九年级数学中考一轮复习教学案：第24课时 圆的有关计算

第24课时圆的有关计算

【课时目标】

1．了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系，能将正多边形问题转化为直角三角形问题．2．会计算圆的弧长、扇形的面积以及组合图形的周长与面积．

3．理解圆柱、圆锥的侧面展开图，掌握圆柱、圆锥的侧面积和全面积的计算．

【知识梳理】

1．各边_______，各角_______的多边形叫做正多边形，正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的_______．

2．正多边形都是_______对称图形，一个正n边形共有_______条对称轴．如果正n边形的边数为偶数，它又是_______对称图形，那么它的中心就是_______中心．

3．圆的有关计算公式（设半径为R，圆心角的度数为n°）：

(1)圆周长C＝，弧长l＝________．

(2)圆面积S＝________，S扇形＝________＝_______．

4．圆锥：

(1)连接圆锥的顶点和底面圆上任意一点的_______都叫做圆锥的母线，圆锥的母线长_______；连接顶点与_______的线段叫做圆锥的高．

(2)圆锥的侧面展开图是一个________，这个扇形的_______是圆锥的母线长，_______是圆锥底面圆的周长．

(3)设圆锥底面圆的半径为r，母线长为l，则S圆锥侧＝________，S圆锥全＝________．

【考点例析】

考点一与正多边形有关的运算

例1正多边形的一个外角等于30°，则这个多边形的边数为 ( )

A．6 B．9 C．12 D． 15

提示方法一：根据多边形内角和公式表示出内角和，另外根据正多边形的每个外角都相等也可以求出该多边形的内角和，从而列出方程求出方程的解即可；方法二：根据多边形的外角和为360°，正多边形的每个外角都相等，用360÷30即可求出边数．

例2为增加绿化面积，某小区将原来正

方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖．更换后，图中

阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长

都为a ，则阴影部分的面积为 ( )

A ．2a 2

B ．3a 2

C ．4a 2

D ．5a 2

提示 图中阴影部分的面积由一个正方形和四个等腰直

角三角形组成，根据正八边形的边长相等知四个等腰直角三角形可拼接成边长为a 的正方形，从而得到阴影部分的面积等于2个边长为a 的正方形的面积．

考点二 与弧长有关的运算

例3如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连接BC ．若∠ABC ＝120°，

OC ＝3，则BC 的长为 ( )

A ．π

B ．2π

C ．3π

D ．5π 提示 连接OB ，由于AB 是切线，那么∠ABO ＝90°，

而∠ABC ＝120°，易求∠OBC ，而OB ＝OC ，那么∠OBC ＝

∠OCB ，进而求出∠BOC 的度数，再利用弧长公式即可求出BC 的长．

例4如图，在由边长为1的正方形组成

的网格中，△ABC 的顶点都在格点上，将△ABC 绕点C 顺时

针旋转60°，则顶点A 所经过的路径长为 ( )

A ．10π

B

C π

D ．π

提示 由题意得点A 所经过的路径是以C 为圆心，CA 长为半径，圆心角为60°的弧，而要求顶点A 所经过的路径长就是求该孤的长，利用弧长公式180

n r l π=

计算可得．

考点三 与扇形面积有关的计算

例5如图，四边形OABC 为菱形，点A ，

B 在以O 为圆心的弧上．若OA ＝2，∠1＝∠2，则扇形ODE

的面积为 ( )

A ．43π

B ．53

C ．2π

D ．3π 提示 连接OB ．根据等边三角形的性质可以求得∠AOC ＝120°，

再结合∠1＝∠2，即可求得扇形所在的圆心角的度数，从而根据扇形的面积公式进行求解．

考点四 与圆锥的侧面展开图有关的运算

例6 如图，在⊙O 中，半径OA ＝4，

∠AOB ＝120°，用阴影部分的扇形围成的圆锥底面圆的

半径长是 ( )

A ．1

B ．43

C ．53

D ．2

提示 设出圆锥的底面圆的半径，利用圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长列方程求解． 考点五 求阴影部分的面积

例7如图，在△ABC 中，BC ＝4，以点A

为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于点E ，交

AC 于点F ，P 是⊙A 上的一点，且∠EPF ＝45°，则图中阴影

部分的面积为 ( )

A ．4－π

B ．4－2π

C ．8＋π

D ．8－2π

提示 连接AD ，根据圆周角定理可以求得∠A 的度数，进而求得扇形EAF 的面积，根据阴影部分的面积＝△ABC 的面积－扇形EAF 的面积即可求解．

【反馈练习】

1．已知正n 边形的一个内角为135°，则边数n 的值是 ( )

A ．6

B ．7

C ．8

D ．10

2．(2012．湛江)一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm ，则这个扇形的半径为

( )

A ．6 cm

B ．12 cm

C ． cm

D 3．如图，

E 是BC 的中点，AB 是⊙O 的直径，AB ＝4，∠BED ＝120°，则图中阴影部分的面积之和为 ( )

A ．1

B

C

D ．