机械强度设计

• 上式通常可写为： • 式（3.12）即为屈雷斯加屈服条件的数学表达式。在主应力空间，它
是图3.3 所示的一个与坐标轴成等倾斜各边长相等的正六棱柱体，平 面π 上为六边形，该正棱柱体称为屈雷斯加六棱柱体。 • 对于二维应力状态（ σ3 = 0），则有：
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3.4 常用（初始）屈服条件
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3.3 常见的机械强度理论
• 于是在复杂应力状态下，材料的破坏条件为：
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3.3 常见的机械强度理论
• 需要指出的是，式（3.3）中的σ1 必须为拉应力。在没有拉应力的三 向压缩应力状态下，显然是不能采用第一强度理论来建立强度条件的。
• 第一强度理论适用于脆性材料，且其最大拉应力大于或等于最大压应 力（值或绝对值）的情形。
• Tresca 屈服准则又称为屈雷斯加屈服条件或最大剪应力屈服条件， 它是由屈雷斯加于1868 年根据金属挤压流过小孔的实验提出的。这 个条件可表述为，当韧性金属的最大剪应力达到一定数值时，材料便 开始屈服，即：
• 式中 τ s——材料的剪切屈服应力。对于不同材料的τ s值，可由实验 来确定。屈雷斯加屈服条件要求预先知道最大与最小主应力。设 σ1 ＞σ2 ＞σ3 ，则：
• 则意味着物体在该处的材料开始进入塑性状态。Tresca屈服条件的 数学表达式很简单，与实验结果也较符合；但在使用该条件时，一般 须预先知道主应力的大小次序，这样才能求出最大剪应力 τmax 。
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3.4 常用（初始）屈服条件
• 而一般情况下，主应力的大小次序是未知的，而且主应力的大小次序 还可能随加载的变化而改变，因而，该条件使用起来比较困难。对于 理想的弹塑性材料，其应力点不可能处在屈服六边形以外，而对于弹 塑性强化材料开始屈服后的情况，则需做专门讨论。因此，这里所讨 论的屈服条件为初始屈服条件，其屈服六棱柱体和屈服六边形分别为 初始屈服面和初始屈服曲线。
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3.4 常用（初始）屈服条件
• 对于简单拉伸的情况，当 σ1 =σs （ σs 为简单拉伸时材料的屈服应 力）， σ 2 =σ3 = 0时，由式（3.10）可得：
• 或写为： • 对于纯剪切情况， σ 1 = −σ3 =τ s ， σ2 = 0，将其代入式（3.10）得：
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3.2 应力状态与强度理论
• 研究一点的应力状态时，往往围绕该点取一个无限小的正六面体—— 单元体来研究。作用在单元体各面上的应力可认为是均匀分布的。如 果单元体的一对截面上没有应力，即不等于零的应力分量均处于同一 坐标平面内，则称为平面应力状态，如图3.1（a）所示；而单元体的 所有面上均有应力的，则称为空间应力状态，如图3.1（b）所示。根 据对弹性力学的研究可知，在任何应力状态下，总可以找到三对互相 垂直的面，在这些面上的切应力等于零，且只有正应力，如图3.2（a） 所示。这样的面称为应力主平面（简称主平面），主平面上的正应力 称为主应力，一般用用σ1、σ2 和σ3 来表示（按代数值σ1≥ σ2≥ σ3）。 如果三个主应力都不等于零，则称为三向应力状态，见图3.2（a）；
• 其破坏条件为：
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3.3 常见的机械强度理论
• E ——材料的弹性模量； • μ ——材料的泊松比。 • 这种理论的破坏条件可用主应力表达为：
• 第二强度理论适用于脆性材料，且其最大压应力的绝对值大于最大拉 应力的情形。
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3.4 常用（初始）屈服条件
• 3.4.1 Tresca 屈服准则
第3 章 机械强度设计
• 3.1 强度与失效 • 3.2 应力状态与强度理论 • 3.3 常见的机械强度理论 • 3.4 常用（初始）屈服条件 • 3.5 塑性应力应变关系的增量理论 • 3.6 塑性应力应变关系的全量理论 • 3.7 含裂纹的强度理论 • 3.8 脆性断裂的准则 • 3.9 弹塑性断裂力学
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3.1 强度与失效
• 关于机械零件强度设计的实践已经历了上千年的发展，作为一个理论 体系，它也拥有500 年左右的历史，并且其发展与力学、工程材料学 和制造工艺学等学科的发展密切相关。从广义上来讲，机械零件的强 度就是指零件抵扰各种机械破坏的能力。最早为人所知的对机械零件 起破坏作用的外在因素是外载荷。后来，人们提出了内力和应力的概 念。显然，应力的概念比外载荷更进了一步。直到今天，人们仍然把 应力作为引起材料发生破坏的因素之一。只有在应力分布不均匀的构 件内考虑超过弹性极限的破坏问题时，人们才又提出以极限载荷作为 强度计算的准则。此外，对于某些零件，例如当柱、壳体等构件把丧 失稳定性作为破坏形式时，才用失稳极限载荷作为强度计算的准则。 材料抵抗破坏的能力取决于材料本身的力学性质。
• 如果
材料仍处于弹性状态；如果应
力状态一旦满足屈服条件式（3.14），材料将开始屈服。Hencky 对
此屈服条件的物理意义进行了解释。他指出，Mises 方程式（3.14）
相当于弹性应变能U 达到某个临界值时材料将开始屈服。由于平均正
应力m σ （即静水应力）不能使材料屈服，也就是说弹性应变能U 中
• 由于工程上的需要，两百多年来，人们对于材料破坏产生的原因提但 这些假说都只能被某些破坏实验所证实，而不能解释所有材料的破坏 现象。这些假说统称为强度理论。
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3.2 应力状态与强度理论
• 对于轴向拉压和平面弯曲中的正应力，通常将其与材料在轴向拉伸 （压缩）时的许用应力相比较来建立强度条件。同样，对于圆杆扭转 和平面弯曲中的切应力，由于杆件危险点处横截面上切应力的值最大， 且处于纯剪切应力状态，故可将其与材料在纯剪切状态下的许用应力 相比较来建立强度条件。则构件的强度条件为：
• 由于形变能：
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3.4 常用（初始）屈服条件
• 式中 2 I′ ——应力偏量张量的第二不变量； • k——表征材料屈服特征的参数，不同材料的k 值可由简单拉伸实验
来确定。式（3.15）与式（3.14）实际上是等价的，因为： • 将上式代入式（3.15）即得式（3.14）。
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3.2 应力状态与强度理论
• 如果只有一个主应力等于零，则称为双向应力状态，如图3.2（b）所 示；如果有两个主应力等于零，则称为单向应力状态，如图3.2（c） 所示。单向应力状态也称为简单应力状态，其他的应力状态称为复杂 应力状态。
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3.3 常见的机械强度理论
• 3.3.ห้องสมุดไป่ตู้ 第一强度理论
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3.1 强度与失效
• 对于单向应力状态，由于可直接对其做拉伸或压缩实验，所以通常就 用破坏载荷除以试样的横截面积而得到的极限应力（强度极限或屈服 极限，见材料的力学性能）作为判断材料破坏的标准。但在二向应力 状态下，材料的内破坏点处的主应力σ1 、 σ2 不为零；在三向应力状 态的一般情况下，三个主应力σ1 、 σ2 和 σ3 均不为零。不为零的应 力分量有不同比例的无穷多个组合，因此不能用实验逐个确定。
• 其中，工作应力σmax 或τmax 由相关的应力公式来计算；材料的许用 应力[σ]或[τ ]采用直接试验的方法（如拉伸试验或扭转试验）测得材 料相应的极限应力并除以安全因数来求得。但是，在一般情况下，受 力构件内的一点处既有正应力，又有切应力，
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3.2 应力状态与强度理论
• 这时，一方面要研究通过该点的各个不同方位截面上应力的变化规律， 从而确定该点处的最大正应力和最大切应力及其所在截面的方位。受 力构件内一点处所有方位截面上应力的集合称为一点处的应力状态。 另一方面，由于该点处的应力状态较为复杂，而应力的组合形式又有 无限多的可能性，因此，不可能用直接试验的方法来确定每一种应力 组合情况下材料的极限应力。于是，就需要探求材料破坏（断裂或屈 服）的规律。如果能确定引起材料破坏的决定性因素，就可以通过比 较轴向拉伸试验的结果，来确定各种应力状态下破坏因素的极限值， 从而建立相应的强度条件，即强度理论。
的体积应变能V U 对屈服不起作用，因而可认为，决定屈服的只是弹
性应变能U 中的形状变化应变能F U （又称形变能，畸变能）。
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3.4 常用（初始）屈服条件
• 因此，他提出的屈服准则可表达为：当形变能达到某个临界值时，材 料将开始屈服。故Mises 屈服准则又称为形变能屈服条件。
3.4 常用（初始）屈服条件
• 将简单拉伸时与纯剪切屈服时所得到的结果加以比较，可得：
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3.1 强度与失效
• 机械强度包括材料强度和结构强度两方面的内容。所谓强度是指材料、 机械零件和构件抵抗外力而不失效的能力。狭义的强度是研究各种断 裂和塑性变形过大的问题；而广义的强度则包括强度、刚度和稳定性， 有时还包括机械振动问题。
• 强度理论是指判断材料在复杂应力状态下是否会发生破坏的理论。材 料在外力的作用下有两种不同的破坏形式：一种是在不发生显著塑性 变形状况下的突然断裂，这种称为脆性破坏；另一种是因发生显著塑 性变形而不能继续承载的破坏，这种称为塑性破坏。
• 3.4.2 Mises 屈服准则
• 应该指出的是，前面提到的平面π 上的Tresca 六边形的六个顶点是 通过实验得到的，但连接这6 个顶点的直线都是假定的，而且六边形 的不连续性会引起数学处理上的困难。
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3.4 常用（初始）屈服条件
• 为了简化计算，又提出了Mises 屈服准则。Mises 准则认为，如果用 一个圆将这6 个顶点连接起来可能更合理，该屈服条件的数学表达式 为：
• 式（3.13）在σ1 、 σ2 平面内组成如图3.4 所示的六边形，称为屈雷 斯加屈服六边形。
• 在应力空间讨论屈服条件时，对于二维应力状态则应将其退化为一个 平面，称为主平面。显然，对于确定的应力状态（ σ 1 ,σ2 ），它在 主应力平面内是一个确定的应力点，当物体中某一点的应力状态处在 屈服六边形内部时，则表示物体在该处的材料尚处于弹性状态；如果 物体中某一点的应力状态达到屈服六边形上的任一点，
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3.1 强度与失效
• 以往，从强度的观点来看，人们只知道静破坏这一种现象，于是相应 地开展了对静载荷作用下的弹塑性应力分析和材料的强度极限，以及 屈服极限的研究工作，并得出了弹性力学、塑性力学和材料力学等一 系列学科的理论知识。
• 现代机械所承受的工况、载荷及环境条件越来越苛刻，所遇到的机械 强度问题也越来越复杂。在制造和使用过程中，机械零构件中经常存 在微观缺陷和微裂纹，在研究其裂纹的产生、成长及破坏机制时，除 了需要固体力学、计算力学和实验力学知识以外，还需要细观力学、 损伤力学和断裂力学的知识来进行分析研究。为确定机械零件的使用 寿命以及延寿和安全评估等问题，还必须具有随机理论、疲劳强度、 统计分析及可靠性方面的知识；因此，在研究现代机械强度问题时， 需要把多种学科的知识综合应用起来。
3.4 常用（初始）屈服条件
• 由此可见，根据简单拉伸试验和纯剪切可知，屈雷斯加屈服条件中的 k0 值为简单拉伸屈服应力的1/2。
• 在一般情况下，σ 1 、 σ2 、σ3 不按大小次序排列，则下列表示最大 剪应力的6 个条件中的任意一个成立时，材料就开始屈服，即：
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3.4 常用（初始）屈服条件
• 3.3.2 第二强度理论
• 第二强度理论又称为最大伸长应变理论，它是根据J.V. 彭赛列的最大 应变理论改进而来的。该理论假定，无论材料内一点的应力状态如何， 只要材料内该点的最大伸长应变ε1 达到了单向拉伸断裂时最大伸长应 变的极限值 εu ，材料就发生断裂破坏，
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3.3 常见的机械强度理论
• 第一强度理论又称为最大拉应力理论，其表述为：材料发生断裂是由 最大拉应力引起的，即最大拉应力达到某一极限值时材料将发生断裂。
• 在简单拉伸试验中，三个主应力当中有两个是零，那么最大主应力就 是试件横截面上该点的应力σ1 ，当这个应力达到材料的极限强度 σb 时，试件就断裂。因此，根据此强度理论，通过简单拉伸试验，可知 材料的极限应力就是 σb 。