第2章 数学模型的相互转换
第2章系统的数学模型学生版2009
电路网络，已知： 、 、 例1．对于一个简单的 R-L-C 电路网络，已知：R、L、 ． C为常数， u r (t) 为输入电压， u o (t) 为输出电压。 为常数， 为输入电压， 为输出电压。 为常数 要求写出u 的关系方程式。 要求写出 o (t)与u r (t)的关系方程式。 与 的关系方程式 1.分析系统组成，确定输入变量为u (t)，输出变量为u (t)。 1.分析系统组成，确定输入变量为u r (t)，输出变量为u o (t)。 分析系统组成 2.根据电路中的基尔霍夫定律，得： 根据电路中的基尔霍夫定律， 根据电路中的基尔霍夫定律
则当t→∞ →∞时 上述分量→ 系统是稳定的，极点决定了系统的稳定 稳定性 若p<0或σ<0, 则当 →∞时，上述分量→0，系统是稳定的，极点决定了系统的稳定性。 或 极点决定系统响应中的自由运动模态即“通解”这是系统“固有”的成分。 极点决定系统响应中的自由运动模态即“通解”这是系统“固有”的成分。 零点并不形成自由运动模态，但却影响各模态在总响应中所占的比重，影响曲线的形状。 零点并不形成自由运动模态，但却影响各模态在总响应中所占的比重，影响曲线的形状。 四、传递函数的性质 1.传递函数表示系统传递输入信号的能力，反映系统本身的动态特性，它只与系统的结构 传递函数表示系统传递输入信号的能力， 传递函数表示系统传递输入信号的能力 反映系统本身的动态特性， 和参数有关，与输入信号和初始条件无关。 和参数有关，与输入信号和初始条件无关。 2.传递函数是复变量 的有理分式函数，其分子多项式的次数 低于或等于分母多项式的 传递函数是复变量s的有理分式函数 传递函数是复变量 的有理分式函数，其分子多项式的次数m低于或等于分母多项式的 次数n， 次数 ，即m≤n。且系数均为实数。 。且系数均为实数。 3.在同一系统中，当选取不同的物理量作为输入、输出时，其传递函数一般也不相同。传 在同一系统中， 在同一系统中 当选取不同的物理量作为输入、输出时，其传递函数一般也不相同。 递函数不反映系统的物理结构，物理性质不同的系统，可以具有相同的传递函数。 递函数不反映系统的物理结构，物理性质不同的系统，可以具有相同的传递函数。 4.传递函数的定义只适用于线性定常系统。 传递函数的定义只适用于线性定常系统。 传递函数的定义只适用于线性定常系统
第07讲 控制系统的数学模型及其相互转换
4. 状态空间表达式 设线性定常连续系统的状态空间表达式为
& x(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t)
式中 A:n×n；B:n×r；C:m×n；D:m×r : : : : 如果传递函数（ 各元素为严格真有理分式， 如果传递函数（阵）各元素为严格真有理分式， 则D＝0，此时上式可写为 ＝ ，
14
例 已知系统传递函数为 5( s + 20) G ( s) = s ( s + 4.6)( s + 1) 利用MATLAB将上述模型表示出来。 将上述模型表示出来。 利用 将上述模型表示出来 解：>>k=5;z=-20;p=[0;-4.6;-1]; >>sys=zpk(z,p,k) 运行结果为： 运行结果为： Zero/pole/gain: 5 (s+20) --------------s (s+4.6) (s+1)
printsys：显示 ： 或打印系统
7
当传递函数的分子或分母由若干个多项式乘 积表示时，它可由MATLAB提供的多项式乘法运算 积表示时，它可由 提供的多项式乘法运算 函数conv( 来处理， 函数 conv( ) 来处理 ， 以便获得分子和分母多项式 系数向量， 系数向量，此函数的调用格式为 c=conv(a,b) 其中： 分别为由两个多项式系数构成的向量， 其中：a和b分别为由两个多项式系数构成的向量， 多项式的乘积多项式系数向量。 而c为a和b多项式的乘积多项式系数向量。conv( ) 函数的调用是允许多级嵌套的。 函数的调用是允许多级嵌套的。
9
对具有r个输入和m个输出的多变量系统， 对具有r 个输入和m个输出的多变量系统， 可把m 的传递函数矩阵G(s)写成和单变量 可把 m×r 的传递函数矩阵 写成和单变量 系统传递函数相类似的形式， 系统传递函数相类似的形式，即
第2章 自动控制系统的数学模型
二、一阶惯性环节（一阶滞后环节）
1、数学表达式 ：
2、特点 一阶惯性环节含有一个储能元件，输入 量的作用不能立即在输出端全部重现出来， 而是有一个延缓，即有惯性。 3、实例
例2-2 如图2-2所示的RC串联电路，以总电压ur 为输入，电容上电压uC为输出，试建立其微分方程。
图2-2 RC网络
解（1）确定系统的输入、输出变量，如图已知ur为输入，电 容电压uC为输出； （2）列微分方程组： 由基尔霍夫第二定律有： uR +uC =ur ① 由欧姆定律有： uR=R i ② 1 由电容充放电特性，有：uC= ∫idt ③ c （3）消去中间变量
n υ 他激直流电动
五、振荡环节（二阶滞后环节）
1、自动控制原理的研究对象是自动控制系统 的基本结构，这是本章的重点，要求通过实例掌 握自动控制系统各组成部分及其功能。 2、经典控制理论讨论的是按偏差进行控制的 反馈控制系统，应该了解其控制的目的、控制的 对象和控制的过程；熟悉对控制系统动态性能的 基本要求，即稳、快、准；为进一步掌握控制系 统的性能指标打好基础。
d n c(t ) d n 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 a n c(t ) n n 1 dt dt dt d m r (t ) d m 1 r (t ) dr (t ) b0 b1 bm 1 bm r (t ) m m 1 dt dt dt
第2章 线性系统的数学模型
第2章 线性系统的数学模型
六、纯滞后环节（纯延迟环节）
表达式： c(t)=r(t-τ) 特点：输出比输入滞后一个时间τ。 实例：延时继电器。
2-2 传递函数
传递函数是线性定常连续系统最重要的数 学模型之一，是数学模型在复频域内的表示形 式。利用传递函数，不必求解微分方程就可以 求取初始条件为零的系统在任意形式输入信号 作用下的的输出响应，还可以研究结构和参数 的变化对控制系统性能的影响。经典控制理论 的主要研究方法——根轨迹分析法和频域分析 法都是建立在传递函数基础上的。
姜启源数学模型第五版第二章
分析与建模
甲的无差别曲线
如果甲占有(x1,y1)与占有
y
(x2,y2)具有同样的满意程度, y0
即p1, p2对甲是无差别的.
y1
将所有与p1, p2无差别的点 连接起来, 得到一条无差别 y2
曲线MN.
O
.M
M1
p1
p3(x3,y3)
. .p2
N1
N
x1
x2
x0 x
线上各点的满意度相同, 线的形状反映对X,Y的偏爱程度.
参数估计 • 根据测试数据对模型作拟合.
• 调查交通工程学的相关资料：
司机反应时间c1约为0.7~1s， 系数c2约为0.01( mh2/km2)
城市通行能力模型
道路通行能力~单位时间内通过某断面的最大车辆数. 通行能力表示道路的容量，交通流量表示道路的负荷. 饱和度~流量与通行能力的比值, 表示道路的负荷程度.
3个参数之间的基本关系 q vk
交通流的主要参数及基本规律 q vk
速度v 与密度k 的关系 车流密度加大 司机被迫减速
数据分析、机理分析 线性模型 v v f (1 k / k j )
vf ~畅行车速(k=0时) kj~阻塞密度(v=0时)
流量q与密度k 的关系 q v f k(1 k / k j )
Ta~内层玻璃的外侧温度
内
Ta Tb
室 外
Tb~外层玻璃的内侧温度
T1 d l d T2
k1~玻璃的热传导系数
Q1
k2~空气的热传导系数
墙
Q1
k1
T1
Ta d
k2
Ta
Tb l
k1
第2章 关系数据库数学模型
关系——二维表（行列），实体及其联系 都用关系表示。在用户看来关系数据的逻辑模 型就是一张二维表。
关系数据模型概述（续I）
关系操作 查询： 1）选择Select； 4）除Divide； Intersection； 编辑： 1）增加Insert； Update；
2）投影Project； 3）连接Join； 5）并Union； 6）交 7）差Difference；
三元关系的转换 一般要引入分离关系 如公司、产品和国家之间的m:n:p的三元关系及销 售联系。
关系代数
关系代数概述 关系代数的运算符 集合运算符
并U 交∩ 差 专门的关系运算符
笛卡尔积 × 选择σ 投影π 连接 除 算术比较符
> ≥ < ≤ = ≠ 逻辑运算符
EER模型到关系模式的转换（续IV）
为此，本例中引入一个分离关系On_Load(借 出的书)，可以避免空值的出现。 这样，存在以下三个关系模式： Borrower(B#,Name,Address,……) Book(ISBN,Title,……) On_Load(ISBN,B#,Date1,Date2) 只有借出的书才会出现在关系On_Load中， 避免空值 的出现，并把属性Date1和Date2加到 关系On_Load中。
D1 x D2 x…x Dn={(d1,d2,…,dn) | di∈Di, i=1,2,…,n} (d1,d2,…,dn) --------n元组(n-tuple) di--------元组的每一分量（Component) Di为有限集时，其基数为mi，则卡积的基 数为M=m1*m2*…*mn
关系数据库
02 自动控制原理—第二章
Tm
d dt
K u u a K m (Ta
dM c dt
Mc)
电感La较小，故电磁时间常数Ta可以忽略 ，则
Tm
d dt
K uua K m M c
如果取电动机的转角 （rad）作为输出，电枢电压ua （V），考 虑到 d ，可将上式改写成
2.举例 ①一个自变量：励磁电流成正 比，但if增加到某个范围后，磁路饱和，发电机的电势与励磁电流呈 现一种连续变化的非线性函数关系。 设：x—励磁电流， y—发电机的输出电势。 y=f(x)
设原运行于某平衡点（静态工作点） A点：x=x0 , y=y0 ,且y0=f(x0) B点：当x变化△ x， y=y0+△ y 函数在（x0 , y0 ）点连续可微，在A 点展开成泰勒级数，即
y k x
df ( x ) k dx x x0
②两个自变量： y=f(x1， x2) 静态工作点： y0=f(x10， x20) 在y0=f(x10， x20) 附近展开成泰勒级数，即
f 1 2 f f 2 f 2 f y f ( x10 , x 20 ) ( x1 x10 ) ( x 2 x 20 ) ( x1 x10 ) 2 ( x1 x10 )( x 2 x 20 ) ( x 2 x 20 ) 2 2 2 x 2! x x 2 x1x 2 x 2 1 1
例2-2
解 设回路电流i1和i2为中间变量。根据基尔霍夫电压定律对前一回 路，有
u i R1i1
对后一回路，有
1 C1
(i
1
i 2 ) dt
1 C2
自动控制原理课件 第二章 线性系统的数学模型
c(t ) e
dt Leabharlann t
c( s )
g ( ) r ( ) d e s ( ) d 0 0 g ( )e s r ( )e s d d 0 0
0
g ( )e
5) 闭环系统传递函数G(s)的分母并令其为0，就是系统的特征方 程。
• 涉及的是线性系统 非线性系统必须 进行线性化处理
§2-6 信号流程图
系统很复杂，为方便研究，也为了与 实际对应，通常将复杂系统分解为 若干典型环节的连接
数学模型的定义 数学模型： 描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程 建立数学模型的方法：
解析法: 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相 应的数学关系式，建立模型。 自动控制系统的组成可以是电气的，机械的，液压的，气动的等等，然 而描述这些系统的数学模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研 究自动控制系统，就摆脱了各种类型系统的外部关系而抓住这些系统的 共同运动规律，控制系统的数学模型是通过物理学，化学，生物学等定 律来描述的，如机械系统的牛顿定律，电气系统的克希霍夫定律等都是 用来描述系统模型的基本定律。 实验法: 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当 的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。 数学模型的形式 时间域： 复数域： 频率域： 微分方程 差分方程 传递函数 结构图 频率特性 状态方程
1 例1 : F ( s) ( s 1)(s 2)(s 3) c c c 1 2 3 s 1 s 2 s 3
1 1 c1 [ ( s 1)]s 1 ( s 1)(s 2)(s 3) 6 1 1 c2 [ ( s 2)]s 2 ( s 1)(s 2)(s 3) 15 1 1 c3 [ ( s 3)]s 3 ( s 1)(s 2)(s 3) 10 1 1 1 1 1 1 F ( s) 6 s 1 15 s 2 10 s 3 1 1 1 f (t ) e t e 2t e 3t 6 15 10
第2章 数据模型与概念模型
• 概念模型(E-R图):
思考题:某公司的业务活动统计 。 任务：要求统计公司各部门承担的工程项目及职工参与工程项 目情况。 分析： 一、实体集及属性： 实体集有：部门、职工、工程项目。 • 部门有部门号、部门名称两个属性； • 职工有职工号、姓名、性别属性； • 工程项目有工程号、工程名两个属性； 二、联系 • 每个部门承担多个工程项目，每个工程项目属于一个部门。 • 每个部门有多名职工，每一名职工只能属于一个部门。 • 每个职工可参与多个工程项目，且每个工程项目有多名职工参 与。 • 职工参与项目有参与时间。
计算机中对信息的表示和处理与计算机软硬件有关，
描述的数据不便于直接在计算机上实现，必须经过数字
化处理，转换成适合特定计算机系统(主要是DBMS)的
形式描述，形成计算机能够表示和处理的数据，这时就
进入了信息的计算机世界，或机器世界、数据世界。
下面就是一个学生－课程系统：
姓名 性别 年龄 所在院系
学号
2. 信息世界 通过对现实世界中事物及联系的认识，经过选择、 命名、分类等分析后形成印象和概念，并用一定形式加 以抽象描述，就进入信息世界。 如：
张三、李四是学生，分为一类，构成学生实体集，选择部分特 征并命名，描述为： 学生（学号、姓名、性别、年龄、所在院系） 数据库原理、数据结构是课程，分为一类，构成课程实体集， 选择部分特征并命名，描述为： 课程（课程号、课程名、学分）
(4) 域（Domain） 属性的取值范围称为属性的域。
2. 实体联系的类型 （1）两个实体集之间的联系 1) 一对一联系（1:1）:设有两个实体集A和B，对于A 中的每一个实体， B中至多有一个实体与之联系； 反之亦然。 工厂 2) 一对多联系（1:n 1 ）:设有两个实体集A和B，对于A 的每一个实体， B中有一个或多个实体与之联系； 负责 而对于B的每一个实体，A中至多有一个实体与之联 1 职工 学校 系。 厂长 3) 多对多联系（m:n）:设有两个实体集 A和B，对于A 1 m 的每一个实体，B中有一个或多个实体与之联系； 参加 工作 反之亦然。 n n 一对一的联系是一对多联系的特例，一对多的联系是 体育团体 教师 多对多联系的特例
第2章 数学模型的相互转换
(2.3)
微分方程或传递函数是用系统的输入、输出之间的关系来描 述系统的，表示了系统的外部特征，所以称其为外部模型。
用微分方程表示的系统可以是非线性或线性系统，而对于传 递函数表示的系统，只适用于单输入-单输出的线性定常系 统，所以传递函数的模型表示有一定的局限性。
(3). 状态空间表达式 状态空间表达式可以由两个途径获得，由微分方程或系统 结构方框图导出，这里对微分方程推导作简单说明。 设系统由不含输入量导数项的n阶微分方程表示：
利用级联法和并联法得到的状态空间表达式的系数矩阵A、 B、C是不同的。可以用特征方程 sI A 0 判断特征值是否 相同，确定几个状态空间表达式是否属于同一个外部模型， 因为同一系统有相同的特征值。
（3）状态空间表达式转换成传递函数 已知系统状态空间表达式
& Ax Bu x y = Cx
（2.1）
上式中，a1, a2 ,L
an1 , an , c0 , c1,L cm 为常数。
(2). 传递函数
对式（2.1）等号两边逐项进行拉氏变换，并考虑系统输出、 输入及其各阶导数的初值均为零，可得到
s nY ( s) a1s n 1Y ( s) a2 s n 2Y ( s) L anY ( s) c0 s U ( s) c1s U (s) c2 s
0 1 0 A 0 0 1 3 4 2
0 B 0 1
C 8 5 1
组合为状态空间描述有
& x 0 1 0 x1 0 1 x 0 0 1 x 0 u & 2 2 & 3 x 3 4 2 1 x3
& x 1 x2 & x 2 x3 x 3 12 x2 7 x3 u &
第2章 控制系统的数学模型
第2章控制系统的数学模型§1 系统数学模型的基本概念一. 系统模型系统的模型包括实物模型、物理模型、和数学模型等等。
物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究(信息方法)。
从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。
相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础。
二. 系统数学模型1. 系统数学模型系统的数学模型是系统动态特性的数学描述。
数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。
2. 系统数学模型的分类数学模型又包括静态模型和动态模型。
(1) 静态数学模型静态条件(变量各阶导数为零)下描述变量之间关系的代数方程。
反映系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。
(2) 动态数学模型描述变量各阶导数之间关系的微分方程。
描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。
也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。
动态系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关。
微分方程或差分方程常用作动态数学模型。
动态模型在一定的条件下可以转换成静态模型。
在控制理论或控制工程中，一般关心的是系统的动态特性，因此，往往需要采用动态数学模型。
即，一般所指的系统的数学模型是描述系统动态特性的数学表达式。
三. 系统数学模型的形式对于给定的同一动态系统，数学模型的表达不唯一。
如微分方程、传递函数、状态方程、单位脉冲响应函数及频率特性等等。
对于线性系统，它们之间是等价的。
但系统是否线性这一特性，不会随模型形式的不同而改变。
线性与非线性是系统的固有特性，完全由系统的结构与参数确定。
经典控制理论采用的数学模型主要以传递函数为基础。
而现代控制理论采用的数学模型主要以状态空间方程状态空间方程为基础。
而以物理定律及实验规律为依据的微分方程微分方程又是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。
第2章 线性系统的数学模型
2.2.1
传递函数的定义
传递函数： 初始条件为零时，线性定常系统或
元件输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变 换的比，称为该系统或元件的传递函数。
线性定常系统微分方程的一般表达式
d n c(t ) d n1c(t ) dc(t ) d m r (t ) an dt n an1 dt n1 a1 dt a0 c(t ) bm dt m b0 r (t )
ma F F FB FK
F (t )
m
k
（1）
f
y (t )
其中 FB f
dy dt FK ky
－阻尼器的粘性摩擦力 －弹簧的弹力
（3）消去中间变量，得到输入与输出的关系方程 将以上各式代入（1）式得 d2y dy m 2 F f ky dt dt
（4）整理且标准化
U2
（3）消去中间变量，得到U2与U1的关系方程
对（2）式求导得
dU 2 1 i, dt C 即i C dU 2 dt
d 2U 2 dU 2 U 2 U1 代入（3）式并整理得 LC 2 RC dt dt
例2-2：如图所示为一弹簧阻尼系统。图中质量为m的物体受 到外力作用产生位移Y，求该系统的微分方程。 解： （1）确定输入量和输出量 输入量：外力F（t) 输出量:位移y(t) （2）列写原始微分方程
2)
c( s) bm (d m s m d m1s m1 1) G( s) r ( s) an (cn s n cn 1s n 1 1)
(T1s 1)(T2 s 1) (Tm s 1) =K (T1s 1)(T2s 1) (Tm s 1)
+
第2章连续控制系统的数学模型
第2章连续控制系统的数学模型2.1 控制系统数学模型的概念控制理论分析、设计控制系统的第一步是建立实际系统的数学模型。
所谓数学模型就是根据系统运动过程的物理、化学等规律，所写出的描述系统运动规律、特性、输出与输入关系的数学表达式。
建立描述控制系统的数学模型，是控制理论分析与设计的基础。
一个系统，无论它是机械的、电气的、热力的、液压的、还是化工的，都可以用微分方程加以描述。
对这些微分方程求解，就可以获得系统在输入作用下的响应（即系统的输出）。
对数学模型的要求是，既要能准确地反映系统的动态本质，又便于系统的分析和计算工作。
2.1.1 数学模型的类型数学模型是对系统运动规律的定量描述，表现为各种形式的数学表达式，从而具有不同的类型。
下面介绍几种主要类型。
1. 静态模型与动态模型根据数学模型的功能不同，数学模型具有不同的类型。
描述系统静态（工作状态不变或慢变过程）特性的模型，称为静态数学模型。
静态数学模型一般是以代数方程表示的，数学表达式中的变量不依赖于时间，是输入输出之间的稳态关系。
描述系统动态或瞬态特性的模型，称为动态数学模型。
动态数学模型中的变量依赖于时间，一般是微分方程等形式。
静态数学模型可以看成是动态数学模型的特殊情况。
2. 输入输出描述模型与内部描述模型描述系统输出与输入之间关系的数学模型称为输入输出描述模型，如微分方程、传递函数、频率特性等数学模型。
而状态空间模型描述了系统内部状态和系统输入、输出之间的关系，所以称为内部描述模型。
内部描述模型不仅描述了系统输入输出之间的关系，而且描述了系统内部信息传递关系，所以比输入输出模型更深入地揭示了系统的动态特性。
3. 连续时间模型与离散时间模型根据数学模型所描述的系统中的信号是否存在离散信号，数学模型分为连续时间模型和离散时间模型，简称连续模型和离散模型。
连续数学模型有微分方程、传递函数、状态空间表达式等。
离散数学模型有差分方程、Z传递函数、离散状态空间表达式等。
第二章：控制系统的数学模型
第二章控制系统的数学模型本章目录2.1 传递函数2.2 传递函数的说明2.3 非线性数学模型的线性化2.4 典型环节的传递函数数学模型2.5 用方块图表示的模型2.6 信号流程图与梅逊公式2.7* 数学模型的MATLAB描述小结本章简介系统是指相互联系又相互作用着的对象之间的有机组合。
许多控制系统，不管它们是机械的、电气的、热力的、液压的，还是经济学的、生物学的等等，都可以用微分方程加以描述。
如果对这些微分方程求解，就可以获得控制系统对输入量（或称作用函数）的响应。
系统的微分方程，可以通过支配着具体系统的物理学定律，例如机械系统中的牛顿定律，电系统中的克希霍夫定律等获得。
为了设计（或者分析）一个控制系统，首先需要建立它的数学模型，即描述这一系统运动规律的数学表达式。
有三种比较常用的描述方法：一种是把系统的输出量与输入量之间的关系用数学方式表达出来，称之为输入--输出描述，或外部描述，例如微分方程式、传递函数和差分方程。
第二种不仅可以描述系统的输入、输出间关系，而且还可以描述系统的内部特性，称之为状态变量描述，或内部描述，它特别适用于多输入、多输出系统，也适用于时变系统、非线性系统和随机控制系统。
另一种方式是用比较直观的方块图模型来进行描述。
同一控制系统的数学模型可以表示为不同的形式，需要根据不同情况对这些模型进行取舍，以利于对控制系统进行有效的分析。
本章所讨论的数学模型以传递函数和方块图为主。
2.1 传递函数在控制理论中，为了描述线性定常系统的输入-输出关系，最常用的函数是所谓的传递函数。
传递函数的概念只适用于线性定常系统，在某些特定条件下也可以扩充到一定的非线性系统中去。
线性定常系统的传递函数，定义初始条件为零时，输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比。
设有一线性定常系统，它的微分方程是(2-1)式中y是系统的输出量，x是系统的输入量。
初始条件为零时，对方程（2-1）两端进行拉普拉斯变换，就可以得到该系统的传递函数为：(2-2)传递函数是一种以系统参数表示的线性定常系统的输入量与输出量之间的关系式，它表达了系统本身的特性，而与输入量无关。
第2章 连续系统的数学模型
本章主要内容
1. 控制系统数学模型的概念 2. 控制系统常用的几种数学模型(微分方程、传 递函数和动态结构图)。 3. 了解这些数学模型之间的相互关系。
2
第2章 连续系统的数学模型
1 2 3 4 5
系统数学模型的概念
系统的微分方程 传递函数 动态结构图 系统数学模型的MATLAB表示
3
2.1 系统数学模型的概念
G( s)
c(t)/r(t) ξ =0.2 ξ =0.5 ξ =1 R(s) ωnt
1 T 2 s 2 2Ts 1
n 2 G( s) 2 2 s 2n s n
n2 2 S 2 2 n S n
C(s)
实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函数。
6. 延迟环节 （时滞环节、滞后环节）
动态结构图包含四个基本元素：
信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号传递方向。 引出点（测量点）：引出或者测量信号的位置。 这里的信号引出与测量信号一样，不影响原信号，所以也称为测量点。从 同一信号线上引出的信号，数值和性质完全相同。 比较点（综合点）：对两个或者两个以上的信号进行代数运算。 方框：表示对输入信号进行的数学变换。 对于线性定常系统或元件，通常在方框中写入其传递函数。
(a0 s n a1s n1 (b0 s m b1s m1 an1s an )C (s) bm1s bm ) R(s)
bm1s bm an1s an
系统
C ( s) b0 s m b1s m1 G ( s) R( s) a0 s n a1s n1
F (t ) F 1 F 2 ma
F(t) 2
f
m
dx(t ) d 2 x(t ) X(t) 得 F (t ) kx(t ) f m dt dt 2
第二章系统的数学模型
2.2 控制系统的复数域数学模型(传递函数)
一．传递函数
１．线性定常系统的传递函数定义为：
零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入 量的拉氏变换之比。
R(s) G(s) C(s)
传递函数
输出的拉氏变换 输入的拉氏变换
|零初始条件
C(s) R(s)
G(s)
零初始条件
➢ 零初始条件指的是输入、输出初始条件均为零，即
在给定工作点 ( x0，y0 )附近，将上式展开泰勒级数：
y
f (x)
df f ( x0 ) dx
1 d2 f x x0 ( x x0 ) 2! dx2
(x x0 )2
x x0
若在工作点 ( x0，y0 ) 附近增量 x x0 的变化很小，则可略去式中 ( x x0 )2 项及其后面所有的高阶项，这样，上式近似表示为：
l
s
1)
G(s)
i 1 d
l 1 e
sv (Tjs 1) (Tk2s2 2 kTk s 1)
j 1
k 1
纯微分环节
s
es
积分环节
惯性环节
振荡环节
延迟环节
典型环节
➢ 比例环节的传递函数为：
Proportional element (link)
C(s) G(s) K R(s)
齿轮传动
方框图为：
➢ 频域数学模型：
频率特性
2.1 线性系统的时域数学模型
本节主要研究描述 线性、定常、集总参量控制系统的微分方程的
建立和求解方法
线性元件的微分方程
一．微分方程：
给定量和扰动量作为系统输入量，被控制量作为系统输出 的一种系统描述方法
计 算 机 仿 真 技 术第二章 系统数学模型及其相互转换
d y d y d y dy a1 n1 a2 n2 an1 an y u n dt dt dt dt (2.1.7)
n
n 1
n 2
2.1 系统的数学模型
引入各状态变量
x1 y x2 dy x1 dt d2y x2 dt 2 d n 1 y x n 1 dt n 1
2.1 系统的数学模型
2.1.1 连续系统的数学模型
连续系统的数学模型通常可以用以下几种形式 表示：微分方程、传递函数、状态空间表达式。 本节仅对这些数学模型做简单复习，以便于在建 立仿真程序时，选择适当的系统数学模型形式。
一、微分方程
一个连续系统可以表示成高阶微分方程，即
dny d n 1 y d n 2 y dy a0 n a1 n 1 a 2 n 2 a n 1 an y dt dt dt dt d n 1u d n 2 u (2.1.1) c1 n 1 c2 n 2 cn u dt dt
(2.1.16)
由(2.1.14)式分子对应相等得
y cni p j x cn x1 cn1 x2 c1 xn
n 1 i 0
y cn cn1 c1 x 即 (2.1.17) 由(2.1.16)、(2.1.17)式与(2.1.10)、(2.1.11)是 比较可见，状态方程的形式仍相同，但输出方程变 了，这种表示的结构形式成为可控标准型。
2.1 系统的数学模型
状态变量的初值可由引入状态变量的关系式获得：
x1 0 y 0 x2 0 y 0 x3 0 0 y xn 0 y n 1 0
浅谈高中生物学中数学模型的转换
生物数学模型转换的实践探讨东台市三仓中学王强【摘要】模型方法是人们认识自然界的一种重要方式，也是理论思维发展的重要形式。
无论在生物科学研究还是在学习科学的过程中，模型和模型方法都起着十分重要的作用。
其中构建数学模型作为发现科学事实，揭示科学规律的过程和方法，在生物教学中有着十分重要的意义。
构建数学模型有助于学生系统地、完整地学习和理解新知识，同时有助于学生运用数学工具解决一些复杂的问题，还可以习得获取知识的方法，提高解决问题的能力。
【关键词】数学模型转换构建模型是一种通过研究模型来揭示原型的形态、特征和本质的方法，是逻辑方法的一种特有形式。
其作为一种现代科学认识手段和思维方法，所提供的观念和印象，不仅是学生获取知识的条件，而且是学生认知结构的重要组成部分，在高中生物教学中有着广泛的应用价值和意义。
数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图像、框图等描述客观实物的特征及其内在联系的数学结构表达式。
数学模型是联系实际问题和数学的桥梁，具有解释、判断、预测等重要功能。
引导学生构建数学模型，有利于培养学生透过现象揭示本质的洞察力，同时通过科学与数学的整合，有利于培养学生简约、严密的思想品质。
数学模型在高考试题中层出不穷，这里就数学模型的转换谈谈自己的认识以供解题参考。
1、研究一定条件下种群数量变化规律过程中的有关数学模型的转换在新课标生物必修3的第4章《种群和群落》中的第2节《种群数量的变化》中，教材用数学模型构建了种群数量的变化。
模型假设：在食物和空间条件充裕、气候适宜、没有敌害等条件下，种群的数量每年以一定的倍数增长，第二年的数量是第一年的λ倍。
模型构建：N t＝N oλt其中N o为该种群的起始数量，t为时间，N t为t年后该种群的数量，λ为该种群每年增长倍数。
如果以种群数量为纵坐标，时间为横坐标,该模型可构建为：这样数学方程式就转换为函数曲线图。
这一转换它能更直观地反映出种群数量的增长趋势。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（2.1）
上式中，a1, a2 ,L
an1 , an , c0 , c1,L cm 为常数。
(2). 传递函数
对式（2.1）等号两边逐项进行拉氏变换，并考虑系统输出、 输入及其各阶导数的初值均为零，可得到
s nY ( s) a1s n 1Y ( s) a2 s n 2Y ( s) L anY ( s) c0 s U ( s) c1s U (s) c2 s
写出各个状态变量的一阶微分方程形式
& x 1 x2 & x 2 x3 & x 3 x4 M & x n 1 xn & x n a1 xn a2 xn 1 L an 1 x2 an x1 u
将上述n个一阶微分方程写成矩阵向量形式为
& Ax Bu x y Cx
①对上式两边取拉氏变换
sX (s) x(0) AX (s) BU (s)
Y (s) CX ( s)
& ax u x y x
从上面得到由系统结构图到状态变量图并到处状态空间表达式 的步骤如下： ① 根据系统的传递函数，画出系统结构图，n阶系统有n个积分 器； ② 把积分器输出处定为状态变量x，积分器输入处为状态变量微 &，并把状态变量x，和状态变量 x &微分分别标在积分器输 分x 入和输出处，得到状态变量图； ③ 根据积分器输入、输出的方程写出系统的状态方程和输出方 程。 对于高阶、复杂系统采用级联法、并联法和串联法得到代表实际 系统传递函数的系统结构图及相应的状态变量图，依据同样方法 求得状态空间表达式。
其中，
0 0 1 A 0 0 1 0 12 7
B 0 0 1
1
C 2 3 1
分析系数矩阵A、B、C可见： 系数矩阵A是一个方阵，以I表示行号，J表示列号，最末一行 元素和传递函数分母多项式系数按s0升幂排列的负值一一对 应，其余各行的元素在J=I+1时为1，其他全部为0；
y(s)
u (s) x
1 s
y(s) x
图2-1 积分器的系统结构图和状态变量图
由状态变量图根据积分器的输入、输出关系写出：
& u 状态方程 x
输出方程 y x
对于带反馈的积分器，其传递函数为
G (s) 1 sa
u (s)
x
1 s
y(s) x
a
图2-2 带反馈积分器的状态变量图
由积分器输入、输出关系得到
（1）微分方程转化为传递函数和状态空间表达式 例2.1 已知某控制系统的微分方程为
d2y dy du 2.5 6 y 2 10u 2 dt dt dt
将其分别表示为传递函数、一阶微分方程组和状态空间描述。
解： ①将给定系统微分方程的两端取拉氏变换，并令初始值为零， 则可用以下传递函数表示
x1 x y 8 5 1 2 x3
②将上述矩阵展开即可得到系统模型的一阶微分方程组表示 形式
& x 1 x2 x & 2 x3 & 3 3 x1 4 x2 2 x3 u x y 8 x1 5 x2 x3
上式称为状态空间表达式，其中
0 0 0 A an 1 0 0 an 1 0 1 0 an 2 0 0 1 0 0 0 a2 0 0 0 1 a1
(2.5)
B1 B 2 B Bn 1 Bn
第2章 连续系统数字仿真的 基本算法
2.1 连续系统数学模型 2.2 数值积分算法 2.3 数值积分算法的基本分析 2.4 连续系统仿真的离散相似算法 2.5 常用快速数字仿真算法 2.6 实时数字仿真算法 小结
2.1连续系统数学模型
2.1 .1表达形式
描述控制系统的主要模型有微分方程、状态空间表达式等形 式的时域描述法和用传递函数描述的频域描述法。即对于一 个连续的控制系统，数字仿真常用的数学模型一般有3种表示 方式： ◆直接用微分方程描述； ◆用传递函数描述；
多项式形式 零极点形式
◆状态方程描述； 这三种描述方式是可以相互转换的。
(1). 微分方程 设连续系统的输出量为y(t)，输入量为u(t) ，采用微分方程的 形式来表示的系统数学模型一般式可描述如下：
dny d n 1 y d n2 y dy a a ... a an y 1 2 n 1 n n 1 n2 dt dt dt dt d mu d mu c0 m c1 m ... cmu dt dt
x1 x 2 x xn 1 x n
A、B、C为系数矩阵，x为状态变量。
2.1.2. 数学模型的相互转换
由于要解决的控制问题所需的数学模型与所给定的已知数学 模型往往是不一致的，不同的应用场合需要对控制系统的数 学模型进行转换
x1 y 10 2 x2
（2）传递函数转换成状态空间表达式 转换采用的方法是状态变量图法 ，用基本模拟单元替代系统 的传递函数得到的图形式系统结构图，在系统结构图上标上 状态变量的图形是状态变量图，然后再求出状态空间表达式。 对于初始条件为零的积分器
u (s)
1 s
(2.3)
微分方程或传递函数是用系统的输入、输出之间的关系来描 述系统的，表示了系统的外部特征，所以称其为外部模型。
用微分方程表示的系统可以是非线性或线性系统，而对于传 递函数表示的系统，只适用于单输入-单输出的线性定常系 统，所以传递函数的模型表示有一定的局限性。
(3). 状态空间表达式 状态空间表达式可以由两个途径获得，由微分方程或系统 结构方框图导出，这里对微分方程推导作简单说明。 设系统由不含输入量导数项的n阶微分方程表示：
dny d n 1 y d n2 y dy a1 n 1 a2 n 2 L an1 an y u n dt dt dt dt
(2.4)
定义n个状态变量为 x1 , x2 ,L , xn ，且令
x1 y dy dt d2y & x3 x 2 dt 2 M & x2 x 1 d n 1 y & xn x n 1 dt n 1
y x1 x2 x3
其中
0 0 0 A 0 3 0 0 0 4
1 B 6 2 3 3 2
1
0 0 1 A 0 0 1 0 12 7
B 0 0 1
1
C 1 1 1
C 2 3 1
& x 1 x2 & x 2 x3 x 3 12 x2 7 x3 u &
3
u (s)
x3
1 s
7
x3
x2
1 s
x2
x1
1 s
x1
2
y(s)
y 2 x1 3x2 x3
◆写成矩阵表达式
& Ax Bu x y = Cx
12
A、B、C为系数矩阵
（Ⅱ）并联法 并联法的思路是把高阶系统的传递函数转变成若干个一阶环 节传递函数之和，如将式（2-6）表示成下式形式
G (s) 16 23 32 s s3 s4
1 6 2 3
x1
1 s
x1
然后，对各个一阶环节的 传递函数画出系统结构图， 并标上状态变量后，得到 如图2-5所示的状态变量图。
系数矩阵B是一个单列矩阵，最后一行元素为1，其余为零；
系数矩阵C是一个单行矩阵，各列元素与传递函数分子多项 式系数按s0升幂排列值相同。
推广到n阶方程，系数矩阵 A、B、C分别为
1 0 0 0 A M M 0 0 an an 1 0 1 M 0 an 2
0 0 0 L 0 C cn1 cn2 M M B M 0 L 1 1 n1 L a1 nn
L
c0 1n (2.7)
这种形式的矩阵称为可控标准型状态表达式。
例2.2已知某控制系统的传递函数为
u (s)
x2
1 s
3
x2
y(s)
3 2
x3
1 s
4
x3
图2.5 并联法系统状态变量图
由图2-5可到状态空间表达式为
& u x1 6 2 & u 3 x2 x 2 3 3 & x 3 2 u 4 x3
写成矩阵表达式
& Ax Bu x y = Cx
1
u (s)
1 s
7
1 s
3
1 s
2
y(s)
12
1 3 2 2 3 s s s G( s) 7 12 1 2 s s
图2-3 系统信号流图
3
u (s)
x3
1 s
7
x3
x2
1 s
x2
x1
1 s
x1
2
y(s)
12
图2-4 系统状态变量图
◆根据积分器输入、输出关系得到如下方程
m m 1 m2
U (s) L cnU (s)
（2.2）
式中，
Y ( s) -系统输出的换；
可得系统的传递函数为：
Y (s) c0 s m c1s m1 c2 s m2 L cn G( s ) n U ( s) s a1s n1 a2 s n2 L an
& x 1 x2 & x 2 6 x1 2.5 x2 u y 10 x 2 x 1 2