北师大版九年级下册数学：圆的内接四边形 (共18张PPT)
合集下载
北师大版九年级数学下册《圆——圆内接正多边形》教学PPT课件(2篇)
半径作弧，与⊙O相交于点E，A和D，B，则 A，B，C，D，E，F 是
⊙O的六等分点，顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，便得到正六边
形ABCDEF.
E
D
O
F
A
C
B
典例精析
例、 用尺规作圆的内接正方形.
已知：如图，⊙O.
求作：正方形ABCD 内接于⊙O.
O
练一练
作法：
你能简单说明下如
何用尺规做出两条
为切点的⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ.
∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB.
A
T
E
B
O
Q
S
C
D
R
新知探究
⌒ ⌒
又∵AB=BC，
∴AB=BC，
P
A
T
∴△PAB与△QBC是全等的等腰三角形.
∴∠P=∠Q,PQ=2PA.
同理∠Q=∠R=∠S=∠T，
QR=RS=ST=TP=2PA，
最小要___ _cm.
课堂练习
5.如图，已知正三角形ABC的边长为6，求它的中心角、半径和边心距.
解:设这个正三角形的中心为点O，
A
连接OB，OC，作OH⊥BC于点H，
则∠BOC=360°÷3=120°，
O
∴∠BOH=60°.
在Rt△BOH中，
BH=BC=3，∠OBH=30°，
OH= ， =
顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫
做该正多边形的外接圆.
新知讲解
怎样由圆得到多边形呢？
定义：把一个圆 n 等分（n ≥ 3），依次连结各分
点，所得的多边形是这个圆的内接正多边形.
⊙O的六等分点，顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，便得到正六边
形ABCDEF.
E
D
O
F
A
C
B
典例精析
例、 用尺规作圆的内接正方形.
已知：如图，⊙O.
求作：正方形ABCD 内接于⊙O.
O
练一练
作法：
你能简单说明下如
何用尺规做出两条
为切点的⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ.
∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB.
A
T
E
B
O
Q
S
C
D
R
新知探究
⌒ ⌒
又∵AB=BC，
∴AB=BC，
P
A
T
∴△PAB与△QBC是全等的等腰三角形.
∴∠P=∠Q,PQ=2PA.
同理∠Q=∠R=∠S=∠T，
QR=RS=ST=TP=2PA，
最小要___ _cm.
课堂练习
5.如图，已知正三角形ABC的边长为6，求它的中心角、半径和边心距.
解:设这个正三角形的中心为点O，
A
连接OB，OC，作OH⊥BC于点H，
则∠BOC=360°÷3=120°，
O
∴∠BOH=60°.
在Rt△BOH中，
BH=BC=3，∠OBH=30°，
OH= ， =
顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫
做该正多边形的外接圆.
新知讲解
怎样由圆得到多边形呢？
定义：把一个圆 n 等分（n ≥ 3），依次连结各分
点，所得的多边形是这个圆的内接正多边形.
九年级数学下册 第三章 圆 3.8 圆内接正多边形课件 北师大下册数学课件
是_________，所以在圆内依次截取等于_________的。D。2.圆的两条弦AB，AC分别是它的内接正 三角形与内接正。★★3.(2019·徐州鼓楼区模拟(mónǐ))正六边形的周长为12，
Image
12/10/2021
第四十五页，共四十五页。
第四十页，共四十五页。
当圆周角的顶点(dǐngdiǎn)在优A B弧 18°.
上时，AB所对的圆周角为
当圆周角的顶点在劣弧 A B上时，AB所对的圆周角为 180°-18°=162°，
∴综上所述答案为：18°或162°.
答案：18°或162°
第四十一页，共四十五页。
【一题多变】
已已知知圆圆内内接接正正三三角角形形(zhè(nzɡhèsnāɡn sjāinǎojixǎíonɡx)í的n3ɡ)面的积面为积为，则，该则圆的该内圆接的正内 边边形形的的边边心心距距是是 (( B ))
径，外接圆半径和高的比是(
)D
A.1∶2∶ B.2∶3∶4 3
C.1∶ ∶2 D.1∶2∶3
3
第四十四页，共四十五页。
内容(nèiróng)总结
8 圆内接正多边形。正多边形：_______________，_______________的多边。这个圆叫做这
No 个正多边形的___________.这个多边形叫。2.尺规作图：(1)因为与半径相等的弦长所对的圆心角。
第三页，共四十五页。
第四页，共四十五页。
这个(zhè ge)圆叫做这个(zhè ge)正多边外形接的圆___________.这个多边形
做圆内接正多边形.
第五页，共四十五页。
【探究二】应用(yìngyòng)等分圆周的方法作正多边形： 1.应用量角器，根据相等的圆心角所对的弧____相__等__(_xi，āngděng) 把360°的圆心角n等分，依次连接各个分点，得到圆内 接正n边形.
Image
12/10/2021
第四十五页，共四十五页。
第四十页，共四十五页。
当圆周角的顶点(dǐngdiǎn)在优A B弧 18°.
上时，AB所对的圆周角为
当圆周角的顶点在劣弧 A B上时，AB所对的圆周角为 180°-18°=162°，
∴综上所述答案为：18°或162°.
答案：18°或162°
第四十一页，共四十五页。
【一题多变】
已已知知圆圆内内接接正正三三角角形形(zhè(nzɡhèsnāɡn sjāinǎojixǎíonɡx)í的n3ɡ)面的积面为积为，则，该则圆的该内圆接的正内 边边形形的的边边心心距距是是 (( B ))
径，外接圆半径和高的比是(
)D
A.1∶2∶ B.2∶3∶4 3
C.1∶ ∶2 D.1∶2∶3
3
第四十四页，共四十五页。
内容(nèiróng)总结
8 圆内接正多边形。正多边形：_______________，_______________的多边。这个圆叫做这
No 个正多边形的___________.这个多边形叫。2.尺规作图：(1)因为与半径相等的弦长所对的圆心角。
第三页，共四十五页。
第四页，共四十五页。
这个(zhè ge)圆叫做这个(zhè ge)正多边外形接的圆___________.这个多边形
做圆内接正多边形.
第五页，共四十五页。
【探究二】应用(yìngyòng)等分圆周的方法作正多边形： 1.应用量角器，根据相等的圆心角所对的弧____相__等__(_xi，āngděng) 把360°的圆心角n等分，依次连接各个分点，得到圆内 接正n边形.
北师大版九年级下册数学：圆的内接四边形 (共18张PPT)
如图，两个四边形ABCD有什么共同的特点？
D A
D A
C
O
O
B
C
B
四边形ABCD的的四个顶点都在⊙O上，这样
的四边形叫做圆内接四边形； 这个圆叫做四边形的外接圆。
如图，我们发现∠BAD与∠BCD之间有什么关系？
圆内接四边形的对角互补。
D A
O
D A
C
O
B
C
B
几何语句：
∵四边形ABCD为圆内接四边形 ∴∠BAD+∠BCD=180°（圆内接四边形的对角互补）
想一想
D
如图，∠DCE是圆内接 A
四边形ABCD的一个外角，
∠A与∠DCE的大小有什
么关系？
O
B
C
E
随堂练习
在圆内接四边形ABCD中，∠A与∠C的度 数之比为4:5，求∠C的度数。
知识技能
1.如图，在⊙O中，∠BOD=80°，求∠A和 ∠C的度数。
D
A
O
C
B
知识技能
2.如图，AB是⊙O的直径，∠C=15°，求
பைடு நூலகம்
X= 60°
E A
F
X= 50°
定理 同弧或等弧所对的圆周角相等
新课学习
观察图，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角有
什么特点？你能证明吗？
A
B
O
C
想一想 注意：此处不能直接连接BC，思路是先
保证过点O，再证三点共线。
观察图，圆周角∠BAC=90°，弦BC是直径吗？
为什么？
A
解：弦BC是直径。
连接OC、OB
（2017 锦州）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形 ，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F ，∠DCE=80°，∠F=25°，则∠E的度数为（ ）
北师大版数学九年级下册《圆的内接四边形》说课稿1
北师大版数学九年级下册《圆的内接四边形》说课稿1一. 教材分析北师大版数学九年级下册《圆的内接四边形》这一节的内容，是在学生已经掌握了圆的基本性质，以及四边形的性质的基础上进行讲解的。
本节内容主要介绍了圆的内接四边形的性质，包括圆的内接四边形的对角互补，以及圆的内接四边形的不稳定性。
这部分内容在高考中经常出现，对于学生来说，既是重点，也是难点。
二. 学情分析九年级的学生，已经具备了一定的数学基础，对于圆的性质和四边形的性质都有了一定的了解。
但是，由于圆的内接四边形的性质比较抽象，学生理解和接受的难度较大。
因此，在教学过程中，需要教师耐心引导，逐步让学生理解和掌握。
三. 说教学目标1.让学生理解圆的内接四边形的性质，能够熟练运用圆的内接四边形的性质解决相关问题。
2.培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决问题的能力。
3.通过对圆的内接四边形的性质的学习，激发学生对数学的兴趣，提高学生的学习积极性。
四. 说教学重难点1.教学重点：圆的内接四边形的性质，以及如何运用圆的内接四边形的性质解决实际问题。
2.教学难点：圆的内接四边形的性质的理解和运用。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我会采用讲授法、问答法、小组合作探究法等多种教学方法。
同时，利用多媒体课件，直观展示圆的内接四边形的性质，帮助学生理解和掌握。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考圆的内接四边形的性质。
2.讲解：详细讲解圆的内接四边形的性质，引导学生进行思考和讨论。
3.练习：让学生通过练习，巩固对圆的内接四边形的性质的理解。
4.拓展：引导学生思考圆的内接四边形的性质在其他领域的应用。
七. 说板书设计板书设计简洁明了，主要包括圆的内接四边形的性质，以及如何运用圆的内接四边形的性质解决实际问题。
八. 说教学评价教学评价主要通过学生的课堂表现，练习题的完成情况，以及学生的学习反馈来进行。
对于掌握较好的学生，可以适当给予表扬和鼓励，提高学生的学习积极性。
高中数学 1.3.1 圆内接四边形课件 北师大版选修4-1
【证明】 如图，连接 BD，
∵DE∥AC， ∴∠E＝∠ACB. ∵∠ACB＝∠ADB， ∴∠ADB＝∠E.
在△ABD 与△CDE 中， ∵∠ADB＝∠E， ∠BAD＝∠DCE， ∴△ABD∽△CDE. AB AD ∴ ＝ . CD CE 故 AB· CE＝AD· CD.
圆内接四边形的判定
如图 1－3－6，在△ABC 中，E，D，F 分别为 AB，BC，AC 的中点，且 AP⊥BC 于 P. 求证：E、D、P、F 四点共圆．
如图 1－3－7， D， E 分别为△ABC 的边 AB， AC 上的点， 且不与△ABC 的顶点重合．已知 AE 的长为 m， AC 的长为 n， AD，AB 的长是关于 x 的方程 x2－14x＋mn＝0 的两个根， (1)证明：C，B，D，E 四点共圆； (2)若∠A＝90° ，且 m＝4，n＝6，求 C，B，D，E 所在 圆的半径．
图 1－3－6
【思路探究】 证明本题可先连接 PF， 构造四边形 EDPF 的外角∠FPC，证明∠FPC＝∠C，再证明∠FPC＝∠FED 即 可得出结论．
【自主解答】 连接 PF， ∵AP⊥BC，F 为 AC 的中点， 1 ∴PF＝ AC. 2 1 ∵FC＝2AC， ∴PF＝FC， ∴∠FPC＝∠C.
图 1－3－7
【证明】
(1)如图，连接 DE，在△ADE 和△ACB 中，
AD· AB＝mn＝AE· AC， AD AE 即 ＝ .又∠DAE＝∠CAB，从而△ADE∽△ACB. AC AB 因此∠ADE＝∠ACB.所以 C，B，D，E 四点共圆．
(2)m＝4， n＝6 时， 方程 x2－14x＋mn＝0 的两根为 x1＝2， x2＝12，故 AD＝2，AB＝12. 如图，取 CE 的中点 G，DB 的中点 F，分别过 G，F 作 AC，AB 的垂线，两垂线相交于 H 点，连接 DH.因为 C，B， D，E 四点共圆，所以 C，B，D，E 四点所在圆的圆心为 H， 半径为 DH. 由于∠A＝90° ， 故 GH∥AB，HF∥AC. 1 从而 HF＝AG＝5，DF＝ 2(12－2)＝5. 故 C，B，D，E 四点所在圆的半径为 5 2.
∵DE∥AC， ∴∠E＝∠ACB. ∵∠ACB＝∠ADB， ∴∠ADB＝∠E.
在△ABD 与△CDE 中， ∵∠ADB＝∠E， ∠BAD＝∠DCE， ∴△ABD∽△CDE. AB AD ∴ ＝ . CD CE 故 AB· CE＝AD· CD.
圆内接四边形的判定
如图 1－3－6，在△ABC 中，E，D，F 分别为 AB，BC，AC 的中点，且 AP⊥BC 于 P. 求证：E、D、P、F 四点共圆．
如图 1－3－7， D， E 分别为△ABC 的边 AB， AC 上的点， 且不与△ABC 的顶点重合．已知 AE 的长为 m， AC 的长为 n， AD，AB 的长是关于 x 的方程 x2－14x＋mn＝0 的两个根， (1)证明：C，B，D，E 四点共圆； (2)若∠A＝90° ，且 m＝4，n＝6，求 C，B，D，E 所在 圆的半径．
图 1－3－6
【思路探究】 证明本题可先连接 PF， 构造四边形 EDPF 的外角∠FPC，证明∠FPC＝∠C，再证明∠FPC＝∠FED 即 可得出结论．
【自主解答】 连接 PF， ∵AP⊥BC，F 为 AC 的中点， 1 ∴PF＝ AC. 2 1 ∵FC＝2AC， ∴PF＝FC， ∴∠FPC＝∠C.
图 1－3－7
【证明】
(1)如图，连接 DE，在△ADE 和△ACB 中，
AD· AB＝mn＝AE· AC， AD AE 即 ＝ .又∠DAE＝∠CAB，从而△ADE∽△ACB. AC AB 因此∠ADE＝∠ACB.所以 C，B，D，E 四点共圆．
(2)m＝4， n＝6 时， 方程 x2－14x＋mn＝0 的两根为 x1＝2， x2＝12，故 AD＝2，AB＝12. 如图，取 CE 的中点 G，DB 的中点 F，分别过 G，F 作 AC，AB 的垂线，两垂线相交于 H 点，连接 DH.因为 C，B， D，E 四点共圆，所以 C，B，D，E 四点所在圆的圆心为 H， 半径为 DH. 由于∠A＝90° ， 故 GH∥AB，HF∥AC. 1 从而 HF＝AG＝5，DF＝ 2(12－2)＝5. 故 C，B，D，E 四点所在圆的半径为 5 2.
3.4第2课时圆周角定理的推论2及圆内接四边形(教案)2023春九年级下册数学(北师大版)安徽
接着，在新课讲授环节，我尝试用生动的语言和直观的图形来解释抽象的几何概念。从学生的反馈来看，这种方法是有效的。不过，我也注意到在解释难点时，需要更加耐心和细致，尤其是对于几何证明的逻辑步骤，需要多次重复和强调。
实践活动环节，分小组讨论和实验操作让学生们动手动脑，积极参与。但我发现，在小组活动中，个别学生参与度不高，可能是因为他们对问题不够理解或者缺乏自信。在未来的教学中，我需要更多地关注这些学生，鼓励他们积极参与，提供更多的支持和指导。
3.证明圆内接四边形的对角互补。
4.运用圆内接四边形的性质解决实际问题。
本节课将结合教材内容，通过实例分析和几何证明，让学生深入理解圆周角定理推论2及圆内接四边形的性质，提高学生的几何逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、核心素养目标
1.让学生通过探究圆周角定理推论2及圆内接四边形的性质，培养几何直观和空间想象能力。
-掌握圆内接四边形的性质：对角线互相垂直且平分。
-学会运用以上知识解决实际问题。
举例解释：
-通过直观的图形展示，强调圆内接四边形对角互补这一核心性质，使学生能够直观感受到这一几何关系。
-通过具体例题，讲解如何应用圆内接四边形的性质来求解四边形的相关问题，如求对角线长度、角度等。
2.教学难点
-理解并证明圆内接四边形对角互补的几何逻辑。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“圆内接四边形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
实践活动环节，分小组讨论和实验操作让学生们动手动脑，积极参与。但我发现，在小组活动中，个别学生参与度不高，可能是因为他们对问题不够理解或者缺乏自信。在未来的教学中，我需要更多地关注这些学生，鼓励他们积极参与，提供更多的支持和指导。
3.证明圆内接四边形的对角互补。
4.运用圆内接四边形的性质解决实际问题。
本节课将结合教材内容，通过实例分析和几何证明，让学生深入理解圆周角定理推论2及圆内接四边形的性质，提高学生的几何逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、核心素养目标
1.让学生通过探究圆周角定理推论2及圆内接四边形的性质，培养几何直观和空间想象能力。
-掌握圆内接四边形的性质：对角线互相垂直且平分。
-学会运用以上知识解决实际问题。
举例解释：
-通过直观的图形展示，强调圆内接四边形对角互补这一核心性质，使学生能够直观感受到这一几何关系。
-通过具体例题，讲解如何应用圆内接四边形的性质来求解四边形的相关问题，如求对角线长度、角度等。
2.教学难点
-理解并证明圆内接四边形对角互补的几何逻辑。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“圆内接四边形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
北师大版九年级下册数学《圆周角和圆心角的关系》圆PPT课件教学课件(第2课时)
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
课时小结：
1．本节课我们探索了圆的对称性． 2．利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理． 3．垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决弦长、半径、 弦心距等计算问题．
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
课后作业：
(一)课本习题3．2，1、2．试一试１. (二) 预习课本：P94～97内容
新课讲解
知识点2 直角所对的弦是直径
在如图中，圆周角∠A＝90°，弦BC是直径吗？为什么？
新课讲解
90°的圆周角所对的弦是直径.
新课讲解
典例分析
例 如图，已知经过原点的⊙P与x轴、y轴分别交于A，B 两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB等于( B ) A．80° B．90° C．100° D．无法确定
拓展与延伸
已知在半径为4的⊙O中，弦AB＝4 3 ，点P在圆上，则 ∠APB＝_6_0_°__或__1_2_0_°_．
第3单元 · 圆
圆的对称性
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
问题： 前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义?
我们是用什么方法研究轴对称图形的?
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
交点，即垂足． 4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图.
问题：（1）右图是轴对称图形吗？ 如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？ 说一说你的理由。
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
总结得出垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的 弧。 推理格式：如图所示 ∵CD⊥AB，CD为⊙O的直径 ∴AM=BM，AD BD, AC BC .
专题 圆内接正多边形-九年级数学下册教学课件(北师大版)
（2）
在（1）的基础上，连接BO并延长与DE相交，连
接AG交BO延长线于N，连接CN，如图2所示；
课堂小结
正多边形和
圆 的 关 系
正n边形各顶点等分其外
接圆.
中心
圆内接正
多边形
正多边形的
有 关 概 念
半径
边心距
中心角
正多边形的
有关计算
添加辅助线的方法：
连半径，作边心距
过边心距、边长的一半和内接圆半径构造直角三角
形，通过解直角三角形求解即可．
【详解】解：如图所示，
此正六边形中AB=4，则∠AOB=60° ．
∵OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∵ OG⊥AB，
∴∠AOG=30°，
∴ OG=4×
故选：D．
= ．
2．如图，正六边形ABCDEF内接于○O，半径为6，
北师大版九年级下册
第三章 圆
3.8 圆内接正多边形
新课导入
讲授新课
当堂检测
课堂小结
学习目标
1、掌握正多边形与圆的相互关系，理解正多边形与圆的相关
概念；
2、理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长的概念
及其相互之间的关系；
3、学会运用正多边形与圆的关系解决与圆相关的几何问题，
注意正多边形与圆的相互联系；
落在阴影区域的概率为 _____．
【答案】
【分析】如图，将阴影部分分割成图形中的小三角
形，令小三角形的面积为a，分别表示出阴影部分的
面积和正六边形的面积，根据概率公式求解即可．
【详解】解：如图，
根据题意得：图中每个小三角形的面积都相等，
北师大版九年级数学下册课件：3.8圆内接正多边形
2
2
22
(2)顺次连接 AB，BC，CD，DA.
知识点一：圆内接正多边形的相关概念
∴正六边形的中心角为60°，边长为4,边心距为 2 3 .
获取新知 知识点二：正多边形的作图 已知⊙O的半径为R，求作⊙O的内接正六边形.
分析：因为正六边形每条边所对的圆心角为 60º， 所以正六边形的边长与圆的半径 相等. 因此，在半径为R的圆上依次截取等于 R 的弦， 即可将圆六等分.
正 多 边 形 的 所以∠ABC = ∠BCD= ∠CDA= ∠DAB=90°. 圆内接正 例2 用尺规作圆的内接正方形. 有 关 概 念 所以正六边形的边长与圆的半径 . 多边形 各边都相等的多边形是正多边形
解:(1)如图①,点O即为所求.
C．2∶3
D．2∶π
一个圆的内接正四边形和外切正四边形的面积的比是( )
所以∠ABC = ∠BCD= ∠CDA= ∠DAB=90°.
即四边形ABCD为⊙O的内接正方形.
随堂演练 1.下列说法正确的是（ D ） A.各边都相等的多边形是正多边形 B.一个圆有且只有一个内接正多边形 C.圆内接正四边形的边长等于半径
D.圆内接正n边形的中心角度数为 360o
n
2. 一个圆的内接正四边形和外切正四边形
例2 用尺规作圆的内接正方形. 已知：如图，⊙O. 求作：正方形ABCD内接于⊙O.
作法：
(1)如图，作两条互相垂直的直径AC，BD.
(2)顺次连接 AB，BC，CD，DA.
由作图过程可知，四个中心角都是90°，
所以AB=BC= CD=DA. 因为AC，BD都是直径，
你能简单说明下如 何用尺规做出两条 垂直的直径吗？
F
类比学习
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（2013 沈阳）如图，点A、B、C、D都在⊙O上， ∠ABC=90°，AD=3，CD=2，则⊙O的直径的长是 ．
议一议
在得出本节结论的过程中，你用到了哪 些方法？请举例说明，并与同伴进行交流。
方法1：解决问题应该经历“猜想——实验验 证——严密证明”三个基本环节. 方法2：从特殊到一般的研究方法，对特殊图 形进行研究，从而改变特殊性，得出一般图 形，总结一般规律.
第三章 圆
3.4 圆周角和圆心角的关系（第2课时）
课前复习
1.求图中角X的度数
D C 120°
O.
70° x BC A
X= 35°
.O
X
A
B
X= 120°
定理
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角 的度数的一半
2.求图中角X的度数
x 60°
∠ABF=20°，∠FDE=30°
B 20°
CD x 30°
方法二：
C
A
解：连接OD ∵∠ACD=15°
D O
∴∠AOD=2∠ACD =30°
B
（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）
∵OA=OD
∴∠OAD=∠ODA
又∵∠AOD+∠OAD+∠ODA=180°
∴∠BAD=75°
知识技能
3.如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组
对边相交于点E，F，若∠E =40°，∠F
（2017 锦州）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形 ，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F ，∠DCE=80°，∠F=25°，则∠E的度数为（ ）
A．55° B．50° C．45° D．40°
（2016 葫芦岛）如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点 ，∠C=110°，则∠BOD= 度．
=60°,求∠A的度数。
E
解：
∵四边形ABCD是圆内接四边形
D
∴∠ADC+∠CBA=180°
（圆内接四边形的对角互补）
∵∠EDC+∠ADC=180°，
C
∠EBF+∠ABE=180°
O
∴∠EDC+ ∠EBF=180°
A
∵∠EDC=∠F+∠A,∠EBF=∠E+∠A
BF
∴∠F+∠A+∠E+∠A=180°
∴∠A=40°
∵∠BAC=90°
B
∴∠BOC=2∠BAC=180°
O
C
（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角
的度数的一半）
∴B、O、C三点在同一直线上
∴BC是⊙O的一条直径
直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径。
A
A
B
O
C
B
O
C
几何语句： ∵BC为直径 ∴∠BAC=90°
几何语句： ∵∠BAC=90° ∴BC为直径
X= 60°
E A
F
X= 50°
定理 同弧或等弧所对的圆周角相等
新课学习
观察图，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角有
什么特点？你能证明吗？
A
B
O
C
想一想 注意：此处不能直接连接BC，思路是先
保证过点O，再证三点共线。
观察图，圆周角∠BAC=90°，弦BC是直径吗？
为什么？
A
解：弦BC是直径。
连接OC、OB
∠BAD的度数。
方法一：
C
A
解：连接BC ∵AB为直径 ∴∠BCA=90°
D O
（直径所对的圆周角为直角）
B
∴∠BCD+∠DCA=90°，∠ACD=15°
∴∠BCD=90°-15=75°
∴∠BAD=∠BCD=75°（同弧所对的圆周角相
等）
知识技能
2.如图，AB是⊙O的直径，∠C=15°，求 ∠BAD的度数。
在没找到重新开始的理由前，别给自己太多退却的借口。就在那一瞬间，我仿佛听见了全世界崩溃的声音。因为穷人很多，并且穷人没有钱，所以，他们才会在网络上聊 了答应自己要做的事情，别忘了答应自己要去的地方，无论有多难，有多远。分手后不可以做朋友，因为彼此伤害过；不可以做敌人，因为彼此深爱过，所以只好成了最 只有站在足够的高度才有资格被仰望。渐渐淡忘那些过去，不要把自己弄的那么压抑。往往原谅的人比道歉的人还需要勇气。因为爱，割舍爱，这种静默才是最深情的告 时光已成过往，是我再也回不去的远方。不要把自己的伤口揭开给别人看，世界上多的不是医师，多的是撒盐的人。这世界，比你不幸的人远远多过比你幸运的人，路要 的那一步很激动人心，但大部分的脚步是平凡甚至枯燥的，但没有这些脚步，或者耐不住这些平凡枯燥，你终归是无法迎来最后的'那些激动人心。一个人害怕的事，往往 都会有乐观的心态，每个人也会有悲观的现状，可事实往往我们只能看到乐观的一面，却又无视于悲观的真实。从来没有人喜欢过悲观，也没有人能够忍受悲观，这就是 就会缅怀过去，无论是幸福或是悲伤，苍白或是绚烂，都会咀嚼出新的滋味。要让事情改变，先改变我自己；要让事情变得更好，先让自己变得更好。当日子成为照片当 背对背行走的路人，沿着不同的方向，固执的一步步远离，再也没有回去的路。想要别人尊重你，首先就要学会尊重别人。所有的胜利，与征服自己的胜利比起来，都是 与失去自己的失败比起来，更是微不足道。生命不在于活得长与短，而在于顿悟的早与晚。既不回头，何必不忘。既然无缘，何须誓言。感谢上天我所拥有的，感谢上天 千万条，成功的人生也有千万种，选对适合自己的那条路，走好自己的每段人生路，你一定会是下一个幸福宠儿。活在别人的掌声中，是禁不起考验的人。每一次轻易的 笔。什么时候也不要放弃希望，越是险恶的环境越要燃起希望的意志。现实会告诉你，没有比记忆中更好的风景，所以最好的不要故地重游。有些记忆就算是忘不掉，也 满，现实很骨感。我落日般的忧伤就像惆怅的飞鸟，惆怅的飞鸟飞成我落日般的忧伤。舞台上要尽情表演，赛场上要尽力拼搏，工作中要任劳任怨，事业上要尽职尽责。 乐，今天的抗争为了明天的收获！积德为产业，强胜于美宅良田。爱情永远比婚姻圣洁，婚姻永远比爱情实惠。爱有两种，一种是抓住，你紧张他也紧张；一种是轻松拖 人无忧，智者常乐。并不是因为所爱的一切他都拥有了，而是所拥有的一切他都爱。原来爱情不是看见才相信，而是相信才看得见。磨难是化了妆的幸福。如果你明明知 者选择说出来，或者装作不知道，万不要欲言又止。有时候留给别人的伤害，选择沉默比选择坦白要痛多了。我爱自己的内心，慢慢通过它，慢慢抵达世界，或者，抵达 我忘记一切，时间不会改变痛，只会让我适应痛。人生不容许你任性，接受现实，好好努力。曾经以为爱情是甜蜜，幸福的，不知道它也会伤人，而且伤的很痛，很痛。 出的代价却是好些年的失败。时间几乎会愈合所有事情，请给时间一点时间。蚁穴虽小，溃之千里。多少人要离开这个世间时，都会说出同一句话，这世界真是无奈与凄 孵出来的却是失败。太完美的爱情，我不相信，途中聚聚散散难舍难分，终有一天会雨过天晴。我分不清东南西北，却依然固执的喜欢乱走。若是得手，便是随手可丢； 爱情不是寻找共同点，而是学会尊重不同点。总有一天我会从你身边默默地走开，不带任何声响。我错过了狠多，我总是一个人难过,3、戏路如流水，从始至终，点滴不 未变，终归大海。一步一戏，一转身一变脸，扑朔迷离。真心自然流露，举手投足都是风流戏。一旦天幕拉开，地上再无演员。 相信自己有福气，但不要刻意拥有；相信
随堂练习
如图，⊙O的直径AB=10cm，C为⊙O上的
一点，∠B=30°，求AC的长。 B
O C
A
议一议
如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC为⊙O的
直径，请问∠BAD与∠BCD之间有什么关系？为
什么？ A
D
D A
O
1 O
2
C
B
C
B
如图，C点的位置发生了变化，∠BAD与∠BCD
之间有的关系还成立吗？为什么？
想一想
D
如图，∠DCE是圆内接 A
四边形ABCD的一个外角，
∠A与∠DCE的大小有什
么关系？
O
B
C
E
随堂练习
在圆内接四边形ABCD中，∠A与∠C的度 数之比为4:5，求∠C的度数。
知识技能
1.如图，在⊙O中，∠BOD=80°，求∠A和 ∠C的度数。
D
A
O
C
B
知识技能
2.如图，AB是⊙O的直径，∠C=15°，求
如图，两个四边形ABCD有什么共同的特点？
D A
D A
C
O
O
B
C
B
四边形ABCD的的四个顶点都在⊙O上，这样
的四边形叫做圆内接四边形； 这个圆叫做四边形的外接圆。
如图，我们发现∠BAD与∠BCD之间有什么关系？
圆内接四边形的对角互补。
D A
O
D A
C
O
B
C
B
几何语句：
∵四边形ABCD为圆内接四边形 ∴∠BAD+∠BCD=180°（圆内接四边形的对角互补）
议一议
在得出本节结论的过程中，你用到了哪 些方法？请举例说明，并与同伴进行交流。
方法1：解决问题应该经历“猜想——实验验 证——严密证明”三个基本环节. 方法2：从特殊到一般的研究方法，对特殊图 形进行研究，从而改变特殊性，得出一般图 形，总结一般规律.
第三章 圆
3.4 圆周角和圆心角的关系（第2课时）
课前复习
1.求图中角X的度数
D C 120°
O.
70° x BC A
X= 35°
.O
X
A
B
X= 120°
定理
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角 的度数的一半
2.求图中角X的度数
x 60°
∠ABF=20°，∠FDE=30°
B 20°
CD x 30°
方法二：
C
A
解：连接OD ∵∠ACD=15°
D O
∴∠AOD=2∠ACD =30°
B
（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）
∵OA=OD
∴∠OAD=∠ODA
又∵∠AOD+∠OAD+∠ODA=180°
∴∠BAD=75°
知识技能
3.如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组
对边相交于点E，F，若∠E =40°，∠F
（2017 锦州）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形 ，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F ，∠DCE=80°，∠F=25°，则∠E的度数为（ ）
A．55° B．50° C．45° D．40°
（2016 葫芦岛）如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点 ，∠C=110°，则∠BOD= 度．
=60°,求∠A的度数。
E
解：
∵四边形ABCD是圆内接四边形
D
∴∠ADC+∠CBA=180°
（圆内接四边形的对角互补）
∵∠EDC+∠ADC=180°，
C
∠EBF+∠ABE=180°
O
∴∠EDC+ ∠EBF=180°
A
∵∠EDC=∠F+∠A,∠EBF=∠E+∠A
BF
∴∠F+∠A+∠E+∠A=180°
∴∠A=40°
∵∠BAC=90°
B
∴∠BOC=2∠BAC=180°
O
C
（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角
的度数的一半）
∴B、O、C三点在同一直线上
∴BC是⊙O的一条直径
直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径。
A
A
B
O
C
B
O
C
几何语句： ∵BC为直径 ∴∠BAC=90°
几何语句： ∵∠BAC=90° ∴BC为直径
X= 60°
E A
F
X= 50°
定理 同弧或等弧所对的圆周角相等
新课学习
观察图，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角有
什么特点？你能证明吗？
A
B
O
C
想一想 注意：此处不能直接连接BC，思路是先
保证过点O，再证三点共线。
观察图，圆周角∠BAC=90°，弦BC是直径吗？
为什么？
A
解：弦BC是直径。
连接OC、OB
∠BAD的度数。
方法一：
C
A
解：连接BC ∵AB为直径 ∴∠BCA=90°
D O
（直径所对的圆周角为直角）
B
∴∠BCD+∠DCA=90°，∠ACD=15°
∴∠BCD=90°-15=75°
∴∠BAD=∠BCD=75°（同弧所对的圆周角相
等）
知识技能
2.如图，AB是⊙O的直径，∠C=15°，求 ∠BAD的度数。
在没找到重新开始的理由前，别给自己太多退却的借口。就在那一瞬间，我仿佛听见了全世界崩溃的声音。因为穷人很多，并且穷人没有钱，所以，他们才会在网络上聊 了答应自己要做的事情，别忘了答应自己要去的地方，无论有多难，有多远。分手后不可以做朋友，因为彼此伤害过；不可以做敌人，因为彼此深爱过，所以只好成了最 只有站在足够的高度才有资格被仰望。渐渐淡忘那些过去，不要把自己弄的那么压抑。往往原谅的人比道歉的人还需要勇气。因为爱，割舍爱，这种静默才是最深情的告 时光已成过往，是我再也回不去的远方。不要把自己的伤口揭开给别人看，世界上多的不是医师，多的是撒盐的人。这世界，比你不幸的人远远多过比你幸运的人，路要 的那一步很激动人心，但大部分的脚步是平凡甚至枯燥的，但没有这些脚步，或者耐不住这些平凡枯燥，你终归是无法迎来最后的'那些激动人心。一个人害怕的事，往往 都会有乐观的心态，每个人也会有悲观的现状，可事实往往我们只能看到乐观的一面，却又无视于悲观的真实。从来没有人喜欢过悲观，也没有人能够忍受悲观，这就是 就会缅怀过去，无论是幸福或是悲伤，苍白或是绚烂，都会咀嚼出新的滋味。要让事情改变，先改变我自己；要让事情变得更好，先让自己变得更好。当日子成为照片当 背对背行走的路人，沿着不同的方向，固执的一步步远离，再也没有回去的路。想要别人尊重你，首先就要学会尊重别人。所有的胜利，与征服自己的胜利比起来，都是 与失去自己的失败比起来，更是微不足道。生命不在于活得长与短，而在于顿悟的早与晚。既不回头，何必不忘。既然无缘，何须誓言。感谢上天我所拥有的，感谢上天 千万条，成功的人生也有千万种，选对适合自己的那条路，走好自己的每段人生路，你一定会是下一个幸福宠儿。活在别人的掌声中，是禁不起考验的人。每一次轻易的 笔。什么时候也不要放弃希望，越是险恶的环境越要燃起希望的意志。现实会告诉你，没有比记忆中更好的风景，所以最好的不要故地重游。有些记忆就算是忘不掉，也 满，现实很骨感。我落日般的忧伤就像惆怅的飞鸟，惆怅的飞鸟飞成我落日般的忧伤。舞台上要尽情表演，赛场上要尽力拼搏，工作中要任劳任怨，事业上要尽职尽责。 乐，今天的抗争为了明天的收获！积德为产业，强胜于美宅良田。爱情永远比婚姻圣洁，婚姻永远比爱情实惠。爱有两种，一种是抓住，你紧张他也紧张；一种是轻松拖 人无忧，智者常乐。并不是因为所爱的一切他都拥有了，而是所拥有的一切他都爱。原来爱情不是看见才相信，而是相信才看得见。磨难是化了妆的幸福。如果你明明知 者选择说出来，或者装作不知道，万不要欲言又止。有时候留给别人的伤害，选择沉默比选择坦白要痛多了。我爱自己的内心，慢慢通过它，慢慢抵达世界，或者，抵达 我忘记一切，时间不会改变痛，只会让我适应痛。人生不容许你任性，接受现实，好好努力。曾经以为爱情是甜蜜，幸福的，不知道它也会伤人，而且伤的很痛，很痛。 出的代价却是好些年的失败。时间几乎会愈合所有事情，请给时间一点时间。蚁穴虽小，溃之千里。多少人要离开这个世间时，都会说出同一句话，这世界真是无奈与凄 孵出来的却是失败。太完美的爱情，我不相信，途中聚聚散散难舍难分，终有一天会雨过天晴。我分不清东南西北，却依然固执的喜欢乱走。若是得手，便是随手可丢； 爱情不是寻找共同点，而是学会尊重不同点。总有一天我会从你身边默默地走开，不带任何声响。我错过了狠多，我总是一个人难过,3、戏路如流水，从始至终，点滴不 未变，终归大海。一步一戏，一转身一变脸，扑朔迷离。真心自然流露，举手投足都是风流戏。一旦天幕拉开，地上再无演员。 相信自己有福气，但不要刻意拥有；相信
随堂练习
如图，⊙O的直径AB=10cm，C为⊙O上的
一点，∠B=30°，求AC的长。 B
O C
A
议一议
如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC为⊙O的
直径，请问∠BAD与∠BCD之间有什么关系？为
什么？ A
D
D A
O
1 O
2
C
B
C
B
如图，C点的位置发生了变化，∠BAD与∠BCD
之间有的关系还成立吗？为什么？
想一想
D
如图，∠DCE是圆内接 A
四边形ABCD的一个外角，
∠A与∠DCE的大小有什
么关系？
O
B
C
E
随堂练习
在圆内接四边形ABCD中，∠A与∠C的度 数之比为4:5，求∠C的度数。
知识技能
1.如图，在⊙O中，∠BOD=80°，求∠A和 ∠C的度数。
D
A
O
C
B
知识技能
2.如图，AB是⊙O的直径，∠C=15°，求
如图，两个四边形ABCD有什么共同的特点？
D A
D A
C
O
O
B
C
B
四边形ABCD的的四个顶点都在⊙O上，这样
的四边形叫做圆内接四边形； 这个圆叫做四边形的外接圆。
如图，我们发现∠BAD与∠BCD之间有什么关系？
圆内接四边形的对角互补。
D A
O
D A
C
O
B
C
B
几何语句：
∵四边形ABCD为圆内接四边形 ∴∠BAD+∠BCD=180°（圆内接四边形的对角互补）