考研高等数学重要定理必看(6大定理)

合集下载

考研数学必考的定理证明整理

考研数学必考的定理证明整理在考研数学中，有一些定理是非常重要且必考的，掌握了这些定理的证明方法，可以在考试中帮助我们更好地理解和解答数学问题。

下面整理了一些考研数学中必考的定理证明，希望对大家复习有所帮助。

1.逆序数定理：逆序数是指在一个排列中，如果一个数之前有比它大的数，则称这个数是逆序的。

逆序数定理指出，对于任意的排列，其逆序数的奇偶性与该排列的逆序数的个数是相同的。

即如果逆序数的个数是偶数，则排列的逆序数是偶数；如果逆序数的个数是奇数，则排列的逆序数是奇数。

证明思路：利用归纳法进行证明，首先证明初始情况成立，然后假设逆序数的定理对于所有小于n的情况成立，再证明对于n的情况也成立。

2.幂级数：幂级数在数学中是一个重要的概念，特别是在微积分和函数论中应用广泛。

幂级数的收敛半径和收敛域是幂级数的重要性质。

幂级数的收敛半径可以通过柯西-阿达玛公式求得，而收敛域的边界上收敛性需要通过级数的边界性分析得到。

证明思路：根据幂级数的定义，首先确定幂级数的通项项、幂级数求和函数的定义域和收敛半径。

然后通过柯西-阿达玛公式计算幂级数的收敛半径。

最后通过比较判断幂级数的收敛性。

3.极值定理：极值定理也是考研中的一个重要定理，它指出一个连续函数在闭区间上必有最大值和最小值。

极值定理有两个重要的推论，即费马定理和魏尔斯特拉斯定理。

费马定理指出，如果函数在一点处取得极值，则该点处的导数为0。

魏尔斯特拉斯定理指出，一个函数在闭区间上连续，则它在该区间上必有最大值和最小值。

证明思路：根据连续函数的定义和闭区间的定义，利用极值定理的条件和结论，通过反证法进行证明。

首先假设函数在闭区间上没有取得最大值或最小值，然后通过构造序列和利用辅助函数等方法逐步推导出矛盾，从而证明极值定理成立。

以上是一些考研数学中必考的定理证明，这些定理在数学理论和应用中都有着重要的地位，掌握了它们的证明方法可以提高我们对数学知识的理解和应用能力。

在备考过程中，除了熟悉定理的证明过程，还要注意练习相关的例题和应用题，加强对定理的理解和掌握，提高解题的能力。

考研高等数学有哪些重要定理证明

考研高等数学有哪些重要定理证明考研高等数学有哪些重要定理证明考生们在进行考研高等数学的复习阶段时，有很多重要定理证明需要去掌握。

店铺为大家精心准备了考研高等数学定理证明的复习指导，欢迎大家前来阅读。

考研高等数学重要的定理证明高数定理证明之微分中值定理:这一部分内容比较丰富，包括费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。

除泰勒中值定理外，其它定理要求会证。

费马引理的条件有两个：1.f'(x0)存在2.f(x0)为f(x)的极值，结论为f'(x0)=0。

考虑函数在一点的导数，用什么方法?自然想到导数定义。

我们可以按照导数定义写出f'(x0)的极限形式。

往下如何推理?关键要看第二个条件怎么用。

“f(x0)为f(x)的极值”翻译成数学语言即f(x)-f(x0)<0(或>0)，对x0的某去心邻域成立。

结合导数定义式中函数部分表达式，不难想到考虑函数部分的正负号。

若能得出函数部分的符号，如何得到极限值的符号呢?极限的保号性是个桥梁。

费马引理中的“引理”包含着引出其它定理之意。

那么它引出的定理就是我们下面要讨论的罗尔定理。

若在微分中值定理这部分推举一个考频最高的，那罗尔定理当之无愧。

该定理的条件和结论想必各位都比较熟悉。

条件有三：“闭区间连续”、“开区间可导”和“端值相等”，结论是在开区间存在一点(即所谓的中值)，使得函数在该点的导数为0。

该定理的证明不好理解，需认真体会：条件怎么用?如何和结论建立联系?当然，我们现在讨论该定理的证明是“马后炮”式的：已经有了证明过程，我们看看怎么去理解掌握。

如果在罗尔生活的时代，证出该定理，那可是十足的创新，是要流芳百世的。

闲言少叙，言归正传。

既然我们讨论费马引理的作用是要引出罗尔定理，那么罗尔定理的证明过程中就要用到费马引理。

我们对比这两个定理的结论，不难发现是一致的：都是函数在一点的导数为0。

话说到这，可能有同学要说：罗尔定理的证明并不难呀，由费马引理得结论不就行了。

考研数学常见定理速记口诀

考研数学常见定理速记口诀数学是考研考试中必考的科目之一，在数学考试中，掌握和记忆数学定理是提高解题效率和答题准确性的关键。

为了帮助考生更好地备考和记忆常见数学定理，以下是一些常见数学定理的速记口诀，希望能对考生们有所帮助。

一、数列相关定理1. 等差数列的前 n 项和：差乘商，除以二，2. 等差数列通项公式：首项加等比，乘以项数减 1，3. 等比数列的前 n 项和：首项减末项，乘以公比除以 1 减公比，4. 等比数列通项公式：首项乘等比，乘以公比的 n 减 1 次方。

二、集合相关定理1. 全集的补集是空集，空集的补集是全集，2. 交换率、结合率都是集合运算法则，3. 并集运算满足交换、结合和分配律，4. 交集运算满足交换、结合和分配律。

三、导数相关定理1. 基本函数导数会，求导法则要牢记，2. 一切理论解析，函数变量要贴身。

四、概率相关定理1. 加法规则一定记，互斥模式别忘，2. 乘法规则切记住，独立事件要相乘，3. 做题中来了全集，概率一定是 1。

五、三角函数相关定理1. 正弦的定理好记牢，比与边成比例，2. 余弦的定理知根据，边与边构造函数，3. 正切的定理对角度，弧的比值好记得。

六、极限相关定理1. 夹逼定理用好用，无穷小量不放过，2. 极限运算确定性，变量逼近难不倒。

以上口诀只是对常见数学定理的简要概括，希望考生们能够通过这些口诀记忆和掌握数学定理，提高解题的速度和准确性。

然而，仅仅依靠速记口诀可能不足以完全理解和掌握定理的应用，考生们还需要在备考过程中深入学习和练习，加强对各个定理的理解和应用能力。

最后，祝愿所有考生在考研数学考试中取得优异成绩！加油！。

考研数学中的常见定理整理

考研数学中的常见定理整理数学作为一门精密的科学，广泛应用于各个领域。

在考研数学中，常见的定理扮演着至关重要的角色，因为它们是建立数学体系的基石。

本文将整理一些考研数学中常见的定理，帮助考生更好地掌握和应用这些定理。

1. 极限相关定理1.1 Cauchy极限定理若对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当n > N时，满足|an - a| < ε，其中an为数列，a为实数常数，则称a为该数列的极限。

1.2 Heine定理若函数f(x)在点x0的某个领域内有定义，且对于任何一个收敛到x0的数列{x_n}，都有f(x_n)收敛到A，则称A为f(x)在x0处的极限。

2. 微分与积分相关定理2.1 导数定义定理若函数f(x)在点x0处有定义，则函数f(x)在x0处可导的充要条件是极限：lim (h→0) [f(x0 + h) - f(x0)] / h存在。

2.2 四则运算法则若函数f(x)和g(x)在点x0处可导，则下列定理成立：(a) (f(x) ± g(x))’ = f’(x) ± g’(x)(b) (c f(x))’ = cf’(x)，其中c为常数。

2.3 积分定义定理若函数f(x)在区间[a, b]上有定义，且在[a, b]上可积分，则函数F(x) = ∫[a, x] f(t) dt在[a, b]上连续，并且在[a, b]上满足F’(x) = f(x)。

3. 矩阵和行列式相关定理3.1 矩阵的转置和逆矩阵定理(a) (A^T)^T = A(b) (AB)^T = B^T A^T(c) (A^T)^-1 = (A^-1)^T(d) (AB)^-1 = B^-1 A^-13.2 行列式的性质定理(a) 互换行列式的两行，行列式的值不变。

(b) 以某一行的元素乘以一个数k，再加到另一行对应元素上，行列式的值不变。

(d) 行列式的转置等于行列式本身。

考研数学理解高等数学中的重要定理与公式应用

考研数学理解高等数学中的重要定理与公式应用重要定理与公式的应用在高等数学的学习中起到了关键性的作用。

这些定理和公式是数学领域中的基石，被广泛应用于解决各种问题和证明数学的相关理论。

本文将讨论数学中的一些重要定理和公式，并探讨它们在实际问题中的应用。

一、极限与连续在高等数学中，极限理论是非常重要的基础。

极限是指当自变量趋近于某个确定的值时，函数的取值会趋近于一个特定的值。

极限有许多重要的性质和定理，如极限的唯一性、四则运算法则等。

这些定理在数学推导和证明中经常被使用。

公式1：极限的四则运算法则设lim(f(x))=A，lim(g(x))=B，则以下性质成立：(1)lim(f(x)+g(x))=A+B(2)lim(f(x)-g(x))=A-B(3)lim(f(x)×g(x))=A×B(4)lim(f(x)/g(x))=A/B (B≠0)在实际问题中，极限的应用非常广泛。

例如，在物理学中，我们经常需要求解速度、加速度等问题，这些问题可以通过极限的方法来求解。

同时，在经济学和金融学中，也可以应用极限的概念来进行分析和建模。

二、微分与导数微分学是高等数学中的一个重要分支，它研究函数的变化率和相关的性质。

微分学的核心概念是导数，导数描述了函数在某一点的瞬时变化率。

微分与导数的定理和公式在求解最值、曲线的切线、近似计算等方面起着至关重要的作用。

定理1：导数的基本计算法则对于可导函数f(x)，常数a和b，以下公式成立：(1)导数的线性性质：[af(x)+bg(x)]' = af'(x) + bg'(x)(2)乘积法则：[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)(3)商法则：[f(x)/g(x)]' = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)]^2微分学的应用非常广泛。

在物理学中，微分学被用来描述运动的变化率，求解速度、加速度等问题。

高等数学考研几个重要定理的证明

1、罗尔定理（考过）如果函数f(x)在闭区间［a ，b ］上连续，在开区间（a ，b ）上可导，且f(a)= f(b)，则在开区间（a ，b ）内至少存在一点￡，使得)('ξf =0.证： ∵函数f(x)在闭区间［a ，b ］上连续∴由最大最小值定理有： m< f(x)<M(1) 若m=M ，此时f(x)在［a ，b ］上为恒定值对任意的x ∈（a ，b ）都有)('ξf =0。

（2）若m ≠M ，因为f(a)= f(b)，则m 和M 中至少有一个不等于区间的端点值。

不妨设M ≠f(a)，则存在ξ∈（a ，b ）使得)(ξf =M 。

∴ 对任意的x ∈［a ，b ］使得f(x)≤)(ξf ，从而由费马引理，可知)('ξf =0.证毕。

2、拉格朗日中值定理（考过）如果函数f(x)满足：（1）在闭区间［a ，b ］上连续；（2）在开区间（a ，b ）上可导，那么在（a ，b ）内至少存在（a ，b ）一点ξ，使得))((')()(a b f a f b f -=-ξ成立。

证：引进辅助函数 )()()()()()(a x ab a f b f a f x f x -----=ϕ 易知F （a ）=F （b ）=0，且F （x ）在［a ，b ］内连续，在（a ，b ）内可导且a b a f b f x f x ---=)()()(')('ϕ 根据罗尔定理，可知在（a ，b ）内至少存在有一点ξ，使)('x ϕ=0，即0)()()('=---ab a f b f f ξ 由此可得)(')()(ξf a b a f b f =--，即))((')()(a b f a f b f -=-ξ证毕。

三、积分中值定理（考过）如果函数f （x ）在积分区间［a ，b ］上连续，则在（a ，b ）内至少存在一点ξ，使得))(()(a b f dx x f ba-=⎰ξ证：由于f （x ）在［a ，b ］上连续，则存在m ，M 使得M x f m ≤≤)(又由定积分估值定理，有)()()(a b M dx x f a b m ba-≤≤-⎰即 M a b dx x f m ba ≤-≤⎰)(由介值定理得： a b dx x f f ba -=⎰)()(ξ证毕。

河南省考研数学复习资料高等数学重点定理总结

河南省考研数学复习资料高等数学重点定理总结河南省考研数学复习资料-高等数学重点定理总结高等数学是考研数学科目中的重点和难点之一，对于考研学子来说，熟悉和掌握高等数学的重点定理是必不可少的。

在这篇文章中，我将为大家总结河南省考研数学复习资料中的高等数学重点定理，希望对大家的备考有所帮助。

一、数列与级数1. 数列极限柯西收敛原理：数列收敛的柯西收敛原理表述了数列收敛的一个重要条件。

2. 级数求和号与积分号的对比：通过对比求和号与积分号之间的联系和区别，可以深入理解级数的性质。

3. 收敛级数的性质正项级数收敛的判定：正项级数收敛的多种判定方法，如比较判别法、比值判别法和根值判别法等。

4. 幂级数幂级数收敛半径与收敛域：幂级数的收敛半径和收敛域在计算中起到重要作用。

二、微分学1. 函数极限与连续性极限的性质与运算：熟悉函数极限的性质与运算是解决微分学问题的关键。

2. 导数与微分基本的导数公式：高等数学中常用的导数公式，包括常数函数、幂函数和指数函数的导数等。

3. 高阶导数与高阶微分函数的高阶导数与高阶微分：了解高阶导数与高阶微分的计算方法，掌握求解相关问题的技巧。

4. 微分中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理：三个微分中值定理的应用场景和计算方法，可以帮助我们解决相关的问题。

5. 函数的单调性与曲线的凹凸性单调性与导数：借助导数判断函数的单调性，结合凹凸性判别条件判断函数的凹凸性。

三、积分学1. 不定积分基本初等函数的不定积分：熟悉基本初等函数的不定积分公式和计算方法。

2. 定积分定积分的性质与运算：熟悉定积分的性质与运算，掌握换元积分法和分部积分法等计算技巧。

3. 微积分基本定理第一、第二微积分基本定理：掌握微积分基本定理的应用和计算方法。

4. 积分中值定理平均值定理和柯西中值定理：了解积分中值定理的应用场景和计算方法，可以帮助我们解决相关的问题。

四、级数、随机变量与概率论1. 幂级数展开函数的幂级数展开：了解如何通过幂级数展开将函数展开成近似多项式的形式。

天津市考研数学复习资料高等数学重要定理整理

天津市考研数学复习资料高等数学重要定理整理在天津市考研数学复习中，高等数学是一门重要的学科，涵盖了各种重要定理。

为了帮助考生更好地复习，本文将对高等数学的一些重要定理进行整理和梳理。

1. 极限定理(1) 函数极限的四则运算性质：两个函数极限之和的极限等于两个函数各自的极限之和，两个函数极限的差的极限等于两个函数各自的极限之差，两个函数极限的积的极限等于两个函数各自的极限之积，两个函数极限的商的极限等于两个函数各自的极限之商（前提是除数不为零）。

(2) 夹逼定理：如果一个函数被两个有限的函数夹住，而这两个函数的极限值相等，那么被夹住的函数也存在极限，并且极限等于这两个函数的极限值。

(3) 单调有界准则：单调递增有上界的数列必定存在极限，单调递减有下界的数列必定存在极限。

(4) 柯西收敛原理：一个数列收敛的充要条件是它是柯西数列。

2. 导数和微分(1) 极限定义：导数的极限定义是函数在某点的切线斜率的极限。

(2) 导函数的四则运算：导函数具有四则运算的性质。

(3) 高阶导数：对于一个可导函数，可以计算其高阶导数。

(4) 微分的定义：微分是函数在某点的变化量与自变量的增量之比。

3. 积分(1) 定积分的定义：定积分是函数曲线与x轴之间的面积。

(2) 定积分的性质：定积分具有线性性质、积分中值定理、换元积分法等性质。

(3) 牛顿-莱布尼茨公式：定积分与不定积分之间有牛顿-莱布尼茨公式的关系。

4. 级数(1) 等比数列求和：等比数列求和公式是一个重要的级数求和公式。

(2) 收敛级数：收敛级数的定义是其部分和数列存在极限。

(3) 收敛级数的性质：收敛级数具有线性性质和比较判别法等性质。

(4) 幂级数：幂级数是一个重要的级数形式，可以展开为函数。

5. 偏导数和多元函数的极值(1) 偏导数的定义：多元函数对于某一个自变量求导时，将其他自变量视为常数进行求导。

(2) 偏导数的计算：可以利用偏导数的定义和求导法则计算偏导数。

山东省考研数学复习资料高等数学重要定理总结

山东省考研数学复习资料高等数学重要定理总结高等数学作为一门基础学科，是山东省考研中不可或缺的一部分。

为了帮助考生更好地复习高等数学，下面将对高等数学中的一些重要定理进行总结。

这些定理在考试中经常出现，具有重要的理论和实际意义。

1. 极限定理极限定理是高等数学中基础且重要的一部分。

其中包括以下定理：(1) 夹逼定理：如果函数处处有界且当x趋于某一点时与两个不同的函数趋于相同的极限值，那么该函数也趋于相同的极限值。

(2) 单调有界数列的极限定理：如果数列递增且有上界（或递减且有下界），那么该数列必有极限。

(3) Stolz定理：如果数列{an}和{bn}满足bn递增趋于正无穷，且lim(an+1-an) / (bn+1-bn)存在有限极限，那么liman/bn也存在有限极限。

2. 导数和微分中值定理(1) 复合函数求导法则：设y=f(u)，u=g(x)，则y=f(g(x))的导数为dy/dx=f'(u) * g'(x)。

(2) 高阶导数：设f(x)可导，则其n阶导数记作f^(n)(x)。

(3) 拉格朗日中值定理：设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，则存在c属于(a, b)，使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)。

(4) 柯西中值定理：设函数f(x)和g(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导且g'(x)不为零，则存在c属于(a, b)，使得[f(b)-f(a)]/g(b)-g(a) =f'(c)/g'(c)。

(5) 泰勒公式：设函数f(x)在开区间(a, b)内具有n+1阶导数，则对于(a, b)内的任意x和a，存在介于x和a之间的某一点c，使得f(x) =f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)/2!(x-a)^2 + ... + f^(n)(a)/n!(x-a)^n + Rn(x)，其中Rn(x)为n阶拉格朗日余项。

考研高数公式总结

考研高数公式总结高等数学是考研数学中的一门重要课程，也是考研数学中需要记住大量公式和定理的科目之一、下面是我总结的一些高等数学中常用的公式和定理，希望对考研学子们的备考能有所帮助。

一、极限和连续1.重要的基本极限公式- $\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin{x}}{x}=1$- $\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1$- $\lim\limits_{x\to+\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$2.微分中的基本极限- $\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Deltax}=\frac{dy}{dx}$- $\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x}=1$3.连续性定理-函数$f(x)$在$x_0$处连续的充分必要条件是：- $\lim\limits_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)$- $\lim\limits_{x\to x_0^-} f(x)=\lim\limits_{x\to x_0^+} f(x)=f(x_0)$二、导数和微分1.基本导数公式-$(c)'=0$- $(x^n)'=nx^{n-1}$ (n为自然数)-$(e^x)'=e^x$- $(\ln{x})'=\frac{1}{x}$2.常见运算法则-$(u+v)'=u'+v'$- $(uv)'=u'v+uv'$- $(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$ (v≠0)3.高阶导数-若$f'(x)$存在，则$f''(x)=(f'(x))'$4.微分公式- $dy=f'(x)dx$三、积分与微积分基本定理1.基本积分公式- $\int 0dx=C$- $\int x^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$ (n≠-1)2.基本积分的线性运算- $\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$- $\int (f(x)+g(x))dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$3.二次换元法- $\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(u)du$4.牛顿－莱布尼茨公式- $\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$四、级数1.等差数列-$a_n=a_1+(n-1)d$- $S_n=\frac{n}{2}[2a_1+(n-1)d]$- $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$2.等比数列-$a_n=a_1q^{n-1}$(q≠0)- $S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$ (q≠1)3.幂级数- $S_n=\sum\limits_{k=1}^{n} a_k=a_1+a_2+a_3+...+a_n$五、数列和函数的收敛性1.收敛与极限-数列$\{a_n\}$的收敛定义：当无论取多大的正数$ε$，都存在一个正整数$N$，当$n>N$时，总有$，a_n-A，<ε$成立，则称$\{a_n\}$收敛于$A$。

考研数学高数定理定义总结

考研数学高数定理定义总结高数定理是大学数学中的重要内容，包括了极限、连续性和可微性、中值定理、导数与微分以及积分和微分方程几个方面。

以下是这些定理的定义总结：1.极限：极限是函数论中最基本的概念之一、设函数$f(x)$在$x_0$的邻域内有定义，如果存在常数$A$，对于任意给定的正数$\varepsilon$，都存在正数$\delta$，使得当$0<，x-x_0，<\delta$时，有$，f(x)-A，<\varepsilon$，则称函数$f(x)$当$x$趋于$x_0$时极限为$A$，记作$\lim_{x \to x_0} f(x) = A$。

2.连续性和可微性：函数$f(x)$在点$x_0$处连续的定义是：$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$。

函数在点$x_0$处可微的定义是：如果函数$f(x)$在$x_0$的一些邻域内有定义，并且存在常数$A$，使得$$f(x)=f(x_0)+(x-x_0)A+o(x-x_0)，x\to x_0$$则称函数$f(x)$在$x_0$处可微。

3.中值定理：中值定理是微积分中的重要定理之一、设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$上可微。

则在$(a,b)$内至少存在一点$c$，使得$f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$，其中$f'(c)$是$f(x)$在点$c$处的导数。

4.导数与微分：设函数$f(x)$在点$x$处有定义。

如果极限$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$存在，那么称此极限为函数$f(x)$在点$x$处的导数，记作$f'(x)$。

函数$f(x)$在点$x$处的微分定义为$df=f'(x)dx$。

5.积分：积分是微积分中的重要概念之一、设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上有定义，将区间$[a,b]$分成$n$个小区间$[x_{i-1},x_i]$，其中$a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_n=b$。

考研数学中的常见定理与公式总结

考研数学中的常见定理与公式总结数学在考研中占据着重要的地位，它是考生们必须要掌握的一门科目。

在数学的学习过程中，各种定理与公式是考生们必不可少的基础知识。

下面将对考研数学中的常见定理与公式进行总结与归纳，帮助考生们更好地备考。

1. 极限定理极限定理是解决极限问题时的重要工具，也是基本的数学定理之一。

主要包括以下几个常见的定理：1.1 保号性定理若函数f(x)在点x=a的某个邻域内，对于任意一个正数ε，都存在正数δ，使得当0 < |x-a| < δ时，有 |f(x)-f(a)| < ε 。

则称函数f(x)在点x=a处具有保号性。

1.2 夹逼准则设函数f(x)，g(x)，h(x)满足当x在某一去心邻域内时，有f(x)≤g(x)≤h(x)，且limₓₐ f(x)=limₓₐ h(x)=L，则必有limₓₐ g(x)=L。

1.3 极限的四则运算法则设函数f(x)和g(x)在点x=a的某个去心邻域内有极限limₓₐ f(x)=A，limₓₐ g(x)=B，则有以下运算法则：(1) limₓₐ [f(x)+g(x)]=A+B(2) limₓₐ [f(x)-g(x)]=A-B(3) limₓₐ [f(x)g(x)]=AB(4) limₓₐ [f(x)/g(x)]=A/B (B≠0)2. 线性代数的基本定理与公式线性代数在考研数学中也有重要地位，以下是一些常用的定理与公式：2.1 行列式的性质(1) 行列互换，行列式变号(2) 若行列有两行（两列）相等，则行列式为0(3) 行列交换，行列式变号(4) 列行式换位，行列式不变(5) 行与行的倍数的和的行列式，等于各行分别乘以这个数的行列式之和2.2 矩阵的运算(1) 矩阵的加法和减法：若A=(a_ij)，B=(b_ij)为m×n矩阵，则有A±B=(a_ij±b_ij)(2) 矩阵的数乘：若A为m×n矩阵，k为常数，则有 kA=(ka_ij)(3) 矩阵的乘法：若A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，则有AB=(c_ij)，其中c_ij=a_i1*b_1j+...+a_in*b_nj3. 微积分中的重要定理与公式微积分是考研数学中的核心内容，在微积分中有很多重要的定理与公式需要掌握，以下仅列举部分：3.1 导数的基本公式(1) (cf(x))'=cf'(x) （常数c为常数函数）(2) (f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)(3) (f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)(4) (f(x)/g(x))'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/g(x)²（g(x)≠0）(5) (g(f(x)))'=g'(f(x))*f'(x)3.2 不定积分的基本公式(1) ∫kdx=kx+C (k为常数)(2) ∫xn dx=(1/(n+1))x^(n+1)+C (n≠-1)(3) ∫sinxdx=-cosx+C(4) ∫cosxdx=sinx+C(5) ∫1/x dx=ln|x|+C (x≠0)综上所述，以上仅是考研数学中常见定理与公式的部分总结。

考研数学定理公式

考研数学定理公式
考研数学中有很多重要的定理和公式，以下是一些主要的：
1. 极限定理：包括数列极限的定理和函数极限的定理。

数列极限的定理包括收敛数列的性质，如唯一性、有界性、保序性等；函数极限的定理包括函数极限的唯一性、四则运算、复合函数极限等。

2. 导数与微分定理：导数的定义、导数的几何意义、可微的条件、高阶导数的定义、高阶导数的求法、泰勒公式等。

3. 积分定理：包括定积分的定义与性质、不定积分的定义与性质、微积分基本定理、分部积分法、换元积分法等。

4. 多元函数微分学定理：包括多元函数的极限与连续性、多元函数的偏导数与全微分、多元函数的极值等。

5. 级数定理：包括正项级数的收敛性定理、交错级数的莱布尼茨准则、幂级数的收敛半径与收敛域等。

6. 方程与不等式定理：包括一元一次方程的解法、一元二次方程的解法、一元高次方程的解法、二元一次方程组的解法等。

7. 概率论与数理统计定理：包括随机事件的概率、随机变量的期望与方差、大数定律与中心极限定理等。

8. 线性代数定理：包括行列式的性质与计算方法、矩阵的运算与逆矩阵的求法、向量组的线性相关性、线性方程组的解法等。

9. 空间解析几何定理：包括向量的数量积与向量积的运算、向量的混合积的运算等。

这些定理和公式是考研数学中的重要知识点，需要熟练掌握并能够灵活运用。

2023考研数学高数必背定理：函数与极限

2023考研数学高数必背定理：函数与极限1500字函数与极限是数学高等教育中的重点内容，也是考研数学高数部分经常出现的题型。

为了帮助考生巩固相关知识，我将为大家介绍一些必背的函数与极限定理，希望对大家的备考有所帮助。

1. 函数的极限定义：设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0 < |x - x0| < δ时，有|f(x) - A| < ε，那么称函数f(x)在点x0处的极限为A，记作lim(x→x0)f(x) = A。

这个定义表达了函数在某点的极限值是指函数逼近某个常数。

2. 函数极限的性质：a. 唯一性：如果函数在某点的极限存在，那么它一定唯一；b. 保号性：若lim(x→x0)f(x) = A > 0，则存在x0的一个去心邻域，使得当x在该去心邻域内时，f(x) > 0。

3. 无穷大与无穷小：a. 无穷小定义：如果函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义，并且lim(x→x0)f(x) = 0，那么称f(x)是当x趋于x0时的无穷小。

b. 无穷大定义：如果函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义，并且lim(x→x0)|f(x)| = ∞，那么称f(x)是当x趋于x0时的无穷大。

4. 函数连续性定理：a. 第一类函数连续性：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，并且在区间上的每一个点x0处都满足lim(x→x0)f(x) = f(x0)，那么称函数在区间[a, b]上连续；b. 第二类函数连续性：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，且函数在x0的某一去心邻域内有定义，那么函数在点x0处连续的充分必要条件是函数在点x0的左右极限lim(x→x0-)f(x)和lim(x→x0+)f(x)存在且相等。

5. 闭区间上连续函数的性质：a. 有界性：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，则函数在[a, b]上有界，即存在正数M，使得|f(x)| ≤ M对于所有的x∈[a, b]成立；b. 最值性：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，则函数在[a, b]上必定存在最大值和最小值。

上海市考研数学复习资料高等数学常见定理总结

上海市考研数学复习资料高等数学常见定理总结高等数学作为考研数学中的一部分，是备考过程中必不可少的一门重要学科。

高等数学中有许多重要的定理和公式，掌握它们对于提高数学解题能力至关重要。

下面就是对上海市考研数学复习资料中高等数学常见定理的总结。

1. 极限与连续- 极限的定义：对于数列或函数，当自变量趋于某一值时，如果它们的极限存在，并且与该极限的任意接近程度都可以通过适当地使自变量无限接近某一值而达到，那么就称其为具有极限。

- 极限的性质：加减法、乘法、除法、常数倍数、函数复合、比较、夹逼等。

- 无穷小与无穷大：定义、性质、等价无穷小。

- 函数的连续性：定义、闭区间上连续函数性质、间断点分类。

2. 微分学- 导数的定义：函数在某一点上的导数是一个用极限表示的量，表示函数在该点处的变化率。

- 常见函数的导数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、指数对数函数等。

- 导数运算法则：四则运算法则、复合函数求导法则、反函数求导法则等。

3. 积分学- 定积分的定义：是对函数在区间上的取和的极限。

- 确定积分与不定积分的关系：牛顿-莱布尼兹公式。

- 常用的积分计算方法：换元法、分部积分法、三角函数积分法、有理分式积分法。

4. 级数- 数项级数：定义、常数项级数、正项级数、一般项级数。

- 级数收敛与发散的判定方法：比较判别法、比值判别法、根值判别法、积分判别法、正项级数收敛性判定法、和与平均值的大小关系、变量变算、对数判别法。

5. 一阶线性常微分方程- 一阶线性常微分方程的基本概念：方程的解的存在唯一性定理。

- 齐次线性方程：齐次线性方程解的结构。

- 变量分离型方程解法、齐次方程解法、一阶线性常微分方程的降阶和常数变易法。

6. 多元函数微分学- 偏导数的定义：多元函数在某一点的偏导数是指函数沿着坐标轴方向的变化率。

- 偏导数的计算：求偏导数的基本步骤。

- 多元函数的全微分：定义、全微分的性质。

以上是对上海市考研数学复习资料中高等数学常见定理的总结。

高数十大定理

高数十大定理
1. 极限存在定理：若函数在某一点的左、右极限存在且相等，则该点的极限存在。

2. 泰勒展开定理：任意可导函数在某一点附近可以用其在该点的导数值来逼近。

3. 中值定理：如果函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导且导数不为零，则在(a, b)内至少存在一个点c，使得函数在a 和b处的导数等于函数在c处的导数。

4. 柯西收敛准则：数列收敛的充要条件是，对于任意给定的正数ε，存在一个正整数N，使得当n>N时，数列的任意两项的差的绝对值小于ε。

5. 泰勒中值定理：如果函数在闭区间[a, b]上n+1次可导，则对于[a, b]内的任意一点c，存在一个介于a和c之间的点ξ，使得函数在c处的值等于其在a处展开的n次泰勒多项式加上余项。

6. 一致收敛定理：如果函数列在某个区间上点点收敛于另一个函数，且收敛过程中的极限函数仍然在该区间上连续，则称该函数列在该区间上一致收敛于极限函数。

7. 傅里叶级数定理：任意周期函数都可以用一系列正弦和余弦函数的线性组合来表示。

8. 法拉第电磁感应定律：当磁场的变化导致一个闭合回路中的磁通量发生变化时，该回路中将会产生感应电动势。

9. 可积性定理：如果函数在闭区间[a, b]上连续，则该函数在该区间上可积。

10. 柯西-施瓦茨不等式：对于复数域上的两个函数f(z)和g(z)，如果它们在闭区域D上连续，且在该区域上可导，则有|∫_(z∈D) (f(z)g'(z))dz| ≤ ∫_(z∈D) |f(z)g'(z)|dz。

高数定理大解析必背

高等数学定理大解析-考研必捋版（考研大纲要求范围+高数重点知识）第一章函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。

函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。

2、函数的单调性、奇偶性、周期性（指最小正周期）3、数列的极限定理(极限的唯一性) 数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。

定理（收敛数列的有界性）如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。

如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，（-1）n +1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。

定理（收敛数列与其子数列的关系）如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a。

●如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，（-1）n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。

4、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0,所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。

定理（极限的局部保号性）如果lim (x→x0)时f(x)=A，而且A>0（或A<0），就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x) >0（或f(x) >0），反之也成立。

●函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)= f(x0+0)，若不相等则lim f(x)不存在。

●一般的说，如果lim（x→∞）f(x)=c，则直线y=c是函数y = f(x)的图形水平渐近线。

如果lim（x→x0）f(x)=∞，则直线x=x0是函数y= f(x)图形的铅直渐近线。

考研数学高数必考定理

考研数学高数必考定理考研数学高数必考定理一、导数与微分1、函数f(x)在点x0处可导=>函数在该点处连续;函数f(x)在点x0处连续≠>在该点可导。

即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件而不是充分条件。

2、导数存在的充分必要条件函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是在点x0处的左极限lim(h→-0)[f(x0+h)-f(x0)]/h及右极限lim(h→+0)[f(x0+h)-f(x0)]/h都存在且相等，即左导数f-′(x0)右导数f+′(x0)存在相等。

3、函数f(x)在点x0处可微=>函数在该点处可导;函数f(x)在点x0处可微的充分必要条件是函数在该点处可导。

4、原函数可导则反函数也可导，且反函数的导数是原函数导数的倒数。

二、函数与极限1、函数的极限定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A0(或f(x)>0)，反之也成立。

函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。

一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。

如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。

2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。

定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。

如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散;但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。

定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的;同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。

上海市考研数学复习资料高等数学重要定理总结

上海市考研数学复习资料高等数学重要定理总结高等数学是考研数学中的一门重要课程，它的理论基础是一系列的重要定理。

这些定理在考研数学中起着至关重要的作用，对于学生来说，熟练掌握和理解这些定理是顺利通过考试的关键。

本文将对上海市考研数学复习资料中的高等数学重要定理进行总结和归纳，以帮助考生更好地准备考试。

一、微分学的重要定理1. 导数的四则运算定理：导数具有四则运算的性质，即导数可以进行加减乘除运算。

2. 高阶导数的计算：通过迭代运算，可以计算出任意阶的导数。

3. 高阶导数的求导法则：使用高阶导数的求导法则可以简化复杂函数的求导过程。

4. 极值点的判定定理：通过一阶导数和二阶导数的符号变化可以判断函数的极值点。

二、积分学的重要定理1. 不定积分的线性性质：不定积分具有线性运算的性质，即可以对各项进行分别积分后再相加。

2. 定积分的基本性质：定积分具有加法性、线性性和区间可加性等基本性质。

3. 牛顿-莱布尼茨公式：利用这一定理，可以将定积分转化为不定积分进行计算。

4. 变量替换法则：通过进行变量替换，可以简化积分运算过程。

三、级数的重要定理1. 收敛级数的性质：收敛级数具有有限项相加的性质，可以进行线性运算。

2. 收敛级数的比较判别法：通过与已知级数进行比较，可以判断待定级数的敛散性。

3. 收敛级数的比值判别法：通过求级数项之比的极限，可以判断级数的敛散性。

4. 绝对收敛级数的性质：绝对收敛级数具有交换律和向量空间的性质。

四、微分方程的重要定理1. 解微分方程的存在唯一性定理：对于给定的初值问题，存在唯一的解函数。

2. 线性微分方程的叠加原理：线性微分方程的解具有叠加性质，可以通过对各个解的线性组合得到新的解。

3. 齐次线性微分方程的解结构：齐次线性微分方程的解可以通过特征方程的根的不同情况分类讨论。

五、向量与空间的重要定理1. 向量的线性相关性定理：多个向量线性相关的充要条件是它们能通过线性组合得到零向量。