数f（x）为单调递增函数，且对任意实数x，都有f=e+1（e是自然对数的底数），则f（ln2）的值等于( )A．1 B．e+l C．3 D．e+3考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用换元法将函数转化为f（t）=e+1，根据函数的对应关系求出t的值，即可求出函数f（x）的表达式，即可得到结论．解答：解：设t=f（x）﹣e x，则f（x）=e x+t，则条件等价为f（t）=e+1，令x=t，则f（t）=e t+t=e+1，∵函数f（x）为单调递增函数，∴函数为一对一函数，解得t=1，∴f（x）=e x+1，即f（ln2）=e ln2+1=2+1=3，故选：C．点评：本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键．12．已知关于x的不等式0≤x2﹣2x+m≤3（m∈R）有且只有一个实数解，函数f（x）=tx，g （x）=2tx2﹣2（m﹣t）x+1，若对于任一实数x，f（x）与g（x）至少有一个为正数，则实数t的取值范围是( )A．（﹣∞，0）B．（0，2）C．（2，8）D．（0，8）考点：函数的零点与方程根的关系．专题：计算题；压轴题；函数的性质及应用．分析：由关于x的不等式0≤x2﹣2x+m≤3（m∈R）有且只有一个实数解求出m的值，代入函数化简；当t≤0时，显然不成立；当t＞0时，因为g（0）=1＞0，所以仅对对称轴进行讨论即可．解答：解：∵y=x2﹣2x+m≥m﹣1，又∵关于x的不等式0≤x2﹣2x+m≤3（m∈R）有且只有一个实数解，∴m﹣1=3，∴m=4，则g（x）=2tx2﹣2（4﹣t）x+1．当t≤0时，当x接近+∞时，函数g（x）=2tx2﹣2（4﹣t）x+1与f（x）=tx均为负值，显然不成立，当t=0时，因g（x）=﹣8x+1，f（x）=0，故不成立；当t＞0时，若﹣=≥0，即0＜t≤4时，结论显然成立；若﹣=＜0时，只要△=4（4﹣t）2﹣8t=4（t﹣8）（t﹣2）＜0即可，即4＜t＜8，故0＜t＜8．故选D．点评：本题主要考查对一元二次函数图象的理解．对于一元二次不等式，一定要注意其开口方向、对称轴和判别式．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）13．f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么当x＜0时，f（x）=x2+4x．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：利用偶函数的定义求函数解析式．解答：解：当x＜0时，﹣x＞0，∵f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，∴f（x）=f（﹣x）=x2+4x；故答案为：x2+4x．点评：本题考查了函数奇偶性的应用，属于基础题．14．已知函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，且f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围（﹣∞，3）．考点：函数单调性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由f（2）=0，知f（x﹣1）＞0化为f（x﹣1）＞f（2），再利用函数的单调性可可得x ﹣1＜2．解答：解：∵f（2）=0，∴f（x﹣1）＞0化为f（x﹣1）＞f（2），又f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，∴x﹣1＜2，解得x＜3，∴x的取值范围是（﹣∞，3），故答案为：（﹣∞，3）．点评：该题考查函数的单调性及其应用，属基础题，正确利用函数的单调性去掉不等式中的符号“f”是解题关键．15．若偶函数f（x）对定义域内任意x都有f（x）=f（2﹣x），且当x∈（0，1]时，f（x）=log2x，则f（）=﹣1．考点：抽象函数及其应用；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：先判断函数为周期函数，利用周期性和偶函数得到f（）=f（），再有条件即可求出值．解答：解：∵偶函数f（x）对定义域内任意x都有f（x）=f（2﹣x），∴f（x）=f（x﹣2），∴函数f（x）是以2为周期的周期函数，∴f（）=f（8﹣）=f（），∵x∈（0，1]时，f（x）=log2x，∴f（）=log2=﹣1故答案为：﹣1点评：本题考查了函数的奇偶性、周期性、函数值的计算，属于中档题．16．已知f（x）为奇函数，当x∈时，f（x）=﹣x2+2x；当x∈（2，+∞）时，f（x）=2x﹣4，若关于x的不等式f（x+a）＞f（x）有解，则a的取值范围为（﹣2，0）∪（0，+∞）．考点：函数单调性的性质．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：根据题意画出函数f（x）的图象，根据图象及函数f（x）的单调性，f（x+a），和f（x）的取值即可找出a的范围．解答：解：由题意作出函数f（x）的图象，如图所示：若a＞0，则x≥2时，x+a＞2，x+a＞x；f（x）在为增函数，所以f（x+a）＜f（x），即不等式f（x+a）＞f（x）无解；综上得a的取值范围是（﹣2，0∪（0，+∞）．故答案为：（﹣2，0）∪（0，+∞）．点评：考查奇函数的概念，二次函数图象，奇函数图象关于原点的对称性，以及函数单调性的定义．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．全集U={x|x2﹣x+1≥0}，A={x||x﹣1|＞1}，B={x|≥0}．求集合A∩B，A∪（∁U B）．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出全集U中不等式的解集确定出U，求出A与B中不等式的解集确定出A与B，进而求出A与B的交集，A与B补集的并集即可．解答：解：由全集U中不等式解得：x≤或x≥2，即全集U=（﹣∞，]∪∴A=（﹣∞，0）∪（2，+∞），由B中不等式解得：x＞2或x≤﹣1，即B=（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞），∴∁U B=（﹣1，2]，则A∩B=（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞），A∪（∁U B）=R．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．18．已知函数f（x）=lg（a≠1）是奇函数，（1）求a的值；（2）若g（x）=f（x）+，x∈（﹣1，1），求g（）+g（﹣）的值．考点：函数奇偶性的性质；函数的值．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：先根据奇函数的定义得到a的值，再结合定义域关于原点对称即可确定实常数a的值．解答：解：（1）因为函数f（x）=lg是奇函数；所以：f（﹣x）+f（x）=0⇒lg+lg=0⇒lg=0⇒=1．∴a=±1，又a≠1，∴a=﹣1．（2）∵g（x）=f（x）+，且f（x）为奇函数，∴g（）+g（﹣）=f（）+f（﹣）++=2（﹣1）+=2．点评：本题主要考查函数奇偶性的性质．一个函数存在奇偶性的前提是定义域关于原点对称．19．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0，x∈，且函数f（x）在x=﹣1处取到最大值0．（1）求的取值范围；（2）求的最小值．考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）因为函数函数f（x）在x=﹣1处取到最大值0，则f（﹣1）=a﹣b+c=0，可得b=a+c 且﹣≤﹣，即可求的取值范围；（2）==+，利用函数的单调性求的最小值．解答：解：（1）因为函数函数f（x）在x=﹣1处取到最大值0，则f（﹣1）=a﹣b+c=0，可得b=a+c且﹣≤﹣，∴﹣≤﹣，解得≥2；（2）==+，因为≥2，所以≥，所以的最小值．点评：本题考查函数的最值及其几何意义，考查函数的单调性，属于中档题．20．已知函数f（x）=m•6x﹣4x，m∈R．（1）当m=时，求满足f（x+1）＞f（x）的实数x的范围；（2）若f（x）≤9x对任意的x∈R恒成立，求实数m的范围．考点：其他不等式的解法；函数恒成立问题．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）当m=时，f（x+1）＞f（x）即可化简得，（）x＜，由单调性即可得到；（2）f（x）≤9x对任意的x∈R恒成立即m≤=（）﹣x+（）x对任意的x∈R恒成立，运用基本不等式即可得到最小值，令m不大于最小值即可．解答：解：（1）当m=时，f（x+1）＞f（x）即为•6x+1﹣4x+1＞6x﹣4x，化简得，（）x＜，解得x＞2．则满足条件的x的范围是（2，+∞）；（2）f（x）≤9x对任意的x∈R恒成立即为m•6x﹣4x≤9x，即m≤=（）﹣x+（）x对任意的x∈R恒成立，由于（）﹣x+（）x≥2，当且仅当x=0取最小值2．则m≤2．故实数m的范围是（﹣∞，2]．点评：本题考查指数不等式的解法，以及指数函数的单调性及运用，考查不等式的恒成立问题，运用分离参数的方法和基本不等式求最值，属于中档题．21．已知定义在（0，+∞）上函数f（x）对任意正数m，n都有f（mn）=f（m）+f（n）﹣，当x＞4时，f（x）＞，且f（）=0．（1）求f（2）的值；（2）解关于x的不等式f（x）+f（x+3）＞2．考点：数列的求和．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由已知得f（1）=f（1）+f（1）﹣，解得f（1）=，从而f（2×）=f（2）+f（）﹣，由此能求出f（2）=1．（2）任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则f（x2）﹣f（x1）=f（）﹣=f（）﹣=，由此能求出关于x的不等式f（x）+f（x+3）＞2的解．解答：解：（1）∵定义在（0，+∞）上函数f（x），对任意正数m，n都有f（mn）=f（m）+f（n）﹣，∴f（1）=f（1）+f（1）﹣，∴f（1）=，∴f（2×）=f（2）+f（）﹣，∵f（）=0，∴f（2）=1．（2）任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则f（x2）﹣f（x1）=f（）﹣=f（）﹣=，∵f（）=f（）+f（）﹣，且时，f（x）＞，∴，∴，解得x∈（1，+∞）．点评：本题考查函数值的求法，考查不等式的解法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．22．设x=m和x=n是函数的两个极值点，其中m＜n，a∈R．（Ⅰ）求f（m）+f（n）的取值范围；（Ⅱ）若，求f（n）﹣f（m）的最大值．注：e是自然对数的底数．考点：函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）确定函数f（x）的定义域，求导函数，利用极值的运用，建立方程，结合韦达定理，即可求f（m）+f（n）的取值范围；（Ⅱ）设，确定t的范围，表示出f（n）﹣f（m），构造新函数，利用导数法确定函数的单调性，即可求得结论．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），．依题意，方程x2﹣（a+2）x+1=0有两个不等的正根m，n（其中m＜n）．故，∴a＞0，并且m+n=a+2，mn=1．所以，=故f（m）+f（n）的取值范围是（﹣∞，﹣3）．…（Ⅱ）当时，．若设，则．于是有，∴，∴t≥e∴构造函数（其中t≥e），则．所以g（t）在[e，+∞）上单调递减，．故f（n）﹣f（m）的最大值是．…点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值与最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
黑龙江省哈尔滨市第三中学高三第一次测试——数学(理)数学(理)
黑龙江省哈尔滨市第三中学2015届高三第一次测试数学（理）试题考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列结论正确的有①集合，集合，A 与B 是同一个集合；②集合与集合是同一个集合；③由，，，，这些数组成的集合有5个元素；④集合},0|),{(R y x xy y x ∈≤、是指第二和第四象限内的点集．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2.函数的定义域是A ．B ．C ．D ．3.函数的值域是A ．B ．C ．D ．4.函数的图象A ．关于原点对称B ．关于直线对称C ．关于轴对称D ．关于轴对称5.给定函数①，②，③，④，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是A ． ①②B ． ②③C ． ③④D ． ①④6.设全集，{}{}|3,2,|15E x x x F x x =≤-≥=-<<或，则集合可以表示为A ．B ．C ．D ．7.设232555322555a b c ===（）,（），（），则，，的大小关系是 A ． B ． C ． D ．8.函数1(0,1)x y a a a a=->≠的图象可能是9.已知函数⎩⎨⎧<+≥=4)2(42)(x x f x x f x ，则的值为A ．B ．C ．D ．10.函数⎪⎩⎪⎨⎧≤-->+-=)0(32)0(2ln )(22x x x x x x x x f 的零点个数为 A ． 个 B ．个 C ．个 D ．个11.若函数为上的单调递增函数，且对任意实数，都有 (是自然对数的底数)，则的值等于A ．B ．C ．D ．12.已知关于的不等式)(3202R m m x x ∈≤+-≤有且只有一个实数解，函数， 2()22()1g x tx m t x =--+，若对于任一实数，与至少有一个为正数，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上)13.是定义在上的偶函数，当时，，那么当时， .14. 已知函数在上单调递减，且，若，则的取值范围 .15.若偶函数对定义域内任意都有，且当时，，则 .16.已知为奇函数，当时，；当时，，若关于的不等式有解，则的取值范围为 .三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.全集{},11,01252>-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥+-=x x A x x x U 求集合.18.已知函数)1(11lg)(≠++=a ax x x f 是奇函数， （1）求的值；（2）若()1,1,212)()(-∈++=x x f x g x，求的值.19.已知二次函数[]1,2),0()(2--∈>++=x a c bx ax x f ，且函数在处取到最大值， （1）求的取值范围；（2）求的最小值.20.已知函数R m m x f x x ∈-⋅=,46)(.（1）当时，求满足的实数的范围；（2）若对任意的恒成立，求实数的范围.21.已知定义在上函数对任意正数都有21)()()(-+=n f m f mn f ，当时，，且. （1）求的值；（2）解关于的不等式.22.设和是函数x a x x x f )2(21ln )(2+-+=的两个极值点，其中 .（1）求的取值范围；（2）若，求的最大值(注:是自然对数的底数).参考答案一、选择题二、解答题13. 14. 15. 16.三、解答题19.(1)因为函数在处取到最大值,则,可得且232,232-≤+-∴-≤-a c a a b ，解得 （2）()()ac c a ac c a a c a a ac c a +=+=-+-+22222因为，所以（2）因为对任意的，恒成立，则 整理得：x x x x x m ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+≤32132694对任意的，，所以232132≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x x ，则22.(Ⅰ)解:函数的定义域为,21(2)1()(2)x a x f x x a x x-++'=+-+=. 依题意,方程有两个不等的正根, (其中).故2(2)40020a a a ⎧+->⇒>⎨+>⎩, 并且 . 所以,221()()ln ()(2)()2f m f n mn m n a m n +=++-++ 2211[()2](2)()(2)1322m n mn a m n a =+--++=-+-<- 故的取值范围是(Ⅱ)解当时,.若设,则222()11(2)()22m n a m n t e mn t e++=+==++≥++. 于是有 111()(1)0t e t e t e t e te+≥+⇒--≥⇒≥ 222211()()ln ()(2)()ln ()()()22n n f n f m n m a n m n m n m n m m m -=+--+-=+--+- 2222111ln ()ln ()ln ()22211ln ()2n n n m n n m n m m m mn m m n t t t-=--=-=--=-- 构造函数 (其中),则222111(1)()(1)022t g t t t t -'=-+=-<. 所以在上单调递减,1()()122e g t g e e≤=-+. 故得最大值为。
2015届黑龙江省哈三中高三第一次模拟测试文科数学(含答案解析)
哈三中2014－2015学年度高三第一次测试数学（文科）试卷考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.下列结论正确的有①集合}2,1{=A ，集合}4|{的因数是x x B =，A 与B 是同一个集合； ②集合}32|{2-=x y y 与集合}32|),{(2-=x y y x 是同一个集合； ③由1，23，46，|21|-，5.0这些数组成的集合有5个元素； ④集合},0|),{(R y x xy y x Σ、是指第二和第四象限内的点集．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2.函数()292--=x x x f 的定义域是 A ．[]3,3- B ．()3,3- C ．()()3,22,3È- D ．[)(]3,22,3È- 3.函数x y 525-=的值域是A ．[0,)+¥B ．[]5,0C ．[)5,0D ．()5,04.函数()412x xf x +=的图象A ．关于原点对称B ．关于直线x y =对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称5.给定函数①12y x =，②12log (1)y x =+，③|1|y x =-，④12x y +=，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是A ． ①②B ． ②③C ． ③④D ． ①④6.设全集U R =，{}{}|3,2,|15E x x x F x x =£-³=-<<或，则集合{}|12x x -<< 可以表示为A ． F E IB ． ()F EC U I C ．()()F C E C U U UD ．()FE C U U7.设232555322555a b c ===（）,（），（），则a ，b ，c 的大小关系是A ．b c a >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a c b >> 8.函数1(0,1)xy a a a a=->¹的图象可能是A ．B ．C ．D ．9.已知函数îíì<+³=4)2(42)(x x f x x f x ，则)3log 1(2+f 的值为A ．6B ．12C ．24D ．3610.对于连续不间断的函数)(x f y =，定义面积函数)(x f y ba V =为直线0,,===yb x a x 与)(x f y =围成的图形的面积，则x x x2412040log )42(V V V --+的值为 A ．6 B ．8 C. 9 D ．1011.函数ïîïíì£-->+-=)0(32)0(2ln )(22x x x x x x x x f 的零点个数为A ．1 个B ．2个C ．3个D ．4个12.若函数)(x f 为R 上的单调递增函数，且对任意实数x ，都有1])([+=-e e x f f x(e 是 自然对数的底数)，则)2(ln f 的值等于A ．1B ．2C ． 3D ．4第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上) 13.()x f 是定义在R 上的偶函数，当0³x 时，()x x x f 42-=，那么当0<x 时，=)(x f .14. 已知函数()x f 在()+¥¥-,上单调递减，且()02=f ，若()01>-x f ，则x 的取值范围 .15.若偶函数)(x f 对定义域内任意x 都有)2()(x f x f -=，且当(]1,0Îx 时，x x f 2log )(=，则=)215(f . 16.已知()x f 为奇函数，当[]2,0Îx 时，x x x f 2)(2+-=；当()+¥Î,2x 时，42)(-=x x f ，若关于x 的不等式)()(x f a x f >+有解，则a 的取值范围为 .三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.全集{},11,01252>-=þýüîíì³+-=x x A x x x U =B ,021þýüîíì³-+x x x 求集合)(,B C A B A U U I .18．已知函数)1(11lg )(¹++=a axxx f 是奇函数， （1）求a 的值； （2）若()1,1,212)()(-Î++=x x f x g x，求21()21(-+g g 的值.19.已知定义在()+¥,0上函数)(x f 对任意正数n m ,都有21)()()(-+=n f m f mn f ，当1>x 时，21)(>x f ，且0)21(=f （1）求)2(f 的值；（2）解关于x 的不等式：2)3()(>++x f x f .20.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，FC ⊥平面 ABCD ，AE ⊥BD ，CB ＝CD ＝CF=1， （1）求证：BD ⊥平面AED ； （2）求B 到平面FDC 的距离．21.已知函数R m m x f xxÎ-×=,46)(.（1）当154=m 时，求满足)()1(x f x f >+的实数x 的范围； （2）若xx f 9)(£对任意的R x Î恒成立，求实数m 的范围.22.设m x =和n x =是函数x a x x x f )2(21ln )(2+-+=的两个极值点， 其中R a n m Î<,.（1）若0>a ，求)()(n f m f +的取值范围； （2）若21-+³ee a ,求)()(mf n f -的最大值(注:e 是自然对数的底数).哈尔滨市第三中学2014－2015学年度 高三第一次验收考试数学答案（文科）一、选择题A D C DB B A DC B C C二、填空题13.x x 42+ 14. ()3,¥- 15.1- 16.()()+¥-,00,2U三、解答题17.(]()U B C A B A U =+¥-¥-=)(,,21,U U I .18．(1)因为)(x f 为奇函数，所以对定义域内任意x ，都有0)()(=+-x f x f即1,011lg 11lg 11lg 222±==--=+++--a xa x ax x ax x ，由条件知1¹a ，所以1-=a (2)因为)(x f 为奇函数，所以0)21()21(=+-f f ,令xx h 212)(+=， 则22111212)21()21(=+++=-+h h 所以221()21(=-+g g19.（1）21)1()1()1(-+=f f f ，所以21)1(=f ,2121()2()212(-+=´f f f 解得1)2(=f （2）任取()+¥Î,0,21x x ，且21,x x ，则21()()(1212-=-x x f x f x f 因为21,x x ，所以112>x x ，则21(12>x x f ，0)()(12>-x f x f 所以)(x f 在()+¥,0上是增函数,因为2321)2()2()4(=-+=f f f 所以221)3()3()(2>++=++x x f x f x f 即)4(23)3(2f x x f =>+ 所以ïîïíì>+>+>430302x x x x ，解得()+¥Î,1x20.（1）证明：在等腰梯形ABCD 中，060=ÐDAB ,0120=Ð\DCB0090301=Ð\=Ð\==ADB CDB CD CB Q ,即AD BD ^ AED BD A AE AD AE BD 平面^\=^I Q ,（2）令点B 到平面FDC 的距离为h则h S FC S V V FDC CDB FDC B CDB F ××=××\=D D --3131, 21,43==D D FDC CDB S S Q ，解得23=h 21.（1）当154=m 时，)()1(x f x f >+则x x x x 461544615411-×>-×++，整理得xx 43634×>× 即22323÷øöçèæ>÷øöçèæx，解得2>x （2）因为对任意的R x Î，xx f 9)(£恒成立，则xxxm 946£-×整理得：xxx x x m ÷øöçèæ+÷øöçèæ=+£32132694 对任意的R x Î，032>÷øöçèæx，所以232132³÷øöçèæ+÷øöçèæx，则2£m 22.(Ⅰ)解:函数()f x 的定义域为(0,)+¥,21(2)1()(2)x a x f x x a x x-++¢=+-+=.依题意,方程2(2)10x a x -++=有两个不等的正根m ,n (其中m n <). 故 2,1m n a mn +=+=. 所以,221()()ln ()(2)()2f m f n mn m n a m n +=++-++ 2211[()2](2)()(2)1322m n mn a m n a =+--++=-+-<- 故()()f m f n +的取值范围是(,3)-¥- (Ⅱ)解当2a ³时, 21(2)2a e e +³++.若设(1)nt t m =>,则222()11(2)()22m n a m n t e mn t e ++=+==++³++.于是有 111()(10t e t e t e t e te +³+Þ--³Þ³222211()()ln ()(2)()ln ()()()22n n f n f m n m a n m n m n m n m m m -=+--+-=+--+-2222111ln ()ln (ln ()22211ln ()2n n n m n n m n m m m mn m m n t t t-=--=-=--=-- 构造函数11()ln ()2g t t t t =--(其中t e ³),则222111(1)()(1022t g t t t t -¢=-+=-<.所以()g t 在[,)e +¥上单调递减,1()()122e g t g e e£=-+. 故()()f n f m -的最大值是1122e e-+。
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哈三中2014－2015学年度 高三第一次测试 数学（文科） 试卷考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀.第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.下列结论正确的有①集合}2,1{=A ，集合}4|{的因数是x x B =，A 与B 是同一个集合； ②集合}32|{2-=x y y 与集合}32|),{(2-=x y y x 是同一个集合； ③由1，23，46，|21|-，5.0这些数组成的集合有5个元素； ④集合},0|),{(R y x xy y x ∈≤、是指第二和第四象限内的点集．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2.函数()292--=x x x f 的定义域是A ．[]3,3-B ．()3,3-C ．()()3,22,3⋃-D ．[)(]3,22,3⋃- 3.函数x y 525-=的值域是A ．[0,)+∞B ．[]5,0C ．[)5,0D ．()5,04.函数()412x xf x +=的图象A ．关于原点对称B ．关于直线x y =对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称5.给定函数①12y x =，②12log (1)y x =+，③|1|y x =-，④12x y +=，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是A ． ①②B ． ②③C ． ③④D ． ①④6.设全集U R =，{}{}|3,2,|15E x x x F x x =≤-≥=-<<或，则集合{}|12x x -<< 可以表示为A ． F EB ． ()F EC U C ．()()F C E C U UD ．()FE C U7.设232555322555a b c ===（）,（），（），则a ，b ，c 的大小关系是A ．b c a >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a c b >> 8.函数1(0,1)xy a a a a=->≠的图象可能是A ．B ．C ．D ．9.已知函数⎩⎨⎧<+≥=4)2(42)(x x f x x f x ，则)3log 1(2+f 的值为A ．6B ．12C ．24D ．3610.对于连续不间断的函数)(x f y =，定义面积函数)(x f y ba ς=为直线0,,===y b x a x 与)(x f y =围成的图形的面积，则x x x 2412040log )42(ςςς--+的值为A ．6B ．8 C. 9 D ．1011.函数⎪⎩⎪⎨⎧≤-->+-=)0(32)0(2ln )(22x x x x x x x x f 的零点个数为A ．1 个B ．2个C ．3个D ．4个12.若函数)(x f 为R 上的单调递增函数，且对任意实数x ，都有1])([+=-e e x f f x(e 是自然对数的底数)，则)2(ln f 的值等于A ．1B ．2C ． 3D ．4第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上) 13.()x f 是定义在R 上的偶函数，当0≥x 时，()x x x f 42-=，那么当0<x 时，=)(x f .14. 已知函数()x f 在()+∞∞-,上单调递减，且()02=f ，若()01>-x f ，则x 的取值范围 .15.若偶函数)(x f 对定义域内任意x 都有)2()(x f x f -=，且当(]1,0∈x 时，x x f 2l o g )(=，则=)215(f . 16.已知()x f 为奇函数，当[]2,0∈x 时，x x x f 2)(2+-=；当()+∞∈,2x 时，42)(-=x x f ，若关于x 的不等式)()(x f a x f >+有解，则a 的取值范围为 .三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.全集{},11,01252>-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥+-=x x A x x x U =B ,021⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-+x x x 求集合)(,B C A B A U .18．已知函数)1(11lg )(≠++=a axxx f 是奇函数， （1）求a 的值； （2）若()1,1,212)()(-∈++=x x f x g x，求)21()21(-+g g 的值.19.已知定义在()+∞,0上函数)(x f 对任意正数n m ,都有21)()()(-+=n f m f mn f ，当1>x 时，21)(>x f ，且0)21(=f（1）求)2(f 的值；（2）解关于x 的不等式：2)3()(>++x f x f .20.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，FC ⊥平面 ABCD ，AE ⊥BD ，CB ＝CD ＝CF=1， （1）求证：BD ⊥平面AED ； （2）求B 到平面FDC 的距离．21.已知函数R m m x f xx ∈-⋅=,46)(.（1）当154=m 时，求满足)()1(x f x f >+的实数x 的范围； （2）若xx f 9)(≤对任意的R x ∈恒成立，求实数m 的范围.22.设m x =和n x =是函数x a x x x f )2(21ln )(2+-+=的两个极值点， 其中R a n m ∈<,.（1）若0>a ，求)()(n f m f +的取值范围； （2）若21-+≥ee a ,求)()(mf n f -的最大值(注:e 是自然对数的底数).哈尔滨市第三中学2014－2015学年度 高三第一次验收考试数学答案（文科）一、选择题A D C DB B A DC B C C二、填空题13.x x 42+ 14. ()3,∞- 15.1- 16.()()+∞-,00,2三、解答题17.(]()U B C A B A U =+∞-∞-=)(,,21, .18．(1)因为)(x f 为奇函数，所以对定义域内任意x ，都有0)()(=+-x f x f即1,011lg 11lg 11lg 222±==--=+++--a xa x ax x ax x ，由条件知1≠a ，所以1-=a (2)因为)(x f 为奇函数，所以0)21()21(=+-f f ,令xx h 212)(+=， 则22111212)21()21(=+++=-+h h 所以2)21()21(=-+g g19.（1）21)1()1()1(-+=f f f ，所以21)1(=f ,21)21()2()212(-+=⨯f f f 解得1)2(=f （2）任取()+∞∈,0,21x x ，且21,x x ，则21)()()(1212-=-x x f x f x f 因为21,x x ，所以112>x x ，则21)(12>x x f ，0)()(12>-x f x f 所以)(x f 在()+∞,0上是增函数,因为2321)2()2()4(=-+=f f f 所以221)3()3()(2>++=++x x f x f x f 即)4(23)3(2f x x f =>+ 所以⎪⎩⎪⎨⎧>+>+>430302x x x x ，解得()+∞∈,1x20.（1）证明：在等腰梯形ABCD 中，060=∠DAB ,0120=∠∴DCB0090301=∠∴=∠∴==ADB CDB CD CB ,即AD BD ⊥AED BD A AE AD AE BD 平面⊥∴=⊥ ,（2）令点B 到平面FDC 的距离为h则h S FC S V V FDC CDB FDC B CDB F ⋅⋅=⋅⋅∴=∆∆--3131, 21,43==∆∆FDC CDB S S ，解得23=h 21.（1）当154=m 时，)()1(x f x f >+则x x x x 461544615411-⋅>-⋅++，整理得xx 43634⋅>⋅即22323⎪⎭⎫⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛x，解得2>x （2）因为对任意的R x ∈，x x f 9)(≤恒成立，则xxxm 946≤-⋅整理得：xxx x x m ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+≤32132694 对任意的R x ∈，032>⎪⎭⎫⎝⎛x，所以232132≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛xx，则2≤m 22.(Ⅰ)解:函数()f x 的定义域为(0,)+∞,21(2)1()(2)x a x f x x a x x-++'=+-+=.依题意,方程2(2)10x a x -++=有两个不等的正根m ,n (其中m n <).故 2,1m n a mn +=+=. 所以,221()()ln ()(2)()2f m f n mn m n a m n +=++-++2211[()2](2)()(2)1322m n mn a m n a =+--++=-+-<- 故()()f m f n +的取值范围是(,3)-∞-(Ⅱ)解当2a ≥-时, 21(2)2a e e +≥++.若设(1)nt t m =>,则222()11(2)()22m n a m n t e mn t e ++=+==++≥++.于是有 111()(1)0t e t e t e t e te +≥+⇒--≥⇒≥222211()()ln ()(2)()ln ()()()22n n f n f m n m a n m n m n m n m m m -=+--+-=+--+-2222111ln ()ln ()ln ()22211ln ()2n n n m n n m n m m m mn m m n t t t-=--=-=--=-- 构造函数11()ln ()2g t t t t=--(其中t e ≥),则222111(1)()(1)022t g t t t t -'=-+=-<.所以()g t 在[,)e +∞上单调递减,1()()122e g t g e e≤=-+. 故()()f n f m -的最大值是1122e e-+。