高中数学专题讲座
高中数学教学专题讲座
高中数学教学专题讲座一、教学任务及对象1、教学任务本教学任务为高中数学教学专题讲座，旨在针对高中学生中普遍存在的数学学习难点和困惑，以讲座的形式进行深入解析和指导。
通过本次讲座，使学生能够掌握高中数学的核心知识点，提高解决问题的能力，培养逻辑思维和抽象思维能力，激发学生对数学学科的兴趣和热情。
2、教学对象本次教学对象为高中学生，特别是对数学学科有一定兴趣但存在学习困难的学生。
考虑到学生的年龄特点和心理发展，讲座内容将注重理论与实践相结合，以生动形象的方式呈现，帮助学生更好地理解和掌握高中数学知识。
同时，针对不同学生的学习需求，讲座还将进行分层次、个性化的指导，使每个学生都能在讲座中找到适合自己的学习方法和策略。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解并掌握高中数学的基本概念、定理、公式及其应用，如函数、导数、积分、立体几何、概率统计等核心知识点；（2）培养运用数学知识解决实际问题的能力，包括分析问题、建立数学模型、求解和解释结果；（3）提高数学运算速度和准确性，熟练运用数学符号、图表等表达方式；（4）发展逻辑思维和抽象思维能力，能够进行严密的推理和论证。
2、过程与方法（1）通过讲座中的实例分析，使学生学会如何运用数学知识解决具体问题，培养问题解决能力；（2）采用互动提问、小组讨论等方式，引导学生主动参与教学过程，提高学生的合作能力和沟通能力；（3）教授有效的学习方法，如预习、复习、总结等，帮助学生养成良好的学习习惯；（4）鼓励学生进行自主学习，培养独立思考和创新能力。
3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学学科的兴趣和热情，使其树立正确的数学观念，认识到数学在科学技术和社会发展中的重要作用；（2）培养学生勇于面对困难和挑战的精神，使其在学习过程中保持积极、主动的态度；（3）强调数学思维的严谨性和逻辑性，引导学生树立求真、务实的价值观；（4）通过数学知识的学习，培养学生良好的审美情趣，体会数学的简洁、和谐之美；（5）结合数学史的学习，使学生了解数学的发展过程，体会数学家们的探索精神，培养民族自豪感和历史责任感。
高中数学讲座教案模板范文
一、讲座主题：函数的性质与应用二、讲座目标：1. 理解函数的概念及其性质。
2. 掌握函数图像的绘制方法。
3. 学会运用函数解决实际问题。
三、讲座时间：2课时四、讲座内容：第一课时：一、导入1. 回顾初中阶段学习的函数概念。
2. 引出高中阶段函数的学习重点。
二、函数的概念1. 定义函数及其相关术语。
2. 函数的定义域和值域。
3. 函数的单调性、奇偶性、周期性等性质。
三、函数图像的绘制1. 基本步骤：确定定义域、绘制坐标轴、确定关键点、绘制函数图像。
2. 常见函数图像的特点及绘制方法。
四、课堂练习1. 练习绘制函数图像。
2. 分析函数性质。
第二课时：一、复习导入1. 回顾上节课所学内容。
2. 提出问题：如何运用函数解决实际问题？二、函数在实际问题中的应用1. 介绍函数在实际问题中的应用领域。
2. 举例说明函数在物理学、经济学、生物学等领域的应用。
三、案例分析1. 分析具体案例，讲解函数在实际问题中的应用。
2. 学生分组讨论，分析案例中的函数模型。
四、课堂练习1. 练习运用函数解决实际问题。
2. 学生展示解题过程，教师点评。
五、总结与拓展1. 总结本节课所学内容。
2. 拓展函数在实际问题中的应用，引导学生思考。
六、课后作业1. 完成课后练习题。
2. 查阅资料，了解函数在其他领域的应用。
七、教学反思1. 教师总结本节课的教学效果。
2. 学生反馈学习过程中的疑问和收获。
备注：1. 教师可根据实际情况调整教学内容和进度。
2. 在讲解函数性质时，可结合具体实例，帮助学生理解。
3. 在案例分析环节，鼓励学生积极参与，培养他们的创新思维。
高中数学专题讲座
高中数学专题讲座篇一：高中数学专题讲座是为了帮助学生更好地理解和掌握高中数学知识而开设的一系列讲座。
这些讲座通常由数学教师、学术专家或教育机构的专业人士来主讲，内容涵盖了高中数学中的各个重要专题。
在高中数学专题讲座中，学生们可以通过深入讨论和解析不同数学概念、技巧和策略，加深对数学知识的理解和运用能力。
讲座内容通常包括但不限于以下几个方面：1. 数学思维：讲座会帮助学生培养抽象思维和逻辑推理能力，探索数学背后的思维方式和原理。
学生们将学会运用数学方法解决问题、分析数据和判断推理。
2. 基础知识梳理：讲座将对高中数学的基础知识进行梳理和回顾，帮助学生巩固和强化基础，为后续学习打下坚实的基础。
3. 解题技巧与策略：高中数学中的各个专题都有一些常见的解题技巧和策略，讲座将向学生介绍这些技巧和策略，并通过大量实例的讲解和演练来帮助学生熟练掌握。
4. 难点攻克：高中数学中存在一些难点和疑难问题，讲座会重点对这些难点进行解析和讲解，帮助学生排除困惑，提高解决问题的能力。
5. 应用拓展：高中数学并不仅仅停留在纸上的计算，讲座会给学生们展示数学在实际生活中的应用，拓展学生的数学视野，激发对数学的兴趣。
通过参加高中数学专题讲座，学生们可以更加全面地了解高中数学知识，并掌握解题技巧和应用能力。
这将为他们在高中阶段的学习打下坚实的基础，同时也为未来的学习和职业发展奠定了良好的数学基础。
篇二：高中数学专题讲座是为了帮助学生更好地理解和掌握数学知识而举办的一系列讲座活动。
这些讲座通常由优秀的数学教师或专业教育机构主持，通过讲解和演示来帮助学生解决数学难题、加深对数学概念的理解，并提供一些学习技巧和策略。
高中数学是数学学科中的一门重要课程，对于学生的数学素养和综合能力的培养具有关键作用。
然而，由于数学知识的复杂性和抽象性，许多学生在学习过程中可能会遇到困难和挫折。
因此，举办高中数学专题讲座可以帮助学生克服学习上的难题，提高他们的数学成绩和自信心。
高中数学复习专题讲座课件
编辑课件
答案: 选B.
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四、小结 本节课主要学习了： ①充分而不必要条件的判定方法：
若p ＞q，q ＞p，则p是q的充分而不必要条件. ②必要而不充分条件的判定方法：
若p ＞q，q ＞p，则p是q的必要而不充分条件. ③充要条件的判定方法：
若p ＞q，q ＞p，则p是q的充要条件. ④证明充分性：设条件成立，推导结论也成立.
① 可先简化命题. ② 否定一个命题只要举出一个反例即可.
③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断.
30.07.2021
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二、重难点讲解
例1 有A、B、C三个盒子，其中一个内放有一个 苹果，在三个盒子上各有一张纸条.
A盒子上的纸条写的是“苹果在此盒内”， B盒子上的纸条写的是“苹果不在此盒内”， C盒子上的纸条写的是“苹果不在A盒内”. 如果三张纸条中只有一张写的是真的，请问苹果 究竟在哪个盒子里？
而x=－1是增根,应舍去,因此q:x = 2,所以q的集合 B = {2},
由题设P的集合A = {－1，2},
显然B A， ∴p是q的必要不充分条件.
30.07.2021
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二、重难点讲解
例 4 已知 p：｜1－x－3 1 |≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0（m＞0）
若¬q是¬p 的充分而非必要条件,求实数m的取值范围.
30.07.2021
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2
一、知识点回顾 1.定义：对于命题：若p(条件) ，则 q(结论).
如果已知p q，则说p是q的充分条件； 如果已知q p，则说p是q的必要条件；
如果既有p q，又有q p，就记作
p
q 则说p是q的充要条件；
高中数学讲座教案模板范文
高中数学讲座教案模板范文主题：解二元一次方程组的方法目的：学习二元一次方程组的解法，掌握多种解题技巧时间：60分钟教学内容：1. 二元一次方程组的定义和概念2. 代入法解二元一次方程组3. 消元法解二元一次方程组4. 相减法解二元一次方程组5. 实际问题解二元一次方程组的应用教学步骤：1. 导入：介绍二元一次方程组的定义和基本概念，引导学生思考解二元一次方程组的重要性和实际应用价值。
2. 讲解代入法：通过例题演示代入法的步骤和解题技巧，让学生掌握代入法解二元一次方程组的方法。
3. 讲解消元法：通过例题演示消元法的步骤和解题技巧，让学生了解消元法解二元一次方程组的原理和应用情况。
4. 讲解相减法：通过例题演示相减法的步骤和解题技巧，帮助学生理解相减法解二元一次方程组的步骤和思路。
5. 综合应用：结合实际问题，让学生应用代入法、消元法和相减法解决实际生活中的二元一次方程组问题，培养学生的综合解题能力。
6. 总结：总结本节课学习内容，强调解二元一次方程组的重要性和应用，鼓励学生在日常生活中多加练习和应用所学知识。
教学资源：1. 教学PPT2. 例题练习材料3. 实际问题解题案例4. 学生练习册教学评价：1. 学生个人练习2. 课堂小测验3. 实际问题解题练习表现评价教学延伸：1. 继续巩固二元一次方程组的解题方法2. 实际问题解题案例分析讨论教学反思：1. 教学方法是否得当2. 学生学习兴趣如何3. 学生掌握情况及提高空间注：本教案为模板范本，实际教学过程可根据学生水平和实际情况进行调整和改进。
新高考数学教研专题讲座
一、讲座背景随着新高考改革的深入推进，高考数学作为考查学生数学素养的重要科目，其命题方向、考试形式和评价方式都发生了较大的变化。
为了更好地适应新高考改革，提高数学教学质量，我们特举办此次新高考数学教研专题讲座，旨在帮助广大数学教师深入理解新高考数学的特点，掌握新高考数学的教学策略，提高数学教学效果。
二、讲座内容1. 新高考数学的特点（1）注重考查学生的数学核心素养新高考数学试题更加注重考查学生的数学思维能力、数学建模能力、数学运算能力、数学推理能力和数学应用能力，旨在培养学生的数学核心素养。
（2）试题类型多样化新高考数学试题类型丰富，包括选择题、填空题、解答题等，旨在全面考查学生的数学能力。
（3）试题难度适中新高考数学试题难度适中，既考查学生的基础知识，又考查学生的综合能力，有利于选拔优秀人才。
2. 新高考数学的教学策略（1）加强基础知识教学新高考数学试题注重考查学生的基础知识，因此，教师在教学过程中要重视基础知识的教学，帮助学生掌握数学概念、公式、定理等。
（2）注重培养学生的数学思维能力教师在教学过程中要注重培养学生的数学思维能力，通过引导学生进行探究、分析、归纳等，提高学生的数学思维能力。
（3）加强数学应用教学新高考数学试题注重考查学生的数学应用能力，因此，教师在教学过程中要注重数学应用教学，引导学生将数学知识应用于实际问题。
（4）关注学生个体差异教师在教学过程中要关注学生的个体差异，针对不同学生的学习特点，制定相应的教学策略，提高教学效果。
3. 新高考数学试题解析（1）选择题选择题注重考查学生的数学基础知识和数学思维能力，教师在解析过程中要注重引导学生分析题干，找到解题的关键点。
（2）填空题填空题注重考查学生的数学基础知识和数学运算能力，教师在解析过程中要注重引导学生回顾相关知识，提高解题速度。
（3）解答题解答题注重考查学生的数学综合能力和数学应用能力，教师在解析过程中要注重引导学生分析问题、解决问题，提高解题质量。
高中数学专题讲座
高中数学专题讲座篇一：高中数学专题讲座讲座题目:解析几何讲座主题:解析几何的基本概念、方法和应用讲座时长:30分钟正文:解析几何是高中数学中重要的分支之一,主要研究平面上点与线之间的关系,以及它们在空间中的相互转化。
解析几何的应用非常广泛,包括几何光学、天体物理学、工程学等领域。
讲座开始时,我们将介绍解析几何的基本概念和符号表示。
解析几何中的点通常用字母P表示,线通常用字母l表示,函数通常用字母f表示,变量通常用字母x表示。
我们将使用这些符号来表示解析几何中的各种概念和公式。
接下来,我们将介绍解析几何的基本方法。
这些方法包括几何法、代数法和曲线法等。
几何法是利用几何图形来表示函数,代数法是利用代数公式来表示函数,曲线法是利用曲线来表示函数。
我们将介绍这些方法的基本原理和应用。
最后,我们将介绍解析几何的应用。
解析几何在几何光学、天体物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
例如,在光学中,解析几何可以用来研究光的传播规律;在天体物理学中,解析几何可以用来研究行星的轨道和运动规律;在工程学中,解析几何可以用来研究机械运动的分析和控制。
在讲座的结尾,我们将总结一下解析几何的基本概念、方法和应用。
我们还将介绍一些常见的解析几何问题和解决方法,以便听众们能够更好地掌握解析几何的知识和技能。
以上就是本次高中数学专题讲座的全部内容。
希望本次讲座能够帮助听众们更好地掌握解析几何的基本概念、方法和应用,为未来的学习和研究打下坚实的数学基础。
篇二：高中数学专题讲座讲座题目:高中数学专题讲座讲座主题:高中数学基础知识的讲解与拓展正文:大家好,今天我们来谈一谈高中数学基础知识的讲解与拓展。
高中数学是一个非常重要的学科,因为它是许多大学专业的基础课程,同时也是许多职业领域中必不可少的技能。
因此,在学习高中数学时,掌握基础知识是非常重要的。
在讲解基础知识时,我们需要注意以下几个方面:1. 理解概念和定义。
概念和定义是数学的基石,只有理解了它们,才能更好地应用数学知识。
高中数学专题讲座教案
高中数学专题讲座教案
主题：三角函数的应用
教学目标：
1. 理解三角函数的定义和性质。
2. 掌握三角函数在实际问题中的应用。
3. 提高解决实际问题的能力。
教学内容：
1. 三角函数的基本概念和性质。
2. 三角函数的图像和性质。
3. 三角函数在实际问题中的应用。
教学步骤：
一、引入
1. 通过实际例子引入三角函数的概念，如利用三角函数求解直角三角形的边长、角度等问题。
2. 引导学生思考三角函数在实际问题中的应用价值。
二、讲解
1. 讲解三角函数的定义和性质，包括正弦、余弦、正切等函数。
2. 分析三角函数的图像和对应的性质。
3. 介绍三角函数在解决实际问题中的应用方法和技巧。
三、实例演练
1. 给学生提供一些实际问题，并引导他们运用三角函数知识进行求解。
2. 在学生完成实例演练后，讲解解题思路和方法，帮助他们理解应用过程。
四、小结
1. 总结三角函数的基本概念和性质。
2. 强调三角函数在实际问题中的应用重要性及解题技巧。
3. 鼓励学生多加练习，提高解决实际问题的能力。
五、作业
1. 布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
2. 鼓励学生自主探索三角函数的应用，提高解题能力。
教学反思：
通过这节讲座，学生能够深入理解三角函数的应用，提高解决实际问题的能力。
教师在教学中要注重引导学生思考，鼓励他们探索解题方法，培养学生的数学思维和分析能力。
同时，要注意调动学生的学习积极性，激发他们对数学的兴趣和热情。
高中数学复习专题讲座
高中数学复习专题讲座
前言
本次数学复专题讲座旨在帮助高中学生全面复和巩固数学知识，提高数学应试能力。
在这个讲座中，我们将对高中数学的各个知识
点进行系统性讲解和练。
专题一：代数与函数
1.1 一次函数与二次函数
- 理解一次函数与二次函数的定义及性质
- 掌握一次函数与二次函数的图像的绘制方法
- 学会解一次方程与二次方程
1.2 指数与对数函数
- 理解指数与对数函数的定义与性质
- 掌握指数与对数函数的图像的绘制方法
- 学会解指数与对数方程
专题二：几何与三角
2.1 三角函数
- 了解三角函数的定义及其基本性质
- 掌握正弦、余弦和正切函数在单位圆上的性质和应用- 学会解三角方程和利用三角函数求解实际问题
2.2 平面几何
- 熟悉平面几何的基本概念和性质
- 掌握平面几何中的重要定理和推理方法
- 学会运用平面几何解决实际问题
专题三：概率与统计
3.1 概率
- 理解概率的基本概念和性质
- 掌握概率计算的基本方法和技巧
- 学会应用概率解决实际问题
3.2 统计
- 了解统计学的基本概念和方法
- 掌握统计分布的计算和数据分析的技巧
- 学会运用统计学方法研究实际问题
结语
本次高中数学复专题讲座涵盖了代数与函数、几何与三角、概率与统计三个专题，重点讲解了各个知识点的定义、性质和应用。
通过参与讲座并积极实践，相信您的数学水平会有明显提高，为应对高考做好准备。
祝愿大家在数学学习中取得优异成绩！。
高中数学讲座精选教案范文
高中数学讲座精选教案范文主题：解方程及其应用教学目标：1. 了解和掌握一元一次方程的定义和解题方法。
2. 能够解决实际问题中出现的一元一次方程。
3. 能够掌握一元一次方程组的定义和解题方法。
4. 能够解决实际问题中出现的一元一次方程组。
教学内容及安排：1. 一元一次方程的定义和解题方法（20分钟）- 介绍一元一次方程的定义和基本形式。
- 通过示例讲解一元一次方程的解题方法。
- 练习解决一元一次方程的相关习题。
2. 一元一次方程在实际问题中的应用（20分钟）- 通过实际问题引入一元一次方程的应用。
- 通过实际问题演示一元一次方程的解题过程。
- 学生练习解决一元一次方程应用问题。
3. 一元一次方程组的定义和解题方法（20分钟）- 介绍一元一次方程组的定义和基本形式。
- 通过示例讲解一元一次方程组的解题方法。
- 练习解决一元一次方程组的相关习题。
4. 一元一次方程组在实际问题中的应用（20分钟）- 通过实际问题引入一元一次方程组的应用。
- 通过实际问题演示一元一次方程组的解题过程。
- 学生练习解决一元一次方程组应用问题。
教学方法及手段：1. 讲授结合练习：通过讲解理论知识并结合相关练习，以帮助学生更好地理解和掌握解题方法。
2. 示例演示：通过实际问题演示解题过程，以帮助学生理解一元一次方程及方程组的应用。
3. 互动讨论：鼓励学生积极参与教学过程，提出问题和思考，以促进学生的思维深入和发展。
评价方法：1. 教师在教学过程中及时给予学生反馈，对学生的掌握情况进行评价。
2. 布置相关练习和作业，及时批改并对学生的表现进行评价。
3. 定期进行小测验和考试，对学生的学习情况进行定量评价。
教学反思：在教学中，应根据学生的实际情况和水平，进行针对性的教学设计和教学安排。
同时，要注重引导学生主动参与学习，培养学生的解决问题的能力和思维能力。
通过多种教学手段和评价方式，全面提高学生的数学学习水平。
高三数学考前辅导专题讲座
从题设条件出发，通过运算或推理，直接求得结
2
论；再与选择支对照。
例:已知函数y=f(x)存在反函数y=g(x)，若f(3)= －1，
则函数y=g(x－1)的图像在下列各点中必经过（ ）
A．(－2,3) B．(0,3) C．(2,－1) D．(4,－1)
解:由题意函数y=f(x)图像过点(3,－1)，它的反函数
例.关于x的方程
=k(x-2)有两个不等实根,则
实数k的取值范围是 。
解:令y1=
,y2=k(x-2),画图计算得-
<k≤0。
4、构造法:
在解题中有时需根据题目的具体情况,设计新的
模式解题,这种设计工作，通常称之为构造模式
解法，简称构造法。
例:点P在正方形ABCD所在的平面外，PD⊥ABCD，
例:已知双曲线中心在原点且一焦点为
直线
与其交于M、N两点,MN中点横坐标为
，则此双曲线的方程是
B.
C.
D.
A.
解:设方程为
,由点差法得
选D.注:不必解m、n
6、推理分析法:
①特征分析法:根据题目所提供信息,如数值特征、 结构特征、位置特征等，进行快速推理,作出判断 的方法.
例:已知sinθ=
,cosθ=
二、填空题解题策略
同选择题一样,填空题也属小题,其解题的基本原 则是“小题不能大做”。解题基本策略是:巧做. 解题基本方法一般有：直接求解法、图像法、构 造法和特殊化法(特殊值、特殊函数、特殊角、特 殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特 殊模型)
1、直接求解法
直接从题设条件出发,用定义、性质、定理、 公式等,经变形、推理、计算、判断等得到正确结 论.这是解填空题常用的基本方法,使用时要善于“透 过现象抓本质”。力求灵活、简捷。
高三数学第二轮复习专题讲座 人教版
高三数学第二轮复习专题讲座 人教版专题一 函数考点高考要求 1 映射的概念 了解 2 函数的概念 理解 3 函数的单调性的概念 了解 4 简单函数单调性的判断 掌握 5 函数的奇偶性 了解 6 反函数的概念了解 7 互为反函数的函数图象间的关系 了解 8 简单函数的反函数的求法 掌握 9 分数指数幂的概念 理解 10 有理数指数幂的运算性质 掌握 11 指数函数的概念、图象和性质 掌握 12 对数的概念 理解 13 对数的运算法制掌握 14 对数函数的概念、图象和性质 掌握 15运用函数的性质解决简单的实际问题掌握说明：1．了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，并能在有关的问题中直接应用；2．理解和掌握：要求对所列知识内容有较为深刻的理性认识，能够解释、举例或变形、推断，并能利用知识解决有关问题；3．灵活和综合运用：要求系统的掌握知识的内在联系，能够运用所列知识分析和解决较为复杂的或综合性的问题．（以下两点分析主要针对的是2004年全国各地的高考试题，共15套） 二、高考考点分析：在2004年全国各地的高考题中，考查函数的试题或与函数有关的试题大约有56道，在150分中约占25分到30分．对函数，常常从以下几个方面加以考查．1知识点函数的解析式 定义域和值域（包括最大值和最小值） 函数的单调性 函数的奇偶性和周期性 函数的反函数 题量27335函数和一些分段函数，简单的函数方程为背景，难度以中等题和容易题为主，如： 例1．（重庆市）函数)23(log 21-=x y 的定义域是（ D ）A 、[1,)+∞B 、23(,)+∞C 、23[,1]D 、23(,1]例2．（天津市）函数123-=xy （01<≤-x ）的反函数是（ D ）A 、)31(log 13≥+=x x yB 、)31(log 13≥+-=x x yC 、)131(log 13≤<+=x x yD 、)131(log 13≤<+-=x x y也有个别小题的难度较大，如 例3．（北京市）函数,,(),,x x P f x x x M ∈⎧=⎨-∈⎩其中P 、M 为实数集R 的两个非空子集，又规定f P y y f x x P (){|(),}==∈，f M y y f x x M (){|(),}==∈，给出下列四个判断：①若P M ⋂=∅，则f P f M ()()⋂=∅ ②若P M ⋂≠∅，则f P f M ()()⋂≠∅ ③若P M ⋃=R ，则()()f P f M ⋃=R ④若P M R ⋃≠，则()()f P f M ⋃≠R 其中正确判断有（ B ）A 、 1个B 、 2个C 、 3个D 、 4个分析：若P M ⋂≠∅，则只有}0{=⋂M P 这一种可能．②和④是正确的．2．对数形结合思想、函数图象及其变换的考查．对图象的考查有6道试题，也以小题为主，难度为中等． 例4．（上海市）设奇函数f (x )的定义域为[-5，5]．若当x ∈[0，5]时f (x )的图象如右图，则不等式f (x )<0的解是]5,2()0,2( -． 例5．（上海市）若函数y =f (x )的图象可由函数y =lg(x +1)的图象绕坐标原点O 逆时针旋转2π得到，则f （x ）为（ A ） A 、10-x-1 B 、10x-1 C 、1-10-xD 、1-10x3．对函数思想的考查．利用函数的图象研究方程的解；利用函数的单调性证明不等式（常常利用函数的导数来判断和证明函数的单调性）；利用函数的最值说明不等式恒成立等问题．在全部考题中，有7道小题考查了用函数研究方程或不等式的问题，有14道大题考查了函数与方程、不等式、数列等的综合问题． 例6．（1）（浙江省）已知⎩⎨⎧≥<-=,0,1,0,1)(x x x f 则不等式)2()2(+⋅++x f x x ≤5的解集是]23,(-∞．（2）（全国卷3）设函数2(1),1,()41, 1,x x f x x x ⎧+<⎪=⎨--≥⎪⎩则使得f (x )≥1的自变量x 的取值范围为（ A ）A 、(-∞,-2][0,10]B 、(-∞,-2][0,1]C 、(-∞,-2][1,10] D 、[-2,0][1,10]例7．（上海市）已知二次函数y =f 1（x ）的图象以原点为顶点且过点（1，1），反比例函数y =f 2（x ）的图象与直线y =x 的两个交点间距离为8，f （x ）= f 1（x ）+ f 2（x ）． （1）求函数f （x ）的表达式；（2）证明：当a >3时，关于x 的方程f (x )= f (a )有三个实数解．解：（1）由已知,设f 1(x )=ax 2，由f 1(1)=1，得a =1，故f 1(x )= x 2．设f 2(x )=xk(k >0)，它的图象与直线y =x 的交点分别为A (k ，k )、B (－k ,－k ) 由AB =8，得k =8，故f 2(x )=x 8．所以f (x )=x 2+x8． （2）证法一：由f （x ）=f （a ）得x 2+x 8=a 2+a 8， 即x 8=－x 2+a 2+a 8．在同一坐标系内作出f 2(x )=x 8和f 3(x )= －x 2+a 2+a8的大致图象，其中f 2(x )的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线，f 3(x )的图象是以(0，a 2+a8)为顶点，开口向下的抛物线．因此,，f 2(x )与f 3(x )的图象在第三象限有一个交点，即f (x )=f (a )有一个负数解． 又因为f 2(2)=4,，f 3(2)= －4+a 2+a8 当a >3时，f 3(2)－f 2(2)= a 2+a8－8>0, 所以当a >3时，在第一象限f 3(x )的图象上存在一点(2，f (2))在f 2(x )图象的上方． 所以f 2(x )与f 3(x )的图象在第一象限有两个交点，即f (x )=f (a )有两个正数解． 因此，方程f (x )=f (a )有三个实数解． 证法二：由f (x )=f (a )，得x 2+x 8=a 2+a 8， 即(x －a )(x +a －ax8)=0，得方程的一个解x 1=a ． 方程x +a －ax8=0化为ax 2+a 2x －8=0，由a >3，∆=a 4+32a >0，得 x 2=a a a a 23242+--， x 3=aa a a 23242++-，因为x 2<0, x 3>0, 所以x 1≠ x 2，且x 2≠ x 3．若x 1= x 3，即a =aa a a 23242++-，则3a 2=a a 324+， a 4=4a ，得a =0或a =34，这与a >3矛盾，所以x 1≠ x 3． 故原方程f (x )=f (a )有三个实数解． 例8．（福建高考题）已知f (x )=2324()3x ax x x +-∈R 在区间[－1，1]上是增函数． （Ⅰ）求实数a 的值组成的集合A ； （Ⅱ）设关于x 的方程f (x )=3312x x +的两个非零实根为x 1、x 2．试问：是否存在实数m ，使得不等式m 2+tm +1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）f ＇(x )=4+2,22x ax - ∵f (x )在[－1，1]上是增函数，∴f ＇(x)≥0对x ∈[－1，1]恒成立，即x 2－ax －2≤0对x ∈[－1，1]恒成立． ①设ϕ(x )=x 2－ax －2，方法一：① ⇔ ⎩⎨⎧≤-+=-≤--=021)1(021)1(a a ϕϕ ⇔－1≤a ≤1，∵对x ∈[－1，1]，只有当a =1时，f ＇(-1)=0以及当a =－1时，f ＇(1)=0∴A ={a |－1≤a ≤1}.方法二：①⇔ ⎪⎩⎪⎨⎧≤-+=-≥021)1(02a a ϕ或⎪⎩⎪⎨⎧≤--=<021)1(02a a ϕ⇔ 0≤a ≤1或－1≤a ≤0⇔ －1≤a ≤1．∵对x ∈[－1，1]，只有当a =1时，f ＇(－1)=0以及当a =－1时，f ＇(1)=0， ∴A ={a |－1≤a ≤1}． （Ⅱ）由,02,0,3123242332=--=+=-+ax x x x x x ax x 或得 ∵△=a 2+8>0，∴x 1，x 2是方程x 2－ax －2=0的两非零实根，x 1+x 2=a ，x 1x 2=－2， 从而|x 1－x 2|=212214)(x x x x -+=82+a ． ∵－1≤a ≤1，∴|x 1-x 2|=82+a ≤3．要使不等式m 2+tm +1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立， 当且仅当m 2+tm +1≥3对任意t ∈[－1，1]恒成立，即m 2+tm －2≥0对任意t ∈[－1，1]恒成立. ②设g(t)=m 2+tm －2=mt +(m 2－2)，方法一：②⇔ g (－1)=m 2－m －2≥0且g (1)=m 2+m －2≥0，⇔m ≥2或m ≤－2.所以，存在实数m ，使不等式m 2+tm +1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m |m ≥2，或m ≤－2}. 方法二：当m =0时，②显然不成立；当m ≠0时，②⇔m >0，g (－1)=m 2－m －2≥0 或m <0，g (1)=m 2+m －2≥0 ⇔ m ≥2或m ≤－2.所以，存在实数m ，使不等式m 2+tm +1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m |m ≥2，或m ≤－2}.说明：本题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力． 三、高考热点分析函数几乎贯穿了高中数学的始末，它与高中数学的每一部分内容几乎都有联系．对函数的认识，应该包含对函数的概念和性质的理解；对二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数和分段函数的概念和性质的理解；函数图象的变换和应用；建立函数模型解决问题的意识等．在复习过程中，以下几点值得重视：1．重视对函数概念和基本性质的理解．包括定义域、值域（最值）、对应法则、对称性（包括奇偶性）、单调性、周期性、反函数、图象变换、基本初等函数（常常是载体）等．研究函数的性质要注意分析函数解析式的特征，同时要注意函数图象（形）的作用．对这部分知识的考查，除了一部分比较简单的小题直接考查函数某一方面的性质外，常常是对函数综合的类型较多（中等难度题，以小题和前三道大题为主），包括函数内部多种知识的综合，函数同方程、不等式、数列的综合．例1．（北京市）函数f x x ax ()=--223在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是（ D ）A . a ∈-∞(,]1B . a ∈+∞[,)2C . a ∈[,]12D . a ∈-∞⋃+∞(,][,)12 说明：涉及二次函数的单调性、反函数的概念、充分必要条件等知识．例2． （福建省）已知函数y =log 2x 的反函数是y =f —1(x )，则函数y = f —1(1－x )的图象是（ C ）例3．（全国高考题3）已知函数y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )=3x -1，设f (x )的反函数是y =g (x )，则g (-8)=___-2_____．例4．（湖北省）函数]1,0[)1(log )(2在++=x a x f a 上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为（ B ）A 、41B 、21 C 、2 D 、4例5．（北京市）在函数f x ax bx c ()=++2中，若a ，b ，c 成等比数列且f ()04=-，则f x ()有最大 值（填“大”或“小”），且该值为-3．例6．（湖南省）设函数,2)2(),0()4(.0,2,0,)(2-=-=-⎩⎨⎧>≤++=f f f x x c bx x x f 若则关于x 的方程x x f =)(解的个数为（ C ）A 、1B 、2C 、3D 、4例7．（江苏省）设k >1，f (x )=k (x -1)(x ∈R ) ．在平面直角坐标系xOy 中，函数y =f (x )的图象与x 轴交于A 点，它的反函数y =f -1(x )的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P 点．已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于（ B ）A 、3B 、32C 、43D 、65例8．（上海市）记函数f (x )=132++-x x 的定义域为A ，g (x )=lg [(x －a －1)(2a －x )](a <1) 的定义域为B ． （1）求A ；（2）若B ⊆A , 求实数a 的取值范围． 解：（1）2－13++x x ≥0，得11+-x x ≥0， x <－1或x ≥1，即A =(－∞，－1) [1，+ ∞)． （2）由(x －a －1)(2a －x )>0，得(x －a －1)(x －2a )<0．因为a <1，所以a +1>2a ，故B =(2a ，a +1)． 因为B ⊆A ，所以2a ≥1或a +1≤－1，即a ≥21或a ≤－2，而a <1， 所以21≤a <1或a ≤－2，故当B ⊆A 时，实数a 的取值范围是(－∞，－2] [21，1)．例9．（2003年全国理科高考题）已知.0>c 设P ：函数xc y =在R 上单调递减.Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R ，如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围.解：函数xc y =在R 上单调递减.10<<⇔c不等式|2|1|2| 1.x x c R y x x c +->⇔=+-R 的解集为函数在上恒大于 22,2,|2|2,2,1|2|2.|2|121.211,,0.,, 1.(0,][1,).22x c x c x x c c x c y x x c c x x c R c c P Q c P Q c c -≥⎧+-=⎨<⎩∴=+-∴+->⇔>⇔><≤≥⋃+∞R 函数在上的最小值为不等式的解集为如果正确且不正确则如果不正确且正确则所以的取值范围为 2．重视利用导数研究函数的单调性等性质，进而证明一些不等式或转化一些不等式恒成立问题． 例10．（全国高考题1）已知13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围. 分析：函数13)(23+-+=x x ax x f 在R 上递减等价于0)(≤'x f 恒成立．解：函数f (x )的导数：.163)(2-+='x ax x f当0)(≤'x f （x ∈R ）时，)(x f 是减函数.23610()ax x x +-≤∈R .3012360-≤⇔≤+=∆<⇔a a a 且所以，所求a 的取值范围是（].3,-∞-说明：这类问题在2004年全国各地的高考题中大量出现，需重视． 例11．（重庆市）设函数()(1)(),(1)f x x x x a a =-->（1）求导数/()f x ；并证明()f x 有两个不同的极值点12,x x ； （2）若不等式12()()0f x f x +≤成立，求a 的取值范围． 解：（1）.)1(23)(2a x a x x f ++-='.0)(,;0)(,;0)(,:)())((3)(,,,,04)1(4.0)1(230)(221121212122>'><'<<<'<'--='<>≥+-=∆=++-='x f x x x f x x x x f x x x f x x x x x f x x x x a a a a x a x x f 时当时当时当的符号如下可判断由不妨设故方程有两个不同实根因得方程令因此1x 是极大值点，2x 是极小值点.（2）因故得不等式,0)()(21≤+x f x f ：.0)(]2))[(1(]3))[((.0)())(1(212122121221212122213231≤++-++--++≤++++-+x x a x x x x a x x x x x x x x a x x a x x 即又由（I ）知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+.3),1(322121a x x a x x ，代入前面不等式，两边除以（1+a ），并化简得.02522≥+-a a.0)()(,2,.)(212:21成立不等式时当因此舍去或解不等式得≤+≥≤≥x f x f a a a 例12．（2003年江苏高考题）已知n a ,0>为正整数. （Ⅰ）设1)(,)(--='-=n n a x n y a x y 证明；（Ⅱ）设).()1()1(,,)()(1n f n n f a n a x x x f n n n n n '+>+'≥--=+证明对任意证明：（Ⅰ）因为nk knnC a x 0)(=∑=-k kn x a --)(，所以1)(--=-='∑k kn nk kn xa kC y nk n 0=∑=.)()(1111------=-n k k n k n a x n x a C （Ⅱ）对函数nn n a x x x f )()(--=求导数:nn n n n n n n n n n n n n a n n a n n a n x a x x x f a x x f a x a n n n n f a x n nx x f )()1()1(,,.)()(,.0)(,0].)([)(,)()(1111-->-+-+≥--=≥∴>'>≥--='--='----时当因此的增函数是关于时当时当所以∴))()(1(])1()1)[(1()1(1n n n n n a n n n a n n n n f --+>-+-++=+'+ ).()1())()(1(1n f n a n n n n n n n '+=--+>- 即对任意).()1()1(,1n f n n f a n n n '+>+'≥+四、二轮复习建议（正文用宋体五号字）1．进一步加强对基本概念、基础知识、基本方法的理解和训练（在函数性质和函数与其他知识的小综合上要多加训练，这是关键）．2．在二轮复习过程中，做两件事情：一是分专题讲解“函数、导数与不等式”（重点）、“函数与数列”，二是在整个复习过程中，不断渗透函数的思想方法和数形结合的思想方法． 一些备选例题：1．（2000年春季）已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 的图象如图所示，则（ A ）A 、b ∈(-∞，0)B 、 b ∈(0,1)C 、 b ∈(1,2)D 、 b ∈(2,+∞) 分析：显然，（想方程）方程f (x )=0的根为0、1、2，所以，可以设f (x )=ax (x -1)(x -2)，与f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 比较可得：b =-3a ．（想不等式）又x >2时，有f （x ）>0，于是有a >0，故b <0.2．（2000年上海）已知函数f (x )=xax x ++22,x ∈[)+∞,1.（1）当a =21时，求函数f (x )的最小值； （2）若对任意的x ∈[)+∞,1,f (x )>0恒成立，试求a 的取值范围．分析：本题考查求函数的最值的方法，以及等价变换和函数思想的运用．当a =21时，f (x )=221++xx ≥222212+=+⋅x x ，当且仅当22,21==x x x 即时等号成立，而[)∞+∉122，也就是说这个最小值是取不到的． 解：(1)当a =21时，f (x )=221++xx ，函数f (x )在区间[)+∞,1上为增函数（证明略），所以当x =1时，取到最小值f (1)=3.5.(2)解法一：f (x )>0恒成立，就是x 2+2x +a >0恒成立，而函数g (x )=x 2+2x +a 在[)+∞,1上增函数，所以当x =1时，g (x )取到最小值3+a ，故3+a >0，得：a >-3．解法二：f (x )>0恒成立，就是x 2+2x +a >0恒成立，即a >-x 2-2x 恒成立，这只要a 大于函数-x 2-2x 的最大值即可．而函数-x 2-2x 在[)+∞,1上为减函数，当x =1时，函数-x 2-2x 取到最大值-3，所以a >-3．说明：函数、方程不等式之间有着密切的联系，在解题时要重视这种联系，要善于从函数的高度理解方程和不等式的问题，也要善于利用方程和不等式的知识解决函数的问题．3．某工厂有一个容量为300吨的水塔，每天从早上6时起到晚上10时止供应该厂的生产和生活用水，已知该厂生活用水为每小时10吨，工业用水量W （吨）与时间t （小时，且规定早上6时t ＝0）的函数关系为W ＝100t ．水塔的进水量分为10级，第一级每小时进水10吨，以后每提高一级，每小时进水量就增加10吨．若某天水塔原有水100吨，在开始供水的同时打开进水管，问进水量选择为第几级时，既能保证该厂的用水（水塔中水不空）又不会使水溢出?分析：本题主要考查由实际问题建立函数关系式、并利用函数关系解决实际问题.解本题时, 在建立函数关系式后,根据题意应有0＜y ≤300对t 恒成立（注意区分不等式恒成立和解不等式的关系）． 解：设进水量选第x 级，则t 小时后水塔中水的剩余量为y ＝100＋10xt －10t －100t ，且0≤t ≤16．根据题意0＜y ≤300，∴0＜100＋10xt －10t －100t ≤300．0 1 2 xy由左边得x ＞1＋10（t t11-）＝1＋10〔－2)211(-t ＋41〕， 当t ＝4时，1＋10〔－2)211(-t ＋41〕有最大值3．5．∴x ＞3．5．由右边得x ≤t t 1020+＋1，当t ＝16时，tt 1020+＋1有最小值4．75，∴x ≤4．75． 综合上述，进水量应选为第4级．说明：a 为实数，函数f (x )定义域为D ，若a >f (x )对x D ∈恒成立，则a >f (x )的最大值；若a <f (x )对x D ∈恒成立，则a <f (x )的最小值．4．设()x f 是定义在[-1，1]上的偶函数，()x g 与()x f 的图象关于直线01=-x 对称．且当[]3,2∈x 时，()()()()为实数a x x a x g 32422---⋅=（1）求函数()x f 的表达式；（2）在(]6,2∈a 或()+∞,6的情况下，分别讨论函数()x f 的最大值，并指出a 为何值时，()x f 的图像的最高点恰好落在直线12=y 上．分析：（1）注意到()x g 是定义在区间[]3,2上的函数，因此，根据对称性，我们只能求出()x f 在区间[]0,1-上的解析式，()x f 在区间[]1,0上的解析式，则可以根据函数的奇偶性去求．简答：()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-≤≤-+-=1024012433x ax x x ax x x f（2）因为()x f 为偶函数，所以，()x f （11≤≤-x ）的最大值，必等于()x f 在区间[]1,0上的最大值．故只需考虑10≤≤x 的情形，此时，()ax x x f 243+-=．对于这个三次函数，要求其最大值，比较容易想到的方法是：考虑其单调性．因此，可以求函数()x f 的导数．简答：如果()+∞∈,6a 可解得：8=a ； 如果(]6,2∈a ，可解得：61833>=a ，与(]6,2∈a 矛盾．故当8=a 时，函数()x f 的图像的最高点恰好落在直线12=y 上．说明：（1）函数的单调性为研究最值提供了可能；（2）奇偶性可以使得我们在研究函数性质时，将问题简化到定义域的对称区间上． 5．已知函数3211()(1)32f x x b x cx =+-+ (b 、c 为常数),(Ⅰ) 若()f x 在x =1和x =3处取得极值，试求b 、c 的值；(Ⅱ)若()f x 在12(,),(,)x x x ∈-∞+∞上单调递增且在12(,)x x x ∈上单调递减,又满足211x x ->，求证：22(2)b b c >+；(Ⅲ) 在（Ⅱ）的条件下，若1t x <，试比较2t bt c ++与1x 的大小，并加以证明． 解： (Ⅰ)'2()(1)f x x b x c =+-+，由题意得:1和3是方程2(1)0x b x c +-+=的两根，113,1 3.b c -=+⎧∴⎨=⨯⎩解得3,3.b c =-⎧⎨=⎩ (Ⅱ)由题得:当12(,),(,)x x x ∈-∞+∞时，'()0f x >；12(,)x x x ∈时, '()0f x <．12,x x ∴是方程2(1)0x b x c +-+=的两根，则12121,,x x b x x c +=-=222121212212122212(2)24[1()]2[1()]4()41() 1.b bc b b cx x x x x x x x x x x x ∴-+=--=-+--+-=+--=--211x x ->,2221()10,2(2)x x b b c ∴-->∴>+.(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,由上一问知212(1)()(),x b x c x x x x +-+=-- 即212()(),x bx c x x x x x ++=--+所以2112112()()()(1),t bt c x t x t x t x t x t x ++-=--+-=-+-2121111,10,0,0,x x t t x t x t x >+>+∴+-<<<∴-<又 2121()(1)0,.t x t x t bt c x ∴-+->++>即。
高中数学竞赛专题讲座---同余理论及其应用(二)
数论定理一. 知识要点1. 欧拉定理和费尔马小定理缩系的定义：设m 为正整数，一个模m 的剩余类称为与模m 互素的余类，如果它中的数与m 互素．在与模m 互素的各个剩余类中分别取一个代表所构成的集合称为模m 的一组缩系．很显然，缩系具有以下性质：（1）模m 的缩系中含有ϕ（m ）个数（ϕ（m ）是小于m 的正整数中且与m 互素的个数）．（2）设()m r r ϕ ,1是ϕ（m ）个与m 互素的整数，则()m r r ϕ ,1模m 两两不同余．（3）设()1,=m a ，且()m r r ϕ ,1是模m 的一组缩系，则()m ar ar ar ϕ,,,21 是模m 的一组缩系．欧拉（Euler ）定理：设m 是大于1的整数，a 为整数，且()1,=m a ，则()()m a m mod 1≡ϕ．For personal use only in study and research; not for commercial use解：设()m x x x ϕ,,,21 是模m 的缩系．因为()1,=m a ，所以()m ax ax ax ϕ,,,21 也是模m 的缩系．这两个缩系分别乘起来得()()()m x x x ax ax ax m m mod ·2121ϕϕ ≡，且()()1,21=m x x x m ϕ ．从而()()m a m mod 1≡ϕ )()m a m mod 1≡ϕ．特别地，取m 为质数p ，有费尔马（Fermat ）小定理：设p 为质数，a 为整数，p a ，则()p a p mod 11≡-．它也常常写成()p a a p mod ≡．这里不需假定p a ，但p 应为素数．For personal use only in study and research; not for commercial use2. 中国剩余定理（孙子定理）中国剩余定理：设k m m m ,,21是两两互质的正整数，k a a a ,,,21 是任意整数，则同余方程组()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡=≡.mod ,mod ,mod 2211k k m a x m a x m a x 对模k m m m 21有唯一解． 解：设()k i m m m m M iki ,,2,121 ==．依题设，有()1,=i i m M ，由裴蜀定理知，存在整数i b ，使得()i i i m b M mod 1≡，k i ,2,1=．对k k k M b a M b a M b a x +++= 222111，其中i i i M b a 能被k i i m m m m ,,,,111+-整除，而被i m 除的余数恰为i a ．从而∑==ki i i i M b a x 1是同余方程组的解．又设x ，y 均为同余方程组的解，则有y x m -1，y x m -2，…，y x m k -，即y x m m m k - 21，亦即()k m m m y x 21mod ≡．所以同余方程组对模k m m m 21有唯一解．3. 威尔逊（wilson ）定理威尔逊（wilson ）定理：设p 为质数，则()()p p mod 1!1-≡-．解：对于任意整数a ，且1≤a ≤p －1，由裴蜀定理知，存在整数a ’，使得()p aa mod 1'≡．称a ’为a 的数论倒数，且不妨设1≤a ’≤p －1．若有整数b ，满足()p ba mod 1'≡，则将此式两边同乘以a ，有()p a b mod ≡．这说明对于不同整数a ，1≤a ≤p －1，对应着不同的数论倒数a ’．又若整数a 的数论倒数是它自身，则()p a a mod 1≡⋅，亦即()()()p a a mod 011≡-+，故1≡a 或()p mod 1-．当2=p 时，显然有()()p p mod 1!1-≡-．当p ＞2时，有2，3，…，p －2这p －3个数恰好配成互为数论倒数的23-p 对数，故它们的积()()p p p mod 1123223≡≡-⨯⨯⨯- ．于是()()()p p p mod 1111!1-≡-⨯⨯≡-．4. 拉格朗日定理设p 为质数，n 是非负整数，多项式()01a x a x a x f n n +++= 是一个模p 为n 次的整系数多项式（即p a n ），则同余方程()()p x f mod 0≡ （※），至多有n 个解（在模p 的意义下）．证明：我们对n 用归纳法．当0=n 时，()0a x f =，因为p a 0，故同余方程（※）无解，命题成立．设当l n =时命题成立，则当1+=l n 时，若命题不成立，即同余方程（※）至少有2+l 个解，设为()p c c c x l mod ,,,221+≡ ①，我们考虑多项式()()()()()11111111c x a c x a c x a c f x f l l l l l l -++-+-=-+++ )()111c x a c l l-++- ()()()()x h c x x a c x l l 111-=+-=+ ②，其中()x h 是l 次多项式并且首项系数1+l a ，满足1+l a p ，从而由归纳假设知l 次同余方程()()p x h mod 0≡ ③，至多有个l 个解，但由①，②可知同余方程③至少有l ＋1个解．()p c c c x l mod ,,,232+≡ ，矛盾！故当1+=l n 时命题成立．综上所述，命题得证．二. 典型例题例1. 已知正整数k ≥2，k p p p ,,,21 为奇质数，且()1,21=k p p p a ．证明：()()()111121----k p p p a 有不同于k p p p ,,21的奇质因数．证明：由()1,21=k p p p a ，有()1,1=p a ．由费尔马小定理，()11mod 11p ap ≡-．又k ≥2，p p p ,,,32 k p p p ,,,32 为奇质数，则()()()211121---k p p p 为正整数，从而()()()()12111mod 121p ak p p p ≡--- ，即()()()12111121----k p p p ap .同理，()()()1211121--⋯--k p p p a能被P 2，P 3，…P k 整除，从而()()()1211121+-⋯--k p p p a不能被k p p p p ,,,,321 整除．注意到()()()211121---k p p p 是一个偶数，则()()()0211121≡---k p p p a或1（mod4），因此4不整除()()()1211121+---k p p p a，故()()()1211121+---k p p p a异于k p p p ,,,21 的奇质因数．所以()()()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-------1121111112121k k p p p p p p a a()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---1211121k p pp a有异于k p p p ,,,21 的奇质因数．例2. 对于自然数n ，如果对于任何整数a ，只要1-n a n ，就有12-na n ，则称n 具有性质P ．（34届IMO预）（1）求证：每个素数n 都具有性质P ． （2）求证：有无穷多个合数也都具有性质P ．证：（1）设p n =为素数且1-p a p ，于是()1,=p a ．由费尔马小定理知11--p a p ，而()()1111-+-=--a a a a p p ．故1-a p ，即()p a m o d 1≡．因此，()p a i mod 1≡，1,,2,1,0-=p i ．上述p 个同余式累和，得()p p a a a p p mod 0121≡≡++++-- ．故()()11212++++---a a a a p p p ，即12-pa p ．（2）设n 是具有性质P 的合数．若1-na n ，则()1,=a n ．由欧拉定理，有()()n a n mod 1≡ϕ，又因()n a n mod 1≡，由阶的性质知，()()()n a n n mod 1,≡ϕ．如果()()1,=n n ϕ，则()n a mod 1≡，于是利用（1）中证明可得12-na n ．因此，问题化为求无穷多个合数n ，使()()1,=n n ϕ．对任何素数p ≥5，取p －2的素因数q ，并令pq n =．这时()()()11--=q p n ϕ．因为()2-p q ，所以q (p －1)．又因q ≤p －2＜p ，故p (q －1)．因此，有()()1,=n n ϕ．对于每个这样的合数n ，若()1-na n ，则()1-a n ，因而()n a k mod 1≡，,2,1,0=k ．故()12-n a n ．因为对于每个素数p ≥5都可按上述程序得到具有性质P 的相应合数()p n ，且p ＜()p n ＜p 2，所以，有无穷多个合数n 具有性质P ．例3. 求所有整数n ≥2，满足：对所有的整数a ，b ，且()()1,,==n b n a ，()n b a mod ≡的充分必要条件是()n ab mod 1≡．（第41届IMO 预选题）解：若n 有奇素因子p ，设n p a||，记1n p n a⋅=，N a ∈．由中国剩余定理知，存在Z x ∈，使()n x mod 1≡，()a p x mod 2≡，则()1,=n x ．取x b a ==，即知()n x mod 12≡，从而()a p mod 14≡，故3=p ，且1=a ．因此()1,5=n ．取5==b a ，即知()n mod 125≡，从而24n ，故,12,8,6,4,3,2=n 24,12,8,6,4,3,2．下证：当n 取上述值时，满足条件．注意到，当2 a 时，有()8mod 12≡a ；当3 a 时，有()3mod 12≡a ，又24n ，32243⨯=，故必有()n a mo d 12≡（因为()1,=n a ）．对Z b a ∈,，且()()1,,==n b n a ，()n b a mod ≡，则()n ab mod 1≡．对Z b a ∈,，且()()1,,==n b n a ， ()n ab mod 1≡，则()n ab a mod 12≡≡．从而()a b a n -又()1,=n a ，有()b a n -，即()n b a mod ≡．综上，所求n 的值为2，3，4，6，8，12，24．例4. 求所有正整数n ，满足对所有的正整数n ，存在一个整数m ，使12-n是92+m 的因子．（第39届IMO 预选题）解：引理1：若p 为4k －1（k ≥2）型质数，则不存在Z m ∈，使()p m mod 92-≡．证明：设)p m m mod 31≡()p m m mod 31≡（∵()13,=p ，∴m 1存在），N m ∈1．又∵()p m mod 912-≡, ∴)(mod 121p m -≡．由费马小定理知，()()()p m m p p p mod 11121212111-=-≡=≡---，矛盾．引理2：当1≤i ＜j 时，有()112,1222=++ji )112,12=++j，且()13,122=+i ．证明：∵()()()()12mod 211121222222+≡+-≡+=+--i i j ij ij ，∴()()12,1212,12222=+=++ij i )()12,1212,122=+=++i j．又∵()()3mod 2111222≡+-≡+i i ，∴()()13,23,122==+i．对于原题，若()()9122+-m n，n ≥2．设t n S ⋅=2，2 t ．若t ≥3，则()()1212-+n t ，从而()()9122+-m t ．又必存在4k －1型素数p ，且3≠p ，()12-tp （否则，()4mod 1111121≡⨯⨯⨯≡-≡- t ，矛盾）．此时()92+m p ，与引理1矛盾．故t =1，从而S n 2=，且()()()1212123121212222+++⋅=--S S．由引理2及中国剩余定理知，存在N m ∈1，使()()12m o d 22211+≡-ii m ，i =1，2，…，s －1．故()((2m o d0121222211≡+≡+-i m )()()12mod 0122221+≡+≡-ii ．令13m m =，有()()()12mod 013922122-≡+=+Sm m ．因此，()()9122+-m n ．综上，所求正整数n 为2的幂次2i （i =1，2，…）．数论中存在性问题是最常见的，除了运用数论存在性定理来解决外，还需要有直接构造的能力．例5. 证明：每个正有理数能被表示成3333d c b a ++的形式，且其中a ，b ，c ，d 是正整数．（40届IMO 预选题）证明：设该正有理数为p ．（1）当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,21p 时，()()()()333321121p p p p p -++-++=，其中2p －1，2－p ，p ＋1+∈Q ．（2）当p ≥2时，由于⎪⎭⎫ ⎝⎛∈⎪⎭⎫ ⎝⎛1,41323，故有N n ∈，使⎪⎭⎫ ⎝⎛∈⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21323p n，由（1）有333333333322132132213223⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=p p p p p n n n n n ．（3）当⎥⎦⎤ ⎝⎛∈21,0p 时，由于()4,1233∈⎪⎭⎫ ⎝⎛，故有N n ∈，使⎪⎭⎫ ⎝⎛∈⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛2,21233p n ，由（1）有333333333232123123212332⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=p p p p p n n n n n ．综上，总有+∈Q d c b a m 1111,,,,，使()()31313131313131313d c mb ma d c b a m p ++=++⋅=,设ma 1，mb 1，c 1，d 1的分母公倍数为n ，则取N mna a ∈=1，N mnb b ∈=，N nc c ∈=1，N nd d ∈=1，且3333dc b a p ++=．结论成立． 说明：这里是直接构造证明，首先发现恒等式()()()()333321121p p p p p -++-++=，进一步对p ≥2，或0＜p ≤21构造．例6. 证明：不存在非负整数k 和m ，使得()mk k ！14848+=+．证明：注意到0=k 或0=m 时，上述不定方程无解，于是，可设满足上述方程的k ，m 为正整数．（1）若1+k 为合数，设pq k =+1，2≤p ≤q ，注意到，应有48 | k ！．故k≥6，于是1＜2p ≤k ，故（1+k ）| k ！，进而（1+k ）| 48，结合1+k ≥7，可知1+k =8，12，24或48，分别代入，两边约去48后，可得矛盾．（2）若1+k 为质数，由威尔逊定理，可知k ！()1mod 1+-≡k ，于是，1+k | 47，进而1+k =47，这要求46！＋48=48×47m ①，从而m ＞1，两边除以48可知m 47148!46=+，两边模4，可知()()4mod 11≡-m ，故m 为偶数．设m =2k ，则由①可知2()()14714748!46+-=k k ，由232 |48!46，而()23mod 2147≡+k，故232 | 147-k，利用二项式定理()()223mod 146123247+≡+⨯=k k，从而23 | k ，进而m ≥46，这时，①式右边比左边大．矛盾．注：一般地，若n ＞4，且n 为合数，则n |（n －1）！，依此可以证明威尔逊定理的逆定理也成立． 例7. 设p 是质数，证明：存在一个质数q ，使得对任意整数n ，数p n p-不是q 的倍数．（第44届IMO 试题）证明：由于()212mod 1111p p p p p p p p p +≡++++=--- ．则11--p p p 中至少有一个质因子q ，满足q 对2p 的模不等于1。
高中数学专题讲座 精品优选公开课件
（3）理科升学要求:
学 生 完 成 10 学 分 的 必 修 课 程 ， 在 选修2系列课程中学习选修2-1，选修22和选修2-3，获得6学分；在选修3系列 中任选2个专题，获得2学分；在选修4 系列中任选2个专题，获得2学分，总 共取得20学分。
4.(以下为详细材料,备用)学生的5种基 本选择和课程组合的基本建议
（4）学生完成10学分的必修课程，在选 修2系列课程中学习选修2-1，选修2-2和 选修2-3，获得6学分；在选修3系列中任 选2个专题，获得2学分；在选修4系列中 任选2个专题，获得2学分，总共取得20 学分，可在数学上达到进入理工、经济类 高等院校的一种要求。 .
（5）希望在理工、经济类方面发展的学生 如果对数学有兴趣、并希望获得较高数学素 养，在完成10学分必修课程的基础上，在选 修2系列课程中学习选修2-1，选修2-2和选 修2-3，获得6学分；在选修3系列中任选2 个专题，获得2学分；在选修4系列中任选6 个专题，获得6学分，总共取得24学分，可 在数学上达到进入理工、经济类高等院校的 另一种要求。
高等院校的招生考试应当根据高校的不同要求， 按照高中数学课程标准所设置的不同课程组合 进行命题、考试，命题范围为必修、选修1、选 修2、选修4系列课程。根据课程内容的特点， 对选修3系列课程的评价应采用定性与定量相结 合的形式，由（高中）学校来完成。高等学校 在录取时，应全面地考虑学校对学生在高中阶 段数学学习圆锥曲线与方程；
空间向量与立体几何。 选修2-2：
导数及其应用；数系的扩充与复数的引入。 选修2-3：
计数原理；统计；概率。
选修系列3
选修3-1：数学史选讲 选修3-2：信息安全与密码 选修3-3：球面上的几何 选修3-4：对称与群 选修3-5：欧拉公式与闭曲面分类 选修3-6：三等分角与数域扩充
《高考数学专题讲座》课件
提供大量习题和训练材料，帮助 学生巩固基础知识和提高解题速 度。
问题解决
引导学生进行实际问题的解决， 培养数学思维和创新能力。
数学在科学、工程和金融中的实际应用
1
科学研究
数学在科学研究中起到关键的作用，帮助解决实际问题。
2
工程设计
工程师需要数学来优化设计，确保工程的可靠性和性能。
3
金融投资
数学在金融领域中的应用有助于投资决策和风险管理。
数学教育中的常见误解及应对策略
数学难度
解释数学难度的原因，鼓励学生从容面对挑战。
数学应用
展示数学在日常生活中的实际应用，并消除对数学的误解。
数学智力
解释数学智力的不同表现形式，并鼓励每个人发挥自己的潜力。
不同类型的数学问题及解题方法
代数问题
介绍解决代数问题的关键方法，如方程求解和代数 运算。
几何问题
数据分析
学习统计学知识，掌握数据分析 方法和技巧。
数据可视化
掌握数据可视化工具和技术，将 数据转化为直观的图形呈现。
现代社会中数学素养的重要性
科学研究
数学在科学研究中起到关键的作用，帮
工程设计
2
助解决实际问题。
工程师需要数学来优化设计，确保工程
的可靠性和性能。
3
金融投资
数学在金融领域中的应用有助于投资决 策和风险管理。
《高考数学专题讲座》 PPT课件
介绍高中数学课程和考试格式，让学生了解高考数学的重要性和挑战。
代数和几何的关键概念和技能
代数知识
包括方程、不等式、函数和图形等数学运算。
几何概念
涵盖点、线、面和空间的属性、关系以及常见几何图形。
高一数学教研组讲座内容(3篇)
第1篇尊敬的各位老师，亲爱的同学们：大家好！今天，我们高一数学教研组非常荣幸地邀请到各位参加本次讲座。
本次讲座的主题是“深化数学教学，提升学生核心素养”。
在这个信息爆炸的时代，数学教育不仅要传授知识，更要培养学生的核心素养，为他们的终身学习和发展奠定坚实基础。
以下是本次讲座的主要内容：一、核心素养与数学教学1. 核心素养的定义核心素养是指个体在面对复杂情境时，能够运用知识、技能和情感态度解决问题，实现自我发展和社会适应的能力。
在数学教学中，核心素养包括以下几个方面：（1）数学思维：指学生在数学活动中形成的逻辑推理、抽象概括、空间想象等能力。
（2）数学应用：指学生将数学知识应用于实际问题的能力。
（3）数学情感：指学生对数学的热爱、好奇心和责任感。
（4）数学价值观：指学生对待数学学习的态度、价值观和道德观念。
2. 数学教学与核心素养的关系数学教学是培养学生核心素养的重要途径。
通过数学教学，学生可以：（1）掌握数学知识，形成数学思维。
（2）运用数学知识解决实际问题，提高数学应用能力。
（3）体验数学学习的乐趣，培养数学情感。
（4）树立正确的数学价值观，形成良好的学习态度。
二、深化数学教学策略1. 创新教学理念（1）以学生为中心：关注学生的个体差异，尊重学生的主体地位。
（2）以问题为导向：引导学生主动探究，培养学生的自主学习能力。
（3）以实践为基础：将数学知识应用于实际生活，提高学生的实践能力。
2. 优化教学方法（1）情境教学：通过创设真实情境，激发学生的学习兴趣，提高教学效果。
（2）合作学习：鼓励学生相互交流、合作，培养学生的团队协作能力。
（3）探究教学：引导学生自主探究、发现规律，培养学生的创新思维。
3. 提升教师素质（1）加强自身专业素养：教师应具备扎实的数学功底、丰富的教学经验和良好的师德。
（2）关注学生个体差异：根据学生的实际情况，制定个性化的教学方案。
（3）不断反思教学：教师应反思自己的教学行为，不断改进教学方法。
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2、 课程开设的逻辑顺序
必修1是必修2-5的基础。 必修系列是选修1，2系列的基础。 选修3，选修4系列不依赖其他系列， 且不考虑先后顺序。
必修 系列
选修 系列
数数 数 数数
学学 学 学学
12
3
45
系系系系 列列列列 1234
选修1系列课程是为那些希望在人文、社会 科学等方面发展的学生而设置的。
（3）理科升学要求:
学生完成10学分的必修课程，在 选修2系列课程中学习选修2-1，选修22和选修2-3，获得6学分；在选修3系列 中任选2个专题，获得2学分；在选修4 系列中任选2个专题，获得2学分，总 共取得20学分。
4.(以下为详细材料,备用)学生的5种基 本选择和课程组合的基本建议
学生的志向与自身条件不同，不同高校、不同专业对学生数
平山中学高中数学组新课程理论学习
专题讲座
高一备课组 袁小林
1.高中数学课程框架
选修1-2 选修1-1
选修2-3 选修2-2 选修2-1
选修3-6
选修3-2 选修3-1
…… ……
选修4-10
选修4-2 选修4-1
数学1 数学2 数学3 数学4 数学5
代表模块，每模块2学分
数学科共有36学分
代表专题，每专题1学分
课程的组合具有一定的灵活性，不同的 组合可以相互转换.学生做出选择之后，可 以根据自己的意愿和条件向学校申请调整， 经过测试获得相应的学分即可转换.
➢高三下学期，学生应保证必要的体育、艺术等活动 时间，同时可继续选修某些课程，也可以进行总复 习。
➢ 高中生获得的学分由学校认定，同时建立国家高 中教育质量监测体系。
平山高中数学新课程实施意见 -----普通高中数学实施建议
▪ 合理安排教学内容
----高一学年上学期开设必修1、2，下学期开设必修4、5，
每学段一个模块 ，并安排一次完整的数学探究活动 -----高二学年上学期：文科开设必修3、选修1-1，理科开
设必修3、选修2-1，下学期文科开设选修1-2、选修系列 3、4各一个专题 ；理科开设选修2-2、2-3，同时文理各 安排一次完整的数学建模活动。 -----高三学年文科安排复习；理科安排选修系列4的两或四 个专题
2. 要精心设计有思维价值或思考力度的问题三个 以上；问题提出后要先留给学生足够的阅读和独立 思考时间；然后再组织讨论或进行指导。
3. 要坚持提问学生3个以上；表扬学生3个以上。
4. 解题教学时，要坚持给学生足够的时间让其 先做，在此基础上，教师认为有必要时，可给 予适当地指导、点拨或讲解。
5. 有具体可测教学目标的，一定要当堂检测， 且当堂反馈矫正。
3、部分教师的讲解不能围绕课堂教学的重点、难点展开， 抓不住问题的核心。
4、课堂上教师的精心设问少，没能提出有思维价值、有 思考力度的问题。
5、题目的难度偏大，不适应基础年级大多数学生的实际 情况。
6、课堂上教师没有给学生留下自主学习、整理、 反思的时间。
7、教师讲解过程中，对自己思维过程的暴露不 够到位。
3.课程组合和学分要求
学校应在保证必修，选修1和选修2系列 课程开设的基础上，根据自身的情况，开 设选修3和选修4系列课程中的某些专题， 以满足学生的基本选择需求。
（1）毕业的要求：
学生完成10学分的必修课程
（2）文科升学要求：
在完成10学分必修课程的基础上， 在选修1系列课程中学习选修1-1和选 修1-2，获得4学分；在选修3系列课程 中任选2个专题，获得2学分，总共取得 16学分
➢ 高等院校的招生考试应当根据高校的不同要求， 按照高中数学课程标准所设置的不同课程组合 进行命题、考试，命题范围为必修、选修1、选 修2、选修4系列课程。根据课程内容的特点， 对选修3系列课程的评价应采用定性与定量相结 合的形式，由（高中）学校来完成。高等学校 在录取时，应全面地考虑学校对学生在高中阶 段数学学习的评价。
必修系列
▪ 数学1：集合、函数概念与基本初等函数1 (指数
函数、对数函数、幂函数）
数学2：立体几何初步、平面解析几何初步
数学3：算法初步、统计、概率 数学4：基本初等函数2（三角函数）、平 面上
的向量、三角恒等变换
数学5：解三角形、数列、不等式
选修系列1
选修1-1： 常用逻辑用语；圆锥曲线与方程； 导数及其应用。
◆高等院校的不同专业可以对学生的数学资格 提出不同的要求，在数学上获得不同资格的学 生经过考试可进入高等院校的相应专业学习.
学校课程既可以由学校独立开发或联校 开发，也可以联合高校、科研院所等共同 开发；另外，还可以利用和开发基于现代 信息技术的资源，建立广泛而有效的课程 资源网络。
6 课程的实施
8、教师对学情的了解不够，授课的针对性差。
9、提问学生时，不能给学生留下足够的独立思 考的时间；不能够让学生把自己的想法彻底表述 清楚、明白。
10、对大多数学生的关注不够，课堂上表扬学生 少，上黑板板演学生少，能够当堂落实的内容少。
数学课堂教学十条建议
1．要精心创设教学情境，使学生在主动参与中发 现新知（方法）或体验、感悟新知（方法）。
–活动开展需要时间 –衔接内容需要时间 –模块化使得时间上缺乏灵活性
三、广东数学新课程教学中存在的问题
目前教学的现状
大多数学校是课程换本不换法，老 师备课、上课老样子，与过去相比没有实 质性变化。
数学课堂教学十大问题
1、教师的课堂讲授时间过长，学生动手做、动脑想、动 嘴说的机会少。
2、教师不能适时地对学生进行学法指导，学生学习的积 极性差、自主性差，独立思考问题的意识弱。
学方面的要求也不同，甚至同一专业对学生数学方面的要求也 不一定相同。据此，学生可以选择不同的课程组合。课程组合 的基本建议如下。
（1）学生完成10学分的必修课程，可在数学上达到高中毕 业的要求，同时获得进入艺术、体育类高等院校和部分高职院 校的资格。他们还可以任意选修其他数学课程。
（2）学生完成10学分的必修课程，在选修1系列课程中学习 选修1-1和选修1-2，获得4学分；在选修3系列课程中任选2个 专题，获得2学分，总共取得16学分，可在数学上达到进入人文、 社会科学类高等院校的一种要求。
（4）学生完成10学分的必修课程，在选 修2系列课程中学习选修2-1，选修2-2和 选修2-3，获得6学分；在选修3系列中任 选2个专题，获得2学分；在选修4系列中 任选2个专题，获得2学分，总共取得20 学分，可在数学上达到进入理工、经济类 高等院校的一种要求。 .
（5）希望在理工、经济类方面发展的学生 如果对数学有兴趣、并希望获得较高数学素 养，在完成10学分必修课程的基础上，在选 修2系列课程中学习选修2-1，选修2-2和选 修2-3，获得6学分；在选修3系列中任选2 个专题，获得2学分；在选修4系列中任选6 个专题，获得6学分，总共取得24学分，可 在数学上达到进入理工、经济类高等院校的 另一种要求。
() 课程设置的意图
选修1和选修2：选修1和选修2是选修课程中的基 础性内容。选修1系列课程是为那些希望在人文、 社会科学等方面发展的学生而设置的，包括2个 模块，共4学分。选修2系列课程则是为那些希望 在理工、经济等方面发展的学生而设置的，包括 3个模块，共6学分 .
选修3和选修4：选修3和选修4系列课程 是为对数学有兴趣和希望进一步提高数学素 养的学生而设置的，所涉及的内容都是数学 的基础性内容，反映了某些重要的数学思想， 有助于学生进一步打好数学基础，提高应用 意识，有利于学生终身的发展，有利于扩展 学生的数学视野，有利于提高学生对数学的 科学价值、应用价值、文化价值的认识。
数学探究、数学建模、数学文化：数学 探究、数学建模、数学文化是贯穿于整个高 中数学课程的重要内容，这些内容不单独设 置，渗透在每个模块或专题中。
对数学探究、数学建模的课时和内容不做 具体安排。学校和教师可根据各自的实际情 况，统筹安排相关的内容和时间，但高中阶 段至少各应安排一次较为完整的数学探究、 数学建模活动。
6. 教师讲课不超过35分钟。
7. 要通过典型事例引导学生学会思维转换的方 法，体会学科基本思想；并指导学生养成独立 思考的习惯。
8. 课堂中出现的共性或典型错误，要引导学生 找出错因，并精选一至两个题目进行有针对性 的巩固练习。
课程方案
第一条线：数学1→数学4→数学5→选修2— 2→选修4—5；
第二条线：数学2→选修2—1→选修4—1→ 选修4—4；
第三条线：数学3→选修2—3→选修4—2。
二、课改实验过程中待解决的几个问题
1．初高中的衔接矛盾 2．课时与教学内容的矛盾 3．模块与学生学习实际的矛盾 4．选修、学生兴趣与高考的矛盾 5．联系实际与数学知识体系的矛盾 6．现代教育技术与教学实际的矛盾
选修2系列课程则是为那些希望在理工、 经济等方面发展的学生设置的。
选修1，选修2系列是选修课中的基础性内 容。
选修3和选修4系列课程是为对数学有兴趣和希望进一 步提高数学素养的学生而设置的，所涉及的内容都是 数学的基础性内容，反映了某些重要的数学思想，有 助于学生进一步打好数学基础，提高应用意识，有利 于学生终身的发展，有利于扩展学生的数学视野，有 利于提高学生对数学的科学价值、应用价值、文化价 值的认识。其中的专题将随着课程的发展逐步予以扩 充，学生可根据自己的兴趣、志向进行选择。根据选 修3系列课程内容的特点，对学习这部分内容的评价 适宜采用定量与定性相结合的方式，由学校进行评价， 不作为高校选拔考试的内容，但作为高校录取的重要 参考
选修1-2： 统计案例；推理与证明； 数系扩充及复数的引入；逻辑框图。
选修2-1：
选修系列2
常用逻辑用语；圆锥曲线与方程；
空间向量与立体几何。 选修2-2：
导数及其应用；数系的扩充与复数的引入。 选修2-3：