功和功率,动能定理

第一部分功和功率

知识要点梳理

知识点一——功和功的计算

▲知识梳理

1．功的定义

一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生一段位移，就说这个力对物体做了功。

2．做功的两个必要因素

力和物体在力的方向上发生的位移，缺一不可。

如图甲所示，举重运动员举着杠铃不动时，杠铃没有发生位移，举杠铃的力对杠铃没有做功。如图乙所示，足球在水平地面上滚动时，重力对球做的功为零。

3．功的物理意义：功是能量变化的量度

能量的转化跟做功密切相关，做功的过程就是能量转化的过程，做了多少功就有多少能量发生了转化，功是能量转化的量度。

4．公式

（1）当恒力F的方向与位移l的方向一致时，力对物体所做的功为W = Fl。

（2）当恒力F的方向与位移l的方向成某一角度时，力F物体所做的功为．即力对物体所做的功，等于力的大小、位移的大小、力与位移的夹角的余弦这三者的乘积。

5．功是标量，但有正负

功的单位由力的单位和位移的单位决定。在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号是J。

一个力对物体做负功，往往说成物体克服这个力做功（取绝对值）。这两种说法在意义上是相同的。例如竖直向上抛出的球，在向上运动的过程中，重力对球做了－6J的功，可以说成球克服重力做了6J的功。

由，可以看出：

①当=0时，，即，力对物体做正功；

②当时，，力对物体做正功。

①②两种情况都是外界对物体做功。

③当时，力与位移垂直，，即力对物体不做功，即外界和物体间无能量交换；

④当时，，力对物体做负功；

⑤当时，，此时，即力的方向与物体运动位移的方向完全相反，是物体运动的阻力。

④⑤两种情况都是物体对外界做功。

6．合力的功

当物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，这几个力的合力对物体所做的功，等于各个力分别对物体所做功的代数和。

求合力的功可以先求各个力所做的功，再求这些力所做功的代数和；也可先求合外力，再求合外力的功；也可用动能定理求解。

▲疑难导析

一、功的正负的理解和判断

1．功的正负的理解

功是一个标量，只有大小没有方向。功的正负不代表方向，也不表示大小，只说明是动力做功还是阻力做功，或导致相应的能量增加或减少。

2．常用的判断力是否做功及做功正负的方法

（1）根据力和位移方向的夹角判断：

①当时，，力对物体做正功；

②当时，，力对物体做负功，也称物体克服这个力做了功；

③当时，，力对物体不做功。

（2）根据力和瞬时速度方向的夹角判断。此法常用于判断质点做曲线运动时变力做的功。

① 时，力F对物体不做功。例如，向心力对物体不做功；作用在运动电荷上的洛伦兹力对电荷不做功；

②当时，力F对物体做正功；

③当时，力F对物体做负功，即物体克服力F做功。

（3）根据质点或系统能量是否变化，彼此是否有能量转移或转化进行判断。若有能量的变化，或系统各质点间彼此有能量的转移或转化，则必定有力做功。

二、功的计算方法

1．功的公式：，是力的作用点沿力的方向上的位移，公式主要用于求恒力做功和F随l做线性变化的变力做功（此时F取平均值）。

2．合力做功的计算

（1）合力做的功等于各力做功的代数和。即

（2）先求出物体受到的合力，再由求解，但应注意应为合力与位移l的夹角，在运动过程中保持不变。 3．变力做功的求解方法

（1）用动能定理或功能关系（功是能量转化的量度）

（2）将变力的功转化为恒力的功

①当力的大小不变，而方向始终与运动方向相同或相反时，这类力做的功等于力和路程（不是位移）的乘积，如滑动摩擦力、空气阻力做功等。

②当力的方向不变，大小随位移做线性变化时，可先求出力对位移的平均值，再由计算，如弹簧弹力做功。

③作出变力F随位移变化的图象，图线与横轴所夹的“面积”即为变力所做的功。如图所示。

④变力的功率P一定时，可用求功，如机车牵引力做的功。

：一位质量m=60 kg的滑雪运动员从

高h=10 m的斜坡自由下滑．如果运动员

在下滑过程中所受到的阻力F=50 N，斜

坡的倾角=，运动员滑至坡底的过程中，

所受的几个力做的功各是多少？这些力

所做的总功是多少？(g取10)

解析：如图所示，滑雪运动员受到重力、支持力和阻力的作用。

运动员的位移为：m，方向沿斜坡向下

所以，重力做功：J

支持力所做的功：

阻力所做的功：J

这些力所做的总功J。

知识点二——功率

▲知识梳理

1．功率是描述力做功快慢的物理量，是功与所用时间的比值。

定义式①

导出式②（其中中F和v两矢量的夹角）

①式中求出的P为平均功率，若功率一直不变，亦为瞬时功率。

②式中若v为平均速率，则P为平均功率；若v为瞬时速率，则P为瞬时功率。一般情况下，求平均功率使用，求瞬时功率使用。

2．功率的单位是瓦特。

3．额定功率和实际功率

额定功率是指任意机械在正常条件下可以长时间工作而不损坏机械的最大输出功率，实际功率是指机械实际工作时的功率。

一般情况下，实际功率可以小于或等于额定功率，而在特殊情况下实际功率可以超过额定功率，只能是较短时间，但尽量避免。

4．力的功率

当力F和速度v在一条直线上，力的功率；当F与v垂直，则F的功率P=0；当F与v成任意夹角，则F的功率。

▲疑难导析

机车的启动的两种方式：

1．机车以恒定的功率启动机车以恒定的功率启动后，若运动过程中所受阻力不变，由于牵引力，随v 增大，F减小，根据牛顿第二定律，当速度v增大时，加速度a减小，其运动情况是做加速度减小的加速运动，直至时，a减小至零，此后速度不再增大，速度达到最大值而做匀速运动，做匀速直线运动的速度是。这一过程的关系如图所示。

2．车以恒定的加速度a启动

由知，当加速度a不变时，发动机牵引力F恒定，再由知，F一定，发动机实际输出功率P随v的增大而增大，但当P增大到额定功率以后不再增大，此后，发动机保持额定功率不变，v继续增大，牵引力F 减小，直至时，a＝0，车速达到最大值，此后匀速运动。

在P增至之前，车匀加速运动，其持续时间为（这个必定小于，它是车的功率增至之时的瞬时速度）。计算时，利用，先算出F，再求出，最后根据求；在P增至之后，为加速度减小的加速运动，直至达到。这一过程的关系如图所示。

特别提醒：

①在机车以恒定的加速度启动时，匀加速结束时刻的速度，并未达到整个过程的最大速度。

②中的F仅是机车的牵引力，而非车辆所受合力，这一点在计算题目时极易出错。

：质量为m的汽车在平直公路上行驶，阻力F保持不变。当它以速度v、加速度a加速前进时，发动机的实际功率正好等于额定功率，从此时开始，发动机始终在额定功率下工作。

（1）汽车的加速度和速度将如何变化？说出理由。