人教版八年级上册整式的乘除知识点复习
人教版八年级数学上册《第十四章 整式的乘除与分解因式》知识点总结
人教版八年级数学上册《第十四章 整式的乘除与分解因式》知识点总结1.基本运算:⑴同底数幂的乘法:m n m n a a a +⨯=⑵幂的乘方:()n m mn a a =⑶积的乘方:()n n n ab a b =2.整式的乘法:⑴单项式⨯单项式:系数⨯系数,同字母⨯同字母,不同字母为积的因式。
⑵单项式⨯多项式:用单项式乘以多项式的每个项后相加.⑶多项式⨯多项式:用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加.3。
计算公式:⑴平方差公式:()()22a b a b a b -⨯+=-⑵完全平方公式:()2222a b a ab b +=++;()2222a b a ab b -=-+4.整式的除法:⑴同底数幂的除法:m n m n a a a -÷=⑵单项式÷单项式:系数÷系数,同字母÷同字母,不同字母作为商的因式。
⑶多项式÷单项式:用多项式每个项除以单项式后相加.⑷多项式÷多项式:用竖式。
5.因式分解:把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式 子因式分解.6.因式分解方法:⑴提公因式法:找出最大公因式。
⑵公式法:①平方差公式:()()22a b a b a b -=+- ②完全平方公式:()2222a ab b a b ±+=± ③立方和:3322()()a b a b a ab b +=+-+ ④立方差:3322()()a b a b a ab b -=-++ ⑶十字相乘法:()()()2x p q x pq x p x q +++=++ ⑷拆项法⑸添项法。
人教版数学八上第22讲整式的乘除与因式分解全章复习与巩固(提高)知识讲解
整式的乘除与因式分解全章复习与巩固(提高)【学习目标】1. 掌握正整数幂的运算性质,并能运用它们熟练地进行运算;掌握单项式乘(或除以)单项式、多项式乘(或除以)单项式以及多项式乘多项式的法则,并运用它们进行运算;2. 会推导乘法公式(平方差公式和完全平方公式),了解公式的几何意义,能利用公式进行乘法运算;3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算,并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算;4. 理解因式分解的意义,并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算,掌握提公因式法和公式法(直接运用公式不超过两次)这两种分解因式的基本方法,了解因式分解的一般步骤;能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解. 【知识网络】【要点梳理】要点一、幂的运算 1.同底数幂的乘法:(m n ,为正整数);同底数幂相乘,底数不变,指数相加.2.幂的乘方: (mn ,为正整数);幂的乘方,底数不变,指数相乘. 3.积的乘方: (n 为正整数);积的乘方,等于各因数乘方的积.4.同底数幂的除法:(a ≠0, mn ,为正整数,并且m n >). 同底数幂相除,底数不变,指数相减.5.零指数幂:()010.a a =≠即任何不等于零的数的零次方等于1.要点诠释:公式中的字母可以表示数,也可以表示单项式,还可以表示多项式;灵活地双向应用运算性质,使运算更加方便、简洁. 要点二、整式的乘法和除法 1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘,把他们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.要点诠释:运算时,要注意积的符号,多项式中的每一项前面的“+”“-”号是性质符号,单项式乘以多项式各项的结果,要用“+”连结,最后写成省略加号的代数和的形式.根据多项式的乘法,能得出一个应用比较广泛的公式:()()()2x a x b x a b x ab ++=+++.4.单项式相除把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里出现的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式. 5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式,再把所得的商相加. 即:()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++ 要点三、乘法公式1.平方差公式:22()()a b a b a b +-=-两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.要点诠释:在这里,a b ,既可以是具体数字,也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征:既有相同项,又有“相反项”,而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2. 完全平方公式:()2222a b a ab b +=++;2222)(b ab a b a +-=-两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上(减去)这两数乘积的两倍.要点诠释:公式特点:左边是两数的和(或差)的平方,右边是二次三项式,是这两数的平方和加(或减)这两数之积的2倍. 要点四、因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.要点诠释:落实好方法的综合运用:首先提取公因式,然后考虑用公式;两项平方或立方,三项完全或十字; 四项以上想分组,分组分得要合适; 几种方法反复试,最后须是连乘式; 因式分解要彻底,一次一次又一次.【典型例题】类型一、幂的运算1、已知25mx=,求6155m x -的值.【思路点拨】由于已知2mx 的值,所以逆用幂的乘方把6mx变为23()m x ,再代入计算.【答案与解析】 解:∵25mx=,∴62331115()55520555m m x x -=-=⨯-=. 【总结升华】本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力.举一反三:【变式】(1)已知246122,9,5===a b c ,比较,,a b c 的大小.(2)比较3020103,9,27大小。
八年级上数学整式的乘除与因式分解基本知识点
整式是一个或多个代数式的和、差或积。
整式的乘除与因式分解是数学中非常重要的概念,是解决各种代数问题的基础。
本文将详细介绍八年级上数学中整式的乘除与因式分解的基本知识点。
一、整式的乘法1.1 单项式的乘法:单项式的乘法是指单项式与单项式之间的乘法。
例如:2x ×3y = 6xy,-4a^2 × 5b^3 = -20a^2b^31.2多项式的乘法:多项式的乘法是指多项式与多项式之间的乘法。
例如:(3x+2)(x-1)=3x^2+x-2二、整式的除法2.1 单项式的除法:单项式的除法是指单项式除以单项式。
例如:4x^2 ÷ x = 4x,10a^3b^2 ÷ 2ab = 5a^2b。
2.2多项式的除法:多项式的除法是指多项式除以多项式。
例如:(12x^3+9x^2+3x)÷3x=4x^2+3x+1三、整式的因式分解整式的因式分解是将一个整式写成几个整式的乘积的形式,其中每个整式都是原来整式的因式。
例如:12x^2+8xy,将其因式分解为4x(3x+2y)。
3.1 提取公因式:如果一个整式的每一项都能被同一个整式整除,那么这个公因式就是整式的一个因子。
例如:12x^2+8xy,公因式是4x。
3.2分解差的平方:差的平方是指形如"一个数的平方减另一个数的平方"的表达式。
例如:x^2-9,可因式分解为(x-3)(x+3)。
3.3 分解二次三项式:二次三项式是指形如"一个平方项加两个相同系数的次项"的表达式。
例如:x^2+2xy+y^2,可因式分解为(x+y)^2四、习题例析例1:将多项式4x^2+16x因式分解。
解:这个多项式2x的平方加4x的倍数,所以可以因式分解为4x(x+4)。
例2:将多项式a^2-9因式分解。
解:由差的平方公式可得,a^2-9=(a-3)(a+3)。
例3:将多项式4x^2y^2-8xy^2因式分解。
人教版八年级数学上册14.整式的乘除与因式分解--复习课件
例2 把下列各式分解因式. (1)(a+b)2-4a2 ; (2)1-10x+25x2; (3)(m+n)2-6(m+n)+9
解:(1)(a+b)2-4a2=(a+b)2-(2a)2 =(a+b+2a)(a+b-2a) =(3a+b)(b-a)
(2)1-10x+25x2 =1-10x+(5x)2 =(1-5x)2 (3)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2.
5, 求(a
1 )2的值. a
(2)若x y2 2, x2 y2 1, 求xy的值.
(3)如果(m n)2 z m2 2mn n2 ,
则z应为多少?
(4)(x 3y 2z)(x 3y 2z)
(5)19992, (6)20012 19992
练习:计算下列各题。
(1)( 1 a6b4c) ((2a3c) 4
1、 205×195 2、 (3x+2) (3x-2) 3、(-x+2y) (-x-2y) 4 、 (x+y+z)(x+y-z)
(2)、完全平方公式
一般的,我们有:
(a b)2 a2 2ab b2;
(a b)2 a2 2ab b2 其中a, b既可以是数, 也可以是代数式.
即: (a b)2 a2 2ab b2
探索与创新题 例4 若9x2+kxy+36y2是完全平方式,则k= —
分析:完全平方式是形如:a2±2ab+b2即两数 的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差).
∵9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2 ∴±kxy=2·3x·6y=36xy ∴k=±36
数学人教版八年级上册整式的乘除(复习)
基础巩固
1、口答,判断对错,错误的并改正。
( )
2、计 2 3 2 2 2 3 2
(2) 7m(4m p ) 7m
2
(3)(12a 6a 3a ) (3a ) (4)(x y )(x xy y )
2
(1)4x y (xy ) 2 3 6 4x y (x y ) 5 7 4x y 2 2 2 (2) 7m(4m p ) 7m 4 2 2 7m 16m p 7m 3 2 16m p
2 2 3
(3)(12a 6a 3a ) (3a )
3 2
(4xy 2y ) 4y 1 x y 2
y 2 x 1 0 2x y 10
1 1 y 2x 10 y 2 x 0 ) 原式 x x x x ( x1 (x xx 5) 5 5 5 2 2 2 2
3、化简求值
原式 [x y
a
b
3a+2b
=?
2.计算
解:(x+1)(x-2)+(3-x)(x-2)
2、计算
解:
2、(x 1) (x 1) (x 3)(x 1)
3、化简求值
3、化简求值
原式 [x y
2 2
(x 2xy y ) 2xy 2y ] 4y
2
2
2
2
(x 2 y 2 x 2 2xy y 2 2xy 2y 2 ) 4y
2 2
(x 2xy y ) 2xy 2y ] 4y
2
2
2
2
(x 2 y 2 x 2 2xy y 2 2xy 2y 2 ) 4y
【人教版】初中数学知识点总结整式的乘除
整式的乘法目标认知学习目标:1.掌握正整数幂的运算性质(同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方),能用字母式子和文字语言正确地表述这些性质,并能运用它们熟练地进行运算。
2.掌握单项式与单项式,单项式与多项式,多项式与多项式相乘的法则,并能运用它们进行运算。
重点:整式乘法性质的准确掌握和熟练运用。
难点:字母的广泛含义的理解。
二、知识要点梳理知识点一:同底数幂的乘法要点诠释:同底数幂相乘,.底数不变,指数相加用字母表示为:a m×a n=a m+n(m、n都是正整数).三个或三个以上同底数幂相乘时,也具有这一性质,即a m·a n·a p=a m+n+p(m、n、p都是正整数).此性质可以逆用,即a m+n=a m×a n(m、n都是正整数).知识点二:幂的乘方要点诠释:幂的乘方,底数不变,指数相乘。
用字母表示为:(a m)n=a mn. (m、n都是正整数)知识点三:积的乘方要点诠释:积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。
用字母表示为:(ab)n=a n b n(n是正整数).知识点四:单项式乘以单项式要点诠释:单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘.对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.知识点五:单项式乘以多项式要点诠释:单项式与多项式相乘,就是用单项式乘以多项式的每一项,再把所得的积相加,用字母表示为m(a+b+c)=ma+mb+mc.知识点六:多项式乘以多项式要点诠释:多项式乘以多项式,先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.用字母表示为(a+b)(m+n)=ma+na+mb+nb.三、规律方法指导1.在学习本节内容时,应适当复习幂、指数、底数等概念,特别要弄清正整数指数幂的意义.2.幂的三个运算性质是学习整式乘法的前提条件,单项式乘法是幂的运算性质的一个直接应用,单项式与多项式乘法及多项式与多项式乘法是在单项式乘法的基础上,利用分配律的更复杂的运算.3.在单项式的乘法法则中:①系数相乘,是有理数的乘法运算;相同字母相乘,是同底数幂的乘法运算;②单项式与单项式相乘的结果是单项式,一般确定结果的系数,往往先确定绝对值,再确定符号.4.在单项式与多项式相乘时:①单项式乘以多项式的依据是乘法对加法的分配律.②单项式与多项式相乘,结果是一个多项式,其项数和因式中多项式的项数相同,计算时要注意各项的符号.5.在多项式与多项式相乘时:①多项式乘以多项式可以化为单项式乘以多项式或单项式乘以单项式.②多项式与多项式相乘,仍得多项式,在合并同类项之前,积的项数应该等于两个多项式的项数的积.整式的乘法经典例题透析类型一:同底数幂的运算1、计算:(1)(-)(-)2(-)3 (2) -a4·(-a)3·(-a)5思路点拨:(1)分析:①(-)就是(-)1,指数为1;②底数为-,不变;③指数相加1+2+3=6;④乘方时先定符号“+”,再计算的6次幂(2)分析:①-a4与(-a)3不是同底数幂;②可利用-(-a)4=-a4③变为同底数幂总结升华:同底数幂的乘法法则是本章中的第一个幂的运算法则,也是整式乘法的主要依据之一。
人教版八年级上册数学课本知识点归纳
人教版八年级上册数学课本知识点归纳第十五章:整式的乘除与因式分解一、整式的乘法1.同底数幂的乘法规则是:am·an=am+n(m,n都是正整数)。
即同底数幂相乘,底数不变,指数相加。
2.幂的乘法规则是:(am)n=amn(m,n都是正整数)。
即幂的乘方,底数不变,指数相乘。
3.积的乘法规则是:(ab)n=an·bn(n为正整数)。
即乘方的积等于积的乘方。
4.单项式与单项式相乘的规则是:(1)系数与系数相乘;(2)同底数幂与同底数幂相乘;(3)其余字母及其指数不变作为积的因式。
5.单项式与多项式相乘的规则是:用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。
6.多项式与多项式相乘的规则是:先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。
二、乘法公式1.平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2.2.完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2.口诀:前平方,后平方,积的两倍中间放,中间符号看情况。
(这个情况就是前后两项同号得正,异号得负。
)3.添括号:添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里面的各项都不变符号;如果括号前面是负号,括到括号里面的各项都改变符号。
三、整式的除法1.am÷an==am-n(a≠,m,n都是正整数,且m>n)。
即同底数幂相除,底数不变,指数相减。
2.a=1(a≠)。
任何不等于1的数的次幂都等于1.3.单项式除以单项式的规则是:(1)系数相除;(2)同底数幂相除;(3)只在被除式里的幂不变。
4.多项式除以单项式的规则是:先把这个多项式的每一项分别除以单项式,再把所得的商相加。
四、因式分解1.因式分解是把一个多项式化成几个整式乘积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式。
2.公因式是一个多项式中各项都含有的相同的因式。
3.分解因式的方法:1) 提公因式法:ma+mb+mc =m(a+b+c)。
人教版八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解小结与复习教学课件
考点二 整式的运算
例3 计算:[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)] ÷3x2y,其中x=1,y=3.
解析:在计算整式的加、减、乘、除、乘方的运算中,一要注意运算顺序;二要熟练
正确地运用运算法则.
解:原式=(x3y2-x2y-x2y+x3y2) ÷3x2y
=(2x3y2-2x2y) ÷3x2y
例6 把多项式2x2-8分解因式,结果正确的是( C )
A.2(x2-8)
B.2(x-2)2
C.2(x+2)(x-2) D.2x(x- )
4 x
归纳总结
因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式,它与整式乘法互为逆 运算,因式分解时,一般要先提公因式,再用公式法分解,因式分解要求 分解到每一个因式都不能再分解为止.
3.(1)已知3m=6,9n=2,求3m+2n,32m-4n的值. (2)比较大小:420与1510. 解:(1)∵3m=6,9n=2, ∴3m+2n=3m·32n=3m·(32)n=3m·9n=6×2=12. 32m-4n=32m÷34n=(3m)2÷(32n)2=(3m)2÷(9n)2=62÷22=9. (2) ∵420=(42)10=1610, ∵1610>1510,
=a2-(b-3)2=a2-b2+6b-9. (3)原式=[(3x-2y)(3x+2y)]2
=(9x2-4y2)2=81x4-72x2y2+16y4
11.用简便方法计算
(1)2002-400×199+1992; (2)999×1 001. 解:(1)原式=(200-199)2=1;
(2) 原式=(1000-1)(1000+1) =10002-1 =999999.
人教版八年级上第十四章《整式的乘法与因式分解》知识点总结
人教版八年级上第十四章《整式的乘法与因式分解》知识点总结一、整式的乘法1、同底数塞相乘,底数不变,指数相加。
a m a n=a m+n(rn,八都是正整数)2、当基的指数是和的形式时,可以逆运用同底数零乘法法则,将塞指数和转化为同底数累相乘,然后把塞作为一个整体带入变形后的累的运算式中求解。
都是正整数)0m+n=0m.α,m,n3、塞的乘方,底数不变,指数相乘。
(Qmyl—aτnn(m,n都是正整数)4、与幕的乘方有关的混合运算中,一般先算累的乘方,再算同底数事的乘法,最后算加减,然后合并同类项。
5、比较底数大于1的事的方法有两种:(1)底数相同,指数越大,塞就越大。
(2)指数相同,底数越大,塞就越大。
6、积的乘方法则:积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的塞相乘。
(而广=QRnm为正整数)7、运用积的乘方法则时要注意:公式中a,b代表任何代数式,每一个因式都要"乘方",注意结果的符号、幕指数及其逆向运用。
8、单项式与单项式的乘法法则:单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数事分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。
9、单项式乘以多项式的法则:单项式与多项式相乘,就是用单项式乘多项式的每一项,再把所得的积相加。
10、多项式乘以多项式:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。
11、同底数塞的除法:同底数累相除,底数不变,指数相减。
a rn÷a n=a m n(m,m都是正整数,并且m>n)12、单项式除以单项式的法则:单项式相除,把系数与同底数基分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。
13、多项式除以单项式的法则:多项式除以单项式,就是用多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加。
二、乘法公式1.平方差公式:两数和与这两数差的积,等于这两个数的平方差。
八年级数学上人教版《整式的乘法》课堂笔记
《整式的乘法》课堂笔记一、知识点梳理1.单项式与单项式相乘:把他们的系数,相同字母的幂分别相乘,其余字母连同他的指数不变,作为积的因式。
2.单项式与多项式相乘:把单项式写在多项式的前面,和多项式的每一项相乘,再把所得的积相加。
3.多项式与多项式相乘:先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项,再把所得的积相加。
4.平方差公式:两数和乘两数差,等于两数平方差。
积二倍角公式:一角二边和乘积,凑成二倍角不变。
5.完全平方公式:首平方又末平方,二倍首末在中央;和的平方加再加,先减后加差平方。
二、方法总结1.运用分配律进行计算,简化运算过程。
2.观察运算结果中各项的系数和指数,运用交换律和结合律进行变形,使运算更加简便。
3.掌握一些常见的运算技巧,如“头平方,尾平方,头尾相乘再平方”,“头大尾小两边排,尾平方来头平方,两数和(差)放中间”等,这些技巧能够简化运算过程,提高运算速度和准确度。
三、注意事项1.运算过程中要注意符号问题,尤其是当幂的底数为负数时,需要运用分配律进行变形,以得到正确的结果。
2.要注意运算的顺序,先进行乘方运算,再进行乘除运算,最后进行加减运算。
同时要遵循先括号内后括号外的原则。
3.对于一些特殊的运算结果,如0的任何次幂都等于0等,要注意直接引用结论以提高计算速度。
4.要注意养成验算的习惯,以检查计算结果是否正确。
验算可以采用重新计算一遍或者检查运算过程中的错误等方式进行。
5.要注意培养自己的观察能力和运算能力。
在面对复杂的运算问题时,要学会观察问题特征,寻找简便的解决方法。
同时要加强练习,熟悉各种运算技巧和解题思路。
人教版八年级数学上整式的乘除及因式分解
第1讲 整式乘法本讲知识点归纳1.同底数幂的乘法:nm nma a a +=⋅2.幂的乘方:()mn nma a =3.积的乘方:()n n nb a ab =4.单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式5.乘法公式(1)平方差公式:()()2222b a b a b a -=-++(2)完全平方公式:()2222b ab a b a +±=±(3)立方和(差)公式:()()3322b abab a b a ±=+±基础回顾例1 运用乘法公式计算(1)()()y x y x --+-22 (2) ()()()()b a a b a b b a 43342332+--+- (3) ()()()4222--+x x x (4) ()()222323n m n m +--解:分析:运用平方差公式、完全平方公式,理解两公式中的a ,b ,特别注意符号,在平方差公式中,两括号中完全相同的项相当于公式中的“a ”,只有符号不同的项相当于平方差公式中的“b ”;在完全平方公式中,展开后有三项,两平方项及两个数积的2倍。
平方差公式,完全平方公式可以逆用,有时可使计算变得简捷. 例2小明家的住房结构如图所示,小明的爸爸打算把卧室以外的部分都铺上地砖,至少需要多少2m 的地砖?如果每21m 她砖的价格是a 元钱,则购买地砖至少需要多少钱? 解:分析:把图中每个长方形的长与宽观察出来或表示出来,再用长方形的面积公式及图形的积差关系表示。
1.计算:(1)()42x x x -⋅⋅ (2)()()()6334233a a a -⋅(3)32233243⎪⎭⎫⎝⎛-⋅y x y x (4)()()y x y x 22-+2.利用平方差公式计算(1)()()y x y x 33+- (2)()()n m n m 3322+-(3)()()32323434z xyzxy -+ (4)()()bc a bc a +---223.利用完全平方公式计算(1)()()z y x z y x +--+ (2)()212++n n y x (3)()()22y x y x -⋅+练习4.如图,在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形(a >b )。
整式的乘除知识点及题型复习
整式的乘除知识点及题型复习整式的乘除是初中数学中的重要内容,它不仅是后续学习分式、二次根式等知识的基础,也在实际生活中有着广泛的应用。
接下来,我们将对整式的乘除相关知识点及常见题型进行详细的复习。
一、整式乘法的知识点1、同底数幂的乘法同底数幂相乘,底数不变,指数相加。
即:$a^m×a^n =a^{m+n}$($m$、$n$都是正整数)例如:$2^3×2^4 = 2^{3+4} = 2^7$2、幂的乘方幂的乘方,底数不变,指数相乘。
即:$(a^m)^n = a^{mn}$($m$、$n$都是正整数)例如:$(2^3)^4 = 2^{3×4} = 2^{12}$3、积的乘方积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。
即:$(ab)^n = a^n b^n$($n$为正整数)例如:$(2×3)^4 = 2^4×3^4$4、单项式乘以单项式单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。
例如:$3x^2y×(-2xy^3) = 3×(-2)×(x^2×x)×(y×y^3) =-6x^3y^4$5、单项式乘以多项式单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。
例如:$2x(3x^2 5x + 1) = 2x×3x^2 2x×5x + 2x×1 = 6x^3 10x^2 + 2x$6、多项式乘以多项式多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。
例如:$(x + 2)(x 3) = x×x + x×(-3) + 2×x + 2×(-3) =x^2 3x + 2x 6 = x^2 x 6$二、整式除法的知识点1、同底数幂的除法同底数幂相除,底数不变,指数相减。
人教版八年级上册整式的乘除知识点复习
幂的运算同底数幂的乘法法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加.n m n m a a a +=·(其中m,n 都是正整数)注意:(1)三个或三个以上同底数幂相乘时,也具有这一性质,即p n m p n m a a a a ++=··(m ,n ,p 都是正整数)(2)逆用公式:把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积,其中它们的底数与原来的底数相同,它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即n m n m a a a ·=+(m,n 都是正整数).幂的乘方法则:幂的乘方,底数不变,指数相乘.mn n m a a =)((其中m ,n 都是正整数).注意:(1)mnp p n m a a =))(( (m ,n ,p 均为正整数)(2)逆用公式:m n n m mn a a a )()(== ,根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形,从而解决问题.积的乘方法则:积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘. n n n b a ab ·)(=(其中n 是正整数).注意:(1)n n n n c b a abc ·)(= (n 为正整数). (2)逆用公式:n n n ab b a )(·=逆用公式适当的变形可简化运算过程,尤其是遇到底数互为倒数时,计算更简便.如:1)221()2()21(101010=⨯=⨯.同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减,n m n m a a a -=÷(a ≠0,m 、n 都是正整数,并且m >n )注意:(1)同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算;(2)被除式、除式的底数相同,被除式的指数大于除式指数,0不能作除式的底数;(3)当三个或三个以上同底数幂相除时,也具有这一性质.即:p n m p n m a a a a --=÷÷(a ≠0,m 、n 、p 都是正整数,并且m >n >p );(4)逆用公式:n m n m a a a ÷=-(a ≠0,m 、n 都是正整数,并且m >n )零指数幂:任何不等于0的数的0次幂都等于1.即10=a (a ≠0)注意:底数a 不能为0,00无意义.负整数指数幂:任何不等于零的数的-n (n 为正整数)次幂,等于这个数的n 次幂的倒数,即n n aa 1-=(a ≠0,n 是正整数). 注意:)0(-≠a a n 是n a 的倒数,a 可以是不等于0的数,也可以是不等于0的代数式.例如)0(21)2(1≠=-xy xy xy ,)0()(1)(55≠++=+-b a b a b a . 引进了零指数幂和负整数指数幂后,指数的范围已经扩大到了全体整数,以前所学的幂的运算性质仍然成立。
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幂的运算
同底数幂的乘法法则:
同底数幂相乘,底数不变,指数相加.
n m n m a a a +=·(其中m,n 都是正整数)
注意:(1)三个或三个以上同底数幂相乘时,也具有这一性质,
即p n m p n m a a a a ++=··(m ,n ,p 都是正整数)
(2)逆用公式:把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积,其中它们的底
数与原来的底数相同,它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即n m n m a a a ·=+(m,n 都是正整数).
幂的乘方法则:
幂的乘方,底数不变,指数相乘.
mn n m a a =)((其中m ,n 都是正整数).
注意:(1)mnp p n m a a =))(( (m ,n ,p 均为正整数)
(2)逆用公式:m n n m mn a a a )()(== ,根据题目的需要常常逆用幂的乘方
运算能将某些幂变形,从而解决问题.
积的乘方法则:
积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘. n n n b a ab ·)(=(其中n 是正整数).
注意:(1)n n n n c b a abc ·
)(= (n 为正整数). (2)逆用公式:n n n ab b a )(·
=逆用公式适当的变形可简化运算过程,尤其是遇到底数互为倒数时,计算更简便.如:1)22
1()2()21(101010=⨯=⨯.
同底数幂的除法法则:
同底数幂相除,底数不变,指数相减,
n m n m a a a -=÷(a ≠0,m 、n 都是正整数,并且m >n )
注意:(1)同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算;
(2)被除式、除式的底数相同,被除式的指数大于除式指数,0不能作除
式的底数;
(3)当三个或三个以上同底数幂相除时,也具有这一性质.
即:p n m p n m a a a a --=÷÷(a ≠0,m 、n 、p 都是正整数,并且m >n >p );
(4)逆用公式:n m n m a a a ÷=-(a ≠0,m 、n 都是正整数,并且m >n )
零指数幂:
任何不等于0的数的0次幂都等于1.
即10=a (a ≠0)
注意:底数a 不能为0,00无意义.
负整数指数幂:
任何不等于零的数的-n (n 为正整数)次幂,等于这个数的n 次幂的倒数,即n n a
a 1-=(a ≠0,n 是正整数). 注意:)0(-≠a a n 是n a 的倒数,a 可以是不等于0的数,也可以是不等于0的代
数式.例如)0(21)2(1≠=-xy xy xy ,)0()
(1)(55≠++=+-b a b a b a . 引进了零指数幂和负整数指数幂后,指数的范围已经扩大到了全体整数,以前所学的幂的运算性质仍然成立。
n m n m a a a +=·(其中m ,n 为整数,a ≠0);
mn n m a a =)((其中m ,n 为整数,a ≠0);
n n n b a ab ·)(=(其中n 为整数,a ≠0,b ≠0).
科学记数法的一般形式:
(1)把一个绝对值大于10的数表示成n a 10⨯的形式,其中n 是正整数,101 a ≤
(2)利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数,即n a -10⨯的形式,其中n 是正整数,101 a ≤.
用以上两种形式表示数的方法,叫做科学记数法.
幂的运算总结:
(1)底数可以是任意实数,也可以是单项式、多项式;
(2)同底数幂的乘法或除法时,只有当底数相同时,指数才可以相加.指数没写
就为1,计算时不要遗漏;
(3)幂的乘方运算时,指数相乘,而同底数幂的乘法中是指数相加;
(4)积的乘方运算时须注意,积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别
乘方;
(5)灵活地逆用公式,使运算更加方便、简洁;
(6)带有负号的幂的运算,要养成先化简符号的习惯。
整式的乘法
整式的乘要用到有关幂的一些运算法则
单项式的乘法法则:
单项式与单项式相乘,把它们的系数,相同字母的幂分别相乘,其余字母连同它的指数不变,作为积的一个因式。
如:32223
2)()()312(312y x y y x x xy xy =⋅⋅⋅⋅⨯=⋅ 注意:(1)单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综
合应用;
(2)单项式的乘法方法步骤:积的系数等于各系数的积,是把各单项式的
系数交换到一起进行有理数的乘法计算,一定要先确定符号;相同字母相乘,是同底数幂的乘法,按照“底数不变,指数相加”进行计算;
(3)结果仍为单项式,也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成;
(4)三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.
单项式与多项式相乘的运算法则:
单项式与多项式相乘,用单项式去乘多项式的每一项,要注意每项的符号。
如:mc mb ma c b a m -+-=+--)(.(单项式为-m,分别去乘多项式+a ,-b ,+c) 注意:(1)单项式与多项式相乘的计算方法,实质是利用乘法的分配律将其转化
为多个单项式乘单项式的问题.
(2)单项式与多项式的乘积仍是一个多项式,项数与原多项式的项数相同.
(3)计算的过程中要注意符号问题,多项式中的每一项包括它前面的符号,
同时还要注意单项式的符号.
(4)对混合运算,应注意运算顺序,最后有同类项时,必须合并,从而得
到最简的结果.
多项式与多项式相乘的运算法则:
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,要注意每项的符号。
如:262346)23)(12-(22++-=+-+-=--m m m m m m m
(前一个多项式的每一项-2m ,-1,分别去乘后面一个多项式的每项3m ,-2) 注意:多项式与多项式相乘,仍得多项式,多项式与多项式相乘的最后结果需化
简,需要合并同类项。
乘法公式
平方差公式:
两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差;
即22))((b a b a b a -=-+
注意:(1)a,b 既可以是具体数字,也可以是单项式或多项式.
(2)抓住平方差公式的典型特征:既有相同项,又有“相反项”,而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.
(1)位置变化:如22))((b a a b b a -=+-+
(2)系数变化:如2222259)5()3()53)(53(y x y x y x y x -=-=-+
(3)指数变化:如4622232323)()())((n m n m n m n m -=-=-+
(4)符号变化:如22))(--(a b b a b a -=-(相同项为b,“相反项”为a )
(5)增项变化:如22)())((n p m p n m p n m -+=+-++
(6)增因式变化:如
8844444422224422))(())()(())()()(-(b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a -=+-=++-=+++
完全平方公式:
两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上(减去)这两数乘积的两倍. ()222
2a b a ab b +=++
2222)(b ab a b a +-=-
注意:左边是两数的和(或差)的平方,右边是二次三项式,是这两数的平方和
加(或减)这两数之积的2倍,常见的变形:
()2222a b a b ab +=+-()2
2a b ab =-+
2222)()(22b a b a b a -++=+
()()22
4a b a b ab +=-+
ab b a b a 4)()(22-+=- 4
)()(2
2b a b a ab --+=
补充公式:
2()()()x p x q x p q x pq ++=+++; 2233()()a b a ab b a b ±+=±;
33223()33a b a a b ab b ±=±+±; 2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++.
整式的除法
整式的除要用到有关幂的一些运算法则:
多项式除以单项式:
多项式除以单项式,把这个多项式的每一项分别除以单项式,要注意每项的符号。
如:y x xy xy xy y x xy xy y x 2336393)69(2222-=÷-÷=÷-。