北师大版九年级下册数学：圆的内接四边形 (共18张PPT)
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（2013 沈阳）如图，点A、B、C、D都在⊙O上， ∠ABC=90°，AD=3，CD=2，则⊙O的直径的长是 ．
议一议
在得出本节结论的过程中，你用到了哪 些方法？请举例说明，并与同伴进行交流。
方法1：解决问题应该经历“猜想——实验验 证——严密证明”三个基本环节. 方法2：从特殊到一般的研究方法，对特殊图 形进行研究，从而改变特殊性，得出一般图 形，总结一般规律.
=60°,求∠A的度数。
E
解：
∵四边形ABCD是圆内接四边形
D
∴∠ADC+∠CBA=180°
（圆内接四边形的对角互补）
∵∠EDC+∠ADC=180°，
C
∠EBF+∠ABE=180°
O
∴∠EDC+ ∠EBF=180°
A
∵∠EDC=∠F+∠A,∠EBF=∠E+∠A
BF
∴∠F+∠A+∠E+∠A=180°
∴∠A=40°
如图，两个四边形ABCD有什么共同的特点？
D A
D A
C
O
O
B
C
B
四边形ABCD的的四个顶点都在⊙O上，这样
的四边形叫做圆内接四边形； 这个圆叫做四边形的外接圆。
如图，我们发现∠BAD与∠BCD之间有什么关系？
圆内接四边形的对角互补。
D A
O
D A
C
O
B
C
B
几何语句：
∵四边形ABCD为圆内接四边形 ∴∠BAD+∠BCD=180°（圆内接四边形的对角互补）
X= 60°
E A
F
X= 50°
定理 同弧或等弧所对的圆周角相等
新课学习
观察图，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角有
什么特点？你能证明吗？
A
B
O
C
想一想 注意：此处不能直接连接BC，思路是先
保证过点O，再证三点共线。
观察图，圆周角∠BAC=90°，弦BC是直径吗？
为什么？
A
解：弦BC是直径。
连接OC、OB
∠BAD的度数。
方法一：
C
A
解：连接BC ∵AB为直径 ∴∠BCA=90°
D O
（直径所对的圆周角为直角）
B
∴∠BCD+∠DCA=90°，∠ACD=15°
∴∠BCD=90°-15=75°
∴∠BAD=∠BCD=75°（同弧所对的圆周角相
等）
知识技能
2.如图，AB是⊙O的直径，∠C=15°，求 ∠BAD的度数。
方法二：
C
A
解：连接OD ∵∠ACD=15°
D O
∴∠AOD=2∠ACD =30°
B
（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）
∵OA=OD
∴∠OAD=∠ODA
又∵∠AOD+∠OAD+∠ODA=180°
∴∠BAD=75°
知识技能
3.如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组
对边相交于点E，F，若∠E =40°，∠F
想一想
D
如图，∠DCE是圆内接 A
四边形ABCD的一个外角，
∠A与∠DCE的大小有什
么关系？
O
B
C
E
随堂练习
在圆内接四边形ABCD中，∠A与∠C的度 数之比为4:5，求∠C的度数。
知识技能
Hale Waihona Puke Baidu
1.如图，在⊙O中，∠BOD=80°，求∠A和 ∠C的度数。
D
A
O
C
B
知识技能
2.如图，AB是⊙O的直径，∠C=15°，求
随堂练习
如图，⊙O的直径AB=10cm，C为⊙O上的
一点，∠B=30°，求AC的长。 B
O C
A
议一议
如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC为⊙O的
直径，请问∠BAD与∠BCD之间有什么关系？为
什么？ A
D
D A
O
1 O
2
C
B
C
B
如图，C点的位置发生了变化，∠BAD与∠BCD
之间有的关系还成立吗？为什么？
第三章 圆
3.4 圆周角和圆心角的关系（第2课时）
课前复习
1.求图中角X的度数
D C 120°
O.
70° x BC A
X= 35°
.O
X
A
B
X= 120°
定理
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角 的度数的一半
2.求图中角X的度数
x 60°
∠ABF=20°，∠FDE=30°
B 20°
CD x 30°
（2017 锦州）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形 ，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F ，∠DCE=80°，∠F=25°，则∠E的度数为（ ）
A．55° B．50° C．45° D．40°
（2016 葫芦岛）如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点 ，∠C=110°，则∠BOD= 度．
在没找到重新开始的理由前，别给自己太多退却的借口。就在那一瞬间，我仿佛听见了全世界崩溃的声音。因为穷人很多，并且穷人没有钱，所以，他们才会在网络上聊 了答应自己要做的事情，别忘了答应自己要去的地方，无论有多难，有多远。分手后不可以做朋友，因为彼此伤害过；不可以做敌人，因为彼此深爱过，所以只好成了最 只有站在足够的高度才有资格被仰望。渐渐淡忘那些过去，不要把自己弄的那么压抑。往往原谅的人比道歉的人还需要勇气。因为爱，割舍爱，这种静默才是最深情的告 时光已成过往，是我再也回不去的远方。不要把自己的伤口揭开给别人看，世界上多的不是医师，多的是撒盐的人。这世界，比你不幸的人远远多过比你幸运的人，路要 的那一步很激动人心，但大部分的脚步是平凡甚至枯燥的，但没有这些脚步，或者耐不住这些平凡枯燥，你终归是无法迎来最后的'那些激动人心。一个人害怕的事，往往 都会有乐观的心态，每个人也会有悲观的现状，可事实往往我们只能看到乐观的一面，却又无视于悲观的真实。从来没有人喜欢过悲观，也没有人能够忍受悲观，这就是 就会缅怀过去，无论是幸福或是悲伤，苍白或是绚烂，都会咀嚼出新的滋味。要让事情改变，先改变我自己；要让事情变得更好，先让自己变得更好。当日子成为照片当 背对背行走的路人，沿着不同的方向，固执的一步步远离，再也没有回去的路。想要别人尊重你，首先就要学会尊重别人。所有的胜利，与征服自己的胜利比起来，都是 与失去自己的失败比起来，更是微不足道。生命不在于活得长与短，而在于顿悟的早与晚。既不回头，何必不忘。既然无缘，何须誓言。感谢上天我所拥有的，感谢上天 千万条，成功的人生也有千万种，选对适合自己的那条路，走好自己的每段人生路，你一定会是下一个幸福宠儿。活在别人的掌声中，是禁不起考验的人。每一次轻易的 笔。什么时候也不要放弃希望，越是险恶的环境越要燃起希望的意志。现实会告诉你，没有比记忆中更好的风景，所以最好的不要故地重游。有些记忆就算是忘不掉，也 满，现实很骨感。我落日般的忧伤就像惆怅的飞鸟，惆怅的飞鸟飞成我落日般的忧伤。舞台上要尽情表演，赛场上要尽力拼搏，工作中要任劳任怨，事业上要尽职尽责。 乐，今天的抗争为了明天的收获！积德为产业，强胜于美宅良田。爱情永远比婚姻圣洁，婚姻永远比爱情实惠。爱有两种，一种是抓住，你紧张他也紧张；一种是轻松拖 人无忧，智者常乐。并不是因为所爱的一切他都拥有了，而是所拥有的一切他都爱。原来爱情不是看见才相信，而是相信才看得见。磨难是化了妆的幸福。如果你明明知 者选择说出来，或者装作不知道，万不要欲言又止。有时候留给别人的伤害，选择沉默比选择坦白要痛多了。我爱自己的内心，慢慢通过它，慢慢抵达世界，或者，抵达 我忘记一切，时间不会改变痛，只会让我适应痛。人生不容许你任性，接受现实，好好努力。曾经以为爱情是甜蜜，幸福的，不知道它也会伤人，而且伤的很痛，很痛。 出的代价却是好些年的失败。时间几乎会愈合所有事情，请给时间一点时间。蚁穴虽小，溃之千里。多少人要离开这个世间时，都会说出同一句话，这世界真是无奈与凄 孵出来的却是失败。太完美的爱情，我不相信，途中聚聚散散难舍难分，终有一天会雨过天晴。我分不清东南西北，却依然固执的喜欢乱走。若是得手，便是随手可丢； 爱情不是寻找共同点，而是学会尊重不同点。总有一天我会从你身边默默地走开，不带任何声响。我错过了狠多，我总是一个人难过,3、戏路如流水，从始至终，点滴不 未变，终归大海。一步一戏，一转身一变脸，扑朔迷离。真心自然流露，举手投足都是风流戏。一旦天幕拉开，地上再无演员。 相信自己有福气，但不要刻意拥有；相信
∵∠BAC=90°
B
∴∠BOC=2∠BAC=180°
O
C
（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角
的度数的一半）
∴B、O、C三点在同一直线上
∴BC是⊙O的一条直径
直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径。
A
A
B
O
C
B
O
C
几何语句： ∵BC为直径 ∴∠BAC=90°
几何语句： ∵∠BAC=90° ∴BC为直径
议一议
在得出本节结论的过程中，你用到了哪 些方法？请举例说明，并与同伴进行交流。
方法1：解决问题应该经历“猜想——实验验 证——严密证明”三个基本环节. 方法2：从特殊到一般的研究方法，对特殊图 形进行研究，从而改变特殊性，得出一般图 形，总结一般规律.
=60°,求∠A的度数。
E
解：
∵四边形ABCD是圆内接四边形
D
∴∠ADC+∠CBA=180°
（圆内接四边形的对角互补）
∵∠EDC+∠ADC=180°，
C
∠EBF+∠ABE=180°
O
∴∠EDC+ ∠EBF=180°
A
∵∠EDC=∠F+∠A,∠EBF=∠E+∠A
BF
∴∠F+∠A+∠E+∠A=180°
∴∠A=40°
如图，两个四边形ABCD有什么共同的特点？
D A
D A
C
O
O
B
C
B
四边形ABCD的的四个顶点都在⊙O上，这样
的四边形叫做圆内接四边形； 这个圆叫做四边形的外接圆。
如图，我们发现∠BAD与∠BCD之间有什么关系？
圆内接四边形的对角互补。
D A
O
D A
C
O
B
C
B
几何语句：
∵四边形ABCD为圆内接四边形 ∴∠BAD+∠BCD=180°（圆内接四边形的对角互补）
X= 60°
E A
F
X= 50°
定理 同弧或等弧所对的圆周角相等
新课学习
观察图，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角有
什么特点？你能证明吗？
A
B
O
C
想一想 注意：此处不能直接连接BC，思路是先
保证过点O，再证三点共线。
观察图，圆周角∠BAC=90°，弦BC是直径吗？
为什么？
A
解：弦BC是直径。
连接OC、OB
∠BAD的度数。
方法一：
C
A
解：连接BC ∵AB为直径 ∴∠BCA=90°
D O
（直径所对的圆周角为直角）
B
∴∠BCD+∠DCA=90°，∠ACD=15°
∴∠BCD=90°-15=75°
∴∠BAD=∠BCD=75°（同弧所对的圆周角相
等）
知识技能
2.如图，AB是⊙O的直径，∠C=15°，求 ∠BAD的度数。
方法二：
C
A
解：连接OD ∵∠ACD=15°
D O
∴∠AOD=2∠ACD =30°
B
（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）
∵OA=OD
∴∠OAD=∠ODA
又∵∠AOD+∠OAD+∠ODA=180°
∴∠BAD=75°
知识技能
3.如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组
对边相交于点E，F，若∠E =40°，∠F
想一想
D
如图，∠DCE是圆内接 A
四边形ABCD的一个外角，
∠A与∠DCE的大小有什
么关系？
O
B
C
E
随堂练习
在圆内接四边形ABCD中，∠A与∠C的度 数之比为4:5，求∠C的度数。
知识技能
Hale Waihona Puke Baidu
1.如图，在⊙O中，∠BOD=80°，求∠A和 ∠C的度数。
D
A
O
C
B
知识技能
2.如图，AB是⊙O的直径，∠C=15°，求
随堂练习
如图，⊙O的直径AB=10cm，C为⊙O上的
一点，∠B=30°，求AC的长。 B
O C
A
议一议
如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC为⊙O的
直径，请问∠BAD与∠BCD之间有什么关系？为
什么？ A
D
D A
O
1 O
2
C
B
C
B
如图，C点的位置发生了变化，∠BAD与∠BCD
之间有的关系还成立吗？为什么？
第三章 圆
3.4 圆周角和圆心角的关系（第2课时）
课前复习
1.求图中角X的度数
D C 120°
O.
70° x BC A
X= 35°
.O
X
A
B
X= 120°
定理
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角 的度数的一半
2.求图中角X的度数
x 60°
∠ABF=20°，∠FDE=30°
B 20°
CD x 30°
（2017 锦州）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形 ，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F ，∠DCE=80°，∠F=25°，则∠E的度数为（ ）
A．55° B．50° C．45° D．40°
（2016 葫芦岛）如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点 ，∠C=110°，则∠BOD= 度．
在没找到重新开始的理由前，别给自己太多退却的借口。就在那一瞬间，我仿佛听见了全世界崩溃的声音。因为穷人很多，并且穷人没有钱，所以，他们才会在网络上聊 了答应自己要做的事情，别忘了答应自己要去的地方，无论有多难，有多远。分手后不可以做朋友，因为彼此伤害过；不可以做敌人，因为彼此深爱过，所以只好成了最 只有站在足够的高度才有资格被仰望。渐渐淡忘那些过去，不要把自己弄的那么压抑。往往原谅的人比道歉的人还需要勇气。因为爱，割舍爱，这种静默才是最深情的告 时光已成过往，是我再也回不去的远方。不要把自己的伤口揭开给别人看，世界上多的不是医师，多的是撒盐的人。这世界，比你不幸的人远远多过比你幸运的人，路要 的那一步很激动人心，但大部分的脚步是平凡甚至枯燥的，但没有这些脚步，或者耐不住这些平凡枯燥，你终归是无法迎来最后的'那些激动人心。一个人害怕的事，往往 都会有乐观的心态，每个人也会有悲观的现状，可事实往往我们只能看到乐观的一面，却又无视于悲观的真实。从来没有人喜欢过悲观，也没有人能够忍受悲观，这就是 就会缅怀过去，无论是幸福或是悲伤，苍白或是绚烂，都会咀嚼出新的滋味。要让事情改变，先改变我自己；要让事情变得更好，先让自己变得更好。当日子成为照片当 背对背行走的路人，沿着不同的方向，固执的一步步远离，再也没有回去的路。想要别人尊重你，首先就要学会尊重别人。所有的胜利，与征服自己的胜利比起来，都是 与失去自己的失败比起来，更是微不足道。生命不在于活得长与短，而在于顿悟的早与晚。既不回头，何必不忘。既然无缘，何须誓言。感谢上天我所拥有的，感谢上天 千万条，成功的人生也有千万种，选对适合自己的那条路，走好自己的每段人生路，你一定会是下一个幸福宠儿。活在别人的掌声中，是禁不起考验的人。每一次轻易的 笔。什么时候也不要放弃希望，越是险恶的环境越要燃起希望的意志。现实会告诉你，没有比记忆中更好的风景，所以最好的不要故地重游。有些记忆就算是忘不掉，也 满，现实很骨感。我落日般的忧伤就像惆怅的飞鸟，惆怅的飞鸟飞成我落日般的忧伤。舞台上要尽情表演，赛场上要尽力拼搏，工作中要任劳任怨，事业上要尽职尽责。 乐，今天的抗争为了明天的收获！积德为产业，强胜于美宅良田。爱情永远比婚姻圣洁，婚姻永远比爱情实惠。爱有两种，一种是抓住，你紧张他也紧张；一种是轻松拖 人无忧，智者常乐。并不是因为所爱的一切他都拥有了，而是所拥有的一切他都爱。原来爱情不是看见才相信，而是相信才看得见。磨难是化了妆的幸福。如果你明明知 者选择说出来，或者装作不知道，万不要欲言又止。有时候留给别人的伤害，选择沉默比选择坦白要痛多了。我爱自己的内心，慢慢通过它，慢慢抵达世界，或者，抵达 我忘记一切，时间不会改变痛，只会让我适应痛。人生不容许你任性，接受现实，好好努力。曾经以为爱情是甜蜜，幸福的，不知道它也会伤人，而且伤的很痛，很痛。 出的代价却是好些年的失败。时间几乎会愈合所有事情，请给时间一点时间。蚁穴虽小，溃之千里。多少人要离开这个世间时，都会说出同一句话，这世界真是无奈与凄 孵出来的却是失败。太完美的爱情，我不相信，途中聚聚散散难舍难分，终有一天会雨过天晴。我分不清东南西北，却依然固执的喜欢乱走。若是得手，便是随手可丢； 爱情不是寻找共同点，而是学会尊重不同点。总有一天我会从你身边默默地走开，不带任何声响。我错过了狠多，我总是一个人难过,3、戏路如流水，从始至终，点滴不 未变，终归大海。一步一戏，一转身一变脸，扑朔迷离。真心自然流露，举手投足都是风流戏。一旦天幕拉开，地上再无演员。 相信自己有福气，但不要刻意拥有；相信
∵∠BAC=90°
B
∴∠BOC=2∠BAC=180°
O
C
（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角
的度数的一半）
∴B、O、C三点在同一直线上
∴BC是⊙O的一条直径
直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径。
A
A
B
O
C
B
O
C
几何语句： ∵BC为直径 ∴∠BAC=90°
几何语句： ∵∠BAC=90° ∴BC为直径