多元函数的极值及其求法

B = f xy (1,1) = −3, C = f yy (1,1) = 6.
AC − B2 = 6⋅ 6 − (−3)2 = 27 > 0.
. 因此， 因此，驻点 (1, 1) 是极小值点
极小值 f (1,1) = 13 + 13 − 3×1×1 = −1.
与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外， 与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外， 偏导数不存在的点也可能是极值点。 偏导数不存在的点也可能是极值点。 例如， 例如，显然函数 z = x2 + y2
下，
V = xyz ( x > 0, y > 0, z > 0) 的最大值 的最大值.
F( x, y, z) = xyz + λ(2xy + 2 yz + 2xz − a2 ),
Fx = yz + λ(2 y + 2z) = 0, F = xz + λ(2x + 2z) 0, = y Fz = xy + λ(2 y + 2x) = 0, 2xy + 2 yz + 2xz − a2 = 0.
极大值； 则称函数在( x0, y0 )有极大值； 极小值； 则称函数在( x0, y0 )有极小值；
极大值、极小值统称为极值. 极大值、极小值统称为极值. 极值
使函数取得极值的点称为极 值点. 使函数取得极值的点称为极 值点.
2 2 例1 函数z = 3x + 4 y 处有极小值． 在(0,0) 处有极小值．
U( x, y) = ln x + ln y
在条件
8x + 10 y = 200 下的极值点． 下的极值点．
条件极值：对自变量有附加条件的极值． 条件极值：对自变量有附加条件的极值．
拉格朗日乘数法 要找函数 z = f ( x, y) 在条件 ϕ( x, y) = 0 下的可能 极值点, 极值点,
f y ( x, y) = 0
求出所有驻点. 求出所有驻点.
第二步 对于每一个驻点( x0, y0 )，
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
的符号， 值. 第三步 定出AC − B2的符号，再判定是否 极 . 是 值
例4 求函数 f ( x, y) = x3 + y3 − 3xy 的极值。 的极值。 解
得驻点 ( 1 , 1 ) 和 (− 1 ,− 1 ), 2 2 2 2
因为 lim
x+ y =0 2 2 x→∞ x + y + 1
y→∞
即边界上的值为零. 即边界上的值为零.
x+ y =0 因为 lim 2 2 x→∞ x + y + 1
y→∞
即边界上的值为零. 即边界上的值为零.
z( 1 , 1 ) = 1 , 2 2 2 z(− 1 ,− 1 ) = − 1 , 2 2 2
例如， 的驻点， 例如，点(0, 0)是函数 z = xy 的驻点，
zx = y, zx (0,0) = 0;
z y = x, z y (0,0) = 0.
点. 点 是 值 . 但 (0, 0) 不 极 点
问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
定理2 充分条件） 定理 2（充分条件） 设函数 z = f ( x, y) 在点 ( x0, y0 ) 的某邻域内连 续，有一阶及二阶连续偏导数，又 有一阶及二阶连续偏导数，
y x+ y , = z x+z
代入条件， 代入条件，得
2x ⋅ x + 2x ⋅ x + 2x ⋅ x − a2 = 0.
f xy ( x, y) = −3,
f yy ( x, y) = 6 y.
在(0, 0) 处, A = f xx (0,0) = 0, B = f xy (0,0) = −3,
C = f yy (0,0) = 0.
AC − B2 = −9 < 0.
. 因此，驻点 (0, 0) 不是极值点 因此， 在(1, 1) 处, A = f xx (1,1) = 6 > 0,
f x ( x, y) = 3x − 3 y,
2
f y ( x, y) = 3 y2 − 3x.
x2 = y, ⇒ y2 = x.
3x2 − 3 y = 0, 求解方程组： 求解方程组： 3 y2 − 3x = 0.
得驻点 (0, 0), (1, 1).
f xx ( x, y) = 6x,
(2) AC − B2 < 0时没有极值； 时没有极值； (3) AC − B2 = 0时可能有极值,也 能 有 值 时可能有极值, 可 没 极 ， 值，
还需另作讨论． 还需另作讨论．
极值的一般步骤 步骤： 求函数 z = f ( x, y) 极值的一般步骤：
第一步 解方程组 f x ( x, y) = 0,
(1)
2 2 例２ 函数 z = − x + y
在(0,0) 处有极大值． 处有极大值．
(2)
例３ 函数z = xy
处无极值． 在(0,0) 处无极值．
(3)
2、多元函数取得极值的条件
定理1 必要条件） 定理 1（必要条件） 函 设 数z = f ( x, y)在 ( x0, y0 )具 偏导 ， 在 点 有 数且 值， 点( x0, y0 )处有极 ，则它在该点的偏导 必 值 数 然 为零： 为零：
在 0, 0) 处取得极小值 ( .
( 但函数在 0, 0) 处偏导数
不存在。 不存在。
3、多元函数的最值
与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值 与一元函数相类似， 来求函数的最大值和最小值. 来求函数的最大值和最小值.
求最值的一般方法： 求最值的一般方法： 方法
将函数在 D 内的所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的最大值和最小值相互比较， 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中 最大者即为最大值，最小者即为最小值. 最大者即为最大值，最小者即为最小值.
格 日 数 可推 拉 朗 乘 法 推 到 变 多 两 的 况 可 广 自 量 于 个 情 ： 找 数 要 函 u = f ( x, y, z, t ) 在 件 ϕ( x, y, z, t ) = 0， 条
ψ ( x, y, z, t ) = 0 下的极值。
构 函 （ 中 数） 先 造 数 其 λ1, λ2 均 常 ） 为 数
解出 x, y, z, t 即得 可能极值点的坐标. 可能极值点的坐标
而体积为最大的长方体的体积. 例6 求表面积为 a2 而体积为最大的长方体的体积 解 设长方体的长、宽、高为 x , y，z. 体积为 V . 设长方体的长、 ， 则问题就是条件 求函数 令
2xy + 2 yz + 2xz − a2 = 0
一、多元函数的极值和最值 二、条件极值 拉格朗日乘数法 三、小结
一、多元函数的极值和最值
1、二元函数极值的定义
的某邻域内有定义， 设函数z = f ( x, y)在点( x0, y0 )的某邻域内有定义， 对于该邻域内异于( x0, y0 )的点( x, y)： 若满足不等式 若满足不等式
f ( x, y) < f ( x0, y0 )， f ( x, y) > f ( x0, y0 )，
则
令
F( x, y, z) = xyz + λ(2xy + 2 yz + 2xz − a2 ),
Fx = yz + λ(2 y + 2z) = 0, F = xz + λ(2x + 2z) 0, = y Fz = xy + λ(2 y + 2x) = 0, 2xy + 2 yz + 2xz − a2 = 0. (1) yz = −2λ( y + z) xz = −2λ( x + z) (2) (3) xy = −2λ( x + y) 2xy + 2 yz + 2xz − a2 = 0 (4)
则
即
因 x > 0, y > 0, z > 0, 由(2), (1)及(3), (2)得 及 得
x x+ z , = y y+z
y x+ y , = z x+z
因 x > 0, y > 0, z > 0, 由(2), (1)及(3), (2)得 及 得
x x+ z , = y y+z
于是， x = y = z. 于是，
例5
求 z=
x+ y 的最大值和最小值. 的最大值和最小值. 2 2 x + y +1
解 令
( x2 + y2 + 1) − 2x( x + y) zx = = 0, 2 2 2 ( x + y + 1) ( x2 + y2 + 1) − 2 y( x + y) zy = = 0, 2 2 2 ( x + y + 1)
1 1 所以最大值为 ，最小值为− . 2 2
无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外， 无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外， 并无其他条件. 并无其他条件.
三、条件极值拉格朗日乘数法
实例： 元钱， 实例：小王有 200 元钱，他决定用来购买两种急 需物品：计算机磁盘和录音磁带， 需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购 买 x 张磁盘， y 盒录音磁带达到最佳效果， 张磁盘， 盒录音磁带达到最佳效果， 效果函数为 U(x, y) = lnx+lny ．设每张磁 盘 8 元，每盒磁带 10 元，问他如何分配这 200 元以达到最佳效果． 元以达到最佳效果． 问题的实质： 问题的实质：求 实质
处有极大值, 说明一元函数 f ( x, y0 )在x = x0处有极大值,
必有
f x ( x0, y0 ) = 0;
类似地可证
f y ( x0, y0 ) = 0.
推广： 推广：如果三元函数u = f ( x, y, z) 在 P( x0, y0, z0 ) 点 具有偏导数， 的必 具有偏导数，则它在P( x0, y0, z0 )有极值 必 的 要条件为 要条件为
f x ( x0, y0, z0 ) = 0，
f y ( x0, y0, z0 ) = 0， fz ( x0, y0, z0 ) = 0.
仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点， 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点， 均称为函数的驻点. 均称为函数的驻点. 驻点 注意： 注意： 偏导数存在的极值点 驻点
f xy ( x, y) = −3,
f yy ( x, y) = 6 y.
在(0, 0) 处, A = f xx (0,0) = 0, B = f xy (0,0) = −3,
C = f yy (0,0) = 0.
AC − B2 = −9 < 0.
. 因此， 因此，驻点 (0, 0) 不是极值点
f xx ( x, y) = 6x,
证
f x ( x0, y0 ) = 0，
f y ( x0, y0 ) = 0.
处有极大值, 不妨设z = f ( x, y)在点( x0, y0 )处有极大值,
则对于( x0, y0 )的某邻域内任意 ( x, y) ≠ ( x0, y0 )
都有
来自百度文库
f ( x, y) < f ( x0, y0 ),
故当y = y0，x ≠ x0时，有 f ( x, y0 ) < f ( x0, y0 ),
F( x, y, z, t ) = f ( x, y, z, t ) + λ1ϕ( x, y, z, t ) + λ2ψ ( x, y, z, t )
求解方程组
Fx ( x, y, z, t ) = 0, F ( x, y, z, t ) = 0, y Fz ( x, y, z, t ) = 0, Ft ( x, y, z, t ) = 0, ϕ( x, y, z, t ) = 0, ψ ( x, y, z, t ) = 0.
先构造函数 F( x, y) = f ( x, y) + λϕ( x, y)，其中λ 为某一常数， ， 为某一常数 可由
f x ( x, y) + λϕx ( x, y) = 0, f y ( x, y) + λϕy ( x, y) = 0, ϕ( x, y) = 0.
标. 解出x, y, λ，其中x, y就是 能 极 点 坐 . 可 的 值 的 标
f x ( x0, y0 ) = 0,
f y ( x0, y0 ) = 0， f xy ( x0, y0 ) = B，
令
f xx ( x0, y0 ) = A，
f yy ( x0, y0 ) = C，则
(1) AC − B2 > 0时具有极值，且 时具有极值， 当A < 0时 极 值 当A > 0时 极 值 有 大 ， 有 小 ；