2019年江苏省南通市如皋市高考数学一模试卷
南通市2019届高三一模数学试卷及答案
南通市2019届高三一模数学试卷 (满分160分，考试时间120分钟)参考公式：柱体的体积公式：V 柱体＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为高. 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1. 已知集合A ＝{1，3}，B ＝{0，1}，则集合A ∪B ＝ .2. 已知复数z ＝2i1－i－3i (i 为虚数单位)，则复数z 的模为 .3. 某中学组织学生参加社会实践活动，高二(1)班50名学生参加活动的次数统计如下：次数 2 3 4 5 人数2015105则平均每人参加活动的次数为 .4. 如图是一个算法流程图，则输出的b 的值为 .5. 有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为 .6. 已知正四棱柱的底面边长是3 cm ，侧面的对角线长是35cm ，则这个正四棱柱的体积为 cm 3.7. 若实数x ，y 满足x ≤y ≤2x ＋3，则x ＋y 的最小值为 .8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝2px(p>0)的准线为l ，直线l 与双曲线x 24－y 2＝1的两条渐近线分别交于A ，B 两点，AB ＝6，则p 的值为 .9. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝3x ＋t 与曲线y ＝a sin x ＋b cos x(a ，b ，t ∈R )相切于点(0，1)，则(a ＋b )t 的值为 。
10. 已知数列{a n }是等比数列，有下列四个命题：① 数列{|a n |}是等比数列； ② 数列{a n a n ＋1}是等比数列；③ 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列； ④ 数列{lg a 2n }是等比数列.其中正确的命题有 个.11. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝f (x ).当0<x ≤1时，f (x )＝x 3－ax ＋1，则实数a 的值为 .12. 在平面四边形ABCD 中，AB ＝1，DA ＝DB ，AB →·AC →＝3，AC →·AD →＝2，则|AC →＋2AD →|的最小值为 .13. 在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝1，圆C ：(x －4)2＋y 2＝4.若存在过点P(m ，0)的直线l ，直线l 被两圆截得的弦长相等，则实数m 的取值范围是 .14. 已知函数f(x)＝(2x ＋a)(|x －a|＋|x ＋2a|)(a<0).若f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(672)＝0，则满足f(x)＝2 019的x 的值为 .二、 解答题：本大题共6小题，共计90分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分) 如图，在四棱锥PABCD 中，M ，N 分别为棱PA ，PD 的中点.已知侧面PAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，DA ＝DP.求证：(1) MN∥平面PBC；(2) MD⊥平面PAB.16. (本小题满分14分)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，a cos B＝2b cos A，cos A＝3 3.(1) 求角B的值；(2) 若a＝6，求△ABC的面积.17. (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B.(1) 已知椭圆的离心率为12，线段AF 中点的横坐标为22，求椭圆的标准方程；(2) 已知△ABF 的外接圆的圆心在直线y ＝－x 上，求椭圆的离心率e 的值.18. (本小题满分16分)如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD ，AB ，AD 的长分别为2 3 m 和4 m ，上部是圆心为O 的劣弧CD ，∠COD ＝2π3.(1) 求图1中拱门最高点到地面的距离； (2) 现欲以点B 为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD 所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示.设BC 与地面水平线l 所成的角为θ.记拱门上的点到地面的最大距离为h ，试用θ的函数表示h ，并求出h 的最大值.19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝ax＋ln x(a ∈R ).(1) 讨论函数f (x )的单调性；(2) 设函数f (x )的导函数为f ′(x )，若函数f (x )有两个不相同的零点x 1，x 2. ① 求实数a 的取值范围；② 证明：x 1f ′(x 1)＋x 2f ′(x 2)>2ln a ＋2.20. (本小题满分16分)已知等差数列{a n }满足a 4＝4，前8项和S 8＝36. (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 若数列{b n }满足k ＝1n (b k a 2n ＋1－2k )＋2a n ＝3(2n －1)(n ∈N *).① 证明：{b n }为等比数列；② 求集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫（m ，p ）|a m b m＝3a p b p，m ，p ∈N *.2019届高三年级第一次模拟考试(九)数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. [选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012，且(MN )－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤14002，求矩阵M .[选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数).以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝ 2.求： (1) 直线l 的直角坐标方程；(2) 直线l 被曲线C 截得的线段长.C. [选修4-5：不等式选讲](本小题满分10分)已知实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2≤1，求证：1a 2＋1＋1b 2＋1＋1c 2＋1≥.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22. (本小题满分10分)“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3 553等.显然2位“回文数”共9个：11，22，33，…，99.现从9个不同的2位“回文数”中任取1个乘以4，其结果记为X；从9个不同的2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y.(1) 求X为“回文数”的概率；(2) 设随机变量ξ表示X，Y两数中“回文数”的个数，求ξ的概率分布和数学期望E(ξ).23. (本小题满分10分)设集合B是集合A n＝{1，2，3，…，3n－2，3n－1，3n}，n∈N*的子集.记集合B中所有元素的和为S(规定：集合B为空集时，S＝0).若S为3的整数倍，则称B为A n的“和谐子集”.求：(1) 集合A1的“和谐子集”的个数；(2) 集合A n的“和谐子集”的个数.南通市2019届高三一模数学参考答案1. {0，1，3}2. 53. 34. 75. 23 6. 547. －6 8. 26 9. 4 10. 3 11. 2 12. 2 5 13. ⎝⎛⎭⎫－4，43 14. 337 15. (1) 在四棱锥PABCD 中，M ，N 分别为棱PA ，PD 的中点， 所以MN ∥AD.(2分) 又底面ABCD 是矩形， 所以BC ∥AD.所以MN ∥BC.(4分)又BC ⊂平面PBC ，MN ⊄平面PBC ， 所以MN ∥平面PBC.(6分) (2) 因为底面ABCD 是矩形， 所以AB ⊥AD.又侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD ∩底面ABCD ＝AD ，AB ⊂底面ABCD ， 所以AB ⊥侧面PAD.(8分) 又MD ⊂侧面PAD ， 所以AB ⊥MD.(10分)因为DA ＝DP ，又M 为AP 的中点， 从而MD ⊥PA.(12分)又PA ，AB 在平面PAB 内，PA ∩AB ＝A ， 所以MD ⊥平面PAB.(14分) 16. (1) 在△ABC 中，因为cos A ＝33，0<A<π， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝63.(2分) 因为a cos B ＝2b cos A ，由正弦定理a sin A ＝bsin B，得sin A cos B ＝2sin B cos A.所以cos B ＝sin B.(4分)若cos B ＝0，则sin B ＝0，与sin 2B ＋cos 2B ＝1矛盾，故cos B ≠0. 于是tan B ＝sin Bcos B ＝1.又因为0<B<π， 所以B ＝π4.(7分)(2) 因为a ＝6，sin A ＝63， 由(1)及正弦定理a sin A ＝b sin B ，得663＝b22，所以b ＝322.(9分)又sin C ＝sin (π－A －B) ＝sin (A ＋B)＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝63×22＋33×22 ＝23＋66.(12分) 所以△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝12×6×322×23＋66＝6＋324.(14分)17. (1) 因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为12，所以c a ＝12，则a ＝2c.因为线段AF 中点的横坐标为22， 所以a －c 2＝22.所以c ＝2，则a 2＝8，b 2＝a 2－c 2＝6. 所以椭圆的标准方程为x 28＋y 26＝1.(4分)(2) 因为点A(a ，0)，点F(－c ，0)， 所以线段AF 的中垂线方程为x ＝a －c2.又因为△ABF 的外接圆的圆心C 在直线y ＝－x 上， 所以点C ⎝⎛⎭⎫a －c 2，－a －c 2.(6分) 因为点A(a ，0)，点B(0，b)，所以线段AB 的中垂线方程为：y －b 2＝ab ⎝⎛⎭⎫x －a 2. 由点C 在线段AB 的中垂线上，得－a －c 2－b 2＝a b ⎝⎛⎭⎫a －c 2－a 2，整理得，b(a －c)＋b 2＝ac ，(10分)即(b －c)(a ＋b)＝0.因为a ＋b>0，所以b ＝c.(12分)所以椭圆的离心率e ＝c a ＝c b 2＋c2＝22.(14分)18. (1) 如图1，过点O 作与地面垂直的直线交AB ，CD 于点O 1，O 2，交劣弧CD 于点P ，O 1P 的长即为拱门最高点到地面的距离.在Rt △O 2OC 中，∠O 2OC ＝π3，CO 2＝3，所以OO 2＝1，圆的半径R ＝OC ＝2.所以O 1P ＝R ＋OO 1＝R ＋O 1O 2－OO 2＝5. 故拱门最高点到地面的距离为5 m .(4分)(2) 在拱门放倒过程中，过点O 作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点P.当点P 在劣弧CD 上时，拱门上的点到地面的最大距离h 等于圆O 的半径长与圆心O 到地面距离之和；当点P 在线段AD 上时，拱门上的点到地面的最大距离h 等于点D 到地面的距离.由(1)知，在Rt △OO 1B 中，OB ＝OO 21＋O 1B 2＝2 3.以B 为坐标原点，地面所在的直线为x 轴，建立如图2所示的坐标系.① 当点P 在劣弧CD 上时，π6<θ≤π2.由∠OBx ＝θ＋π6，OB ＝23，由三角函数定义，得点O ⎝⎛⎭⎫23cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6，23sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6， 则h ＝2＋23sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6.(8分) 所以当θ＋π6＝π2即θ＝π3时，h 取得最大值2＋2 3.(10分)② 如图3，当点P 在线段AD 上时，0≤θ≤π6.设∠CBD ＝φ，在Rt △BCD 中， DB ＝BC 2＋CD 2＝27，sin φ＝2327＝217，cos φ＝427＝277.由∠DBx ＝θ＋φ，得点D(27cos (θ＋φ)，27sin (θ＋φ)).所以h ＝27sin (θ＋φ)＝4sin θ＋23cos θ.(14分)又当0<θ<π6时，h′＝4cos θ－23sin θ>4cos π6－23sin π6＝3>0.所以h ＝4sin θ＋23cos θ在⎣⎡⎦⎤0，π6上递增. 所以当θ＝π6时，h 取得最大值5.因为2＋23>5，所以h 的最大值为2＋2 3.故h ＝⎩⎨⎧4sin θ＋23cos θ， 0≤θ≤π6，2＋23sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6， π6<θ≤π2.艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为(2＋23)m .(16分)19. (1) 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝x －ax 2. ① 当a ≤0时，f′(x)>0成立，所以函数f(x)在(0，＋∞)为增函数；(2分) ② 当a>0时，(ⅰ) 当x>a 时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(a ，＋∞)上为增函数； (ⅱ) 当0<x<a 时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(0，a)上为减函数.(4分) (2) ① 由(1)知，当a ≤0时，函数f(x)至多一个零点，不合题意； 当a>0时，f(x)的最小值为f(a)，依题意知f(a)＝1＋ln a<0，解得0<a<1e.(6分)一方面，由于1>a ，f(1)＝a>0，函数f(x)在(a ，＋∞)为增函数，且函数f(x)的图象在(a ，1)上不间断.所以函数f(x)在(a ，＋∞)上有唯一的一个零点.另一方面，因为0<a<1e ，所以0<a 2<a<1e .f(a 2)＝1a ＋ln a 2＝1a ＋2ln a ，令g(a)＝1a ＋2ln a ，当0<a<1e 时，g′(a)＝－1a 2＋2a ＝2a －1a 2<0，所以f(a 2)＝g(a)＝1a＋2ln a>g ⎝⎛⎭⎫1e ＝e －2>0.又f(a)<0，函数f(x)在(0，a)为减函数，且函数f(x)的图象在(a 2，a)上不间断，所以函数f(x)在(0，a)有唯一的一个零点.综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，1e .(10分) ② 设p ＝x 1f′(x 1)＋x 2f′(x 2)＝1－a x 1＋1－a x 2＝2－⎝⎛⎭⎫a x 1＋a x 2. 又⎩⎨⎧ln x 1＋ax 1＝0，ln x 2＋a x 2＝0，则p ＝2＋ln (x 1x 2).(12分) 下面证明x 1x 2>a 2.不妨设x 1<x 2，由①知0<x 1<a<x 2.要证x 1x 2>a 2，即证x 1>a 2x 2. 因为x 1，a 2x 2∈(0，a)，函数f(x)在(0，a)上为减函数， 所以只要证f ⎝⎛⎭⎫a 2x 2>f(x 1).又f(x 1)＝f(x 2)＝0，即证f ⎝⎛⎭⎫a 2x 2>f(x 2).(14分)设函数F(x)＝f ⎝⎛⎭⎫a 2x －f(x)＝x a －a x－2ln x ＋2ln a(x>a). 所以F′(x)＝（x －a ）2ax 2>0， 所以函数F(x)在(a ，＋∞)上为增函数.所以F(x 2)>F(a)＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫a 2x 2>f(x 2)成立.从而x 1x 2>a 2成立.所以p ＝2＋ln (x 1x 2)>2ln a ＋2，即x 1f′(x 1)＋x 2f′(x 2)>2ln a ＋2成立.(16分)20. (1) 设等差数列{a n }的公差为d.因为等差数列{a n }满足a 4＝4，前8项和S 8＝36，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝4，8a 1＋8×72d ＝36，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n.(3分)(2) ① 设数列{b n }的前n 项和为B n .由③－④得3(2n －1)－3(2n －1－1)＝(b 1a 2n －1＋b 2a 2n －3＋…＋b n －1a 3＋b n a 1＋2n)－(b 1a 2n －3＋b 2a 2n －5＋…＋b n －1a 1＋2n －2)＝[b 1(a 2n －3＋2)＋b 2(a 2n －5＋2)＋…＋b n －1(a 1＋2)＋b n a 1＋2n]－(b 1a 2n －3＋b 2a 2n －5＋…＋b n －1a 1＋2n －2)＝2(b 1＋b 2＋…＋b n －1)＋b n ＋2＝2(B n －b n )＋b n ＋2.所以3·2n －1＝2B n －b n ＋2(n ≥2，n ∈N *)，又3(21－1)＝b 1a 1＋2，所以b 1＝1，满足上式.所以2B n －b n ＋2＝3·2n －1(n ∈N *)，⑤(6分)当n ≥2时，2B n －1－b n －1＋2＝3·2n －2，⑥由⑤－⑥得，b n ＋b n －1＝3·2n －2.(8分)b n －2n －1＝－(b n －1－2n －2)＝…＝(－1)n －1(b 1－20)＝0，所以b n ＝2n －1，b n ＋1b n＝2， 所以数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列.(10分)② 由a m b m ＝3a p b p ，得m 2m －1＝3p 2p －1，即2p －m ＝3p m . 记c n ＝a n b n ，由①得，c n ＝a n b n ＝n 2n －1， 所以c n ＋1c n ＝n ＋12n≤1，所以c n ≥c n ＋1(当且仅当n ＝1时等号成立). 由a m b m ＝3a p b p，得c m ＝3c p >c p ， 所以m <p .(12分)设t ＝p －m (m ，p ，t ∈N *)，由2p －m ＝3p m ，得m ＝3t 2t －3. 当t ＝1时，m ＝－3，不合题意；当t ＝2时，m ＝6，此时p ＝8符合题意；当t ＝3时，m ＝95，不合题意； 当t ＝4时，m ＝1213<1，不合题意. 下面证明当t ≥4，t ∈N *时，m ＝3t 2t －3<1. 不妨设f (x )＝2x －3x －3(x ≥4)，则f ′(x )＝2x ln 2－3>0，所以函数f (x )在[4，＋∞)上是单调增函数，所以f (x )≥f (4)＝1>0，所以当t ≥4，t ∈N *时，m ＝3t 2t －3<1，不合题意. 综上，所求集合{(m ，p )|a m b m ＝3a p b p，m ，p ∈N *}＝{(6，8)}.(16分) 21. A. 由题意知(MN )－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤14002， 则MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤40012.(4分) 因为N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012，则N －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002.(6分) 所以矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤40012⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4001.(10分) B. (1) 直线l 的极坐标方程可化为ρ(sin θcos π4－cos θsin π4)＝2，即ρsin θ－ρcos θ＝2. 又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.(4分)(2) 曲线C ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)的普通方程为x 2＝y . 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝y ，x －y ＋2＝0得x 2－x －2＝0， 所以直线l 与曲线C 的交点A (－1，1)，B (2，4).(8分)所以直线l 被曲线C 截得的线段长为AB ＝（－1－2）2＋（1－4）2＝3 2.(10分)C. 由柯西不等式，得[(a 2＋1)＋(b 2＋1)＋(c 2＋1)](1a 2＋1＋1b 2＋1＋1c 2＋1)≥(a 2＋11a 2＋1＋b 2＋11b 2＋1＋c 2＋11c 2＋1)2＝9，(5分) 所以1a 2＋1＋1b 2＋1＋1c 2＋1≥9a 2＋b 2＋c 2＋3≥91＋3＝94.(10分) 22. (1) 记“X 是‘回文数’”为事件A.9个不同的2位“回文数”乘以4的值依次为44，88，132，176，220，264，308，352，396，其中“回文数”有44，88.所以事件A 的概率P(A)＝29.(3分) (2) 根据条件知，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2.由(1)得P(A)＝29.(5分) 设“Y 是‘回文数’”为事件B ，则事件A ，B 相互独立. 根据已知条件得，P(B)＝20C 29＝59. P(ξ＝0)＝P(A)P(B)＝(1－29)×(1－59)＝2881； P(ξ＝1)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝(1－29)×59＋29×⎝⎛⎭⎫1－59＝4381； P(ξ＝2)＝P(A)P(B)＝29×59＝1081(8分) 所以，随机变量ξξ0 1 2 P 2881 4381 1081所以随机变量ξ的数学期望为E(ξ)＝0×2881＋1×4381＋2×1081＝79.(10分) 23. (1) 集合A 1＝{1，2，3}的子集有∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，其中所有元素和为3的整数倍的集合有∅，{3}，{1，2}，{1，2，3}， 所以A 1的“和谐子集”的个数等于4.(3分)(2) 记A n 的“和谐子集”的个数等于a n ，即A n 有a n 个所有元素和为3的整数倍的子集； 另记A n 有b n 个所有元素和为3的整数倍余1的子集，有c n 个所有元素和为3的整数倍余2的子集.由(1)知，a 1＝4，b 1＝2，c 1＝2.集合A n ＋1＝{1，2，3，…，3n －2，3n －1，3n ，3n ＋1，3n ＋2，3(n ＋1)}的“和谐子集”有以下四类(考察新增元素3n ＋1，3n ＋2，3(n ＋1))：第一类：集合A n ＝{1，2，3，…，3n －2，3n －1，3n}的“和谐子集”，共a n 个； 第二类：仅含一个元素3(n ＋1)的“和谐子集”，共a n 个；同时含两个元素3n ＋1，3n ＋2的“和谐子集”，共a n 个；同时含三个元素3n ＋1，3n ＋2，3(n ＋1)的“和谐子集”，共a n 个； 第三类：仅含一个元素3n ＋1的“和谐子集”，共c n 个；同时含两个元素3n ＋1，3(n ＋1)的“和谐子集”，共c n 个；第四类：仅含一个元素3n ＋2的“和谐子集”，共b n 个；同时含有两个元素3n ＋2，3(n ＋1)的“和谐子集”，共b n 个， 所以集合A n ＋1的“和谐子集”共有a n ＋1＝4a n ＋2b n ＋2c n 个.同理得b n ＋1＝4b n ＋2c n ＋2a n ，c n ＋1＝4c n ＋2a n ＋2b n .(7分)所以a n ＋1－b n ＋1＝2(a n －b n )，a 1－b 1＝2，所以数列{a n －b n }是以2为首项，2为公比的等比数列.所以a n －b n ＝2n .同理得a n －c n ＝2n .又a n ＋b n ＋c n ＝23n ，所以a n ＝23×2n ＋×23n (n ∈N *).(10分)。
2019年江苏省高考第一次模拟考试数学试卷(含答案)
2019年江苏省高考第一次模拟考试数学Ⅰ试题参考公式圆柱的体积公式：V 圆柱=Sh ，其中S 是圆柱的底面积，h 为高. 圆锥的体积公式：V 圆锥13Sh ，其中S 是圆锥的底面积，h 为高. 一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。
1.已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<< 则=A B ________▲________. 2.复数(12i)(3i),z =+- 其中i 为虚数单位，则z 的实部是________▲________. 3.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是________▲________.4.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________▲________.5.函数y =232x x -- 的定义域是 ▲ .6.如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是 ▲ .7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ▲ .8.已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3，S 5=10，则a 9的值是 ▲ . 9.定义在区间[0,3π]上的函数y =sin2x 的图象与y =cos x 的图象的交点个数是 ▲ .10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b+=＞＞0 的右焦点，直线2b y = 与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠= ,则该椭圆的离心率是 ▲ .(第10题)11.设f （x ）是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[ −1,1)上，,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中.a ∈R 若59()()22f f -= ，则f （5a ）的值是 ▲ .12. 已知实数x ，y 满足240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则x 2+y 2的取值范围是 ▲ .13.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅ 的值是 ▲ .14.在锐角三角形ABC 中，若sin A =2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是 ▲ .二、解答题 （本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分） 在ABC △中，AC =6，4πcos .54B C ==， （1）求AB 的长； （2）求πcos(6A -)的值.16.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111AC A B ⊥. 求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -(如图所示)，并要求正四棱柱的高1O O 是正四棱锥的高1PO 的四倍. (1) 若16m,2m,AB PO ==则仓库的容积是多少？(2) 若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当1PO 为多少时，仓库的容积最大？18. （本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M :221214600x y x y +--+=及其上一点A (2，4)(1) 设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x =6上，求圆N 的标准方程； (2) 设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B 、C 两点，且BC =OA ,求直线l 的方程；(3) 设点T （t ,0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ +=,求实数t 的取值范围。
江苏省南通市2019年高三数学一模试卷D卷
江苏省南通市2019年高三数学一模试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共4题；共8分)1. （2分）矩阵M =的逆矩阵为（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高二下·吉林开学考) A，B是任意角，“A=B”是“sinA=sinB”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分又不必要条件3. （2分）设Pn(xn, yn)是直线2x-y=（n N*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限（）A . -1B . -C . 1D . 24. （2分） (2017高一下·衡水期末) 已知等差数列前n项和为Sn ．且S13＜0，S12＞0，则此数列中绝对值最小的项为（）A . 第5项B . 第6项C . 第7项D . 第8项二、填空题 (共12题；共12分)5. （1分） (2019高二下·无锡期中) 已知集合 ,则 ________.6. （1分） (2017高二上·静海期末) 双曲线的实半轴长与虚轴长之比为________．7. （1分） (2016高一上·淮北期中) 已知函数y=f（x）是函数y=ax（a＞0且a≠1）的反函数，其图象过点（a2 ， a），则f（x）=________．8. （1分）(2019·齐齐哈尔模拟) 的展开式中，的系数为________．9. （1分）已知是虚数单位，若复数满足，则的共轭复数 ________.10. （1分）(2020·盐城模拟) 从数字0，1，2中任取两个不同的数字构成一个两位数，则所得的两位数大于10的概率为________.11. （1分）已知的内角的对边分别为，若，则的最小值为________．12. （1分）椭圆的左、右顶点分别是，左、右焦点分别是．若成等比数列，则此椭圆的离心率为________．13. （1分）(2016·天津理) 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间（- ，0）上单调递增.若实数a 满足f(2|a-1|)＞f（- ），则a的取值范围是________.14. （1分） (2016高二下·信宜期末) 若甲、乙、丙三人在一次数学测验中的成绩各不相同，且满足：（1）如果乙的成绩不是最高，那么甲的成绩最低；（2）如果丙的成绩不是最低，那么甲的成绩最高．如此判断，三人中成绩最低的应该是________．15. （1分） (2016高二上·嘉兴期末) 已知实数x，y满足x2+4y2﹣2xy=4，则x+2y的最大值是________．16. （1分） (2017高二上·平顶山期末) 平面内到定点F（0，1）和定直线l：y=﹣1的距离之和等于4的动点的轨迹为曲线C，关于曲线C的几何性质，给出下列四个结论：①曲线C的方程为x2=4y；②曲线C关于y轴对称③若点P（x，y）在曲线C上，则|y|≤2；④若点P在曲线C上，则1≤|PF|≤4其中，所有正确结论的序号是________．三、解答题 (共5题；共55分)17. （10分） (2020高二下·浙江期末) 如图，在四棱锥P—ABCD中，，是等腰等直角三形，且．（1）求证：AD⊥BP；（2）求直线BC与平面ADP所成角的正弦值．18. （5分）已知函数的一系列对应值如表：x﹣f（x）﹣1131﹣113（1）根据表格提供的数据求函数的解析式；（2）根据（1）的结果若函数y=f（kx）（k＞0）的最小正周期为，当时，方程f（kx）=m恰好有两个不同的解，求实数m的取值范围．19. （10分）某单位决定投资3200元建仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两面墙砌砖，每米造价45元，顶部每平方米造价20元．（1）设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，求函数y=f（x）的解析式．（2）为使仓库总面积S达到最大，正面铁栅应设计为多长？并求S的最大值．20. （15分） (2018高二上·宜昌期末) 在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．21. （15分）已知是单调递增的等差数列，首项，前项和为，数列是等比数列，首项，且 .（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和；参考答案一、单选题 (共4题；共8分)1-1、2-1、3-1、4-1、二、填空题 (共12题；共12分)5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共55分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、。
江苏省南通市2019届高三第一次模拟考试数学Word版含答案
019届高三年级第一次模拟考试学满分160分，考试时间120分钟)考公式：体的体积公式：V柱体＝Sh，其中S为柱体的底面积，h为高.、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1. 已知集合A＝{1，3}，B＝{0，1}，则集合A∪B＝.2. 已知复数z＝－3i(i为虚数单位)，则复数z的模为.3. 某中学组织学生参加社会实践活动，高二(1)班50名学生参加活动的次数统计如下：平均每人参加活动的次数为.4. 如图是一个算法流程图，则输出的b的值为.5. 有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为.6. 已知正四棱柱的底面边长是3 cm，侧面的对角线长是3cm，则这个正四棱柱的体积为cm3.7. 若实数x，y满足x≤y≤2x＋3，则x＋y的最小值为.8. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线为l，直线l与双曲线－y2＝1的两条渐近线分别交于A，B两点，AB＝，则p的值为.9. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝3x＋t与曲线y＝a sin x＋b cos x(a，b，t∈R)相切于点(0，1)，则(a＋b)t的值为。
0. 已知数列{a n}是等比数列，有下列四个命题：数列{|a n|}是等比数列；②数列{a n a n＋1}是等比数列；数列是等比数列；④数列{lg a}是等比数列.中正确的命题有个.1. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋2)＝f(x).当0<x≤1时，f(x)＝x3－ax＋1，则实数a的值为.2. 在平面四边形ABCD中，AB＝1，DA＝DB，·＝3，·＝2，则|＋2|的最小值为.3. 在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2＋y2＝1，圆C：(x－4)2＋y2＝4.若存在过点P(m，0)的直线l，直线l被两圆截得的弦长相等，则实数m的取值范围是.4. 已知函数f(x)＝(2x＋a)(|x－a|＋|x＋2a|)(a<0).若f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(672)＝0，则满足f(x)＝2 019的x的值为.、解答题：本大题共6小题，共计90分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.5. (本小题满分14分)图，在四棱锥PABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点.已知侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA＝DP.求证：1) MN∥平面PBC；2) MD⊥平面PAB.6. (本小题满分14分)△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，a cos B＝b cos A，cos A＝.1) 求角B的值；2) 若a＝，求△ABC的面积.7. (本小题满分14分)图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B.1) 已知椭圆的离心率为，线段AF中点的横坐标为，求椭圆的标准方程；2) 已知△ABF的外接圆的圆心在直线y＝－x上，求椭圆的离心率e的值.8. (本小题满分16分)图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD，AB，AD的长分别为2 m和4 m，上部是圆心为O的劣弧CD，∠COD＝.1) 求图1中拱门最高点到地面的距离；2) 现欲以点B为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示.设BC与地面水平线l所成的角为θ.记拱门上的点到地面的最大距离为h，试用θ的函数表示h，并求出h的最大值.9. (本小题满分16分)知函数f(x)＝＋ln x(a∈R).1) 讨论函数f(x)的单调性；2) 设函数f(x)的导函数为f′(x)，若函数f(x)有两个不相同的零点x1，x2. 求实数a的取值范围；证明：x1f′(x1)＋x2f′(x2)>2ln a＋2.0. (本小题满分16分)知等差数列{a n}满足a4＝4，前8项和S8＝36.1) 求数列{a n}的通项公式；2) 若数列{b n}满足(b k a2n＋1－2k)＋2a n＝3(2n－1)(n∈N*).证明：{b n}为等比数列；求集合.019届高三年级第一次模拟考试学附加题本部分满分40分，考试时间30分钟)1. 【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.. [选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分)知矩阵M＝，N＝，且(MN)－1＝，求矩阵M.选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是(t为参数).以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是ρsin＝.求：1) 直线l的直角坐标方程；2) 直线l被曲线C截得的线段长.. [选修4-5：不等式选讲](本小题满分10分)知实数a，b，c满足a2＋b2＋c2≤1，求证：＋＋≥.必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.2. (本小题满分10分)回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3 553等.显然2位“回文数”共9个：11，22，33，…，99.现从9个不同的2位“回文数”中任取1个乘以4，其结果记为X；从9个不同的2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y.1) 求X为“回文数”的概率；2) 设随机变量ξ表示X，Y两数中“回文数”的个数，求ξ的概率分布和数学期望E(ξ).3. (本小题满分10分)集合B是集合A n＝{1，2，3，…，3n－2，3n－1，3n}，n∈N*的子集.记集合B中所有元素的和为S(规定：集合B为空集时，S＝0).若S为3的整数倍，则称B为A n的“和谐子集”.求：1) 集合A1的“和谐子集”的个数；2) 集合A n的“和谐子集”的个数.019届高三年级第一次模拟考试(南通)学参考答案.{0，1，3} 2. 3.3 4.7 5. 6.54.－68.29.410.311.212.23.14.3375. (1) 在四棱锥PABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点，以MN∥AD.(2分)底面ABCD是矩形，以BC∥AD.以MN∥BC.(4分)BC⊂平面PBC，MN⊄平面PBC，以MN∥平面PBC.(6分)2) 因为底面ABCD是矩形，以AB⊥AD.侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，AB⊂底面ABCD，以AB⊥侧面PAD.(8分)MD⊂侧面PAD，以AB⊥MD.(10分)为DA＝DP，又M为AP的中点，而MD⊥PA.(12分)PA，AB在平面PAB内，PA∩AB＝A，以MD⊥平面PAB.(14分)6. (1) 在△ABC中，因为cos A＝，0<A<π，以sin A＝＝.(2分)为a cos B＝b cos A，正弦定理＝，得sin A cos B＝sin B cos A.以cos B＝sin B.(4分)cos B＝0，则sin B＝0，与sin2B＋cos2B＝1矛盾，故cos B≠0. 是tan B＝＝1.因为0<B<π，以B＝.(7分)2) 因为a＝，sin A＝，(1)及正弦定理＝，得＝，以b＝.(9分)sin C＝sin(π－A－B)sin(A＋B)sin A cos B＋cos A sin B×＋×.(12分)以△ABC的面积为S＝ab sin C＝×××＝.(14分)7. (1) 因为椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，以＝，则a＝2c.为线段AF中点的横坐标为，以＝.以c＝，则a2＝8，b2＝a2－c2＝6.以椭圆的标准方程为＋＝1.(4分)2) 因为点A(a，0)，点F(－c，0)，以线段AF的中垂线方程为x＝.因为△ABF的外接圆的圆心C在直线y＝－x上，以点C.(6分)为点A(a，0)，点B(0，b)，以线段AB的中垂线方程为：y－＝.点C在线段AB的中垂线上，得－－＝，理得，b(a－c)＋b2＝ac，(10分)(b－c)(a＋b)＝0.为a＋b>0，所以b＝c.(12分)以椭圆的离心率e＝＝＝.(14分)8.(1) 如图1，过点O作与地面垂直的直线交AB，CD于点O1，O2，交劣弧CD于点P，O1P的长即为拱门最高点到地面的距离.Rt△O2OC中，∠O2OC＝，CO2＝，以OO2＝1，圆的半径R＝OC＝2.以O1P＝R＋OO1＝R＋O1O2－OO2＝5.拱门最高点到地面的距离为5m.(4分)2) 在拱门放倒过程中，过点O作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点P.点P在劣弧CD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于圆O的半径长与圆心O到地面距离之和；点P在线段AD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于点D到地面的距离.(1)知，在Rt△OO1B中，OB＝＝2.B为坐标原点，地面所在的直线为x轴，建立如图2所示的坐标系.当点P在劣弧CD上时，<θ≤.∠OBx＝θ＋，OB＝2，三角函数定义，点O，h＝2＋2sin.(8分)以当θ＋＝即θ＝时，h取得最大值2＋2.(10分)如图3，当点P在线段AD上时，0≤θ≤.∠CBD＝φ，在Rt△BCD中，B＝＝2，inφ＝＝，cosφ＝＝.∠DBx＝θ＋φ，得点D(2cos(θ＋φ)，2sin(θ＋φ)).以h＝2sin(θ＋φ)＝4sinθ＋2cosθ.(14分)当0<θ<时，h′＝4cosθ－2sinθ>4cos－2sin＝>0.以h＝4sinθ＋2cosθ在上递增.以当θ＝时，h取得最大值5.为2＋2>5，所以h的最大值为2＋2.h＝术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为(2＋2)m.(16分)9. (1) 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝.当a≤0时，f′(x)>0成立，以函数f(x)在(0，＋∞)为增函数；(2分)当a>0时，ⅰ) 当x>a时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(a，＋∞)上为增函数；ⅱ) 当0<x<a时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(0，a)上为减函数.(4分)2) ①由(1)知，当a≤0时，函数f(x)至多一个零点，不合题意；a>0时，f(x)的最小值为f(a)，题意知f(a)＝1＋ln a<0，解得0<a<.(6分)方面，由于1>a，f(1)＝a>0，函数f(x)在(a，＋∞)为增函数，且函数f(x)的图象在(a，1)上不间断.以函数f(x)在(a，＋∞)上有唯一的一个零点.一方面，因为0<a<，所以0<a2<a<.(a2)＝＋ln a2＝＋2ln a，令g(a)＝＋2ln a，0<a<时，g′(a)＝－＋＝<0，以f(a2)＝g(a)＝＋2ln a>g＝e－2>0.f(a)<0，函数f(x)在(0，a)为减函数，且函数f(x)的图象在(a2，a)上不间断，以函数f(x)在(0，a)有唯一的一个零点.上，实数a的取值范围是.(10分)设p＝x1f′(x1)＋x2f′(x2)＝1－＋1－＝2－.则p＝2＋ln(x1x2).(12分)面证明x1x2>a2.妨设x1<x2，由①知0<x1<a<x2.证x1x2>a2，即证x1>.为x1，∈(0，a)，函数f(x)在(0，a)上为减函数，以只要证f>f(x1).f(x1)＝f(x2)＝0，即证f>f(x2).(14分)函数F(x)＝f－f(x)＝－－2ln x＋2ln a(x>a).以F′(x)＝>0，以函数F(x)在(a，＋∞)上为增函数.以F(x2)>F(a)＝0，以f>f(x2)成立.而x1x2>a2成立.以p＝2＋ln(x1x2)>2ln a＋2，即x1f′(x1)＋x2f′(x2)>2ln a＋2成立.(16分)0. (1) 设等差数列{a n}的公差为d.为等差数列{a n}满足a4＝4，前8项和S8＝36，以解得以数列{a n}的通项公式为a n＝n.(3分)2) ①设数列{b n}的前n项和为B n.③－④得(2n－1)－3(2n－1－1)＝(b1a2n－1＋b2a2n－3＋…＋b n－1a3＋b n a1＋2n)－(b1a2n－3＋b2a2n－5＋…＋b n－1a1＋2n－2)＝[b1(a2n－3＋2)＋b2(a2n－5＋2)＋…＋b n－1(a1＋2)＋b n a1＋2n]－(b1a2n－3＋b2a2n－5＋…＋b n a1＋2n－2)＝2(b1＋b2＋…＋b n－1)＋b n＋2＝2(B n－b n)＋b n＋2.－1以3·2n－1＝2B n－b n＋2(n≥2，n∈N*)，3(21－1)＝b1a1＋2，所以b1＝1，满足上式.以2B n－b n＋2＝3·2n－1(n∈N*)，⑤6分)n≥2时，2B n－1－b n－1＋2＝3·2n－2，⑥⑤－⑥得，b n＋b n－1＝3·2n－2.(8分)－2n－1＝－(b n－1－2n－2)＝…＝(－1)n－1(b1－20)＝0，n以b n＝2n－1，＝2，以数列{b n}是首项为1，公比为2的等比数列.(10分)由＝，得＝，即2p－m＝.c n＝，由①得，c n＝＝，以＝≤1，所以c n≥c n＋1(当且仅当n＝1时等号成立).＝，得c m＝3c p>c p，以m<p.(12分)t＝p－m(m，p，t∈N*)，2p－m＝，得m＝.t＝1时，m＝－3，不合题意；t＝2时，m＝6，此时p＝8符合题意；t＝3时，m＝，不合题意；t＝4时，m＝<1，不合题意.面证明当t≥4，t∈N*时，m＝<1.妨设f(x)＝2x－3x－3(x≥4)，f′(x)＝2x ln2－3>0，以函数f(x)在[4，＋∞)上是单调增函数，以f(x)≥f(4)＝1>0，以当t≥4，t∈N*时，m＝<1，不合题意.上，所求集合{(m，p)|＝，m，p∈N*}＝{(6，8)}.(16分)1.A.由题意知(MN)－1＝，MN＝.(4分)为N＝，则N－1＝.(6分)以矩阵M＝＝.(10分). (1) 直线l的极坐标方程可化为ρ(sinθcos－cosθsin)＝，即ρsinθ－ρcosθ＝2. x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，以直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0.(4分)2) 曲线C(t为参数)的普通方程为x2＝y.得x2－x－2＝0，以直线l与曲线C的交点A(－1，1)，B(2，4).(8分)以直线l被曲线C截得的线段长为AB＝＝3.(10分).由柯西不等式，得(a2＋1)＋(b2＋1)＋(c2＋1)](＋＋)≥(＋＋)2＝9，(5分)以＋＋≥≥＝.(10分)2. (1) 记“X是‘回文数’”为事件A.个不同的2位“回文数”乘以4的值依次为44，88，132，176，220，264，308，352，396，其中“回文数”有44，88.以事件A的概率P(A)＝.(3分)2) 根据条件知，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2.(1)得P(A)＝.(5分)“Y是‘回文数’”为事件B，则事件A，B相互独立.据已知条件得，P(B)＝＝.(ξ＝0)＝P(A)P(B)＝(1－)×(1－)＝；(ξ＝1)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝(1－)×＋×＝；(ξ＝2)＝P(A)P(B)＝×＝(8分)以，随机变量ξ以随机变量ξ的数学期望为E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.(10分)3.(1) 集合A1＝{1，2，3}的子集有∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，中所有元素和为3的整数倍的集合有∅，{3}，{1，2}，{1，2，3}，以A1的“和谐子集”的个数等于4.(3分)2) 记A n的“和谐子集”的个数等于a n，即A n有a n个所有元素和为3的整数倍的子集；记A n有b n个所有元素和为3的整数倍余1的子集，有c n个所有元素和为3的整数倍余2的子集.(1)知，a1＝4，b1＝2，c1＝2.合A n＋1＝{1，2，3，…，3n－2，3n－1，3n，3n＋1，3n＋2，3(n＋1)}的“和谐子集”有以下四类(考察新增元素3n＋1，3n＋2，3(n＋1))：一类：集合A n＝{1，2，3，…，3n－2，3n－1，3n}的“和谐子集”，共a n个；二类：仅含一个元素3(n＋1)的“和谐子集”，共a n个；时含两个元素3n＋1，3n＋2的“和谐子集”，共a n个；时含三个元素3n＋1，3n＋2，3(n＋1)的“和谐子集”，共a n个；三类：仅含一个元素3n＋1的“和谐子集”，共c n个；时含两个元素3n＋1，3(n＋1)的“和谐子集”，共c n个；四类：仅含一个元素3n＋2的“和谐子集”，共b n个；时含有两个元素3n＋2，3(n＋1)的“和谐子集”，共b n个，以集合A n＋1的“和谐子集”共有a n＋1＝4a n＋2b n＋2c n个.理得b n＋1＝4b n＋2c n＋2a n，c n＋1＝4c n＋2a n＋2b n.(7分)以a n＋1－b n＋1＝2(a n－b n)，a1－b1＝2，以数列{a n－b n}是以2为首项，2为公比的等比数列.以a n－b n＝2n.同理得a n－c n＝2n.a n＋b n＋c n＝23n，所以a n＝×2n＋×23n(n∈N*).(10分)。
江苏省南通市2019-2020学年高考第一次大联考数学试卷含解析
江苏省南通市2019-2020学年高考第一次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（ ）A ．1B ．2C 3D ．2【答案】B 【解析】 【分析】根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论． 【详解】正方体的面对角线长为2，又水的体积是正方体体积的一半， 且正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转， 所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半， 2，故选B. 【点睛】本题考查了正方体的几何特征，考查了空间想象能力，属于基础题．2．已知函数()f x 是R 上的偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 是单调递减函数，则()2log 5f ，31log 5f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()5log 3f 的大小关系是（ ）A ．()()3521log log 3log 55f f f <<⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()()3251log log 5log 35f f f <<⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()()5321log 3log log 55f f f ⎪<⎛⎫⎝⎭< D ．()()2351log 5log log 35f f f ⎪<⎛⎫⎝⎭< 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性可得235log 5log 5log 3>>，再根据()f x 的单调性和奇偶性可得正确的选项.【详解】因为33log 5log 31>=，5550log 1log 3log 51=<<=， 故35log 5log 30>>.又2233log 5log 42log 9log 50>==>>，故235log 5log 5log 3>>. 因为当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 是单调递减函数， 所以()()()235log 5log 5log 3f f f <<.因为()f x 为偶函数，故()()3331log log 5log 55f f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭-，所以()()2351log 5log log 35f f f ⎪<⎛⎫⎝⎭<. 故选：D. 【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性、单调性以及对数函数的单调性在大小比较中的应用，比较大小时注意选择合适的中间数来传递不等关系，本题属于中档题.3．《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（ ）A ．甲的数据分析素养高于乙B ．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C ．乙的六大素养中逻辑推理最差D ．乙的六大素养整体平均水平优于甲 【答案】D 【解析】 【分析】根据雷达图对选项逐一分析，由此确定叙述正确的选项. 【详解】对于A 选项，甲的数据分析3分，乙的数据分析5分，甲低于乙，故A 选项错误. 对于B 选项，甲的建模素养3分，乙的建模素养4分，甲低于乙，故B 选项错误. 对于C 选项，乙的六大素养中，逻辑推理5分，不是最差，故C 选项错误.对于D 选项，甲的总得分45334322+++++=分，乙的总得分54545427+++++=分，所以乙的六大素养整体平均水平优于甲，故D 选项正确. 故选：D 【点睛】本小题主要考查图表分析和数据处理，属于基础题.4．已知函数()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图像上，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】可将问题转化，求直线 1y kx =-关于直线1y =-的对称直线，再分别讨论两函数的增减性，结合函数图像，分析临界点，进一步确定k 的取值范围即可 【详解】可求得直线 1y kx =-关于直线1y =-的对称直线为1y mx =-()m k =-，当0x >时，()ln 2f x x x x =-，()'ln 1f x x =-，当x e =时，()'0f x =，则当()0,x e ∈时，()'0f x <，()f x 单减，当(),x e ∈+∞时，()'0f x >，()f x 单增；当0x ≤时，()232f x x x =+，()3'22f x x =+，当34x =-，()'0f x =,当34x <-时，()f x 单减，当304x -<<时，()f x 单增； 根据题意画出函数大致图像，如图：当1y mx =-与()232f x x x =+（0x ≤）相切时，得0∆=，解得12m =-；当1y mx =-与()ln 2f x x x x =-（0x >）相切时，满足ln 21ln 1y x x xy mx m x =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，解得1,1x m ==-，结合图像可知11,2m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，即11,2k ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选：A 【点睛】本题考查数形结合思想求解函数交点问题，导数研究函数增减性，找准临界是解题的关键，属于中档题 5．设一个正三棱柱ABC DEF -，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC 的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为10P ，则10P 为（ ）A ．10111432⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭B ．111132⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．111132⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．10111232⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】由题意，设第n 次爬行后仍然在上底面的概率为n P .①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为123n P -；②若上一步在下面，则第1n -步不在上面的概率是11n P --.如果爬上来，其概率是()1113n P --，两种事件又是互斥的,可得()1121133n n n P P P --=+-，根据求数列的通项知识可得选项. 【详解】由题意，设第n 次爬行后仍然在上底面的概率为n P .①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为()1223n P n -≥；②若上一步在下面，则第1n -步不在上面的概率是()11,2n P n --≥.如果爬上来，其概率是()()111,23n P n --≥， 两种事件又是互斥的,∴()1121133n n n P P P --=+-，即11133n n P P -=+，∴1112213n n P P -⎛⎫-- ⎪⎝⎭=，∴数列12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是以13为公比的等比数列，而123P =，所以111232nn P ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭， ∴当10n =时，1010111232P ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭， 故选：D. 【点睛】本题考查几何体中的概率问题，关键在于运用递推的知识，得出相邻的项的关系，这是常用的方法，属于难度题.6．已知下列命题：①“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”；②已知,p q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题； ③“2019a >”是“2020a >”的充分不必要条件； ④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题. 其中真命题的序号为（ ） A ．③④ B ．①②C ．①③D ．②④【答案】B 【解析】 【分析】由命题的否定，复合命题的真假，充分必要条件，四种命题的关系对每个命题进行判断． 【详解】“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”，正确；已知为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题，正确； “2019a >”是“2020a >”的必要不充分条件,错误；“若0xy =，则0x =且0y =”是假命题，则它的逆否命题为假命题，错误. 故选：B ． 【点睛】本题考查命题真假判断，掌握四种命题的关系，复合命题的真假判断，充分必要条件等概念是解题基础． 7．设函数()()21ln 11f x x x=+-+，则使得()()1f x f >成立的x 的取值范围是（ ）． A ．()1,+∞ B ．()(),11,-∞-+∞U C ．()1,1- D ．()()1,00,1-U【答案】B 【解析】 【分析】由奇偶性定义可判断出()f x 为偶函数，由单调性的性质可知()f x 在[)0,+∞上单调递增，由此知()f x 在(],0-∞上单调递减，从而将所求不等式化为1x >，解绝对值不等式求得结果. 【详解】由题意知：()f x 定义域为R ，()()()()()2211ln 1ln 111f x x x f x xx -=+--=+-=++-Q ，()f x ∴为偶函数， 当0x ≥时，()()21ln 11f x x x =+-+， ()ln 1y x =+Q 在[)0,+∞上单调递增，211y x=+在[)0,+∞上单调递减， ()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，则()f x 在(],0-∞上单调递减，由()()1f x f >得：1x >，解得：1x <-或1x >，x \的取值范围为()(),11,-∞-+∞U .故选：B . 【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题；奇偶性的作用是能够确定对称区间的单调性，单调性的作用是能够将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，进而化简不等式.8．已知A ，B ，C ，D 是球O 的球面上四个不同的点，若2AB AC DB DC BC =====，且平面DBC ⊥平面ABC ，则球O 的表面积为（ ） A ．203πB ．152πC ．6πD ．5π【答案】A 【解析】 【分析】由题意画出图形，求出多面体外接球的半径，代入表面积公式得答案．如图，取BC 中点G ，连接AG ，DG ，则AG BC ⊥，DG BC ⊥，分别取ABC V 与DBC V 的外心E ，F ，分别过E ，F 作平面ABC 与平面DBC 的垂线，相交于O ， 则O 为四面体A BCD -的球心，由AB AC DB DC BC 2=====，得正方形OEGF 的边长为33，则6OG 3=， ∴四面体A BCD -的外接球的半径222265R OG BG ()133=+=+=， ∴球O 的表面积为2520π4π()33⨯=． 故选A ． 【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题． 9．如图，平面四边形ACBD 中，AB BC ⊥，AB DA ⊥，1AB AD ==，2BC =，现将ABD △沿AB 翻折，使点D 移动至点P ，且PA AC ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．6πC ．4πD ．823【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥，因为AB BC ⊥，则BC ⊥面PAB ，于是BC PB ⊥.由此推出三棱锥P ABC -外接球球心是PC 的中点，进而算出2CP =，外接球半径为1，得出结果.解：由DA AB ⊥，翻折后得到PA AB ⊥，又PA AC ⊥， 则PA ⊥面ABC ，可知PA BC ⊥．又因为AB BC ⊥，则BC ⊥面PAB ，于是BC PB ⊥， 因此三棱锥P ABC -外接球球心是PC 的中点．计算可知2CP =，则外接球半径为1，从而外接球表面积为4π．故选：C. 【点睛】本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及创新意识，属于中档题．10．ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1a =，30B =︒，27cos C -=ABC V 的面积为（ ） A ．32B 3C 7D ．72【答案】A 【解析】 【分析】先求出sin A ，由正弦定理求得c ，然后由面积公式计算． 【详解】由题意22721sin 1()77C =--=，1273217sin sin()sin cos cos sin (2A B C B C B C =+=+=⨯+=． 由sin sin a bA B=得sin 7sin 7a B b A === 11213sin 1722S ab C ===⨯=． 故选：A ．本题考查求三角形面积，考查正弦定理，同角间的三角函数关系，两角和的正弦公式与诱导公式，解题时要根据已知求值要求确定解题思路，确定选用公式顺序，以便正确快速求解．11．已知P 是双曲线22221x y a b-=渐近线上一点，1F ，2F 是双曲线的左、右焦点，122F PF π∠=，记1PF ，PO ，2PF 的斜率为1k ，k ，2k ，若1k ，-2k ，2k 成等差数列，则此双曲线的离心率为（ ）A B ．C D【答案】B 【解析】 【分析】求得双曲线的一条渐近线方程，设出P 的坐标，由题意求得(,)P a b ，运用直线的斜率公式可得1k ，k ，2k ，再由等差数列中项性质和离心率公式，计算可得所求值． 【详解】设双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为b y x a =，且(,)bP m m a ，由122F PF π∠=，可得以O 为圆心，c 为半径的圆与渐近线交于P ，可得222()b m m c a+=，可取m a =，则(,)P a b ，设1(,0)F c -，2(,0)F c ，则1bk a c =+，2b k a c =-，b k a=，由1k ，2k -，2k 成等差数列，可得124k k k -=+， 化为2242a a a c -=-，即2232c a =，可得2c e a ==， 故选：B ． 【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查方程思想和运算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．12．设函数()f x 在定义城内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】根据()f x 的图象可得()f x 的单调性，从而得到()f x '在相应范围上的符号和极值点，据此可判断()f x '的图象. 【详解】由()f x 的图象可知，()f x 在(),0-∞上为增函数，且在()0,∞+上存在正数,m n ，使得()f x 在()()0,,,m n +∞上为增函数， 在(),m n 为减函数，故()f x '在()0,∞+有两个不同的零点，且在这两个零点的附近，()f x '有变化， 故排除A ，B.由()f x 在(),0-∞上为增函数可得()0f x '≥在(),0-∞上恒成立，故排除C. 故选：D. 【点睛】本题考查导函数图象的识别，此类问题应根据原函数的单调性来考虑导函数的符号与零点情况，本题属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省南通市2019-2020学年高考数学一模试卷含解析
江苏省南通市2019-2020学年高考数学一模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．()cos sin xe f x x=在原点附近的部分图象大概是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】分析函数()y f x =的奇偶性，以及该函数在区间()0,π上的函数值符号，结合排除法可得出正确选项. 【详解】令sin 0x ≠，可得{},x x k k Z π≠∈，即函数()y f x =的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()cos cos sin sin x xe ef x f x x x--==-=--，则函数()y f x =为奇函数，排除C 、D 选项；当0πx <<时，cos 0xe >，sin 0x >，则()cos 0sin xe f x x=>，排除B 选项. 故选：A. 【点睛】本题考查利用函数解析式选择函数图象，一般要分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.2．在ABC ∆中，D 为AC 的中点，E 为AB 上靠近点B 的三等分点，且BD ，CE 相交于点P ，则AP =u u u r（ ）A ．2132AB AC +u u ur u u u rB ．1124AB AC +u u ur u u u rC ．1123AB AC +u u ur u u u rD ．2133AB AC +u u ur u u u r【答案】B 【解析】 【分析】设AP xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r，则2AP xAB y AD =+u u u r u u u r u u u r ，32x AP AE y AC =+u u u r u u u r u u u r ， 由B ，P ，D 三点共线，C ，P ，E 三点共线,可知21x y +=，312xy +=,解得,x y 即可得出结果. 【详解】设AP xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r，则2AP xAB y AD =+u u u r u u u r u u u r ，32x AP AE y AC =+u u u r u u u r u u u r ， 因为B ，P ，D 三点共线，C ，P ，E 三点共线， 所以21x y +=，312x y +=，所以12x =，14y =.故选:B. 【点睛】本题考查了平面向量基本定理和向量共线定理的简单应用,属于基础题.3．若x 、y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为（ ）A ．5B ．9C ．6D ．12【答案】C 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线32z x y =+，找出直线在y 轴上的截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可. 【详解】作出满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩的可行域如图阴影部分（包括边界）所示．由32z x y =+，得322z y x =-+，平移直线322z y x =-+，当直线322zy x =-+经过点()2,0时，该直线在y 轴上的截距最大，此时z 取最大值， 即max 32206z =⨯+⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值，一般利用平移直线的方法找到最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.4．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，56104a a a +=+，则21S =（ ） A ．7 B ．14C ．28D ．84【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式，可求解得到114a =，利用求和公式和等差中项的性质，即得解 【详解】56104a a a +=+Q ，111111465a d a d a d ∴+-=-+-解得114a =．121211121()21842a a S a +∴===．故选：D 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、求和公式和等差中项，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.5．下列函数中既关于直线1x =对称，又在区间[1,0]-上为增函数的是( )A ．sin y x =π.B ．|1|y x =-C ．cos y x π=D ．e e x x y -=+【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的对称性和单调性的特点，利用排除法，即可得出答案. 【详解】A 中，当1x =时，sin 01y x =π=≠，所以sin y x =π不关于直线1x =对称，则A 错误；B 中，()()1,111,1x x y x x x ⎧-≥⎪=-=⎨-+<⎪⎩，所以在区间[1,0]-上为减函数，则B 错误；D 中，()xxy f x e e -==+，而()()2202,2f f e e -==+，则()()02f f ≠，所以e e x x y -=+不关于直线1x =对称，则D 错误； 故选：C. 【点睛】本题考查函数基本性质，根据函数的解析式判断函数的对称性和单调性，属于基础题.6．从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图：根据频率分布直方图，可知这部分男生的身高的中位数的估计值为 A ．171.25cm B ．172.75cm C ．173.75cm D ．175cm【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】由题可得0.00520.02020.040(1)10a ⨯++⨯+⨯=，解得0.010a =， 则(0.0050.0100.020)100.35++⨯=，0.350.040100.750.5+⨯=>，所以这部分男生的身高的中位数的估计值为0.50.3517010173.75(cm)100.040-+⨯=⨯，故选C ．7．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点E 在线段11A C 上，F 、M 分别是AD 、CD 的中点，则下列结论中错误的是（ ）A ．11//FM AC ，B ．存在点E ，使得平面//BEF 平面11CCD D C ．BM ⊥平面1CC F D ．三棱锥B CEF -的体积为定值【答案】B 【解析】 【分析】根据平行的传递性判断A ；根据面面平行的定义判断B ；根据线面垂直的判定定理判断C ；由三棱锥B CEF -以三角形BCF 为底，则高和底面积都为定值，判断D.【详解】在A 中，因为,F M 分别是,AD CD 中点，所以11////FM AC AC ，故A 正确；在B 中，由于直线BF 与平面11CC D D 有交点，所以不存在点E ，使得平面//BEF 平面11CC D D ，故B 错误；在C 中，由平面几何得BM CF ⊥，根据线面垂直的性质得出1BM C C ⊥，结合线面垂直的判定定理得出BM ⊥平面1CC F ，故C 正确；在D 中，三棱锥B CEF -以三角形BCF 为底，则高和底面积都为定值，即三棱锥B CEF -的体积为定值，故D 正确； 故选：B 【点睛】本题主要考查了判断面面平行，线面垂直等，属于中档题.8．已知△ABC 中，22BC BA BC =⋅=-u u u v u u u v u u u v ，．点P 为BC 边上的动点，则()PC PA PB PC ⋅++u u u v u u u v u u u v u u u v的最小值为（ ）A ．2B ．34-C ．2-D ．2512-【答案】D 【解析】 【分析】以BC 的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得()()1010B C -，，，，设()()0P a A x y ，，，，运用向量的坐标表示，求得点A 的轨迹，进而得到关于a 的二次函数，可得最小值． 【详解】以BC 的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，可得()()1010B C -，，，，设()()0P a A x y ，，，， 由2BA BC ⋅=-u u u r u u u r，可得()()120222x y x +⋅=+=-，，，即20x y =-≠，， 则()()()101100PC PA PB PC a x a a a y ⋅++=-⋅---+-++u u u r u u u r u u u r u u u r，， ()()()()21312332a x a a a a a =--=---=--21253612a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当16a =时，()PC PA PB PC ⋅++u u u r u u u r u u u r u u u r 的最小值为2512-．故选D ．【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，考查转化思想和二次函数的值域解法，考查运算能力，属于中档题． 9．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A ．log a c ＜log b c B ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b【答案】B 【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gclog c ,log c lg a lg b==，01c <<Q ，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用cy x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用xy c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.10．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（ ） A ．72种 B ．144种 C ．288种 D ．360种【答案】B 【解析】 【分析】利用分步计数原理结合排列求解即可 【详解】第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有2412A =种排法；第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有2412A =种排法，所以不同的排表方法共有1212144⨯=种. 选B . 【点睛】本题考查排列的应用，不相邻采用插空法求解，准确分步是关键，是基础题 11．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是34，则判断框中应填入的条件是（ ）A ．5?i >B ．5?i <C ．4?i >D ．4?i <【答案】D 【解析】 【分析】首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质，然后对循环体进行分析，找出循环规律，判断输出结果与循环次数以及i 的关系，最终得出选项． 【详解】经判断此循环为“直到型”结构，判断框为跳出循环的语句，第一次循环：110112122S i =+==+=⨯，； 第二次循环：1122132233S i =+==+=⨯，； 第三次循环：2133143344S i =+==+=⨯，， 此时退出循环，根据判断框内为跳出循环的语句，4i ∴<？，故选D ． 【点睛】题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题． 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序，（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可．12．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()3f x x x=+-．若0x ≤，则()0f x ≤的解集是（ ） A ．[2,1]--B ．(,2][1,0]-∞-⋃-C ．(,2][1,0)-∞-⋃-D ．(,2)(1,0]-∞-⋃-【答案】B 【解析】 【分析】利用函数奇偶性可求得()f x 在0x <时的解析式和()0f ，进而构造出不等式求得结果. 【详解】()f x Q 为定义在R 上的奇函数，()00f ∴=.当0x <时，0x ->，()23f x x x∴-=---， ()f x Q 为奇函数，()()()230f x f x x x x∴=--=++<，由0230x x x <⎧⎪⎨++≤⎪⎩得：2x -≤或10x -≤<； 综上所述：若0x ≤，则()0f x ≤的解集为(][],21,0-∞--U . 故选：B . 【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，涉及到利用函数奇偶性求解对称区间的解析式；易错点是忽略奇函数在0x =处有意义时，()00f =的情况.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
(完整版)江苏南通2019高三第一次调研考试-数学(word版)
江苏南通2019高三第一次调研考试-数学（word 版）参考答案与评分标准〔考试时间：120分钟 总分值：160分〕【一】填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分、请把答案填写在答题卡相应的位置上、1、全集U =R ，集合{}10A x x =+>，那么U A =ð ▲ 、答案：(,1]-∞-、2、复数z =32i i-(i 是虚数单位)，那么复数z 所对应的点位于复平面的第 ▲ 象限、 答案：三、3、正四棱锥的底面边长是6，那个正四棱锥的侧面积是 ▲ 、答案：48. 4、定义在R 上的函数()f x ，对任意x ∈R 都有(2)()f x f x +=，当(2,0)x ∈- 时，()4x f x =， 那么(2013)f = ▲ 、 答案：14、那么p 是q 的▲、〔从“逆命题、否命题、逆否命题、否定”中选一个填空〕 答案：否命题、 6、双曲线22221y x a b -=的一个焦点与圆x 2+y 2－10x =0的圆心重合，，那么该双曲线的标准方程为▲、 答案：221520y x -=、7、假设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9=－36，S 13=－104， 那么a 5与a 7的等比中项为▲、 答案：±、8、实数x ∈[1，9]，执行如右图所示的流程图， 那么输出的x 不小于55的概率为▲、 答案：38、9、在△ABC 中，假设AB =1，AC||||AB AC BC +=u u u r u u u r u u u r ，那么||BA BC BC ⋅u u u r u u u r u u u r=▲、答案：12、10、01a <<，假设log (21)log (32)a a x y y x -+>-+，且x y <+λ，那么λ的最大值为▲、答案：－2、11、曲线2(1)1()e (0)e 2x f f x f x x'=-+在点(1，f (1))处的切线方程为▲、答案：1e 2y x =-、12、如图，点O 为作简谐振动的物体的平衡位置，取向右方向为正方向，假设振幅为3cm ，周期为3s ，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时、那么该物体5s 时刻的位移为▲cm 、(第12题)O答案：－1.5、13、直线y =ax +3与圆22280x y x ++-=相交于A ，B 两点，点00(,)P x y 在直线y =2x 上，且PA =PB ,那么0x 的取值范围为▲、答案：(1,0)(0,2)-U 、14、设P (x ，y )为函数21y x =-(x >图象上一动点，记353712x y x y m x y +-+-=+--，那么当m 最小时，点P 的坐标为▲、答案：(2，3)、【二】解答题：本大题共6小题，共计90分、请把答案写在答题卡相应的位置上、解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤、 15、(此题总分值14分)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E 是侧面AA 1B 1B 对角线的交点，F 是侧面AA 1C 1C 对角线的交点，D 是棱BC 的中点、求证： 〔1〕//EF 平面ABC ；〔2〕平面AEF ⊥平面A 1AD 、解：〔1〕连结11A B A C 和、因为E F 、分别是侧面11AA B B 和侧面11AA C C 的对角线的交点，因此E F 、分别是11A B A C 和的中点、因此//EF BC 、………………………………………………………3分 又BC ⊂平面ABC 中，EF Ø平面ABC 中，故//EF 平面ABC 、………………………………………………6分 〔2〕因为三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱，因此1A A ⊥平面ABC ，因此1BC A A ⊥、故由//EF BC ，得1EF A A ⊥、………………………………………8分又因为D 是棱BC 的中点，且ABC ∆为正三角形，因此BC AD ⊥、 故由//EF BC ，得EF AD ⊥、…………………………………………………………………10分 而1A A AD A =I ，1,A A AD ⊂平面1A AD，因此EF ⊥平面1A AD 、…………………………………12分又EF ⊂平面AEF，故平面AEF ⊥平面1A AD 、………………………………………………………14分16.〔此题总分值14分〕在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin tan cos cos A BC A B+=+、〔1〕求角C 的大小；〔2〕假设△ABC 的外接圆直径为1，求22a b +的取值范围、 解：(1)因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+，即sin sin sin cos cos cos C A B C A B+=+， 因此sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+，即sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-， 得sin()sin()C A B C -=-、……………………………………………………………………………ABC DE F A 1B 1C 1 (第15题) ABCDE F A 1 B 1 C 1(第15题)。
南通市2019届高三数学第一次调研测试 参考答案
【答案】 4
10．已知数列an 是等比数列，有下列四个命题：
①数列 an 是等比数列；
③数列
1 an
是等比数列；
其中正确的命题有 ▲ 个．
②数列an an+1 是等比数列； ④数列lg an2 是等比数列．
【答案】 3
11．已知函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，且 f (x + 2) = f (x) ．当 0 x ≤1 时， f (x) = x3 − ax +1 ，则实
l
被两圆截得的弦长相等，1 −
d12
=
4
−
d
2 2
d22
−
d12
=
3
①当斜率 k 不存在时，此时直线不可能与两圆相交，斜率 k 存在 ②当斜率 k 存在时，设 l : kx − y − mk = 0
d22
− d12
=
(4 − m)2 k 2 − m2k 2
k2 +1
=3
整理可得： (13 − 8m)k 2 = 3 k 2 = 3
数 a 的值为 ▲ ． 【答案】2 【解析】由题意得： T = 2
x3 − ax + 1, 0 x 1
f ( x) = 0,
x=0 ,
−
ax
−
1,
−1
x
0
由奇函数得 f (−1) = f (1) f (1) = 2 − a = 0 a = 2
12．在平面四边形 ABCD 中， AB = 1，DA = DB ， AB AC = 3，AC AD = 2 ，则 AC + 2AD 的最小 值为 ▲ ． 【答案】 2 5
[数学]2019年江苏省泰州市、南通市、扬州市、苏北四市七市高考数学一模试卷带答案解析
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-2019年江苏省泰州市、南通市、扬州市、苏北四市七市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）已知集合A ＝{1，3}，B ＝{0，1}，则集合A ∪B ＝．2．（5分）已知复数（i 为虚数单位），则复数z 的模为．3．（5分）某中学组织学生参加社会实践活动，高二（1）班50名学生参加活动的次数统计如下：次数2345人数2015105则平均每人参加活动的次数为．4．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的b 的值为．5．（5分）有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为．6．（5分）已知正四棱柱的底面边长为3cm ，侧面的对角线长是3cm ，则这个正四棱柱的体积是cm 3．7．（5分）若实数x ，y 满足x ≤y ≤2x+3，则x+y 的最小值为．8．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线为l ，直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于A ，B 两点，，则p 的值为．9．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝3x+t 与曲线y ＝asinx+bcosx （a ，b ，t ∈R ）相切于点（0，1），则（a+b ）t 的值为．10．（5分）已知数列{a n }是等比数列，有下列四个命题：①数列{|a n |}是等比数列；②数列{a n a n+1}是等比数列；③数列是等比数列；④数列{lga n 2}是等比数列．其中正确的命题有个．11．（5分）已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x+2）＝f （x ）．当0＜x ≤1时，f （x ）＝x 3﹣ax+1，则实数a 的值为．12．（5分）在平面四边形ABCD 中，AB ＝1，DA ＝DB ，＝3，＝2，则|的最小值为．13．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2+y 2＝1，圆C ：（x ﹣4）2+y 2＝4．若存在过点P （m ，0）的直线l ，l 被两圆截得的弦长相等，则实数m 的取值范围．14．（5分）已知函数f （x ）＝（2x+a ）（|x ﹣a|+|x+2a|）（a ＜0）．若f （1）+f （2）+f （3）+…+f （672）＝0，则满足f （x ）＝2019的x 的值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（14分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，M ，N 分别为棱PA ，PD 的中点．已知侧面P AD⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，DA ＝DP ．求证：（1）MN ∥平面PBC ；（2）MD ⊥平面PAB ．16．（14分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，，．（1）求角B 的值；（2）若，求△ABC 的面积．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，右顶点为A，上顶点为B．（1）已知椭圆的离心率为，线段AF中点的横坐标为，求椭圆的标准方程；（2）已知△ABF外接圆的圆心在直线y＝﹣x上，求椭圆的离心率e的值．18．（16分）如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD，AB，AD的长分别为和4m，上部是圆心为O的劣弧CD，．（1）求图1中拱门最高点到地面的距离；（2）现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示．设BC与地面水平线l所成的角为θ．记拱门上的点到地面的最大距离为h，试用θ的函数表示h，并求出h的最大值．19．（16分）已知函数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设f（x）的导函数为f'（x），若f（x）有两个不相同的零点x1，x2．①求实数a的取值范围；②证明：x1f'（x1）+x2f'（x2）＞2lna+2．20．（16分）已知等差数列{a n}满足a4＝4，前8项和S8＝36．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足．①证明：{b n}为等比数列；②求集合．【选做题】本题包括21、22、C23三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）21．已知矩阵，，且，求矩阵M．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（t为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）＝．求：（1）直线l的直角坐标方程；（2）直线l被曲线C截得的线段长．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知实数a，b，c满足a 2+b2+c2≤1，求证：．【必做题】第22、23题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3553等．显然2位“回文数”共9个：11，22，33，…，99．现从9个不同2位“回文数”中任取1个乘以4，其结果记为X；从9个不同2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y．（1）求X为“回文数”的概率；（2）设随机变量ξ表示X，Y两数中“回文数”的个数，求ξ的概率分布和数学期望E （ξ）．25．设集合B是集合A n＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n}，n∈N *的子集．记B中所有元素的和为S（规定：B为空集时，S＝0）．若S为3的整数倍，则称B为A n的“和谐子集”．求：（1）集合A1的“和谐子集”的个数；（2）集合A n的“和谐子集”的个数．2019年江苏省泰州市、南通市、扬州市、苏北四市七市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）已知集合A＝{1，3}，B＝{0，1}，则集合A∪B＝{0，1，3}．【解答】解：根据题意，集合A＝{1，3}，B＝{0，1}，则A∪B＝{0，1，3}；故答案为：{0，1，3}．2．（5分）已知复数（i为虚数单位），则复数z的模为．【解答】解：＝，则复数z的模为．故答案为：．3．（5分）某中学组织学生参加社会实践活动，高二（1）班50名学生参加活动的次数统计如下：次数2345人数2015105则平均每人参加活动的次数为3．【解答】解：根据题意，计算这组数据的平均数为：＝×（20×2+15×3+10×4+5×5）＝3．故答案为：3．4．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的b的值为7．【解答】解：模拟程序的运行，可得a＝0，b＝1满足条件a＜15，执行循环体，a＝1，b＝3满足条件a＜15，执行循环体，a＝5，b＝5满足条件a＜15，执行循环体，a＝21，b＝7此时，不满足条件a＜15，退出循环，输出b的值为7．故答案为：7．5．（5分）有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为．【解答】解：有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，基本事件总数n＝3×3＝9，这两位同学参加不同兴趣小组包含的基本事件个数m＝3×2＝6，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为p＝＝．故答案为：．6．（5分）已知正四棱柱的底面边长为3cm，侧面的对角线长是3cm，则这个正四棱柱的体积是54cm3．【解答】解：设正四棱柱的高为h，∵正四棱柱的底面边长为3cm，侧面的对角线长是3cm，∴＝3，解得h＝6（cm），∴这个正四棱柱的体积V＝Sh＝3×3×6＝54（cm3）．故答案为：54．7．（5分）若实数x，y满足x≤y≤2x+3，则x+y的最小值为﹣6．【解答】解：画出实数x，y满足x≤y≤2x+3的平面区域，如图示：由，解得A（﹣3，﹣3），由z＝x+y得：y＝﹣x+z，显然直线过A时z最小，z的最小值是﹣6，故答案为：﹣6．8．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线为l ，直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于A ，B 两点，，则p 的值为．【解答】解：抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线为l ：x ＝﹣，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±x ，可得A （﹣，﹣），B （（﹣，），|AB|＝＝，可得p ＝2．故答案为：2．9．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝3x+t 与曲线y ＝asinx+bcosx （a ，b ，t ∈R ）相切于点（0，1），则（a+b ）t 的值为4．【解答】解：根据题意得，t ＝1y ′＝acosx ﹣bsinx ∴k ＝acos0﹣bsin0＝a ∴a ＝3，bcos0＝1∴a ＝3，b ＝1故答案为4．10．（5分）已知数列{a n }是等比数列，有下列四个命题：①数列{|a n |}是等比数列；②数列{a n a n+1}是等比数列；③数列是等比数列；④数列{lga n 2}是等比数列．其中正确的命题有3个．【解答】解：由{a n}是等比数列可得＝q（q为常数，q≠0），①＝＝|q|为常数，故是等比数列；②＝＝q2为常数，故是等比数列；③＝＝常数，故是等比数列；④数列a n＝1是等比数列，但是lga n2＝0不是等比数列；故答案为：311．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）＝f（x）．当0＜x≤1时，f（x）＝x 3﹣ax+1，则实数a的值为2．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）＝f（x）．∴当x＝﹣1时，f（﹣1+2）＝f（﹣1）＝f（1），即﹣f（1）＝f（1），则f（1）＝0，∵当0＜x≤1时，f（x）＝x3﹣ax+1．∴f（1）＝1﹣a+1＝0，得a＝2，故答案为：212．（5分）在平面四边形ABCD中，AB＝1，DA＝DB，＝3，＝2，则|的最小值为2．【解答】解：如图，以A为原点，建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（1，0），因为DA＝DB，可设D（，m），因为?＝3，AB＝1，所以可设C（3，n），又?＝2，所以+mn＝2，即mn＝，+2＝（4，n+2m）|+2|＝＝≥＝2，当且仅当n＝2m，即n＝1，m＝时，等号成立．故答案为：213．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2+y 2＝1，圆C ：（x ﹣4）2+y 2＝4．若存在过点P （m ，0）的直线l ，l 被两圆截得的弦长相等，则实数m 的取值范围﹣4＜m．【解答】解：显然直线l 有斜率，设直线l ：y ＝k （x ﹣m ），即kx ﹣y ﹣km ＝0，依题意得1﹣（）2＝4﹣（）2＞0有解，即，∴13﹣8m ＞0且3m 2+8m ﹣16＜0解得﹣4＜m ＜，故答案为：﹣4＜m ．14．（5分）已知函数f （x ）＝（2x+a ）（|x ﹣a|+|x+2a|）（a ＜0）．若f （1）+f （2）+f （3）+…+f （672）＝0，则满足f （x ）＝2019的x 的值为337．【解答】解：注意到：，又因为：，，因此．所以，函数f （x ）关于点对称，所以，解得：a ＝﹣673，f （x ）＝（2x ﹣673）（|x+673|+|x ﹣2×673|）＝2019，显然有：0＜2x ﹣673＜2019，即，所以，f （x ）＝（2x ﹣673）（x+673+2×673﹣x ）＝2019，2x﹣673＝1，解得：x＝337．故答案为：337．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点．已知侧面P AD ⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA＝DP．求证：（1）MN∥平面PBC；（2）MD⊥平面PAB．【解答】证明：（1）在四棱锥P﹣ABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点，所以MN∥AD．……………………2分又底面ABCD是矩形，所以BC∥AD，所以MN∥BC．…………………………………………………………………4分又BC?平面PBC，MN?平面PBC，所以MN∥平面PBC．…………………………………………………………6分（2）因为底面ABCD是矩形，所以AB⊥AD．又侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，AB?底面ABCD，所以AB⊥侧面P AD．……………………………………………………………8分又MD?侧面PAD，所以AB⊥MD．………………………………………………………………10分因为DA＝DP，又M为AP的中点，从而MD⊥P A．………………………………………………………………12分又P A，AB在平面PAB内，P A∩AB＝A，所以MD⊥平面P AB．…………………………………………………………14分16．（14分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，，．（1）求角B的值；（2）若，求△ABC的面积．【解答】（本题满分为14分）解：（1）在△ABC中，因为，0＜A＜π，所以．………………………………………………………2分因为，由正弦定理，得．所以cosB＝sinB．…………………………………………………………………4分若cosB＝0，则sinB＝0，与sin2B+cos2B＝1矛盾，故cosB≠0．于是．又因为0＜B＜π，所以．…………………………………………………………………………7分（2）因为，，由（1）及正弦定理，得，所以．………………………………………………………………………9分又sin C＝sin（π﹣A﹣B）＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB＝．……………………………………………12分所以△ABC的面积为．……14分17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B．（1）已知椭圆的离心率为，线段AF中点的横坐标为，求椭圆的标准方程；（2）已知△ABF外接圆的圆心在直线y＝﹣x上，求椭圆的离心率e的值．【解答】解：（1）因为椭圆（a＞b＞0）的离心率为，所以，则a＝2c．因为线段AF中点的横坐标为，所以．所以，则a2＝8，b2＝a2﹣c2＝6．所以椭圆的标准方程为．…………………………………………………4分（2）因为A（a，0），F（﹣c，0），所以线段AF的中垂线方程为：．又因为△ABF外接圆的圆心C在直线y＝﹣x上，所以． (6)分因为A（a，0），B（0，b），所以线段AB的中垂线方程为：．由C在线段AB的中垂线上，得，整理得，b（a﹣c）+b2＝ac，…………………………………………………………10分即（b﹣c）（a+b）＝0．因为a+b＞0，所以b＝c．……………………………………………………………12分所以椭圆的离心率．…………………………………………14分18．（16分）如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD，AB，AD的长分别为和4m，上部是圆心为O的劣弧CD，．（1）求图1中拱门最高点到地面的距离；（2）现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示．设BC与地面水平线l所成的角为θ．记拱门上的点到地面的最大距离为h，试用θ的函数表示h，并求出h的最大值．【解答】解：（1）如图，过O作与地面垂直的直线交AB，CD于点O1，O2，交劣弧CD 于点P，O1P的长即为拱门最高点到地面的距离．在Rt△O2OC中，，，所以OO2＝1，圆的半径R＝OC＝2．所以O1P＝R+OO1＝R+O1O2﹣OO2＝5．答：拱门最高点到地面的距离为5m．…………………4分（2）在拱门放倒过程中，过点O作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点P．当点P在劣弧CD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于圆O的半径长与圆心O到地面距离之和；当点P在线段AD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于点D到地面的距离．由（1）知，在Rt△OO1B中，．以B为坐标原点，直线l为x轴，建立如图所示的坐标系．（2.1）当点P在劣弧CD上时，．由，，由三角函数定义，得O，则．…………………………………………………………8分所以当即时，h取得最大值．……………………………………………………10分（2.2）当点P在线段AD上时，．设∠CBD＝φ，在Rt△BCD中，，．由∠DBx＝θ+φ，得．所以＝．……………………………………14分又当时，．所以在上递增．所以当时，h取得最大值5．因为，所以h的最大值为．答：；艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为（）m．……………………………………………16分19．（16分）已知函数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设f（x）的导函数为f'（x），若f（x）有两个不相同的零点x1，x2．①求实数a的取值范围；②证明：x1f'（x1）+x2f'（x2）＞2lna+2．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），且．（i）当a≤0时，f'（x）＞0成立，所以f（x）在（0，+∞）为增函数；………2分（ii）当a＞0时，①当x＞a时，f'（x）＞0，所以f（x）在（a，+∞）上为增函数；②当0＜x＜a时，f'（x）＜0，所以f（x）在（0，a）上为减函数．………4分（2）①由（1）知，当a≤0时，f（x）至多一个零点，不合题意；当a＞0时，f（x）的最小值为f（a），依题意知f（a）＝1+lna＜0，解得．……………………………………6分一方面，由于1＞a，f（1）＝a＞0，f（x）在（a，+∞）为增函数，且函数f（x）的图象在（a，1）上不间断．所以f（x）在（a，+∞）上有唯一的一个零点．另一方面，因为，所以，，令，当时，，所以又f（a）＜0，f（x）在（0，a）为减函数，且函数f（x）的图象在（a2，a）上不间断．所以f（x）在（0，a）有唯一的一个零点．综上，实数a的取值范围是．……………………………………………10分②证明：设．又则p＝2+ln（x1x2）．………………………………………12分下面证明．不妨设x1＜x2，由①知0＜x1＜a＜x2．要证，即证．因为，f（x）在（0，a）上为减函数，所以只要证．又f（x1）＝f（x2）＝0，即证．……………………………………14分设函数．所以，所以F（x）在（a，+∞）为增函数．所以F（x2）＞F（a）＝0，所以成立．从而成立．所以p＝2+ln（x1x2）＞2lna+2，即x1f'（x1）+x2f'（x2）＞2lna+2成立．…16分20．（16分）已知等差数列{a n}满足a4＝4，前8项和S8＝36．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足．①证明：{b n}为等比数列；②求集合．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d．因为等差数列{a n}满足a4＝4，前8项和S8＝36，所以，解得所以数列{a n}的通项公式为a n＝n．（2）①设数列{b n}前n项的和为B n．由（1）及得，由③﹣④得3（2n﹣1）﹣3（2n﹣1﹣1）＝（b1a2n﹣1+b2a2n﹣3+…+b n﹣1a3+b n a1+2n）﹣（b1a2n ﹣3+b2a2n﹣5+…+b n﹣1a1+2n﹣2）＝[b1（a2n﹣3+2）+b2（a2n﹣5+2）+…+b n﹣1（a1+2）+b n a1+2n]﹣（b1a2n﹣3+b2a2n﹣5+…+b n﹣1a1+2n﹣2）＝2（b1+b2+…+b n﹣1）+b n+2＝2（B n﹣b n）+b n+2．所以3?2n﹣1＝2B n﹣b n+2（n≥2，n∈N*），又3（21﹣1）＝b1a1+2，所以b1＝1，满足上式．所以当n≥2时，由⑤﹣⑥得，．＝，所以，，所以数列{b n}是首项为1，公比为2的等比数列．②由，得，即．记，由①得，，所以，所以c n≥c n+1（当且仅当n＝1时等号成立）．由，得c m＝3c p＞c p，所以m＜p；设t＝p﹣m（m，p，t∈N*），由，得．当t＝1时，m＝﹣3，不合题意；当t＝2时，m＝6，此时p＝8符合题意；当t＝3时，，不合题意；当t＝4时，，不合题意．下面证明当t≥4，t∈N*时，．不妨设f（x）＝2x﹣3x﹣3（x≥4），f'（x）＝2x ln2﹣3＞0，所以f（x）在[4，+∞）上单调增函数，所以f（x）≥f（4）＝1＞0，所以当t≥4，t∈N*时，，不合题意．综上，所求集合＝{（6，8）}．【选做题】本题包括21、22、C23三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）21．已知矩阵，，且，求矩阵M．【解答】解：由题意，，则．……………………………………4分因为，则．……………………………………………………6分所以矩阵．………………………………………………10分[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（t为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）＝．求：（1）直线l的直角坐标方程；（2）直线l被曲线C截得的线段长．【解答】解：（1）直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）＝．转换为直角坐标方程为：x﹣y+2＝0；（2）曲线C的参数方程是（t为参数）：转换为直角坐标方程为：x2＝y．由，得x2﹣x﹣2＝0，所以直线l与曲线C的交点A（﹣1，1），B（2，4）．所以直线l被曲线C截得的线段长为．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知实数a，b，c满足a 2+b2+c2≤1，求证：．【解答】证明：由柯西不等式，得， (5)分所以．…………………………10分【必做题】第22、23题，每小题0分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3553等．显然2位“回文数”共9个：11，22，33，…，99．现从9个不同2位“回文数”中任取1个乘以4，其结果记为X；从9个不同2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y．（1）求X为“回文数”的概率；（2）设随机变量ξ表示X，Y两数中“回文数”的个数，求ξ的概率分布和数学期望E （ξ）．【解答】解：（1）记“X是‘回文数’”为事件A．9个不同2位“回文数”乘以4的值依次为：44，88，132，176，220，264，308，352，396．其中“回文数”有：44，88．所以，事件A的概率．……………………………………………………3分（2）根据条件知，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2．由（1）得．…………………………………………………………………5分设“Y是‘回文数’”为事件B，则事件A，B相互独立．根据已知条件得，．；；……………………………………………………8分所以，随机变量ξ的概率分布为ξ012P所以，随机变量ξ的数学期望为：． (10)分25．设集合B是集合A n＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n}，n∈N *的子集．记B中所有元素的和为S（规定：B为空集时，S＝0）．若S为3的整数倍，则称B为A n的“和谐子集”．求：（1）集合A1的“和谐子集”的个数；（2）集合A n的“和谐子集”的个数．【解答】解：（1）由题意有：A1＝，则集合A1的“和谐子集”为：?，，，共4个，故答案为：4；（2）记A n的“和谐子集”的个数等于a n，即A n有a n个所有元素的和为3的整数倍的子集，另记A n有b n个所有元素的和为3的整数倍余1的子集，有c n个所有元素的和为3的整数倍余2的子集，易知：a1＝4，b1＝2，c1＝2，集合A n+1＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n，3n+1，3n+2，3n+3}的“和谐子集”有以下4种情况，（考查新增元素3n+1，3n+2，3n+3）①集合集合A n＝{1，2，3，……，3n﹣2，3n﹣1，3n}的“和谐子集”共a n个，②仅含一个元素3（n+1）的“和谐子集”共a n个，同时含两个元素3n+1，3n+2的“和谐子集”共a n个，同时含三个元素3n+1，3n+2，3（n+1）的“和谐子集”共a n个，③仅含一个元素3n+1的“和谐子集”共c n个，同时含两个元素3n+1，3n+3的“和谐子集”共c n个，④仅含一个元素3n+2的“和谐子集”共b n个，同时含两个元素3n+2，3n+3的“和谐子集”共b n个，所以集合A n+1的“和谐子集”共有a n+1＝4a n+2b n+2c n，同理：b n+1＝4b n+2a n+2c n，c n+1＝4c n+2a n+2c n，所以a n+1﹣b n+1＝2（a n﹣b n），所以数列是以a1﹣b1＝2为首项，2为公比的等比数列，求得：a n＝b n+2n，同理a n＝c n+2n，又a n+b n+c n＝23n，解得：a n＝+（n∈N*）故答案为：+（n∈N*）。
江苏省南通市2019-2020学年高考第一次质量检测数学试题含解析
江苏省南通市2019-2020学年高考第一次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．2(1ii +=- ) A ．132i +B ．32i+ C ．32i- D ．132i-+ 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【详解】()()()()22122313131112222i i i i i i i i i i ++++++====+--+ 本题正确选项：A 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2．已知m ，n 是两条不重合的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若//m α，n ⊂α，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊥，则//n α D ．若m α⊥，//n α，则m n ⊥【答案】D 【解析】 【分析】利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断. 【详解】解：选项A 中直线m ，n 还可能相交或异面， 选项B 中m ，n 还可能异面， 选项C ，由条件可得//n α或n ⊂α． 故选：D. 【点睛】本题主要考查直线与平面平行、垂直的性质与判定等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力，属于基础题.3．已知角α的终边经过点P(0sin 47,cos 47)，则sin(013α-)=11【详解】由题意可得三角函数的定义可知：22cos 47sin cos 47sin 47cos 47α==+o oo o ，22sin 47cos sin 47sin 47cos 47α==+o o o o，则： ()()sin 13sin cos13cos sin13cos 47cos13sin 47sin131cos 4713cos 60.2ααα-=-=-=+==o o o o o o o o o o本题选择A 选项.4．下列不等式成立的是（ ）A ．11sin cos 22>B ．11231122⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．112311log log 32< D ．11331123⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性和正余弦函数的图象可确定各个选项的正误. 【详解】 对于A ，1024π<<Q ，11sin cos 22∴<，A 错误； 对于B ，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭Q 在R 上单调递减，11231122⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 错误；对于C ，1221log log 313=>Q ，1331log log 212=<，112311log log 32∴>，C 错误； 对于D ，13y x =Q 在R 上单调递增，11331123⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎭∴⎝，D 正确.故选：D . 【点睛】本题考查根据初等函数的单调性比较大小的问题；关键是熟练掌握正余弦函数图象、指数函数、对数函数和幂函数的单调性.5．ABC ∆ 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a c b A +=，则角B 的大小为（ ） A ．23π B ．3π C ．6π D ．56π先利用正弦定理将边统一化为角，然后利用三角函数公式化简，可求出解B. 【详解】由正弦定理可得sin 2sin 2sin cos A C B A +=，即sin 2sin()2sin cos A A B B A ++=，即有sin (12cos )0A B +=，因为sin 0A >，则1cos 2B =-，而(0,)B π∈，所以23B π=.故选：A 【点睛】此题考查了正弦定理和三角函数的恒等变形，属于基础题.6．过抛物线22x py =（0p >）的焦点且倾斜角为α的直线交抛物线于两点A B ，.2AF BF =，且A 在第一象限，则cos2α=（ ） A ．5B ．35C ．79D ．23【答案】C 【解析】 【分析】作1AA l ⊥，1BB l ⊥；1BE AA ⊥，由题意sin AEABα=，由二倍角公式即得解. 【详解】由题意，02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，准线l ：2p y =-， 作1AA l ⊥，1BB l ⊥；1BE AA ⊥， 设1BF BB t ==，故12AB AA t ==，AE t =，217sin cos212sin 39AE AB ααα==⇒=-=. 故选：C本题考查了抛物线的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 7．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且130S =，3421a a +=，则7S 的值为（ ）． A ．21 B ．63C ．13D ．84【答案】B 【解析】 【分析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式可求d ，1a ，然后结合等差数列的求和公式即可求解． 【详解】解：因为130S =，3421a a +=，所以111313602521a d a d +⨯=⎧⎨+=⎩，解可得，3d =-，118a =，则7171876(3)632S =⨯+⨯⨯⨯-=．故选：B ． 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础题． 8．若424log 3,log 7,0.7a b c ===，则实数,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．c a b >> C ．b a c >> D ．c b a >>【答案】A 【解析】 【分析】将a 化成以4 为底的对数，即可判断,a b 的大小关系；由对数函数、指数函数的性质，可判断出,b c 与1的大小关系，从而可判断三者的大小关系. 【详解】依题意，由对数函数的性质可得244log 3log 9log 7a b ==>=.又因为40440.70.71log 4log 7c b =<==<=，故a b c >>.故选:A. 【点睛】本题考查了指数函数的性质，考查了对数函数的性质，考查了对数的运算性质.两个对数型的数字比较大小时，底数相同，则构造对数函数，结合对数的单调性可判断大小；若真数相同，则结合对数函数的图像或者换底公式可判断大小；若真数和底数都不相同，则可与中间值如1,0比较大小.A ．1．1B ．1C ．2．9D ．2．8【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图的模拟过程，写出每执行一次的运行结果，属于基础题. 【详解】初始值0n =，1S =第一次循环：1n =，11122S =⨯=； 第二次循环：2n =，121233S =⨯=；第三次循环：3n =，131344S =⨯=；第四次循环：4n =，141455S =⨯=；第五次循环：5n =，151566S =⨯=；第六次循环：6n =，161677S =⨯=；第七次循环：7n =，171788S =⨯=；第九次循环：8n =，181899S =⨯=；第十次循环：9n =，1910.191010S =⨯=≤； 所以输出190.910S =⨯=. 故选：C 【点睛】本题考查了循环结构的程序框图的读取以及运行结果，属于基础题.10．一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．22【答案】B 【解析】 【分析】根据已知可知水面的最大高度为正方体面对角线长的一半，由此得到结论． 【详解】正方体的面对角线长为22，又水的体积是正方体体积的一半， 且正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转， 所以容器里水面的最大高度为面对角线长的一半， 即最大水面高度为2，故选B. 【点睛】本题考查了正方体的几何特征，考查了空间想象能力，属于基础题． 11．已知集合A={x|y=lg （4﹣x 2）}，B={y|y=3x ，x ＞0}时，A∩B=（ ） A ．{x|x ＞﹣2} B ．{x|1＜x ＜2} C ．{x|1≤x≤2} D ．∅ 【答案】B【解析】试题分析：由集合A 中的函数，得到，解得：，∴集合，由集合B 中的函数，得到，∴集合，则，故选B ．考点：交集及其运算．12．设a r ，b r ，c r 是非零向量.若1()2a cbc a b c ⋅=⋅=+⋅r r r r r r r，则（ ）A ．()0a b c ⋅+=rrrB ．()0a b c ⋅-=rrrC ．()0a b c +⋅=rrrD ．()0a b c -⋅=rrr【答案】D 【解析】试题分析：由题意得：若a c b c ⋅=⋅r r r r ，则()0a b c -⋅=r r r ；若a c b c ⋅=-⋅r r r r ，则由1()2a c b c a b c⋅=⋅=+⋅r r r r r r r考点：平面向量数量积.【思路点睛】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点，作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识，又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题，实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件，结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化，再利用①求解(较难)；③建系，借助向量的坐标运算，此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省南通市2019-2020学年高考数学一月模拟试卷含解析
江苏省南通市2019-2020学年高考数学一月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若,AB a AD b ==u u u r r u u u r r ,1AA c =u u u r r ，则与BM u u u u r相等的向量是（ ）A ．1122a b c ++r r rB ．1122a b c --+r r rC ．1122a b c -+r r rD ．1122-++r r ra b c【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算，用,,a b c r r r 作基底表示BM u u u u r即可得解.【详解】根据空间向量的线性运算可知11BM BB B M =+u u u u r u u u r u u u u r11112AA B D =+u u u r u u u u r()1111112AA B A A D =++u u u r u u u u r u u u u r()112AA AB AD =+-+u u u r u u u r u u u r因为,AB a AD b ==u u u r r u u u r r ,1AA c =u u ur r ，则()112AA AB AD +-+u u u r u u u r u u u r1122a b c =-++r r r即1122BM a b c =-++u u u u r r r r ，故选：D. 【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，用基底表示向量，属于基础题. 2．设i 是虚数单位，若复数5i2i()a a +∈+R 是纯虚数，则a 的值为（ ）【答案】D 【解析】 【分析】整理复数为b ci +的形式,由复数为纯虚数可知实部为0,虚部不为0,即可求解. 【详解】 由题,()()()()5252112222i i ia a a i a i i i i -+=+=++=++++-, 因为纯虚数,所以10a +=,则1a =-, 故选:D 【点睛】本题考查已知复数的类型求参数范围,考查复数的除法运算. 3．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）A ．23B ．43C ．2D ．4【答案】B 【解析】 【分析】由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，由此求出四棱锥的体积． 【详解】由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，画出四棱锥的直观图，如图所示：则该四棱锥的体积为211421333ABCD V S PA =⋅=⨯⨯=正方形. 故选：B. 【点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，是基础题．4．若函数()2ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2D ．()2,e【答案】A 【解析】试题分析：由题意得()ln 120f x x ax =+-='有两个不相等的实数根，所以()120f x a x-'=='必有解，则0a >，且102f a ⎛⎫>⎪⎝⎭'，∴102a <<． 考点：利用导数研究函数极值点【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略（1）知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号. （2）已知函数求极值.求f′（x ）―→求方程f′（x ）＝0的根―→列表检验f′（x ）在f′（x ）＝0的根的附近两侧的符号―→下结论.（3）已知极值求参数.若函数f （x ）在点（x 0，y 0）处取得极值，则f′（x 0）＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.5．若双曲线E ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的一个焦点为(3,0)F ，过F 点的直线l 与双曲线E 交于A 、B 两点，且AB 的中点为()3,6P --，则E 的方程为（ ）A ．22154x y -=B ．22145x y -=C ．22163x y -=D ．22136x y -=求出直线l 的斜率和方程，代入双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合焦点的坐标，可得,a b 的方程组，求得,a b 的值，即可得到答案. 【详解】由题意，直线l 的斜率为06133PF k k +===+， 可得直线l 的方程为3y x =-，把直线l 的方程代入双曲线22221x y a b-=，可得2222222()690b a x a x a a b -+--=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则212226a x x a b+=-， 由AB 的中点为()3,6P --，可得22266a a b=--，解答222b a =，又由2229a b c +==，即2229a a +=，解得a b ==所以双曲线的标准方程为22136x y -=.故选：D. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程的求解，其中解答中属于运用双曲线的焦点和联立方程组，合理利用根与系数的关系和中点坐标公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.6．金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节，“……洪七公道：肉只五种，但猪羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有几般变化，我可算不出了”.现有五种不同的肉，任何两种（含两种）以上的肉混合后的滋味都不一样，则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（ ） A ．20 B ．24 C ．25 D ．26【答案】D 【解析】 【分析】利用组合的意义可得混合后所有不同的滋味种数为23455555C C C C +++，再利用组合数的计算公式可得所求的种数. 【详解】本题考查组合的应用，此类问题注意实际问题的合理转化，本题属于容易题.7．如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，现从该三棱锥的4个表面中任选2个，则选取的2个表面互相垂直的概率为（ ）A ．12B ．14C ．13D ．23【答案】A 【解析】 【分析】根据线面垂直得面面垂直，已知SA ⊥平面ABC ，由AB BC ⊥，可得BC ⊥平面SAB ，这样可确定垂直平面的对数，再求出四个面中任选2个的方法数，从而可计算概率． 【详解】由已知SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，可得SB BC ⊥，从该三棱锥的4个面中任选2个面共有246C =种不同的选法，而选取的2个表面互相垂直的有3种情况，故所求事件的概率为12． 故选：A ． 【点睛】本题考查古典概型概率，解题关键是求出基本事件的个数．8．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当()1,0x ∈-时，()433xf x =+，则33log 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．2-B ．3C ．3-D ．2【答案】D 【解析】 【分析】 判断321log 03-<<，利用函数的奇偶性代入计算得到答案. 【详解】 ∵321log 03-<<，∴33332224log log log 223333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．本题考查了利用函数的奇偶性求值，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.9．抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正反面出现的概率相同，连续抛掷5次，至少连续出现3次正面朝上的概率是（ ） A ．14B ．13C ．532D ．316【答案】A 【解析】 【分析】首先求出样本空间样本点为5232=个，再利用分类计数原理求出三个正面向上为连续的3个“1”的样本点个数，再求出重复数量，可得事件的样本点数，根据古典概型的概率计算公式即可求解. 【详解】样本空间样本点为5232=个， 具体分析如下：记正面向上为1，反面向上为0，三个正面向上为连续的3个“1”， 有以下3种位置1__ __，__1__，__ __1．剩下2个空位可是0或1，这三种排列的所有可能分别都是224⨯=， 但合并计算时会有重复，重复数量为224+=， 事件的样本点数为：444228++--=个． 故不同的样本点数为8个，81324=. 故选：A 【点睛】本题考查了分类计数原理与分步计数原理，古典概型的概率计算公式，属于基础题 10．已知函数()f x 满足：当[)2,2x ∈-时，()()22,20log ,02x x x f x x x ⎧+-≤≤=⎨<<⎩，且对任意x ∈R ，都有()()4f x f x +=，则()2019f =（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．2log 3【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知()()20191f f =-，代入函数表达式即可得解.由()()4f x f x +=可知函数()f x 是周期为4的函数，∴()()()()20191450511121f f f =-+⨯=-=-⨯-+=-.故选：C. 【点睛】本题考查了分段函数和函数周期的应用，属于基础题.11．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，对称轴与准线的交点为T ，P 为C 上任意一点，若2PT PF =，则PTF ∠=（ ） A ．30° B ．45°C ．60°D ．75°【答案】C 【解析】 【分析】如图所示：作PM 垂直于准线交准线于M ，则PM PF =，故2PT PM =，得到答案. 【详解】如图所示：作PM 垂直于准线交准线于M ，则PM PF =， 在Rt PTM ∆中，2PT PM =，故30PTM ∠=︒，即60PTF ∠=︒. 故选：C .【点睛】本题考查了抛物线中角度的计算，意在考查学生的计算能力和转化能力. 12．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，410S =，则6S =（ ） A ．21 B ．22C ．11D ．12【答案】A由题意知24264,,S S S S S --成等差数列，结合等差中项，列出方程，即可求出6S 的值. 【详解】解：由{}n a 为等差数列，可知24264,,S S S S S --也成等差数列，所以()422642S S S S S -=+- ，即()62103310S ⨯-=+-，解得621S =. 故选:A. 【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了等差中项.对于等差数列，一般用首项和公差将已知量表示出来，继而求出首项和公差.但是这种基本量法计算量相对比较大，如果能结合等差数列性质，可使得计算量大大减少.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年高考模拟试卷参考答案(1)
2019年高考模拟试卷(1) 参考答案南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1.3． 2．1-． 3． 53． 4.23． 5.4-.6.54．【解析】7．.【解析】由题意知，圆锥母线l 长为2．设底面圆的半径为r ，则2πr =πl ，所以r =1， 故高h． 8． 52.【解析】作出如图所示的平面区域，得面积S =2211(1)222a a --=，解得a =52．9． Z π23ππ23π2∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-k k k ，，.【解析】T=2π，1ω=，所以π()2sin()6f x x =+． 令πππ2π2π262k x k -+≤+≤+，解得x ∈Z π23ππ23π2∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-k k k ，，．10． -3. 【解析】以O 点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，设CD =x ，则→AB =（3，0），→AC =（x ，2）由→AB ·→AC = 3解得x =1．所以→AE =（2），→BC =（-2，2），所以→AE ·→BC =-312 1. 【解析】由9sin cos 10y y +-=得223sin 220y y ⋅+-=．又因为32sin 20x x ⋅+-=，得223sin 23sin(2)x y x y ⋅+=⋅+， 令()23sin x f x x =⋅+，所以()2ln33cos x f x x '=⋅+，当ππ22x -≤≤时，()0f x '>，则()f x 在区间ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上是单调增函数． 由于ππ44x -≤≤，ππ44y -≤≤，可得2x y =，即20x y -=，所以cos(2)1x y -=．13． p ≥1.【解析】因为直线1ax by +=与线段AB (其中(1,0)A ，(2,1)B )只有一个公共点，所以(1)(21)0a a b -+-≤，可知对应的区域为对顶区域， 22a b +表示点(,)a b 与点(0,0)的距离的平方，222min 1()5a b +==，a 1yxO22222211()(sin cos )sin cos sin cos p pθθθθθθ+=++ 22222sin cos 11(1cos sin p p p θθθθ=+++++≥由题意，22min221(20()]sin cos p a b θθ++min )≥[，则2(1+≥1205⋅=4， 所以p ≥1．14． 4a <-或1a . 【解析】方法一：以MN 为直径的圆记为1C ，圆22()2x a y -+=记为2C ．由题意知圆1C 与圆2C 外离，且直线MN 与圆2C 无公共点．圆1C ，圆2C 外离⇔1212C C r r >+⇔解得1a >或1a <；直线MN 与圆2C 无公共点⇔>0a >或4a <-．所以4a <-或1a >．方法二：设()P a θθ．由题意得0MP NP ⋅>，且点P 不在直线2y x =+上．0(2)())2)0MP NP a a θθθθ⋅>⇔+⋅++⋅->]2(22)(1)cos sin 0a a a θθ⇔++++->2(1)1)0a θϕ⇔++++>，必须2(1)10a ++->解得1a >或1a <；点P 不在直线2y x =+上20a θθ⇔+≠⇔关于θ的方程π2sin()42a θ+-=无解⇔212a +>⇔0a >或4a <-．所以4a <-或1a >-． 二、解答题15．（1）由12BA BC ⋅=，则cos 12ac B =．…………………………………………… 2分故cos B >0．又5sin 13B =，所以cos B 1213=．……………………………… 4分故13ac =． 所以ABC ∆的面积S 12=ac sin B 155132132=⨯⨯=．……………………………………… 7分 （2）因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b =a +c ．在ABC ∆中，2222cos b a c ac B =+-，即()2222cos b a c ac ac B =+--．………… 10分所以()22222cos b b ac ac B =--．（*） 由（1）得，13ac =，cos B 1213=，代入（*）得()2212221321313b b =-⨯-⨯⨯，… 12分故b 2503=，b =．……………………………………………………………………14分16．（1）连接AD 1，因为在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，四边形ADD 1A 1是平行四边形， 又因为E 是A 1D 的中点，所以E 是AD 1的中点，…………………2分 因为F 是BD 1的中点，所以EF ∥AB , …………………………4分 又因为AB ⊂平面ABCD ,EF ⊄平面ABCD ，所以EF ∥平面ABCD . …………………………7分 （2） 连接D 1C ,在菱形DCC 1D 1中，因为∠D 1DC=60°，所以△D 1DC 是等边三角形，因为M 是DC 的中点，所以D 1M ⊥DC ， …………………………9分 又因为平面DCC 1D 1⊥平面ABCD , D 1M ⊂平面DCC 1D 1, 平面DCC 1D 1⋂平面ABCD =DC ，所以D 1M ⊥平面ABCD , …………………………12分 又因为D 1M ⊂平面D 1AM ，所以平面D 1AM ⊥平面ABCD. …………………………14分17．连接BP , 过P 作1PP BC ⊥垂足为1P , 过Q 作1QQ BC ⊥垂足为1Q设1PBP θ∠=()2π03θ<<， 2π3MP θ=- …………………………2分若20πθ<<，在1Rt PBP ∆中，11sin cos PP BP θθ==， 若,2πθ=则11sin cos PP BP θθ==， 若，322πθπ<<则,cos )cos(,sin 11θθπθ-=-==BP PP2cos PQ θθ∴=- …………………………4分在1Rt QBQ ∆中，111sin CQ QQ PP CQ θθθ===，，2DQ θ= …………………………6分所以总路径长，)320(sin 3cos 432)(πθθθθπθ<<--+-=f …………………………8分1)3sin(21cos 3sin )('--=--=πθθθθf …………………………10分令()'0f θ=，π2θ=当π02θ<< 时，()'0f θ<当π2π23θ<< 时，()'0f θ> …………………………12分 所以当π2θ=时，总路径最短. 答：当BP BC ⊥时，总路径最短. …………………………14分 18．（1）设点P (x ，y )，x 2 + y 2 = 4，P A = (x - a )2 + (y - 2)2，PB =(x - m )2 + (y - 1)2，因为P APB= k ，所以(x - a )2 + (y - 2)2 = k 2[(x - m )2 + (y - 1)2]，又x 2 + y 2 = 4，化简得2ax + 4y - a 2 - 8 = k 2(2mx + 2y - m 2 - 5)， …………………………3分 因为P 为圆O 上任意一点，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+==)5(8242222222m k a k mk a ， …………………………5分又m > 0，k > 0，解得⎩⎨⎧k = 2a = 2m = 1，所以A (2，2)，B (1，1)，k = 2． …………………………8分（2）法一：设过E 的切线与圆C 交于切点F ，E F 2 = EM ·EN ， …………………………10分又M 是线段NE 的中点，所以EN = 2MN ，EM = MN ，所以EF 2 = 2MN 2，又EF 2 = EO 2 – OF 2 = 2 2 + t 2 – 1 = t 2 + 3， …………………………13分 MN ≤ 2，t 2 + 3 ≤ 8，所以t ∈[-5，5]． …………………………16分 法二：设M (x 0，y 0)，M 是线段NE 的中点，N (2x 0 – 2，2y 0 – t )，又MN 在圆C 上，即关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧x 02+ y 02= 1(2x 0 -2)2 + (2y 0 - t )2= 1有解， …………………………10分 化简得⎩⎨⎧x 02+ y 02= 18x 0 + 4t y 0 - t 2- 7 = 0有解， 即直线n ：8x + 4t y - t 2 - 7 = 0与圆C ：x 2 + y 2 = 1有交点，则d o -n = |t 2 + 7|64 + 16t 2 ≤1， …………………………14分化简得t 4 – 2t 2 – 15 ≤0，解得t ∈[-5，5]． …………………………16分 19． (1) 因为 2()f x x x k '=++，所以2()f n n n k '=++. ………………2分 故21111(1)1n a n n n n n n ===-+++， ………………4分 因此12515166a a a +++=-= . ………………6分 (2) ① 因为 11,41>-=b k ,()221111422n n b b b b n n +=+-=+-, 所以()211122n b b n ++=+. ………………8分又因为1102b +>，所以()()()21111lg lg 2lg 222n n n b b b ++=+=+.因为11lg 221lg 2n n b b +⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭且()11lg 02b +≠，所以数列()1lg 2n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列. ………………10分② 因为10b b =>，1()n n b f b +=，所以21()n n n n b f b b b +'==+；可得 21n n n b b b +=-； ………………12分故211111111n n n n n n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b b b b b b ++++++⋅-====-⋅⋅⋅． 所以11111ni i i n b b b b =++=-∑………………14分 因为210n n n b b b +=->，所以1110n n n b b b b b +->>>>=>．所以bb b ni i i 111<∑=+ ………………16分 20．（1）当1k =时，()ln 1f x x x x =-+，()ln f x x '=． …………………………………………1分令()0f x '>，解得1x >， 令()0f x '<，解得01x <<，∴()f x 的单调增区间为()1+∞，，单调减区间为()01，． ……………………3分 （2）()ln 1f x x k '=+-，当1k ≤时，由1x >，知()0f x '>，所以，()f x 在()1+∞，上是单调增函数，且图象不间断， 又(1)0f =，∴当1x >时，()(1)0f x f >=，∴函数()y f x =在区间()1+∞，上没有零点，不合题意． ………………………5分 当1k >时，由()0f x '=，解得11k x e -=>，若11k x e -<<，则()0f x '<，故()f x 在()11,k e -上是单调减函数， 若1k x e ->，则()0f x '>，故()f x 在()1,k e -+∞上是单调增函数， ∴当11k x e -<<时，()(1)0f x f <=，又∵()()10k k k f e ke k e k =--=>，()f x 在()1+∞，上的图象不间断， ∴函数()y f x =在区间()1+∞，上有1个零点，符合题意． ……………………7分 综上所述，k 的取值范围为()1+∞，． ………………………………………8分 （3）假设存在正整数k ，使得()0f x x +>在1x >上恒成立，则由1x >知10x ->，从而ln 1x x x k x +<-对1x >恒成立（*） ……………9分记ln ()1x x x g x x +=-，得22ln ()(1)x x g x x --'=-， ……………………………10分 设()2ln h x x x =--，11()10x h x x x -'=-=>，∴()h x 在()1+∞，是单调增函数， 又(3)1ln30(4)2ln 40()h h h x =-<=->，，在[3,4]上图象是不间断的，∴存在唯一的实数0(34)x ∈，，使得0()0h x =， ……………………12分 ∴当01x x <<时，()0()0()h x g x g x '<<，，在0(1)x ，上递减， 当0x x >时，()0()0()h x g x g x '>>，，在0(,)x +∞上递增， ∴当0x x =时，()g x 有极小值，即为最小值，00000ln ()1x x x g x x +=-，…………………14分又000()2ln 0h x x x =--=，∴00ln 2x x =-，∴00()g x x =， 由（*）知，0k x <，又0(3,4)x ∈，*N k ∈，∴k 的最大值为3，即存在最大的正整数3k =，使得()0f x x +>在()1x ∈+∞，上恒成立． ………………16分1O2O AB PQDC第Ⅱ卷（附加题，共40分）21A ．连结PQ ，因为四边形ACQP 是1O 的内接四边形， 所以A PQD ∠=∠，…………………3分 又在2O 中，PBD PQD ∠=∠， …6分 所以A PBD ∠=∠，…………………8分 所以AC ∥BD ． …………………10分B ．依题意，BA ＝⎣⎡⎦⎤1 00 k ⎣⎡⎦⎤cos θ －sin θsin θ cos θ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0 －112 0， ………………………… 5分从而⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝0－sin θ＝－1，k sinθ＝12，k cosθ＝0．因为0＜θ＜2π，所以⎩⎨⎧θ＝π2，k ＝12． …………………………………………………… 10分C ．曲线2cos ρθ=的普通方程为22(1)1x y -+=， ………………………………2分点)π4P，的直角坐标为(1,1)， ……………………………………………4分 所以点P 在圆上，又因为圆心(10)，． …………………………………………6分 故过点P 的切线为1y =， ………………………………………………………8分 所以所求的切线的极坐标方程为：sin 1ρθ=． ………………………………10分D ．因为|a ＋b |≤2，所以|a 2＋2a －b 2＋2b |＝|a ＋b ||a －b ＋2| ＝|a ＋b ||2a －(a ＋b )＋2| ≤|a ＋b |(|2a |＋|a ＋b |＋2) ≤4(|a |＋2)．……………………………………10分22．依题意，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A －xyz （如图）， 则B (1，0，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)， 因为DC →＝λAB →，所以C (λ，2，0)， ……………………………………2分（1）PC →＝(λ，2，－2)，BD →＝(－1，2，0)，则cos ＜PC →，BD →＞＝PC →·BD →|PC →|·|BD →|＝4－λλ2＋8×5＝1515，解得λ＝2；（2）易得PC →＝(2，2，－2)，PD →＝(0，2，－2)， 设平面PCD 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则n ·PC →＝0，且n ·PD →＝0， 即x ＋y －z ＝0，且y －z ＝0， 所以x ＝0，不妨取y ＝z ＝1，则平面PCD 的一个法向量n ＝(0，1，1)， …………………………………… 8分 又易得PB →＝(1，0，－2)，故cos ＜PB →，n ＞＝PB →·n |PB →|·|n |＝－22×5＝－105，所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为105． ……………………………………10分23．（1）(7)f 的展开式中第二、三、四项的二项式系数分别为177C =，2721C =，3735C =，因为1327772C C C +=，即123777C C C ，，成等差数列，所以(7)f 具有性质P ．…………………………………………………………4分 （2）设()f n 具有性质P ，则存在*k ∈N ，11k n -≤≤，使11k k k n n n C C C -+，，成等差数列， 所以11+=2k k k n n n C C C -+．整理得，2244(2)0k nk n n -+--=， ………………………………………7分 即2(2)2k n n -=+，所以2n +为完全平方数． 又2015n ≤，由于22442015245<+<，所以n 的最大值为24421934-=，此时k =989或945． …………………10分（第22题）。
2019年江苏省南通市如皋市高考数学模拟试卷及参考答案(二)(4月份)
2019年江苏省南通市如皋市高考数学模拟试卷（二）（4月份）一、填空题（共70分）1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x≤0}，B＝{0，2，4}，C＝A∩B，则集合C的子集共有个．2．（5分）已知复数z满足为虚数单位），则z的共轭复数＝3．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为x+3y＝0，则m＝4．（5分）随机抽取100名年龄在[10，20），[20，30），…，[50，60）年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，则在[50，60）年龄段抽取的人数为．5．（5分）为强化环保意识，环保局每周从当地的5所化工厂（甲，乙，丙，丁，戊）中随机抽取3所进行污水合格检测，则在一周抽检中，甲，乙化工厂都被抽测的概率是6．（5分）如图，若输入的x值为，则相应输出的值为．7．（5分）已知一个圆锥的底面半径为cm，侧面积为6πcm2，则该圆锥的体积是cm3．8．（5分）已知实数x，y满足，则的取值范围是9．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，b＝3，C＝2A，则cos C的值为10．（5分）已知F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点A，B分别是椭圆E的右顶点和上顶点，若直线AB上存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆C的离心率e的取值范围是11．（5分）已知数列{a n}的首项，数列{b n}是等比数列，且b5＝2，若，则a10＝12．（5分）在平面四边形OABC中，已知，OA⊥OC，AB⊥BC，∠ACB＝60°，若＝6，则＝13．（5分）已知正数x，y满足，则的最小值为14．（5分）定义min{a，b}＝，已知函数，若h（x）＝min{f（x），g（x）}恰好有3个零点，则实数m的取值范围是二、解答题（共90分）15．（14分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，CD⊥平面P AD，AP＝AD，AB∥CD，CD＝2AB，M是PD的中点．（1）求证：AM∥平面PBC；（2）求证：平面PBC⊥平面PCD．16．（14分）如图在平面直角坐标系xOy中，点P，Q是以AB为直径的上半圆弧上两点（点P在Q有右侧），点O为半圆的圆心，已知AB＝2，∠BOP＝θ，∠POQ＝α．（1）若点P的横坐标为，点Q的纵坐标为，求cosα的值；（2）若PQ＝1，求的取值范围．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中点，点A，F分别是椭圆C：＝1（a＞b＞0）左顶点，右焦点，椭圆C的右准线与x轴相交于点Q，已知右焦点F恰为AQ的中点，且椭圆C的焦距为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过右焦点F的直线l与椭圆C相交于M，N，记直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，若k1+k2＝﹣1，求直线l的方程．18．（14分）如图，矩形ABCD是某生态农庄的一块植物栽培基地的平面图，现欲修一条笔直的小路MN（宽度不计）经过该矩形区域，其中MN都在矩形ABCD的边界上，已知AB＝8，AD＝6（单位：百米），小路MN将矩形ABCD分成面积为S1，S2（单位：平方百米）的两部分，其中S1≤S2，且点A在面积为S1的区域内，记小路MN的长为l百米．（1）若l＝4，求S1的最大值；（2）若S2＝2S1，求l的取值范围．19．（16分）已知函数f（x）＝e x﹣mx，x∈R，其导函数为f'（x）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若x＞0，关于x的不等式f（x）≥x2+1恒成立，求实数m的取值范围；（3）若函数f（x）有两个零点x1，x2，求证：f'（x1）+f'（x2）＞0．20．（18分）已知数列{a n}的前n项和为S n满足2S n﹣na n＝n．（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）若数列{a n}的公差d＞0，设，求证：存在唯一的正整数n，使得a n+1≤b n＜a n+2；（3）若a2＝2，设，求证：数列{c n}中任意一项都可以表示成其他两项的乘积．【选做题】本题包括21、22、23、24四个小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）21．已知矩阵，A＝，B＝，若直线l依次经过变换T A，T B后得到直线l'：2x+y ﹣2＝0，求直线l的方程．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为：ρ＝4cosθ，若直线l 与圆C有公共点，求实数a的取值范围．23．在平面直角坐标系xOy中，已知点M（﹣1，0），F（1，0），若动点P满足＝2||．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F的直线l与轨迹C相交于A，B，与y轴相交于Q，若＝，＝，求证：λ+μ为定值．24．已知A n＝{x＞0|x＝k1•2+k2•22+…+k n•2n}，其中n∈N*，n≥2，k i∈{﹣1，1}（i＝1，2，…n），记集合A n的所有元素之和为S n．（1）求S2，S3的值；（2）求S n．2019年江苏省南通市如皋市高考数学模拟试卷（二）（4月份）参考答案与试题解析一、填空题（共70分）1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x≤0}，B＝{0，2，4}，C＝A∩B，则集合C的子集共有4个．【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣2x≤0}＝{x|0≤x≤2}，B＝{0，2，4}，∴C＝A∩B＝{0，2}，则集合C的子集共有22＝4．故答案为：4．【点评】本题考查交集中子集的个数的求法，考查交集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）已知复数z满足为虚数单位），则z的共轭复数＝﹣3+4i 【解答】解：由，得z＝3i2﹣4i＝﹣3﹣4i，∴．故答案为：﹣3+4i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程为x+3y＝0，则m＝9【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为x+3y＝0，可得：x+y＝0，所以＝3，解得m＝9．故答案为：9．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．4．（5分）随机抽取100名年龄在[10，20），[20，30），…，[50，60）年龄段的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示，从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，则在[50，60）年龄段抽取的人数为2．【解答】解：根据频率分布直方图，得；样本中不小于40岁的人的频率是0.015×10+0.005×10＝0.2，∴不小于40岁的人的频数是100×0.2＝20；从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人，在[50，60）年龄段抽取的人数为8×＝8×＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了分层抽样方法的应用问题，是基础题．5．（5分）为强化环保意识，环保局每周从当地的5所化工厂（甲，乙，丙，丁，戊）中随机抽取3所进行污水合格检测，则在一周抽检中，甲，乙化工厂都被抽测的概率是【解答】解：为强化环保意识，环保局每周从当地的5所化工厂（甲，乙，丙，丁，戊）中，随机抽取3所进行污水合格检测，基本事件总数n＝＝10，在一周抽检中，甲，乙化工厂都被抽到包含的基本事件个数m＝＝3，则在一周抽检中，甲，乙化工厂都被抽到的概率是p＝＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．（5分）如图，若输入的x值为，则相应输出的值为．【解答】解：根据题意，执行程序框图后输出的是分段函数y＝，当输入x＝时，sin＞cos，所以输出的y＝cos＝．故答案为：．【点评】本题考查了选择语句的应用问题，是基础题目．7．（5分）已知一个圆锥的底面半径为cm，侧面积为6πcm2，则该圆锥的体积是3πcm3．【解答】解：一个圆锥的底面半径为cm，侧面积为6πcm2，可得，解得l＝2，所以圆锥的高为：＝3（cm），所以，圆锥的体积为：＝3π（cm3）．故答案为：3π．【点评】利用考查圆锥的体积以及圆锥的侧面积的求法，是基本知识的考查．8．（5分）已知实数x，y满足，则的取值范围是【解答】解：先画出实数x，y满足可行域如图：因为目标函数表示动点P（x，y）与定点D（0，﹣1）连线斜率k；由图可知；K OA最小；联立可得A（3，1），K DA＝＝，∴则的取值范围：[，+∞）．故答案为：[，+∞）．【点评】本题考查线性规划问题，难点在于目标函数几何意义，近年来高考线性规划问题高考数学考试的热点，数形结合是数学思想的重要手段之一，是连接代数和几何的重要方法．随着要求数学知识从书本到实际生活的呼声不断升高，线性规划这一类新型数学应用问题要引起重视．9．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，b＝3，C＝2A，则cos C的值为【解答】解：∵a＝2，b＝3，C＝2A，∴由正弦定理，可得：＝＝，∵可得：cos A＝，∴由余弦定理可得：cos A＝＝＝，解得：c2＝10，∴可得：cos C＝＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．10．（5分）已知F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点A，B分别是椭圆E的右顶点和上顶点，若直线AB上存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆C的离心率e的取值范围是【解答】解：F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点A，B分别是椭圆E的右顶点和上顶点，若直线AB上存在点P，使得PF1⊥PF2，可得AB：bx+ay﹣ab＝0，满足，a2b2≤c2a2+c2b2，可得：（a2﹣c2）2≤（ac）2，可得a2﹣c2≤ac，即e2+e﹣1≥0，e∈（0，1）．解得e∈．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查数形结合以及转化思想的应用．11．（5分）已知数列{a n}的首项，数列{b n}是等比数列，且b5＝2，若，则a10＝64【解答】解：因为数列{b n}是等比数列，且b5＝2，设其公比为q，则，所以＝2q n﹣5，所以，，……，等式左右两边相乘，得，即a10＝＝64．故填：64．【点评】本题考查等比数列的通项公式，累乘法计算某一项，属基础题．12．（5分）在平面四边形OABC中，已知，OA⊥OC，AB⊥BC，∠ACB＝60°，若＝6，则＝3【解答】解：如图所示，设|OC|＝a，易求，故＝＝＝，又＝6，所以，解之得a＝3．故答案为3．【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题目．13．（5分）已知正数x，y满足，则的最小值为【解答】解：正数x，y满足，可得4x+y++＝+x﹣，由4x+≥2＝4，当且仅当x＝取得等号，y+≥2，当且仅当y＝1取得等号，可得+x﹣≥6，则x﹣≥6﹣＝﹣，即所求最小值为﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查函数的最值的求法，注意运用基本不等式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．14．（5分）定义min{a，b}＝，已知函数，若h（x）＝min{f（x），g（x）}恰好有3个零点，则实数m的取值范围是【解答】解：依题意可得m＞0，令f（x）＝0，得x＝﹣lnm，令g（x）＝0，得x＝1或x＝，又h（x）＝min{f（x），g（x）}恰好有3个零点，由图可知：，解得：或，即实数m的取值范围是（）∪（，1），故答案为：（）∪（，1）．【点评】本题考查了“取小函数”的定义及函数图象间的位置关系，属中档题．二、解答题（共90分）15．（14分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD中，CD⊥平面P AD，AP＝AD，AB∥CD，CD＝2AB，M是PD的中点．（1）求证：AM∥平面PBC；（2）求证：平面PBC⊥平面PCD．【解答】证明：（1）取CP的中点N，连接MN．∵M，N分别是PD，PC的中点，∴MN∥CD，MN＝CD，∵AB∥CD，AB＝CD，∴AB∥MN，AB＝MN．∴四边形ABNM是平行四边形，∴AM∥BN，又AM⊄平面PBC，BN⊂平面PBC，∴AM∥平面PBC．（2）∵CD⊥平面P AD，AM⊂平面P AD，∴AM⊥CD，∵AP＝AD，M是PD的中点，∴AM⊥PD，又PD∩CD＝D，∴AM⊥平面PCD，由（1）可知AM∥BN，∴BN⊥平面PCD，又BN⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PCD．【点评】本题考查了线面平行的判定，面面垂直的判定，属于中档题．16．（14分）如图在平面直角坐标系xOy中，点P，Q是以AB为直径的上半圆弧上两点（点P在Q有右侧），点O为半圆的圆心，已知AB＝2，∠BOP＝θ，∠POQ＝α．（1）若点P的横坐标为，点Q的纵坐标为，求cosα的值；（2）若PQ＝1，求的取值范围．【解答】解：（1）依题意有，半圆O的半径为1，点P的横坐标为，点Q的纵坐标为，点P在y轴上方，所以cosθ＝，sin（θ+α）＝，所以sinθ＝＝，cos（θ+α）＝＝，因为点Q在点P的左侧，所以cos（θ+α），所以cos（θ+α）＝﹣，故cosα＝cos[（θ+α）﹣θ]＝cos（θ+α）cosθ+sin（θ+α）sinθ＝．（2）因为PQ＝1，所以△POQ为正三角形，所以，所以P（cosθ，sinθ），Q（cos（），sin（）），又A（﹣1，0），B（1，0），所以＝[cos（）+1]（cosθ﹣1）+sin（）sinθ＝＝sin（）﹣，其中θ∈[0，]，又θ∈[0，]，所以，]，所以sin（）﹣∈[0，]，所以∈[0，]．【点评】本题考查了三角函数辅助角公式、平面向量数量积的性质及其运算，属难度较大的题型17．（14分）在平面直角坐标系xOy中点，点A，F分别是椭圆C：＝1（a＞b＞0）左顶点，右焦点，椭圆C的右准线与x轴相交于点Q，已知右焦点F恰为AQ的中点，且椭圆C的焦距为2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过右焦点F的直线l与椭圆C相交于M，N，记直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，若k1+k2＝﹣1，求直线l的方程．【解答】解：（1）依题意，A（﹣a，0），F（c，0），Q（，0），∵F是AQ的中点，∴，又2c＝2，得c＝1，代入上式可得：a＝2或a＝﹣1（舍）．∴b2＝a2﹣c2＝3，则椭圆C的标准方程为；（2）设直线MN的方程为x＝my+1，M（my1+1，y1），N（my2+1，y2），联立，整理得：（3m2+4）y2+6my﹣9＝0．，．∴＝＝＝，又k1+k2＝﹣1，∴﹣m＝﹣1，即m＝1．∴直线l的方程为x＝y+1，即x﹣y﹣1＝0．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．18．（14分）如图，矩形ABCD是某生态农庄的一块植物栽培基地的平面图，现欲修一条笔直的小路MN（宽度不计）经过该矩形区域，其中MN都在矩形ABCD的边界上，已知AB＝8，AD＝6（单位：百米），小路MN将矩形ABCD分成面积为S1，S2（单位：平方百米）的两部分，其中S1≤S2，且点A在面积为S1的区域内，记小路MN的长为l百米．（1）若l＝4，求S1的最大值；（2）若S2＝2S1，求l的取值范围．【解答】解：由题意，折痕有下列三种情形：①折痕的端点M，N分别在边AB，AD上；②折痕的端点M，N分别在边AB，CD上；③折痕的端点M，N分别在边AD，BC上．（1）在情形②③中，MN≥6．故当l＝4时，折痕必定是情形①．设AM＝xcm，AN＝ycm．则x2+y2＝16≥2xy，可得xy≤8，当且仅当x＝y＝2时取等号．∴S＝xy≤4，此时最大值为4．（2）由长方形的面积S＝6×8＝48．S2＝2S1，∴S2＝32，S1＝16．（i）当折痕是情形①时．设AM＝xcm，AN＝ycm，可得xy＝16，即y＝．由0≤x≤8，6，可得：≤x≤8．∴l＝＝，≤x≤8．令t＝x2，则≤t≤64．设g（t）＝，g′（t）＝1﹣，令g′（t）＝1﹣＝0，解得t＝32．g（t）min＝g（32）＝64．又g（）＝64，g（64）＝80．∴g（t）∈[64，80]．∴l∈[8，4]．（ii）当折痕是情形②时．设AM＝xcm，DN＝ycm，可得（x+y）×6＝16，即y＝﹣x．由0≤x≤8，0≤﹣x≤8，可得：0≤x≤．∴l＝＝∈．（iii）当折痕是情形③时．设BN＝xcm，AM＝ycm，可得（x+y）×8＝16，即y＝x﹣4．由0≤x≤8，0≤4﹣x≤6，可得：0≤x≤4．∴l＝＝∈[8，4]．综上可得：l∈[6，4]．【点评】本题考查了勾股定理、利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19．（16分）已知函数f（x）＝e x﹣mx，x∈R，其导函数为f'（x）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若x＞0，关于x的不等式f（x）≥x2+1恒成立，求实数m的取值范围；（3）若函数f（x）有两个零点x1，x2，求证：f'（x1）+f'（x2）＞0．【解答】解：（1）依題意，f（x）＝e x﹣mx，x∈R，f′（x）＝e x﹣m．①若m≤0，则f′（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增，②若m＞0，令f′（x）＝0，得x＝lnm．当x＜lnm时，f′（x）＜0，函数f（x）在（﹣∞，lnm）上单调递减，当x＞lnm时，f′（x）＞0，函数f′（x）＞0，在（lnm，+∞）上单调递增，综上当m≤0时，函数f（x）在R上单调递增，当m＞0吋，函数f（x）在（﹣∞，lnm）上单调递减，在（lnm，+∞）上单调递增．（2）依題意，当x＞0肘，e x﹣mx≥x2+1恒成立，即m≤﹣x﹣対任意実数x＞0恒成立．令g（x）＝﹣x﹣，x＞0．则g′（x）＝﹣1+＝＝，由（1）可知，当m＝1肘，f（x）＝e x﹣x在（0，+∞）上单调递增，故f（x）＞f（0）＝1，即e x﹣x＞l，得e x﹣x﹣l＞0．所以方程g′（x）＝0有唯一解x＝l，且当0＜x＜1吋，g'（x）＜0，g（x）在（0，1）上单调递减，．当x＞1吋，g'（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上单调递增．所以g（x）min＝g（1）＝e﹣2，所以m≤e﹣2．（3）∵x1，x2是f（x）＝e x﹣mx的两个零点，∴＝mx1，＝mx2，故m＝，故f′（x1）+f′（x2）＝﹣m+﹣m＝+﹣2m＝+﹣2•．要证：f′（x1）+f′（x2）＞0，即证：+﹣2•＞0，不妨没x1＞x2即证：（x1﹣x2）（+）﹣2（﹣）＞0，即证（x1﹣x2）（+1 ）﹣2（﹣1）＞0令h（t）＝t（e t+1）﹣2（e t﹣1），即h′（t）＝（t﹣1）e t+1令φ（t）＝h′（t）＝（t﹣1）e t+1，t＞0，所以φ′（t）＝te t＞0，φ（t）＝h′（t）在（0，+∞）上单调递增，故φ（t）＞φ（0）＝0，即h′（t）＞0，所以h（t）在（0，+∞）上单调递增，所以h（t）＞h（0）＝0，即t（e t+1）﹣2（e t﹣1）＞0对任意实数t＞0恒成立．又x1﹣x2＞0，所以（x1﹣x2）（+）﹣2（﹣）＞0，得证．【点评】本题主要考查导数的综合应用，结合函数单调性，最值与导数之间的关系，进行转化，利用构造函数研究函数的最值和单调性是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．20．（18分）已知数列{a n}的前n项和为S n满足2S n﹣na n＝n．（1）求证：数列{a n}是等差数列；（2）若数列{a n}的公差d＞0，设，求证：存在唯一的正整数n，使得a n+1≤b n＜a n+2；（3）若a2＝2，设，求证：数列{c n}中任意一项都可以表示成其他两项的乘积．【解答】证明：（1）∵2S n﹣na n＝n，∴2S n+1﹣（n+1）a n+1＝n+1，相减可得：na n﹣（n ﹣1）a n+1＝1，n≥2时，（n﹣1）a n﹣1﹣（n﹣2）a n＝1，相减可得：2a n＝a n﹣1+a n+1，∴数列{a n}是等差数列．（2）由题意可得：当n＝1时，2S1﹣a1＝1，解得a1＝1．故S n+1＝（n+1）+d，∴＝，若a n+1≤b n＜a n+2；∴1+nd≤＜1+（n+1）d，化为：，解得＜n≤．＞0．∵﹣＝1．故存在唯一的正整数n，使得a n+1≤b n＜a n+2．（3）由（1）可得：数列{a n}是等差数列；又a1＝1，a2＝2，∴公差d＝1，∴a n＝1+n﹣1＝n，∴＝，对于∀n∈N*，设c n＝c k•c l，其中k，l∈∈N*．k≠n，l≠n．故＝•，可得：1+＝（1+）（1+）．∴k＝．取l＝n+1，则k＝n（n+2）．∴数列{c n}中任意一项c n，都存在l＝n+1，k＝n（n+2）．使得c n＝c k•c l．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、数列递推关系、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选做题】本题包括21、22、23、24四个小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）21．已知矩阵，A＝，B＝，若直线l依次经过变换T A，T B后得到直线l'：2x+y ﹣2＝0，求直线l的方程．【解答】解：设点P（x，y）是直线l上的任意一点，其依次经过变换T A，T B后得到点P′（x′，y′）．则有：＝，整理，得：＝．即：．∵点P′（x′，y′）在直线l'上，∴2x′+y′﹣2＝0．可将代入2x′+y′﹣2＝0，得：2（x+4y）+2y﹣2＝0，整理，得：x+5y﹣1＝0．∴直线l的方程为x+5y﹣1＝0．【点评】本题主要考查一条直线经过一定的变换得到对应的直线，已知其中一条直线方程求另一条直线方程，本题可通过设对应点和变换对应的矩阵找到两个点的坐标的关系表达式来求出．本题属基础题．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为：ρ＝4cosθ，若直线l 与圆C有公共点，求实数a的取值范围．【解答】解：直线l：消去参数t，可得直线l的普通方程为x﹣﹣a＝0，圆C：ρ＝4cosθ，x2+y2﹣4x＝0，即（x﹣2）2+y2＝4，所以圆C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2＝4，圆心C（2，0），半径r＝2，又直线l与圆C有公共点，所以≤2，解得﹣2≤a≤6，所以实数a的取值范围是[﹣2，6]．【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23．在平面直角坐标系xOy中，已知点M（﹣1，0），F（1，0），若动点P满足＝2||．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F的直线l与轨迹C相交于A，B，与y轴相交于Q，若＝，＝，求证：λ+μ为定值．【解答】解：（1）设动点P（x，y），则＝（x+1，y），＝（2，0），||＝，因为＝2||，所以2（x+1）＝2，整理得：y2＝4x，故动点P的轨迹C的方程为：y2＝4x（2）证明：设Q（0，t），A（，y1），B（，y2），其中y1≠y2，依题意有A，F，B三点共线，则，又＝（1﹣，﹣y1），B（1﹣，﹣y2），则有y1y2＝﹣4，又＝，所以λ＝＝，同理μ＝，故λ+μ＝+＝+＝﹣1，故λ+μ为定值【点评】本题考查了平面向量的性质及其运算及曲线的轨迹方程，属中档题24．已知A n＝{x＞0|x＝k1•2+k2•22+…+k n•2n}，其中n∈N*，n≥2，k i∈{﹣1，1}（i＝1，2，…n），记集合A n的所有元素之和为S n．（1）求S2，S3的值；（2）求S n．【解答】解：（1）当n＝2时，A2＝{x＞0|x＝2k1+4k2}＝{2，6}，所以S2＝2+6＝8，当n＝3时，A3＝{x＞0|}x＝k1•2+k2•22+k3•23}＝{2，6，10，14}，所以S3＝2+6+10+14＝32．（2）若k n＝﹣1，且k1＝k2＝……＝k n﹣1＝1，n∈N*，则x＝2+22+……+2n﹣1﹣2n＝＝﹣2＜0，此时x∉A n．所以k n必然为1，且当k1＝k2＝……＝k n﹣1＝﹣1，n≥2，n∈N*时，x＝﹣2﹣22﹣……﹣2n﹣1+2n＝﹣＞0，此时x∈A n，根据乘法原理，使得k i＝﹣1（i＝1，2，3，…n﹣1．n∈N*）的2i共有＝2n﹣1个，使得k i＝1（i＝1，2，3，…n﹣1．n∈N*）的2i共有＝2n﹣1个，所以S n中的所有（i＝1，2，3，…n﹣1．n∈N*）项的和为0，又因为使得k n＝1的x有2n﹣1个，所以S n＝2n﹣1×2n＝22n﹣1．【点评】本题考查了数列求和，计数原理等知识，发现最后一项的系数必须为1，是解决本题的关键，然后用计数原理处理前n﹣1项的和，即可求出S n．本题属中档题．。
2019年南通市高考数学一模试卷(含答案)
22． 11 分制乒乓球比赛，每赢一球得 1 分，当某局打成 10:10 平后，每球交换发球权，先多得 2 分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概 率为 0.5，乙发球时甲得分的概率为 0.4，各球的结果相互独立.在某局双方 10:10 平后，甲
先发球，两人又打了 X 个球该局比赛结束. （1）求 P（X=2）； （2）求事件“X=4 且甲获胜”的概率.
D．－1
3．如果 ，那么下列不等式成立的是（ ）
4
2
A． sin cos tan
B． tan sin cos
C． cos sin tan
D． cos tan sin
4．设 i 为虚数单位，则(x＋i)6 的展开式中含 x4 的项为( )
A．－15x4
B．15x4
C．－20ix4
面的任意平面截得的两个截面的面积分别为 S1, S2 ，则“ S1, S2 总相等”是“V1,V2 相等”的
（）
A．充分不必要条件 C．充分必要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
9．函数 f x 的图象如图所示， f x 为函数 f x 的导函数，下列数值排序正确是
（）
A． 0 f 2 f 3 f 3 f 2 B． 0 f 3 f 3 f 2 f 2 C． 0 f 3 f 2 f 3 f 2 D． 0 f 3 f 2 f 2 f 3
14．复数 i 1 i 的实部为 ．
15． ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 b 2 ， c 3， C 2B ，则
ABC 的面积为______．
16．已知样本数据 ， ， ， 的均值 ，则样本数据
，
，，
江苏省南通市2019届高三第一次模拟考试 数学
2019届高三年级第一次模拟考试数 学本试题卷共6页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
参考公式：柱体的体积公式：V 柱体＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为高. 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1. 已知集合A ＝{1，3}，B ＝{0，1}，则集合A ∪B ＝ .2. 已知复数z ＝2i1－i－3i (i 为虚数单位)，则复数z 的模为 .3. 某中学组织学生参加社会实践活动，高二(1)班50名学生参加活动的次数统计如下：则平均每人参加活动的次数为 .4. 如图是一个算法流程图，则输出的b 的值为 .5. 有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为 .6. 已知正四棱柱的底面边长是3 cm ，侧面的对角线长是35cm ，则这个正四棱柱的体积为 cm 3.7. 若实数x ，y 满足x ≤y ≤2x ＋3，则x ＋y 的最小值为 .8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝2px(p>0)的准线为l ，直线l 与双曲线x 24－y 2＝1的两条渐近线分别交于A ，B 两点，AB ＝6，则p 的值为 .9. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝3x ＋t 与曲线y ＝a sin x ＋b cos x(a ，b ，t ∈R )相切于点(0，1)，则(a ＋b )t 的值为 。
2019年如皋市第一中学高考数学选择题专项训练(一模)
2019年如皋市第一中学高考数学选择题专项训练（一模）抽选各地名校试卷，经典试题，有针对性的应对高考数学考点中的难点、重点和常规考点进行强化训练。
第 1 题：来源：湖北省枣阳市2017届高三数学下学期第三次模拟考试试题试卷及答案理若，且为第三象限的角，则的值为（）A． B．C． D．【答案】B第 2 题：来源：江西省赣州市2017届高三第二次模拟考试数学试题(理)含答案如图，是以为圆心、半径为2的圆的内接正方形，是正方形的内接正方形，且分别为的中点．将一枚针随机掷到圆内，用表示事件“针落在正方形内”，表示事件“针落在正方形内”，则（）A．B． C. D．【答案】C第 3 题：来源： 2017_2018学年高中数学第四章圆与方程4.2.1直线与圆的位置关系学业分层测评试卷及答案对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是( )A．相离 B．相切C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心【答案】 C第 4 题：来源：安徽省滁州市定远县育才学校2018_2019学年高二数学上学期期中试题（普通班）理已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当|AB|取最小值时，x的值为( )A． 19 B．C． D．【答案】 C第 5 题：来源：河南省鹤壁市2016_2017学年高二数学下学期第一次月考试题试卷及答案理若方程在上有解，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．∪【答案】A第 6 题：来源：四川省成都市2018届高三数学上学期第三次月考（11月）试题理试卷及答案△ABC中，a．b．c分别为∠A．∠B．∠C的对边，如果a．b．c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b等于（）A． B． C．D．【答案】B第 7 题：来源：重点班2017届高三数学一轮复习阶段检测试题一理试卷及答案二设F1,F2为椭圆+y2=1的左、右焦点,过椭圆中心任作一条直线与椭圆交于P,Q两点,当四边形PF1QF2面积最大时,·的值等于( )(A)0 (B)2 (C)4 (D)-2【答案】D解析:由题意得c==,=2=2××|F1F2|·h(h为F1F2边上的高),所以当h=b=1时,取最大值,此时∠F1PF2=120°,||=||=2.所以·=||||cos 120°=2×2×(-)=-2.故选D.第 8 题：来源： 2019高中数学第一章三角函数单元质量评估（含解析）新人教A版必修4函数f(x)=Asinx(A>0)的图象如图所示,P,Q分别为图象的最高点和最低点,O为坐标原点,若OP⊥OQ,则A= ( )A.3B.C.D.1【答案】B第 9 题：来源：贵州省铜仁市第一中学2018_2019学年高一数学下学期开学考试试题已知函数，若函数有3个零点，则实数m的取值范围（）.A．（0,1）B． C．[1,2) D ． (1, 2)【答案】C第 10 题：来源：甘肃省嘉峪关市2017_2018学年高一数学上学期期中试题试卷及答案下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（）A、B、 C、D、【答案】B第 11 题：来源：黑龙江省大庆实验中学2018_2019学年高二数学10月月考试题理已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方)且AB=2,过点A任作一条直线与圆O:x2+y2=1相交于M、N两点,下列三个结论: ①; ②；③2.其中正确结论的序号是（） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】D第 12 题：来源： 2019高考数学一轮复习第11章复数算法推理与证明第3讲合情推理与演绎推理分层演练文观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( ) A．121 B．123C．231 D．211【答案】B．法一：令an＝an＋bn，则a1＝1，a2＝3，a3＝4，a4＝7，…，得an＋2＝an＋an＋1，从而a6＝18，a7＝29，a8＝47，a9＝76，a10＝123．法二：由a＋b＝1，a2＋b2＝3，得ab＝－1，代入后三个等式中符合，则a10＋b10＝(a5＋b5)2－2a5b5＝123．第 13 题：来源： 2016_2017学年湖北省蕲春县高一数学下学期期中试题试卷及答案如果a＞b＞0，那么下面一定成立的是（）A．a－b＜0 B．ac＞bc C． D．a3＜b3【答案】C第 14 题：来源：辽宁省实验中学分校2016-2017学年高二数学上学期期末考试试题理试卷及答案已知数列中，则（）A． B．C．D．【答案】A第 15 题：来源：江西省崇仁县2017_2018学年高二数学上学期第一次月考试题理试卷及答案如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（）A.3，5 B.5，5 C.3，7 D.5，7【答案】A第 16 题：来源：陕西省西安市第二十五中学2016-2017学年高一数学上学期期末考试试题试卷及答案圆锥过轴的截面是（）A 圆B 等腰三角形C 矩形D 抛物线【答案】B第 17 题：来源：重庆市万州三中2018_2019学年高二数学下学期期中试题理函数的单调递减区间是( ).A.(,+∞)B.(-∞, )C.(0, )D.(e,+∞)【答案】C第 18 题：来源：甘肃省会宁县2017_2018学年高二数学上学期期中试题试卷及答案已知O是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点则的取值范围是( )A．[1,2] B．[0,2] C．(0,3] D．[0,2 ) ( 2,3]【答案】B第 19 题：来源：山东省济南市历城区2016_2017学年高二数学下学期期末考试试题理（含解析）已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ＜0)＝( )A. 0.16B. 0.32C. 0.68D. 0.84【答案】A【解析】考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．分析：由正态分布曲线知，P（ξ≤0）=1-P（ξ≤4）．解答：解：由P（ξ≤4）=P（ξ-2≤2）=P(≤)=0.84．又P（ξ<0）=P（ξ-2≤-2）=P(≤-)=1-P(≤)=0.16．第 20 题：来源： 2017年高考仿真卷•数学试卷含答案(六)理科.已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示,俯视图是边长为2的正三角形,侧视图是有一条直角边为2的直角三角形,则该三棱锥的正视图可能为( )【答案】C 解析由俯视图可知三棱锥的底面是个边长为2的正三角形,由侧视图可知三棱锥的一条侧棱垂直于底面,且其长度为2,故其正视图为高为2的三角形,且中间有一虚线,故选C.第 21 题：来源： 2016_2017学年广西钦州市高新区高一数学下学期期中试题试卷及答案下列说法正确的是( )A．相关关系是一种不确定的关系，回归分析是对相关关系的分析，因此没有实际意义B．独立性检验对分类变量关系的研究没有100%的把握，所以独立性检验研究的结果在实际中也没有多大的实际意义C．相关关系可以对变量的发展趋势进行预报，这种预报可能会是错误的D．独立性检验如果得出的结论有99%的可信度就意味着这个结论一定是正确的【答案】C第 22 题：来源：山东省临沂市蒙阴县实验中学2019届高三数学上学期第二次月考（12月）试题理若直线与圆有公共点，则（）A．B．C．D．【答案】 D第 23 题：来源：吉林省实验中学2018_2019学年高二数学上学期期中试题文若中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是（）A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1【答案】D第 24 题：来源： 2017年成都市九校联考高考数学四模试卷（理科）含答案解析设等差数列{an}满足3a8=5a15，且，Sn为其前n项和，则数列{Sn}的最大项为（）A． B．S24 C．S25 D．S26【答案】C【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】设等差数列{an}的公差为d，由3a8=5a15，利用通项公式化为2a1+49d=0，由，可得d＜0，Sn=na1+d=（n﹣25）2﹣d．利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵3a8=5a15，∴3（a1+7d）=5（a1+14d），化为2a1+49d=0，∵，∴d＜0，∴等差数列{an}单调递减，Sn=na1+d=+d=（n﹣25）2﹣d．∴当n=25时，数列{Sn}取得最大值，第 25 题：来源：湖北省仙桃市2016_2017学年高一数学下学期期中考试试题试卷及答案.已知A为△ABC的一个内角，且，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．不确定【答案】B第 26 题：来源：四川省绵阳市2019届高三数学第二次（1月）诊断性考试试题文（含解析）在复平面内，复数对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】z＝＝－i第 27 题：来源： 2016-2017学年内蒙古集宁一中高二数学上学期期末考试试题试卷及答案理已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是该椭圆上的任意一点，则|PF1|·|PF2|的最大值是( )A．9 B．16 C．25 D.【答案】 C第 28 题：来源： 2019高考数学一轮复习第8章立体几何第1讲空间几何体的结构特征及三视图和直观图分层演练文201809101107若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )【答案】D．A，B的正视图不符合要求，C的俯视图显然不符合要求，故选D．第 29 题：来源：山东省济南市2017_2018学年高二数学上学期开学考试试题试卷及答案已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120°，则△ABC的面积为( )A．9 B．18 C．9 D．18【答案】C第 30 题：来源：湖南省衡阳市2017届高三数学第六次月考试题试卷及答案理（实验班）如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A． B．27π C．27π D．【答案】B第 31 题：来源： 2017年河南省高考数学适应性试卷（理科）含答案解析已知△ABC的三个顶点的坐标为A（0，1），B（1，0），C（0，﹣2），O为坐标原点，动点M满足||=1，则|++的最大值是（）A． B． C．﹣1 D．﹣1【答案】A【考点】平面向量的坐标运算．【分析】设点M的坐标是（x，y），由两点之间的距离公式化简||=1，判断出动点M的轨迹，由向量的坐标运算求出++，表示出|++|并判断几何意义，转化为圆外一点与圆上点的距离最值问题，即可求出答案．【解答】解：设点M的坐标是（x，y），∵C（0，﹣2），且||=1，∴，则x2+（y+2）2=1，即动点M的轨迹是以C为圆心、1为半径的圆，∵A（0，1），B（1，0），∴++=（x+1，y+1），则|++|=，几何意义表示：点M（x，y）与点A（﹣1，﹣1）之间的距离，即圆C上的点与点A（﹣1，﹣1）的距离，∵点A（﹣1，﹣1）在圆C外部，∴|++|的最大值是|AC|+1=+1=，故选A．第 32 题：来源：陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校2019届高三数学3月联考试卷理（含解析）已知集合A＝{1，2，3，6，9}，B＝{3x|x∈A}，C＝{x∈N|3x∈A}，则B∩C＝（）A. {1，2，3}B. {1，6，9}C. {1，6}D. {3}【答案】D【解析】【分析】先分别求出集合A，B，C，由此能求出．【详解】集合2，3，6，，6，9，18，，2，，．故选：D．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．第 33 题：来源：天津市蓟州区马伸桥中学2018_2019学年高一数学12月联考试题若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C．第 34 题：来源：河北省鸡泽县2018届高三数学10月月考试题理试卷及答案、数列对任意满足，且，则等于( )A.24B. 27C.30 D. 32【答案】B第 35 题：来源：广东省天河区普通高中2017_2018学年高一数学10月月考试题试卷及答案05已知两条直线，且，则= （）A．B．C．-3 D．3【答案】 C第 36 题：来源：河北省承德市2017_2018学年高二数学上学期第二次月考试题试卷及答案．执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．﹣10 B．﹣3 C．4 D．5【答案】A第 37 题：来源：黑龙江省哈尔滨市阿城区第二中学2018_2019学年高一数学下学期期中试题在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为己知A=60°，则B=（）A.45°或135° B.135° C.45° D.以上都不对【答案】C第 38 题：来源：云南省昆明市2017_2018学年高一数学9月月考试题已知函数，则该函数的值域为（）A. B. C. {1，3，5，7} D. {1,3,5} 【答案】D第 39 题：来源：重庆市巴蜀中学2018_2019学年高二数学上学期期中复习试题在数列中，若，且对任意正整数、，总有，则的前项和为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】递推关系中，令可得：，即恒成立，据此可知，该数列是一个首项，公差的等差数列，其前项和为：．本题选择C选项．第 40 题：来源：广东省东莞市2016_2017学年高一数学下学期期末教学质量检查试题的值为（）A． B． C． D．【答案】A第 41 题：来源： 2019高考数学一轮复习第2章函数的概念与基本初等函数第3讲函数的奇偶性与周期性分层演练文已知函数f(x)＝3x－，则f(x)( )A．是偶函数，且在R上是增函数B．是奇函数，且在R上是增函数C．是偶函数，且在R上是减函数D．是奇函数，且在R上是减函数【答案】B.由f(－x)＝()x－3x＝－f(x)，知f(x)为奇函数，因为y＝()x在R上是减函数，所以y＝－()x在R上是增函数，又y＝3x在R上是增函数，所以函数f(x)＝3x－()x在R上是增函数，故选B.第 42 题：来源：重庆市2017届高三第二次月考数学试题（理科）含答案甲盒子中装有2个编号分别为1,2的小球，乙盒子中装有3个编号分别为1,2,3的小球，从甲、乙两个盒子中各随机取一个小球，则取出的两个小球的编号之和为奇数的概率为（）A. B. C. D.【答案】B第 43 题：来源：吉林省乾安县2017_2018学年高二数学上学期期中试题理试卷及答案在等差数列{an}中，已知a3=0，a1=4，则公差d等于（）A．1 B． C．﹣2 D．3【答案】C第 44 题：来源：陕西省西安市2017_2018学年高一数学上学期期末考试试题一条直线经过点 ,被圆截得的弦长等于8,这条直线的方程为( ).A． B．C．D．【答案】D第 45 题：来源：安徽省滁州市定远县育才学校2018_2019学年高二数学下学期期末考试试题（普通班）理已知命题:R，使得是幂函数，且在上单调递增．命题：“R，”的否定是“R，”，则下列命题为真命题的是（）A. B. C.D.【答案】C第 46 题：来源：山东省济南市2018届高三数学上学期12月考试试题理试卷及答案原命题：“，为两个实数，若，则，中至少有一个不小于1”，下列说法错误的是（）A．逆命题为：若，中至少有一个不小于1，则，为假命题B．否命题为：若，则，都小于1，为假命题C．逆否命题为：若，都小于1，则，为真命题D．“”是“，中至少有一个不小于1”的必要不充分条件【答案】A第 47 题：来源：重庆市九校联盟2019届高三数学12月联考试题理已知p：x2-(3+a)x+3a＜0，其中a＜3；q：x2+4x-5＞0．（1）若p是¬q的必要不充分条件，求实数a的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】解：（1）因为x2-(3+a)x+3a＜0，a＜3，所以a＜x＜3，记A＝(a，3)，又因为x2+4x-5＞0，所以x＜-5或x＞1，记B＝(-∞，-5)∪(1，+∞)，又p是¬q的必要不充分条件，所以有¬q⇒p，且p推不出¬q，所以⫋A，即[-5，1]⫋(a，3)，所以实数a的取值范围是a∈(-∞，-5)．（2）因为p是q的充分不必要条件，则有p⇒q，且q推不出p，所以A⫋B，所以有(a，3)⫋(-∞，-5)∪(1，+∞)，即a≥1，所以实数a的取值范围是a∈[1，3)．第 48 题：来源：四川省成都市郫都区2017_2018学年高二数学上学期第一次月考试题试卷及答案理当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒过的定点是A．(2,3) B．C．(－2,3) D．(－2,0)【答案】C第 49 题：来源： 2016_2017学年河北省张家口市高一数学下学期期中试题（衔接班）试卷及答案理把８８化为五进制数是（）A、３２４（５）B、３２３（５）C、２３３（５）D、３３２（５）【答案】B第 50 题：来源：陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校2019届高三数学3月联考试卷理（含解析）1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式eix＝cosx+isinx，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e2i表示的复数所对应的点在复平面中位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】由已知可得，再由三角函数的象限符号得答案．【详解】由题意可得，，，，，则表示的复数所对应的点在复平面中位于第二象限．故选：B．【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．。
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2019年江苏省南通市如皋市高考数学一模试卷参考公式样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n ∑i ＝1n (x i －x )2，其中x ＝1n ∑i ＝1n x i .棱柱的体积V ＝Sh ，其中S 是棱柱的底面积，h 是高． 棱锥的体积V ＝13Sh ，其中S 是棱锥的底面积，h 是高．一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1.设复数z a b =+i (,∈a b R,i 为虚数单位），若(43z =+i)i ，则ab 的值是 ．2.已知集合{}{}|0,|2U x x A x x =>=≥，则U A =ð ．3. 某人随机播放甲、乙、丙、丁4首歌曲中的2首，则甲、乙2首歌曲至少有1首被播放的概率是 ．4. 如图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 ．5.为调査某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本，其中大一年级抽取200人，大二年级抽取100人.若其他年级共有学生3000人，则该校学生总人数是 ．6.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公差52,10d a ==，则10S的值是 ．7.在锐角ABC ∆中，3,4AB AC ==，若ABC ∆的面积为BC 的长是 ．8.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()22210x y a a-=>经过抛物线28y x =的焦点，则该双曲线的离心率是 ． 9. 已知圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为23π的扇形，则这个圆锥的高为 ．10.若直线2y x b =+为曲线x y e x =+的一条切线，则实数b 的值是 ． 11.若正实数,x y 满足1x y +=，则4y x y+的最小值是 ． 12.如图，在直角梯形ABCD 中，//,90,3,2AB DC ABC AB BC DC ∠====，若,E F 分别是线段DC 和BC 上的动点，则AC EF ⋅的取值范围是 ．13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,2A -，点()1,1,B P -为圆222x y +=上一动点，则PBPA的最大值是 ． 14.已知函数()3,3,x x af x x x x a ≥⎧=⎨-<⎩若函数()()2g x f x ax =-恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ．二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)在等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，b 4＝8，{a n }的前10项和S 10＝55.(1)求a n 和b n ；(2)现分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．16．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝－2sin[2x ＋π4]＋6sin x cos x －2cos 2x ＋1，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值． 17．(本小题满分14分)如图3，四棱锥E -ABCD 中，EA ＝EB ，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝2CD .图3(1)求证：AB ⊥ED ；(2)线段EA 上是否存在点F ，使DF ∥平面BCE ？若存在，求出EFEA 的值；若不存在，说明理由．18．(本小题满分16分)某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y (单位：kg)与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示：图41米． (1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量：(2)的概率． 19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝13x 3－ax ＋1. (1)求x ＝1时，f (x )取得极值，求a 的值； (2)求f (x )在[0,1]上的最小值；(3)若对任意m ∈R ，直线y ＝－x ＋m 都不是曲线y ＝f (x )的切线，求a 的取值范围．20．(本小题满分16分)已知点P (4,4)，圆C ：(x －m )2＋y 2＝5(m ＜3)与椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)有一个公共点A (3,1)，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 1与圆C 相切．(1)求m 的值与椭圆E 的方程；(2)设Q 为椭圆E 上的一个动点，求AP →·AQ →的取值范围．图52019年江苏省南通市如皋市高考数学一模试卷参考公式样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n∑i ＝1n (x i －x )2，其中x ＝1n ∑i ＝1n x i .棱柱的体积V ＝Sh ，其中S 是棱柱的底面积，h 是高． 棱锥的体积V ＝13Sh ，其中S 是棱锥的底面积，h 是高．一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1．12- 2.{}|02x x << 3.564.35.75006.11029.1 11.8 12：[]4,6-13.2 14.3,22⎛⎫- ⎪⎝⎭二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)在等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，b 4＝8，{a n }的前10项和S 10＝55.(1)求a n 和b n ；(2)现分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．[解] (1)设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q .依题意得S 10＝10＋10×92d ＝55，b 4＝q 3＝8， 4分解得d ＝1，q ＝2， 所以a n ＝n ，b n ＝2n －1.6分 (2)分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4). 12分两项值相等的基本事件有2个：(1,1)，(2,2)． 故所求的概率P ＝29.14分16．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝－2sin2x ＋⎭⎪⎫π4＋6sin x cos x －2cos 2x＋1，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．[解] (1)f (x )＝－2sin 2x ·cos π4－2cos 2x ·sin π4＋3sin 2x －cos 2x ＝2sin 2x －2cos 2x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.4分所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 6分(2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8上是增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2上是减函数， 10分 又f (0)＝－2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝2 2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2，故函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为22，最小值为－2.14分17．(本小题满分14分)如图3，四棱锥E -ABCD 中，EA ＝EB ，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝2CD .图3(1)求证：AB ⊥ED ；(2)线段EA 上是否存在点F ，使DF ∥平面BCE ？若存在，求出EFEA 的值；若不存在，说明理由．[解] (1)证明：取AB 中点O ，连结EO ，DO . ∵EA ＝EB ，∴EO ⊥AB .∵AB ∥CD ，AB ＝2CD ， ∴BO ∥CD ，BO ＝CD .4分又AB ⊥BC ，∴四边形OBCD 为矩形， ∴AB ⊥DO .∵EO∩DO＝O，∴AB⊥平面EOD.∴AB⊥ED. 6分(2)存在点F，当F满足EFEA＝12，即F为EA中点时，有DF∥平面BCE.理由如下：取EB中点G，连结CG，FG，DF.∵F为EA中点，∴FG∥AB，FG＝12AB. 10分∵AB∥CD，CD＝12AB，∴FG∥CD，FG＝CD.∴四边形CDFG是平行四边形，∴DF∥CG.∵DF⊄平面BCE，CG⊂平面BCE，∴DF∥平面BCE. 14分18．(本小题满分16分)某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：图41米．(1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量：(2)的概率．[解](1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株，列表如下：所种作物的平均年收获量为51×2＋48×4＋45×6＋42×315＝102＋192＋270＋12615＝69015＝46. 8分(2)由(1)知，P(Y＝51)＝215，P(Y＝48)＝415. 12分故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg的概率为P(Y≥48)＝P(Y＝51)＋P(Y＝48)＝215＋415＝25. 16分19．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝13x3－ax＋1.(1)求x＝1时，f(x)取得极值，求a的值；(2)求f(x)在[0,1]上的最小值；(3)若对任意m∈R，直线y＝－x＋m都不是曲线y＝f(x)的切线，求a的取值范围．[解](1)因为f′(x)＝x2－a，2分当x＝1时，f(x)取得极值，所以f′(1)＝1－a＝0，a＝1. 4分又当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)在x＝1处取得极小值，即a＝1符合题意. 6分(2)当a≤0时，f′(x)＞0对x∈(0,1)成立，所以f(x)在[0,1]上单调递增，f(x)在x＝0处取最小值f(0)＝1，8分当a＞0时，令f′(x)＝x2－a＝0，x1＝－a，x2＝a，当0＜a＜1时，a＜1，x∈(0，a)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，x∈(a，1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以f(x)在x＝a处取得最小值f(a)＝1－2a a 3.当a≥1时，a≥1，x ∈[0,1]时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，所以f (x )在x ＝1处取得最小值f (1)＝43－a . 10分 综上所述，当a ≤0时，f (x )在x ＝0处取最小值f (0)＝1；当0＜a ＜1时，f (x )在x ＝a 处取得最小值f (a )＝1－2a a3； 当a ≥1时，f (x )在x ＝1处取得最小值f (1)＝43－a . 12分(3)因为∀m ∈R ，直线y ＝－x ＋m 都不是曲线y ＝f (x )的切线，所以f ′(x )＝x 2－a ≠－1对x ∈R 成立，只要f ′(x )＝x 2－a 的最小值大于－1即可， 而f ′(x )＝x 2－a 的最小值为f (0)＝－a ， 14分 所以－a ＞－1，即a ＜1.所以a 的取值范围是(－∞，－1). 16分20．(本小题满分16分)已知点P (4,4)，圆C ：(x －m )2＋y 2＝5(m ＜3)与椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)有一个公共点A (3,1)，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF 1与圆C 相切．(1)求m 的值与椭圆E 的方程；(2)设Q 为椭圆E 上的一个动点，求AP →·AQ →的取值范围．图5[解] (1)点A 代入圆C 方程，得(3－m )2＋1＝5. ∵m ＜3，∴m ＝1. 圆C ：(x －1)2＋y 2＝5.2分设直线PF 1的斜率为k ，则PF 1：y ＝k (x －4)＋4， 即kx －y －4k ＋4＝0.∵直线PF 1与圆C 相切， ∴|k －0－4k ＋4|k 2＋1＝ 5.4分解得k ＝112，或k ＝12.当k ＝112时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为3611，不合题意，舍去． 当k ＝12时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为－4， ∴c ＝4.F 1(－4,0)，F 2(4,0)．2a ＝AF 1＋AF 2＝52＋2＝62，a ＝32，a 2＝18，b 2＝2. 椭圆E 的方程为x 218＋y 22＝1.8分(2)AP →＝(1,3)，设Q (x ，y )，AQ →＝(x －3，y －1)， AP →·AQ →＝(x －3)＋3(y －1)＝x ＋3y －6. ∵x 218＋y 22＝1，即x 2＋(3y )2＝18， 而x 2＋(3y )2≥2|x |·|3y |， ∴－18≤6xy ≤18.12分则(x ＋3y )2＝x 2＋(3y )2＋6xy ＝18＋6xy 的取值范围是[0,36]． x ＋3y 的取值范围是[－6,6]．∴AP →·AQ →＝x ＋3y －6的取值范围是[－12,0]. 16分。