电磁场与电磁波-第2章静电场

dr rd
Er
E
p q4dc0 o r 2s4p0 e rr2
p表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。
将 E 和 E r代入上式， 解得Ｅ线方程为
r D sin
E p 4 q 0r 3(2co ers sie n )
图1.2.3 电偶极子的等位线和电力线
电力线与等位线（面）的性质： • E线不能相交; • E线起始于正电荷，终止于负电荷; • E线愈密处，场强愈大; • E线与等位线（面）正交；
Ex Ey dx dy
Ez dz
微分方程的解即为电力线
E 的方程。
• 在静电场中电位相等的点的曲面称为等位面，即 等位线(面)方程:
(x,y,z)C
当取不同的 C 值时，可得到不同的等位线（面）。
例2.1.6 画出电偶极子的等位线和电力线(r d) 。
在球坐标系中：
r1 r2
p4q0(r 1 1r1 2)4q0r2 r1 r2 r1
第二章 静电场
本章主要讲解电磁场理论基本理论和基本规律。 主要内容包括：
电场强度与电位 高斯定理 静电场基本方程与分界面上的边界条件 电磁场的边值问题与唯一性定理
分离变量法 有限差分法 镜像法和电轴法
电容和部分电容 静电能量与静电力
2.1 电场强度与电位
2.1.1 电场强度
库仑定律是静电现象的基本实验定律。大量试验表明: 真空中两个静止
dEr
s ds 40
1 R2
cos
式中：dsadasind s
Q
4 a 2
ds y
x
cosracos
R
Ra2sin2(racos)2
dE r4 s0ra R c 3 osa2sindd
E r s d E r
s a 2
2
d
r a cos sin d
4 0 0
0
R3
Ep(r)qFt 4q0r2er
Hale Waihona Puke Baidu
V/m
Ep(r)q Ft 40q rr'2rr rr''
q(
4
r
0
r' ) r r' 3
源点与场点坐标的矢量表示
q
4 0R2
eR
V/m
2.1.2 叠加积分法计算电场强度
b) n个点电荷产生的电场强度 (注意:矢量叠加)
E (r) 4 1 0k N 1r q r k k '2r r r r k k '' 4 1 0k N 1R q k k 2 e k
＝
s a2 2 0
0
r a cos R3
sin d
……
Q 4 0r 2
结果分析
导体球上电荷均匀分布在导体表面，其在球外空间中产生的 电场分布与位于球心的相同电量点电荷产生的电场等效。
2.1.3 电位
将一个单位正实验室点电荷在静电场中沿某一路径L从A点移动到B点，电场力做的功
如果电场由点电荷q单独产生
静电场基本物理量——电场强度
定义：
lim E (x,y,z)
F(x,y,z)
qt 0
qt
V/m
(N/C)
电场强度（Electric Field Intensity ) E 表示单位正电荷在电场中所受到 的力(F ), 它是空间坐标的矢量函数, 定义式给出了E 的大小、方向与单位。 a) 点电荷产生的电场强度
r 1 (r2 d 4 2 rc do )2 1 ， s r 2 (r2 d 4 2 rc do )2 1s
图1.2.2 电偶极子
用二项式展开，又有 rd，得
等位线方程（球坐标系）：
p cos 40r 2
C， r C'
cos
r1
r
d 2
co
s
代入上式，得
r2
r
d 2
co
s
电力线微分方程（球坐标系）：
2.2.2 静电场中的电介质
无极性分子
电介质的极化
有极性分子
• 电介质在外电场E作用下发生极化，形成有向排列的电偶极矩； • 电介质内部和表面产生极化电荷； • 极化电荷与自由电荷都是产生电场的源。
用极化强度P表示电介质的极化程度，即
P
lim
2.1.4 叠加积分法计算电位
为点电荷，
为体积电荷分布，
为面电荷分布，
注意：选取电位参考点时不能使积分发散。
为线电荷分布
2.1.5 电力线和等位面（线）
• E 线：曲线上每一点切线方向应与该点电场强度E的方向一致，若 E 矢量将与 方向一致，
是电力线的长度元，
故电力线微分方程
E dl 0
在直角坐标系中：
如果是一个闭合路径，则W=0 电场强度的环路线积分恒为零，即
应用斯托克斯定理
因此，静电场的电场强度 可以用一个标量函数 的梯度来表示，即定义
单位正实验电荷在电场中移动电场力做功
两点间的电位差定义为两点间的电压U，即
单位：V
电位函数不唯一确定，取
故可选空间某点Q作为电位参考点，空间任一点P的电位为 通常选取无限远作为电位参考点，则任一P点的电位为
线电荷分布 dq(r')d'l
E(r)410 l'
(r' )d'l
R2 eR
例：求真空中半径为a，带电量为Q的导体球在球外空间中产生E。
由球体的对称性分析可知：
z
❖电场方向沿半径方向：
P (r,0,0)
❖电场大小只与场点距离球心的距离相关。
r R
解：在球面上取面元ds，该面元在P点处
产生的电场径向分量为：
的点电荷 q 1 与 q 2 之间的相互作用力:
F21
q1q2
4 0
e12 R2
F12
q1q2
4 0
e21 R2
N( 牛顿) N( 牛顿)
F21F12
适用条件
• 两个可视为点电荷的带电体之间相互作用力;
• 无限大真空情况 (式中 0 1306 9 8.851012 F/m)
可推广到无限大各向同性均匀介质中
图1.2.4 点电荷与接地导体的电场 图1.2.5 点电荷与不接地导体的电场
图1.2.6 均匀场中放进了介质球的电场
图1.2.7 均匀场中放进了导体球的电场
图1.2.8 点电荷位于一块介质上方的电场
图1.2.9 点电荷位于一块导平面上方的电场
2.2.1 静电场中的导体
2.2 高斯定理
（1）导体内部任何一点处的电场强度为零； （2）导体表面处电场强度的方向，都与导体表面垂直； （3）导体为等位体，导体表面为等位面； （4）电荷只能分布在导体表面上。
c) 连续分布电荷产生的电场强度
dE (r)410rrrr''3d(qr' )
体电荷分布 dq(r' )dV '
图2.1.2 体电荷的电场
面电荷分布
dq(r')d's
1 (r' )d's
E(r)40 s' R2 eR
E(r)410 V' rrrr''3dq 410 v' (rR'2)d'veR