求数列通项公式与数列求和(有答案)

数列的通项公式与求和

112342421

{},1(1,2,3,)3

(1),,{}.(2)n n n n n n

a n S a a S n a a a a a a a +===+++L L 数列的前项为且，求的值及数列的通项公式求

1112

{},1(1,2,).:(1){

};(2)4n n n n n

n n n a n S a a S n n

S n

S a +++====L 数列的前项和记为已知，证明数列是等比数列

*121

{}(1)()3

(1),;

(2):{}.

n n n

n n a n S S a n N a a a =-∈ 已知数列的前项为，求求证数列是等比数列

11211

{},,.2n n n n a a a a a n n +==++ 已知数列满足求

11

2{},,,.31n n n n n

a a a a a n +==+ 已知数列满足求

1

11511{},,().632n n n n n a a a a a ++==+ 已知数列中,求

1

11{}:1,{}.

31n n n n n a a a a a a --=

=⋅+ 已知数列满足，求数列的通项公式

8 等比数列

{}n a 的前n 项和S

ｎ

＝2ｎ

－１，则

2

232221n

a a a a ++++Λ

9 求和：5，55，555，5555，…，5(101)

9n

-，…；

10 求和：

111

1447(32)(31)n n +++⨯⨯-⨯+L

11 求和：

111112123123n ++++=+++++++L L 12 设

{}

n a 是等差数列，

{}

n b 是各项都为正数的等比数列，且

111

a b ==，

3521

a b +=，

5313

a b += 1.

2.

3 4. 6

7 5.

（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S

．

答案

练习1答案：

练习2 证明： (1)

注意到：

a(n+1)=S(n+1)-S(n)

代入已知第二条式子得： S(n+1)-S(n)=S(n)*(n+2)/n nS(n+1)-nS(n)=S(n)*(n+2) nS(n+1)=S(n)*(2n+2) S(n+1)/(n+1)=S(n)/n*2

又S(1)/1=a(1)/1=1不等于0 所以{S(n)/n}是等比数列 (2)

234

2

1416,,3927

11

14()233n n a a a n a n -====⎧⎪

=⎨≥⎪⎩ 234[()1]73

n

-

由(1)知，

{S(n)/n}是以1为首项，2为公比的等比数列。

所以S(n)/n=1*2^(n-1)=2^(n-1) 即S(n)=n*2^(n-1) (*)

代入a(n+1)＝S(n)*(n+2)/n 得 a(n+1)=(n+2)*2^(n-1) (n 属于N)

即a(n)=(n+1)*2^(n-2) (n 属于N 且n>1)

又当n=1时上式也成立

所以a(n)=(n+1)*2^(n-2) (n 属于N) 由(*)式得：

S(n+1)=(n+1)*2^n

=(n+1)*2^(n-2)*2^2 =(n+1)*2^(n-2)*4

对比以上两式可知：S(n+1)=4*a(n

练习3 答案： 1)

a1=S1=1/3(a1-1) a1=-1/2

a2=S2-S1=1/3(a2-1)+1/2 3a2=a2-1+3/2 2a2=1/2 a2=1/4 2)

3Sn=an-1

3S(n-1)=a(n-1)-1 相减：

3an=an-a(n-1) 2an=-a(n-1) an/a(n-1)=-1/2

所以{an}为等比数列！ 练习4 累加法，答案：

练习5 累乘法，答案：

练习6 待定系数法，答案： n a n 1

23-

=n a n 32

=

113()2()

23

n n

n a =-

练习7 倒数法，答案：

练习8 公式法，答案：41

3n -

练习9 答案：555555555n n S =++++678

L L 个

5(999999999)9n =++++678L L 个

235

[(101)(101)(101)(101)]9n =-+-+-++-L

235505[10101010](101)9819n n n n =++++-=--L ．

答案：解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则依题意有0q >且4

212211413d q d q ⎧++=⎪⎨

++=⎪⎩，， 解得2d =，2q =．所以1(1)21n a n d n =+-=-，11

2n n n b q --==．（Ⅱ）

121

2

n n n a n b --=．

122135232112222n n n n n S ----=+

++++L ，①3252321

223222n n n n n S ----=+++++L ，②

②－①得22122221222222n n n n S ---=+++++-L ，221

11121

2212222n n n ---⎛⎫=+⨯++++- ⎪⎝⎭L

11

1

1212221212n n n ---

-=+⨯--

12362n n -+=-．

1

32n a n =

-