圆周运动的周期性引起的多解问题
带电粒子在磁场中运动的多解问题
带电粒子在磁场中运动的多解问题带电粒子在只受洛仑兹作用下的圆周运动考查的重点都集中在粒子在有边界的磁场中做不完整的圆周运动的情况，由于题设中隐含条件的存在，就会出现多解问题,下面通过实例对此类问题进行分析。
一、粒子的带电性质不明的情况【例1】如图1所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN是它的下边界。
现有质量为m，电荷量大小为q的带电粒子与MN成30°角垂直射入磁场，求粒子在磁场中运动的时间.二、磁场方向的不确定带电粒子在磁场方向不同的磁场中，所受洛伦兹力的方向是不同的，在磁场中运动的轨迹就不同，若题目中只告诉磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向,此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的双解。
【例2】（2007年全国卷Ⅱ）如图2所示,一带负电的质点在固定的正的点电荷作用下绕该正电荷做匀速圆周运动，周期为T0，轨道平面位于纸面内，质点速度方向如图2中箭头所示，现加一垂直于轨道平面的匀强磁场，已知轨道半径并不因此而改变，则（）A．若磁场方向指向纸里，质点运动的周期将大于T0B．若磁场方向指向纸里,质点运动的周期将小于T0C．若磁场方向指向纸外，质点运动的周期将大于T0D．若磁场方向指向纸外,质点运动的周期将小于T0三、临界条件不唯一的情况【例3】如图3所示，M、N是两块水平放置的平行金属板，板长为L，板间距离为d，两板间存在磁感应强度为B，方向垂直于纸面向里的匀强磁场。
有一质量为m，电荷量为q 的带正电粒子从磁场左侧靠近N板处水平射入，欲使粒子不能打到金属板上,则粒子的入射速度v应满足什么条件？四、运动的反复性带电粒子在复合场中运动时，或与挡板等边界发生碰撞，将不断地反复在磁场中运动，也会形成一些多解问题。
【例4】如图4所示，半径为r的圆筒中有沿圆筒轴线方向、大小为B的匀强磁场，质量为m、带电荷量为+q的粒子以速度v从筒壁小孔A处沿半径方向垂直磁场射入筒中，若它在筒中仅受洛伦兹力作用，且与筒的碰撞无能量损失，并保持原有电荷量，粒子在筒中与壁相撞并绕壁一周仍从A孔射出，则B的大小必须满足什么条件?五、粒子运动的周期性引起的多解问题【例5】如图5所示,垂直纸面向里的匀强磁场以MN为边界,左侧磁感应强度为B1，右侧磁感应强度为B2，B1=2B2=2T，荷质比为2×106C/kg的带正电粒子从O点以v0=4×104m/s 的速度垂直MN进入右侧的磁场区域,求粒子通过距离O点4cm的磁场边界上的P点所需的时间。
圆周运动多解问题
在此时间内筒转过的角度最小为 θ，筒转动最短时间 t2＝ π －θ d π －θ ωd ，由等时关系 t1＝ t2，得 ＝ ，故 v＝ ，这是子 ω v ω π －θ 弹的最大速度； 若在 t1 时间内筒转过的角度为 2nπ ＋ (π － θ) ，则 t2′ ＝ 2nπ＋ (π－θ) . ω d 2nπ＋ (π－θ) 由 t1＝t2′得 ＝ v ω ωd 所以 v＝ (n＝ 0,1,2，… )． (2n＋ 1)π－ θ ωd 答案 (n＝0,1,2，…) (2n＋1)π－θ
本题的常见错误是认为圆盘转动一周时，小球恰 2h 2π g 好落在 B 点h 忽视了圆周运动的周期性，即 t1 这段时间内，只要 B 点转动 2π 的整数倍角度，小球都可以与 B 点相碰．
设小球在空中的飞行时间为 t1，初速度为 v0， 2h 圆盘的角速度为 ω，小球平抛时间 t1＝ g .小球水平方 R g 向分运动 v0t1＝R，可得 v0＝ ＝R . t1 2h 正确解析 当 OB 再 次 与 v0 平行 时 ，圆 盘 运动 时间 t2 ＝ nT(n ＝ 2π 2h 2nπ 1,2,3,4，…)，T＝ ω ，依题意 t1＝t2, g ＝ ω ，解得 ω 2g ＝ nπ h (n＝1,2,3,4，…)．
答案 (1)R g 2h (2)nπ 2g h (n＝1,2,3,4，…)
正本清源 (1)多解原因：因匀速圆周运动具有周期性，使得 前一个周期中发生的事件在后一个周期中同样可能发生，这 将造成多解. (2)多解问题模型：常涉及两个物体的两种不同的运动，其中 一个物体做匀速圆周运动，另一个物体做其他形式的运动 . 由于涉及两个物体的运动是同时进行的，因此求解的基本思 路是依据等时性建立等式求出待求量 .
跟踪训练 3 如图 10 所示，直径为 d 的纸筒以角速度 ω 绕垂直于纸面的 O 轴匀速转动(图示为截面)．从枪口 射出的子弹沿直径穿过圆筒，在圆周 弹的速度．
2019年高考高三物理圆周运动的多解问题
2019年高考高三物理圆周运动的多解问题 由于圆周运动具有周期性，所以在处理与圆周运动有关的物理问题时，往往需要考虑由于圆周运动的周期性而引起的多解问题．这类问题是本章中一种常见的问题，也是本章中的一类易错问题，下面通过几个实例来看一下这类问题的求解方法．例1 如图1所示，电风扇在闪光灯下运转，闪光灯每秒闪30次，风扇转轴O 上装有3个叶片．它们互成120°．当风扇转动时，观察者感觉扇叶不动，则风扇转速可能是 ( )图1A. 600r ／minB. 900r ／minC. 1200r ／minD. 3000r ／min【解析】风扇转动时，观察者感觉扇叶不动，说明在每相邻两次闪光的时间间隔T 内，风扇转过的角度是120°的整数倍，即31圈的整数倍．由于闪光周期T=s 301，所以风扇的转速n=301k 31r ／s=10krs=600kr/min(k=1,2,3) 故选项A 、C 、D 正确．【点评】分析此类问题，关键是抓住周期性这一特点．得出可能的多解通式．解题过程中．常出现的错误是只考虑k=1的情况．而没有注意问题的多解性.例2 如图2所示，一个水平放置的圆桶正绕中轴匀速转动，桶上有一小孔，桶壁很薄．当小孔运动到桶的上方时，在孔的正上方h 处有一个小球由静止开始下落．已知圆孔的半径略大于小球的半径，为了让小球下落时不受任何阻碍而穿过圆桶，h 与桶的半径R 之间应满足什么关系?(不考虑空气阻力)图2【解析】设小球下落h 所用的时间为t 1，则h=21gt 21 ① 要使小球通过圆孔，则小球下落h ，即到达圆桶表面时，圆孔也应该到达同一位置，所以应有ωt 1=2n π(n=1，2，3…) ②设小球通过圆桶所用的时间为t 2，则有 h+2R=221)t (t g 21+ ③要使小球从小孔穿出，则在t ，时间内，圆桶转过的角度应为ωt 2=(2k-1)π(k=1，2，3…) ④联立①②③④式可解得 h=)1k 2)(1k 2n 4(R n 82--+ 其中 n=1，2，3…；k=1，2，3……【点评】本题的关键在于找出小球能够穿过圆桶的条件．以及由于圆桶的转动而引起的多解问题．。
圆周运动的多解问题-学易试题君之每日一题君2019年高考物理一轮复习
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8月14日 圆周运动的多解问题
高考频度：★★★☆☆
难易程度：★★★★☆
（2018·玉溪江川一中）如图所示，半径为R 的圆板匀速转动，当半径OB 转动到某一方向时，在圆板中心正上方高h 处以平行OB 方向水平抛出一小球，要使小球与圆板只碰撞一次，且落点为B ，求：
(1)小球的初速度的大小；
(2)圆板转动的角速度。
【参考答案】(1)2g R h (2)2π(123g n n h
=⋯、、） 【试题解析】（1）小球平抛的水平位移：R =v 0t
小球平抛的竖直位移：h =
12gt 2 得2h t g 代入可得0==2R g v t h
（2）设在小球运动的时间内圆板转动了n 圈，角速度为：2π2π2n g n t h h
g
ω=，n =1，2，3… 【知识补给】
圆周运动中多解的成因及解法
（1）多解原因：因匀速圆周运动具有周期性，使得前一个周期中发生的事件在后一个周期中同样可能发生，这将造成多解。
（2）多解问题模型：常涉及两个物体的两种不同运动，其中一个物体做匀速圆周运动，另一个物体做其他运动。
带电粒子在磁场中运动的多解问题
内) 侧中点处有一质量为m，电荷量为e的静止电子，经
过M、N间电压为U的电场加速后射入圆筒，在圆筒壁
上碰撞n次后，恰好沿原路返回到出发点。（不考虑重
力，设碰撞过程中无动能损失）求：
⑴电子到达小孔S时的速度大小；
⑵电子第一次到达S所需要的时间； ⑶电子第一次返回出发点所需的时间。
OR
NS M me
解：⑴ 设加速后获得的速度为v ，根据
当粒子从左边射出时, 若运动轨迹半径最大,
则其圆心为图中O1点, 半径 r1=d/4。 因由此于粒r子从mq左Bv0边，射所出以必v须0 满r足Bmqr≤，r1。Or11
Bdq 即 v0 4m
l
d/2 v0 乙
当粒子从右边射出时，若运动轨迹半径最小，则其圆
心为图中O2点，半径为r2。由几何关系可得
当减速到v1时，若qv1B＝mg f1=0则以v1作匀速运动
Wf=1/2mv02 - 1/2mv12 < I2/2m 所以选项A C D正确。
qv0B qv1B f
mg mg
4. 运动的重复性形成多解 带电粒子在部分是磁场，部分是电场的空间运动时，
运动往往具有重复性，因而形成多解。
例6. 如图所示，在x轴上方有一匀强电场，场强为E，
r22
（r2
d）2 2
l 2，
d l2 r2 4 d
因此粒子从右边射出必须满足的条件是r≥r2
( d 2 4l 2 )qB
即 v0
4dm
所以当
v0
Bdq 4m
O2
r2-d/2 r2
l
或
v0
(dΒιβλιοθήκη 24l 2 4dm
)qB
时，
高中物理：匀速圆周运动问题知识点总结及解题技巧
一、匀速圆周运动的基本概念：1、匀速圆周运动的定义质点沿圆周运动，如果在相等的时间里通过的圆弧长度相等，这种运动叫做匀速圆周运动。
2、描述匀速圆周运动快慢的物理量（1）线速度v①物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢。
②定义：质点做圆周运动通过的弧长s和所用时间t的比值叫做线速度。
③大小：，单位：④方向：质点在圆周某点的线速度方向沿圆周上该点的切线方向。
由于质点做匀速圆周运动时的速度方向不断发生变化，所以匀速圆周运动是一种变速运动。
（2）角速度①物理意义：描述质点转过圆心角的快慢。
②定义：在匀速圆周运动中，连接运动质点和圆心的半径转过的角度跟所用时间的比值，就是质点运动的角速度。
③大小：单位：。
④匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动。
（3）周期T和频率f①物理意义：周期和频率都是描述物体做圆周运动快慢的物理量。
②定义：做圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期。
用T表示，单位：s。
做圆周运动的物体在单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数叫做频率。
用f表示，单位：Hz。
在国际单位制中是，在一些实际问题中常用的是每分钟多少转，用n表示，转速的单位为转每秒，即。
3、线速度、角速度、周期之间的关系（1）线速度和角速度间的关系如果物体沿半径为r的圆周做匀速圆周运动，在时间t 内通过的弧长是s，半径转过的角度是，由数学知识知，于是有，即。
上式表明：①当半径相同时，线速度大的角速度也大，角速度大的线速度也大，且成正比。
如图（a）所示。
②当角速度相同时，半径大的线速度大，且成正比。
如图（b）所示。
③当线速度相同时，半径大的角速度小，半径小的角速度大，且成反比。
如图（c）、（d）所示。
（2）线速度与周期的关系由于做匀速圆周运动的物体，在一个周期内通过的弧长为，所以有。
上式表明，只有当半径相同时，周期小的线速度大；当半径不同时，周期小的线速度不一定大，所以周期与线速度描述的快慢是不一样的。
（3）角速度与周期的关系由于做匀速圆周运动的物体，在一个周期内半径转过的角度为，则有。
高中物理新教材同步 必修第二册 第6章 专题强化 圆周运动的传动问题和周期性问题
专题强化圆周运动的传动问题和周期性问题[学习目标] 1.熟练掌握描述圆周运动的各物理量之间的关系，掌握圆周运动中传动的特点(重点)。
2.会分析圆周运动中多解的原因，掌握解决圆周运动中的多解问题的方法(难点)。
一、圆周运动的传动问题1．常见的传动装置及特点项目装置特点转动方向规律同轴转动A、B两点在同轴的一个圆盘上A、B两点角速度、周期相同相同(填“相同”或“相反”)线速度与半径成正比：v Av B＝rR皮带传动两个轮子用皮带连接(皮带不打滑)，A、B两点分别是两个轮子边缘上的点A、B两点线速度大小相等相同(填“相同”或“相反”)角速度与半径成反比：ωAωB＝rR周期与半径成正比：T AT B＝Rr齿轮传动两个齿轮轮齿吻合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点，N1、N2分别为大齿轮和小齿轮的齿数A、B两点线速度大小相等相反(填“相同”或“相反”)角速度与半径成反比，与齿轮齿数成反比：ωAωB＝r2r1＝N2N1周期与半径成正比，与齿轮齿数成正比：T AT B＝r1r2＝N1N2摩擦传动两摩擦轮靠摩擦进行传动(两轮不打滑)，A点和B点分别是两轮边缘上的点A、B两点线速度大小相等相反(填“相同”或“相反”)角速度与半径成反比：ωAωB＝rR周期与半径成正比：T AT B＝Rr2.求解传动问题的思路：(1)分清传动特点：若属于皮带传动、齿轮传动或摩擦传动，则轮子边缘各点线速度大小相等；若属于同轴转动，则轮上各点的角速度相等。
(2)确定半径关系：根据装置中各点位置确定半径关系或根据题意确定半径关系。
(3)择式分析：若线速度大小相等，则根据ω∝1r 分析；若角速度大小相等，则根据v ∝r 分析。
例1 (多选)(2022·包头市高一期末)图中A 、B 两点分别位于大、小轮的边缘上，C 点位于大轮半径的中点，大轮的半径是小轮的2倍，它们之间靠摩擦传动，两轮没有相对滑动。
下列说法正确的是( )A ．A 、B 两点的角速度跟半径成反比 B ．A 、B 两点的角速度跟半径成正比C ．A 、C 两点的线速度大小跟半径成反比D ．A 、C 两点的线速度大小跟半径成正比 答案 AD解析 大轮与小轮靠摩擦传动，且两轮没有相对滑动，则可知A 、B 两点的线速度大小相等，根据v ＝ωr ，可知它们的角速度跟半径成反比，故A 正确，B 错误；A 、C 两点同轴转动，它们的角速度相同，根据v ＝ωr ，可知它们的线速度大小跟半径成正比，故C 错误，D 正确。
6.1-专题--圆周运动的传动及多解问题-学案--2022-2023学年高一下学期物理人教版
6.1圆周运动（2）：圆周运动的传动及多解问题学习目标：1.通过实例分析，掌握处理皮带传动、齿轮传动问题的方法。
2.通过实例分析，掌握处理同轴传动问题的基本方法。
3.通过实例分析，掌握圆周运动的周期性和多解性。
情景导入我们都骑过自行车，但你注意过这个问题吗：快速转动自行车车轮，你可以看清轮轴附近的一段辐条，但你能看清轮圈附近的辐条吗？怎样解释这种现象？合作探究、自主学习学习目标一、同轴传动问题：如图所示，A点和B点在同轴的一个圆盘上，当圆盘转动时，A点和B点沿着不同半径的圆周运动，它们的半径分别为r和R：①此传动方式有什么特点（转动方向、周期）②A、B两点的v、ω有什么关系？知识生成：同轴转动①A、B两点做圆周运动的角速度关系：②A、B两点做圆周运动的线速度关系：应用探究：例1、如图所示是一个玩具陀螺。
a、b和c是陀螺上的三个点。
当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是( )。
A.a、b和c三点的线速度大小相等B.a、b和c三点的角速度相等C.a、b的角速度比c的大D.c的线速度比a、b的大学习目标二 皮带传动、齿轮传动问题问题1：如图所示，A 点和B 点分别是两个轮子边缘上的点，两个轮子用皮带连起来，并且皮带不打滑．回答下列问题： ①此传动方式有什么特点？ ②A 、B 两点的v 、ω有什么关系？问题2：如图所示，A 点和B 点分别是两个齿轮边缘上的点，两个齿轮的轮齿啮合： ①此传动方式有什么特点？(相同时间内转过的齿数、转动方向）②若r 1、r 2分别表示A 、B 两齿轮的半径，请分析A 、B 两点的v 、ω的关系，与皮带传动进行对比，你有什么发现？知识生成：皮带传动（摩擦传动、齿轮传动）① A 、B 两点做圆周运动的线速度关系： 。
②A 、B 两点做圆周运动的角速度关系： 。
（A 、B 为两个轮子边缘上的点） 应用探究：例2、(多选)在如图所示的传动装置中，B 、C 两轮固定在一起绕同一轴转动，A 、B 两轮用皮带传动，三个轮的半径关系是r A ＝r C ＝2r B ，若皮带不打滑，则A 、B 、C 三轮边缘上a 、b 、c 三点的( )。
高中物理中的多解问题谨防丢解
３ 机 械 波在 传 播 过 程 中具 有 的重 复 性 形成
的 多解 问题
（） ３设粒子在磁场 中作匀速圆周运 动的
周 期 为 。粒 子在 电场 中加 速一 次与减 速 一 ， 次 的 时间相等 ， 这时 间为 Ｔ ， 设 ２则
Ｂｑｒ
．
例 ４ 如 图 ５所 示 ， 线 是 某 一 简 谐 横 实 波 在 某 一 时 刻 的 波 形 图 象 ， 线 是 该 波 经 虚
＋
： Ⅳ
图 １
× × × × Ｂ ×
× × × × ×
轨 道 半
径 为 则 根 据 动 Ｄ 、 能 定 理 得 口 ｙ： Ｅ
，
× 一
吉７其 １质 Ａ 周 ，＝， １ ）； 中７ 点 的 期ｎｌ １ （ 为 ｍ
・
①
…… 一
图３
２ ３ … … ） ； Ｖ 一 ０ ； 点 Ａ 做 匀 ，， ② 且 Ｂ＝ ③ 质
Ｒ ・
由洛仑 兹 力 提 供 向
维普资讯
２０ ０ ６年 第 ３期
心力 ， ｑ 日＝ 得
河北 理科教 学研 究
②
问题讨 论
往复运 动 ． 因为 圆弧 Ａ 《 Ｒ， 以小 球 在 圆 日 所 弧面 上 的往 复运 动 具 有 等 时 性 ， 看 成 等 效 可 单摆 ， 圆弧 半 径 即为 等 效 单 摆 的摆 长 ． 其 设小 球 Ｐ 恰 好 能碰 到小 球 Ｑ， 有 Ａ ＝ｖ 则 Ｄ ｔ
例 １ 如 图 １所 示 ，
方 向垂 直 纸面 向 ０
× 一 ×
一
里 的均 匀 磁 场， 轴 下 方 有 场 强 为 Ｅ、 向竖 直 向下 的 方
…
周期运动的多解问题
周期运动的多解问题上海师范大学附属中学 李树祥宅家学习期间，老师上课时所讲授内容一般比较基础，对较复杂的周期运动的多解问题涉及不多。
但由于多解问题是周期运动常见且易错的问题，所以有必要对其进行梳理一、圆周运动的多解问题圆周运动的多解问题主要是由于圆周运动的周期性引起，所涉及的题目除了单一的圆周运动外，还常涉及两个物体的两种不同的运动，即一个物体做匀速圆周运动，另一个物体做其他形式的运动。
对此问题的求解基本思路是依据等时性建立等式求解待求量。
例1、如图1所示，电风扇在闪光灯下运转，闪光灯每秒闪30次，风扇转轴O 上装有3个叶片，它们互成120°。
当风扇转动时，观察者感觉扇叶不动，则风扇转速可能是（） A.600r/min B.900r/min C.1200r/min D.3000r/min 解析：风扇转动时，观察者感觉扇叶不动，说明在每相邻两次闪光的时间间隔T 内，风扇转过的角度是120°的整数倍，即13圈的整数倍。
由于闪光周期1=30T s ，所以风扇的转速3n /=10k /600/min 130k r s r s kr ==(k 123)=，，… 故选项A 、C 、D 正确．例2、质点P 以O 为圆心做半径为R 的匀速圆周运动，如图2所示，周期为T 。
当P 经过图中D 点时，有一质量为m 的另一质点Q 受到力F 的作用从静止开始作匀加速直线运动。
为使P 、Q 两质点在某时刻的速度相同，则F 的大小应满足什么条件？解析：速度相同包括大小相等和方向相同。
由质点P 的旋转情况可知，只有当P 运动到圆周上的C 点时P 、Q 速度方向才相同。
即质点P 应转过()n +34周（n =0123，，，…），经历的时间t n T n =+=()()()3401231，，，…质点P 的速度v RT =22π() 在同样的时间内，质点Q 做匀加速直线运动，速度应达到v ，由牛顿第二定律及速度公式得v =F m t ()3联立以上三式，解得：F mRn T n =+=84301232π()()，，，…二、简谐振动的多解问题简谐运动的多解问题主要是由简谐运动的周期性和对称性引起。
第 7 点 圆周运动的多解性
第 7 点 圆周运动的周期性造成多解匀速圆周运动的多解问题常涉及两个物体的两种不同的运动，其中一个做匀速圆周运动，另 一个做其他形式的运动 . 因匀速圆周运动具有周期性， 使得在一个周期中发生的事件在其他周 期同样可能发生，这就要求我们在解决此类问题时，必须考虑多解的可能性 . 一般处理这类 问题时，要把一个物体的运动时间 t ，与圆周运动的周期 T 建立起联系，才会较快地解决问题 .【对点例题1】如图所示，小球 Q 在竖直平面内绕 O 点做匀速圆周运动，当 Q 球转到图示位 置时，O 点正上方有另一小球 P 在距圆周最高点 h 处开始自由下落，要使两球在圆周最高点 相碰，则 Q 球的角速度 ω 应满足什么条件？解题指导：设P 球自由落体到圆周最高点的时间为t ，由自由落体可得：212h gt =求得 t =Q 球由图示位置转至最高点的时间也是t ，但做匀速圆周运动，周期为T ，有(41)4T t n =+ (n =0，1，2，3……)两式联立再由2T πω=，得 (41)2n πω+所以 ω =(42n π+ (n =0，1，2，3……) 【练习】1 如图所示，半径为R 的圆盘绕垂直于盘面的中心轴O 匀速转动，其正上方h 处有一个小球，B 为圆盘边缘上的一点，现将小球沿OB 方向水平抛出一小球，使球恰好只与圆盘边缘上的B相碰，则 （1）小球的初速度v 为多少？（2）圆盘转动的角速度ω为多少？解：（1）小球做平抛运动在竖直方向上：212h gt =则运动时间 t =又因为水平位移为R ，所以球的速度v =R t =（2）在时间t 内，盘转过的角度θ=n •2π，又因为θ=ωt ，则转盘角速度：ω=22n n t π=n =1，2，3…） 2 如图所示，B 物体放在光滑的水平地面上，在水平恒力F的作用下由静止开始向右运动，B 物体质量为m ，同时A 物体从图中位置开始在竖直面内由M 点开始逆时针做半径为r 、角速度为ω的匀速圆周运动.求力F 为多大时可使A 、B 两物体在某些时刻的速度相同 .解析 因为物体 B 在力 F 的作用下沿水平地面向右做匀加速直线运动，速度方向水平向右，要使A 与B 速度相同，则只有当A 运动到圆轨道的最低点时，才有可能 .设 A 、 B 运动时间 t 后两者速度相同 ( 大小相等，方向相同 ).对 A 物体有：332()44t T nT n πω=+=+ ( n ＝ 0,1,2 … ) A v r ω= 对 B 物体有：B F F F ma a v at t m m==== 令 v B ＝ v A ， 得 32()4F n r m πωω+= 解得 22(43)mr F n ωπ=+ ( n ＝ 0,1,2 … ).。
匀速圆周运动周期性带来问题的多解
匀速圆周运动周期性带来问题的多解运动的周期性也即重复性，重复往往出现多解，多解问题的处理很能反映思维品质的严密性。
例1、（2006年江苏物理）如图所示，A 是地球的同步卫星，另一卫星B 的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h ，已知地球半径为R ，地球自转角速度为ω0，地球表面的重力加速度为g ，O 为地球中心．（1）求卫星B 的运行周期；（2）如果卫星B 绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A 、B 两卫星相距最近（O 、B 、A 在同一直线上），则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？解：Ⅰ）由万有引力定律和向心力公式得2224()()BM m GmR h R h Tπ=++……………………………………………①2M m G m g R=………………………………………………②联立①②得2B T π= ………………………………………………③（2）由题意得0()2B t ωωπ-= ………………………………………………④ 由③得B ω=……………………………………………⑤代入④得0t ω=-分析：卫星B 受到的万有引力充当向心力，得到方程①式；地球的质量没有已知。
再根据地球表面上的物体受到的重力近似等于它所受的万有引力，得到方程②式。
联合方程①②即可求解T B 。
再由几何关系可确定两者与O 在同一直线上且位于O 的同侧时相距最近，进而得到程程④，进一步化简，即可得到时间t 。
考查的知识点：万有引力定律——万有引力定律的应用，同步卫星、黄金替代公式。
能力要求：能够将实际问题转化为物理模型，运用万有引力定律的知识处理相关问题。
思考1、若将第二问变为“如果卫星B 绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A 、B 两卫星相距最近（O 、B 、A 在同一直线上），则经过多长时间，它们再一次相距最近？”提示：④式将变为0()2(1,2,3)B t n n ωωπ-==思考2、若将第二问变为“如果卫星B 绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A 、B 两卫星相距最近（O 、B 、A 在同一直线上），则经过多长时间，它们再一次相距最远？”例2、图中M 、N 是两个共轴圆筒的横截面，外筒半径为R ，内筒半径比R 小很多，可以忽略不计，筒的两端是封闭的，两筒之间成真空。
匀速圆周运动的多解问题
匀速圆周运动的多解问题作者：王刚来源：《新高考·高一物理》2012年第01期多解问题是高考中常见的题型之一，对试题中题设条件的可能性、物理过程的多样性及物体运动的周期性等因素分析不全，认识不透，往往出现漏解的失误.然而针对匀速圆周运动的多解问题常涉及物体运动的周期性引起多解或是两个物体的两种不同的运动，其一做匀速圆周运动，另一个物体做其他形式的运动.因此，依据等时性建立等式求解待求量是解答此类问题的基本思路.特别需要提醒注意的是，因匀速圆周运动具有周期性，使得前一个周期中发生的事件在后一个周期中同样可能发生，这就要求我们在表达做匀速圆周运动物体的运动时间时，必须把各种可能都给予考虑，并在计算中进行正确的表达.■ 例1 图1为测定子弹速度的装置，两个薄圆盘分别安装在同一个匀速转动的轴上，两圆盘面平行. 若圆盘以转速n=3 600 r/min旋转，子弹以垂直盘面方向射来，先打穿第一个圆盘，再打穿第二个圆盘.测得两圆盘间距离为1 m，两圆盘上被子弹穿过的半径之间的夹角是15°，求子弹穿过第一个圆盘后的速度.■ 解析子弹在两圆盘间飞行的时间t=■，这段时间内圆盘转过的角度为2kπ+■.圆盘的角速度?棕=2kπ+■/t=2kπ+■v.据题意ω=2π×60=120π.v=■ m/s. （k=0，1，2，3，…）■ 例2 质点P以O为圆心做半径为R的匀速圆周运动，如图2所示，周期为T. 当P经过图中D点时，有一质量为m的另一质点Q受到力F的作用从静止开始做匀加速直线运动. 为使P、Q两质点在某时刻的速度相同，则F的大小应满足什么条件？■ 解析速度相同包括大小相等和方向相同. 由质点P的旋转情况可知，只有当P运动到圆周上的C点时P、Q速度方向才相同.即质点P应转过n+■周（n=0，1，2，3…），经历的时间t=n+■T（n=0，1，2，3…）（1）质点P的速度v=■（2）在同样的时间内，质点Q做匀加速直线运动，速度应达到v，由牛顿第二定律及速度公式得v=■t（3）联立以上三式，解得：F=■（n=0，1，2，3…）■ 例3 如图3所示，一圆筒水平放置，筒壁上仅有一个小孔A，现圆筒绕其水平轴匀速转动，当小孔A转到最高点时，一个小球在小孔A的正上方h高度处无初速释放，为使小球顺利通过圆筒的空间，不与筒壁相碰，求：（1）圆筒转动的角速度.（2）在满足（1）中的最小角速度时圆筒半径是多少？■ 解析（1）小球下落h高度所经历的时间为t1，所以h=■gt21.小球进入小孔后，对于圆筒应满足ωt1=2kπ+2π（k=0，1，2……）ω=（2kπ+2π）■（k=0，1，2……）（2）最小角速度为：ω=2π■.小球下落h+2R高度所经历的时间为t2，所以h+2R=■gt22.小球经历圆筒的时间为：Δt=t2-t1=■-■.为使小球顺利通过圆筒应有：Δt=■+kT（k=0，1，2……）因T=■解得：R=■（k=0，1，2……）.。
高中物理必修二 第二章 专题强化3 圆周运动的传动问题和周期性问题
3.(多选)如图为皮带传动装置，主动轴O1上有两个半径分别为R和r的轮，
O2上的轮半径为r′，已知R＝2r，r′＝
2 3
R，设皮带不打滑，则三轮边
缘上A、B、C三点的
√A.角速度之比为2∶2∶3
B.线速度大小之比为1∶1∶2
√C.周期之比为3∶3∶2
D.转速之比为3∶2∶2
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g 2h
B.子弹在圆筒中的水平速度为 v0＝2d
g 2h
C.圆筒转动的角速度可能为 ω＝2π
g 2h
√D.圆筒转动的角速度可能为 ω＝3π
g 2h
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由题意可知，子弹的运动过程为平抛运动，子弹穿过两 个弹孔的水平速度为 v0＝dt ，时间为 t＝ 2gh，所以水平 速度为 v0＝d 2gh，故 A 正确，B 错误； 由子弹从右侧射穿圆筒后两弹孔在同一竖直线上可知子弹在圆筒中的 运动时间是圆筒半个周期的奇数倍，即 t＝ 2gh＝nωπ (n＝1,3,5…)，则 圆筒的角速度为 ω＝nπ 2gh(n＝1,3,5…)，故 C 错误，D 正确.
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6.(多选)如图所示，夜晚电风扇在闪光灯下运转，闪光灯每秒闪45次， 风扇转轴O上装有3个扇叶，它们互成120°角.当风扇转动时，观察者感觉 扇叶不动，则风扇转速可能是 A.600 r/min
√B.900 r/min
C.1 200 r/min
√D.1 800 r/min
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7.(多选)如图所示，B和C是一组塔轮，即B和C半径不同，但固定在同一 转动轴上，其半径之比为RB∶RC＝3∶2，A轮的半径大小与C轮相同，它 与B轮紧靠在一起，当A轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦作用， B轮也随之无滑动地转动起来.a、b、c分别为三轮边缘的三个点，则a、b、 c三点在运动过程中的
高考物理(热点+题型全突破)专题4.4 圆周运动各物理量之间的关系、实例分析及多解问题(含解析)
专题4.4 圆周运动各物理量之间的关系、实例分析及多解问题一 圆周运动中的运动学分析 1．匀速圆周运动(1)定义：线速度大小不变的圆周运动。
(2)性质：加速度大小不变，方向总是指向圆心的变加速曲线运动。
2．描述匀速圆周运动的物理量定义、意义公式线速度、角速度、周期、向心加速度之间的关系(1)v ＝ωr ＝2πTr ＝2πrf 。
(2)a n ＝v 2r ＝r ω2＝ωv ＝4π2T2r ＝4π2f 2r 。
4.常见的三种传动方式及特点(1)皮带传动：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即v A ＝v B 。
(2)摩擦传动：如图甲所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即v A ＝v B 。
(3)同轴传动：如图乙所示，两轮固定在一起绕同一转轴转动，两轮转动的角速度大小相等，即ωA＝ωB。
【典例1】科技馆的科普器材中常有如图所示的匀速率的传动装置：在大齿轮盘内嵌有三个等大的小齿轮。
若齿轮的齿很小，大齿轮的半径(内径)是小齿轮半径的3倍，则当大齿轮顺时针匀速转动时，下列说法正确的是( )A.小齿轮逆时针转动B.小齿轮每个齿的线速度均相同C.小齿轮的角速度是大齿轮角速度的3倍D.大齿轮每个齿的向心加速度大小是小齿轮的3倍【答案】 C【典例2】如图所示是一个玩具陀螺，a、b和c是陀螺表面上的三个点。
当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是( )A．a、b和c三点的线速度大小相等B ．b 、c 两点的线速度始终相同C ．b 、c 两点的角速度比a 点的大D ．b 、c 两点的加速度比a 点的大 【答案】： D二 圆周运动中的动力学分析 1．匀速圆周运动的向心力(1)作用效果：产生向心加速度，只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。
(2)大小：F ＝m v 2r ＝mr ω2＝m 4π2r T2＝m ωv ＝m ·4π2f 2r 。
专题 圆周运动的周期性和多解、动临界问题—人教版(2019) 高中物理必修第二册学案
高一必修二物理导学案专题：多解问题+临界问题一、圆周运动的周期性和多解问题：情景1、指尖陀螺是一种一个轴承对称结构、可以在手指上空转的小玩具,它是由一个双向或多向的对称体作为主体,在主体中间嵌入一个轴承的设计组合,整体构成一个可平面转动的新型物品,其中就包括可以悬浮在空中的指尖陀螺。
(1)指尖陀螺在快速旋转时,陀螺上的每一点都在做什么运动?(2)当指尖陀螺的转速达一定程度时,我们看到好像陀螺处于静止状态一样,为什么?典例1、2018年10月21日,“2018中国飞镖公开赛暨夺镖中国·软式飞镖职业赛”首站赛,在山西侯马举行。
一位同学玩飞镖游戏,已知飞镖距圆盘为L,且对准圆盘上边缘的A点水平抛出,初速度为v0 ,飞镖抛出的同时,圆盘以垂直盘面且过盘心O点的水平轴匀速转动。
若飞镖恰好击中A点,空气阻力忽略不计,重力加速度为g, 求：(1)飞镖打中A点所需的时间;(2)圆盘的半径r;(3)圆盘转动角速度的可能值。
1、问题特点：(1)研究对象:匀速圆周运动的多解问题含有两个做不同运动的物体。
(2)运动特点:一个物体做匀速圆周运动,另一个物体做其他形式的运动(如平抛运动,匀速直线运动等)。
(3)运动的关系:由于两物体运动的时间相等,根据等时性建立等式求解待求物理量。
2、分析技巧：(1)抓住联系点:明确题中两个物体的运动性质,抓住两运动的联系点。
(2)先特殊后一般:先考虑第一个周期的情况,再根据运动的周期性,考虑多个周期时的规律。
练习1、(多选)如图所示,直径为d的竖直圆筒绕中心轴线以恒定的转速匀速转动。
一子弹以水平速度沿圆筒直径方向从左侧射入圆筒,从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上且相距为h,则(AD)A.子弹在圆筒中的水平速度为v0= g2h B.子弹在圆筒中的水平速度为v0=g2d2hC.圆筒转动的角速度可能为ω=2g2h D.圆筒转动的角速度可能为ω=3πg2h二、匀速圆周临界问题：1、常见类型:(1)绳的拉力达到最大或为零。
圆周运动的周期性造成多解
第9点 圆周运动的周期性造成多解匀速圆周运动的多解问题常涉及两个物体的两种不同的运动，其中一个做匀速圆周运动，另一个做其他形式的运动．因匀速圆周运动具有周期性，使得在一个周期中发生的事件在其它周期同样可能发生，这就要求我们在解决此类问题时，必须考虑多解的可能性. 一般处理这类问题时，要把一个物体的运动时间t ，与圆周运动的周期T 建立起联系，才会较快地解决问题．图1对点例题 如图1所示，小球Q 在竖直平面内做匀速圆周运动，当Q 球转到图示位置时，有另一小球P 在距圆周最高点h 处开始自由下落，要使两球在圆周最高点相碰，则Q 球的角速度ω应满足什么条件？解题指导 设P 球自由下落到圆周最高点的时间为t ，由自由落体运动规律可得12gt 2＝h ，解得t ＝2h g. Q 球由图示位置转至最高点的时间也是t ，才能与P 球在圆周最高点相碰，其做匀速圆周运动，设周期为T ，有t ＝(4n ＋1)T 4(n ＝0,1,2,3…) 两式联立再由T ＝2πω得(4n ＋1)π2ω＝2h g. 所以ω＝π2(4n ＋1)g 2h(n ＝0,1,2,3…)． 答案 π2(4n ＋1)g 2h(n ＝0,1,2,3…)图2如图2所示，B 物体放在光滑的水平地面上，在水平恒力F 的作用下由静止开始运动，B 物体质量为m ，同时A 物体在竖直面内由M 点开始逆时针做半径为r 、角速度为ω的匀速圆周运动．求力F 为多大时可使A 、B 两物体在某些时刻的速度相同．答案 2mrω2(4n ＋3)π(n ＝0,1,2…) 解析 因为物体B 在力F 的作用下沿水平地面向右做匀加速直线运动，速度方向水平向右，要使A 与B 速度相同，则只有当A 运动到圆轨道的最低点时，才有可能．设A 、B 运动时间t 后两者速度相同(大小相等，方向相同)．对A 物体有：t ＝34T ＋nT ＝⎝⎛⎭⎫n ＋342πω(n ＝0,1,2…)，v A ＝rω. 对B 物体有：F ＝ma ，a ＝F m ，v B ＝at ＝F mt . 令v B ＝v A ，得F m ⎝⎛⎭⎫n ＋342πω＝ωr . 解得F ＝2mrω2(4n ＋3)π(n ＝0,1,2…)．。
3-2圆周运动的多解问题
圆周运动多解问题匀速直线运动与圆周运动1. ［多选］如图所示，M 、N 是两个共轴的圆筒，外筒半径为R ，内筒半径比R 小很多，可以忽略不计，筒的两端是封闭的，两筒之间抽成真空，两筒以相同的角速度ω绕其中心轴线(图中垂直于纸面)作匀速转动.设从M 筒内部可以通过平行于轴线的窄缝S ，不断地向外射出两种不同速率v 1和v 2的微粒.微粒从S 处射出时的初速度的方向沿筒的半径方向，微粒到达N 筒后就附着在N 筒上，如果R 、v 1和v 2都不变，而ω取某一合适的值，且忽略微粒的重力则（ ）A .有可能使微粒落在N 筒上的位置都在a 处一条与S 缝平行的窄条上B .有可能使微粒落在N 筒上的位置都在某处如b 处一条与S 缝平行的窄条上C .有可能使微粒落在N 筒上的位置分别在某两处如b 和c 处与S 缝平行的窄条上D .只要时间足够长，N 筒上将到处落有微粒答案：ABC2. 如图所示，直径为d 的纸筒以角速度ω绕轴O 匀速转动，从枪口发射的子弹沿直径穿过圆筒.若子弹在圆筒旋转不到半周时在圆筒上留下a 、b 两个弹孔，已知aO 和bO 夹角为φ，则子弹的速度大小为______. 答案：ϕπω-d 匀变速直线运动与圆周运动3. 如图所示，质点P 以O 为圆心、r 为半径作顺时针的匀速圆周运动，周期为了T ，当质点P 经过图中位置A 时，另一质量为m 、初速度为零的质点Q 受到沿OA 方向的拉力F 作用从静止开始在光滑水平面上作直线运动，为使P 、Q 在某时刻速度相同，拉力F 必须满足条件______. 答案：2T )43n (rm 2F +=π (n =0,1,2,3,….) 4. （2013安徽江南十校摸底）如图所示，水平放置的圆筒绕其中心对称轴'OO 匀速转动，转动的角速度 2.5ωπ=rad /s ，桶壁上P 处有一小圆孔，桶壁很薄，桶的半径R =2m ，当圆孔正上方h =3.2m 处有一小球由静止开始下落，已知圆孔的半径略大于小球的半径，试通过计算判断小球是否会和圆筒碰撞（空气阻力不计，g 取210/m s ）。
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1 / 1 圆周运动的周期性引起的多解问题
1、如图所示的皮带传动装置中，右边两轮是连在一起同轴转动，图中三轮半径的关系为：r 1=2r 2，r 3=1.5r 1，
A 、
B 、
C 三点为三个轮边缘上的点，皮带不打滑，则A 、B 、C 三点的线速度之比为．角
速度之比为．周期之比为．
2、如图所示，在轮B 上固定有同轴小轮A ，轮B 通过皮带带动轮C ，皮带和两轮之间无相对滑动，A 、B 、C 三轮的半径依次为r 1、r 2和r 3，绕在A 轮边的绳子一端固定在A 轮边缘上，另一端系有
重物P ．当重物P 以速度v 匀速下落时，C 轮转动的角速度为．
3、如图所示，半径为R 的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h 处沿OB 方向水平 抛出一小球，要使球与盘只碰一次，且落点为B ，则小球的初速度v =，圆盘转动的角
速度ω=。
4、如图所示，直径为d 的纸制圆筒以角速度ω绕垂直纸面的轴O 匀速运动(图示为截
面)．从枪口发射的子弹沿直径穿过圆筒．若子弹在圆筒旋转不到半周时，在圆周上留
下a 、b 两个弹孔，已知ao 与bo 夹角为θ，求子弹的速度．
5、如图所示，小球Q 在竖直平面内做匀速圆周运动，当Q 球转到图示位置时，有另一小球P 在距 圆周最高点为h 处开始自由下落，要使两球在圆周最高点相碰，则Q 球的角速度ω应满足什么 条件?
6、如图所示，一个水平放置的圆桶正绕中轴匀速转动，桶上有一小孔，桶壁很薄，当小孔运动到桶的上方时，在孔的正上方h 处有一个小球由静止开始下落，已知圆孔的半径略大于小球的半
径，为了让小球下落时不受任何阻碍，h 与桶的半径R 之间应满足什么关系(不考虑空
气阻力)?
7、如图所示，竖直圆筒内壁光滑，半径为R ，顶部有一入口A ，在A 的正下方h 处有一出口B ， 一质量为m 的小球从入口A 处沿切线方向射入圆筒内，要使小球恰能从B 处飞出，求小球进入 入口的速度v 的表达式．
8、如图所示的装置可测量子弹的飞行速度，在一根轴上相隔S=1m 处安装两个平行的薄圆盘，使轴带动两圆盘以n=3000r ／min 匀速转动，飞行的子弹平行于轴沿一直线穿过两圆盘，即在盘上留下两个孔，现测得两小孔所在半径间的夹角为300
，子弹飞行速度大小可能是下述的 ( )
A ．500m ／s
B ．600m ／s
C ．700m ／s
D ．800m ／s
9、如图所示，在同一高度上有A 、B 两物体，它们的质量分别为m 和M ，A 物体在竖直面内做匀速圆周运动，运动方向为逆时针方向，轨道半径为R ，同时B 物体在恒力F 作用下，从静止
开始做匀加速直线运动，运动方向向右，问：要使两物体的速度相同，A 物体
做圆周运动的角速度ω为多大?。