27.3 垂径定理及其推论
《垂径定理》PPT课件
弦的距离(弦心距)为d，半径为r，弧的中点
到弦的距离(弓形高)为h，这四个变量中知
任意两个可求其他两个．
(2)两关系：①
a 2
2
＋d2＝r2；②h＋d＝r.
注意：计算时常作半径或过圆心作弦的垂线段来
构造直角三角形
推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平 分弦所对的两条弧，如图，CD是⊙O的直径，AB 是弦(非直径)，AB与CD相交于点E，且AE＝BE， 那么可用几何语言表述为：
AE BE
CD是直径
CD⊥AB
AD BD
AC
BC
要点精析：(1)“垂直于弦的直径”中的“直径”，还可 以是垂直于弦的半径或过圆心垂直于弦的直线；其实质 是：过圆心且垂直于弦的线段、直线均可．
(2)垂径定理中的弦可以为直径． (3)垂径定理是证线段、弧相等的重要依据．
知1－讲
例1 已知：如图， CD为⊙O的直径，AB为弦，且AB⊥ CD，垂足为E. 若ED=2，AB=8，求直径CD的长.
知1－练
1 [中考·温州]如图，在⊙O中，OC垂直于弦AB 于点C，AB＝4，OC＝1，则OB的长是( ) A. 3 B. 5 C. 15 D. 17
知1－练
2 【中考·广元】如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点 E，则下列结论中错误的是( ) A．CE＝DE B．AE＝OE
C. BC BD
D．△OCE≌△ODE
弦，AM＝BM，OM︰OC＝3︰5，
则AB的长为( )
A．8 cm B. 91 cm
C．6 cm D．2 cm
3 如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，∠AOB＝
60°，AB＝AC＝2，则弦BC
的长为( )
垂径定理及其推论完整ppt课件
③④ ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦
③⑤ ①②④ ，并且平分弦所对的另一条弧．
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧精的品直课件线经过圆心，并且垂直平分弦．24
小练习 C
且平分弦所对的两条弧
已知：如图：AB是⊙O的一条弦.
C
求证CD：是A直M径=B,且MCDA⊥⌒CA=BB⌒,C垂, 足A⌒为DM=B.⌒D.
A
M└
●O
B
证明：连接OA,OB
∵OA=OB,OM⊥AB
符号语言： D
∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称.
如图∵ CD是直径,
∵⊙O关于直径CD对称,
CD⊥AB,
作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
（1）下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
（2）你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说 说你的想法和理由.
C
等量关系：
A M└ ●O
B
AM=BM
⌒⌒
AC =BC,
⌒⌒
AD =BD.
D
你能用一句话表达上述
结论吗？
精品课件
4
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧
（5）平分弦并且平分弦所对的一条弧的直径过 圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧 ．
精品课件
22
④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ③ 平分弦
沪教课标版九年级下册数学：27.3 垂径定理
一、垂径定理及其推论
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且
平分弦所对的两条弧．
条件
CD为直径 CD⊥AB
结论
A⌒E=B⌒E A⌒C=B⌒C
AD=BD
ห้องสมุดไป่ตู้
垂径定理的几何语言:
∵∴CADE=为B直E，径A，⌒CC=DB⌒⊥C，AAB⌒D=B⌒D．
C
O·
A
E
B
D
• 定理中的直径可以是直径、半径、弦心距 等过圆心的直线或线段。从而得到垂径定 理的变式：
∴MC=MA
∵∠A=∠C,AB=CG C∴△MBA≌△MCG(SAS)
截长法
∴MB=MG
在△MBG中，MD⊥BG
∴BD=GD
∴CD=CG+GD=AB+BD
M
O N
B DG A
“垂线法” 证明：延长AB，过M点作MN⊥NB,垂 足为N点.
C
例2 如图，已知等边△ABC内接于⊙O，AB=2，D为
弧AC上一点，∠ABD=45°，AE⊥BD于点E，求△ABC
的周长？
A
A
O
D
B
E
C
O D
B FE C
一条直线具有：
经过圆心 垂直于弦
可推得
平分弦
平分弦所对的劣 （优）弧
垂径定理的推论: 合作探究
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分
弦所对的两条弧．
CD⊥AB吗？
条件
CD为直径
AE=BE
D
CD⊥AB
结论
⌒⌒ AC=BC
⌒⌒
AD=BD
C
Ｏ·
A
·Ｏ
(E)
证明垂径定理和垂径定理的推论
证明垂径定理和垂径定理的推论1. 什么是垂径定理？嘿，大家好！今天我们来聊聊一个在几何界特别重要的概念——垂径定理。
说到这，很多同学可能会想：“这是什么鬼东西？”别急，听我慢慢给你捋一捋。
简单来说，垂径定理就是在一个圆里，如果你从圆心往外画一条垂直于圆周的直线，这条线与圆的交点就是我们所说的“垂径”。
这听起来简单吧？但其实这背后蕴藏着很多神奇的数学秘密。
1.1 定理的具体内容那么，垂径定理的具体内容是什么呢？在一个圆中，假设我们有一个点P，假如我们从这个点出发，往圆心画一条直线，直到它碰到圆周，我们叫这个点为A。
接下来，点P到点A的直线垂直于点A到圆心的直线。
那么根据垂径定理，我们就知道这条线段就是一个垂径！是不是觉得这个定理挺神奇的？我觉得它就像一把打开几何大门的钥匙，让我们看到了一个崭新的世界。
1.2 实际应用好啦，别光听我唠叨，咱们说说这玩意儿有什么用。
你可能会问：“我这辈子也不会用到几何啊！”可是，谁能说得准呢？比如说你要设计一个游乐场，想把过山车的轨道设计得又稳又安全，垂径定理可是可以帮你确保轨道的结构强度哦！所以，别小看这些数学定理，它们就像是我们生活中的隐形助手，时时刻刻在为我们服务。
2. 垂径定理的证明说完了定理，接下来就是那个让人头疼的——证明！别担心，我会把它说得简单易懂。
首先，我们可以画一个圆，标记出圆心O，以及任意的点A和P。
然后，从点P出发，画一条垂直于OA的直线，设它与圆交于点B。
根据几何的性质，我们知道，点B 到点O的距离等于点A到点O的距离，这样一来，我们就能证明这两条线段的关系。
2.1 证明的细节我们接下来用一些三角形的性质来帮忙。
设O是圆心，OA是半径，PB是我们所说的垂径。
根据三角形的性质，三角形OAP和三角形OBP是相似的，因为它们有一个公共角OAP和一个直角。
这就意味着它们的对应边成比例，从而可以得出PB的长度与OA是相等的。
啊哈，证明完成了！是不是觉得其实也没那么难？2.2 证明的意义证明完毕之后，咱们再来思考一下这个定理的意义。
垂径定理 推论.完整版PPT资料
随堂练习
试一试
例2、某居民区一处圆形下水管破裂，修理人
员准备更换一段新管道，如图，污水水面宽
度为60cm，水面至管道顶部距离为10cm,问 (2)直线MN垂直AB;
于是 弧AM＝弧BM， （）
(3)直线MN平分AB; 弧CM＝弧DM
修理人员应准备内径多大的管道？ 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。
O
C
A
B
N
垂径定理三种语言：
文字语言 定理: 垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧.
如图∵ CD是直径,
C
CD⊥AB,
A M└
B
●O
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C,
A⌒D=B⌒D.
D
图形语言
几何语言
老师提示: 垂径定理是圆
中一个重要的 结论,三种语 言要相互转化, 数形结合,形 成整体,才能 运用自如.
解?答 MN是AB的垂直平分线
则有：
平变分式弦 二并：且你平能A分确C弦定所 对1的A一弧B条A弧B的的3 直圆0 ,线心经吗过？圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.
D
2 平分(不是直径)弦的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. ●作AB的O垂C直平分O线DCD。C D A O 1 0 .
如图,在下列五个条件中:
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM,
④A⌒C = B⌒C,
⑤
⌒
AD
=
⌒
BD.
C
A M└
B
只要具备其中两个条件, 就可推出其余三个结论.
●O
n 你可以写出相应的命题吗?
D
推论2.
垂径定理及其推论课件
A
M└
●O
B
证明：连接OA,OB
∵OA=OB,OM⊥AB
符号语言
∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称.
：
D
如图∵ CD是直径,
∵⊙O关于直径CD对称,
CD⊥AB,
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B
重合,A⌒C和B⌒C重合, A⌒D和B⌒D重合.
∴AM=BM,
A⌒C = B⌒C,
∴A⌒C
⌒
=BC,
4平．分作线A，C的交垂A⌒C直 于点F． 5． 点G同理 ．
D A
C E
B
点D、C、E就是A⌒B的四等分点．
第26页，共30页。
× 作AC的垂直平分线
作BC的垂直平分线 C
A
等分弧时一 定要作弧所夹弦 的垂直平分线．
B
第27页，共30页。
你能确定A⌒B的圆心吗？ C
作法： 1． 连结AB．
2平．分作线A，B的交垂A⌒B直 A 于点C．
②③ ①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧．
②④ ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平分 ②⑤ ①③④ 弦和所对的另一条弧．
③④ ③⑤
①②⑤ ①②④
平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平分弦所 对的另一条弧．
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦．
cd是直径adbdacbc平分弦所对优弧4垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直径过圆心并且平分弦和所对的另一条平分弦所对的劣弧5平分弦并且平分弦所对的一条弧的直径过圆心垂直于弦并且平分弦所对的另一条弧平分弦6平分弦所对的两条弧的直径过圆心并且垂直平分弦
九年级数学下册27.3垂径定理(3)教案沪教版五四制
准备
多媒体课件，教学工具学Fra bibliotek活动形式讲练结合
教学过程
设计意图
课题引入：
课前练习一
如图,CD是O的直径,CD⊥AB,垂足为点E,请说明AC=BC.
下面两种说理的方法都正确吗?若正确,请填写理由.
知识呈现：
新课探索一
例题1如图,已知O的半径长为25,C是AB的中点,且AC=30.求弦AB长.
课内练习一
1.已知:如图,PB,PD与O分别交于点A、B和点C、D,且PO平分∠BPO.求证：ABD=CDB.
例5如图，已知⊙O的半径长为25，弦AB长为48，C是弧AB的中点．求AC的长．
例6如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB=CD，OM⊥AB，
ON⊥CD，垂足分别是点M、N，BA、DC的延长线交于点P．
求证：PA=PC．
例7如图，已知⊙O的半径长为R=5，弦AB与弦CD平行，他们之间距离为7，AB=6求弦CD的长．
课堂小结：在圆中解决与弦有关问题时经常作的辅助线是什么？
（在圆中解决有关于弦的问题时，经常是过圆心作弦的垂线段，连结半径等辅助线，构造直角三角形.为应用垂径定理创造条件.）
课外
作业
练习册习题27.3（3）
垂径定理
课题
27.3(3)垂径定理
课型
新授课
教
学
目
标
1、掌握垂径定理及其推论，能运用垂径定理及推论解决有关数学问题.
2、培养观察、比较、分析、概括问题的能力及动手操作的基本技能.
重点
掌握垂径定理及其推论，能运用垂径定理及推论解决有关数学问题.
难点
在圆中解决有关于弦的问题时，经常是过圆心作弦的垂线段，连结半径等辅助线，构造直角三角形.
(完整版)27.3(3)垂径定理
人的大脑和肢体一样，多用则灵，不用则废。
BABA BACAP27.3 垂径定理（3）[学习目标]1、能运用垂径定理及推论解决有关数学问题；2、掌握运用垂径定理及其推论时辅助线的常用添法. [学习重难点]会运用垂径定理及推论解决有关问题.一、课前预习1、已知»AB ，用直尺和圆规平分这条弧.2、已知：如图，线段AB 、交O e 于C 、D 两点，且OA=OB ， 求证：AC=BD.3、如图，有一圆弧形门拱的拱高CD 为1米，跨度AB 为4米，求这个门拱的半径.二、课堂学习例题1 如图，已知O e 的半径长为25，弦AB 长为48，C 是»AB 的中点. 求AC 的长. （提示：把AC 放到直角三角形中去求，这里可以联结 、 ）（问题：添辅助线时这里可以写“作OC AB ⊥”吗？）例题2 如图，已知AB 、CD 是O e 的弦，且AB=CD ，,OM AB ON CD ⊥⊥ ，垂足分别是点M 、N ，BA 、DC 的延长线交于点P. 求证：PA=PC. （提示：先证明AM=CN 和PM=PN ）例题3 如图，已知O e 的半径长R 为5，弦AB 与弦CD 平行，它们之间的距离为7，AB 长6，求弦CD 的长.（问题：过点O 作,OE AB OF CD ⊥⊥ ，垂足分别为E 、F ，可否马上得到EF=7？）人的大脑和肢体一样，多用则灵，不用则废。
POBACDFOE B A C D P ONMB AC DO B CBCE DOA课堂小结四、课堂练习1、已知：如图，PB 、 PD 与O e 分别交于点A 、B 和点C 、D ，且PO 平分BPD ∠.求证：¼¼.ABD CDB =2、如图，已知AB 是O e 的直径，弦CD 交AB 于点E ，45CEA ∠=o，OF CD ⊥，垂足为点F ，DE=7，EO=2. 求CD 的长.3、已知O e 的半径长为5，弦AB 与弦CD 平行，AB=6，CD=8. 求AB 与CD 之间的距离。
垂径定理及其推论
圆部分知识点总结垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧;推论1：1平分弦不是直径的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; 2弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;3平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧; 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等;垂径定理及其推论可概括为： 过圆心 垂直于弦直径 平分弦 知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等;2：在同圆或等圆中,如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等;圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等; 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径;推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形; 点和圆的位置关系设⊙O 的半径是r,点P 到圆心O 的距离为d,则有： d<r ⇔点P 在⊙O 内；d=r ⇔点P 在⊙O 上； d>r ⇔点P 在⊙O 外;过三点的圆1、不在同一直线上的三个点确定一个圆;2、经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆;3、三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,它叫做这个三角形的外心; 直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系,具体如下：1相交：直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线,公共点叫做交点； 2相切：直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线, 3相离：直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离;如果⊙O 的半径为r,圆心O 到直线L 的距离为d,那么：直线L 与⊙O 相交⇔d<r ；直线L 与⊙O 相切⇔d=r ； 直线L 与⊙O 相离⇔d>r ；圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角; 切线的性质与判定定理1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径,二者缺一不可2、性质定理：切线垂直于过切点的半径 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点;推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心; 以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个; 切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角; 即：∵PA 、PB 是两条切线∴PA PB =；PO 平分BPA ∠ 圆幂定理1、相交弦定理：圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等;即：在⊙O 中,∵弦AB 、CD 相交于点P ,A∴PA PB PC PD ⋅=⋅推论：如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项; 即：在⊙O 中,∵直径AB CD ⊥, ∴2CE AE BE =⋅切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项;即：在⊙O 中,∵PA 是切线,PB 是割线 ∴ 2PA PC PB =⋅割线定理：从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等如右图;即：在⊙O 中,∵PB 、PE 是割线∴PC PB PD PE ⋅=⋅两圆公共弦定理 圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦; 如图：12O O 垂直平分AB ;即：∵⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点∴12O O 垂直平分AB 圆的公切线1公切线的长：12Rt O O C ∆中,221AB CO == 2外公切线的长：2CO 是半径之差；2CO 是半径之和三角形的内切圆和外接圆1、三角形的内切圆 与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆;2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点,它叫做三角形的内心; 圆和圆的位置关系 1、圆和圆的位置关系如果两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离,相离分为外离和内含两种;如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切,相切分为外切和内切两种; 如果两个圆有两个公共点,那么就说这两个圆相交; 2、圆心距两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距; 3、圆和圆位置关系的性质与判定设两圆的半径分别为R 和r,圆心距为d,那么两圆外离⇔d>R+r 两圆外切⇔d=R+r 两圆相交⇔R-r<d<R+rR ≥r 两圆内切⇔d=R-rR>r 两圆内含⇔d<R-rR>r 4、两圆相切、相交的重要性质如果两圆相切,那么切点一定在连心线上,它们是轴对称图形,对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦; 圆内正多边形的计算1.正三角形 在⊙O 中△ABC 是正三角形,有关计算在Rt BOD ∆中进行：::2OD BD OB =；2.正四边形同理,四边形的有关计算在Rt OAE ∆中进行,::1:1:2OE AE OA =： 3.正六边形同理,六边形的有关计算在Rt OAB ∆中进行,::1:3:2AB OB OA =. 弧长和扇形面积1、弧长公式 n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式为180rn l π= 2、扇形面积公式 lR R n S 213602==π扇 其中n 是扇形的圆心角度数,R 是扇形的半径,L 是扇形的弧长; 3、圆锥的侧面积 rl r l S ππ=•=221其中L 是圆锥的母线长,r 是圆锥的底面半径; 内切圆及有关计算;1三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点,它到三边的距离相等; 2△ABC 中,∠C=90°,AC=b,BC=a,AB=c,则内切圆的半径r=2cb a -+ ; 3S △ABC =)(21c b a r ++,其中a,b,c 是边长,r 是内切圆的半径; 拱高问题1.如图,圆弧形桥拱的跨度AB ＝12米,拱高CD ＝4米,则拱桥的半径为A ．6.5米B ．9米C ．13米D ．15米2.如图,用 表示主桥拱,设 所在圆的圆心为O,半径为R ．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC,D 为垂足,OC 与AB相交于点D,根据前面的结论,D 是AB 的中点,C 是 的中点,CD 就是拱高．A B SlBAOA B A B。
垂径定理及其推论知二推三
垂径定理及其推论知二推三
垂径定理是：垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧。
推论一：平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧。
推论二：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧。
推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条弧。
推论四：在同圆或者等圆中，两条平行弦所夹的弧相等。
(证明时的理论依据就是上面的五条定理)
但是在做不需要写证明过程的题目中，可以用下面的方法进行判断：
在5个条件中：
1。
平分弦所对的一条弧；
2。
平分弦所对的另一条弧；
3。
平分弦；
4。
垂直于弦；
5。
经过圆心(或者说直径)。
只要具备任意两个条件，就可以推出其他的三个结论。
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垂径定理推论4
O
C
A N B
推论4: 平分弦和弦所对的一条弧的直线， 一定经过圆心，并且垂直于这条弦
M
垂径定理推论5
O
C
A N B
推论5: 垂直于弦，并且平分弦所对的一条 弧的直线，一定经过圆心，并且平分这
小结：
《绿》P168
重点仍是垂径定理！
练习：
《书》P16 第3题
《书》P18 第1、2题
两条平行弦问题的探讨：
M
垂径定理推论1
O
A
C
N
B
推论1 ②MN⊥AB ⌒ ⌒ ①直线MN过圆心 AM= MB ④ 平分弦（这条弦不是直径）的直径垂 ⌒ ⌒ ③ AC=BC ⑤ AN= NB 直于弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
例题1 已知：如图，点P是⊙O的弦 AB的中点，PC⊥OA，垂足为点C
求证：PA ·PB = AC ·AO
1、已知：如图，⊙O的半径长R为 5，弦AB与弦CD平行，它们之间 的距离为7，AB长为6
求证：CD的长
A O
B
《书》P18 第3题
C
D
《绿》P170 第10题
两条平行弦问题的探讨：
圆的两条平行弦所夹 的弧相等。
A C M
●
O
B D
A
●
O
B
D⊙O中，C是
⌒ AB的中点，OC交弦AB于点D，
∠AOB= 120°，AD=8
求：OA的长
O
A
B D C
例题3 已知：如图，⊙O的半径长为 ⌒ 25，弦AB长为48，C是AB的中点
求：AC的长
O
A
B
C
例题4 已知：如图，滴水湖是圆形人 工湖，为测量该湖的半径，小杰和 小丽选取湖边三根木柱，使得A、B 之间的距离与A、C之间的距离相等， 并测得BC长为240米，A到BC的距 离为5米
求：滴水湖的半径
O B C
A
M
垂径定理推论3
O
C
A N B
推论3: ①直线MN过圆心O ⌒ ⌒ ② MN ⊥ AB 弦的垂直平分线经过圆心 ④ AM= MB,并且平 ③ AC=BC ⌒ ⌒ 分这条弦所对的两条弧 ⑤ AN = NB
⌒ 例题5 已知：AB，
用尺规平分这条弧
B A
书本P16 第2题
M
九年级数学(下) 第27章 圆
27.3(2) 垂径定理及其推论
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分弦所对的两条弧.
题设
（1）直径
结论
（2）垂直于弦
｝
｛
（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
M
垂径定理
O
A
C
N
B
①直线MN过圆心 ②MN⊥AB
③ AC=BC ⌒ ⌒ ④ AM= MB ⌒ ⌒ ⑤ AN= NB
B P
A
C
O
M
垂径定理推论2
O
A
C
N
B
①直线MN过圆心 ⌒ ⌒ ④ AM= MB
②MN⊥AB ⌒ ⌒ ③ AC=BC AM= MB ⌒ ⌒ ⑤ AN= NB
M
垂径定理推论2
O
A
C
N
B
推论2 ②MN⊥AB ⌒ ⌒ ①直线 MN 过圆心 平分弦所对的一条弧的直径 ,垂直 ③ AC=BC AM= MB ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⑤ AN= NB ,并且平分这条弦所对的另 平分这条弦 ④ AM= MB 一条弧。