动量与角动量分析

分量式： 在有限时间内：
dpx mivix Fxdt
i
dpy miviy Fydt
i
dpz miviz Fzdt
i
t
p
i t0 Fidt i Ii p0 dp p p0
表明：在 t0 到 t 这段时间内，作用在质点系上所有 外力的冲量的矢量和等于质点系在同一时间内动量
求：子弹穿过后，两木块分别以多大速度运动？
解：子弹穿过第一块木块时， 两木块速度相同，均为v1，
Ft1 (m1 m2 )v1
子弹穿过第二块木块时，第 二块木块速度为v2，
Ft2 m2v2 m2v1
v1
Ft1 m1 m2
,
v2
Ft1 m1 m2
Ft2 m2
注：子弹对木块的推 力是木块对子弹的阻 力的反作用力。
解：以整个绳索为研究对象，它
v0
共受到三个力的作用：重力 G、
x
台面支持力 N 和手的提力 F。在
这三个力的共同作用下，系统的
动量在不断的变化。
在 t 时刻，当绳索提高 x 时系统的动量为：
p
m l
xv0
m l
(l
x) 0
m l
xv0
在 t + dt 时刻，绳索提起 x + dx，系统的动量为：
m qm t
f y t
f t
fx qmv f y qmv0 qm 2gh
fx t
f
f
2 x
f
2 y
149N
arctan f y 57.4
fx
解2：设 t 时刻传送带上煤粉的质量为M，在此后t 时间内将有m的煤粉落在传送带上。取 M m 为
研究对象，则t 时刻系统总动量在水平方向的分量为
( p1
p2 )
f12 f21 0 牛顿第三定律
推广至任意多个质点所组成的质点系：
d
i Fi dt i pi
F dp dt
质点系的牛顿第二定律的微分形式—系统的总动量 随时间的变化率等于该系统所受的合外力。
Fdt dp
表明：质点系所受合外力的冲量等于系统总动量的 增量。这就是质点系动量定理的微分形式。
质点系的运动方程，是质点系内各个质点的运动方 程的集合。 质点系的总动量，是质点系内各个质点的动量的矢 量和。
以两个质点组成的系统为研究对象：
根据牛顿第二定律（微分 形式）：
F1
f12
dp1 dt
F2
f 21
dp2 dt
对于质点 m1 和 m2 组成的系统：
F1 F2
dp1 dt
dp2 dt
d dt
3.3 动量守恒定律
若系统所受合外力为零，即 Fi 0 ，则：
i
dP 0 dt
Hale Waihona Puke Baidu
P const.
即：
Pi mivi const.
i
i
动量守恒定律：当一个质点系所受的合外力为零时， 这一质点系的总动量就保持不变。
讨论： 1. 合外力为零，或外力与内力相比小很多；
例如：碰撞、爆炸等 （F内 >> F外），内力很大，重力等 外力就可以忽略，认为系统的总动量是守恒的 。
运用动量定理解题时应注意： 1. 找准研究对象（质点 or 质点系） 2. 写出研究对象的初，末动量的表达式 3. 分清外力和内力，并找到真正起作用的外力。
例3-2-3 长为 l、质量为 m 的柔软绳盘在水平面上。 用手将绳的一端以恒定速率 v0 向上提起，求当提起 高度为 x 时手的提力。
分析：由于被提起的绳的质量是随提起的高度变化的，在 t 时 刻到 t +Δt 时刻系统动量有变化，根据动量定理，可求出手的 提力。
2mvcos 沿着 x 轴的正向
mv1
x
mv2
y
例3：逆风行船
p1
p2
V
p
v
f
f’
f||
v1
f m
V
龙骨
v2
思考：能否实现“顶风行船” 假设帆面光滑：v1 = v2
3.2 质点系的动量定理
质点系：由有相互作用的若干个质点组成的系统。 其中每个质点的运动都遵从牛顿运动定律。
内力：系统内各质点间的彼此施加的相互作用力； 外力：系统以外的其他物体对系统内任意质点的作用力。
(1) 谁先走到木桩处？(2) 他用了多少时间？
解： (1) 选船及甲、乙两人为 研究系统，因为系统水平方向 不受外力，故在此方向上动量 守恒。
m1 x
m2 • •O
令船对地速度为v，m1对地的速度为v1，m2对地的速
度为v2。
由动量守恒：
Mv m1v1 m2v2 0
m1 u
u m2
v1 v
解：建立如图坐标系, 由动量定理得
mv1
Fxt mv2x mv1x
x
mv cos (mv cos)
2mvcos
mv2
Fyt mv2y mv1y
mvsin α mvsin 0
y
F
Fx
2mv cos
t
14.1N
如直接用动量定理矢量形式，是否会更简洁？。。。
mv2
mv1
p
I p p0
3. 只适用于惯性系；
4. 动量守恒定律比牛顿定律更普遍，是关于自然界的一 切物理过程的一条最基本的定律。
课堂讨论：质量都是 M 的两个冰车，一同静止在光 滑的水平冰面上，一质量为 m 的人从第一个冰车跳到 第二个冰车，再由第二个冰车回到第一个冰车，求两 个冰车的末速度之比。
解：把冰车和人均视为质点，由人和两个冰车所组成 的系统在水平方向上动量守恒，根据动量守恒定律可 知：
px (t) Mv m 0 Mv
t t 时刻系总动量在水平方向的分量为：
px (t t) (M m) v m
N
v0 M
v
由动量定理可知：
fxt px (t t) px (t) m v
Mg
fx
m t
v
qmv
f yt mv0 qmv0
例3-2-2 一颗子弹水平的穿过并排放置在光滑水平桌面的木块， 以知两个木块的质量分别为 m1 和 m2，子弹穿过它们的时间分 别为 Δt1 和 Δt2，设子弹在木块中所受的阻力恒为F。
积分： 恒力
t
p
Fdt
t0
p0 dp p p0
I F (t t0 ) I p p0 Ft
动量定理的 积分形式
分量表达式：
t
I x t0 Fxdt px px0
t
I y t0 Fydt py py0
t
I z t0 Fzdt pz pz0
表明：质点所受合外力的冲量在某一方向上的分量 等于质点的动量在该方向的分量的增量。
对于传送带静止的煤粉重量）。
分析：以t 时间内落在
传送带上的煤粉m作为
研究对象。
h
A
v
y
v
p 初： p0x 0
v0
p0
p
p0y v0m 末： px vm
x
py 0
解1：煤粉自料斗下落接触传送带前具有竖直向下的 速度
v0 2gh
设传送带对煤粉的平均作用力为 f，由动量定理得：
fxt vm 0, fyt 0 (v0m)
(M m)u1 Mu2 0
u1 M m
u2
M
1
2
例3-3-1 一载人小船静止于湖面上，小船的质量为 100kg，船头到船尾共长3.6m，人的质量为50kg。 试问当人匀速从船尾走到船头时，船将移动多少距 离？假定水的阻力不计。
解：假定船的质量为M，速度为 v，人的质量为 m， 相对于船的速度为 u，其方向应与 v 的方向相反。 选 x 轴沿 v 的方向，则水平方向上的动量守恒， 有：
2. 动量守恒的分量表述 如果质点系沿某坐标轴方向所受合外力为零，则沿该坐标轴 方向的总动量的分量守恒。
在直角坐标系中：
当 Fx = 0 时， mivix px const. i
当 Fy = 0 时， miviy py const. i
当 Fz = 0 时， miviz pz const. i
分别是那根线先断？
F
（假设拉力大于线能承受的耐力（极限张力））
例1：绳子一端固定，另一端系一质量为 m 的小球，小球 以匀角速度ω 绕竖直轴 OO’ 做圆周运动，绳子与竖直轴之 间的夹角为θ，已知 A、B 为圆周直径上的两端点，求小球 由A 点运动到 B 点，绳子的拉力的冲量。
O
分析：应用动量定理。
的增量。这就是质点系动量定理的积分形式。
说明：内力不能改变质点系的动量，只有外力才能 改变质点系的动量。
例3-2-1 如下图所示，用传动带 A 输送煤粉，料斗在 A 上方高 h = 0.5m 处，煤粉自料斗口自由落在A 上。设料斗口连续卸煤 的流量为 qm = 40kg/s，传送带以 v = 2.0m/s 的水平速度匀速向 右移动。求装煤的过程中，煤粉对传送带的作用力（不计相
v2
•
由 v人地 ＝ v人船 + v船地，得：
x
•O
v2 u v, v1 u v
Mv m1(u v) m2 (u v) 0 v m1 m2 u
M m1 m2
因为 m1 > m2 ，故 v > 0，所以船沿x轴的正向运动。
小结
冲量： 1. 冲量是矢量，其方向是由质点动量增量的方向所 决定的。 2. 冲量是一个过程量，表示力在某一段时间内的积 累效果。所以谈及冲量，必须明确是哪一个力在哪段 时间上的冲量。
动量： 1. 动量是矢量，动量的方向就是速度的方向。 2. 动量是一个状态量，具有即时性。
对于一个物理量，如果定义时对应的是某一时刻(某 一瞬时)，则该物理量是状态量，如位矢、速度、动 量、动能等都是状态量。
p
m l
(x
dx)v0
m [l l
(x
dx)] 0
m l
(x
dx)v0
由动量定理：
(F
N
mg)dt
p
p
m l
v0dx
(F
N
mg)
m l
v0
dx dt
v0
dx dt
(F
N
mg)
m l
v02
N 只与剩在台面上的绳索的质量有关，即
N m l xg
l
dx·mg 忽略不计
F
x l
mg
m l
v02
注意：式中第一项是长为 x 的绳索的质量，第二项 是系统动量增加所需要的附加力。
θ
T vB
A
B
vA
ω
W
O’
(T W )t mvB mvA
由于做圆周运动，故 vB vA
mv mvB mvA 2mvB
Tt 2mvB Wt
O
θ T
y x vB
A
B
vA ω
W
O’
Tt 2mvB Wt
t
Tt 2mRi mg j
注意：此题用矢量运算比较简单，若用动量定理 的分量式则颇为麻烦。
Mv m(v u) 0
u
v
上式各项乘上时间 t，得：
Mvt m(v u)t 0
设在 t 时间内人从船尾走到船头，即：ut = l，船 在相同时间内走过的路程为 vt = S，则有：
MS m(S l) 0
故
S ml 503.6 1.2m M m 100 50
课堂练习：质量为M，长为 l 的小船静止于河中，小船 的两头分别站着质量为 m1 和 m2 ( m1 > m2 ) 的人，他们 同时相对于船以相同的速率 u 走向开始位于船正中， 但固定在河中的木桩。若忽略水对船的阻力作用，试 问：
第三章 动量与角动量
本章研究力作用在物体上的时间积累效果，也就是力 作用在物体上一段时间以后对物体运动状态的影响。
本章要求：
1. 掌握动量定理、角动量定理，并能运用它们解决 相关的力学问题。
2. 理解质心的概念及质心运动定理。 3. 理解动量守恒定律和角动量守恒定律的内容及物
理意义，了解应用这两个定律的条件，并能够运 用它们解决有关的力学问题。
在p 一定时，t 越小，则 F 越大。
例如：人从高处跳下、飞机与鸟相撞、打桩等碰撞 事件中，作用时间很短，冲力很大。
例2 一质量为 0.05kg、速率为10m·s-1 的钢球，以与钢 板法线呈45º角的方向撞击在钢板上，并以相同的速率 和角度弹回来。设碰撞时间为0.05s.求在此时间内钢板
所受到的平均冲力 F 。
3.1 冲量 (impulse) 与动量 (momentum) 定理 力是物体运动状态发生变化的原因。
有力 F，作用在质量为 m 的质点上，经过时间 dt。
牛顿第二定律的微分形式 F
Fdt dp
Fdt dp
动量定理的 微分形式
力和力作用时间的乘积，即 力的时间积累称为力的冲量
合外力冲量的方向 应与质点动量的增 量的方向一致
如果定义时对应的是时间间隔，则该物理量是过程量， 如位移、路程、冲量、功等都是过程量。
讨论题：胸口碎大石 重锤猛击
Fdt dp mdv
“迅速打击”和“沉重的石板”是保护石板下的人 不受损伤的关键。
思考题：
两根完全相同的线，用手拉下面的那 根线，
1. 向下猛一扽； 下面的线断而球不动
2. 用力慢慢拉线，上面的线先断
动量定理常常用于处理碰撞问题 碰撞：泛指物体间相互作用时间很短的过程。 冲力：在碰撞过程中的相互作用力
特点：力的大小很大且随时间改变
平均冲力，即 冲力对碰撞时 间的平均值。
t
Fdt
F t0 t t0
F p p0 t t0
F
Fm
F
o
tt10
t
t
注意
F p p0 p t t0 t