Vasiek利率模型下的亚式期权的定价问题和数值分析

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几何型亚式期权的定价的开题报告

几何型亚式期权的定价的开题报告1.引言近年来，亚式期权取得了很大进展。

与欧式期权之比，亚式期权具有更宽广的适用面，因为它们更符合实际市场状况。

而在定价层面，均值回归和波动率的随机行为将需要被考虑进来。

本文将介绍几何型亚式期权的定价方法，通过建立数学模型和假设条件，预测未来的股票价格，从而确定期权的价格。

2.文献综述近些年来，几何型亚式期权的定价问题已经受到广泛关注。

在已经有的研究中，通过模拟随机过程，以及对几何布朗运动方程的研究，得出了一些较为准确的定价模型。

其中，从交易者角度出发，采用蒙特卡罗方法也是一种较为常见的方法。

3.研究框架本研究将采用蒙特卡罗模拟来进行几何型亚式期权的定价。

下面将主要包括以下步骤：1）确定随机过程方程和市场假设条件。

2）构造蒙特卡罗模拟方法，计算亚式期权的价格。

3）通过对比对于该亚式期权的不同价格结果，来为股票交易者提供决策依据。

4.研究方法蒙特卡罗方法是一种用随机数进行仿真的方法，通过随机模拟产生大量的实验数据，并用这些数据来估计所研究的问题的概率分布特征。

对于亚式期权的定价问题，我们也可以采用蒙特卡罗模拟方法来进行计算。

在估算亚式期权价格的过程中，我们需要建立一个随机过程模型来模拟股票价格。

这里我们采用几何布朗运动模型，该模型被广泛用于建模随机游走股票价格。

在模拟期权价格的过程中，我们将模拟股票价格的漂移和波动率。

对于股票的漂移，我们可以根据市场假设来设定，如每年的平均增长率。

对于波动率，我们可以根据已有历史数据来进行计算。

通过这些随机数，我们就可以通过蒙特卡罗方法来计算出亚式期权的价格。

5.研究贡献本研究将能够为股票交易者提供准确的决策依据，通过对比不同期权价格的结果，可以选择最佳的交易策略。

同时，本研究也拓宽了几何型亚式期权定价的研究方向。

6.结论本文介绍了几何型亚式期权的定价方法，并且采用蒙特卡罗方法进行计算。

通过建立数学模型和随机过程模拟，预测未来股票价格，并以此为基础计算出期权价格。

随机利率模型下几何平均亚式期权的保险精算定价

随机利率模型下几何平均亚式期权的保险精算定价王小莹;王玉文【摘要】介绍了几何平均亚式期权的定义及其性质,在随机利率模型下,应用保险精算方法,对几何平均亚式期权进行定价.【期刊名称】《哈尔滨师范大学自然科学学报》【年(卷),期】2018(034)001【总页数】3页(P1-3)【关键词】随机利率;几何平均亚式期权;保险精算定价【作者】王小莹;王玉文【作者单位】哈尔滨师范大学;哈尔滨师范大学【正文语种】中文【中图分类】O230 引言期权是一种衍生性的金融工具，为了与金融市场的实际状况更好地吻合，也为了满足更多投资者的需求，金融机构设计了许多种类型期权，亚式期权从此诞生.随着经济的发展,亚式期权在金融市场中的地位日趋重要，也越来越受市场喜欢,主要原因是亚式期权的价值强烈依赖于风险资产的价格路径.因此，这有效地规避在接近到期日时，套利者通过更改价格来获取暴利，也可以防止期权价格被人为控制.对于传统的Black scholes 公式，它的应用条件接近于理想化，需要在无套利、均衡、完备的条件下才可以应用.随后提出期权定价的保险精算方法，这项研究的期权定价公式改进了传统公式的应用条件，使得应用更为广泛，灵活.在研究期权定价的过程中发现，利率是影响定价的一个非常重要的因素.在很多定价方法中，都是将利率看作不变的常数，这与现实世界中利率的选取有很大不同，对于现实世界中的利率显然无法精确地估计量化.该文将利率更加接近现实利率，选择随机利率引入期权定价中，利用随机利率模型量化现实世界的利率变化，将模型应用于保险精算期权定价中，不仅可以满足现实的条件需求，还可以更好地提升期权定价的精度，使得应用更为广泛.该文中，将用保险精算法对随机利率模型下几何平均亚式期权进行定价.1 基础知识定义1.1 亚式期权是一种与路径极其相关的期权，它的价值与时间t以及风险资产S(t)相关，并且依赖路径J(t)，即C=C(S,J,t)其中，路径J(t)分为:(i)按算术平均计算(ii)按几何平均计算分别对应: (i)算术平均亚式期权; (ii)几何平均亚式期权.文中研究的是敲定价格是固定的，看涨亚式期权: C(K,T)=(J(T)-K)+.其中C(K,T)代表到期日为T， K为敲定价格的期权价格[1].定义1.2 随机过程在{St,t≥0}在[0，T]上的期望收益率βs定义为[1]：其中E为ST数学期望，定义1.3 设C(K,T)为看涨期权的价格，P(K,T)为看跌期权的价格，在期权满足保险精算定价公式的条件下，期权在到期日T时刻被执行的条件为：亚式买权：exp{-βST}ST>exp(-E[r(T)]T)K亚式卖权：exp{-βsT}ST<exp{-E[r(T)]T}K定义:C(K,T)=E[[exp{-βsT}ST-exp{-E[r(T)]T}K]{α}]P(K,T)=E[[exp(-E[r(T)]T}K-exp{-βsT}ST]{β}]其中α=exp{-βsT}ST>exp{-E[r(T)]T}Kβ=exp{-βsT}ST<exp{-E[r(T)]T}K引理1.1 假设风险资产满足dSt=rStdt+σStdWt其中漂移率r，波动率σ为常数，则lnSt是一个正态随机过程，更进一步，令则lnJT是一个服从正态分布的随机变量，且：2 期权定价定理1.1 构造一份几何平均亚式期权，假设风险资产为{S(t):t≥0}，在[0,T]上其价格过程为：dSt=E[r(T)]Stdt+σrStdWt市场利率r(t)=r(t,ω)其中，{Wt}为标准布朗，运动路径变量为Jt：那么敲定价格为K，到期日为T的期权，在0时刻的价值为：e-E[r(T)]TKΦ(d2)其中证明令r=E[r(T)]故由保险精算定价公式C0=E[(e-βJTJT-e-E[r(T)]K)X(e-βJT·JT>e-E[r(T)]TK=E[(e-β5TJT-e-rTK)X(e-βJTJT>e-E[r(T)]TK)](1)在期望增长率的定义中，以Jt替换St，得到其中e-βJTJT>e-rTK等价于lnJT>βJT-rT+lnK令d=βJT-rT+lnK则由(1)式及得到=e-βJTI1-e-rTKI2(2)其中而f (y)为y=lnJT的概率密度函数，这里因此令则其中因此(3)同样得到令得到(4)其中综合(2)(3)(4)式得C0=e-βJTI1-e-rTKI2=(5)其中参考文献[1] 王玉文,刘冠琦,王紫,，等, 随机金融数学引论[M].北京:科学出版社,2015.291-300.[2] 闫海峰,刘三阳.广义Black-Scholes模型期权定价新方法-保险精算方法[J].应用数学和力学,2003,24(7)730-738.[3] 钱丽丽, 期权定价问题的保险精算方法研究[J]. 当代财经,2007(5).[4] Long staff F A, Schwart E S. Valuing Credit Derivatives [J]. The Journal of Fixed Income,1995,2(5):6-12.[5] 田萍,张屹山,赵世舜.随机利率下期权定价的探讨[J].数理统计与管理，2008(6).[6] 韩松.随机利率下亚式期权定价的新方法[J].贵州师范大学学报,2015,33(3):64-72.[7] 约翰·B·考埃特,爱德华·I·爱特曼.石晓军,张振霞译.演进着的信用风险管理.北京: 机械工业出版社,2001.[8] 武军伟.信用风险定价理论综述[J].江苏商论，2008(30): 11-12.[9] 肖庆宪.信用价差的动态模型及其在期权定价中的应用[J].上海理工大学学报,2007,3: 223-226.[10] 黄在鑫.中美主要金融市场相关结构及风险传导路径研究-基于Copula理论与方法.[J]国际金融研究,2012(5):74-82.[11] John Hull.Risk Management And Financial Institutions.北京:机械工业出版社,2013。

Vasicek利率模型下利率衍生品定价的比较研究

本文对比分析了基于 V asicek 模型下各利率衍生品的定价, 可以发现对于零息债券和欧式期权定价问题, 可以通过解偏微分方程得到定价公式, 当前的研究方向主要是扩展原有的 V asicek 模型, 再对它们进行定价; 而对美式期权、百慕大期权等路径相关的利率衍生品, 主要的定价方法是利率二叉树以及蒙特卡洛模拟、有限差分方法等数值方法, 利用扩展的 V asicek 模型, 解决原有模型不足的相关文献还比较少, 这可以作为以后进一步研究的方向。此外本文还讨论了如何利用当前市场数据修正原有的利率二叉树法和有限差分方法对美式期权进行定价的问题。
三、总结
Vasicek 模型假设所有的参数都是常数, 不随时间变化, 而且波动率也是一个常数, 没有考虑到利率水平对波动率的影响以及波动率本身的 G ARCH 效应, 并可能出现利率为负的情况, 这些都是该模型的缺点。但 V asicek 模型结构简单, 其他很多更复杂的模型都可看作是 V asicek 模型的扩展 , 所以该一直是利率衍生品定价中常用模型之一。
5. 美式期权定价( 有限差分方法)
Br ennan 和 Schw artz ( 1977) 将有限差分方法应用到美式期权的价格估计中, 现假设一个零息美式看跌期权。在 V as icek 利率模型假设下, 该期权满足以下的微分方程:
f t
+
12 2
2f r2
+
r
f r
=
rf
把该期权的有效期分成 N 个等间隔的小时间段, 即 t = T / N 。假设 Pmax 为可达到的足够高的零息债券价格, 定义 p = Pmax / M , 形成 M + 1 个债券价格, 就构造了一个共有( M + 1) ( N + 1) 个点的坐标方格。其中 f ( i, j ) 对应时刻 i t 和股票价格 j p 用代表点的期权价格。通过将微分方程中的所有一阶和

分形市场中具有时变利率的欧式外汇期权定价

分形市场中具有时变利率的欧式外汇期权定价
申敏
【期刊名称】《科学技术与工程》
【年(卷),期】2008(8)24
【摘要】选取最一般的外汇期权作为研究对象,在分形-Ito- 积分下证明国内国外无风险利率均为关于时间t的非随机函数时的欧式外汇看涨和看跌期权价格公式,并说明经典Black-Scholes期权定价公式是本公式的特例.
【总页数】4页(P6565-6568)
【作者】申敏
【作者单位】南京工业大学理学院数学与应用数学系,南京,210009
【正文语种】中文
【中图分类】F830.9
【相关文献】
1.具有时变参数的分数布朗运动环境下欧式缺口期权定价 [J], 白婷;李翠香
2.Vasicek利率模型下欧式看涨外汇期权定价分析 [J], 徐根新
3.随机波动率模型中应用鞅方法定价具有不同借贷利率的欧式期权 [J], 霍慧东;孔繁亮
4.分形布朗运动下的欧式外汇期权定价 [J], 刘目楼;何春雄
5.不同借贷利率下的欧式外汇期权定价的保险精算方法 [J], 王沛盈
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新商品申请-亚式期权

亚式期权模型评价一、亚式期权商品说明亚式期权与一般期权之不同，在于其「平均」之概念。

其方式可分为资产价格平均（Average Rate Options: ARO ）或履约价平均（Average Strike Options: ASO ）两种，以前者较为常见，其到期之报酬是由过去标的资产之平均价格与履约价格之差别而定，而非一般期权由标的资产到期价格与履约价格而定。

由于平均价格之波动性低于标的资产价格，故亚式期权之价格较一般期权为低。

以下列出各种亚式期权之到期报酬支付形式：资产价格平均：看涨：]0,)),0(([K T F AverageMax - 看跌：]0)),,0(([T F Average K Max -履约价平均：看涨：)0)),,0(([T F Average F Max T-看跌：]0,)),0(([T F T F AverageMax - 其中T F ＝标的资产到期价格K =履约价 T =期权到期日二、亚式期权定价模型与模型测试（一)亚式期权之定价模型亚式期权之平均方式又可分为「几何平均」与「算数平均」。

假设资产价格呈log-normal 分布时，由于log-normal 分布之几何平均本身亦为log-normal 分布，故几何平均亚式期权可依据Black-Scholes 模型加以更改，得到良好的公式解。

但一般实务上仍以算数平均期权较为常见，由于log-normal 分布之算数平均不为log-normal 分布，算数平均期权之评价较为困难。

因计算过程繁复，算数平均亚式期权难以用数值法评价，也难以找出精确的公式解，一般都以近似之方法求出逼近之公式解，或是使用如Monte Carlo simulation 等模拟法。

考虑标的物动态0),(≥+=T T dW F dt F dF T T T σμ这里μ是一固定数)(T W 是一个标准布朗运动，σ是一个波动度常数这里 0t 式开始平均标的物的时刻，设定 T t t ≤≤0我们把观察期分成 n t t t ,...,,21。

几种奇异期权定价问题的研究

几种奇异期权定价问题的研究The study of Several exotic option pricing problem作者姓名孙江洁学位类型硕士学科、专业应用数学导师及职称杜雪樵教授2009年4月合肥工业大学本论文经答辩委员会全体委员审查，确认符合合肥工业大学硕士学位论文质量要求。

答辩委员会签名（工作单位、职称）主席：胡舒合，安大教授委员：凌能祥合工大教授惠军合工大副教授焦贤发合工大教授朱士信合工大教授导师：杜雪樵教授独创性声明本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。

据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得合肥工业大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。

与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。

学位论文作者签名：孙江洁签字日期： 09 年4月11日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解合肥工业大学有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。

本人授权合肥工业大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。

(保密的学位论文在解密后适用本授权书)学位论文作者签名：孙江洁导师签名：杜雪樵签字日期： 09年 4月 11日签字日期： 09年 4月 11日学位论文作者毕业后去向：工作单位：电话：通讯地址：邮编：几种奇异期权定价问题的研究摘要期权定价问题已经成为金融数学研究的核心问题之一，它涉及现代金融学的资产定价理论、投资组合理论、风险管理理论以及现代数学中的随机分析、优化理论等学科。

对金融衍生证券进行正确的估价是对风险资产进行有效投资关键。

为了满足金融市场的不断发展，各种新型期权、奇异期权应运而生。

为了更好地满足投资者的喜好、为了尽可能避免少数投资者操纵投资市场，我们有必要对奇异期权进行深入的研究。

随机利率下数字幂型期权的定价

∫ ∫ T (ρσr(s)a～(s,T)+σs)dW～sS + T 1-ρ2σr(s)a～(s,T)dW～S1(s)
t
t
σ1(t,T)
<
lnK1BS(tt,T)- 1 2σ21(t,T) σ1(t.T)
其中
Q～S(ST < K1)=N(d1)
同理
d1 =lnK1BS(ttσ,1T(t),-T1 2)σ21(t,T)
同理有下述定理 2.
定理2 在利率满足式(4)时,收益函数为式(2)的数字幂型期权的价格满足
C(t,St)=B(tK,1T)EQ～ (SαT ·IB Ft)
其中
B = (K1 ≤SαT < K2) 定理3 在利率满足式(4)时,收益函数为式(1)的数字幂型期权的定价公式为
C(t,St)=B(tK,1T)·Bα(tS,tα T)expæèçα22-ασ21(t,T)öø÷·(N(d2)-N(d1))
价格的关系.
本文研究了在随机利率下数字幂型期权的定价问题 .在随机利率下得到的数字幂型期权定价公式实际
是文献 [4]和文献 [7]的推广 .
考虑一个随机的跨期经济,不确定性由概率空间(Ω,F,P)表示,Ft 代表时刻t 的信息流,满足“自然假设”,即 Ft 是右连续的和单调递增的,且 F0 包含所有 F 可测的P 零测度集.
设St 表示时刻t的标的资产价格,C(t,St)是标的资产数字幂型期权在时刻t的价格.本文考虑的数字幂型期权的收益函数为如下两种
C(T,ST )=KSαT1I(K1≤ST <K2 )
(1)

Vasiek利率模型下的亚式期权的定价问题和数值分析

263Vol.26No.3 20037ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA July,2003 Vasiˇc ek∗(200092)(230026)Vasiˇc ekCauchyCauchy1(Call/Put Option)(Exotic Option).Black-ScholesVasiˇc ek T,[0,T]2001107∗(10201029)46826Monte Carlo[1,2],[3–5].Turnbull &Wakeman (1991)Levy (1992).LaplaceTaylor([6–9]),[3,10,11].Cauchy[12].1CauchyCauchy2T ,[0,T ]T 0(Zero-Coupon).(Ω,F,P )rSd r t =(β−αr t )d t +γd Z t ,d S t =S t (r t dt +σB t ).(2.1)(Z t ,B t )(Ω,F,P )2(F t )t ≥0σ-α,β,λ=0σ=0T ,1TTS (τ)d τTξ=S T −1TTS (τ)d τ+.(2.2)C (t )C (t )=E p ξexp−Ttr s d s F t .(2.3)I t =tS (τ)d τ,(t,r t ,S t ,I t )MarkovianC (t )(t,r,S,I )C (t,r,S,I ).Feymann-kac3Vasiˇc ek469 PDE Cauchy⎧⎪⎨⎪⎩∂V∂t+12σ2S2∂2V∂S2+12γ2∂2V∂r2+rS∂V∂S+(β−αr)∂V∂r+S∂V∂I−rV=0,V(T,S,r,I)=S−IT+,(2.4)0≤t<T,−∞<r<+∞,0≤S,I<+∞.(2.4),x=IT S ,V(t,S,r,I)=Sf(t,x,r),⎧⎨⎩∂f∂t+1T−rx∂f∂x+12σ2x2∂2f∂x2+(β−αr)∂f∂r+12γ2∂2f∂r2=0,f(T,x,r)=(1−x)+.(2.5)t→T∂2f(x,t,r)∂x2→δ(1−x),δ(ξ)0DiracT(2.5)f=f1+f2,f1f2PDE:⎧⎨⎩∂f1∂t+rx∂f1∂x+12σ2x2∂2f1∂x2+(β−αr)∂f1∂r+12γ2∂2f1∂r2−rf1=0,f1(T,x,r)=(1−x)+(2.7)⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩∂f2∂t+1T−rx∂f2∂x+12σ2x2∂2f2∂x2+(β−αr)∂f2∂r+12γ2∂2f2∂r21 =−1T−2rx∂f1∂x−rf,f2(T,x,r)=0,(2.7)0≤t<T,−∞<r<+∞,0≤x<+∞.f1Vasiˇc k1Call-PutC(t,r t,S t,K)−P(t,r t,S t,K)=S t−KP(t,T),(2.8) P(t,T)T0t Vasiˇc k([13]):C(t,r t,S t,K)=S t N(d1)−Ke−C1(t,T,r t)+σ2X2N(d2).(2.9)d1=log S tK+12σ2Y+C(t,T,r t)σ2X+σ2Y,d2=log S tK−σ2X+12σ2Y+C(t,T,r t)σ2X+σ2Y,σ2X=1αTtγ2e2α(T−u)d u,σ2Y=σ2(T−t),C1(t,T,r t)=γα(eα(T−t)−1)−γα2(T−t+1)+γα2eα(T−t).47026(2.6)f1(t,x,r)=xN(d1)−e−C1(t,T,r)+σ2X2N(d2)+e A(t,T)−B(t,T)r−x,(2.10)B(t,T)=1α[1−e−α(T−t)],A(t,T)= Tt12γ2B(s,T)−βB(s,T)d s.∂f1∂x=N(d1)−1,τ=T−t,(2.7)⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩∂f2∂τ−1T−rx∂f2∂x−12σ2x2∂2f2∂x2+(β−αr)∂f2∂r−12γ2∂2f2∂r2 =1T−2rxN(d1)−1+rf1=F(τ,x,r),f2(0,x,r)=0.(2.11)Cauchyx∈[0,X],r∈[−R,R],τ∈[0,T],∆x=XN,∆r=2RM,∆τ=TK.∂f∂τki,j=f k+1i,j−f k i,j∆τ+O(∆τ),∂f∂xki,j=f k i+1,j−f k i−1,j2∆x+O(∆x2),∂f∂rki,j=f k i,j+1−f k i,j−12∆r+O(∆r2),∂2f∂xki,j=f k i+1,j+f k i−1,j−2f k i,j∆x+O(∆x2),∂2f∂r2ki,j=f k i,j+1+f k i,j−1−2f k i,j∆r2+O(∆r2),(2.11),f k+1 i,j =1−σ2x2∆τ∆x2−γ2∆τ∆r2f k i,j+∆τ2∆xσ2x2i∆x+1−r j x if k i+1,j+∆τ2∆rγ2∆r+β−αr jf k i,j+1+∆τ2∆xσ2x2i∆x−1+r j x if k i−1,j+∆τ2∆rγ2∆r+αr j−βf k i,j−1+∆τF k i,j,(2.12)1≤i≤N−1,−M+1≤j≤M−1,1≤k≤K−1.∆r=∆x,∆x≤min{σ2x2i|1−r j x i|,γ2β−αr j},∆τ∆x2≤1γ2+σ2x2i3Vasiˇc ek471(2.12)O (∆τ+∆x 2),f k N,j ,f k 0,j ,f k i,M ,f ki,−M ,0≤i ≤N ,−M ≤j ≤M ,1≤k ≤K∀0<p <1,f k N,j =pf k −1N,j +(1−p )f kN −1,j ;(2.13)f k 0,j =pf k −10,j +(1−p )f k 1,j ;(2.14)f k i,M =pf k −1i,M +(1−p )f k i,M −1;(2.15)f k i,−M =pf k −1i,−M +(1−p )f k i,−M +1;(2.16)3f1S =100,I =1t t0S (τ)d τ=1003,T =3t =0.03,σ=30%,α=1,β=0.05γ=0.1γ=0.05r =Vasick Constant Vasick 0.115.847818.673315.63400.318.291134.416118.17360.520.814347.859820.74790.723.344257.774423.3150S =50,I =1t t0S (τ)d τ=1003,T =3t =0.03,σ=30%,α=1,β=0.05γ=0.1γ=0.05r =Vasick Constant Vasick 0.18.00239.39147.89230.39.249317.33959.18640.510.541324.203010.50410.711.840029.258711.82202β=0.1S =100,I =1t t0S (τ)d τ=1003,T =3t =0.03,σ=30%,α=1,β=0.1γ=0.1γ=0.05r =Vasick Constant Vasick 0.118.794018.673318.69760.321.396234.416121.34730.521.396247.859823.9827S =50,I =1t t0S (τ)d τ=1003,T =3t =0.03,σ=30%,α=1,β=0.1γ=0.1γ=0.05r =Vasick Constant Vasick 0.19.45869.39149.40540.310.793417.339510.76440.512.132524.203012.1204γ47226γβ<r,β=rβ1,23T=3,t=0.03,σ=30%,r=10%,α=1,β=0.1x1T=3,t=0.03,σ=30%,x=1,α=1,β=0.05r23Vasiˇc ek473 T=3,t=0.03,σ=30%,r=10%,α=1,β=0.05x34VasicekCauchy1Kemna A G Z,Vorst A C F.A Pricing Method for Options Based on Average Asset Values.Journal of Banking and Finance,1990,14:113–1292Carverhill A,Clewlow L.Flexible Convolution.RISK,1990,5:25–293Rogers L,Shi Z.The Value of an Asian Option.Journal of Applied Probability,1995,32:1077–1088 4Alziary B,Decamps J,Koehl P,A P.D.E.Approach to Asian Option:Analytical and Numerical Evidence.Journal of Banking and Finance,1997,21:613–6405Zvan R,Forsyth P,Vetzal K.Robust Numerical Methods for PDE Models of Asian Options.Journal of Computational Finance,1997/98,1(2):39–786Geman H,Yor M.Bessel process,Asian Options and Perpetuities.Mathematical Finance,1993,3(4): 349–3757Geman,H,Eydeland,A Domino Eﬀect.RISK,1995,8:65–678Bouaziz L,Briys,E,Crouhy M.The Pricing of Forward Starting Asian Options.Journal of Banking and Finance,1994,18:823–8399Milevsky M A,Posner S n Options,the Sum of Lognomals and the Reciprocal Gamma Distribution.Journal of Financial and Quantitative Analysis,1998,33(3):409–42210Chalasani P,Jha,S,Varikooty A.Accurate Approximation for European-style Asian Options.Journal of Computational Finance,1998,1(4):11–304742611Thompson G W P.Fast Narrow Bounds on the Value of Asian Options.Working Paper,Centre for Financial Research,Judge Institute of Management Science,University of Cambridge,200012Zhang J E.A Semi-analytical Method for Pricing and Hedging Continuous-sampled Arithmetic Av-erage Rate Options.Journal of Computational Finance,2001,5(1):1–2013Wang L J,Zhang S.Princing the Reset Option under Stochastic Interest Rate.Applied Mathematics,A Journal of Chinese Universities,2002,17:471–478PRICING THE ASIAN OPTION UNDERV ASIˇCEK INTEREST RATEWANG Lijun(Department of Applied Mathematics,Tong-Ji University,Shanghai200093)ZHANG Shuguang(Department of Statistics and Finance of University of Science&Technology of China,Hefei230026) Abstract This paper presents a theory of continuous sampled Asian option pricing when the interest rate is modeled by Vasiˇc ek model.For arithmetic Asian option,we subtract an explicit formula from the solution of the price and get a PDE satisﬁed by the residue with smooth coeﬃcients and0initial condition.We adopt inﬁnite diﬀerence scheme to calculate the solution numerically.Key words Asian option,ﬂoating strike price,inﬁnite diﬀerence scheme。

亚式期权定价模拟方法的比较研究

亚式期权定价模拟方法的比较研究作者：卞金萍岳芹来源：《山西能源学院学报》2021年第05期【摘要】文章研究了亚式期权的定价问题。

用蒙特卡罗法比较了算术平均亚式期权在各种不同条件下的期权价格数值，并分别用蒙特卡罗法和控制变量法对亚式期权和欧式进行了数值模拟比较，最后用控制变量法对算术亚式期权和几何亚式期权做了比较分析。

【关键词】亚式期权; Monte Carlo模拟;控制变量; 期权定价【中图分类号】F830 【文献标识码】 A 【文章编号】 2096-4102（2021）05-0042-03我国金融市场的快速发展，出现了各种新型期权，亚式期权（Asianoptions）就是其中的一种。

本文用Monte Carlo法比较分析了算术看涨亚式期权在各种不同条件下的计算值，利用控制变量法模拟出了亚式期权和欧式期权的数值，并对算术、几何平均亚式期权做了对比分析。

一、亚式期权定价模型（一）亚式期权在有效期[0，T]内，采用几何平均法计算的称为几何亚式期权，采用算术平均法的称为算术亚式期权。

设S1，S2，L，Sn为股票在不同时刻t1，t2，L，tn的值，A（S）、G（S）分别表示资产价格的算术、几何亚式平均值，具体如表1所示。

各种形式的亚式期权到期日的收益情况如表2所示。

其中，J是标的资产在有效期内的平均值，K是执行价格。

（二）亚式期权的性质性质1[Ca（t，St）≤C（t，St）]其中[Ca（t，St）]为算术平均亚式看涨期权，[C（t，St）]为欧式看涨期权。

性质2 对于固定敲定价格的离散型亚式期权，有下列不等式[Cg（S0，T）≤Ca（S0，T）][Pg（S0，T）≥Pa（S0，T）]其中，[Ca（S0，T），Cg（S0，T）]分別为t=0时刻算术、几何亚式看涨期权价格;[Pa （S0，T）≥Pg（S0，T）]分别为t=0时刻算术、几何亚式看跌期权价格。

二、Monte Carlo模拟定价（一）Monte Carlo模拟的计算原理设随机变量X的期望为[μ]，X1，X2，X3，L，XN是独立同分布于X的随机样本，当N 充分大时，则有[PlimN→+∞1Ni=1NXi=μ=1]，由于[X-μσ/N∶N（0，1）]，当模拟的次数N→+∞时，由中心极限定理可得[limN→+∞PX-μσ/N≤Za/2=1-α]，由此可以得到关于[μ]的1-[α]下的显著性水平，即可模拟得到较精确的期权价格。

Vasicek随机利率模型下欧式期权定价的Mellin变换法

Vasicek随机利率模型下欧式期权定价的Mellin变换法孙娇娇【期刊名称】《《经济数学》》【年(卷),期】2019(036)003【总页数】6页(P21-26)【关键词】金融数学; Mellin变换法; Vasicek随机利率; 偏微分方程【作者】孙娇娇【作者单位】淮北师范大学数学科学学院安徽淮北 235000【正文语种】中文【中图分类】O211; F8301 引言近几十年来，多数学者在研究期权定价时都是假定利率在短期内保持不变的，如刘文倩(2018)[1]等研究了固定利率时股票价格服从混合分数布朗运动模型下不同类型障碍期权的定价公式．而在长期内利率会随着时间发生变动，因此，众多研究者们提出随机利率模型．毛志娟和梁治安(2013)[2]利用测度变换的鞅方法推导出欧式期权的解析解并用Monte Carlo方法模拟出期权数值解；Fang(2012)[3]运用鞅方法研究了Vasicek随机利率模型下欧式期权定价问题，并得到相应的定价公式；郭志东(2017)[4]利用偏微分方程的方法研究了Merton随机利率模型下的欧式期权定价问题．运用Mellin变换法研究Vasicek随机利率模型下的欧式期权定价问题也有价值．诸多文献表明，与研究期权定价的概率论方法相比，Mellin变换方法会将求解的过程简单化．Panni和Srivastav(2004)[5]运用此方法得到了欧式期权和一篮子期权的定价公式；Panni和Srivastav(2005)[6]还用这种方法研究了美式永久期权的定价问题；Robert(2011)[7]运用Mellin方法研究了Heston随机利率下的欧式期权问题，Robert(2013)[8]还运用此方法分析了跳扩散下的期权定价问题，得到期权价值的解析表达式，并利用数值算例将Mellin变换法与其他期权定价方法进行比较，进而体现出Mellin变换法的优越性；Yoon(2014)[9]则运用Mellin变换技巧得到Hull-White随机利率模型下的欧式期权定价公式．2 构建模型令St为标的资产(如股票)的价格,μt,σ1分别为股票价格的漂移率和波动率．设股票价格St满足以下的随机微分dSt=μtStdt+σ1StdWt，式中:Wt表示标准几何布朗运动．在风险中性概率测度下，以上模型可以转化为如式(1)所示的随机微分方程(1)其中代表风险中性概率测度下满足如下关系的标准布朗运动(2)在Vasicek随机利率模型下，即期利率rt在风险中性概率测度下满足如下随机微分方程drt=a(b-rt)dt+σdBt，(3)其中a,b,σ都是正的常数，Bt为布朗运动，且其中-1≤ρ≤1．在金融市场中，利率的变动会影响债券价格及相应的收益，而利率又不是可交换的资产．因此，作为利率载体的零息债券在研究利率方面起着重要的作用．接下来将给出Vasicek随机利率模型下零息债券的价格公式．令rt=r，P=P(r,t)表示无违约风险的零息债券的价格，且P(rT,T)=1．根据Feynman-Kac公式，得到定理1-2。

基于Vasicek随机利率模型的美式期权三叉树定价

险、预测投机等。二叉树模型对于期权定价理论具有指导性意义。本文首先介绍基于常数利率假设的二叉树期权定价模型，其次推广
到三叉树定价模型，并利用随机微分方程和原点矩的思想，推导出三叉树模型参数及期权价格的递推表达，通过数值模拟验证二
者具有相同收敛性，但三叉树定价模型更稳定、收敛速度更快。最后考虑随机利率模型，引入基于Vasicek随机利率的美式期权三叉
044 2020年8月
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行借贷。
在三叉树模型中(如图2所示)，将期权时效T进行n等分，相
邻时间间隔为。对于时刻t，标的资产价格将存在三种变
化的可能性：上升、下降或持平。记上升、下降、持平的倍数分别
，解得
。
图1 期权二叉树定价模型在风险中性假设下，该投资组合的收益率等同于无风险利率。假设无风险 ( 连续 ) 利率为，则有
。带入上述公式并化简可得：
其中
。
在多个时间区间的情况下，从时间节点末端的不同状态逐
层向前“倒推”，即可得到欧式期权的市场价值。值得注意的是，
树定价模型，更贴合目前金融衍生品市场的实际定价策略。关键词：期权定价 Vasicek随机利率二叉树模型三叉树模型 Black-Scholes模型
中图分类号：F832
文献标识码：A
文章编号：2096-0298(2020)08(b)-044-04
对于期权，Black-Scholes在1973年提出了B-S模型[1]用于欧式期权的定价，在假设股票价格行为服从维纳过程、市场无摩擦等条件下开创性地得到了欧式期权定价的显示表达式。然而，近年来大量的金融统计数据表明B-S模型与实际情形存在系统性误差，其主要原因是：(1)所涉及的参数大多认为是已知常数，导致在参数估计的时候往往会产生模型误差；(2)假设利率在购入期权到执行时间内始终保持常数水平，忽略了实际情况下利率随时间变化的波动性。20世纪70年代后期，Merton[2]在股票价格服从几何布朗运动基础上，加入泊松过程。针对于期权定价的数值计算，1979年Cox、Ross、Rubinstein提出了二叉树定价模型[3]，其基本思想是将时间离散化，采用“倒推法”，利用风险中性假设对期权进行定价。1986年Phelim Boyle提出三叉树模型[4]，与二叉树的构建和求解过程相似，但是从模型应用效果上具有更大优势。

随机利率模型下几何平均亚式期权定价的新解法

随机利率模型下几何平均亚式期权定价的新解法潘坚【摘要】在Hull-White利率模型下,利用偏微分方程基本解方法和Fourier变换分别得到了具有固定敲定价格和具有浮动敲定价格的几何平均亚式期权的定价公式.【期刊名称】《赣南师范学院学报》【年(卷),期】2010(031)003【总页数】6页(P22-27)【关键词】Hull-White模型;几何平均亚式期权;Fourier变换;期权定价【作者】潘坚【作者单位】赣南师范学院,数学与计算机科学学院,江西,赣州,341000【正文语种】中文【中图分类】F830.9未定权益的定价是现代金融数学研究的核心问题之一.近年来，随着金融市场的不断发展和完善，标准期权已不能满足市场的需求，为适应客户的不同需求和丰富可用于风险管理的金融工具，金融机构不断推出新的金融产品，各种类型的期权[1]也应运而生.亚式期权就是其中的一种.亚式期权是一张期权合约，在期权到期日的收益依赖于在整个期权有效期内原生资产所经历的价格平均值.这里所谓的平均值：可以是算术平均，也可以是几何平均.对于亚式期权的定价问题，关键是如何确定平均价格的概率分布，这是得到解析定价公式的主要难点.到目前为止，在假定资产价格服从对数正态分布的情况下，我们并不知道资产价格的算术平均的概率的分布，因而，我们得不到该类期权的公式解，一般都以近似解代替.但是，在假定资产价格服从对数正态分布的情况下，可以证明资产价格的几何平均仍然服从对数正态分布.因而，可以得到解析解.文献[1-3]在所有参数假定为常数的情况下,推导出了几何平均亚式期权的定价公式.而实际中有些期权的生存期限比较长, 比如说员工持股计划中的期权工资, 其合同一般都长达数年, 这个时候利率的波动对其定价和相关问题都将具有一定的影响.所以在许多情况下都有必要把利率的随机因素考虑进去.基于此，文献[4]在利率服从Vasicek模型下，利用概率论方法得到了股票价格与利率独立时候的几何平均亚式期权的定价公式.文献[5]在利率服从Hull-White模型下，利用概率论方法得到了股票价格与利率相关时的几何平均亚式期权的定价公式.本文在假定随机利率服从Hull-White模型, 利用偏微分方程方法得到了股票价格与利率相关时的几何平均亚式期权的定价公式.1 数学模型1.1 基本假设(Ⅰ) 原生资产(股票)的价格服从几何布朗运动：(1)其中rt是资产的期望增长率，σ1是原生资产变化的波动率且为常数，为标准的布朗运动.(Ⅱ) 市场利率采用能自动地适合今天期限结构的Hull-White模型：(2)其中a是均值回复速度且为常数，Φ(t)是确定性的函数，σ2是短期利率的瞬时波动率且为常数，为标准的布朗运动.Hull-White模型仅有的缺陷是在这样一个Gauss环境中并未排除负利率.尽管如此，应该注意到，对于合理的参数，这样的事件有相当低的发生的概率(见文献[6]).并且,=ρdt(|ρ|<1)，这里常数ρ表示两个随机源的相关系数.(Ⅲ) 市场无摩擦，无套利.1.2 建立方程利用△对冲原理，我们在时间(t,t+dt)作一个投资组合∏，使得∏在(t,t+dt)时间段内无风险，其中∏是由一份亚式期权V(r,S,J,t)和△1份股票S及△2份零息票债券P(r,t;T)空头组成，即∏=V-△1S-△2P.因此在(t,t+dt)时间段内∏的收益为：d∏t=dVt-△1dSt-△1qStdt-△2dPt(3)其中q常数表示原生资产S的红利率，由Ito公式[3]，可得：(4)选取以消去(4)中的随机项，从而(4)变为：(5)根据无套利原理[3]，此时(6)经计算得：(7)如果引人风险的市场价格λ，在Hull-White模型之下有(8)注意到方程(7)等号左侧是关于函数V的表达式，而右侧是关于函数P的表达式，这说明其应等于以一个与V,P无关的函数，而利率的风险市场价格λ可从国债价格反求，也可从投资者的效用或偏好求出[7].为此令θ(t)=Φ(t)-λrσ2，由(7)式及以上分析得(9)(10)注意到在几何平均时因此我们有(11)将(11)代入(10)，我们可得到Hull—White模型下的几何平均亚式期权的定价模型：在定解区域{0≤S<+∞,-∞<r<+∞.0≤J<+∞,0≤t≤T}上求解定解问题：此定解问题是三维Cauchy问题.为了寻求此定解问题的解，我们引进适当的组合自变量，把它们化成一维问题.为了以下讨论方便，我们只讨论看涨期权的情形.2 具有固定敲定价格的几何平均亚式期权的定价公式为了求解定解问题(12)(13)，令在此变换下，定解问题(13)转化为：(15)在问题(15)中做自变量变换τ=T-t和函数变换u(r,ε,T)=W(r,ε,τ)e-β(τ)r以消去u 项系数中的r，从而问题(15)转化为：(16)其中为了求解定解问题(16)，做自变量变换x=reaτ-R(τ)和函数变换以消去问题(16)中W及项系数中的C(τ)和r，则问题(16)转化为：(17)其中R(τ)满足等式：R′(τ)=σ22β(τ)e-aτ-θ(T-τ)e-aτ.为了求解定解问题(17)，做自变量变换η=ε+A(τ)x+D(τ)和函数变换M(x,ε,τ)=φ(η,τ)以消去项，则定解问题(17)转化为：(18)其中满足等式：同时注意到令则定解问题(18)化为：(19)取τ1=σ2(ξ)dξ，φ(η,τ)=h(η,τ1)，则定解问题(19)转化为经典的热传导问题[8]：(20)由Poisson公式[8]，得：其中：下面先求解I1，为此令并注意到则有(21)接下来我们来求令则有(22)由(21)和(22)，我们可得到经过一系列的上述变换回到原变量和原函数，可得到Hull—White模型下到期日为的具有固定敲定价格的看涨期权定价公式：(23)其中：设H=H(S,r,J,t)表示相应的看跌期权的价格，利用相同的方法，则有(24)3 具有浮动敲定价格的几何平均亚式期权的定价公式为了求解定解问题(12)-(14)，令在此变换下，定解问题(12)-(14)转化为：(25)在问题(25)中做自变量变换τ=T-t和函数变换u(r,x,y,t)=W(r,x,y,τ)e-β(τ)r以消去u项系数中的r，从而问题(25)转化为：其中为了求解定解问题(26)，做自变量变换z=re-aτ-R(τ)和函数变换以消去问题(26)中W及项系数中的C(τ)和r，从而问题(26)转化为：(27)其中R(τ)满足等式：R′(τ)=σ22β(τ)e-aτ-θ(T-τ)e-aτ.为了求解定解问题(27)，做自变换η=y+A1(τ)z+D1(τ),ε=x+A2(τ)z+D2(τ)和M(z,x,y,τ)=φ(η,ε,τ)以消去问题(27)中的项和项，则定解问题(27)转化为：其中分别满足如下等式：下面利用Fourier变换[8]求解Cauchy问题(28)-(29)，为此令对方程(28)和(29)作Fourier变换，可得到φ作为τ的函数适合的常微分方程定解问题(ξ,γ是参数)：其中：下面利用变量分离的方法可得到定解问题(30)-(31)的解：φ(γ,ξ,τ)=(eξ-eγ)+e-[d1γ2+2d2ξγ+d3ξ2](32)其中：对(32)作Fourier逆变换[8]，有：(33)其中：(34)为了计算积分(34)，令同时注意到：(35)故积分(34)可该写为：(36)将(36)代入(33)并经过非常复杂的重积分计算得：φ(η,ε,τ)=ed3+εN(L1)-ed1+ηN(L2)(37)其中：经过一系列的上述变换回到原变量和原函数，可得到Hull—White模型下到期日为的具有浮动敲定价格的看涨期权定价公式：(38)其中：P(r,t;T)见式设H=H(S,r,J,t)表示相应的看跌期权的价格，利用相同的方法，则有：(39)注：(A)在市场风险中性(λr=0)条件下且即利率为常数时，式(23)，(24)，(38)和(39)可简化为文献[1-3]中的结果；(B)在市场风险中性(λr=0)条件下且Φ(t)=ab，ρ=0,b为利率的长期平均值，即利率遵循Vasicek模型且随机利率过程与股票价格独立时，式(23)，(24)，(38)和(39)可简化为文献[4]中的结果；(C)在市场风险中性(λr=0)条件下，式(23)，(24)，(38)和(39)可简化为文献[5]中的结果.参考文献:【相关文献】[1] Hull J C. Options. Futures and other Derivatives[M]. Prentice-Hall.,Fourth Edition, 2000: 156-230.[2] P.Willmott. Derivatives: the theory and practice of financial engineering[M]. New York: John Wilely & Sons Ltd , 1999: 480-500.[3] 姜礼尚.期权定价的数学模型和方法[M].北京：高等教育出版社，2003：277-294.[4] 姚落根,王雄,杨向群.Vasicek 利率模型下几何亚式期权的定价[J].湘潭大学自然科学学报，2004，26(2)：20-23.[5] Zhang Shuguang, Yuan Shuiyong, Wang Lijun. Prices of Asian options under stochastic interest rates[J]. Appl.Math J.Chinese Univ.Ser.B,2006,21(2):135-142.[6] Briys-de, Varenne. Valuing risky fixed rate debt:an extension[J]. Journal of Financial and Quantitative Analysis, 1997, 32: 230-248.[7] Campbell J Y. A defense of traditional hypotheses about the term structure of interest rates[J]. Journal of Finance, 1986,41: 183-193.[8] 姜礼尚，陈亚浙,刘西垣，等.数学物理方程讲义[M].北京：高等教育出版社，2003：117-160.。

基于Vasicek利率模型的欧式期权定价研究

（4）研究方法的推广价值
本文应用到的定价公式计算方法可以简化单因素仿射利率模型下其他类型期权的定价方法，也可以研究市场中存在其他随机变量时期权的定价问题。同时，本文的思路方法也可以推广至多因素仿射利率模型下的欧式期权定价问题。
6
二、方法概述
1.模型概述
本文旨在应用 Vasicek 利率模型来刻画市场利率波动时，欧式期权的定价公式。通常，影响期权价格的因素有：标的资产价格（包括资产的初始价格、波动率和均值等）、期权到期时间、敲定价以及利率。因此，本文需要建立三个主要模型：①资产价格模型，描述资产价格的变动；②利率模型，描述利率的变动；③期权定价模型，综合前两个模型，计算期权价格。本文应用到的理论、定理体系及模型有：概率论、鞅理论、常微分方程、随机微分方程、Vasicek 利率模型、几何布朗运动和 Black-Scholes 期权定价模型。
3
一、引言
1.问题的提出 20 世纪 70 年代起，期权市场建立并显著发展。1973 年 Fisher
Black 和 Myron Scholes 提出了经典的 Black-Scholes 期权定价公式，在假定标的资产价格过程服从对数正态概率分布的前提下，该公式给出了关于这种标的资产的欧式期权的唯一无套利价格。这一模型在此后得到了广泛的发展和应用。包括经典的 Black-Scholes 期权定价模型在内的大部分期权定价模型的重要假设之一是利率恒定不变，然而，利率时常因为经济形势和货币政策而变动，特别是 2008 年金融危机爆发后，金融业发生了很大波动，以美联储为代表的各国央行连续降息以刺激经济，导致一段时间内利率持续下降，这一点启发我们关注利率变动对期权定价的影响。通过查阅历史数据（如图 1 和表 1），

几何平均亚式期权定价方法的探析

应用数学M A T H EM AT ICA A P PL ICAT A 2005,18(2):253~259*几何平均亚式期权定价方法的探析肖文宁,王杨,张寄洲(上海师范大学数理信息学院,上海200234)庆贺陈庆益先生八十寿辰摘要:本文对几何平均亚式期权不同的定价方法进行了详细的论述,从随机偏微分方程途径与概率论途径两个角度仔细描述了亚式期权定价的过程中,每个具体的主要演算步骤.本文采用几何平均法计算资产价格的平均值,并以连续时间的情形为例,用两种不同的方法得到几何平均亚式期权的解析定价公式,并通过比较得出两种结论是完全一致的.关键词:对数正态分布;亚式期权;几何平均;固定敲定价格中图分类号:O29;F224 AMS(2000)主题分类:35R60;60H 15文献标识码:A 文章编号:1001 9847(2005)02 0253 071.引言亚式期权是一种强路径有关期权,即在期权到期日的收益依赖于在整个有效期内原生资产所经历的价格平均值.在离散和连续两种不同的情形下,这里的平均值有两种意义,即算术平均和几何平均(见[2,3]).假设J t 是路径变量,它表示从开始时刻到时刻t 的平均值,那么离散情形:算术平均J n =1n ni =1Sti,几何平均J n =ni=1Sti1/n =exp1nni =1ln Sti;连续情形:算术平均J t =1t!t0S d ,几何平均J t =ex p 1t!tln Sd .与之相应的亚式期权有两类:算术平均亚式期权和几何平均亚式期权.亚式期权在到期日的收益可以有两种不同类型(以看涨为例):固定敲定价格:也称平均资产价格,其收益函数是在欧式期权的收益函数中用资产价格的平均值取代资产本身的价格,即:收益=(J T -K )+;浮动敲定价格:也称平均敲定价格,其收益函数是在欧式期权的收益函数中用资产价格的平均值取代合约的敲定价格,即:收益=(S T -J T )+.本文针对具固定敲定价格的几何平均亚式期权(在连续情形下)的定价问题,详细剖析其合理的前提假设基础,数学方法的具体应用.2.预备知识*收稿日期:2004 07 24基金项目:上海市自然科学基金(03ZA 14072)作者简介:肖文宁,女,汉,河北人,硕士研究生,研究方向:金融数学.亚式期权定价原理的假设 (i)市场上允许卖空行为;(ii)不考虑交易费用及税收;(iii)无风险利率为常数r;(iv)遵循无套利原理;(v)证券交易具有时间和数量上的连续性;(v i)股票价格遵循几何布朗运动:d S=S( d t+d Z).设S0为股票的当前价格;T为到期日;K 为敲定价格;M为期望回报率,为股票价格的波动率.股票价格的行为模型基于传统期权理论的假设:{ln(S t)}是一个正态随机过程,即:ln(S t)~N(ln(S0)+( -2/2)t,t),详细推导过程可以参见[4,5].基于上述准备,可以通过两个不同的途径求得几何平均亚式期权的定价公式.3.利用随机偏微分方程的途径3.1几何平均亚式期权的定价模型及简化(以欧式看涨为例)设此亚式期权是V=V(S t,J t,t),J t为在连续情形下几何平均意义下的路径变量:J t=e1T!T0ln S t d t,d J t d t=J tln S t-ln J tt.构造投资组合:!=V-∀S.选取适当的∀,使!在(t,t+d t)内是无风险的,即:d!=r!d t=r(V-∀S)d t=d V-∀d S-q∀S d t.(1)对于V=V(S t,J t,t)代入It 公式,用Tay lor公式展开为:d V= Vt d t+VS d S+VJ d J+122Vt2(d t)2+122VS2(d S)2+122VJ2(d J)2 +2VS t(d S d t)+2VJ t(d J d t)+2VS J(d S d J)+∀.由[1]中相关内容可知d t d t=d t d Z=d Z d t=0及(d Z)2=d t,可得到(d S)2=(d J)2=d t d J =d t d S=d S d J=0,所以d V= Vt d t+VS d S+VJ d J+122S22VS2d t= Vt+122S22VS2+ SVS+VJd Jd t d t+SVS d Z.(2)结合(1)和(2)并整理得V t+122S2 2VS2+VJd Jd t+(r-q)SVS-rV=0.这样我们就得到了几何平均亚式期权的定价模型(见[3]):定解区域:{0#S<∃,0#J<∃,0#t#T},V t+122S2 2VS2+Jln S-ln JtVJ+(r-q)SVS-r V=0,V(J T,K,T)=(J T-K)+.(3)方程(3)是一个包含三个变量的超抛物方程.3.2求解方程(3)的具体过程现通过变量替换,将(3)最终化为热传导方程,再利用Po isso n公式进行求解.令#=t ln J+(T-t)ln ST,V=U(#,t).(4)则V t=1T(ln J-ln S)U#+Ut,VS=T-tT SU#,254应用数学20052V S 2=T -tTS 22U #2-T -t TS 2 U #.将以上各式代入方程(3)中并整理得U t +122T -tT 22U +r -q -22T -t T U -r U =0,U(#,T )=(e #-K )+,(5)此时定解区域是:{#∃R ,0#t #T}.再令W =U e%(t), &=#+∋(t), =r (t),(6)有U t =e -%(t) W r %(t)-%%(t)W + W &∋%(t),U #=e -%(t) W &, 2U #2=e-%(t) 2W&2.将以上各式代入方程(5)并整理得r %(t) W +12 2T -t T 2 2W &2+r -q - 22T -t T +∋%(t) W &-(r +%%(t))W =0.取∋%(t)+r -q - 22T -t T =0;%%(t)+r =0;r %(t)=-T -tT2以及终值条件:∋(T)=%(T )=r(T)=0.解之得:∋(t)=12T r -q - 22(T -t)2, %(t)=r (T -t), r (t)=13T2(T -t)3.(7)则方程(5)变为W = 22 2W&2,W (&,0)=(e &-K )+.(8)它的解可用Poisson 公式表示,其解为:W (&, )=1 2( !∃ln K(e y -K )e -(y-&)22 2 d y &I 1-I 2.对于上面I 1和I 2利用N (d)=12(!d -∃e -w 22d w 进行求解:I 1=1 2( !∃ln Ke y e -(y -&)22 2d y=e ( 2 +&)2-&22 21 2(!∃ln Ke-[y-( 2 +&)]22 2d y=e &+22N 2+&-ln K,I 2=K 2(!ln Ke -(y-&)222 d y=K 2(!&-ln K-∃e -w 22d w =K N &-ln K .所以方程(8)W (&, (d 1)+KN (d 2),255第2期肖文宁等:几何平均亚式期权定价方法的探析这里d1=2 +&-ln K,d2=&-ln K=d1- .现在将式(4),(6)和(7)代回求原方程(3)的解.首先看d1=2 +&-ln K=213T2(T-t)3+t ln J+(T-t)ln ST+12Tr-q-22(T-t)2-ln K13T2(T-t)3=1TlnJ t S T-tK T+(r*+(*)2)(T-t)*T-td*1,d2=&-ln K=t ln J+(T-t)ln ST+12Tr-q-22(T-t)2-ln K13T2(T-t)3=1Tln Jt S(T-t)K T+r*(T-t)*T-td*2=d*1-*T-t,这里r*=12Tr-q-22(T-t),*=(T-t)3T.于是,方程(8)的解变为W(&, )=exp1Tln J t S T-t+r*+(*)22(T-t)N(d*1)-K N(d*2) =(J t S T-t)1T e r*+(*)22(T-t)N(d*1)-K N(d*2).通过以上变换得原方程(4)的解:V(S t,J t,t)=U(#,t)=W e-%(t)=(J t S T-t)1/T e r*+(*)22-r(T-t)N(d*1)-K e-r(T-t)N(d*2).这样我们就得到了具有固定敲定价格的欧式看涨几何平均亚式期权的定价公式为V(S t,J t,t)=(J t S T-t)1/T e r*+(*)2-r(T-t)N(d*1)-K e-r(T-t)N(d*2).其中,r*=12T r-q-22(T-t), *=13T(T-t),d*1=1Tln Jt S T-tK T+(r*+(*)2)(T-t)*T-t, d*2=d*1-*T-t.4.利用概率论知识的途径n个数的几何平均值定义为n S1S2∀S n,即ex p ln(S1)+ln(S2)+∀+ln(S n)n.对于连续情形,当资产价格S t从t=0连续变化到t=T时,S t的几何平均值可写成G= 256应用数学2005ex p 1T!T0ln (S t )d t .由本文预备知识2.2可知1T!Tln (S t )d t 是一个服从正态分布的随机变量,其数学期望及方差可以通过求随机积分而得,具体积分过程如下(在期权定价原理的风险中性意义下有 =r ):! =E1T!T0ln (S t )d t =1T!TE[ln (S t)]d t=1T !T 0ln (S 0)+ - 22t d t =ln (S 0)+T - 22/2=ln (S 0)+T r -22/2.∀ 2=Var1T!T0ln (S t )d t =1T2E !T 0ln (S t)d t -!T 0E[ln (S t)]d t2=1T 2E !T 0ln (S t)-ln (S 0)- - 22t d t2=1T 2E !T 0!T 0ln (S u)-ln (S 0)- -22u ln (S t )-ln (S 0)-- 22t d u d t.(9)因为{ln (S t )}是一个广义的维纳过程,所以ln (S t )-ln (S 0)- - 22t 即为一个维纳过程,且有ln (S t )-ln (S 0)- - 22t ~N (0, t).令W u =ln (S u )-ln (S 0)- - 22u ~N (0, u ),W t =ln (S u )-ln (S 0)-- 22t ~N (0, t ).知EW u =EW t =0,即两者的均值都为0,协方差函数为(相关内容可参见[1])Cov (W u ,W t )=E(W u -EW u )(W t -EW t )=EW u W t=12[|( u )2|+|( t )2|-|( u )2-( t )2|]= 22[|u |+|t |-|u -t |]= 2m in (u,t).(10)将(10)代入(9)得∀2=1T2!T 0!T0 2min (u,t)d u d t = 2T 2!T 0!tu d u +!T tt d u d t=2T 2!T 012t 2+t(T -t)d t =13T 2.此时,具固定敲定价格的估价以上面! 和∀ 的值便可较容易地得出.按照关于现代金融市场的风险中性原则,期权的价格应该等于其到期日价值以无风险利率的贴现值,以看涨为例,即:∀c (G,T ,K )=e -rTE [max (0,G -K )]=e-r T!∃K(x -K )fG(x )d x.其中f G (x )表示G 的密度函数.令y =ln x ,则257第2期肖文宁等:几何平均亚式期权定价方法的探析!∃K(x -K )f G (x )d x =!∃ln K(e y-K )f G (e y)e yd y.(11)由概率论知识可知,如果ln G 和G 的概率分布函数分别用F ln G (y )和F G (y )表示,则F lnG (y )=P(ln G <y )=P (G <e y)=F G (e y),所以f ln G (y )=F %ln G (y )=F %G (e y )=f G (e y )e y .说明f G (e y )e y 就是ln G =1T !T 0ln (S t)d t 的密度函数.而ln G =1T!Tln (S t )d t ~N (! ,∀ 2),从而得到f G (e y)e y=1∀2(e-(y-!)22∀2.(12)将(12)代入(11)得!∃K(x -K )fG(x )d x =!∃ln K(e y-K )1∀2(e -(y-!)22∀2d y &I 3-I 4.(13)求积分式(13)得I 3=!∃ln K 1∀2(e y e -(y-! )22∀ 2d y =e! +∀ 22N ! +∀ 2-ln K∀,I 4=K N !-ln K ∀.所以!∃K(x -K )fG(x )d x =e! +∀22N ! +∀ 2-ln K ∀ +K N !-ln K ∀.(14)将(9)式代入(14)得!∃K(x -K )fG(x )d x =S 0eT 2r-26Nln S 0K +T 2r +26 T /3-K Nln S 0K +T 2r -22 T /3.进而可得∀c (G,T ,K )=e-rT!∃K (x -K )fG(x )d x=S 0e-12Tr+162N (d 1)-K e -r TN (d 2),(15)这里d 1=ln S 0K +T 2r + 26 T /3,d 2=ln S 0K +T 2r - 22 T /3.(16)这就是通过概率论知识所得到的具有敲定价格的几何平均亚式期权的定价公式.5.对本文3和4进行详细的比较从本文3和4中定价公式表面看,由两种方法得出的定价公式存在着很大的差异,但经过分析发现在3中,考虑的是从任意时刻t 到到期日T 的情形,并且考虑了支付红利的情况,而在4中,考虑的是从t =T 贴现到t =0时刻,并且是在无红利条件下进行推导的.因此我们若令3r*^, *^= *|t=0258应用数学2005d *1^=d *1|t=0=ln S 0K +T 2r -q +26 T /3,d *2^=d *2|t=0=ln S 0K +T 2r -q -22 T /3.则V(J 0,K ,0)=S 0e-12r+q+26TN (d *1^)-K e -rTN (d *2^).进而当无红利支付,即q =0时,V(J 0,K ,0)=S 0e-12r +26Tn(d *1)-K e -r TN (d *2).(17)其中,d *1=ln S 0K +T 2r + 26 T /3,d *2=ln S 0K +T 2r -22 T /3.(18)此时,我们看出式(17)与(15)完全符合,也即在3中加入两个条件:(i)考虑起始时刻t =0;(ii)无红利支付情况下,这样就与4中结果一致.参考文献:[1] 袁震东.近代概率引论∋∋∋测度、鞅和随机微分方程[M ].北京:科学出版社,1991.[2] 章珂等.几何平均亚式期权的定价方法[J].同济大学学报,2001,29(8):924~927.[3] 姜礼尚.期权定价的数学模型和方法[M ].北京:高等教育出版社,2003.[4] 陈占锋,章珂.期权定价原理的数理逻辑探析[J].中国管理科学,2001,9(2):10~15.[5] K wo k Y K.M athematical M odels of F inancial Der ivatives[M ].Sing apo re:Spr ing er,1998.An Investigation on Pricing Methods ofthe Geometric Average Asian O ptionsX I A O Wen ning ,WA N G Yang ,ZH A N G J i z hou(Math.&S ci.College,Shanghai N ormal Univer sity ,Shanghai 200234,China)Abstract:In this paper,a detailed inv estig ation are given on the different pricing m ethods of the geometric av erag e asian options.Every deduction reasoning procedur e in both stochas tic par tial differential equation appr oach and probabilistic appro ach are described detailedly.This paper calculates the averag e valuation of assets by the geometric average method.U nder the situatio n of continuo us time,analytic pricing fo rmula of the g eometric average asian op tions are obtained through tw o different metho ds.And these tw o conclusions are com pletely consistent.Key words:Log ar ithmic nom al distribution;Asian o ption;Geom etric av erag e;Fixed strick price259第2期肖文宁等:几何平均亚式期权定价方法的探析。

随机利率下定额期权定价

随机利率下定额期权定价
摘要:为使股票模型和利率模型更贴近且反映金融市场实际情况,建立了股票价格遵循指数O-U(Ornstein-Uhlenback)过程模型的随机微分方程。

在随机利率服从Vasicek利率模型情况下,利用随机分析理论及鞅方法,获得了定额期权看涨定价公式。

关键词:Vasicek模型指数Ornstein-Uhlenback过程定额期权鞅方法
参考文献
[1]BLACK, SCHOLES M. The pricing of options and corporate liabilities[J].Journal of Political Ec-onomy ,1973,81:133-155.
[2]林建华,王福昌.冯净海股价波动的指数O-U过程模型[J].经济
数学,2000,17(4):29-32.
[3]郑晓阳,刘兆鹏.基于O-U过程的具有不确定执行价格的期权定价[J].哈尔滨工程学报,2008,29(11):1232-1235.
[4]杨建奇,蒋秋艳.O-U过程模型下定额期权的定价[J].湖南科技学院学报,2009,30(4):18-21.。

GARCH模型中美式亚式期权的数值解法

GARCH模型中美式亚式期权的数值解法
邵斌;丁娟
【期刊名称】《预测》
【年(卷),期】2003(022)005
【摘要】本文提出一个在GARCH模型框架下求解美式亚式期权的数值方法.这个方法利用二项式近似有效地解决了因GARCH模型和亚式期权固有的复杂性而带来的计算上困难,并举例检验了该方法的准确性.
【总页数】9页(P57-65)
【作者】邵斌;丁娟
【作者单位】上海财经大学,证券期货学院,上海,200433;上海财经大学,证券期货学院,上海,200433
【正文语种】中文
【中图分类】F830.9
【相关文献】
1.偏最小二乘回归在美式-亚式期权定价中的应用 [J], 王旭;王拉省
2.GARCH模型中美式亚式期权价值的蒙特卡罗模拟算法 [J], 邵斌;丁娟
3.分数Black-Scholes模型下美式亚式期权的近似定价法 [J], 林汉燕;袁媛
4.基于半差分格式的美式看跌期权定价模型数值解法 [J], 段国东;周圣武;牛成虎;蒋建
5.带跳市场中随机利率下的美式-亚式期权定价 [J], 孔文涛;张卫国
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欧式算术平均亚式期权定价——基于Lévy过程的Monte Carlo仿真

欧式算术平均亚式期权定价——基于Lévy过程的Monte
Carlo仿真
杜子平;邱虹
【期刊名称】《财会通讯：综合版》
【年(卷),期】2016(000)017
【摘要】经典的Black-Scholes期权定价模型假定资产收益率服从布朗运动,但现实中的金融市场存在跳跃且收益率具有“尖峰厚尾”、“隐含波动率”等特征,因此Black-Scholes模型不能对其进行完全描述,而Lé vy过程是左极限右连续带跳的半鞅模型,更能准确地描述真实的金融市场.故本文假定标的资产服从指数Lévy 过程,求解欧式算术平均亚式期权定价公式,利用Monte Carlo方法并结合矩匹配的方差减小技术对数据进行仿真,结果表明Lévy过程在亚式期权定价中具有优越性.【总页数】3页(P5-7)
【作者】杜子平;邱虹
【作者单位】天津科技大学经济与管理学院;天津科技大学经济与管理学院
【正文语种】中文
【相关文献】
1.基于指数Lévy过程的随机债券利率欧式外币期权定价 [J], 陈旭;万建平
2.基于Lévy过程带模糊参数的欧式期权定价 [J], 陈孔艳
3.基于Hull-White随机波动率模型的算术平均亚式期权Monte-Carlo定价 [J], 梁艳;王玉文
4.Lévy过程在欧式期权定价中的“悖论”——基于Lévy无穷可分性与中心极限
定理 [J], 李琼琳
5.Lévy过程在欧式期权定价中的“悖论”——基于Lévy无穷可分性与中心极限定理 [J], 李琼琳;
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