百校联盟2021届普通高中教育教学质量监测考试(全国新高考卷)数学试卷word)
百校联盟2021届普通高中教育教学质量监测考试(全国卷11月)文科数学试卷
故实数 的取值范围为 .
【点睛】
思路点睛：不等式恒成立问题一般采用分离参数法求参数范围
若不等式 （ 是实参数）恒成立，将 转化为 或 恒成立，进而转化为 或 ，求 的最值即可.
20．（1） ；（2） .
【分析】
（1）根据诱导公式、同角三角函数平方关系和正弦定理边化角，可整理已知等式求得 ，进而得到结果；
A． B．
C． D．
10．已知三棱锥 的所有棱长都相等，点 是线段 上的动点，点 是线段 上靠近 的三等分点，若 的最小值为 ，则三棱锥 外接球的表面积为（）
A． B． C． D．
11．已知函数 ，将函数 图象的横坐标缩短为原来的 倍后，再向右平移 个单位，得到函数 的图象，则下列说法错误的是（）
A． 的周期为 B． 在 上先减后增
A． B． C． D．7
4．圆亭，为圆台体型的建筑物，《九章算术》中有如下问题：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，则该圆亭的母线与底面所成角的正切值为（）
A． B． C． D．
5．已知角 的顶点在原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边过点 ，若函数 ，则（）
A． 图象的对称轴为 B． 图象的对称轴为
【点睛】
结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若 是 的必要不充分条件，则 对应集合是 对应集合的真子集；
（2） 是 的充分不必要条件， 则 对应集合是 对应集合的真子集；
（3） 是 的充分必要条件，则 对应集合与 对应集合相等；
（4） 是 的既不充分又不必要条件， 对的集合与 对应集合互不包含．
C． D． 在 上的最大值为1
12．已知数列 的前 项和为 ，且 ，现有如下说法：
2021届百校联盟高三教育教学质量监测考试12月全国卷(新高考)数学试题(解析版)
2021届百校联盟高三教育教学质量监测考试12月全国卷（新高考）数学试题一、单选题1．设i 是虚数单位，若复数221z i i=++，则z =（ ）A ．12B ．1CD ．2【答案】C【分析】根据复数除法运算法则，分子分母同乘以共轭复数，计算出复数z ，再代入模长公式计算即可.【详解】()222122212111i z i i i i i i i-=+=+=-+=++-，故z = 故选：C.2．设集合{}24A x x =-<<，{}260B x x x =+-<，则A B =（ ）A ．{}22x x -<< B ．{}32x x -<< C ．{}23x x -<< D ．{}24x x <<【答案】A【分析】利用一元二次不等式的解法化简集合B ，再由交集的定义求解即可. 【详解】因为{}24A x x =-<<，{}{}26032B x x x x x =+-<=-<<，所以{}22A B x x ⋂=-<<， 故选：A. 3．曲线1axy x =-在点()2,2a 处的切线方程为30x y b -+=，则（ ）． A ．3a =，12b =- B ．3a =-，0b = C ．3a =，0b = D ．3a =-，12b =-【答案】D【分析】根据导数几何意义求出函数在2x =处的导数就是其切线斜率即可求出a ，将点代入直线方程求出b .【详解】解：由题意得()()()22111a x axay x x --'==---，所以()2221x ay a ==-=--'，因为直线30x y b -+=的斜率为3， 所以3a -=，故3a =-，故切点为()2,6-，代入切线方程为30x y b -+=得12b =-． 故选：D.【点睛】若已知曲线()y f x =过点00(,)P x y ，求曲线过点P 的切线方程的方法 （1）当点00(,)P x y 是切点时，切线方程为000()()y y f x x x '-=⋅-. （2）当点00(,)P x y 不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标11(,())P x f x '；第二步：写出过点11(,())P x f x '的切线方程111()()()y f x f x x x '-=⋅-； 第三步：将点P 的坐标00(,)x y 代入切线方程求出1x ；第四步：将1x 的值代入方程111()()()y f x f x x x '-=⋅-可得过点00(,)P x y 的切线方程. 4．意大利数学家斐波那契（约1170～1250），以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233…．在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用．已知斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()21n n n a a a n *++=+∈N ，若3579551k a a a a a a ++++++=，则k =（ ）．A ．2020B ．2021C ．59D ．60【答案】D【分析】根据题意234456,a a a a a a +=+=⋅⋅⋅，将所求化简即可得答案. 【详解】依题意，3579591a a a a a ++++++2357959a a a a a a ++++++=457959a a a a a ++++=+67959585960a a a a a a a ++++==+==，则60k =．故选：D5．已知A ，B 为单位圆22:1O x y +=上的两点，且满足3AB =，点P 为圆O 上一动点，则AP PB ⋅的取值范围是（ ）． A ．33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【答案】B【分析】根据题意 ()()AP PB OP OA OB OP ⋅=-⋅-，化简整理可得()12AP PB OP OA OB ⋅=⋅+-，设AB 的中点为M ，OM 与OP 的夹角为θ，利用数量积公式，结合θ的范围，即可求得答案.【详解】如图，圆的半径为1，且3AB =，易得120AOB ∠=︒．由题意知()()AP PB OP OA OB OP ⋅=-⋅-2OP OB OP OA OB OA OP =⋅--⋅+⋅111cos120OP OB OA OP =⋅--⨯⨯︒+⋅()12OP OA OB =⋅+-．设AB 的中点为M ，则2OA OB OM +=，且12OM =，设OM 与OP 的夹角为θ， 则1122cos 22AP PB OM OP OM OP θ⋅=⋅-=- 11121cos cos 222θθ=⨯⨯⨯-=-．又因为[]0,πθ∈，所以AP PB ⋅的范围为31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 故选：B6．已知双曲线()222:10x C y a a-=>的右焦点为F ，O 为坐标原点，以F 为圆心，OF 为半径的圆与双曲线C 的一条渐近线相交于O ，A 两点，若OAF △的面积等于2，则双曲线C 的离心率为（ ）．A ．2B ．2C ．52D ．5【答案】C【分析】设D 为OA 中点，则DF OA ⊥，取渐近线1y x a=，则可求DF 的长，根据1tan DF AOF OD a∠==，结合题意，可求得a 的值，代入公式即可求得答案. 【详解】设D 为OA 中点，则DF OA ⊥，如图所示：渐近线方程为1y x a =±，不妨取1y x a=，(),0F c ．其中2221c a =+， 则2211DF a==+，因为D 为AO 中点．因为1tan DF AOF OD a∠==， 所以OD a =，2AO a =． 则12122OAF S a =⨯⨯=△．解得2a =， 所以离心率52c e a ==． 故选：C7．如图是隋唐天坛，古叫圜丘，它位于唐长安城明德门遗址东约950米，即今西安市雁塔区陕西师范大学以南．天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明清天坛早1000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处．某数学兴趣小组为了测得天坛的直径，在天坛外围测得60AB =米，60BC =米，40CD =米，60ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，据此可以估计天坛的最下面一层的直径AD 大约为（ ）．（结果精确到1米） 2 1.414≈3 1.732≈5 2.236≈7 2.646≈）A ．39米B ．43米C ．49米D ．53米【答案】D【分析】求出AC ，在CDA 中，用余弦定理即可求得AD . 【详解】在ACB △中，60AB =，60BC =，60ABC ∠=︒， 所以60AC =，在CDA 中，2222cos60AD AC CD AC CD =+-⋅⋅︒22160402604028002=+-⨯⨯⨯=， 所以20753AD =≈（米）． 故选：D【点睛】解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 8．已知关于x 的方程0xxk e e x ⋅-=恰好有3个不相等的实数根，则实数k 的取值范围为（ ）．A ．21e ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭B ．234e ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭C ．11,1e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．21,12e e ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】转化为函数()x f x =的图象与直线1y k =-有3个交点，利用导数得到函数()f x 的单调性，作出函数的图象，根据图象列式可得结果. 【详解】因为关于x 的方程0xxk e e x ⋅-=恰好有3个不相等的实数根，即1x k -=恰好有3个不相等的实数根，设()()xx f x x e=∈R ，则函数()y f x =的图象与直线1y k =-有3个交点，当0x ≥时，()xx f x e =，故()()211222x xxx e xe x xf x xe e --'==，当102x ≤<时，()0f x '>，当12x >时，()0f x '<， 所以函数()f x 在1[0,)2上单调递增，在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减，且()00f =，1222e f e ⎛⎫=⎪⎝⎭， 当0x <时，()x xf x e-=，故()()2112202x xx x e xe x x xe e f x '-----==-<-，函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，函数()f x 的图象如图：由图可知，12012e k f ⎛⎫<-<=⎪⎝⎭， 所以211e k <<+. 故选：D【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二、多选题 9．设函数()1122x x f x --=+，则（ ）．A ．()f x 在()0,∞+上单调递增B ．()f x 的最小值是2C ．()f x 的图象关于直线1x =对称D ．()f x 的图象关于点()1,0对称【答案】BC【分析】先根据()()2f x f x =-可判断C 正确，AD 错误，再根据基本不等式即可判断B 正确．【详解】解：对A ，D ，C ，()1122x x f x --=+， ()()()()21121122222x x x x f x f x ------+-=+==∴，即()()2f x f x =-，即()f x 的图象关于直线1x =对称，故C 正确， 函数()f x 的图象关于直线1x =对称，故AD 错误； 对B ，1120,20x x -->>，()11222x x f x --=+≥=∴，当且仅当“1122x x --=”，即“1x =”时取等号，故B 正确. 故选：BC.10．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n n a S n +=+-，则下列结论正确的是（ ）． A ．若11a =，则数列{}n S n +为等比数列 B ．若11a =，则数列{}1n a +为等比数列 C ．若11a =-，则数列{}n S n +为等差数列 D ．若11a =-，则数列{}1n a +为等差数列【答案】ACD【分析】由n a 与n S 的关系可推出()112n n S n S n +++=+，若11a =则1120S +=≠，由112n n S n S n+++=+可证明{}n S n +为等比数列；由A 求出数列{}n S 的通项公式从而可由1n n n a S S -=-求得{}n a 的通项公式；若11a =-则110S +=，可推出0n S n +=判断C 选项；此时由1n n n a S S -=-可推出10n a +=，即可判断D 选项. 【详解】因为111n n n n a S S S n ++=-=+-即121n n S S n +=+-，所以()112n n S n S n +++=+．若11a =，则1120S +=≠，所以11222n n n n S n S nS n S n++++==++．故数列{}n S n +是以2为首项，2为公比的等比数列，故A 正确；由A 知2n n S n +=，则2nn S n =-，当2n ≥时，1121n n n n a S S --=-=-，由11a =，21a =，33a =可得112a +=，212a +=，314a +=，即32211111a a a a ++≠++，故B 错误； 若11a =-，则110S +=，所以由()112n n S n S n +++=+，得0n S n +=， 此时数列{}n S n +为等差数列，故C 正确；由C 知n S n =-，则当2n ≥时，()1[1]1n n n a S S n n -=-=----=-， 所以1n a =-，10n a +=，此时数列{}1n a +为等差数列，故D 正确． 故选：ACD11．甲、乙、丙三位同学进行乒乓球比赛，设每场比赛双方获胜的概率都为12，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．则下列说法正确的是（ ）． A ．最少进行3场比赛 B ．第三场比赛甲轮空的概率为14C ．乙最终获胜的概率为932D ．丙最终获胜的概率716【答案】BCD【分析】根据题意，依次分析选项，结合相互对立事件的概率计算公式，即可求解. 【详解】根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，故A 错； 第三场比赛甲轮空，即第三场是乙和丙比赛，则第二场甲一定参赛了，说明第一场甲赢了，第二场是甲和丙比赛，甲输了，所以第三场比赛甲轮空的概率为111224P =⨯=，故B 正确；记事件A 为甲输，事件B 为乙输，事件C 为丙输，记事件M ：甲赢，记事件N ：丙赢，则甲赢的基本事件包括：BCBC ，ABCBC ，ACBCB ，BABCC ，BACBC ，BCACB ，BCABC ，BCBAC ，所以甲赢的概率为()4511972232P M ⎛⎫⎛⎫=+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等， 所以丙赢的概率为()97123216P N =-⨯=． 故选：BCD【点睛】利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路： 1、将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和；2、将彼此互斥简单的事件中的简单事件，转化为几个已知概率的相互独立事件的积事件；3、代入概率的计算公式进行运算.12．如图，在等边三角形ABC 中，2AB =，点D ，E 分别是AC ，AB 的中点，以DE 为折痕把ADE 折起，使点A 到达点A '的位置（A '∉平面BCDE ），则在ADE 翻转过程中，下列说法正确的是（ ）．A ．四棱锥A BCDE '-的体积的最大值是98B ．当二面角A DE B '--为直二面角时，102A B '=C ．一定存在某个位置，使平面A BC '⊥平面BCDED ．平面A ED '⊥平面BCDE 时，四棱锥A BCDE '-外接球的表面积为13π3【答案】BD【分析】对A ，平面A ED '⊥平面BCDE 3公式计算；对B ，取ED 的中点M ，利用勾股定理即可计算；对C ，根据图像的特点，可知翻折的时候不会出现平面A BC '⊥平面BCDE 的情况；对D ，设球的半径，根据勾股定理列方程求解.【详解】在翻折过程中，平面A ED '⊥平面BCDE 时，四棱锥A BCDE '-体积最大，1313333323428BCDE V S =⋅⋅=⋅⋅=，故A 错误．对于B ，当二面角A DE B '--为直二面角时，取ED 的中点M ，如图所示，可得A M '⊥平面BCDE ，则2222371022A B A M BM ⎛⎫⎛⎫''=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确．对于C ，在翻折过程中，点A '在底面BCDE 的射影不可能在交线BC 上， 因此不满足平面A BC '⊥平面BCDE ，因此C 不正确． 对于D ，平面A ED '⊥平面BCDE 时，设外接球球心为O ，如图，易知BC 中点H 即为四边形BCDE 的外接圆的圆心， 设球的半径为R ，OH d =，则有22233d R ⎫-+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，221d R +=，解得21312R =， 所以外接球的表面积为213π4π3S R ==，故D 正确． 故选：BD.【点睛】关于立体几何的问题的判断，需要注意结合几何体的图分析，一般涉及二面角的问题的求解，一种是采用定义的方法，分别在两个平面内找与交线垂直的线，围成的角即为二面角的平面角，再采用勾股定理或者余弦定理求解角；另一种是利用空间向量的方法，计算平面的法向量，再代入数量积的公式计算.三、填空题13．已知函数()2log ,01,02xx x f x x >⎧⎪=⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，且()()10f a f +-=，则实数a =______．【答案】14【分析】先求()12f -=，得()2f a =-，结合解析式可得0a >，()2log 2f a a ==-，从而得解.【详解】因为()12f -=，()20f a +=， 所以()2f a =-，由()2log ,01,02xx x f x x >⎧⎪=⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，知0x ≤时，()120xf x ⎛⎫= ⎪⎭>⎝，所以0a >，()2log 2f a a ==-，解得14a =． 故答案为：14. 14．已知圆()22:11E x y +=-的圆心与抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 重合，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，与圆E 交于M ，N 两点（其中A 点和M 点在第一象限），则AM BN ⋅=______． 【答案】1【分析】由题意，求得抛物线方程为24y x =，设直线:1l x ty =+，联立方程组，求得124y y =-，结合抛物线的定义求得1AM x =，2BN x =，根据()2221212124416y y y y BN M x A x ⋅==⋅=，即可求解. 【详解】由题意，圆()22:11E x y +=-的圆心坐标为(1,0)，可得12p=，即2p =， 所以抛物线方程为24y x =，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线:1l x ty =+，代入抛物线方程，得2440y ty --=，所以124y y =-，因为圆E 的圆心为抛物线焦点F ，根据抛物线的定义知，1AF x =+，21BF x =+，故1AM x =，2BN x =，所以()2221212124416y y y y BN M x A x ⋅==⋅=， 因为124y y =-，所以1AM BN ⋅=． 故答案为：1.【点睛】与抛物线的焦点有关问题的解题策略：1、与抛物线的焦点有关的问题，一般情况下都与抛物线的定义有关：“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径；2、特别提醒：主要灵活运用抛物线上一点(,)P x y 到焦点F 的距离：2PF px =+或2PF p y =+. 15．如图，点C 在以AB 为直径的圆周上运动（C 点与A ，B 不重合)，P 是平面ABC 外一点，且PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，过C 点分别作直线AB ，PB 的垂线，垂足分别为M ，N ，则三棱锥B CMN -体积的最大值为______．255【分析】根据垂直关系得出111332BMN V S CM BN MN CM =⋅=⨯⨯⋅⋅△，设BN x =，则可得()(56212620x x V x -=<<，再利用导数可求出最值.【详解】因为PA ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，所以PA CM ⊥， 又CM AB ⊥，PAAB A =，所以CM ⊥平面PAB ，因为PB ⊂平面PAB ，所以CM PB ⊥，又因为CN PB ⊥，CM CN C ⋂=，所以PB ⊥平面CMN ， 又MN ⊂平面CMN ，所以PB MN ⊥， 三棱锥B CMN -体积111332BMN V S CM BN MN CM =⋅=⨯⨯⋅⋅△，由2PA AB ==，可知PAB △为等腰直角三角形，设BN x =，则MN x =，BM =，在直角三角形ABC 中，又CM AB ⊥，所以2CM AM BM =⋅，因为2AB =，所以2AM =，所以CM =故111326V BN MN CM x =⨯⨯⋅⋅=16x ==0x =<<，令56u x =-，则()45466x x x u ='-=，令0u '=，则x =当06x <<时，0u '>；当6x <<0u '<，故当6x =56u x =-取最大值，此时V 也取最大值，最大值为2max16V =⎝⎭125125618618=⨯=⨯=．. 【点睛】本题考查立体几何中的体积问题，解题的关键是证明垂直关系，得出11320V BN MN CM x =⨯⨯=⋅⋅<<，利用导数求出最值.四、双空题16．已知函数()sin 2sin f x x x =⋅，则()f x 的最小正周期为______；()f x 的最大值为______．【答案】π【分析】由正弦函数性质先确定()f x 的一个周期是π，然后证明π是最小正周期，在(0,)π上利用导数确定函数的单调性，结合(0)()0f f π==可得最小正周期，从而可得最大值．【详解】由题()sin 2sin f x x x =⋅，则()()()()πsin 2πsin πsin 2sin f x x x x x f x +=+⋅+=⋅-=⎡⎤⎣⎦， 从而π是函数的周期，当0πx ≤≤，()sin 2sin f x x x =⋅，则()6sin cos cos f x x x x ⎛'=+- ⎝⎭⎝⎭，设0παβ<<<，且cos α=，cos β=，则当0x α<<时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当x αβ<<时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当πx β<<时，()0f x '>，()f x 单调递增，又()()π00f f ==，所以函数的最小值正周期是π，最大值为()9f α=．故答案为：π． 【点睛】关键点点睛：本题考查求函数的最小正周期．方法是由部分函数的性质确定函数的一个周期，然后证明此周期是最小正周期即可，证明时可在一个周期内确定函数的性质，如单调性，以排除此区间内的周期性．从而得最小正周期．五、解答题17．在①2cos 3B =-；②7a =；③3b =，这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，使问题中的三角形存在，并求ABC 的面积．问题：在ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 所对的边，已知()sin sin sin B C A C -=-，补充的条件______和______．【答案】答案见解析.【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合sin 0C ≠，可得1cos 2A =，结合A 的范围可求π3A =，若补充的条件中有①，则21cos 32B =-<-且(0,)B π∈，可得23B π>,推出A B π+>，矛盾；可得只能补充的条件为②③，利用余弦定理解得c的值，进而根据三角形的面积公式即可求解. 【详解】在ABC 中，πA B C ++=， 那么由()sin sin sin B C A C -=-， 可得()()sin sin sin A C C A C +-=-，sin cos cos sin sin sin cos cos sin A C A C C A C A C +-=-，∴2cos sin sin 0A C C =≠，∴1cos 2A =， ∴在ABC 中，π3A =． 补充的条件为②③时，三角形存在， 补充的条件为①②或①③时，三角形不存在， 理由如下：若补充的条件中有①，因为21cos 32B =-<-，且()0,πB ∈，所以2π3B >． 所以πA B +>，矛盾．所以ABC 不能补充的条件①，只能补充的条件为②③， 因为2222cos a b c bc A =+-，所以222173232c c =+-⨯⨯⨯，解得8c =，或5c =-（舍）．所以ABC 的面积1sin 2S bc A ==． 【点睛】关键点点睛：利用三角恒等变形推出π3A =，结合此条件可排除选择①是解决此问题的关键所在，选②③后利用余弦定理求边c ，根据三角形面积公式即可求解.18．已知数列{}n a 是等差数列，23a =且2372a a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若10a >，设数列{}n b 满足231232222n n n b b b b a ++++=，n *∈N ，求数列{}n b 的前n 项和．【答案】（1）1n a n =+或()31n a n =-；（2）3122n n T =-. 【分析】（1）设等差数列的基本量1,a d ，根据条件建立方程组解出，可求解通项公式 （2）由数列{}2nn b ⋅的前n 项和为1n +，可先求出{}2nn b ⋅的通项公式（注意分类讨论），再求出n b ，再求出{}n b 的前n 项和. 【详解】（1）∵23a =，∴13a d +=， ①∵2372a a =，∴()()211226a d a d +=+， ②由①②得：112d a =⎧⎨=⎩或130d a =⎧⎨=⎩，当112d a =⎧⎨=⎩时，1n a n =+． 当130d a =⎧⎨=⎩时，()31n a n =-．所以数列{}n a 的通项公式为1n a n =+或()31n a n =-． （2）∵10a >，∴1n a n =+，2312322221n n b b b b n ++++=+， ①()231123122222n n b b b b n n --++++=≥， ②①－②得：21nn b =，2n ≥， 得12n nb =，2n ≥， 1n =时，11b =不满足上式，所以1,11,22n nn b n =⎧⎪=⎨≥⎪⎩， 所以2n ≥时，12231111222n n nT b b b =+++=++++211113122112212n n -⎛⎫- ⎪⎝⎭=+=--，当1n =时，11T =满足上式，所以3122n nT =-． 【点睛】1、利用基本量,根据通项公式和求和公式，列出方程组,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；2、给出n S 与n a 的递推关系，求n a ，常用思路是：一是利用1n n n a S S -=-转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a .19．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，160ABC A AC ∠=∠=︒，1AC BA ⊥．（1）证明：11A A A C =；（2）若二面角1A AC B --为直二面角，求直线BD 与平面1A BC 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）55． 【分析】（1）设BD 交AC 于点O ，连接1A O ，证明1A O 是AC 中垂线即可得出结论； （2）建立空间直角坐标系，求出平面1A BC 的法向量，利用线面夹角公式sin n BD n BDθ⋅=代值计算即可.【详解】（1）设BD 交AC 于点O ，连接1A O ，因为底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，且O 为AC 及BD 的中点． 因为1AC BA ⊥，1BDBA B =，所以AC ⊥平面1A BO ．因为1AO ⊂平面1A BO ，所以1A O AC ⊥， 又AO CO =，所以11A A A C =． （2）因为1A O AC ⊥，BO AC ⊥，所以1A OB ∠即为二面角1A AC B --的平面角，因为二面角1A AC B --为直二面角，所以1A O OB ⊥， 从而OB ，OC ，1OA 两两垂直，如图，以O 为原点，OB ，OC ，1OA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的坐标系，因为底面ABCD 为菱形，11A A A C =，160ABC A AC ∠=∠=︒， 所以ABC 和1A AC 均为等边三角形， 设2AB =，则)3,0,0B，()0,1,0C ，(13A ，()3,0,0D -．()3,1,0BC =-，(13,0,3BA =-，()23,0,0BD =-，设平面1A BC 的法向量为(),,n x y z =，可得100n BC n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即30330x y x z ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，不妨令1x =，则3y =1z =，可取()1,3,1n =，设直线BD 与平面1A BC 所成角为θ， 则235sin 523n BD n BDθ-⋅===⋅ 所以直线BD 与平面1A BC 5． 【点睛】利用向量求直线与平面所成的角有两个思路：（1）分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角).（2）通过平面的法向量来求.若直线l 与平面α的夹角为θ，直线l 的方向向量l 与平面α的法向量n 的夹角为β，则2πθβ=-或2πθβ=-，故有sin cos l n l nθβ⋅==⋅.20．设椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的左顶点A 在抛物线22:8C y x =的准线上，F是椭圆1C 的右焦点，且椭圆1C 的焦距为2，过点F 且斜率不为0的直线l 与椭圆1C 交于D ，E 两点，直线AD 和AE 分别与直线4x =交于点M ，N ． （1）求椭圆1C 的方程；（2）22MF NF +是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）存在，36． 【分析】（1）求出抛物线的准线方程为2x =-，求得(2,0)A -，求得2a =，利用焦距求出c ，即可求得椭圆的方程；（2）设()()()004,,4,,,M m N n D x y ，直线4x =与x 轴交点为()4,0P ，写出AM 的方程，联立方程组，利用根与系数的关系及判别式，求出D 得坐标，然后推出直线FD 的斜率,FD FE k k ，利用数量积为0，转化为222MF NFMN +=，即可求解.【详解】（1）由题意，抛物线22:8C y x =的准线为2x =-，椭圆左顶点A 在抛物线22:8C y x =的准线上，所以()2,0A -，2a =，椭圆1C 的焦距为2，所以22c =，所以1c =，所以2223b a c =-=，所以椭圆1C 的方程为22143x y +=．（2）22MF NF +存在最小值为36，理由如下：设()4,M m ，()4,N n ，()00,D x y ，直线4x =与x 轴交点为()4,0P ，易知0m ≠，0n ≠，直线AM 的方程为()26my x =+， 联立得()2226143m y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理得()()222227441080m x m x m +++-=，则()()()2222442741080mm m ∆=-+->成立，由2024108227m x m --=+，解得20254227m x m-=+， 所以()002182627m my x m =+=+，所以22254218,2727m m D m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，当3m =时，22542127m m-=+，即DE x ⊥轴， 由椭圆的对称性可得3n =，即3MP FP NP ===， 又因为3PF =，90MPF NPF ∠=∠=︒，所以45MFP NFP ∠=∠=︒，90MFN ∠=︒，此时22236MF NFMN +==，当3m ≠时，3n ≠，直线FD 的斜率2222180********27FDmmm k m m m -+==---+， 同理269FE nk n=-， 因为DE 过点F ，所以226699m nm n =--，所以9mn =-，()3,FM m =，()3,FN n =，90FM FN mn ⋅=+=所以90MFN ∠=︒，222MF NFMN +=，3m ≠且3n ≠，所以6MN MP NP m n =+=+>==，22236MF NF MN +=>，综上可知，22MF NF +的最小值为36． 【点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k ）；②利用条件找到k 过定点的曲线0(),F x y =之间的关系，得到关于k 与,x y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.该网络公司每销售一件“小型会议”，“中型会议”，“大型会议”产品，可以获得的销售利润分别为150，350，550（单位：元）．（1）根据统计结果估计该网络公司每销售一件网络会议产品获得的平均销售利润； （2）该公司为了解月广告费用x （单位：万元）对月销售量y （单位：百件）的影响，对近5个月的月广告费用i x 和月销售量()1,2,3,4,5i y i =数据做了初步处理，发现k y a x =⋅可以作为月销售量y （百件）关于月广告费用x （万元）的回归方程，同时得到如下一些统计量的值．表中ln i i u x =，ln i i v y =，5115i i u u ==∑，5115i i v v ==∑．（ⅰ）建立y 关于x 的回归方程；（取 4.15964e =）（ⅱ）结合（ⅰ）的结果及所求的回归方程估计该公司应投入多少广告费，才能使得该产品月收益达到最大？（收益＝销售利润－广告费用）参考公式：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆniii ni i u u v v u u β==--=-∑∑，ˆˆav u β=-． 【答案】（1）400元；（2）（ⅰ）1464y x =；（ⅱ）256万元.【分析】（1）根据题意，写出每销售一件网络会议产品的销售利润的分布列，计算期望；（2）对函数取对，换元以后代入最小二乘法计算回归方程；（3）根据收益＝销售利润－广告费用，列出函数关系式，换元以后求导，判断函数的单调性，即可得函数的最大值.【详解】（1）设每销售一件网络会议产品的销售利润为ξ元， 则ξ的所有可能取值为150，350，550， 三类产品的频率分别为0.15，0.45，0.4，所以()1500.15P ξ==，()3500.45P ξ==，()5500.4P ξ==， 所以随机变量ξ的分布列为：所以()1500.153500.455500.4400E ξ=⨯+⨯+⨯=， 故每销售一件网络会议产品的销售利润估计值为400元．（2）（ⅰ）由b y a x =⋅得，()ln ln ln ln by a xa b x =⋅=+，令ln u x =，ln y υ=，ln c a =，则c bu υ=+，由表中数据可得，()()()515210.41ˆ0.251.64iii ii u u bu u υυ==--===-∑∑， 则24.8716.30ˆˆ0.25 4.15955cbu υ=-=-⨯=， 所以，ˆ 4.1590.25u υ=+，即()144.159ˆln 4.1590.25ln ln y x e x =+=⋅， 因为 4.15964e =，所以14ˆ64y x =， 故所求的回归方程为1464y x =．（ⅱ）设月收益为z 万元，则()14256z E y x x x ξ=⋅-=-，设14t x =，()4256f t t t =-，则()()332564464f t t t '=-=-，当()0,4t ∈时，()0f t '>，()f t 在()0,4单调递增， 当()4t ,∈+∞时，()0f t '<，()f t 在()4,+∞单调递减，所以当4t =，即256x =时，z 有最大值为768，即该公司投入256万元广告费，能使得该产品每月的收益达到最大768万元． 【点睛】关于概率统计类的解答题，一是考查随机变量及其分布，正态分布问题，一般需要列分布列求解期望，需要注意题目是属于超几何分布问题还是二项分布问题；二是考查回归分析，利用最小二乘法求解回归方程，如果是非线性的情况需要换元变为线性的情况求解；三是考查样本估计总体，频率分布直方图，需要计算中位数、平均数和方差等数字特征；四是考查独立性检验问题，建立22⨯列联表，代入公式计算卡方比较大小判断.22．已知函数()()2ln 2xf x e x ax a =--∈R 在点11,22f⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线与y 轴垂直．（1）求实数a 的值；（2）()1f x kx ≥+对一切0x >恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）22a e =-；（2）(],0-∞． 【分析】（1）求出导数，由题可知102f ⎛⎫=⎪⎭'⎝，即可求出a ； （2）可知2121f k⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭，可得0k ≤，再利用导数求出()f x 的最小值112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即可判断.【详解】（1）()212xf x ea x'=--， ()f x 在12x =的切线斜率为12202f e a ⎛⎫=--= ⎪'⎝⎭，解得22a e =-． （2）由（1）知，()()2ln 222xf x e x e x =---，由()1f x kx ≥+对一切0x >恒成立，故有2121f k⎛⎫≥+⎪⎝⎭， 又112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故112k +≤，从而0k ≤，由()()2ln 222xf x ex e x =---，则()21222xf x ee x '=--+，()2214xf x e x''=+， 由()f x ''在()0,∞+上恒大于零，()f x '在()0,∞+上单调递增， 又102f ⎛⎫=⎪⎭'⎝，故102x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减； 12x >时，()0f x '>，()f x 单调递增，故()f x 有最小值112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 而当0k ≤时，112k x +≤恒成立，即()12f x kx ≥+恒成立， 故实数k 的取值范围为(],0-∞．【点睛】本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是利用导数求出函数()f x 的最小值，结合不等式恒成立得解.。
2021年百校联盟普通高中高考数学教育教学质量监测试卷(全国Ⅱ卷)
2021年百校联盟普通高中高考数学教育教学质量监测试卷（全国Ⅱ卷） 一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合A ={x|x <2}，B ={x|x >−1}，则A ∩(∁R B)=( )A. {x|−1<x <2}B. {x|x ≤−1}C. {x|−1≤x <2}D. {x|≥2}2. (2+5i)(1−2i)=( )A. −12+iB. −12−iC. 12−iD. 12+i3. 国家统计局后发布的2020年煤炭进口月度走势图如图所示，现有如下说法：①2020年7月至11月期间，我国月煤炭的进口量逐渐减少； ②2020年12月煤炭进口量比11月份增加2732万吨； ③2020年3月至10月煤炭进口量的月平均值超过2000万吨． 则上述说法正确的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 34. 若a >b >2，则下列不等式恒成立的是( )A. 1a−2>1bB. lg(a−2b−2)<0 C. √a −13>√b −13D. 12a >12b5. 已知数列{a n }是等差数列，若a 4+2a 17<a 1<3a 13，则使得a n >0成立的最小正整数n 的值为( )A. 17B. 18C. 19D. 206. 为了庆祝学校的元旦晚会，甲、乙、丙、丁计划报名参加晚会的相声、小品、歌唱、舞蹈这4个节目，每个同学限报1个节目，在乙、丙、丁三个同学报的节目与甲不同的条件下，每个同学报的节目都不相同的概率为( )A. 332B. 227C. 23D. 297. 已知直线l ：x −my +3=0将圆C ：x 2+y 2−6x −4y +2=0的面积平分，过点M(−5,m)作圆C 的切线，切点为N ，则|MN|=( )A. 3√3B. 3√6C. 3√5D. 6√28. 已知函数f(x)=x 2(1+cosx)+2x 2+3x+1x，则下列说法正确的是( )A. 函数f(x)的图象关于原点对称B. 函数f(x)在(0,+∞)上单调递增C. 函数y =f(x)−5在(0,+∞)上无零点D. 函数f(x)的图象关于直线x =3对称9. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，记双曲线C 过一、三象限的渐近线的倾斜角为α，若点M 在过原点且倾斜角为α2的直线上，且|MF 1|−|MF 2|=2α，∠OMF 2=90°，则双曲线C 的离心率为( )A. 2√5−2B. √5−1C. 2√5−1D. √510. 已知四棱锥S −ABCD 中，SA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，SA =AB =6，平面α过SB ，CD ，SD 的中点，则平面α截四棱锥S −ABCD 所得的截面面积为( )A.454√6B. 27√62C. 9√6D. 12√611. 已知函数f(x)=2(2|cosx|+cosx)⋅sinx ，则( )A. 当x ∈[0,3π2]时，f(x)∈[0,3] B. 函数f(x)的最小正周期为π C. 函数f(x)在[π,5π4]上单调递减D. 函数f(x)的对称中心为(2kπ,0)(k ∈Z)12. 若关于x 的不等式2e x+2>x 2+2(1−a)x +a 2在(0,+∞)上恒成立，则实数a 的取值范围为( )A. [−2e,2e]B. [−√2e,√2e]C. [−e,e]D. [−√2e,√2e]二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知平面向量m⃗⃗⃗ =(3,−2)，n ⃗ =(2,λ)，若m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，则|m ⃗⃗⃗ +n ⃗ |= ______ ． 14. 已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，若抛物线C 与圆O ：x 2+y 2=12交于P ，Q 两点，且|PQ|=4√2，则△PFO 的面积为(O 为坐标原点) ______ ．15. 已知三棱锥S −ABC 外接球的球心O 在线段SA 上，若△ABC 与△SBC 均为面积是√3的等边三角形，则三棱锥S −ABC 的体积为______ ．16. 已知首项为1的数列{a n }的前n 项和为S n ，若λS n+1+S n S n+2=λS n +S n+12，且数列a 1，a 2，…，a k (k ≥3)成各项均不相等的等差数列，则k 的最大值为______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知△ABC中，tan(5π4−A)=13．(1)求sin2A+cos2A的值；(2)若△ABC的面积为4，AB=4，求BC的值．18.已知某品牌的蛋糕店在A地区有两家连锁分店，每个分店配有2名员工，且每个分店中至少有1人上班时，该分店可以正常营业；若某一家分店的员工全部休息，另一家分店的员工全部上班，则必须对员工进行调岗，将1人调至员工全部休息的分店，使得两店都正常营业；若人手不够，则挂出“今日休息”的牌样．(1)已知元旦这天，每名员工正常上班的概率均为13，求元旦这天不发生调岗的概率；(2)已知元旦这天，每名员工正常上班的概率均为12，记挂出“今日休息”的牌样的店数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．19.如图所示，已知三棱柱ABC−A1B1C1，AC⊥CB，C1C⊥CB，∠ACC1=120°，四边形ACC1A1为菱形，∠CAB=45°，M，N分别是AA1，B1C1的中点．(1)求证：A1N//平面BC1M；(2)求直线BN与平面BC1M所成角的正弦值．20. 已知函数f(x)=(1+x)lnx +1x ．(1)求曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； (2)求证：f(x)≥x ．21. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为√22，M ，为椭圆C 上两个动点，A(0,3)，当M ，N 分别为椭圆C 的左，右顶点时，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =5． (1)求椭圆C 的方程；(2)若线段MN 的垂直平分线l 的方程为x −y +λ=0，且AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <283，求实数λ的取值范围．22. 已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−ty =1−√3t(t 为参数)，曲线C 的参数方程为{x =2cosθy =2+2sinθ(θ为参数).以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，其中点M 的极坐标为(1,π2)．(1)求直线l 以及曲线C 的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求|1|MA|−1|MB||的值．23. 已知函数f(x)=|2x −3|+|x +1|．(1)作出函数f(x)的图象；(2)若关于x 的不等式f(x)+x 2≥3x +a 恒成立，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】利用集合补集与交集的定义求解即可．本题考查了集合的运算，主要考查了集合补集与交集的求解，解题的关键是掌握补集与交集的定义，属于基础题．【解答】解：因为B={x|x>−1}，所以∁R B={x|x≤−1}，又集合A={x|x<2}，则A∩(∁R B)={x|x≤−1}．故选：B．2.【答案】D【解析】解：(2+5i)(1−2i)=2−4i+5i+10=12+i，故选：D．利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：根据柱状图得知：2020年7月至11月期间，我国月煤炭的进口量逐渐减少；故①正确；2020年12月煤炭进口量比11月份增加3908−1176=2732万吨，故②正确；≈2316.25>2000，超过2000万吨，故③正2020年3月至10月煤炭进口量的月平均值为2788+3005+...+13738确．故选：D．直接利用柱状图，平均值的求法的应用判断①②③的结论．本题考查的知识要点：柱状图，平均值的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：当a =5，b =3时，1a−2=1b ，故A 选项错误， 当a =102，b =12，可得lg(a−2b−2)=lg10=1>0，故B 选项错误， 由指数函数的单调性可知，12a <12b ，故选项D 错误． 故选：C ．根据已知条件，结合特殊值赋值法，以及指数函数的单调性，即可求解．本题考查了不等式的基本性质、以及指数函数的单调性，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：设等差数列{a n }的公差为d ，由{a 4+2a 17<a 1a 1<3a 13得{2a 1+35d <0a 1+18d >0，即{a 18+a 19<0a 19>0，则a 18<0<a 19，所以使得a n >0成立的最小正整数n 的值为19． 故选：C ．设等差数列{a n }的公差为d ，根据{a 4+2a 17<a 1a 1<3a 13易分析出数列{a n }是由负到正的递增数列，所以可确定使得a n >0成立的最小正整数n 的值．本题主要考查等差数列的通项与性质，考查分析推理和运算求解能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：根据题意，甲、乙、丙、丁计划报名参加晚会的相声、小品、歌唱、舞蹈这4个节目，若乙、丙、丁三个同学报的节目与甲不同，有C 41×3×3×3种情况，其中每个同学报的节目都不相同的情况有A 44种，则在乙、丙、丁三个同学报的节目与甲不同的条件下，每个同学报的节目都不相同的概率P =A 44C 41×3×3×3=29； 故选：D ．根据题意，由分步计数原理计算“乙、丙、丁三个同学报的节目与甲不同”和“每个同学报的节目都不相同”的情况数目，由古典概型公式计算可得答案．本题考查古典古典概型的计算，涉及排列组合的应用，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：由圆C：x2+y2−6x−4y+2=0，得(x−3)2+(y−2)2=11，则圆心坐标为(3,2)，代入直线l：x−my+3=0，得3−2m+3=0，即m=3，故M(−5,3)，则|MN|=√|MC|2−r2=√65−11=3√6．故选：B．化圆的方程为标准方程，求得圆心坐标，代入直线方程可得m值，得到M的坐标，再由两点间的距离公式及勾股定理求解．本题考查直线与圆的位置关系，考查两点间距离公式的应用，是基础题．8.【答案】C【解析】解：函数f(x)=x2(1+cosx)+2x2+3x+1x =x(1+cosx)+2x+1x+3，易知：y=x(1+cosx)和函数y=2x+1x为奇函数，且函数的图象关于原点对称，故函数f(x)=x2(1+cosx)+2x2+3x+1x，关于(0,3)对称，故AD错误；由于当x>0时，y=x(1+cosx)≥0，且3+2x+1x≥2√2+3，即f(x)>5，故函数y=f(x)−5在(0,+∞)上无零点，故C正确．由于函数满足f(0.1)>13>f(π2)，故B错误．故选：C．直接利用函数的图象和性质，函数的单调性和对称性的关系判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：函数的图象和性质，函数的单调性和对称性的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：由题意设P在第一象限，延长F2M交直线y=tanα⋅x(0<α<π2)于点P，由∠OMF2=90°可得M为PF2是中点，|OP|=|OF2|=c，设P(x,ba x)，则x2+b2a2x2=c2，可得x2=a2c2a2+b2=a2，所以x=a，所以可得P(a,b)则M(a+c2,b2)代入双曲线的方程可得：x2a2−y2b2=1中，可得：(a+c2)2a2−(b2)2b2=1，解得：e=ca=√5−1，故选：B．由题意可得|MF1|−|MF2|=2α可得M在双曲线上，延长F2M交渐近线于P点，可得M为PF2的中点，可得M的坐标，代入双曲线的方程可得a，c之间的关系，求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的性质，及角平分线的性质，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：分别取SB，BC，CD，SD的中点E，F，G，H，线段SA上靠近S的四等分点I，则平面EFGHI 即为平面α，而EF=HG=3√3，FG=3√2，IE=IH=3√52，故所求截面面积为3√2×3√3+12×3√2×3√32=454√6，故选：A．作图取取SB，BC，CD，SD的中点E，F，G，H，线段SA上靠近S的四等分点I，可得平面EFGHI即为平面α，数形结合即可求得截面面积本题考查平面的基本性质及截面面积求法，数形结合思想的应用，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：当cosx≥0，即x∈[−π2+2kπ,π2+2kπ]时，f(x)=2(2cosx+cosx)⋅sinx=6sinxcosx=3sin2x．当cosx<0，即x∈(π2+2kπ,3π2+2kπ)时，f(x)=2(−2cosx+cosx)⋅sinx=−2sinxcosx=−sin2x．即f(x)={3sinx,−π2+2kπ≤x≤π2+2kπ−sin2x,π2+2kπ<x<3π2+2kπ，k∈Z．作出函数f(x)的大致图像如下图所示：当x∈[0,3π2]时，f(x)∈[−1,3]，故A错；函数f(x)的最小正周期为2π，故B错；函数f(x)的对称中心为(kπ,0)(k∈Z)，故D错．故选：C．遇见有绝对值的函数，首先考虑去绝对值．再利用正弦型函数的性质判断周期、单调性及对称中心．该题考查三角函数二倍角公式的利用，及正弦型函数的周期性、单调性、对称性等性质，属于中等题型．12.【答案】D【解析】解：不等式不等式2e x+2>x2+2(1−a)x+a2化为：e x+2−12(x−a)2−x>0．令g(x)=e x+2−12(x−a)2−x，g′(x)=e x+2−x−1+a，可得函数g′(x)在(0,+∞)上单调递增，①a≥1−e2时，g′(x)≥0，函数g(x)在(0,+∞)上单调递增，∴g(0)=e2−12a2≥0，解得−√2e≤a≤√2e.②a<1−e2时，g′(0)<0，∃x0∈(0,+∞)，使得g′(x0)=0，且函数g(x)在(0,x0)上单调递减，g(0)=e2−12a2<e2−12(1−e2)2<0，∴∃x∈(0,x0)，使得g(x)<0，不符合题意，舍去．综上可得：−√2e≤a≤√2e.故选：D．不等式不等式2e x+2>x2+2(1−a)x+a2化为：e x+2−12(x−a)2−x>0.令g(x)=e x+2−12(x−a)2−x，g′(x)=e x+2−x−1+a，可得函数g′(x)在(0,+∞)上单调递增，对a分类讨论，利用函数的单调性即可得出结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．13.【答案】【解析】解：∵m⃗⃗⃗ ⊥n⃗，m⃗⃗⃗ =(3,−2)，n⃗=(2,λ)，∴m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=0，即6−2λ=0，解得λ=3，∴m⃗⃗⃗ +n⃗=(5,1)，∴|m⃗⃗⃗ +n⃗|=√52+12=√26．故答案为：√26．根据已知条件，利用向量垂直的性质求出λ，再求出|m⃗⃗⃗ +n⃗|即可．本题考查了向量垂直的性质，以及向量的模，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．14.【答案】√2【解析】解：不妨设P在第一象限，则y P=2√2，代入x2+y2=12中，解得：x P=2，故P(2,2√2)，×2√2×1=√2．代入抛物线方程可得p=2，所以△PFO的面积为：12故答案为：√2．求出P的坐标，代入抛物线方程，求解p，即可得到抛物线方程．本题考查抛物线的简单性质的应用，圆的方程的应用，是中档题．15.【答案】【解析】解：如图，∵三棱锥S−ABC外接球的球心O在线段SA上，∴OS=OA=OB=OC，又△ABC与△SBC均为面积是√3的等边三角形，设BC=a，则12a2×√32=√3，得a=2，即AB=BS=AC=SC=BC=2，可得BO⊥SA，CO⊥SA，进一步求得∠AB=∠ACS=90°，得到SA=2√2，设BC中点D，连接AD，SD，求得AD=SD=√3．且BC⊥AD，BC⊥SD，又SD∩AD=D，∴BC⊥平面SDA，在△SDA中，∵SD=AD=√3，SA=2√2，∴S△DSA=12×2√2×√3−2=√2，则V S−ABC=13S△DSA×BC=13×√2×2=2√23．故答案为：2√23．由已知可得AC⊥SC，AB⊥SB，再由已知三角形面积求得等边三角形的边长，进一步得到SA，取BC中点D，连接SD，AD，证明BC⊥平面SDA，求出三角形SDA的面积，代入棱锥体积公式可得三棱锥S−ABC 的体积．本题考查多面体的外接球，考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．16.【答案】4【解析】解：数列a1，a2，…，a k(k≥3)成各项均不相等的等差数列，公差为d，则d≠0，a1=1，S1=a1=1，k=3，则a2=1+d，S2=a1+a2=2+d，a3=1+2d，S3=3+3d，因为λS n+1+S n S n+2=λS n+S n+12，当n=1时，λS2+S2S2=λS1+S22，可得λ(1+d)=d2+d+1①，同理，当k=4，n=2时，有λ(1+2d)=3d2+2d+1②，由①②可得，d=−2，λ=−3，当k=4时，符合题意，当k=5时，不符合题意．故k的最大值为4．故答案为：4．由已知的等式，利用赋值法，n和k进行取值，得到关于λ和d的关系，求出λ和d的值，然后验证即可得到答案．本题考查数列递推公式的应用，解题的关键是利用递推关系求出d 和λ的值，属于中档题．17.【答案】解：(1)∵tan(5π4−A)=tan(π4−A)=1−tanA 1+tanA =13，∴tanA =12，∴sin 2A +cos2A =sin 2A +cos 2A −sin 2A =cos 2A =cos 2Asin 2A+cos 2A =1tan 2A+1=45． (2)∵tanA =12>0，A ∈(0,π)， ∴sinA =√55，cosA =2√55， 又S =12bcsinA =4，c =AB =4， ∴b =2√5，由余弦定理知，a 2=b 2+c 2−2bccosA =20+16−2×2√5×4×2√55=4，∴a =2，即BC =2．【解析】(1)结合诱导公式和两角差的正切公式，可得tanA =12，再由二倍角公式和“同除余弦可化切”的思想，即可得解；(2)先根据三角函数的定义求得sin A 和cos A 的值，再由面积公式知b =2√5，然后根据余弦定理，即可得解．本题考查解三角形与三角恒等变换的综合应用，熟练掌握余弦定理，二倍角公式和两角差的正切公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)记元旦这天发生调岗为事件M ，则P(M)=C 21×13×13×23×23=881， 故元旦这天不发生调岗的概率=1−P(M)=1−881=7381． (2)根据题意，ξ的所有可能取值为0，1，2．则P(ξ=2)=14×14=116，P(ξ=1)=14×12+12×14=14， ∴P(ξ=0)=1−P(ξ=1)−P(ξ=2)=1−14−116=1116，∴ξ的分布列为：∴E(ξ)=0×1116+1×14+2×116=38．【解析】(1)记元旦这天发生调岗为事件M ，利用互斥事件、相互独立事件概率计算公式可得P(M)，再利用对立事件概率计算公式即可得出元旦这天不发生调岗的概率．(2)根据题意，ξ的所有可能取值为0，1，2.利用互斥事件、相互独立事件概率计算公式即可得出分布列及其数学期望．本题考查了随机变量的分布列及其数学期望、互斥事件、相互独立事件概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】(1)证明：取线段BC 1的中点P ，连接PM ，PN ，因为N 为B 1C 1的中点，所以PN//BB 1，且PN =12BB 1， 又M 为A 1A 的中点，所以A 1M//BB 1，且A 1M =12BB 1，所以PN//A 1M ，且PN =A 1M ，所以四边形A 1NPM 是平行四边形， 所以A 1N//PM ，又PM ⊂平面BC 1M ，A 1N ⊄平面BC 1M ，所以A 1N//平面BC 1M ； (2)解：作A 1O ⊥AC 于点O ，因为∠ACC 1=120°，所以∠AA 1O =30°， 所以AO =12A 1A =12AC ，即O 为AC 的中点；因为AC ⊥CB ，C 1C ⊥CB ，AC ∩CC 1=C ，所以BC ⊥平面A 1ACC 1， 所以BC ⊥A 1O ；因为AC ∩BC =C ，所以A 1O ⊥平面ABC ；故以点O 为坐标原点，OA ，OA 1所在直线分别为x 轴和z 轴，以过点O 且平行于BC 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系如图所示，令AA 1=AC =BC =2a ，则B(−a,2a ，0)，C 1(−2a,0,√3a)，M(12a,0,√32a)，N(−2a,a,√3a)，所以BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,−a,√3a)，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(32a,−2a,√32a)，C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(52a,0,−√32a)，设平面BC 1M 一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{(x,y,z)⋅(32a,−2a,√32a)=0(x,y,z)⋅(52a,0,−√32a)=0，得{32x −2y +√32z =052x −√32z =0，取x =√3，y =2√3，z =5，所以m ⃗⃗⃗ =(√3,2√3,5)， 故直线BN 与平面BC 1M 所成角的正弦值sinθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√610．【解析】(1)取线段BC 1的中点P ，连接PM ，PN ，可得四边形A 1NPM 是平行四边形，由A 1N//PM 可得答案；(2)作A 1O ⊥AC 于点O ，得BC ⊥平面A 1ACC 1，A 1O ⊥平面ABC ，以点O 为坐标原点，OA ，OA 1所在直线分别为x 轴和z 轴，以过点O 且平行于BC 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，求出平面BC 1M 一个法向量m⃗⃗⃗ 再求与BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角可得答案． 本题考查了线面平行的证明、线面角的向量求法，解题的关键点是建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解，考查了学生的空间想象能力和计算能力，是中档题．20.【答案】解：(1)依题意，f′(x)=lnx +1x +1−1x 2，故f′(1)=1，又f(1)=1，故所求切线方程为y −1=x −1，即y =x ． (2)证明：由f(x)≥x ，得(1+x)lnx +1x ⩾x ，即lnx +1−x x⩾0，令g(x)=lnx +1x −1，则g′(x)=1x −1x 2=x−1x 2，当0<x <1时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x >1时，g′(x)>0，g(x)单调递增， 所以g(x)min =g(1)=0，即g(x)⩾0恒成立， 所以f(x)⩾x 恒成立．【解析】(1)根据导数的几何意义有k =f′(1)=1，进而结合点斜式求出切线方程； (2)把要证的不等式等价于lnx +1−x x⩾0，构造函数g(x)=lnx +1x−1，求g(x)的最小值即可求证原不等式．本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数最值，考查不等式的证明，考查数学运算和数学抽象的核心素养，属于中档题．21.【答案】解：(1)由题意可得M(−a,0)，N(a,0)，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,−3)⋅(a,−3)=−a 2+9=5，解得a 2=4， 所以e =c a=√1−b 2a2=√22，解得b 2=2，所以椭圆C 的方程为x 24+y 22=1．(2)设直线MN 的方程为y =−x +n ，联立 {y =−x +nx 24+y 22=1，得3x 2−4nx +2(n 2−2)=0，由△=(−4n)2−4×3×2(n 2−2)>0，得n 2<6， 设M(x 1−x 1+n)，N(x 2,−x 2+n)， 则x 1+x 2=4n3，x 1x 2=2(n 2−2)3，设MN 的中点为P(x 0,−x 0+n)，则x 0=x 1+x 22=2n3，−x 0+n =n3， 由于点P 在直线x −y +λ=0上，所以n3=2n 3+λ，得n =−3λ，代入n 2<6，得9λ2<6，所以−√63<λ<√63①，因为AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,−x 1+n −3)，AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,−x 2+n −3)， 所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,−x 1+n −3)⋅(x 2,−x 2+n −3)=4(n 2−2)3−4n(n−3)3+(n −3)2=3n 2−6n+193，由AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <283，得3n 2−6n +19<28， 解得−1<n <3， 所以−1<−3λ<3， 即−1<λ<13②， 由①②得−√63<λ<13，所以实数λ的取值范围为(−√63,13).【解析】(1)由题意可得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,−3)⋅(a,−3)=5，解得a 2，又e =c a =√1−b 2a 2=√22，解得b 2，即可得出答案．(2)设直线MN 的方程为y =−x +n ，联立椭圆的方程，由△>0，得n 2<6，设M(x 1,−x 1+n)，N(x 2,−x 2+n)，结合韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，设MN 的中点为P(x 0,−x 0+n)，则x 0=x 1+x 22=2n3，−x 0+n =n3，把点P 代入直线x −y +λ=0上，得n =−3λ，代入n 2<6，推出−√63<λ<√63①，由数量积计算AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <283，得3n 2−6n +19<28，解得−1<λ<13②，由①②，即可得出实数λ的取值范围．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)由{x =−ty =1−√3t (t 为参数)，消去参数t 可得y =√3x +1，由{x =2cosθy =2+2sinθ(θ为参数)，可得{x =2cosθy −2=2sinθ，消去参数θ，得x 2+(y −2)2=(2cosθ)2+(2sinθ)2=4，即x 2+y 2−4y =0， ∴直线l 的普通方程为y =√3x +1，曲线C 的普通方程为x 2+y 2−4y =0； (2)由(1,π2)，得M(0,1)，设直线l 的参数方程为{x =12t y =1+√32t(t 为参数)， 设点A 、B 对应的参数分别t 1、t 2，将直线l 的参数方程代入x 2+y 2−4y =0， 得t 2−√3t −3=0，△=3+4×3=15， ∴t 1t 2=−3，t 1+t 2=√3， 由于直线l 过M(0,1)， 故|1|MA|−1|MB||=||MB|−|MA|||MA|⋅|MB|=|t 1+t 2||t 1t 2|=√33．【解析】(1)分别把直线l 与曲线C 的参数方程中的参数消去，可得直线l 与曲线C 的普通方程； (2)写出直线l 参数方程的标准形式，代入曲线C 的普通方程，化为关于t 的一元二次方程，由参数t 的几何意义及根与系数的关系求得|1|MA|−1|MB||的值．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查运算求解能力，是中档题．23.【答案】解：(1)f(x)=|2x −3|+|x +1|={2−3xx <−14−x,−1≤x ≤323x −2,x >32，作出f(x)的图象如右上图所示；(2)由题意，如图所示，|2x −3|+|x +1|+x 2≥3x +a ， 即|2x −3|+|x +1|≥−x 2+3x +a 恒成立，结合y =f(x)的图象和二次函数y =−x 2+3x +a 的图象可得， 临界状态为y =−x 2+3x +a 过y =f(x)的最低点(32,52)， 将(32,52)代入y =−x 2+3x +a 中，解得a =14， 所以实数a 的取值范围是(−∞,14].【解析】(1)写出f(x)的分段形式，作出f(x)的图象；(2)由题意可得|2x −3|+|x +1|≥−x 2+3x +a 恒成立，结合y =f(x)的图象和二次函数y =−x 2+3x +a 的图象可得，求得二次函数经过点(32,52)时a 的值，结合图象可得所求范围．本题考查含绝对值的图象和函数恒成立问题解法，考查分类讨论思想和数形结合思想、运算能力，属于中档题．。
2021届百校联盟高三普通高中教育教学质量监测考试全国数学(理)试题(解析版)
2021届百校联盟高三普通高中教育教学质量监测考试全国数学（理）试题一、单选题1．若2z i =-，则2z z -=（ ）A ．3B ．2C D【答案】C【解析】由复数的四则运算求2z z -，然后求模即可. 【详解】依题意，()22234z i i =-=-，故234213z z i i i -=--+=-=故选：C 【点睛】本题考查了复数的四则运算，根据已知复数求复数的模，属于简单题. 2．若集合(){}23log 318A x y x x ==--，{}5,2,2,5,7B =--，则AB =（ ）A ．{}2,2,5-B ．{}5,7-C ．{}5,2,7--D ．{}5,5,7-【答案】B【解析】先求出集合A ，即可求出交集. 【详解】依题意，{}{231803A x x x x x =-->=<-或}6x >，∴{}5,7A B ⋂=-.故选：B. 【点睛】本题考查集合的交集运算，其中涉及到对数函数的定义域和一元二次不等式的解法，属于基础题.3．我国古代的宫殿金碧辉煌，设计巧夺天工，下图（1）为北京某宫殿建筑，图（2）为该宫殿某一“柱脚”的三视图，其中小正方形的边长为1，则根据三视图可知，该“柱脚”的表面积为（ ）图（1） 图（2）A ．9929π++B ．181829π++C ．1818218π++D ．189218π++【答案】C【解析】根据“柱脚”的三视图可知，该“柱脚”是由半圆柱和一个三棱柱组合而成，求出其表面积即可. 【详解】根据“柱脚”的三视图可知，该“柱脚”是由半圆柱和一个三棱柱组合而成，故所求表面积()23336332321821S πππ=⨯⨯+⨯+⨯+⨯=+. 故答案为：C. 【点睛】本题考查由三视图求几何体表面积，属于基础题.4．已知抛物线1C ：26y x =上的点M 到焦点F 的距离为92，若点N 在2C ：2221x y 上，则点M 到点N 距离的最小值为（ ）A ．261B 431C 331D ．2【答案】B【解析】根据抛物线焦半径得到3M x =，代入抛物线方程得到点坐标，再利用点到圆心的距离减去半径即为答案. 【详解】依题意，3922M MF x =+=，故3M x =，则M y ==±由对称性，不妨设(M ，故M 到点N 11=.故选：B. 【点睛】本题考查抛物线的方程、几何性质，点到圆上点距离最小的问题.5．已知两个随机变量x ，y 呈现非线性关系.为了进行线性回归分析，设2ln u y =，()223v x =-，利用最小二乘法，得到线性回归方程123u v =-+，则（ ）A ．变量y 的估计值的最大值为eB ．变量y 的估计值的最小值为eC ．变量y 的估计值的最大值为2eD ．变量y 的估计值的最小值为2e【答案】A【解析】根据题意可得出()212316x y e --+=，再根据二次函数和指数函数的性质可求出最值. 【详解】依题意，()212ln 2323y x =--+，则()21ln 2316y x =--+， 则()212316x y e --+=，故当32x =时，变量y 的估计值的最大值为e .故选：A. 【点睛】本题考查变量间的相关关系，涉及指数函数和二次函数的性质，属于基础题. 6．函数()3ln 2f x x x =-的图象在点11,22f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为（ ） A ．5344y x =- B ．524y x =-+ C ．1144y x =- D ．14y x =-【答案】A【解析】利用导数求出切线的斜率，求出12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值，利用点斜式可得出所求切线的方程. 【详解】依题意，1128f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()213f x x x '=-，故切线斜率1352244k f ⎛⎫'==-= ⎪⎝⎭， 所求切线方程为151842x y ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，即5344y x =-. 故选：A. 【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题. 7．已知函数()()()3cos 0f x x ωϕω=+>，若33f π⎛⎫⎪⎝⎭-=，03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则ω的最小值为（ ） A ．12B ．34C ．2D ．3【答案】B【解析】根据三角函数解析式及33f π⎛⎫⎪⎝⎭-=，03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，有2423T T k π+⋅=，结合2||T πω=得到()3214k ω+=即可求ω的最小值. 【详解】依题意，33f π⎛⎫⎪⎝⎭-=，03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 故4233T T k ππ⎛⎫+⋅=-- ⎪⎝⎭，即()21243k T π+=， 故()212243k ππω+⋅=，解得()3214k ω+=，k Z ∈； 因为0>ω，故ω的最小值为34. 故选：B 【点睛】本题考查了根据三角函数周期性求参数ω的最值，由所过点的坐标，可得有关周期的表达式，结合周期与参数ω的关系求最值. 8．()()26322x x --的展开式中，4x 的系数为（ ） A ．0B ．4320C ．480D ．3840【答案】B【解析】由于()()()()266232291242x x x x x --=-+-，所以()()26322x x --的展开式中4x 的系数等于9乘以6(2)x -展开式中2x 的系数，减去12乘以6(2)x -展开式中3x 的系数，再加上4乘以6(2)x -展开式中4x 的系数即可得答案 【详解】 依题意，()()()()266232291242x x x x x --=-+-，6(2)x -展开式的通项公式为616(2)r rr r T C x -+=-，故4x 的系数为()()()4322346669C 212C 24C 2216019202404320⨯⨯--⨯⨯-+⨯⨯-=++=. 故选：B 【点睛】此题考查二项式定理的应用，考查计算能力，属于基础题9．已知圆C 过点()1,3，()0,2，()7,5-，直线l ：12510x y --=与圆C 交于M ，N 两点，则MN =（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】先设圆C ：220x y Dx Ey F ++++=，根据题中条件列出方程组，求出圆的方程；再由弦长的几何法，即可得出结果. 【详解】设圆C ：220x y Dx Ey F ++++=， 由圆C 过点()1,3，()0,2，()7,5-，可得103042074750D E F E F D E F +++=⎧⎪++=⎨⎪+-+=⎩，解得8D =-，2E =，8F=-，故圆C ：()()224125x y -++=；则圆心()41-,到直线l ：12510x y --=的距离4d ==，故6MN ==. 故选：C. 【点睛】本题主要考查求圆的弦长，考查求圆的方程，属于常考题型.10．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点()1,m ，其中0m >；若2an 21t 5α=-，则()cos 2m απ+=（ ） A ．613-B ．1213- C ．613D ．1213【答案】D【解析】根据题意，由二倍角的正切公式，以及三角函数的定义，求出3tan 2m α==，从而可得正弦和余弦值，再由诱导公式和二倍角的正弦公式，即可得出结果. 【详解】依题意，22tan 12tan 21tan 5ααα==--，解得2tan 3α=-或3tan 2α=；因为0m >，由三角函数的定义，可得，3tan 2m α==，则sin α==，cos α== 故()312cos 2cos 2sin 22sin cos 213m απαπααα⎛⎫+=+=== ⎪⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题主要考查求三角函数的值，熟记二倍角公式，三角函数的定义，以及诱导公式即可，属于基础题型.11．已知三棱锥S ABC -中，SBC 为等腰直角三角形，90BSC ABC ∠=∠=︒，2BAC BCA ∠=∠，D ，E ，F 分别为线段AB ，BC ，AC 的中点，则直线SA ，SB ，AC ，SD 中，与平面SEF 所成角为定值的有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】B【解析】根据题意，由线面垂直的判定定理，先证明BC ⊥平面SEF ，得到BS 与平面SEF 所成角为BSE ∠，AC 与平面SEF 所成的角为CFE ∠，求出这两个角，再由平面SBC 与平面ABC 的位置关系未知，即可判定出结果. 【详解】作出图形如图所示，因为E ，F 分別为线段BC ，AC 的中点， 故//EF AB ，则EF BC ⊥； 而CS BS =，则SE BC ⊥； 又SEEF E =，SE ⊂平面SEF ，EF ⊂平面SEF ，故BC ⊥平面SEF ，故BS 与平面SEF 所成角为BSE ∠，AC 与平面SEF 所成的角为CFE ∠， 因为SBC 为等腰直角三角形，所以45BSE ∠=︒；因为2BAC BCA ∠=∠，90ABC ∠=︒，所以60CFE A ∠=∠=︒；由于平面SBC 与平面ABC 的位置关系未知，故SA ，SD 与平面SEF 所成的角不为定值. 故选：B. 【点睛】本题主要考查求线面角，根据线面角的定义求解即可，属于常考题型.12．设函数()2ln x e f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，则实数t 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ C ．1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．1,,23e ⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭【答案】C【解析】()f x 恰有两个极值点，则0fx 恰有两个不同的解，求出f x 可确定1x =是它的一个解，另一个解由方程e 02x t x -=+确定，令()()e 02xg x x x =>+通过导数判断函数值域求出方程有一个不是1的解时t 应满足的条件. 【详解】由题意知函数()f x 的定义域为0,，()()221e 121x x f x t x xx -⎛⎫'=-+-⎪⎝⎭()()21e 2xx t x x ⎡⎤--+⎣⎦=()()2e 122x x x t x x⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭=. 因为()f x 恰有两个极值点，所以0fx恰有两个不同的解，显然1x =是它的一个解，另一个解由方程e 02xt x -=+确定，且这个解不等于1.令()()e 02xg x x x =>+，则()()()21e 02xx g x x +'=>+，所以函数()g x 在0,上单调递增，从而()()102g x g >=，且()13e g =.所以，当12t >且e 3t ≠时，()e 2ln x f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，即实数t 的取值范围是1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数与方程的应用，属于中档题.二、填空题13．若实数x ，y 满足20030x x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值为______.【答案】92【解析】根据约束条件画出可行域，由目标函数的几何意义，结合图形，即可得出结果. 【详解】不等式组20030x x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由2z x y =+可得2y x z =-+， 则z 表示直线2y x z =-+在y 轴的截距，由图像可得，当直线2y x z =-+过点M 时，在y 轴的截距最大，即z 有最大值；联立030x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得33,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故max 92z =.故答案为：92. 【点睛】本题主要考查求线性目标函数的最值，根据数形结合的方法求解即可，属于常考题型. 14．已知||5a =，||3b =，若a 在b 方向上的投影为3-，则23a b +=______. 73【解析】根据题意可求出3cos ,5a b =-，将23a b +转化为224129a a b b +⋅+求解. 【详解】依题意，cos ,3a a b ⋅=-，则3cos ,5a b =-，故2222323412945125393735a b a a b b ⎛⎫+=+⋅+=⨯-⨯⨯⨯-+⨯= ⎪⎝⎭.73【点睛】本题考查向量模的求解，属于基础题.15．已知三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，4SA AB ==，6BC =，AC =则三棱锥S ABC -外接球的表面积为______. 【答案】68π【解析】根据题意三棱锥S ABC -外接球等价于棱长为4，4，6的长方体的外接球，即可求出球半径，求出表面积. 【详解】依题意，222AB BC AC +=，故AB BC ⊥；SA ⊥平面ABC ，∴可将三棱锥S ABC -置于棱长为4，4，6的长方体中，∴可知三棱锥S ABC -外接球的半径2R =，故外接球表面积2468S R ππ==. 故答案为：68π. 【点睛】本题考查几何体外接球表面积的计算，属于基础题.16．已知O 为坐标原点.双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，2OA AF =，以A 为圆心的圆A 与y 轴相切，且与双曲线的一条渐近线交于点O ，P ，记双曲线C 的左顶点为M ，若22PMF PF M ∠=∠，则双曲线C 的渐近线方程为______.【答案】y =【解析】根据题意得到圆A ：22224c c x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，设点P 在第一象限，联立圆的方程与渐近线方程，求得点P 的坐标，然后由22PMF PF M ∠=∠求解。
全国百校2021届高三-开学联考-新高考卷- 数学 (答案)
— 21 ，又I<p
V/ 扫 ， 卫
I g ＞2
I<— '2IT，所以<p =卫 6 ' 因为J(x)在[0,2刓 T ， 解得— 23 ::S;w<— 53．故选BC.
一 ） 12.ABD 【解析】如图：设双曲线C的焦距为2c = 2 /IT,M N与y 轴交于点 P, 由题 可知 IOM I= C = /IT,则P (O,b), 由EO+EM
m,n 平行，又因为[J_m且l .1_ n, 所以l .l_a;若l .l_a,则[J_m且l .1_ n,所以"l .1_ m且l .1_ n" 是
"l .l_a"的充要条件．
5.B 【解析】甲从春、夏、秋、冬四个季节 中选一个季节的6幅彩绘绘制，故甲抽到绘制夏 季6
幅彩绘的概率为— 41 ，故选B.
数列，
a 12-5000 = 6000 X 1.211 , 即 a12 = 6000 X 1.211 +5000 = 50000 元年和闰为 50000-10000 =
40000元．
16. [ — 41 'el1n2) 【解析】函数 f(x) = Ilog2x I-kx 在XE(Q,16]上的零点个数 即为函数g(x) = Ilog2x I与y = kx的图象的交点个数， 函数g(x)的图象 如图，则必 y
+E—➔N= O得点 E为三角形 OMN的重心，可得IOEI=— 23 IOP I,
X
即a = — 23 b, 了 ab2 =c2-a2矿 =— 49 ,a = 2,b = 3,e2 -l =— 94，解得e =
闷 2 ． 双曲线C的渐近线方程为3x 士 2y = 0, I—OE> I= 2,M的坐标
百校联盟2021届普通高中教育教学质量监测考试(全国新高考卷)数学试卷(WORD)
百校联盟2021 届普通高中教育教学质量监测考试全国卷（新高考）数学注意事项：1. 本试 卷分第1 卷（选择 题 ）和第 I[卷（非选择 题）两部 分．2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．3. 全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4. 本试卷满分 150 分，测试 时间 120 分钟．5. 考试范围:必修1,必修2的1,2章，必修4,必修5,选修 2—1的1,3章,选修 2-2的1,3章．第 I 卷一、单项选择题：本题 共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．1. 已知集合21{|2},{|4}2x A x y x x B x ==--+=>，则A B ＝ A. 1[2,)2--B. 1[1,)2--C. 1(,1]2- D. 1(,2]2-2. 若z i 2021= 2+ i , 则z ＝ A. -1+2iB.-1-2iC.1-2i D . 1 + 2i ,3. 点 P 在平面上以速度v =(-2 , 3) 作匀速直线运动，若4秒后点 P 的坐标为( -5,16)， 则点 P 的初始坐标为 A. ( 3 , 13)B. ( 3 , 4) C . ( -7, 19) D . (-13,28)4. 广东清远清新观景台，又叫百步梯，站在观景台上可鸟瞰清远市区和清新县全景，已知每级台阶的高度大致相同，约为 0. 15 米，第191 级台阶的海拔高度约为 186米 ，则第 51 级台阶到第 100 级台阶的海拔高度之和约为（结果精确到 0. 1 米 ） A. 8104. 0 米 B. 8268. 8 米 C. 8433. 8 米D . 8598. 6 米5. 函数sin||1e ()21e x x xf x -=+在[-π,π]上的图象大致为6. 若π(π,2π),cos sin()042ααα∈+-=,则πsin()6α+＝A. 3-B.0C.3 D. 3-或07. 已知在△ABC 中，∠C=90︒，AB =2AC =4，点D 沿A →C →B 运动，则AD BD 的最小值是A.-3B.-1C.1D.38. 若数列{a n }的前n 项和为S n , nn S b n=，则称数列{b n }是数列{a n }的“均值数列”．已知数列{b n }是数列{a n }的“ 均值数列”且通项公式为b n =n ，设数列11{}n n a a +的前n 项和为T n ，若2112n T m m <--对一切n ∈N*恒成立，则实数 m 的取值范围为 A. ( - 1， 3) B.[ - 1， 3] C . (-∞,-l)U ( 3，+∞) D. (-∞,-l]U[ 3，+∞)二 、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
百校联盟2021届普通高中教育教学质量监测考试(全国卷12月)理科数学
百校联盟 2021届普通高中教育教学质量监测考试全国卷 理科数学考试范围：高考全部内容．第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{|ln }A x y x ==，B ＝{x|x 2-3x+2＞0}，则A ∩B ＝A ．{x|x ＞2}B ．{x|0＜x ＜1或x ＞2}C ．{x|x ＞e}D ．{x|x ＝1或x ＞2}2．设复数2i13iz =+-，则z = A ．43i 55- B ．43i 55-+ C ．63i 55- D ．63i 55-+3．已知等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 1+a 2＝2a 3，则75a a = A ．-1 B ．12- C ．1 D ．144．下表为2020年1～6月全国规模以上工业企业各月累计利润率，若y 与x 具有线性相关关系，且回归方程为y bx a =+，且由数据可得a b ≠，则月份 1～2 1～3 1～4 1～5 1～6 月份代码x 1 2 3 4 5 累计利润率y(%) 3.54 3.94 4.45 5.00 5.42A ．0b >，3 4.47b a +=B ．0b <，3 4.47b a +=C ．0b >，3 4.47a b +=D ．0b <，3 4.47a b +=5．已知点O 为坐标原点，点3(,0)2F 为抛物线C ：y 2＝2px 的焦点，动直线x-my-n ＝0与抛物线C 交于A ，B 两点，若OA ⊥OB ，则 A ．m ＝6 B ．n ＝6 C ．mn ＝6 D ．n ＝6m6．△ABC 中，点D ，E 为边BC 上动点，且()AE AB AC AD λμ=++，则λμ的最大值为A ．1B ．12C ．14D ．187．6211(2)(1)x x x-+-展开式中的常数项为A ．11B ．19C ．23D ．-118．在新冠疫情的冲击下，全球经济受到重创，下图是各国公布的2020年第二季度国内生产总值(GDP)同比增长率，现从这8个国家中任取4个国家，则这4个国家中第二季度GDP 同比增长率至少有2个不小于-15%的概率为A ．1770 B ．1835 C ．2635 D ．53709．矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，点E 为CD 中点，沿AE 把△ADE 折起，点D 到达点P ，使得平面PAE ⊥平面ABCE ，则异面直线AB 与PC 所成角的余弦值为A ．14B ．12C 2D 310．已知函数21,0(),02x x ax x f x a x ⎧-+≥⎪=⎨<⎪⎩，若存在x 0∈(0，+∞)，使得f(x)≥f(x 0)恒成立，则实数a 的取值范围是A ．[222,)+∞B ．(222,)-+∞C ．(0,222)D ．(0,222]11．已知过双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>左焦点的直线l 与双曲线C 的右支有公共点，且与圆x 2+y 2＝2a 2相切，则双曲线C 的离心率的取值范围为A ．3)B ．(3,)+∞C ．(1，2)D ．(2，+∞) 12．已知函数()2|sin |cos 32f x x x x =+，给出下列结论： ①f(x)的图象关于直线π12x =对称；②f(x)的值域为[-2，2]；③f(x)在π7π[,]1212上是减函数；④0是f(x)的极大值点．其中正确的结论有A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①②④第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题13．曲线()1sin 1f x x x =++在(0，f(0))处的切线方程为________．14．已知实数x ，y 满足50220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则z ＝x-3y 的取值范围为________．15．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若853a a =，则1113141593a a a aS +++=________． 16．已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，中心为M ，则四棱锥M-ABCD 的外接球被平面ABB 1A 1截得的截面面积为________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知△ABC 中，角A 为锐角且角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3sin 3BB = 2sin a Ac． （1）求A ；（2）若点D 在边BC 上，且BD ＝2DC ，且AD ＝2，求△ABC 面积的最大值． 18．如图，在三棱锥P-ABC 中，2π3PBA CBA ∠=∠=，AB ＝BC ＝BP ＝2，6PC ．（1）求证：平面PAB ⊥平面ABC ；（2）求平面PAC 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值．19．蚂蚁森林是支付宝推出的公益活动，用户可以通过步行、在线缴费等减排行为获得积分，参与在荒漠化地区种树，该公益活动曾获得联合国“地球卫士奖”．蚂蚁森林2016年8月在支付宝上线，截止2020年8月5.5亿蚂蚁森林用户一起累计种下超过2.2亿颗真树．用户通过蚂蚁森林一年种植3棵树，可获得当年度全民义务植树尽责证书．某高校学生会调查了该校100名学生通过蚂蚁森林获得2020年度全民义务植树尽责证书的情况，已知这100名学生中有男生70名，男生中通过蚂蚁森林获得2020年度全民义务植树尽责证书人数占男生总数的67，女生中通过蚂蚁森林获得2020年度全民义务植树尽责证书人数占女生总数的23．（1）填写下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该校学生的性别与通过蚂蚁森林获得 男生 女生 合计获得2020年度全民义务植树尽责证书 未获2020年度得全民义务植树尽责证书合计（2为该校每个学生通过蚂蚁森林获得2020年度全民义务植树尽责证书的概率，从全校所有学生中随机取出4个人，记这4人中通过蚂蚁森林获得2020年度全民义务植树尽责证书的人数与未通过蚂蚁森林获得2020年度全民义务植树尽责证书的人数之差为X ，求X 的分布列与期望． 附：P(K 2≥k 0) 0.05 0.01 0.005 0.001k 0 3.841 6.635 7.879 10.828n ＝a+b+c+d ，2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．20．已知椭圆C ：22221(0)x y a b +=>>的左焦点为F ，点1(0,)3A -，1(0,)3B 三等分椭圆C 的短轴，且310sin FAB ∠．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 作与x 轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于点M ，N ，椭圆C 上是否存在点P ，使得恒有PM ⊥PN ？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由． 21．已知函数21()ln 2(ln 1)2()f x x x ax x =---． （1）讨论f(x)的单调性；（2）若1＜a ＜2，判断f(x)的零点个数． 请考生从第22、23题中任选一题作答．22．【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为2221111xttyt⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为π4sin()3ρθ=+．（1）求C1的普通方程，C2的直角坐标方程；（2）判断曲线C1与圆C2的公共点个数．23．【选修4-5：不等式选讲】已知f(x)＝x2-|x-2|．（1）求不等式f(x)＞2|x|的解集；（2）已知a，b∈(-∞，0)，若存在x0∈R，使得f(x)≤a+b，求ab的最大值．。
2021届河南省百校联盟高三9月联合检测数学(文)试题Word版含答案
2021届河南省百校联盟高三9月联合检测数学（文）试题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．3．全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．本试卷满分150分，测试时间120分钟．5．考试范围：必修1～5，选修1－1，1－2．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数212izi－＝＋，则复数z的虚部为A．－1 B．－i C．1 D．i2．已知集合M＝{x∈Z｜（x＋1）（x－4）＜0}，N＝{x｜3－x＞0}，则M∩N等于A．{0，1，2，3} B．{0，1，2}C．{2，3} D．{x｜－1＜x＜3}3．已知a＝log26，b＝log53，c＝20．8，则A．b＜a＜c B．a＜c＜bC．c＜a＜b D．b＜c＜a4．2019年7月1日，《上海市生活垃圾管理条例》正式实施，生活垃圾要按照“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”的分类标准进行分类，没有垃圾分类和未投放到指定垃圾桶内等会被罚款和行政处罚．若某上海居民提着厨房里产生的“湿垃圾”随意地投放到楼下的垃圾桶，若楼下分别放有“可回收物”、“有害垃圾”、“湿垃圾”、“干垃圾”四个垃圾桶，则该居民会被罚款和行政处罚的概率为A．13B．23C．14D．345．设直线l为平面α外的一条直线，则l⊥α的充要条件是A．α内有无数条直线都与l 垂直 B．α内有两条相交直线都与l垂直C．l，α垂直于同一条直线 D．l，α垂直于同一平面6．教育部日前出台《关于普通高中学业水平考试的实施意见》，根据意见，学业水平考试成绩以“等级”或“合格、不合格”呈现．计入高校招生录取总成绩的学业水平考试的3个科目成绩以等级呈现，其他科目一般以“合格、不合格”呈现．若某省规定学业水平考试中历史科各等级人数所占比例依次为：A等级15％，B等级30％，C等级30％，D、E等级共25％．现采用分层抽样的方法，从某省参加历史学业水平考试的学生中抽取100人作为样本，则该样本中获得A或B等级的学生中一共有A．30人 B．45人 C．60人 D．75人7．设函数()2101x xf xx x⎧⎪⎨⎪⎩－－，≤＝＋，＞0，且f（2a）＝3，则f（a＋2）＝A．2 B．3 C．2或3 D．38．已知非零向量a，b满足｜a｜＝k｜b｜，且b⊥（a＋2b），若a，b的夹角为23π，则实数k的值为A．4 B．3 C．2 D．129．《周髀算经》向来被认为是中国最古老的天文学及数学著作，《周髀算经》的内容是以商高与周公的问答形式陈述而成，主要阐明当时的盖天说、四分历法．由《周髀算经》中关于影长的问题，可以得到从冬至起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长依次构成等差数列，若冬至的日影长为13．5尺，现在我们用如图所示的程序框图来求解这十二个节气日影长的和，执行该程序框图，则输出的结果是A．94尺 B．95尺C．96尺 D．97尺10．函数()()2ln1xf xx－＝的图象大致是11．已知椭圆C：22221x ya b＋＝（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点A是椭圆上一点，线段AF1的垂直平分线与椭圆的一个交点为B，若23AB F B＝，则椭圆C的离心率为A．13B．33C．23D．6312．已知四棱锥P－ABCD的五个顶点都在球O的球面上，AB＝AD＝CD＝23，BC∥AD，∠ABC＝60°，△PAB 是等边三角形，平面PAB⊥平面ABCD，则球O的表面积为A．56π B．54π C．52π D．50π第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．曲线y＝（2x＋1）lnx在点（1，0）处的切线方程为__________．14．若x ，y 满足约束条件4302901x y x y x ⎧⎪⎨⎪⎩－＋≤＋－≤≥，则z ＝3x －2y 的最小值为__________．15．函数()()5cos 2sin 26f x x x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝＋＋＋（x ∈44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦－，）的最大值为__________． 16．已知双曲线C ：22221x y a b －＝（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F （c ，0），离心率为32，直线l ：yx－c ）与C 交于A ，B 两点（其中点A 在x 轴上方），△OAF 和△OBF 的面积分别记为S 1和S 2，则12S S ＝__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知公差不为0的等差数列{n a }的前n 项和为n S ，且5S ＝25，2a 是1a 和5a 的等比中 项．（1）求数列{n a }的通项公式； （2）若k S ≥2020，求整数k 的最小值．18．（本小题满分12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c22cos 2A CB ＋－＝0． （1）求角B 的大小；（2）若sin 2B ＝2sinAsinC ，且△ABC的面积为ABC 的周长．19．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝2，且AB ⊥AC ，点M 、N 分别为棱CC 1和BC 的中点． （1）证明：证明A 1C ∥平面ANB 1； （2）求点M 到平面ANB 1的距离．20．（本小题满分12分）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，直线l ：y ＝x ＋1与抛物线C 相切于点P ， 过点P 作抛物线C 的割线PQ ，割线PQ 与抛物线C 的另一交点为Q ，A 为PQ 的中点．过 A 作y 轴的垂线与y 轴交于点H ，与直线l 相交于点N ，M 为线段AN 的中点． （1）求抛物线C 的方程；（2）求证：点M 在抛物线C 上． 21．（本小题满分12分）随着甜品的不断创新，现在的甜品无论是造型还是口感都十分诱人，有颜值、有口味、有趣味的产品更容易得到甜品爱好者的喜欢，创新已经成为烘焙作品的衡量标准．某“网红”甜品店生产有几种甜品，由于口味独特，受到越来越多人的喜爱，好多外地的游客专门到该甜品店来品尝“打卡”，已知该甜品店同一种甜品售价相同，该店为了了解每个种类的甜品销售情况，专门收集了该店这个月里五种“网红甜品”的销售情况，统计后得如下表格：（利润率是指：一份甜品的销售价格减去成本得到的利润与该甜品的销售价格的比值．） （1）从该甜品店本月卖出的甜品中随机选一份，求这份甜品的利润率高于0．2的概率；（2）假设每类甜品利润率不变，销售一份A 甜品获利x 1元，销售一份B 甜品获利x 2元，…，销售一份E 甜品获利x 5元，设123455x x x x x x ＋＋＋＋＝，若该甜品店从五种“网红甜品”中随机卖出2种不同的甜品，求至少有一种甜品获利超过x 的概率．22．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝12x （1－ax ）－lnx （a ∈R ）． （1）当a ＝－12时，求f （x ）的单调区间；（2）当x ∈（1，＋∞）时，()1ln 2f x ax x ＞－－恒成立，求实数a 的取值范围。
2021年辽宁省百校联盟高考数学质检试卷(3月份)-普通用卷
2021年辽宁省百校联盟高考数学质检试卷（3月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1.1−i 2+3i=( )A. 113+513iB.113−513i C. −113+513iD. −113−513i2. 已知集合A ={−1,0，2}，B ={0,1，2}，则A ∪B =( )A. {−1,0，1，2}B. {−1,0，1}C. {0,1，2}D. {0,2}3. 函数f(x)=e x −2x的图象在点(1,f(1))处的切线方程为( )A. 2x +y +e −4=0B. 2x +y −e +4=0C. 2x −y +e −4=0D. 2x −y −e +4=04. 《算法统宗》中有一个问题：“三百七十八里关，出行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，意思是有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，问第三天和第四天共走了( )A. 36里B. 70里C. 72里D. 124里5. 已知直线l ：x −2y +6=0与圆C ：x 2+y 2−4y =0相交于A ，B 两点，则CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.165B. −165C.125D. −1256. 设双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F 2，过F 2且垂直于x 轴的直线与C 相交所得的弦长为4b 2√a 2+b 2，则C 的离心率为( )A. √2B. 2C. √3D. 37. 如图，无人机在离地面高300m 的M 处，观测到山顶A 处的俯角为15°、山脚C 处的俯角为60°，已知AB =BC ，则山的高度AB 为( )A. 150√2mB. 200mC. 200√2mD. 300m8. 已知定义域为R 的函数f(x)的导函数为f′(x)，且xf′(x)−4f(x)=x 5e x ，若f(1)=e +2，则方程f(x)=4的实根个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.下列函数中，在(2,4)上是减函数的是()A. y=(13)x B. y=log2(x2+3x)C. y=1x−2D. y=cosx10.已知数列{a n}满足a2=4，n(n−1)a n+1=(n−1)a n−na n−1(n>1且n∈N∗)，数列{a n}的前n项和为S n，则()A. a1+a3=2B. a1+a3=4C. 2020 S2021−a2020=8080D. 2021 S2021−a2020=404011.甲箱中有3个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和4个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以A1，A2表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的球是黑球的事件，则下列结论正确的是()A. A1，A2两两互斥B. P(B|A2)=23C. 事件B与事件A2相互独立D. P(B)=91412.如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E，F分别为边AB，BC的中点，将该矩形沿对角线BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，则以下结论正确的是()A. EF//平面ACDB. AC=2√855C. BD⊥ACD. 三棱锥A−BCD的体积为16√515三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f(x)={2xx+1,x>0f(x+2),x≤0，则f(−4)=______ ．14.若抛物线y2=8x上有两点A，B，且直线AB垂直于x轴，O为坐标原点，若△OAB的面积为8，则点A，B到抛物线的准线的距离之和为______ ．15.将函数f(x)图象向左平移π3个单位，再把所得的图象保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的4倍得到y=sin(x2+π4)，则f(x)的解析式是______ ；函数f(x)在区间[−π8,π12]上的值域是______ ．16.已知三棱锥S−ABC外接球的球心O在线段SA上，若△ABC与△SBC均为面积是√3的等边三角形，则三棱锥S−ABC的体积为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在①sin2A+sin2B−sin2C=sinAsinB，②2a=√3csinA+acosC，③(2sinA−sinB)a=2csinC+(sinA−2sinB)b这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知△ABC的角A，B，C对边分别为a，b，c，且c=6，____．(1)求C；(2)求△ABC面积的最大值．18.已知S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1+a2=−20，S2+S3=−47．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求S n，并求S n的最小值．19.如图，在三棱锥P−ABC中，AB，AC，AP两两互相垂直，AB=2AC=2AP，CD⊥PB．(1)证明：AD⊥PB且BD=4PD；(2)求直线AD与平面PBC所成角的正弦值．20.2020年11月22日，第29届全国中学生数学奥林匹克决赛举行，若将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了100名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部在[60,100]之内，将数据按照[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图，如图所示.已知a，b，c成等差数列且a−c=0.008．(1)求频率分布直方图中a，b，c的值；(2)并估计这100名学生成绩的众数；(3)若按照分层抽样从成绩在[70,80)，[80,90)的两组中抽取了6人，再从这6人中随机抽取3人，记X为3人中成绩在[80,90)的人数，求X的分布列和数学期望．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率等于12，椭圆C与抛物线C′：y2=92x交于P，Q两点(P在x轴上方)，且PQ经过C的右焦点．(1)求椭圆C的方程；(2)已知点A，B是椭圆上不同的两个动点，且满足直线AP与直线BP关于直线PQ对称，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．22.已知函数f(x)=a(lnx−1)x．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)<1+1−ax 在(1,+∞)上恒成立，求整数a的最大值.(参考数据：ln3<43，ln4>54)答案和解析1.【答案】D【解析】解：原式=(1−i)(2−3i)(2+3i)(2−3i)=2−3−2i−3i 22+32=−113−513i ，故选：D ．利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：∵A ={−1,0，2}，B ={0,1，2}， ∴A ∪B ={−1,0，1，2}． 故选：A ．进行并集的运算即可．本题考查了列举法的定义，并集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：f(x)=e x −2x的导数为f′(x)=xe x −e x +2x 2，可得f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线的斜率为2， 切点为(1,e −2)，则切线的方程为y −(e −2)=2(x −1)， 即为2x −y +e −4=0． 故选：C ．求得函数f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由直线的点斜式方程可得所求切线的方程．本题考查导数的运用：求切线的方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：由题意得，每天走的路程构成12为公比的等比数列，设为{a n } 则a 1(1−126)1−12=378，解得，a 1=192，故此人第二天走96里，第三天走48里，第四天走24里， 故第三天和第四天共走了72里． 故选：C ．由题意得，每天走的路程构成12为公比的等比数列，然后结合等比数列的求和公式及通项公式即可求解．本题主要考查了等比数列的求和公式在实际问题中的应用，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：圆的解析式为x 2+y 2−4y =0 圆心坐标为(0,2)，半径为r =2，联立得{x −2y +6=0x 2+y 2−4y =0解得{x =−2y =2或{x =65y =185， 不妨设A(−2,2)，B(65,185)， 则CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0)，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(65,85)， 所以CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2×65+0×85=−125． 故选：D ．利用圆C 与直线x −2y +6=0相交，求出交点的坐标，再求出两个向量坐标，即可求解．本题考查直线和圆的方程的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．6.【答案】B【解析】解：由题意可知点F(c,0)，c 2a 2−y 2b 2=1，∴y =±b 2a ，所以弦长为2b 2a=2√a 2+b 2，解得b 2a 2=3，∴e =c a =√1+b2a 2=2，故选：B ．点F 的坐标为(c,0)代入双曲线方程即可求出直线与曲线C 的相交弦长，即可解出． 本题考查了双曲线的性质，学生的运算能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：Rt△MNC中，∠MCN=60°，MN=300，所以MC=MNsin60∘=200√3；又△ACM中，∠MAC=15°+45°=60°，所以∠ACM=180°−60°−45°=75°，所以∠AMC=180°−75°−60°=45°，由正弦定理得MCsin60∘=ACsin45∘，解得AC=200√3×√22√32=200√2；Rt△ABC中，AB=BC=ACsin45°=200√2×√22=200，所以山的高度AB为200m．故选：B．在Rt△MNC中求得MC的值，△ACM中利用正弦定理求出AC的值，再在Rt△ABC中求出AB即可．本题考查了三角形边角关系的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．8.【答案】B【解析】解：由xf′(x)−4f(x)=x5e x，可得x4f′(x)−4x3f(x)=x8e x，则x4f′(x)−4x3f(x)x8=e x，即(f(x)x4)′=e x，则f(x)x4=e x+C，f(x)=x4(e x+C)，又f(1)=e+2，所以e+2=e+C，所以C=2，所以f(x)=x4(e x+2)，f′(x)=4x3(e x+2)+x4e x=x3(xe x+4e x+8)，令g(x)=xe x+4e x+8，g′(x)=e x+xe x+4e x=(x+5)e x，令g′(x)=0，得x=−5，当x∈(−∞,−5)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x∈(−5,+∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以g(x)的最小值为g(−5)=−e−5+8>0，则对于f′(x)=x3(xe x+4e x+8)，令f′(x)<0，可得x<0，令f′(x)>0，可得x>0，所以f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，所以f(x)的最小值为f(0)=0，当x→−∞时，f(x)→+∞，当x→+∞时，f(x)→+∞，所以函数y=f(x)与y=4有2个交点，即方程f(x)=4的实根个数为2．故选：B．将已知等式转化为x4f′(x)−4x3f(x)x8=e x，即(f(x)x4)′=e x，从而可求得f(x)=x4(e x+C)，由f(1)=e+2，可求得C，再利用导数求出f(x)的单调性和最值，从而可判断方程实根的个数．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，以及函数零点与方程根的关系，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．9.【答案】AC【解析】解：根据指数函数的性质得，y=(13)x在(2,4)上是减函数，符合题意；根据复合函数的单调性可知，y=log2(x2+3x)在(2,4)上是增函数，不符合题意；根据反比例函数的性质及函数图像的平移得，y=1x−2在(2,4)上是减函数，符合题意；根据余弦函数的性质得，y=cosx在(2,4)上先减后增，不符合题意．故选：AC．由已知结合基本初等函数的单调性分别检验各选项即可求解．本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础题．10.【答案】AC【解析】解：因为a2=4，n(n−1)a n+1=(n−1)a n−na n−1，令n=2，则2a3=a2−2a1，2a3=4−2a1，所以a1+a3=2，故A正确，B错误；因为n(n−1)a n+1=(n−1)a n−na n−1(n>1且n∈N∗)，同除以n(n−1)，得a n+1=a nn −a n−1n−1，所以a n=a n−1n−1−a n−2n−2，…，a3=a22−a1，S n=a1+a2+a3+⋯+a n=a n−1n−1−a n−2n−2+a n−3n−3−a n−2n−2+⋯+a22−a1+a2+a1=a n−1 n−1+a2=a n−1n−1+4，所以S2021=a20202020+4，即2020S2021=a2020+8080，故C正确，D错误．故选：AC．令n=1，即可求得a1+a3=2，从而判断选项A，B；将已知等式变形可得a n+1=a nn−a n−1 n−1，则利用累加法可求得S n=a n−1n−1+4，令n=2021，即可判断选项C，D．本题主要考查数列地推关系式的应用，考查前n项和的求法，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．11.【答案】AD【解析】解：因为不可能同时从甲箱中取出白球和黑球，故A 1，A2不可能同时发生，故A 1，A2互斥，故选项A正确；P(B|A2)=4+12+4+1=57，故选项B错误；事件A2是否发生会影响事件B发生的概率，故事件B与事件A2不相互独立，故选项C 错误；P(B)=12×57+12×47=914，故选项D正确．故选：AD．利用互斥事件的定义判断选项A，利用条件概率的求解公式求出P(B|A2)，即可判断选项B，利用相互独立事件的定义判断选项C，求出事件B的概率即可判断选项D．本题主要考查了互斥事件，相互独立事件，条件概率的求法，考查了逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．12.【答案】ABD【解析】解：因为E，F分别为边AB，BC的中点，所以EF//AC，又EF⊄平面ACD，AC⊂平面ACD，所以EF//平面ACD，故选项A正确；作AH⊥BD于点H，连结CH，因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AH⊂平面ABD，所以AH⊥平面BCD，CH⊂平面BCD，故AH⊥CH，因为S△ABD=12×4×2=12×√42+22⋅AH，解得AH=4√55，设CH =x ，由cos∠CDB =2√5=42+45−x 22×4×2√5，解得x 2=525，所以AC =√AH 2+CH 2=√525+165=2√855，故选项B 正确；建立空间直角坐标系如图所示，则C(0,0，0)，B(2,0，0)，D(0,4，0)， 因为DH =2√55,DB =2√5，所以DH DB =15，故M(25,165,0)，所以A(25,165,4√55)，故AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−25,−165,−4√55),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,4,0)， 因为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =45−645=−12≠0，故AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不垂直，即AC 与BD 不垂直，故选项C 错误；三棱锥A −BCD 的体积为V =13⋅S △BCD ⋅AH =13×12×2×4×4√55=16√515，故选项D 正确．故选：ABD ．利用中位线定理以及线面平行的判定定理即可判断选项A ，作AH ⊥BD 于点H ，连结CH ，利用等面积法求出AH ，再利用边角关系求出CH ，由勾股定理求出AC ，即可判断选项B ，建立空间直角坐标系，求出直线AC 与BD 的方向向量，由数量积是否为零，即可判断选项C ，利用棱锥的体积公式求出体积，即可判断选项D ．本题考查了立体几何的综合应用，考查了线面平行的判定定理，面面垂直的性质定理，向量法证明直线垂直的应用，三棱锥的体积公式的应用，综合性强，对学生分析问题和解决问题的能力有较高的要求，属于中档题．13.【答案】43【解析】解：根据题意，函数f(x)={2xx+1,x >0f(x +2),x ≤0，则f(−4)=f(−2)=f(0)=f(2)=43， 故答案为：43，根据题意，由函数的解析式可得f(−4)=f(−2)=f(0)=f(2)，即可得答案． 本题考查函数值的计算，涉及分段函数解析式的应用，属于基础题．14.【答案】8【解析】解：由题意设直线AB 的方程为：x =a ，a >0，代入抛物线的方程可得y =±2√2a ，所以弦长|AB|=4√2a，O到直线AB的距离为a，而抛物线的准线方程为x=−2所以S△AOB=12|AB|⋅d=12⋅4√2a⋅a=2√2aa=8，解得a=2，所以|AB|=2[a−(−2)]=2×(2+2)=8，故答案为：8．设直线AB的方程，代入抛物线的方程可得A，B的纵坐标，进而可得|AB|的值，由三角形OAB面积可得a的值，进而求出A，B到准线的距离之和．本题考查直线与抛物线相交弦长的求法及三角形面积公式的应用，属于基础题．15.【答案】f(x)=sin(2x−5π12)[−1,−√22]【解析】解：由题意，把y=sin(x2+π4)的图象的横坐标变为原来的14，纵坐标不变，可得y=sin(2x+π4)的图象；再把所得图象向右平移π3个单位，可得f(x)=sin(2x−2π3+π4)=sin(2x−5π12)的图象．当x∈[−π8,π12]，2x−5π12∈[−2π3,−π4]，sin(2x−5π12)∈[−1,−√22]，故答案为：f(x)=sin(2x−5π12)；[−1,−√22].由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．16.【答案】【解析】解：如图，∵三棱锥S−ABC外接球的球心O在线段SA上，∴OS=OA=OB=OC，又△ABC与△SBC均为面积是√3的等边三角形，设BC=a，则12a2×√32=√3，得a=2，即AB=BS=AC=SC=BC=2，可得BO⊥SA，CO⊥SA，进一步求得∠AB=∠ACS=90°，得到SA=2√2，设BC中点D，连接AD，SD，求得AD=SD=√3．且BC⊥AD，BC⊥SD，又SD∩AD=D，∴BC⊥平面SDA，在△SDA中，∵SD=AD=√3，SA=2√2，∴S△DSA=12×2√2×√3−2=√2，则V S−ABC=13S△DSA×BC=13×√2×2=2√23．故答案为：2√23．由已知可得AC⊥SC，AB⊥SB，再由已知三角形面积求得等边三角形的边长，进一步得到SA，取BC中点D，连接SD，AD，证明BC⊥平面SDA，求出三角形SDA的面积，代入棱锥体积公式可得三棱锥S−ABC的体积．本题考查多面体的外接球，考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：若选条件①，sin2A+sin2B−sin2C=sinAsinB，(1)利用正弦定理可得a2+b2−c2=ab，由余弦定理可得cosC=a2+b2−c22ab =ab2ab=12，因为C∈(0,π)，所以C=π3．(2)因为C=π3，c=6，所以在△ABC中，由余弦定理可得36=a2+b2−ab，所以ab+36=a2+b2≥2ab，解得ab≤36，当且仅当a=b时取等号，所以△ABC面积的最大值S max=12absinC=12×36×√32=9√3．若选条件②，2a=√3csinA+acosC，(1)由正弦定理可得2sinA=√3sinCsinA+sinAcosC，因为sinA≠0，所以√3sinC+cosC=2，即sin(C+π6)=1，因为C∈(0,π)，C+π6∈(π6,7π6)，所以C+π6=π2，可得C=π3，(2)因为C =π3，c =6，所以在△ABC 中，由余弦定理可得36=a 2+b 2−ab ，所以ab +36=a 2+b 2≥2ab ，解得ab ≤36，当且仅当a =b 时取等号， 所以△ABC 面积的最大值S max =12absinC =12×36×√32=9√3．若选条件③，(2sinA −sinB)a =2csinC +(sinA −2sinB)b ，(1)由正弦定理可得：(2a −b)a =2c 2+(a −2b)b ，整理可得a 2+b 2−c 2=ab ， 由余弦定理可得cosC =a 2+b 2−c 22ab=ab 2ab =12，因为C ∈(0,π)， 所以C =π3．(2)因为C =π3，c =6，所以在△ABC 中，由余弦定理可得36=a 2+b 2−ab ，所以ab +36=a 2+b 2≥2ab ，解得ab ≤36，当且仅当a =b 时取等号， 所以△ABC 面积的最大值S max =12absinC =12×36×√32=9√3．【解析】若选条件①，(1)利用正弦定理可得a 2+b 2−c 2=ab ，由余弦定理可得cosC =12，结合C ∈(0,π)，可求C 的值；(2)由已知利用余弦定理，基本不等式可求ab 的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解．若选条件②，(1)由正弦定理，两角和的正弦公式可得sin(C +π6)=1，结合C +π6∈(π6,7π6)，可求C 的值；(2)由已知利用余弦定理，基本不等式可求ab 的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解．若选条件③，(1)由正弦定理化简已知得a 2+b 2−c 2=ab ，由余弦定理得cosC =12，结合C ∈(0,π)，可求C 的值；(2)由已知利用余弦定理，基本不等式可求ab 的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】解：(1)等差数列{a n }中，a 1+a 2=−20，S 2+S 3=−47，所以{2a 1+d =−202a 1+d +3a 1+3d =−47，解得，{a 1=−11d =2，故a n =a 1+(n −1)d =2n −13， (2)由(1)得，S n =na 1+n(n−1)d2=−11n +n 2−n =n 2−12n =(n −6)2−36，故当n =6时，S n 的最小值−36．【解析】(1)由已知结合等差数列的通项公式及求和公可求a 1，d ，然后结合等差数列的通项公式可求；(2)结合等差数列的求和公式可求S n ，然后结合二次函数的性质可求．本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式，还考查了等差数列和的最值的求解，属于基础题．19.【答案】(1)证明：因为AC ⊥AB ，AC ⊥AP ，AB ∩AP =A ，AB ，AP ⊂平面ABP ，所以AC ⊥平面ABP ，又PB ⊂平面ABP ，所以AC ⊥PB ，又因为CD ⊥PB ，AC ∩CD =C ，AC ，CD ⊂平面ACD ，所以PB ⊥平面ACD ，又AD ⊂平面ACD ，所以AD ⊥PB ， 因为tan∠ABP =APAB =ADBD =12，所以BD =2AD ，由题意可得△ADP∽△BDA ，所以PDAD =ADBD =12，所以AD =2PD ， 故BD =4PD ；(2)解：建立空间直角坐标系如图所示， 设AC =2，则AB =4，AP =2，则点A(0,0，0)，P(0,0，2)，B(0,4，0)，C(2,0，0)，D(0,45,85)， 则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,−2),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,−2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,45,85)， 设平面PBC 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)， 则有{n ⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4y −2z =0n⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x −2z =0，令y =1，则x =2，z =2，所以n ⃗ =(2,1,2)， 设直线AD 与平面PBC 所成的角为θ， 则sinθ=|cos <n⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=45+1653×4√55=√53， 所以直线AD 与平面PBC 所成角的正弦值为√53．【解析】(1)利用线面垂直的判定定理分别证明AC ⊥平面ABP ，PB ⊥平面ACD ，即可证明AD ⊥PB ，利用tan∠ABP =APAB =ADBD =12和△ADP∽△BDA ，即可证明BD =4PD ； (2)建立合适的空间直角坐标系，AC =2，则AB =4，AP =2，求出直线AD 方向向量和平面PBC 的法向量，利用向量的夹角公式求解即可．本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理的应用，在求解空间角的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．20.【答案】解：(1)根据频率分布直方图的性质，可得(0.04+a +b +c)×10=1，∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b =a +c ， 又a −c =0.008，联立解得：a =0.024，b =0.02，c =0.016．(2)众数即频率分布直方图图中最高矩形的底边中点的横坐标，故估计这100名学生成绩的众数是75．(3)由题意可得：成绩在[70,80)共有0.040×10×100=40人，在[80,90)共有0.020×10×100=20人，∴在[70,80)抽取了4人，在[80,90)中抽取了2人， ∴随机变量X 的取值为0，1，2． 则P(X =0)=C 43C 63=15，P(X =1)=C 42C 21C 63=35，P(X =2)=C 41C 22C 63=15，∴X 的分布列为：E(X)=0×15+1×35+2×15=1．【解析】(1)根据频率分布直方图的性质，可得(0.04+a +b +c)×10=1，根据a ，b ，c 成等差数列，可得2b =a +c ，又a −c =0.008，联立解得：a ，b ，c ．(2)众数即频率分布直方图图中最高矩形的底边中点的横坐标，即可得出估计这100名学生成绩的众数．(3)由题意可得：成绩在[70,80)共有0.040×10×100=40人，在[80,90)共有0.020×10×100=20人，在[70,80)抽取了4人，在[80,90)中抽取了2人，利用超几何分布列即可得出分布列与期望．本题考查了超几何分布的分布列、数学期望与方差，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．21.【答案】解：(1)设椭圆C 的半焦距为c ，设点P(c,y 0)，则{y 02=92cc 2a2+y 02b 2=1，消去y 0得：c 2a 2+9c2b 2=1，即c 2a 2+9c2(a 2−c 2)=1 ①， 因为椭圆的离心率等于12，所以ca =12，即a =2c ②， 将②代入①得：c 2(2c)2+9c2[(2c)2−c 2]=1， 化简得：14+32c =1， 解得：c =2，所以a =4，b =2−c 2=2√3， 所以椭圆C 的方程为x 216+y 212=1．(2)将P(2,y 0)代入抛物线C′：y 2=92x 中，得y 02=92×2，解得y 0=3(取正值)， 则P(2,3)，Q(2,−3)，当AP 与BP 关于直线PQ 对称时，PA ，PB 的斜率之和为0， 设直线PA 的斜率为k ，则PB 的斜率为−k ， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，设直线PA 的方程为y −3=k(x −2)，由{y −3=k(x −2)x 216+y 212=1，消去y 得：(3+4k 2)x 2+8(3−2k)kx +16k 2−48k −12=0，所以x 1+2=8(2k−3)k 3+4k 2，设PB 的直线方程为y −3=−k(x −2)， 同理得：x 2+2=−8k(−2k−3)3+4k 2=8k(2k+3)3+4k 2，所以x 1+x 2=16k 2−123+4k 2，x 1−x 2=−48k3+4k 2，则k AB =y 1−y2x 1−x 2=k(x 1−2)+3+k(x 2−2)−3x 1−x 2=k(x 1+x 2)−4kx 1−x 2=12．所以直线AB 的斜率为定值12．【解析】(1)设椭圆C 的半焦距为c ，设点P(c,y 0)，把点P 的坐标分别代入椭圆C 和抛物线C′方程，结合椭圆的离心率即可求出a ，c 的值，进而得到椭圆C 的方程． (2)先求出点P 的坐标，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由题意可设直线PA 的斜率为k ，PB 的斜率为−k ，联立直线PA 与椭圆C 的方程，利用韦达定理得到x 1+2=8(2k−3)k 3+4k 2，同理可得x 2+2=8k(2k+3)3+4k 2，进而求出x 1+x 2和x 1−x 2的值，代入斜率公式k AB =y 1−y2x 1−x 2=k(x 1+x 2)−4kx 1−x 2化简，即可得到直线AB 的斜率为定值．本题主要考查了椭圆的方程，考查了直线与椭圆的位置关系，同时考查了学生的计算能力，是中档题．22.【答案】解：(1)f(x)的定义域是(0,+∞)，f′(x)=a(2−lnx)x 2，①当a <0时，令f′(x)<0，解得：0<x <e 2，令f′(x)>0，解得：x >e 2， 故f(x)的单调递减区间为(0,e 2)，单调递增区间为(e 2,+∞)， ②当a =0时，f(x)=0无单调区间，③当a >0时，令f′(x)<0，得x >e 2，令f′(x)>0，得0<x <e 2， 故f(x)的递增区间是(0,e 2)，单调递减区间是(e 2,+∞)；综上：a <0时，f(x)的单调递减区间为(0,e 2)，单调递增区间为(e 2,+∞)， 当a =0时，f(x)=0无单调区间，当a >0时，f(x)的递增区间是(0,e 2)，单调递减区间是(e 2,+∞)． (2)f(x)<1+1−a x即为a(lnx−1)x<1+1−a x，得alnx x<1+1x ，∵x >1，∴同乘以x ，得alnx <x +1， 又lnx >0，故a <x+1lnx在x ∈(1,+∞)上恒成立，令ℎ(x)=x+1lnx(x >1)，则ℎ′(x)=lnx−1x−1(lnx)2，令t(x)=lnx −1x −1(x >1)，∵y =lnx 与y =−1x 在(1,+∞)上均单调递增，故t(x)在(1,+∞)上单调递增，且t(3)=ln3−43<0，t(4)=ln4−54>0， 故∃x 0∈(3,4)，使得t(x 0)=lnx 0−1x 0−1=0，此时lnx 0=1x 0+1，故当x ∈(1,x 0)时，ℎ′(x)<0，当x ∈(x 0,+∞)时，ℎ′(x)>0， 故ℎ(x)在(1,x 0)上单调递减，在(x 0,+∞)上单调递增， 故ℎ(x)min =ℎ(x 0)=x 0+1lnx 0=x 0+11x 0+1=x 0∈(3,4)，∵a <x+1lnx在x ∈(1,+∞)上恒成立，故a <ℎ(x)min =x 0， 故整数a 的最大值是3．【解析】(1)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可； (2)a <x+1lnx在x ∈(1,+∞)上恒成立，令ℎ(x)=x+1lnx(x >1)，求出函数的导数，根据函数的单调性求出ℎ(x)的最小值，求出a 的最大值即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，考查函数恒成立问题，是难题．。
2021年辽宁省百校联盟高考数学质检试卷有答案
2021年辽宁省百校联盟高考数学质检试卷（3月份）一、单页选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. ＝（）A. iB. iC.- iD. --i2. 已知集合A＝{−1, 0, 2}，B＝{0, 1, 2}，则A∪B＝（）A.{−1, 0, 1, 2}B.{−1, 0, 1}C.{0, 1, 2}D.{0, 2}3. 函数f(x)＝的图象在点（1, f(1)）处的切线方程为（）A.2x+y+e−4＝0B.2x+y−e+4＝0C.2x−y+e−4＝0D.2x−y−e+4＝04. 《算法统宗》中有一个问题：“三百七十八里关，出行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，意思是有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，问第三天和第四天共走了（）A.36里B.70里C.72里D.124里5. 已知直线l:x−2y+6＝0与圆C:x2+y2−4y＝0相交于A，B两点，则•＝（）A. B.- C. D.-6. 设双曲线C：＝1(a>0, b>0)的右焦点为F2，过F2且垂直于x轴的直线与C相交所得的弦长为，则C的离心率为（）A. B.2 C. D.37. 如图，无人机在离地面高300m的M处，观测到山顶A处的俯角为15∘、山脚C处的俯角为60∘，已知AB＝BC，则山的高度AB为（）A.150mB.200mC.200mD.300m8. 已知定义域为R的函数f(x)的导函数为f′(x)，且xf′(x)−4f(x)=x5e x，若f(1)= e+2，则方程f(x)=4的实根个数为（）A.1B.2C.3D.4二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.下列函数中，在(2, 4)上是减函数的是（）A.y＝（）xB.y＝log2(x2+3x)C.y＝D.y＝cos x已知数列{a n}满足a2＝4，n(n−1)a n+1＝(n−1)a n−na n−1(n>1且n∈N∗)，数列{a n}的前n项和为S n，则（）A.a1+a3＝2B.a1+a3＝4C.2020 S2021−a2020＝8080D.2021 S2021−a2020＝4040甲箱中有3个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和4个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以A1，A2表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的球是黑球的事件，则下列结论正确的是（）A.A1，A2两两互斥B.P(B|A2)＝C.事件B与事件A2相互独立D.P(B)＝如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E，F分别为边AB，BC的中点，将该矩形沿对角线BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，则以下结论正确的是（）A.EF // 平面ACDB.AC＝C.BD⊥ACD.三棱锥A−BCD的体积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.已知函数f(x)＝，则f(−4)＝________．若抛物线y2＝8x上有两点A，B，且直线AB垂直于x轴，O为坐标原点，若△OAB的面积为8，则点A，B到抛物线的准线的距离之和为________．将函数f(x)图象向左平移个单位，再把所得的图象保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的4倍得到y＝sin（+），则f(x)的解析式是________（________）＝sin （2________-）；函数f(x)在区间[- ，]上的值域是________．已知三棱锥S−ABC外接球的球心O在线段SA上，若△ABC与△SBC均为面积是√3的等边三角形，则三棱锥S−ABC的体积为________．四、解答题：共70分。
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百校联盟2021 届普通高中教育教学质量监测考试
全国卷（新高考）数学
注意事项：
1. 本试 卷分第1 卷（选择 题 ）和第 I[卷（非选择 题）两部 分．
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3. 全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
4. 本试卷满分 150 分，测试 时间 120 分钟．
5. 考试范围:必修1,必修2的1,2章，必修4,必修5,选修 2—1的1,3章,选修 2-2的1,3章．
第 I 卷
一、单项选择题：本题 共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．
1. 已知集合21{|2},{|4}2
x A x y x x B x ==--+=>，则A B ＝
A. 1
[2,)2-- B. 1[1,)2-- C. 1(,1]2- D. 1(,2]2- 2. 若z i 2021= 2+ i, 则z ＝
A. -1+2i
B.-1-2i
C.1-2i
D. 1 + 2i ,
3. 点 P 在平面上以速度v =(-2 , 3) 作匀速直线运动，若4秒后点 P 的坐标为( -5,16)， 则点 P 的初始坐标为
A. ( 3 , 13)
B. ( 3 , 4)
C. ( -7, 19)
D. (-13,28)
4. 广东清远清新观景台，又叫百步梯，站在观景台上
可鸟瞰清远市区和清新县全景，已知每级台阶的高
度大致相同，约为 0. 15 米，第191 级台阶的海拔
高度约为 186米 ，则第 51 级台阶到第 100 级台阶
的海拔高度之和约为（结果精确到 0. 1 米 ）
A. 8104. 0 米
B. 8268. 8 米
C. 8433. 8 米
D. 8598. 6 米
5. 函数sin||1e ()21e x
x x
f x -=+在[-π,π]上的图象大致为
2021 届普通高中教育教学质量监测考试 全国卷（新高考） 数学第2页 共４页 6. 若π(π,2π),cos sin()042ααα∈+-=,则πsin()6
α+＝ A. 32- B.0 C. 32 D. 32-或0
7. 已知在△ABC 中，∠C=90︒，AB =2AC =4，点D 沿A →C →B 运动，则AD BD 的最小值是
A.-3
B.-1
C.1
D.3
8. 若数列{a n }的前n 项和为S n , n n S b n
=，则称数列{b n }是数列{a n }的“均值数列”．已知数列{b n }是数列{a n }的“ 均值数列”且通项公式为b n =n ，设数列11{
}n n a a +的前n 项和为T n ，若21
12n T m m <--对一切n ∈N*恒成立，则实数 m 的取值范围为
A. ( - 1， 3)
B.[ - 1， 3]
C. (-∞,-l)U ( 3，+∞)
D. (-∞,-l]U[ 3，+∞)
二 、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
全部选对得 5 分，部分选对得 3分，有选错的得 0 分．
9. 已知3a =5b ，则下列不等关系可能成立的是
A.a <b <0
B.b <a <0
C.a >b >0
D.b >a >0
10. 已知函数π
()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则下列说法正
确的是
A. 最小正周期为2π
B. f (x )在区间5ππ[,]1212
-上单调递增 C. f (x )的图象关于点5π(,0)6
对称 D. f (x )的图象可由π
2sin(2)6y x =+的图象向在平移π6个单位长度得到
11. 若a ,b 为正实，且
11122a b a b +=++，则a +b 的值可能为 A.2
3 B.1 C.43 C.
1712 12. 如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 是线段A 1C 1上
的两个动点，则下列结论正确的是
A.BM ,CN 始终在同一个平面内
B.MN //平面ABCD
C.BD ⊥CM
D.若正方体的棱长和线段MN 的长均为定值，则三棱锥B -CMN 的体积为定值
一
第II 卷
三 、填 空题：本 题 共 4 小 题，击小题 5 分 ，共 20 分．
13. 命题2:,ln |1|e 0p x x ∀∈+->R 的否定是
14. 若曲线()e ln(1)2(0)x f x a x a =++->在点(0,f (0))处的切线也是曲线31()13
g x x x a =++-的切线，则a = ． 15. 我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥．已知某方锥各棱长均为2，则其内切球的体积为 ．
16. 已知△ABC 中，角A , B , C 所对的边分别为a , b , c .2sin
cos 44cos ,222
B C B C A ++=- 10b c +=，△ABC 折面积为4，则a = . 四 、解答 题 ：共 70 分 解
答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. ( 本小题满分10分）
在①111
n n n a a a +-=+；②S n 为数列{a n }的前n 项和，S n -2 a n +2=0；③112(2)n n n n a a a a n ---=≥,这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求a 2020的值．
问题：已知 数列{a n }满足a 1=2， ？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18. (本小题满分12分）
如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中 ，AA 1⊥平面 ABC , D , E 分别为A 1C 1 , B 1C 1的中点，AB = AC . 求证：
( l) AB //平面COE ;
( 2)A 1E ⊥CE .
2021 届普通高中教育教学质量监测考试 全国卷（新高考） 数学第4页 共４页
19. (本小题满分 12 分） 已知函数21()log ()1x f x a ax
-=∈-R 是奇函数． (1) 求f (x )的解析式；
( 2) 若函数f ( x )的图象与函数 g ( x ) = 12
log ()x m +的图象在区间[ 2 , 3]上有交点，
求实数 m 的取值范围.
20. (本小题满分12 分）
在△ABC 中，角 A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 已知22cos cos sin (sin sin )A B C C A -=+.
(1) 求角B 的大小；
( 2) 若 b = 3 , 求△ABC 周长的取值范围．
21. (本小题满分12分）
如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB//CD ,AD ⊥CD , CD =2AB , PB ⊥平面ABCD ,E ,F 分别为PC 和CD 的中点．
(1) 证明：平面BEF //平面 PAD ;
(2)若PB ＝CD ＝2AD ，求二面角A ―PD ―C 的余弦值．
22. (本小题满分12分）
已知函数21()ln (1)2
f x x a x =+-.
(1)当 a =-2时 ，求 f ( x ) 的单调区间；
(2)设g (x )= f ( x )-2x +1，证 明：当 a ≥1时，g (x )有两个极值点x 1,x 2，并求x 12＋
x 22的取值范围．
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2021 届普通高中教育教学质量监测考试全国卷（新高考）数学第8页共４页
2021 届普通高中教育教学质量监测考试全国卷（新高考）数学第10页共４页。