643正弦级数和余弦级数55426

定 理 2 设 周 期 为 2 l 的 函 数 f ( x ) 在 [ l , l ] 上 满 足 狄 氏 条 件 ，
则
a0 2
(an
n1
cosnx l
bn
sin
nx l
)
f (x),
x为f (x)的连续点,
f
(x0) 2
f
( x 0) ,
x为f (x)的第一类间断点,
f
(l
0) 2
f
(l
∴ x 1 1 4 [x ( 1 c c 3 x o o 1 c 5 s s x o ] （ 0 s x ） 。 2 3 2 5 2
y
y
o x
o
x
F(x)的图象.
S(x)的图象.
6 . 4 . 4 以 2 l 为 周 期 的 函 数 的 傅 里 叶 级 数
设 周 期 为 2 l 的 函 数 f ( x ) 在 [ l , l ] 上 满 足 狄 氏 条 件 ，
23
4
（ 0 x ）
当 x 0 和 x 时 ， 级 数 收 敛 于 0 ， 它 不 代 表 原 来 函 数
f ( x ) 的 值 。
yLeabharlann yyo x o x
o
x
f (x)的图象. F(x)的图象.
S(x)的图象.
求 余 弦 级 数 ， 应 对 f ( x ) 作 偶 式 延 拓 ， 此 时
n 1 [cn o 2 xs ]0 2n 1 [1(1)n] 0n2, ,nn21,,34,,56,,,.
故 当 x ( 2 , 0 ) ( 0 , 2 ) 时 ，
f ( x ) 1 2 ( s x 1 i s3 n i x n 1 s5 i x n ) ； 2 3252
当 x 0 ， x 2 时 ， 级 数 收 敛 1 于 。
和 函 数 S ( x ) 0 f ( x ) , x 2 , 0 x . 0 ,即 S ( x ) 0 1 2 x ,, 2 x x 0 . 0 ,
y
4 2
1
o2
1
x
4
S(x)在[4, 4]上的图. 象
作业
习 题 八 （P57）
4 ，5 ，8 ，9 ， 12(参见《习题课教程》P208 例4)。
f(x )～ n 1 b n sn i lx n ， 其 中 b n 2 l0 lf(x ) sn i lx n d ( n x 1 ,2 ,3 , )；
若 f(x )为 [ l,l]上 的 偶 函 数 ，
f(x )～ a 2 0 n 1 a n cn o lx， s 其 中 b n 2 l0 lf(x )cn o lx d s (n x 0 ,1 ,2 , )。
令 t x ， 则 x l t ， l x l 变 为 t ， l
f ( x ) f ( l t ) F ( t ) ，
则 F ( t ) 以 2 为 周 期 ， 在 [ , ] 上 F ( t ) 的 傅 里 叶 系 数 为
a 0 1 F ( t ) d 1 l l l f ( x ) t d ， x
a n 1 F ( t ) c n o 1 l l l t f ( x ) s c d n l x d o t ， x s
b n 1 F ( t ) s n i 1 l l l t n f ( x ) s d n l x d i 。 t n x
F ( t ) ~ a 2 0 n 1 ( a n c n b n s o n t ) ， i s t n 从 而 f ( x ) ~ a 2 0 n 1 ( a n c n l x o b n s n l s x ) in .
例 3 ． 将 以 4 为 周 期 的 函 数 f ( x ) 1 0 , , 0 2 x x 2 0 , .
4 l 2
a 0 1 2 2 2 f ( x ) d 1 2 0 2 d 1 x ， x
a n 1 2 2 2 f ( x ) c n 2 x d o 1 2 0 2 c x n 2 s x d o n 1 [ n x 2 x s s ] 0 2 0 ， i b n 1 2 2 2f(x)sin 2 n xd x 1 20 2 sin 2 n xdx
在 和 [ 0 , 余 ] 弦 上 级 的 数 积 。 分 ， 故 不 必 写 出 延 拓 函 数 F ( x )。 解 ： 求 正 弦 级 数 ， 应 对 f ( x ) 作 奇 式 延 拓 ， 此 时
a n 0 ( n 0 , 1 , 2 , ) ，
b n 20 f(x )sn in x 2 d 0 (x x 1 )sn in xdx
2 ． 将 f ( x ) 在 [ 0 , ] 上 展 开 成 余 弦 级 数 ： 令 F ( x ) f f ( ( x ) x ) , , x x [ [ , 0 ] ) 0 , . ,
则 F(x)是 [,]上 的 偶 函 数 ， 称 为 f(x) 的 偶 式 延 拓 。 将 F(x)在 [,]上 展 开 成 傅 里 叶 级 数 ， 再 将x 限 制 在 [0,]上 ， 便 得 f(x)的 余 弦 级 数 展 开 式 ， 其 中
y
2
6 4 2 o 2 4 y
6 4 2 o 2 4
x f (x)的图象. x S(x)的图象.
例 4 ． 把 f ( x ) 1 x 在 ( 0 , 2 ) 上 展 开 成 以 4 为 周 期 的 2
正 弦 级 数 ， 并 作 出 其 和 函 数 在 [ 4 , 4 ] 上 的 图 形 。 解 ： 将 f ( x ) 先 作 奇 式 延 拓 ， 再 作 周 期 延 拓 ， l 2 ， 周 期 为 4 。
0) ,
x l.
其 中 a n 1 l l l f ( x ) c n l x o d ( n 0 , s 1 x , 2 , ) ，
b n 1 l l l f ( x ) s n l x i d ( n n 1 , 2 x , ) 。
若 f(x )为 [ l,l]上 的 奇 函 数 时 ，
《习题课教程》P210 课内练习题 1、2。（做在书上）
谢谢
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b n 0 ( n 1 , 2 , 3 , ) ，
a 0 2 0 ( x 1 ) d 2 ， x
a n 20 f(x )cn ox s 2 d 0 (x x 1 )cn ox sd x
2[xsninn xcno2ns xsn inn]x0 n22(cons1) n22[ (1)n1]n042,n,n2,41,,36,,5 , . ,
(4n42E1)(n0,1,2,)
得 u ( t) 4 E ( 1 1 c3 t o 1 c s5 t o s1cn o t ) s 23 15 4 n 2 1
l
( t ).
E
2 o 2 3 4 t
二 、 函 数 展 开 成 正 弦 级 数 或 余 弦 级 数
设 f ( x ) 在 [ 0 , ] 上 满 足 收 敛 定 理 的 条 件 ，
a n 0
b n 2 l 0 l f ( x ) s n l x d i 0 2 ( 1 2 x ) n s x n 2 x d i n 2 ， n x
故 1 x 2 1 s n x , x ( 0 i , 2 ) 。 n 2 n 1 n 2
f ( x ), 0 x 2, 1 2 x , 0 x 2
1 ． 将 f ( x ) 在 [ 0 , ] 上 展 开 成 正 弦 级 数 ：
f ( x ) x ( , ] 0 , , 令 F ( x ) 0 ,x 0 ,
f ( x ) x ( , , 0 ). 则 F(x)是 (,)上 的 奇 函 数 ， 称 为 f(x) 的 奇 式 延 拓 。
an 20 F(x)consx d 2x0 f(x)consx(n dx0,1,2,3, )，
bn0(n1,2,3, ).
注 例 ： 2 具 ． 体 将 计 函 算 数 a f n ( x 和 ) b n x 时 1 ， （ 0 只 用 x 到 f ） ( x 分 ) c 别 展 n o 开 和 成 f x ( 正 s x ) 弦 s 级 n 数 in x
将 F(x)在 (,]上 展 开 成 傅 里 叶 级 数 ， 这 个 级 数 必 定
是 正 弦 级 数 ， 再 将 x限制 在 (0,] 上 ， 此 时 F(x)f(x)，
便 得 f(x)的 正 弦 级 数 展 开 式 ， 其 中
an0(n0,1,2, )，
bn 20F(x)sinnx d 2x0f(x)sinnx(d nx1,2,3, )。
2[xcno ns xsni2 nn xcn o n]sx0 n2(1con scon s)
2 2,n 1,3,5,, n 2, n2,4,6,.
n
∴ x 1 2 [ ( 2 ) sx i n sx i 1 n ( 2 ) s3 i x n s4 i x n ]