厚壁圆筒应力分析

厚壁圆筒应力分析

1、概述

K>1.2的壳体成为厚壁圆筒。厚壁容器承压的应力特点有（此处不考虑热应力）：一、不能忽略径向应力，应做三向应力分析；二、厚壁容器的应力在厚度方向不是均匀分布，而是应力梯度。所以，在求解的时候需要联立几何方程、物理方程、平衡方程才能确定厚壁各点的应力大小。 2、解析解

一、内压为i p ，外压为0p 的厚壁圆筒，需要求出径向应力r σ、周向应力θσ和轴向应力z σ，其中轴向应力z σ不随半径r 变化。 （1）几何方程

如图所示，取内半径r ，增量为dr 的一段区域两条弧边的径向位移为ω和ωωd +，其应变的表达式为：

r rd rd d r dr

d dr d r ω

θθθωεω

ωωωεθ=

-+==

-+=

))(（周向应力：径向应力：（1）

θσ对r 求导，得：

()θθσσωωωω

ωσ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-='⎪⎭

⎫ ⎝⎛=r r r dr d r r r dr d r dr d 112

（2） （2）物理方程 根据胡克定理表示为:

[]z E

σσμσεθθ+-=

r (1

（3） 两式相减，消去z σ得：

[]θθσσμεε-+=

r E ）

（1-r []z r E

σσμσεθ+-=(1r （4） 将（4）代入（2）得：

[]）

z r E

dr d σσμσεθθ+-=(1

（5） 对（3）的θε求导得，z σ看做常数：

⎪⎭

⎫

⎝⎛-=dr r d dr d E dr d σμσεθθ1 （6） 联立（5）、（6）得：

[]θθθσσμσμσ-)

1-r r

dr d dr d +=

（ （7） （3）平衡方程

如图所示，沿径向和垂直径向建立坐标 系，把θσ向x 轴和y 轴分解，得：

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=-+2sin 2θθd p p p r dr r （8）

其中

()θσσd dr r d p r r dr r ++=+)（ （9） θσrd p r r =

由于θd 很小，2

2sin θ

θd d ≈⎪⎭⎫

⎝⎛，略去二阶微量r r d d σ，得 dr

d r

r

r σσσθ=- （10） 联立（7）（10）得

0322=+dr

d dr d r r r σσ （11）

对（11）进行求得r σ，在代入（10）得

2

2r

B

A r B

A r +=-

=θσσ （12） 其中A 、B 是两个积分常数，要求A ，B 需要两个方程，根据内外壁边界条件

0,,p R r p R r r i r i -==-==σσ （13）

将（13）代入（12）得：

22020

202202

002)(i

i i i i i R

R R R p p B R R R p R p A --=

--=

（14）

最后剩下z σ未求出，最后在轴向用平衡方程，内力等于外力。

)S 22

0z z i R R F -==（内力πσσ （15） 0202i R p R p F i ππ-=外力 （16）

联立（15）（16）得：

A R R R p R p R R p R p R i

i i i i i z =--=--=2

2020022200202)(πππσ （17） 所以得到内外压作用下的拉美公式：

周向应力：2

2202

020********

)(r R R R R p p R R R p R p i i i i i i --+--=θσ （18） 径向应力：222

0202022020021

)(r R R R R p p R R R p R p i i i i i i r -----=σ 轴向应力：2

2020

02i

i i z R R R p R p --=σ

3、有限元模型及假设

由于筒体是对称结构，所以用轴对称模型。设内径

R为70mm，壁厚

i

30mm，高度为150mm，弹性模量E为2E11Mpa，泊松比为0.3。内压

为

P=5Mpa，外压为0P=1Mpa。模型如下（不考虑温度产生的热应力）：i

实体模型图

在Ansys中建模并施加相关约束和荷载后进行应力、应变分

析，得到如下图应力云图、三向应力曲线图以及数值解：

三向应力云图

4、由拉美公式计算该模型三向应力（如下图表），并制作成三向应力

曲向图（散点图）与Ansys的三向应力曲线图（实现图）对比，如图：

三向应力解析解与数值解对比表

三向应力解析解曲线图与数值解曲线图对比

总结：对比后发现由拉美公式得出的解析解与ansys得出的数值解几乎完全重合，进一步验证了其正确性！

厚壁圆筒应力分析以及平板孔口应力集中的ANSYS

有限元分析

专业：理论及应用力学

班级： 02 班

学号： 1203040212

姓名：潘斌