连续和离散系统的状态变量分析
第6章状态变量分析法
间变化而描述的路径，称为状态轨迹。
6
通信与信息基础教学部
状态与状态空间(3) 状态变量分析法的一般步骤
用状态变量来描述和分析系统的方法称为状态变量分 析法。当已知系统的模型及激励，用状态变量分析法时， 一般分两步进行：
一是选定状态变量，并列写出用状态变量描述系统特 性的方程，一般是一阶微分（或差分）方程组，它建立了 状态变量与激励之间的关系；同时，还要建立有关响应与 激励、状态变量关系的输出方程，一般是一组代数方程；
M
M
M
M
M
yr (t) cr1x1 (t) cr2 x2 (t) L crn xn (t) dr1 f1 (t) dr2 f2 (t) L drm fm (t)
11
Байду номын сангаас
通信与信息基础教学部
连续系统状态方程的一般形式(4)
状态方程、输出方程（P323）
x1
x
Mxx2n
a11
16
通信与信息基础教学部
由电路图建立状态方程(1) 由电路直接建立状态方程的步骤
(1) 选择独立的电容电压和电感电流作为状态变量；
(2)
对于电容C应用KCL写出该电容的电流
iC
C
dvC dt
与其它状态
变量和输入变量的关系式；
(3)
对于电感L应用KVL写出该电感的电压
vL
L
diL dt
与其它状态
变量和输入变量的关系式；
(4) 消除非状态变量（称为中间变量）； (5) 整理成状态方程和输出方程的标准形式。
17
通信与信息基础教学部
由电路图建立状态方程(2)
M
M
M
M
系统的信号流图
例3
H (z)
z2 z3＋3z2
2z
，画出直接形式、
串联形式和并联形式信号流图。
解:（1）
H (z)
z3 z3＋3z2
＝ z2 3z3 2z 1 3z1 2z2
（2）
H (z)
z3 z3＋3z2
2z
z(z
z3 2)(z
1)
1 z
z z
3 2
1 z 1
z 1
1 1
3z 1 2 z 1
1
z
1 s1
1 s1
根据梅森公式分别画出 2
1 3s1
2 1 s1
的流图，并联起来
1 F(s)
1
s-1
1/2 -3
Y(s)
s-1
1/2
-1
系统的状态变量分析
例2
H
(s)
s(s
2s 3 3)(s
2)
，画出直接形式、串联
形式和并联形式信号流图。
解：（1）
H (s)
s(s
2s 3 3)(s
2)
s3
1
1
z-1
z-1
z-1
F(z)
Y(s)
-3
4
2
H(z)
z2 2
Y(z)
z3 2z2 3z 4
-3
1 s-1 s-1 1
F(s)
-2
s-1 1 Y(s)
-1
H
(s)
1
s 1
s 3 5s 2
2 s 3
系统的状态变量分析
三、系统函数计算
1.列节点方程（由加法器输出端）
2.梅森公式
H 1
k
8.系统分析的状态变量法_信号与系统
8 系统分析的状态变量法
8.2.1 连续时间系统状态方程的建立
一个动态连续系统的时域数学模型可利用信号 的各阶导数来描述。 的各阶导数来描述 。 作为连续系统的状态方程表现 为状态变量的联立一阶微分方程组. 为状态变量的联立一阶微分方程组 标准形式的状态方程为
或记为
8 系统分析的状态变量法 表示状态变量， 式中 表示状态变量， 为常数矩阵。 和 为常数矩阵。 是与外加信号有关的项， 是与外加信号有关的项，
8 系统分析的状态变量法 6．状态轨迹 在描述一个动态系统的状态空间中， 在描述一个动态系统的状态空间中，状态向 量的端点随时间变化所经历的路径称为系统的状 态轨迹。一个动态系统的状态轨迹不仅取决于系 态轨迹。 统的内部结构，还与系统的输入有关，因此， 统的内部结构，还与系统的输入有关，因此，系 统的状态轨迹可以形象地描绘出在确定的输入作 用下系统内部的动态过程。 用下系统内部的动态过程。
8 系统分析的状态变量法 【例】 试写出下图所示电路的状态方程。 试写出下图所示电路的状态方程。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
根据电路结构可知，电容电压、 根据电路结构可知，电容电压、电感电流 可作为为状态变量即 . 建立状态变量 之间的方程为 和激励
8 系统分析的状态变量法 状态变量分析法优点: 状态变量分析法优点: (1)便于研究系统内部物理量的变化 (1)便于研究系统内部物理量的变化 (2)适合于多输入多输出系统 (2)适合于多输入多输出系统 (3)也适用于非线性系统或时变系统 (3)也适用于非线性系统或时变系统 (4)便于分析系统的稳定性 (4)便于分析系统的稳定性 (5)便于采用数字解法 便于采用数字解法， (5)便于采用数字解法，为计算机分析系统提供了 有效途径 (6)引出了可观测性和可控制性两个重要概念 引出了可观测性和可控制性两个重要概念。 (6)引出了可观测性和可控制性两个重要概念。
连续系统的状态变量方程求解
连续系统的状态变量方程求解连续系统的状态变量方程求解通常采用数值方法，例如龙格-库塔法（Runge-Kutta）等。
在这个过程中，需要将连续系统的状态方程离散化，即将连续时间步长的微分方程转化为离散时间步长的离散方程。
求解离散方程可采用递推的方式，根据系统的初始条件和上一时刻的状态变量值，计算出当前时刻的状态变量值。
以下是一个求解连续系统状态变量方程的步骤：1. 确定连续系统的状态变量方程。
例如，给定线性定常系统dx/dt = Ax + Bu，其中x为状态变量，A和B为系统矩阵。
2. 离散化。
将状态变量方程转化为离散方程。
常见的离散化方法有前项差分变换、后项差分变换和Tustin变换。
具体变换方法取决于系统的特性以及所需的数值稳定性和精度。
例如，使用Tustin变换将连续系统离散化，得到离散状态方程x[k+1] = A*x[k] + B*u[k]。
3. 初始化。
给定初始条件，如x[0] 和u[0]，初始化状态变量值。
4. 数值求解。
使用数值方法（如龙格-库塔法）递推计算离散方程，得到一系列状态变量值x[1], x[2], ...，以及对应的输出值y[1], y[2], ...。
5. 分析结果。
根据求解得到的状态变量值和输出值，分析系统的性能，如稳定性、收敛速度等。
在MATLAB中，可以使用ode45等函数求解连续系统的状态变量方程。
以下是一个简单的示例：```MATLAB定义系统矩阵A、B和输入信号uA = [1 0; -1 1];B = [0 1];u = [1; 0.5];定义初始条件x0 = [1; 2];设置求解参数tspan = [0, 10];options = odeset('RelTol', 1e-6, 'AbsTol', 1e-6);求解状态变量方程[x, u] = ode45(@(t, x) A*x + B*u, tspan, x0, options);绘制状态变量曲线figure;plot(t, x(:, 1), 'b', 'LineWidth', 2);hold on;plot(t, x(:, 2), 'r', 'LineWidth', 2);xlabel('Time');ylabel('State Variables');legend('x1', 'x2');```这个示例中，我们使用ode45函数求解了一个线性定常系统在给定输入信号下的状态变量演化。
简述连续变量与离散变量
连续变量与离散变量是统计学中的概念，它们有以下区别：
1.取值不同：离散变量是指取值有限的变量，通常取整数值，例如人数、班级人数、宿舍
人数等。
连续变量是指取值可以连续的变量，可以取任意值，例如温度、体重、身高等。
2.变量类型不同：离散变量始终为数值变量，而连续变量可以是数值变量，也可以是日期
/时间变量。
3.描述方式不同：对于离散变量，通常使用频数分布表和直方图来描述它们的分布情况，
使用计数方法和百分比方法来描述它们的分布情况。
对于连续变量，通常使用频数分布图和密度图来描述它们的分布情况，使用平均数、方差和标准差等方法来描述它们的分布情况。
离散控制系统的特点及其优势
离散控制系统的特点及其优势离散控制系统是一种基于数字信号进行操作和控制的系统，与连续控制系统相对。
它的出现可以追溯到计算机的发展和数字技术的应用。
离散控制系统具有一些独特的特点和优势，本文将就其特点和优势进行深入探讨。
一、离散控制系统的特点离散控制系统与连续控制系统在信号和操作方式上存在明显差异。
离散控制系统的特点主要体现在以下几个方面：1. 信号离散化：离散控制系统采用离散的信号进行数据传输和控制操作，相邻时间间隔内的信号值是离散的，呈现“脉冲”状。
2. 状态离散化：离散控制系统的状态描述和切换是基于离散的状态变量进行的。
系统的输入和输出以及内部状态都是离散的，通过离散的切换过程来实现控制。
3. 实时性要求高：离散控制系统通常需要对系统的状态和输入进行高速采样和处理，以满足实时控制的需求。
系统及时响应外部变化并进行相应的控制操作。
4. 程序化控制：离散控制系统通常采用程序化控制方式，通过预先编写好的程序来实现控制逻辑，将控制过程进行离散化的运算和判断。
二、离散控制系统的优势离散控制系统相较于连续控制系统具有一些优势，使得其在许多领域得到广泛应用。
1. 精度高：离散控制系统在信号与状态离散化的过程中，能够较为准确地测量和处理系统的输入和输出。
通过高速采样和精确的信号处理，能够实现精确的控制。
2. 稳定性强：离散控制系统能够通过离散的状态切换和控制操作，对系统的输出进行精确的调节和控制。
由于离散控制系统的控制逻辑更为清晰可见，从而可以更好地保持系统的稳定运行。
3. 扩展性好：离散控制系统可以通过编写不同的程序来应对不同的控制需求。
其灵活性和可扩展性使得它可以适应不同规模和复杂度的控制任务。
4. 可靠性较高：离散控制系统的数字化和计算化特点使得其能够对信号进行有效的检测和处理，从而提高了系统的可靠性和稳定性。
同时，离散控制系统的模块化设计也使得故障排查和修复更加容易。
5. 抗干扰性强：离散控制系统对于外界干扰信号的抗干扰能力较强。
第8章 系统的状态变量分析
+ b1m xm (t) + b2m xm (t)
+ bnm xm (t)
（8-4）
和
⎧ y1(t) = c11λ1(t) + c12λ2 (t) +
⎪⎪ ⎨
y2
(t
)
=
c21λ1
(t
)
+
c22λ2
(t
)
+
⎪
⎪⎩ yr (t) = cr1λ1(t) + cr2λ2 (t) +
的一阶导数与状态变量和激励的关系。式(8-3)形式的代数方程称为输出方程(output equation)，
它描述了系统输出与状态变量和激励之间的关系。
状态变量分析法对于离散时间系统也是同样适用的，即上面给出的概念对离散时间系统同
样有效。只不过对于离散时间系统，其状态方程是一阶联立差分方程组，状态变量λ[n]是离散
输出方程可写为
λ(t)n×1 = An×n λ(t)n×1 + Bn×m x(t)m×1
（8-6）
y(t)r×1 = Cr×n λ(t)n×1 + Dr×m x(t)m×1
（8-7）
其中
λ(t) = ⎡⎣λ1(t), λ2 (t), , λn (t)⎤⎦T ， λ (t ) = [λ1(t)，λ 2 (t)，… , λ n ( t )]T,
(constant matrix)；如果系数矩阵中有的是时间 t 的函数，则此系统是线性时变系统。
2. 离散时间系统状态方程和输出方程的一般形式
对于一个动态的离散时间系统，它的时域数学模型是一个高阶差分方程。作为其状态方程
连续动态系统与离散动态系统的比较
连续动态系统与离散动态系统的比较在数学和控制理论中，动态系统是一种典型的数学建模方法，它用于描述系统随时间发展的状态变化。
一般来说，动态系统可分为两类：连续动态系统和离散动态系统。
通过比较这两种系统的特点和应用，我们可以更好地理解这两种系统的区别和联系。
连续动态系统首先，让我们来了解连续动态系统。
它是指系统的状态变量随时间连续地变化的动态系统。
换句话说，连续动态系统是指物理量在任意时间内可以取到任意值，例如控制力，速度，加速度等。
连续动态系统可以用微分方程来描述，也可以用偏微分方程来描述。
连续动态系统的模型可以应用于很多领域，如物理学，工程学和经济学等。
它的应用领域很广泛，从机械系统的控制到生物系统和化学反应的调节等。
在自然界和工业应用中，连续动态系统可以帮助人们更好地理解和掌握系统的演化规律，进行有效的控制和优化，从而实现更好的生产效率或物质利用率。
离散动态系统除了连续动态系统，还有一种类型的动态系统叫做离散动态系统。
它的状态变量只在固定的时间点上发生变化。
因此，离散动态系统可以通过迭代模型来描述。
连续时间的动态系统通常使用微分方程，而离散时间的动态系统则使用差分方程来描述。
离散动态系统在数字信号处理、计算机科学和控制系统等领域得到广泛应用。
除了这些工业领域，它们还常常用于经济学、神经学和生物学等领域。
离散动态系统应用广泛的原因是离散时间的概念更符合实际应用场景，例如非连续时间的离散信号处理和电路板设计。
两者的比较从定义和应用范围上看，两种动态系统存在显著差异。
离散动态系统仅在固定的时间点上变化，而连续动态系统变化是流畅的。
尽管在某些方面，连续动态系统的解决方案可能会比离散动态系统更复杂，但许多由连续系统的建模引起的问题是通过选择细足够小的时间步长来解决的。
另外，离散动态系统的理论、算法有一成熟的数学基础，而连续动态系统需要更为复杂的数学工具，如偏微分方程。
并且离散动态系统在数学理论上有更广泛的应用，如动力学系统、微分方程的数值解法等等。
系统的状态变量分析
形式与连续时间系统的形式相同。
用状态变量分析法研究系统具有如下优点。
(1) 便于研究系统内部的一些物理量在信号转换过程中的变化。这些物理量可以用状态矢
量的一个分量表现出来，从而便于研究其变化规律。
361
(2) 系统的状态变量分析法与系统的复杂程度无关，它和简单系统的数学模型相似，都表 现为一些状态变量的线性组合，因而这种分析法更适用于多输入多输出系统。
(3) 状态变量分析法还适用于非线性和时变系统，因为一阶微分方程或差分方程是研究非 线性和时变系统的有效方法。
(4) 状态变量分析法可以用来定性地研究系统的稳定性及如何控制各个参数使系统的性能 达到最佳等。
(5) 由于状态方程都是一阶联立微分方程组或一阶联立差分方程组，因而便于采用数值解 法，从而为使用计算机进行分析系统提供有效的途径。
时间信号。
上述关于状态变量和状态方程的基本概念，可用于讨论系统状态方程和输出方程的一般形
式。
1. 连续时间系统状态方程和输出方程的一般形式
一个动态连续时间系统的时域数学模型都是用输入、输出信号的各阶导数来描述的。作为
连续时间系统的状态方程表现为状态变量的一阶联立微分方程组，对于线性时不变系统，状态
方程和输出方程简化为状态变量和输入信号的线性组合，即线性时不变系统的状态方程和输出
的一阶导数与状态变量和激励的关系。式(8-3)形式的代数方程称为输出方程(output equation)，
它描述了系统输出与状态变量和激励之间的关系。
状态变量分析法对于离散时间系统也是同样适用的，即上面给出的概念对离散时间系统同
样有效。只不过对于离散时间系统，其状态方程是一阶联立差分方程组，状态变量λ[n]是离散
（8-8）
第四章 离散事件系统 )
第四章 离散事件系统如前所述，根据变量的性质，可分为连续事件系统和离散事件系统。
连续事件系统的状态变量随时间连续变化，其主要特征可通过微分方程描述。
离散事件系统的状态仅在离散的时间点上发生变化，而这些离散时间点一般不确定，即离散事件系统内部的状态变化是随机的，同一内部状态可以向多种状态转变，这种变化只在随机时间点发生，且在一段时间内保持不变。
系统内部状态的变化虽然遵循一定的统计规律，却很难用函数描述。
因此，离散事件系统的建模有其独特性，本章讨论离散事件系统模型及其建模方法。
第一节 离散事件系统模型一、离散事件系统的基本要素离散事件系统的类型虽然多种多样，但它们的主要组成要素基本相同。
从仿真的角度，离散事件系统由实体（entity ）、活动（activity ）、资源（resource ）以及控制（control ）等基本要素构成（见图4-1-1）。
（一）实体（entity ）构成系统的各种成分称为实体。
实体是经过系统处理的事项。
例如产品、顾客、文件等等。
实体用诸如成本、形状、优先权、质量等特征予以定义。
实体可分为：1． 生命体（如顾客、病人等）； 2． 无生命体（如文件、纸币、帐单等）；3． 无法感知的事物或无形物（如电话、电子邮件等）。
与实体相关的一个重要概念是属性（attributes ），属性反映实体的某些性质，其集合描述实体的状态。
例如，在超市服务系统中，顾客是一个实体，性别、身高、年龄、到达时间、服务时间和离开时间等是他的属性。
一个客观实体有很多属性，对特定系统而言，并非所有属性与所研究问题有关，如顾客的性别、身高、年龄与超市服务的关系不大，则不必作为顾客的一个属性，而顾客到达时间、服务时间和离开时间是研究超市服务效率的重要依据，则是超市服务系统中的顾客属性。
（二）活动（activity ）导致系统状态发生变化的过程称为活动。
例如，对顾客的服务、对设备的一次大修、更换设备某一部件，在仿真中均属于一项活动。
第七章 连续与离散系统的状态变量分析
0
tbf ( )ea(t )d
0
eat bf (t)
y(t) y(0)eat eat bf (t)
对状态方程
X(t) AX(t) Bf (t)
其解
x(t) eAtx(0) t eA(t )Bf ( )d 0 eAtx(0) eAt Bf (t)
7.1 线性系统状态方程
状态变量的概念
状态变量是一组反映系统内部状态变化规律的量。如x1( t)， x2(t)，， xn(t)，它们在t = t0时刻的数值连同t t0时的输入，可以唯一地确定t > t0任一时刻的状态和其它
各个响应。
在电系统中，独立的电容上电压uC(t)和电感电流iL(t)有
➢ 级联系统
以积分器的输出为状态变量x，则有
图3
x1 a1x1 x2 x2 a2x2 f (t) 即
x1
x2
a1
0
1
a2
x1
x2
0 1
f (t)
➢ 输出方程
以状态变量和输入信号表示的代数方程组。
资格称为状态变量。
状态方程与输出方程
例 对图1，由KCL和KVL，得
L
diL dt
R2iL
uC
0
C
duC dt
uC R1
iL
0
即有
duC
dt diL
1
R1C 1
dt L
1
C R2 L
信号与系统_张华清_第八章系统的状态变量分析
其特征根 1 2 2 是二重根。
齐次解的函数表达式为：
yh (k) (C1k C2 )(2)k， k 0
在特征根是共轭复根的情况下，齐次解的形式可以是等 幅、增幅或衰减等形式的正弦（或余弦）序列。
假设 1, 2 e j 是一对共轭复根，则在齐次解中，相
应部分齐次解为： C1 cos(k) C2 sin(k) k
k
例3.2-5
信号与系统 第三章例题
例3.2-5 已知某线性时不变离散系统的差分方程如下式所示，
试写出其齐次解的函数形式。
y(k) 4y(k 1) 4y(k 2) e(k) 3e(k 1)
解
此差分方程所对应的特征方程为
2 4 4 0 ( 2)2 0
法。
离散系统的数学模型为差分方程，所谓离散系统的时域 分析，就是在时间域（简称时域）中求解差分方程，以及求 解系统的单位序列响应、阶跃响应等。
求解差分方程与求解微分方程有许多相似之处，其经典 解法的全解也可分为齐次解和特解。
离散系统按照响应的不同来源也可分为零输入响应和零 状态响应；求零状态响应也可利用卷积计算求解。
其特征根为： 1 2，2 3 则其齐次解可写为： yh (k) C1(2)k C2 (3)k， k 0
将 y(0) = 1， y(1) = 0，代入上式，可得
C1 C2 1 2C1 3C2
0
C1 C2
3 2
所以
yh (k) 3(2)k 2(3)k， k 0
解
此齐次差分方程所对应的特征方程为
4 23 22 2 1 0 ( 1)2 (2 1) 0
第5章 离散时间系统的相位结构与状态变量描述
定义：
g
(
)
d ( d
)
为系统的群延迟 (Group Delay, GD)
显然，若系统具有线性相位，则其GD为常数。
若：
x(n) xa (n) cos(0n), c 0
x(n) : Narrowband Signal
则： y(n) H (e j0 ) xa (n g (0 )) cos(0n p (0))
即：相位延迟 p (0 )反映了载波信号的延迟， 而群延迟 g (0 )反映了输出包络的延迟。
思考：如何实现对信号的零相位滤波？若 要保证系统是因果的，又如何实现？
5.2 FIR 系统的线性相位 在绝大部分信号处理的场合，人 们都期盼系统具有线性相位，但是， 如何实现线性相位？
对 FIR 系统，如果保证：
H (z) 1
1
M
ak zk
1 A( z )
k 1
看作是FIR系 统的逆形式。
Y(z) 1 , Y(z) 1 Pm (z) Am (z) Qm (z) Am (z)
H (z)
Y (z) PM (z)
1 AM (z)
1
1
M
a(i) M
z
i
i 1
系数
及
的求解方式同FIR系统Lattice结构的计算方
法, 只是将多项式的系数 换成
.
注意：在递推求解的过程中，反射系数
有关反射系数的更多讨论见第12章信号建模。
3. 极－零系统的Lattice结构
N
bk zk
H(z)
r0 N
1 ak zk
B(z) A( z )
k 1
两组Lattice系数
k1, k2 , , kN c0 , c1, , cN
系统动力学 状态变量
系统动力学状态变量系统动力学是一种对系统行为变化的研究方法和工具。
它以系统为研究对象，探究系统中各元素的相互作用和影响，揭示系统行为的本质规律和变化趋势。
在系统动力学中，状态变量是描述系统状态的重要概念，下面我们来详细了解一下。
状态变量是系统动力学中的基本概念之一，它用来描述系统的状态或特征。
状态变量通常是指数值或状态随时间变化的变量，可以是系统某一特定时刻或一段时间内的状态。
而系统在不同的时间点所处的状态，则相应地体现了状态变量的不同取值或变化趋势。
状态变量包括连续状态变量和离散状态变量两种。
连续状态变量是指在时间上是连续变化的变量，如时间、温度、压力等，这些变量可以用微分方程进行描述。
离散状态变量是指在时间上是离散变化的变量，如人口数量、库存量等，这些变量可以用差分方程进行描述。
连续状态变量和离散状态变量是系统动力学世界中最基本也最重要的状态变量。
状态变量中，还有一类特殊的变量被称为累计变量，它们代表的是在某个时间点之前一段时间内的累积值，如累计销售额、累计产量等。
累计变量的特点是随时间稳步增加，可以看做是连续状态变量或离散状态变量的积分或累加。
累计变量的目的是为了反映系统长期变化趋势，把不同时间段的变化累加起来，从而得到更加全面的系统状态特征。
除此之外，状态变量还有一些特殊的变形形式，如对数形式、比例形式等。
这些形式主要是对原始状态变量进行转换，使得变量取值范围更加广泛，比较大小更加方便。
如在人口增长模型中，通常会采用增长率作为状态变量，而非人口数量，这样比较方便考虑人口增长的速率问题。
总之，在系统动力学中，状态变量是描述系统状态的基本概念，它能够反映系统内部元素的交互作用和影响，揭示系统行为的本质规律和变化趋势。
状态变量的选择和定义是进行系统建模和分析的重要步骤，正确的状态变量选择和定义有助于提高系统动力学分析和预测的准确度和可信度。
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书中介绍了MAT-LAB分析方法，生动形象，便于读者学习。
《信号与系统教程（第2版）》可作为电子信息工程、通信工程、自动化、电子科学与技术、电气工程与自动化、计算机科学与技术、信息安全、测控技术与仪器专业的“信号与系统”课程的教材，也可供广大科技工作者参考。
[第1章导论1.1 历史的回顾1.2 信号的概念1.2.1 信号及其分类1.2.2 信号分析与处理1.3 系统的概念1.3.1 系统及其分类1.3.2 系统分析1.4 应用领域小结习题第2章连续时间信号2.1 常用的基本信号2.2 信号的简单处理2.3 单位冲激函数2.4 MATLAB方法实现信号波形扩展与启迪：规律崇简小结习题第3章连续系统的时域分析3.1 线性时不变系统描述及其响应3.1.1 系统的微分方程3.1.2 零输入响应与零状态响应3.2 阶跃响应与冲激响应3.2.1 阶跃响应3.2.2 冲激响应3.2.3 利用转移算子求冲激响应3.3 卷积及其应用3.3.1 卷积的概念与性质3.3.2 系统的卷积分析法3.3.3 卷积的计算：图形扫描法3.4 特征函数及其应用3.5 MATLAB方法用于时域分析扩展与启迪：系统方法之妙小结习题第4章信号与系统的频域分析4.1 周期信号的分解与合成4.1.1 周期信号的三角级数表示4.1.2 周期信号的复指数级数表示4.2 周期信号的频谱4.2.1 周期信号频谱的特点4.2.2 双边频谱与信号的带宽4.3 非周期信号的频谱4.3.1 傅里叶变换4.3.2 常用非周期信号的频谱4.3.3 帕塞瓦尔定理4.4 傅里叶变换的性质与应用4.4.1 线性性质4.4.2 脉冲展缩与频带变化4.4.3 信号的延时与相位移动4.4.4 信号的调制与频谱搬移4.4.5 时-频对称性4.4.6 卷积定理4.4.7 时域微分特性4.4.8 时域积分特性4.5 周期信号的傅里叶变换4.6 系统的频域分析4.6.1 系统函数与不失真传输4.6.2 信号通过理想滤波器4.7 取样定理及其应用4.7.1 取样信号4.7.2 取样定理4.8 频域分析用于通信系统4.8.1 信号的调制与解调4.8.2 正弦调幅与频分复用4.8.3 脉冲调幅与时分复用4.9 MATLAB方法用于频域分析扩展与启迪：对称之美小结习题第5章连续系统的复频域分析第6章系统函数与零、极点分析第7章离散系统的时域分析第8章离散系统的z域分析第9章连续与离散系统的状态变量分析全书总结附录A 有理函数的部分分式展开法附录B 常用周期信号的傅里叶级数表附录C 常用非周期信号的傅里叶变换表附录D 波特图附录E 罗斯-霍尔维茨稳定性判据部分习题答案索引参考文献。
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x1 0 e(t ) y 1 2 3 x 2 x3
规律：1.A阵为对角线阵，其对角线上的元素是H(S)的极点值。 其它元素全为零 2.B阵为1列阵 3.C阵是行阵，依次为H (s)部分分式的系数 4.D阵为零 这种状态变量～对角线变量，它是真实存在的。 还可以有其它方法建立状态方程和输出方程，但以上两种较为常用。但是这样一些状态变量 一般是无法测量或观察的。 注意 1.是以上的类型的模拟图可以用以上方法直接写状态方程及输出方程 2.不是以上的类型的模拟图不可以用以上方法直接写状态方程及输出方程 3.其它类型的模拟图都可以选积分号后面的变量作状态变量 离散系统的状态方程和输出方程形式与连续系统的相似，只不过将t变成k一阶导数变成增序1 （将一阶微分方程组变成一阶差分方程组）。
实例3：系统函数 H ( s)
1 2 3 系统并联模拟图 s 1 s 3 s 4
选每个极点分式之后的变量为状态变量。
1 H1 ( s ) .......... y y e.......... . x1 x1 e s 1 1 H 2 ( s) .......... y 3 y e........x2 3x1 e s3 1 H 3 ( s) .......... y 4 y e.......x3 4 x1 e s4
系统模拟图为：
y 8 y 19y 12 4 x 10x
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选每个积分号后的变量为状态变量
x2 x1 x3 x2 12x1 19x2 8 x3 x x3
状态方程标准矩阵形式
x1 开始 y 10 4 0 x 2 0 x(t ) 上一页 x 3 下一页 规律：1.A阵的最后一行是H(S)的分母多项式系数负值倒着写 其它各行除对角线右边元素为1外其余全为零 结束 2.B阵是列阵其最后一行为1 3.C阵是行阵为H(s)分子多项式系数倒着写，最后一个元素为零 4.D阵为零 这种方法得到的状态方程的状态变量～相变量，并不一定真实存在。是我们设 出的。
x1 (t ), x2 (t ), x3 (t )...... xn (t )
或选
uC (t ), iL (t )
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说明：1.一般系统的状态变量的个数＝系统的阶数＝储能元件的个数
2.状态变量并不一定都是
uC (t ), i L (t )
uC (t ), iL (t ) 直观又方便。
如果以 i1 , iC1 , u L 2 , iC 3 , i4 为输出的输出方程是
i1 x1 e(t ) iC1 i1 x 2 x1 x 2 e(t ) u L 2 x1 x3 iC 3 x 2 i 4 x 2 x 3 i 4 x3 i1 1 0 0 1 i 1 1 0 x 1 1 C 1 u L 2 1 0 1 x 2 0 e(t ) x i 0 1 1 C3 3 0 0 0 1 0 i4
输出方程标准矩阵形式
1 1 0 x1 0 0 x x 0 x(t ) x 0 0 1 2 2 x3 12 19 8 x3 1
【2】由系统函数并联模拟图建立状态方程和输出方程
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已知系统的输入输出方程或模拟图建立状态方程和输出方程 到目前为止，我们对系统已经有两种描述方法了 输入输出描述（激励响应的微分方程）；状态变量描述 对同一系统只是描述方式不同，两种描述方式之间一定有一定的关系，就象输入输 出描述中的输入输出方程，模拟图，系统函数等可以表述同一系统一样。输入输出 方程，模拟图，系统函数之间可以相互转换，两种描述方式之间也可以 【1】由输入输出描述的系统直接模拟图或系统函数、微分方程求状态方程和输出方程 4s 10 实例2：系统函数为 H ( s) 3 s 8s 2 19 s 12 系统方程为：
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实例1：系统及参数如图
解：1.选取状态变量
x1 uC1 ; x2 iL 2 ; x3 uC 3
duC1 iC1 i1 x 2 ; c1 i1 x 2 ; x1 2(i1 x2 ) dt diL u L 2 x1 x3 ; L2 x1 x3 ; x 2 x1 x3 dt duC 3 iC 3 x 2 i 4 ; c 3 x1 i4 ; x 3 2( x 2 i4 ) dt
状态变量分析法的优点及应用范围 前面我们曾提及过输入输出法对研究单入单出系统较为方便，但现代工程系 统很复杂往往又是多入多出，且同时要完成各种功能，所以这种系统分析方 法将使分析工作繁重且也无法知晓系统内部情况。因此状态变量分析法就有 了优越性。 ［1］优点 由于它是研究每一个变量情况，因此便于研究系统内部所需的信息。 例如：可以研究系统中在何处可能存在不稳定因素或薄弱环节，以便采取预 防手段。这往往是很重要的。 它适用于多入多出系统。可以提供更多的有关系统信息 由状态方程的标准型可见，状态方程是一组一阶微分方程组，因此它是把输入 输出法的一个高阶微分方程简化成状态变量的许多一阶微分方程组。由于状 态方程又有统一的标准矩阵形式，所以便于计算机求解。 ［2］应用范围 1.可以用于分析复杂的线性系统，扩展到线性时变系统及非线性系统。 2.简单系统用此方法反而会显得繁琐。 因此不同的分析方法各有其适用方面及局限方面，使用时要加以注意。
系统结构参数及输入激励就可以确定t≧0系统的全部响应。
所以t=t0时的
uC (0),iL (0)
就称为状态。状态～实质是系统的储能状态，从某种意义上说可以是系统的初值。 纯电阻系统只能耗能，不能储能。即该时刻系统中各处电压或电流值仅由该时刻激 励决定，与系统过去工作情况无关，也不致影响系统未来的工作，因此纯电阻系统 无状态而言。 【2】状态变量～表征系统状态的变量。系统中一组独立的动态变量
～每组方程均由输出、状态变量及激励组成 【5】分析方法 1.选择状态变量， 2.建立系统的状态方程，及按要求输出的输出方程 3.求解状态方程，求出状态变量 4.将状态变量代入输出方程的到所有要求的输出量
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2.系统的状态方程及输出方程的建立 状态变量的选取原则 【1】选电感上的电流及电容上的电压最为直观方便。（因为它直接与系统的能量 状态发生联系）当然必要时也可以其它的。 【2】选取独立的状态变量。状态变量必须相互独立（无依赖关系即不可互求） 状态变量的个数一般为储能元件的个数也为系统的阶数 同一系统状态变量选取不同，其状态方程也不同，所以状态变量的选取不唯一， 因此列写的状态方程也不唯一。 du 已知电系统其状态方程和输出方程的建立—直观编写法 ic c dt 1.对电容所在节点列写KCL方程；将电容电流写在等式的左端 对电感所在回路列写KVL方程；将电感电压写在等式的左端 di uL L 2.用状态变量和激励替掉状态方程中不应有的变量 dt 3.整理方程形式，写成状态方程的标准矩阵型 4.根据要求的输出，写出输出方程的标准矩阵型
x3 2 x 2 2 x3
x3
0
2
2 x3
0
5.根据要求的输出，写出输出方程的标准矩阵型 y1 x1 , y 2 x3
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x1 y1 y 1 0 1 x 2 0 e(t ) 2 x3
2.对电容所在节点列KCL方程
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3.用状态变量和激励替掉状态方程中不应有的变量
i1 , i4
x1 i1 1 e(t ); i1 x1 e(t ) x3 i4 x3 1
4.整理方程形式，写成状态方程的标准矩阵型
x1 2 x1 2 x 2 2e(t ) x 1 2 2 0 x1 2 x 0 e(t ) x 1 0 1 x 2 x1 x3 2 2
也就是说状态变量的选取并不唯一，但是选 【3】状态方程—一组状态变量的一阶微分方程组 【标准形式】 矩阵形式
x(t ) A x(t ) B e(t )
～每组方程均由状态变量一阶导、状态变量及激励组成 【4】输出方程—一组输出变量、状态变量及激励的代数方程组 【标准形式】 矩阵形式
y(t ) C x(t ) D e(t )
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一.离散系统的状态方程时域及Z域求解
1.状态和状态变量的意义及状态方程和输出方程的标准矩阵形式 【1】状态～一个系统在t=t0时的状态是表示系统所需要的一组最少信息量的数值利 用这组数值x1(t0),x2(t0),x3(t0)……xn(t0)连同系统的模型和给定在时的输入激 励足以唯一确定t≧t0时的系统工作情况。 uC (0),iL (0) 例如：由简单的RLC系统分析可知，只要知道
连续和离散系统的 状态变量分析Βιβλιοθήκη 开始下一页结束
引言
通过前面的学习我们知道，分析一个系统首先要将此系统的工作状态表示成 数学模型，即应用适当的数学表达式描述改系统的工作状态。描述系统的方 法依采用数学模型的不同可以分成两大类。 输入输出描述—输入输出分析法—外部法 前面我们所学习的分析方法（时域和变域分析）尽管各有不同的特点， 但是都着眼于激励—响应（输入—输出）的直接关系（外部特性）～对单输 入，单输出系统这种描述和处理方法很方便。但是现代工程中所采用的系统 日趋复杂而且往往是多输入多输出系统，同时又要完成许多功能，技术要求 也日趋苛刻，分析这种系统将是一件很艰辛的工作。如果再采用输入输出描 述法与分析，计算工作太繁重。特别是人们对控制系统不再仅仅满足于输出 量的变化，而且对系统内部的一些变量变化也同时感兴趣，以便设计和控制 这些参数以达到最佳控制目的；可是输入输出描述和分析却无法知晓系统内 部的一些必要情况，这时采用状态变量描述与分析会很有效。 状态变量描述—状态变量分析法—内部法 对于多输入多输出系统的分析，状态变量描述与分析具有明显的优越性。 它不仅可以描述系统外部特性，也可以描述系统内部特性。而且它不仅适用 于线性时不变系统也适用于非线性或时变系统，还可以用来研究经济系统， 生物系统和其它一些系统。尤其是状态变量分析法的数学描述模型特别适用 于计算机来进行数值计算。 开始 上一页 下一页 结束