高等数学下-复旦大学出版-习题十答案详解

习题十

1. 根据二重积分性质，比较

ln()d D

x y σ+⎰⎰

与2[ln()]d D

x y σ+⎰⎰的大小，其中：

（1）D 表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形； （2）D 表示矩形区域{(,)|35,02}x y x y ≤≤≤≤.

解：（1）区域D 如图10-1所示，由于区域D 夹在直线x +y =1与x +y =2之间，显然有

图10-1

12x y ≤+≤

<

从而 0ln()1x y ≤+<

故有 2

ln()[ln()]x y x y +≥+ 所以

2ln()d [ln()]d D

D

x y x y σσ+≥+⎰⎰

⎰⎰

（2）区域D 如图10-2所示.显然，当(,)x y D ∈时，有3x y +≥.

图10-2

从而 ln(x +y )>1

故有 2

ln()[ln()]x y x y +<+

|

所以

2ln()d [ln()]d D

D

x y x y σσ

+<+⎰⎰

⎰⎰

2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值： （1）4d ,{(,)|02,02}I xy D x y x y σ=+=≤≤≤≤⎰⎰; （2）22sin sin d ,{(,)|0π,0π}D

I x y D x y x y σ=

=≤≤≤≤⎰⎰

;

解：（1）因为当(,)x y D ∈时，有02x ≤≤, 02y ≤≤ 因而 04xy ≤≤.

从而 2≤≤》

故 2d D

D σσσ≤≤⎰⎰

⎰⎰

⎰⎰

即2d d D

D

σσσ≤≤⎰⎰⎰⎰

而

d D

σσ=⎰⎰

（σ为区域D 的面积）

，由σ=4

得 8σ≤

≤⎰⎰

(2) 因为2

2

0sin 1,0sin 1x y ≤≤≤≤，从而

220sin sin 1x y ≤≤

故

220d sin sin d 1d D

D

D

x y σσσ≤≤⎰⎰

⎰⎰⎰⎰

即220sin sin d d D

D

x y σσσ≤

≤=⎰⎰⎰⎰

~

而2

πσ=

所以2220sin sin d πD

x y σ≤

≤⎰⎰

（3）因为当(,)x y D ∈时，2

2

04x y ≤+≤所以

22229494()925x y x y ≤++≤++≤

故

229d (49)d 25d D

D

D

x y σσσ≤++≤⎰⎰

⎰⎰⎰⎰

即 229(49)d 25D

x y σσσ≤

++≤⎰⎰

而 2

π24πσ=⋅= 所以 2236π(49)d 100πD

x y σ≤

++≤⎰⎰

…

3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：

（2

）

222,{(,)|}.D x y x y a σ=+≤⎰⎰

解：（1

）

(,D

a σ⎰⎰

在几何上表示以D 为底，以z 轴为轴，以（0，0，a ）为顶

点的圆锥的体积，所以31(π3

D

a a σ=⎰⎰ （2

）

σ⎰⎰

在几何上表示以原点（0，0，0）为圆心，以a 为半径的上半球

的体积，故

32π.3

a σ=

⎰⎰

4. 设f (x ，y )为连续函数，求222002

01lim

(,)d ,{(,)|()()}πD

r f x y D x y x x y y r r σ→=-+-≤⎰⎰

.

解：因为f (x ，y )为连续函数，由二重积分的中值定理得，(,),D ξη∃∈使得

2(,)d (,)π(,)D

f x y f r f σξησξη=⋅=⋅⎰⎰

！

又由于D 是以（x 0，y 0）为圆心，r 为半径的圆盘，所以当0r →时，00(,)(,),x y ξη→

于是：0022

20

00

00(,)(,)

1

1

lim

(,)d lim

π(,)lim (,)ππlim (,)(,)

D

r r r x y f x y r f f r r f f x y ξησξηξηξη→→→→=⋅===⎰⎰

5. 画出积分区域，把

(,)d D

f x y σ⎰⎰

化为累次积分：

（1）{(,)|1,1,0}D x y x y y x y =+≤-≤≥; (2) 2

{(,)|2,}D x y y x x y =≥-≥ (3) 2

{(,)|,2,2}D x y y y x x x

=≥

≤≤ 解：（1）区域D 如图10-3所示，D 亦可表示为11,01y x y y -≤≤-≤≤.

所以

110

1

(,)d d (,)d y

D

y f x y y f x y x σ--=⎰⎰

⎰⎰

?

(2) 区域D 如图10-4所示，直线y =x -2与抛物线x =y 2的交点为（1，-1），（4，2），区域D 可表示为 2

2,

12y x y y ≤≤+-≤≤.