湘教版八年级上册2.5全等三角形重要题型

全等三角形重要题型

要点一：手拉手模型

特点：由两个等顶角的等腰三角形或正方形组成，并且顶角的顶点为公共顶点的模型。 模型如下：

例1.如图在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明： （1）DBC ABE ∆≅∆

（2）DC AE =

（3）AE 与DC 之间的夹角为︒

60 （4）DFB AGB ∆≅∆ （5）CFB EGB ∆≅∆ （6）BH 平分AHC ∠ （7）AC GF //

变式精练1：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ， 证明（1）DBC ABE ∆≅∆ （2）DC AE =

（3）AE 与DC 之间的夹角为︒

60

（4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠

变式精练2：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，

证明（1）DBC ABE ∆≅∆ (2）DC AE =

(3）AE 与DC 之间的夹角为︒60

(4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠

例2：如图，两个正方形ABCD 与DEFG ,连结

CE AG ,,二者相交于点H

问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？

（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分AHE ∠？

要点二：截长补短法

若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形。

1、截长法：在较长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；

2、补短法：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线

段，或延长一条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段。 1.如图2-1，AD ∥BC ，点E 在线段AB 上，∠ADE=∠CDE ，∠DCE=∠ECB.

求证：（1）CD=AD+BC. （2）AE = BE

2.如图，在△ABC 中，∠BAC=60°，AD 是∠BAC=60°的平分线，且AC=AB+BD, 求∠ABC 的度数。

3.已知，如图3-1，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，

A B C

D E D

C

A

B

AB + BC = 2 BD . 求证：∠BAP +∠BCP =180°.

4.如图，AB ＝2AC ，AD ＝BD ，AD 平分∠BAC ，求证：AC ⊥CD.

5.已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∠ABD ＝∠CBD ，CE ⊥BD 的延长线于E. 求证：BD ＝2CE .

6.如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+

第 14 题图

D

F C

B

E

A

N D C B

A P

2

1 B C A

E D A

B D

C

7.已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE

8.在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论

要点二：中线倍长法

若遇到三角形的中线或类中线（与中线有关的线段），通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形。

【例1】 已知：ABC ∆中，AM 是中线．求证：1

()2

AM AB AC <+．

M

C

B

A

【练1】在△ABC 中，59AB AC ==，

，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？

【练2】如图所示，在ABC ∆的AB 边上取两点E 、F ，使AE BF =，连接CE 、CF ，求证：

E D

A

B C

F

E A

B C D

AC BC +>EC FC +．

F E C

B

A

【例2】 如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，

求证：AC BE =．

F

E

D

C B

A

【练1】如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于

F ，求证：AF EF =

F

E

D

C

B

A

【练2】如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．

G

F

E

D

C

B

A

【练3】如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．

求证：EF ∥AB

F

A C

D E B

【例3】 已知AM 为ABC ∆的中线，AMB ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：

BE CF EF +>．

F

E

M

C

B

A