弹性力学 空间问题基本理论共55页文档
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弹性力学-第7章 空间问题
zx
z
dz
zy
zy
z
dz
z 0
y
y
yx yz
xy
x
yz
yz
y
dy
fz
fy fx
xz
yx
y yx dy
y
y y
dy
zx zy
x
x
x x
dx
z
根椐平衡条件： Fx 0
xz
xzx
x
dx
x
x
x
dx dydz
xdydz
(
yx
yx
x
dy)dxdz
yxdxdz
( zx
zx
z
dz)dxdy
zxdxdy
Xdxdydz
0
§7-1平衡微分方程
x x
yx y
zx
z
fx
0
xy
y
x
y
zy
z
f y
0
xz yz
x
y
z z fz 0
（7-1）
平面应力问题：
1、平面应力问题z方向应力为零：
0
xz
yz
0
z
2、所有的应力、应变和位移分量均与z无关，仅是x,y的函数。 以上方程可以直接转化为平面应力的平衡方程。
在计算任一平面上的应力时，方向余弦l,m,n可变化，但 均为有限值，故必存在某个平面，其上正应力取得极值。
主平面：正应力取得极值的平面。 主应力：主平面上的正应力。 主方向：主应力的方向，也称应力主向。 在主平面上，正应力取极值、剪应力为零。
二、主应力的确定：
设主平面存在，其外法线为n，
弹性力学有限元第三章
y
v v dy y
u B''
u dy y
B'
B
dy
v P
xy
P' u
dx
o
A'
v dx
yx
x
A''
v A
u u dx x
x
x
u x
y
v y
z
w z
xy
yx
v x
u y
yz
zy
w y
v
z
zx
xz
w x
u z
第三章 空间问题的基本理论
与几何方程等价的是变形连续性方程（也称相容方程 或协调方程），在空间问题里表示为
在S上
xzl yzm zn Z
在混合边界问题中，某些边界条件是位移边界条件， 而另一些边界条件是应力边界条件。
第三章 空间问题的基本理论
§ 3-5 物体内任一点的应力状态
已知物体在任一点P的六个应力分量 x, y,z ,xy yx, yz zy ,zx xz ， 试求经过P点的任一斜面上的应力。
2G 3
2G
y
y
2G
2G 3
2G
z
z
2G
2G 3 2G
及
x e 2G x
y
e
2G y
z e 2G z
xy G xy
xy
xy
G
yz
yz
G
zx
zx
G
yz G yz
zx G zx
其中 、G — 拉密常数
✓ 各种弹性常数之间的关系
G
应力状态不变量 1 x y z
弹性力学基本理论
ux y
相应地，y轴方向的正应变为： x-y 平面内的剪应变：
tan 1
（1.10）
; tan 2
（1.11）
16
1.1.3 应变的概念
因此，剪应变 xy 为
xy
u x 1 2 x y u y
（1.12）
应变分量的矩阵型式
x xy ij yx y zx yy
（2）完全弹性假定。这是假定物体服从胡克定律，即应变 与引起该应变的应力成正比。保证物体在任意瞬时的应变将 完全取决于该瞬时物体所受到的外力或温度变化等因素，而 与加载的历史和加载顺序无关。
6
1.1 引言 五个基本假设——理想弹性体
（3） 均匀性假定。假定整个物体由同一材料组成。保证整个 物体的所有各部分具有相同的弹性，因而物体的弹性常数才不 会随位置坐标而变，可以取出该物体的任意一小部分来加以分 析，然后把分析所得的结果应用于整个物体。 （4）各向同性假定。假定物体的弹性在所有各方向上都相同。 （5）小位移和小变形的假定。假定物体受力以后，物体所有 各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，并且其应变和转角都 小于1。保证在建立变形体的平衡方程时，可以用物体变形前的 尺寸来代替变形后的尺寸，而不致引起显著的误差，在考察物 体的变形及位移时，对于转角和应变的二次幂或其乘积都可以 略去不计。
1
第一章 弹性力学基本理论
本章概述
本章主要介绍弹性力学的基本理论，主要包括：线弹性问
题的几个假设；应力、应变的定义和性质；应力平衡方程、几
何方程和物理方程等弹性力学基本方程的推导。这些是进行机 械结构有限元分析的重要力学理论基础。 要求: 学习并掌握应力、应变基本概念和主要性质，掌握 弹性力学基本方程、应力边界条件、协调方程等。
相应地，y轴方向的正应变为： x-y 平面内的剪应变：
tan 1
（1.10）
; tan 2
（1.11）
16
1.1.3 应变的概念
因此，剪应变 xy 为
xy
u x 1 2 x y u y
（1.12）
应变分量的矩阵型式
x xy ij yx y zx yy
（2）完全弹性假定。这是假定物体服从胡克定律，即应变 与引起该应变的应力成正比。保证物体在任意瞬时的应变将 完全取决于该瞬时物体所受到的外力或温度变化等因素，而 与加载的历史和加载顺序无关。
6
1.1 引言 五个基本假设——理想弹性体
（3） 均匀性假定。假定整个物体由同一材料组成。保证整个 物体的所有各部分具有相同的弹性，因而物体的弹性常数才不 会随位置坐标而变，可以取出该物体的任意一小部分来加以分 析，然后把分析所得的结果应用于整个物体。 （4）各向同性假定。假定物体的弹性在所有各方向上都相同。 （5）小位移和小变形的假定。假定物体受力以后，物体所有 各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，并且其应变和转角都 小于1。保证在建立变形体的平衡方程时，可以用物体变形前的 尺寸来代替变形后的尺寸，而不致引起显著的误差，在考察物 体的变形及位移时，对于转角和应变的二次幂或其乘积都可以 略去不计。
1
第一章 弹性力学基本理论
本章概述
本章主要介绍弹性力学的基本理论，主要包括：线弹性问
题的几个假设；应力、应变的定义和性质；应力平衡方程、几
何方程和物理方程等弹性力学基本方程的推导。这些是进行机 械结构有限元分析的重要力学理论基础。 要求: 学习并掌握应力、应变基本概念和主要性质，掌握 弹性力学基本方程、应力边界条件、协调方程等。
第10章 弹性力学空间问题
第十章弹性力学空间问题知识点空间柱坐标系空间轴对称问题的基本方程空间球对称问题的基本方程布西内斯科解分布载荷作用区域外的沉陷弹性球体变形分析热应力的弹性力学分析方法坝体热应力质点的运动速度与瞬时应力膨胀波与畸变波柱坐标基本方程球坐标的基本方程位移表示的平衡微分方程乐普位移函数载荷作用区域内的沉陷球体接触压力分析受热厚壁管道弹性应力波及波动方程应力波的相向运动一、内容介绍对于弹性力学空间问题以及一些专门问题，其求解是相当复杂的。
本章的主要任务是介绍弹性力学的一些专题问题。
通过学习，一方面探讨弹性力学空间问题求解的方法，这对于引导大家今后解决某些复杂的空间问题，将会有所帮助。
另一方面，介绍的弹性力学专题均为目前工程上普遍应用的一些基本问题，这些专题的讨论有助于其它课程基本问题的学习，例如土建工程的地基基础沉陷、机械工程的齿轮接触应力等。
本章首先介绍空间极坐标和球坐标问题的基本方程。
然后讨论布希涅斯克问题，就是半无限空间作用集中力的应力和沉陷。
通过布希涅斯克问题的求解，进一步推导半无限空间作用均匀分布力的应力和沉陷、以及弹性接触问题。
另一方面，本章将介绍弹性波、热应力等问题的基本概念。
二、重点1、空间极坐标和球坐标问题；2、布希涅斯克问题；3、半无限空间作用均匀分布力的应力和沉陷；弹性接触问题；4、弹性波；5、热应力。
§10.1 柱坐标表示的弹性力学基本方程学习思路:对于弹性力学问题，坐标系的选择本身与问题的求解无关。
但是，对于某些问题，特别是空间问题，不同的坐标系对于问题的基本方程、特别是边界条件的描述关系密切。
某些坐标系可以使得一些特殊问题的边界条件描述简化。
因此，坐标系的选取直接影响问题求解的难易程度。
例如对于弹性力学的轴对称或者球对称问题，如果应用直角坐标问题可能得不到解答，而分别采用柱坐标和球坐标求解将更为方便。
本节讨论有关空间柱坐标形式的基本方程。
特别是关于空间轴对称问题的基本方程。
第二章 弹性力学的基本理论
2
0 0 0
0 0 0
0
0
0
x （2－18）
y
0 0 0
0
0
z
yz
0 0
0
0
66
zx xy
61
弹性力学简明教程
二、平面问题
平面问题｛ 平面应力问题 平面应变问题 1、平面应力问题:
z zx zy 0
xz yz 0
由（2－15）式知：
z
fy
0
(2-4)
xz
x
yz
y
z
z
fz
0
x
0
0
0
y 0
0
0 z
0
z y
z
0
x
x
y x
0
36
y
z yz
zx xy
61
fx fy fz
31
0 31
H P 0
36
61
31
31
(2-6)
弹性力学简明教程
二、空间问题的平衡微分方程
弹性力学简明教程
§2 平衡微分方程
一、平面问题的平衡微分方程
y
y
y
dy
x
fy
yx
yx
y
dy
xy
xy
x
dx
y
xy
dy c dx
fx
yx
x
x
x
dx
o(z)
x y
平衡微分方程：
Fx 0 Fy 0
微元体：厚度为1
平面问题的特点：
一切现象都看作是在一个平面内发生的
Fx 0 Fy 0
Mc 0
第一章 弹性力学的基本理论
机自学院安全断裂分析研究室
学习弹性力学的目的
理解和掌握弹性力学的基本理论、基本概念、基本 方程、基本解法。 能够阅读弹性力学相关文献，并应用已有解法为工 程服务。 能够将所学的弹性力学知识应用于近似解法－变分 法、差分法和有限单元法的理解。 为进一步学习固体力学的其它分支学科打下基础。
v v y dy dy v dy v y dy y
y
同样，可以列出另两个力矩平衡方程。得出
yz zy , zx xz , xy yx
机自学院安全断裂分析研究室
应力张量
是对称的二阶张量
x xy xz yx y yz zx zy z
过一点任意截面上的应力分量，完全由该点的应 力张量唯一地确定。即一点的应力状态是用该点的应 力张量表示的。
机自学院安全断裂分析研究室
弹性力学的发展史 自学
机自学院安全断裂分析研究室
弹性力学中的几个基本概念
外力 体积力：分布在物体体积内的力，如重力和惯性力 表面力：作用在物体表面的力，可以是分布力，也 可以是集中力
z
Q Z V X P
X
z
Q Z F Y P S
F Y
o
Q F V 0 V lim
x
y
o
Q F S 0 S lim
x
y
机自学院安全断裂分析研究室
内力、应力及应力张量
物体在外力的作用下，伴随变形而同时在物体内
产生抵抗变形的力，称为内力。
Ⅱ
F2
F1 — Ⅱ部分物体对Ⅰ部分物体的作用力
F1
F2 — Ⅰ部分物体对Ⅱ部分物体的作用力 F1 和F2 大小相等，方向相反。
学习弹性力学的目的
理解和掌握弹性力学的基本理论、基本概念、基本 方程、基本解法。 能够阅读弹性力学相关文献，并应用已有解法为工 程服务。 能够将所学的弹性力学知识应用于近似解法－变分 法、差分法和有限单元法的理解。 为进一步学习固体力学的其它分支学科打下基础。
v v y dy dy v dy v y dy y
y
同样，可以列出另两个力矩平衡方程。得出
yz zy , zx xz , xy yx
机自学院安全断裂分析研究室
应力张量
是对称的二阶张量
x xy xz yx y yz zx zy z
过一点任意截面上的应力分量，完全由该点的应 力张量唯一地确定。即一点的应力状态是用该点的应 力张量表示的。
机自学院安全断裂分析研究室
弹性力学的发展史 自学
机自学院安全断裂分析研究室
弹性力学中的几个基本概念
外力 体积力：分布在物体体积内的力，如重力和惯性力 表面力：作用在物体表面的力，可以是分布力，也 可以是集中力
z
Q Z V X P
X
z
Q Z F Y P S
F Y
o
Q F V 0 V lim
x
y
o
Q F S 0 S lim
x
y
机自学院安全断裂分析研究室
内力、应力及应力张量
物体在外力的作用下，伴随变形而同时在物体内
产生抵抗变形的力，称为内力。
Ⅱ
F2
F1 — Ⅱ部分物体对Ⅰ部分物体的作用力
F1
F2 — Ⅰ部分物体对Ⅱ部分物体的作用力 F1 和F2 大小相等，方向相反。
2--弹性力学基本理论
yz
zx
• 应变的定义
• 设平行六面体单元，3个轴棱边 ：
– 变形前为MA，MB，MC； – 变形后变为M'A'，M'B'，M'C'
。
x、 y、 z
•正应变（小变形）
•符号规定： 正应变以伸长为正。
•剪应变
•符号规定： 正应变以伸长为正；剪应变以角度变小为正。
材料力学 — 区别与联系 — 弹性力学
y
y
q
q
sx
ͼ 1-1a
x
0
sx x
ͼ 1-1b
材料力学 — 区别与联系 — 弹性力学
ͼ 1-3a ͼ 1-3b
2.1 弹性力学的基本假定
• 连续性假设：物体所占的空间被介 质充满，不考虑材料缺陷，在物体 内的物理量是连续的, 可以采用连续 函数来描述对象。
虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究， 但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。 材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因而 要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。这 样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近 似的，而不是精确的。而弹性力学是对构件的无限小单 元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假设，分析 的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以，我们 可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度， 并确定它们的适用范围。
当△S 趋近于0，则为P点的面力
•面力分量 •符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为负。 •面力的量纲：[力]/[长度]^2 •列阵表示：Fs={X Y Z}T
集中力
体力与面力都是分布力，集中力则只是作用在一个点
弹力8-空间问题的基本理论
m1 n1 由此可求出 、 , 再考虑l 2 + m 2 + n 2 = 1得：1 = l l1 l1
1 m1 2 n1 2 1+ ( ) + ( ) l1 l1
三个主方向相互垂直（σ 1 ≠ σ 2 ≠ σ 3）
§8－4 最大与最小的应力
正应力 取主轴坐标系，任意斜面上正应力：
σ N = l 2σ 1 + m 2σ 2 + n 2σ 3 = (1 − m 2 − n 2 )σ 1 + m 2σ 2 + n 2σ 3
§8－1 平衡微分方程
弹性力学分析： 弹性力学分析： 静力学方面、几何方面、 静力学方面、几何方面、物理方面
一点的应力状态
C
σz +
∂σz dz ∂z
z
σy
τ zx +
∂τ zx dz ∂z
τ zy +
∂τ zy ∂z
dz
τ yx
τ xz +
τ yz
∂τ xz dx ∂x
τ xy
σx
τ xz
∂τ xy ∂x dx
dy
∂σ y ∂y dy
τ zx = τ xz ,
τ yz = τ zy ,
τ xy = τ yx
x
τ xy
τ yz
σx +
∂σ x dx ∂x
a τ xz ∂τ yx ∂τ τ xy + xy dx τ yx + ∂y dy ∂x
σy +
B
A
平衡方程：
σz
y
∂σ x ∂τ yx ∂τ zx + fx = 0 + + ∂y ∂z ∂x ∂σ y ∂τ zy ∂τ xy + + + fy = 0 ∂z ∂x ∂y ∂σ ∂τ xz ∂τ yz z + + + fz = 0 ∂z ∂x ∂y
1 m1 2 n1 2 1+ ( ) + ( ) l1 l1
三个主方向相互垂直（σ 1 ≠ σ 2 ≠ σ 3）
§8－4 最大与最小的应力
正应力 取主轴坐标系，任意斜面上正应力：
σ N = l 2σ 1 + m 2σ 2 + n 2σ 3 = (1 − m 2 − n 2 )σ 1 + m 2σ 2 + n 2σ 3
§8－1 平衡微分方程
弹性力学分析： 弹性力学分析： 静力学方面、几何方面、 静力学方面、几何方面、物理方面
一点的应力状态
C
σz +
∂σz dz ∂z
z
σy
τ zx +
∂τ zx dz ∂z
τ zy +
∂τ zy ∂z
dz
τ yx
τ xz +
τ yz
∂τ xz dx ∂x
τ xy
σx
τ xz
∂τ xy ∂x dx
dy
∂σ y ∂y dy
τ zx = τ xz ,
τ yz = τ zy ,
τ xy = τ yx
x
τ xy
τ yz
σx +
∂σ x dx ∂x
a τ xz ∂τ yx ∂τ τ xy + xy dx τ yx + ∂y dy ∂x
σy +
B
A
平衡方程：
σz
y
∂σ x ∂τ yx ∂τ zx + fx = 0 + + ∂y ∂z ∂x ∂σ y ∂τ zy ∂τ xy + + + fy = 0 ∂z ∂x ∂y ∂σ ∂τ xz ∂τ yz z + + + fz = 0 ∂z ∂x ∂y
弹性力学--CH 7 空间问题的基本理论
CH 7 空间问题的基本理论
7.1 平衡微分方程
M
ab
0
yz zy
同理：
xy yx
zx xz
CH 7 空间问题的基本理论
7.1 平衡微分方程
F F F
x
0 0 0
y
z
x yx zx X 0 x y z y zy xy Y 0 y z x z xz yz Z 0 z x y
解方程得出σ的三个根σ1、σ2、σ3，即为P点的三个主应力。 求解与σ1相应的方向余弦l1、m1、n1。
l1 ( x 1 ) m1 yx n1 zx 0 l1 xy m1 ( y 1 ) n1 zy 0
l1 m1 n1 1
m1 n1 1 可以解出： , 及l1 2 2 l1 l1 1 (m1 / l12 ) 2 (n1 / l12 ) 2
X l x m yx n zx Y m y n zy l xy Z n z l xz m yz
X i l j ji
CH 7 空间问题的基本理论
7.1 平衡微分方程
静力学方面、几何方面和物理学方面建立方程
在物体内的任意 一点P，取一个微小 的平行六面体，它 的六个面垂直于坐 标轴，而棱边的长 度为PA=dx、PB=dy、 PC=dz。一般而论， 应力分量是位置坐 标的函数。
N lX N m YN nZN
7.2 物体内任一点的应力状态
l 2 x m 2 y n 2 z 2m n yz 2nl zx 2lm xy
2 2 2 2 2 2 sN N N XN YN ZN 2 2 2 2 2 N XN YN ZN N
弹性力学A-08空间问题的基本理论
由此可求得： m1 , n1 l1 l1
由：
l12 m12 n12 1
可求得：
l1
1
1
m1 l1
2
n1 l1
2
同理，可求出： l2、m2、n2， l3、m3、n3 。
思考题 证明，三个主应力方向互相垂直
第八章 空间问题的基本理论
力学与土木工程学院力学系弹性力学电子教案
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
弹性力学的基本规律
外力
应力
应变
位移
静 力 平 衡 规 律
第八章 空间问题的基本理论
线
几
性
何
弹
连
性
续
规
规
律
律
力学与土木工程学院力学系弹性力学电子教案
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
§8-1 平衡微分方程
1.单元体的描述
P 点的应力为：
yxx
xy y
Θ2 ( 2 3 3 1 1 2 )
y
z
z
x
x
y
2 yz
2 zx
2 xy
Θ3
1 2 3
x y z
x
2 yz
y
2 zx
z
2 xy
2 yz zx xy
x xy xz
Θ3 yx y yz
zx zy z
Θ2
x yx
xy y
x zx
xz z
y zy
yz z
x
y
y
zy
z
fy
0
y yx yz
xz
由：
l12 m12 n12 1
可求得：
l1
1
1
m1 l1
2
n1 l1
2
同理，可求出： l2、m2、n2， l3、m3、n3 。
思考题 证明，三个主应力方向互相垂直
第八章 空间问题的基本理论
力学与土木工程学院力学系弹性力学电子教案
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弹性力学的基本规律
外力
应力
应变
位移
静 力 平 衡 规 律
第八章 空间问题的基本理论
线
几
性
何
弹
连
性
续
规
规
律
律
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§8-1 平衡微分方程
1.单元体的描述
P 点的应力为：
yxx
xy y
Θ2 ( 2 3 3 1 1 2 )
y
z
z
x
x
y
2 yz
2 zx
2 xy
Θ3
1 2 3
x y z
x
2 yz
y
2 zx
z
2 xy
2 yz zx xy
x xy xz
Θ3 yx y yz
zx zy z
Θ2
x yx
xy y
x zx
xz z
y zy
yz z
x
y
y
zy
z
fy
0
y yx yz
xz
06第六章 弹性力学的基本理论
1. 虚位移原理 若物体在给定的外力载荷和温度分布下，应力处于平衡状态 （包括物体内部和物体的应力边界），若从物体的变形协调 状态出发给物体任意一虚位移（在物体体内即引起虚应变）， 则外力虚功恒等于虚应变能。 2. 最小势能原理
在所有可能满足位移边界条件和变形协调条件的位移中，只 有那些同时满足平衡条件和力的边界条件的即一组位移，使 系统的总势能取最小值。
1 E (1 ) D (1 )(1 2 ) 1 0
1 1 0
0 1 2 2(1 ) 0
6.5 弹性力学中的能量原理
力学中的能量原理是为了避免求解微分方程式时数学上的困 难而采用的一种近似方法。其数学基础是变分法，即弹性力 学中的变分原理，它是有限元法的基础。弹性体的运动规律， 即在外力作用下其变形、应力和外力间的关系同时也受到能 量原理的支配，它与微分方程和定解条件是等价的。
各向同性材料，应变主轴和应力主轴重合。当应力超过弹 性极限时，应力主轴和应变主轴一般不重合。
7. 位移——在物体受力变形过程中，其内部各点发生的位置变 化称为位移。由两部分组成：周围介质位移使它产生性 位移，自身变形产生的位移。
6.3 弹性力学的基本方程
1. 平衡微分方程——物体内应力分量与体力，面力分 量间的关系式。 2. 几何方程——应变矢量和位移矢量间的关系式（微 位移和微变形下略去位移导数的高次幂） 3. 物理方程——应力与应变间的关系式。 各向同性线弹性材料， Dε （D为弹性矩阵）
第六章 弹性力学的基本理论
6.1 弹性力学中的基本假设
（1）假设物体是连续的→物体内的物理量连续。 （2）假设物体是完全弹性的→物体在任一瞬时的变形完全取决 于它在这一瞬时所受的外力，与其载荷历史无关，服从胡克 定律。 （3）假设物体是均匀的→物体的各个部分都具有相同的物理性 质，如E，μ等。 （4）假设物体是各向同性。 （5）假设位移和变形是微小的→弹性力学里的代数方程和微分 方程都简化为线性方程，可应用叠加原理。 满足第四条假设的物体是理想弹性体，满足五条假设的弹性 力学称为线弹性力学。 （6）无初应力→外载荷作用前物体内部没有应力。
弹性力学课件08第八章 空间问题的解答
将应力表达式代入
∞
σ ρ = A2 σϕ =
A2 , R( R + z ) Az Aρ σ z = − 23 , τ zρ = − 2 3 , R R
∫
0
(2πρ d ρ)σ z + F = 0
第三节
半空间体在边界上受法向集中力
F (1 − 2ν ) R 3ρ 2 z − 3 σρ = 2 2πR R + z R (1 − 2ν ) F z R − σϕ = 2πR 2 R R + z
∇ 2ϕ = 0
第三节
半空间体在边界上受法向集中力 根据位移分量和应力分量与位移 函数的关系：
1 ∂ 2ζ 1 ∂2 u=− ,ω = 2(1 −ν )∇ 2 − 2 ζ ∂z 2G ∂ρ∂z 2G ∂ 2 ∂2 σ ρ = ν∇ − 2 ζ ∂ρ ∂z
半空间体，体力不计， 坐标系如图。通过量纲分 析，位移函数应是F乘以R、 z、ρ等长度坐标的正一次 幂，试算后，取设位移函 数为
化简后得到
∂σ ρ
τ ρz + + + Fb z = 0 ∂z ∂ρ ρ
∂τ ρz
第二节 空间轴对称问题 这样，空间轴对称问题的平 迭加得到几何方程 衡方程为 ∂σ ρ ∂τ zρ σ ρ − σ ϕ ∂u u + + + Fb ρ = 0 ε ρ = , εϕ = ρ ∂ρ ∂z ∂ρ ρ ∂σ z ∂τ ρz τ ρz ∂u ∂w ∂w + + + Fb z = 0 + , γ zρ = εz = ∂z ∂ρ ρ ∂z ∂ρ ∂z 由于对称，各点环向位移为零， 这里的物理方程是 由径向位移产生的应变为 1 ∂u u ∂u ε ρ = [σ ρ −ν (σ φ + σ z )] ερ = , ε ϕ = , γ zρ = E ∂ρ ρ ∂z 1 ε ϕ = [σ ϕ −ν (σ z + σ ρ )] E 由轴向位移w产生的应变为
∞
σ ρ = A2 σϕ =
A2 , R( R + z ) Az Aρ σ z = − 23 , τ zρ = − 2 3 , R R
∫
0
(2πρ d ρ)σ z + F = 0
第三节
半空间体在边界上受法向集中力
F (1 − 2ν ) R 3ρ 2 z − 3 σρ = 2 2πR R + z R (1 − 2ν ) F z R − σϕ = 2πR 2 R R + z
∇ 2ϕ = 0
第三节
半空间体在边界上受法向集中力 根据位移分量和应力分量与位移 函数的关系：
1 ∂ 2ζ 1 ∂2 u=− ,ω = 2(1 −ν )∇ 2 − 2 ζ ∂z 2G ∂ρ∂z 2G ∂ 2 ∂2 σ ρ = ν∇ − 2 ζ ∂ρ ∂z
半空间体，体力不计， 坐标系如图。通过量纲分 析，位移函数应是F乘以R、 z、ρ等长度坐标的正一次 幂，试算后，取设位移函 数为
化简后得到
∂σ ρ
τ ρz + + + Fb z = 0 ∂z ∂ρ ρ
∂τ ρz
第二节 空间轴对称问题 这样，空间轴对称问题的平 迭加得到几何方程 衡方程为 ∂σ ρ ∂τ zρ σ ρ − σ ϕ ∂u u + + + Fb ρ = 0 ε ρ = , εϕ = ρ ∂ρ ∂z ∂ρ ρ ∂σ z ∂τ ρz τ ρz ∂u ∂w ∂w + + + Fb z = 0 + , γ zρ = εz = ∂z ∂ρ ρ ∂z ∂ρ ∂z 由于对称，各点环向位移为零， 这里的物理方程是 由径向位移产生的应变为 1 ∂u u ∂u ε ρ = [σ ρ −ν (σ φ + σ z )] ερ = , ε ϕ = , γ zρ = E ∂ρ ρ ∂z 1 ε ϕ = [σ ϕ −ν (σ z + σ ρ )] E 由轴向位移w产生的应变为
弹性力学讲义-第7,8章空间问题的基本理论
体应变 dx xdx dy ydy dz zdz dxdydz dxdydz
(1 x )(1 y )(1 z ) 1 x y z z x y z x y x y z x y z
u v w
x y z
(7-11)
(7-10)
§7-4 几何方程及物理方程
xzl
yz m
zn
n
( x )l yxm zxn 0 xyl ( y )m zyn 0 xzl yzm ( z )n 0
（c）
方向余弦 l 2 m2 n2 1 （b）
§7-3 主应力 最大与最小的应力
l 2 m2 n2 1 必有非零解
( x xyl
)l ( y
yxm )m
zx zy
n n
0 0
xzl yzm ( z )n 0
（c）
齐次方程组有非 零解的充要条件
x xy xz
yx y
yz
zx zy 0 z
3 1 2 2 3 0
1 x y z
2
x
y
y z
z
x
2 xy
2 yz
2 zx
3
1
0
解答 m 0, n 0 l 1 极值1
n 0, m 1 l 1
2
2
§7-3 主应力 最大与最小的应力
1
3
3
总共得出极值时的六组解答
l 1 0 0
0
m 0 1 0 1 2
n 0 0 1 1 2
2 n
0
0
0 2 3 22
1 2 0
1 2
3 1 22
1
1 2 1 2
n l 2 1 m2 2 n2 3
l2 m2 n2 1
(1 x )(1 y )(1 z ) 1 x y z z x y z x y x y z x y z
u v w
x y z
(7-11)
(7-10)
§7-4 几何方程及物理方程
xzl
yz m
zn
n
( x )l yxm zxn 0 xyl ( y )m zyn 0 xzl yzm ( z )n 0
（c）
方向余弦 l 2 m2 n2 1 （b）
§7-3 主应力 最大与最小的应力
l 2 m2 n2 1 必有非零解
( x xyl
)l ( y
yxm )m
zx zy
n n
0 0
xzl yzm ( z )n 0
（c）
齐次方程组有非 零解的充要条件
x xy xz
yx y
yz
zx zy 0 z
3 1 2 2 3 0
1 x y z
2
x
y
y z
z
x
2 xy
2 yz
2 zx
3
1
0
解答 m 0, n 0 l 1 极值1
n 0, m 1 l 1
2
2
§7-3 主应力 最大与最小的应力
1
3
3
总共得出极值时的六组解答
l 1 0 0
0
m 0 1 0 1 2
n 0 0 1 1 2
2 n
0
0
0 2 3 22
1 2 0
1 2
3 1 22
1
1 2 1 2
n l 2 1 m2 2 n2 3
l2 m2 n2 1
弹性力学第8章空间问题的基本理论与解答
y
0,
0,
F
z
0;
z
(a) (b)
M
0,
y
M
0.
4
§8.1 平衡微分方程
5
§8.1 平衡微分方程
由x 轴向投影的平衡微分方程 F x 0 , 得
ζ x yx zx fx 0 , x y z ( x, y, z ). (c)
因为 x , y , z 轴互相垂直，均为定向，量
21
§8.3 轴对称问题的基本方程
对于空间轴对称问题： 所有物理量仅为(ρ,z)
的函数。
应力中只有 ζ ,ζ ,ζ z , z , z 0;
(a) 形变中只有 , , z , z , z 0; u , uz , 位移中只有 u 0。
d xd y d z
(1 x )(1 y )(1 z ) 1
x y z.
(d)
其中由于小变形假定，略去了形变的2、3次幂。
16
§8.2 几何方程及物理方程 空间问题的物理方程
可表示为两种形式：
x 1 (ζ x ζ y ζ z ), E
14
§8.2 几何方程及物理方程
若在 su 边界上给定了约束位移分量
u , v , w ，则空间问题的位移边界条件为：
(u ) s u ,
(u, v, w).
(c)
15
§8.2 几何方程及物理方程
体积应变定义为：
dv dv dv (d x x d x)(d y y d y )(d z z d z ) d xd yd z
本知函数共有15个，且均为x,y,z的函数。 空间问题的基本方程，边界条件，以
弹性力学课件第五讲 空间问题的基本理论
过一点任意斜面的全应力
特殊情况下，若平面 特殊情况下，若平面ABC是弹 是弹 性体上受面力作用的边界面， 性体上受面力作用的边界面，则
应力p就成为面力，于是由(7－ 应力 就成为面力，于是由 －2)
式可得出 :
(σxl +τ yxm+τ zxn)s = f x (s) (τ xyl +σ ym+τ zyn)s = f y (s) (τ xzl +τ yz m+σz n)s = f z (s)
σn = lpx + mpy + npz 平面ABC上的切应力τn则由 上的切应力 平面 上的
下式求得： 下式求得：
τ = p + p + p −σ
2 n 2 x 2 y 2 z
2 n
过一点任意斜面的主应力与主方向
问题3 若经过该点的某一斜面上的切应力为0 问题3：若经过该点的某一斜面上的切应力为0，求此斜 面上的主应力σ和应力主方向α ？ 设如图所示的斜面上切应力 为0，则该面上的全应力等于正 应力，也等于主应力， 应力，也等于主应力，于是有
应力p？ 1：求经过该点任何斜面上的应力 ？ ：求经过该点任何斜面上的应力 2：求经过该点的任何斜面上的正应力σn和切应力τn ？ ：求经过该点的任何斜面上的正应力 3：若经过该点的主应力σ和应力主方向α ？ ：若经过该点的主应力 4：求经过该点的正应力σn和切应力τn 的最大和最小值？ ：求经过该点的正应力 的最大和最小值？
例 题
例1：证明主应力是正应力的极值（极大或极小）。 ：证明主应力是正应力的极值（极大或极小）。 解：为了计算方便，选三个主方向为坐标轴向，则有 为了计算方便，选三个主方向为坐标轴向， σx= σ1 ， σy= σ2 ， σz= σ3 ， τxy= τyz=τxz= 0 τ 设任意斜微分面的方向余弦为（ 设任意斜微分面的方向余弦为（ l, m , n )，其正应力为 ， 公式（ － ）， ），代入有 公式（7－3），代入有 σn= σ1 l2+σ2m2+ σ3n2 =σ1 –(σ1- σ2)m2- (σ1- σ3)n2 σ σ σ σ 设三个主应力大小顺序为 σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 ，则正应力取极 大值条件： 大值条件： m=n=0, | l | =1, 即极大值为σ1。 , 即极大值为σ 同理极小值为σ 。 同理极小值为σ3。
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44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联来自弹性力学 空间问题基本理论
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
45、自己的饭量自己知道。——苏联来自弹性力学 空间问题基本理论
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔