矩阵初等变换及应用
矩阵的初等变换及其应用
3.矩阵的初等变换的应用
3.1求矩阵的秩
求矩阵秩的方法很多，一般有定义法、初等变换法、相关公式法、综合法、但当矩阵的具体元素为已知时，一般采用初等变换法即求非零行（列）的个数。
定义3.1.1 矩阵 中非零子式的最高阶数 称为矩阵 的秩.亦即， 中存在不为0的 阶子式，而所有 阶子式（若有的话）均为0，这时矩阵 的秩记作 (或 或秩 )
定义3.5.1 设 是一个 阶方阵，如果存在一个数 及一个 维非零列向量 ，使得
即
成立，则称数 为方阵 的一个特征值，非零列向量 称为方阵 的对应于（或属于）特征值 的特征向量.
定义3.5.2 行列式 （或 ）称为矩阵 的特征多项式（注：特征多项式是 的 次多项式.） 是矩阵 的特征方程，具体形式为：
总之，矩阵初等变换是线性代数中一种重要的计算手段，我们可以利用矩阵初等变换求矩阵的秩，求逆矩阵，求矩阵方程等各种计算实例。随着科学技术的不断发展，矩阵的应用已经深入到了自然，社会，工程，经济等各个领域，而且人工智能、手机通讯和一般的算法设计和阐发等，矩阵在其应用中是通讯优化。我们不能局限于书本的学习，要理论联系实际，更好的运用理论知识解决实际遇到的问题。
时，子块 就化为 ，使得 。此时，若令 ，则 化为标准形
例8 化二次型 为标准形。
解：二次型矩阵为
实施初等变换
这样，经坐标变换 ，其中
二次型化为标准形
注：二次型可以用多种方法化标准形，其标准形不唯一。
总 结
在解决代数方面的一些题目时，运用矩阵的初等变换可以使问题简单化，比如在化二次型为标准型时，除了可以用初等变换法，还可以用正交变换法和配方法来计算，相比较初等变换更为简单，易于计算，好理解。矩阵的初等变换在解决线性代数的计算问题中有很多应用，这些计算格式有不少类似之处，一旦掌握了矩阵的运算，我们分析和解决方程组的能力将会大大增强。
矩阵的初等变换及其应用
在数学中矩阵最早来源于方程组的系数及常数所构成的方阵，现在矩阵是线性代数最基本也是最重要的概念之一。
在线性代数及其许多的问题中都能看到矩阵的身影，它能把抽象的问题用矩阵表示出来，通过对矩阵进行计算得出结果。
作为矩阵的基础及核心，矩阵的初等变换及应用是非常重要的，它能够把各种复杂的矩阵转化成我们需要的矩阵形式，从而使计算变得更加的简便。
本文总结了线性变换在线性代数、初等数论、通信、经济、生物遗传等方面的应用。
关键词：矩阵；初等变换；标准型；逆矩阵；标准型；秩；方程组ABSTRACTMatrix derived from the first phalanx of the coefficients and constants of the equations in mathematics, now matrix is the most fundamental and important concepts of linear algebra, in linear algebra and many other questions can be seen the figure of the matrix, It can abstract the matrix representation, then matrix calculated results. As the foundation and core of the matrix, the elementary transformation matrix and its application is very important, it can conversion a variety of complex matrix into a matrix form we need, then the calculation becomes more simple.This paper summarizes the application of linear algebra, elementary number theory, communications, and economic, biological heredity.Key words:Matrix; Elementary transformation; standard; inverse matrix; standard; rank; equations;1矩阵及其初等变换的概念 (1)2矩阵初等变换的应用 (1)2.1在线性代数中的应用 (2)2.1.1 将矩阵化简为阶梯型和等价标准型 (2)2.1.2矩阵的分块和分块矩阵的初等变换 (3)2.1.3求伴随矩阵和逆矩阵 (4)2.1.4求矩阵的秩，向量组的秩 (5)2.1.5求矩阵的特征值和特征向量 (6)2.1.6 解线性方程组 (7)2.1.7求解矩阵方程 (8)2.1.8化二次型为标准型 (9)2.1.9判断向量组的线性相关性，求其极大线性无关组 (11)2.2在数论中的应用 (11)2.3在通信中的应用 (13)2.4在经济方面的应用 (14)2.5在生物遗传方面的应用 (15)总结 (18)致谢 (19)参考文献 (20)矩阵的初等变换及其应用在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为对这些矩阵的转化过程，除方程组之外，还有很多方面的问题也都涉及矩阵的概念及其应用，这些问题的研究常常转化为对矩阵的研究，甚至于有些性质完全不同的、表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题以后却是相同的。
矩阵初等变换及其在线性代数中的应用
矩阵初等变换及其在线性代数中的应用线性代数是一门重要的数学分支，它研究的是线性变换及其代数分析性质。
其中，矩阵是线性代数中非常重要的工具，它可以把线性方程组转化成一个更简单的形式，使得我们可以更容易地进行求解。
而矩阵的初等变换则是在求解线性方程组时必须要用到的一种基本技巧。
本篇文章将深入探讨矩阵初等变换及其在线性代数中的应用。
矩阵初等变换到底是什么？矩阵初等变换是指对于一个矩阵来说，可以通过三种基本变换操作得到新的矩阵。
这三种操作分别是：交换矩阵的任意两行或两列；用一个非零常数 k 乘以矩阵的某一行或某一列；将矩阵的某一行或某一列加上另一行或另一列的 k 倍。
这三种操作称为矩阵的行初等变换或列初等变换。
首先来看一个示例，假设有如下矩阵：$$\begin{bmatrix}1 &2 \\3 &4 \\\end{bmatrix}$$对于这个矩阵，我们可以进行如下初等变换：①交换第一行和第二行$$\begin{bmatrix}3 &4 \\1 &2 \\\end{bmatrix}$$②将第二行乘以2$$\begin{bmatrix}1 &2 \\6 & 8 \\\end{bmatrix}$$③将第二行减去第一行的两倍$$\begin{bmatrix}1 &2 \\4 & 4 \\\end{bmatrix}$$通过这三种基本变换，我们可以将原始矩阵变换成一个新的矩阵。
这个过程通常用矩阵的运算符号表示，比如将第二行减去第一行两倍的操作可以表示为：$$\begin{bmatrix}1 & 0 \\-2 & 1 \\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 &2 \\3 &4 \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 &2 \\1 & 0 \\\end{bmatrix}$$其中，左侧的矩阵就是一个变换矩阵，它表示了对原矩阵的操作。
分块矩阵的初等变换及其若干应用
4
Em O
O⎞ .对上述分块 En ⎟ ⎠
矩阵进行分块矩阵的初等行变换，将“ T ”的部分变为单位矩阵:
⎛A O ⎜C D ⎝
第1块行左乘A−1
Em O O
O ⎞ 第1块行左乘-CA−1加到第2块行 ⎛ A O Em ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎜ ⎟ −1 En ⎠ ⎝ O D −CA A−1
⎛E （1） 交换分块单位阵 ⎜ m ⎝ 0t × m
用此矩阵左乘 T ，有
3
⎛ 0t × m ⎜ ⎝ Em
Et ⎞ ⎛ A B ⎞ ⎛ C D ⎞ ⎟ ⎟=⎜ ⎟, 0m×t ⎠ ⎜ ⎝C D⎠ ⎝ A B ⎠
这正是交换 T 的两块行得到的矩阵.
⎛E （2） 用 P 乘分块单位阵 ⎜ m ⎝ 0t × m 0m×t ⎞ ⎟ 的第一块行，得分块初等矩阵 Et ⎠ ⎛ P ⎜ ⎝ 0t × m 0m×t ⎞ ⎟. Et ⎠
⎛ En1 ⎜O ⎜ ⎜O ⎜ ⎜O ⎝ O En2 O O O ⎞ O O ⎟ ⎟ % O ⎟ ⎟ O E ns ⎟ ⎠ O
1
的分块矩阵称为分块单位矩阵. 定义 分块单位矩阵经过一次分块矩阵的初等行（列）变换后得到分块矩阵就叫 做分块初等矩阵.因为分块矩阵的初等变换有三种形式，因此分块初等矩阵也相 应的有以下三种类型： （1）交换分块单位矩阵的第 i , j 块行（或块列）得到的分块矩阵.例如,
T 的左边乘上相应的 2×2 分块初等矩阵.同理可证对一个 2×2 分块矩阵
⎛A B⎞ T =⎜ ⎟ 作一分块矩阵的初等列变换就相当于在 T 的右边乘上相应的 2×2 分 ⎝C D⎠ 块初等矩阵. 2．分块矩阵初等变换的应用 ⎛ A O⎞ 例 求T = ⎜ ⎟ 的逆,其中 A 是 m 阶可逆矩阵, B 是 n 阶可逆矩阵. ⎝C D⎠
矩阵的广义初等变换及应用
设 A, B, C , D ∈ M n ( F ) ,证明
A B C D B A D C C D A B D C B A
M =
=
1 8 2 0 −2 14 2 − 2 11 = 1 ⋅ 14 − 20 11 8 − ⋅ [0 − 20 2 2] −2 = 14 −5 = 118 − 24
−
1 B, 2
A 0
0 A B → B 0 B
→
A 0
A + B B
万方数据
芜湖职业技术学院学报 2005 年第 7 卷第 2 期
57
A 0 A A + B ∴ r ≥ r(A+B) 0 B =r 0 B
对此分块矩阵
则
A B C D
实施一次广义初等变换后得到的矩阵称为广义初等 矩阵 广义初等矩阵有下面三种形式 1
0 E n Em 0
B A 广义初等变换 → −1 0 D − CA B
由行列式的性质知在此变换过程中矩阵 M 作成的行 列式的值不变,即
→
−E E
− ( A − B) ( A − B) 1 1 [( A + B ) −1 − ( A − B ) −1 ] [( A + B ) −1 + ( A − B ) −1 ] 2 2
−1 −1
r(A)+r(B) ≤ n 证明 构造分块矩阵
E B E 0 E → → → B E A − AB 0 0 0 0 0
B −1 = 1 B B = 1 A − B −1 4 B − B 4
矩阵的初等变换及其应用
矩阵的初等变换及其应用线性代数第一次讨论课1.导语2.讨论内容目录3.正文4.个人总结导语:矩阵是研究线性代数方程组和其他相关问题的有力工具，也是线性代数的主要研究啊、对象之一。
它的理论和方法在自然科学、工程技术、社会科学等众多领域等都有极其广泛的应用。
矩阵作为一些抽象数学的具体表现，在数学研究中占有极其重要的地位。
本文从矩阵的概念讨论矩阵的运算及性质，进而讨论用途很广的矩阵的初等变换及其应用。
讨论内容目录矩阵的初等变换及其应用1.两个矩阵的等价2.两个矩阵的乘积3.将矩阵化为行阶梯型、行最简形、标准型4.求矩阵的秩5.求可逆矩阵的逆矩阵6.求线性方程组的解7.判断向量组的线性相关性8.求向量组的秩与极大无关组9.求矩阵的对角化矩阵（采用行列初等变换，对角线元素为特征值）10.二次型化为标准形正文一、矩阵的等价1.定义：若矩阵A经过一系列初等行变换化为B矩阵,则称A与B行等价；若矩阵A经过一系列初等列变换化为B矩阵,则称A与B列等价；若矩阵A经过一系列初等变换化为B矩阵,则称A与B等价（相抵）。
2.矩阵的等价变换形式主要有如下几种：1）矩阵的i行（列）与j行（列）的位置互换；2）用一个非零常数k乘矩阵的第i行（列）的每个元；3）将矩阵的第j行（列）的所有元得k倍加到第i行（列）的对应元上去；即如果两个矩阵可通过有限次上述变换中的一个或几个的组合变为一样的，两个矩阵等价。
3.矩阵等价具有下列性质（1）反身性任一矩阵A与自身等价；（2）对称性若A与B等价，则B与A等价；（3）传递性若A与B等价，B与C等价，则A与C等价；注意：矩阵作初等变换是矩阵的一种运算，得到的是一个新矩阵，这个矩阵一般与原矩阵不会相等。
下面举例说明矩阵等价及等价变换：13640824100412204128--?? ?- ? ?-- ?-??13r r +→43213131414331222136413640824100824100412204122041280 412813641364082410082410000300030060000r rr r r r r rr r r r B ++-++-----???? ? ?-- ? ????→???→---- ? ?-------- ? ?→= ? ? ? ?????1231213121310341813601030013001300001000100000000r r r r r r r r r C -------???? ?-- ? ?→→= ?显然，根据矩阵等价的定义，以上变换过程中的每一个矩阵均为等价的，每个步骤都是等价转换。
矩阵的初等变换及应用的总结
矩阵的初等变换及应用内容摘要：矩阵是线性代数的重要研究对象。
矩阵初等变换是线性代数中一种重要的计算工具，利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确定向量组向量间的线性关系。
一矩阵的概念定义：由于m×n个数aij（i=1，2，….，m；j=1，2，….，n）排成的m行n列的数表，称为m行n列，简称m×n矩阵二矩阵初等变换的概念定义：矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换1.初等行变换矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换:(1) 交换矩阵的两行(交换两行,记作);(2) 以一个非零的数乘矩阵的某一行(第行乘数,记作);(3) 把矩阵的某一行的倍加到另一行(第行乘加到行,记为).1.初等列变换把上述中“行”变为“列”即得矩阵的初等列变换3 ,如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A 与矩阵B等价，记作A~B矩阵之间的等价关系具有下列基本性质:(1) 反身性;(2) 对称性若,则;(3) 传递性若,,则.三矩阵初等变换的应用1.利用初等变换化矩阵为标准形定理：任意一个m×n矩阵A，总可以经过初等变换把它化为标准形2.利用初等变换求逆矩阵求n阶方阵的逆矩阵：即对n×2n矩阵（A¦E）施行初等行变换，当把左边的方阵A变成单位矩阵E的同时，右边的单位矩阵也就变成了方阵A的逆矩阵A^(-1)即(A|E)经过初等变换得到(E|A^(-1))这种计算格式也可以用来判断A是否可逆，当我们将A化为行阶梯形矩阵时，若其中的非零行的个数等于n时，则A可逆，否则A不可逆。
设矩阵可逆，则求解矩阵方程等价于求矩阵，为此，可采用类似初等行变换求矩阵的逆的方法，构造矩阵，对其施以初等行变换将矩阵化为单位矩阵，则上述初等行变换同时也将其中的单位矩阵化为，即.这样就给出了用初等行变换求解矩阵方程的方法.同理, 求解矩阵方程等价于计算矩阵亦可利用初等列变换求矩阵. 即.3．利用矩阵初等变换求矩阵的秩矩阵的秩的概念是讨论向量组的线性相关性、深入研究线性方程组等问题的重要工具. 从上节已看到，矩阵可经初等行变换化为行阶梯形矩阵，且行阶梯形矩阵所含非零行的行数是唯一确定的, 这个数实质上就是矩阵的“秩”,鉴于这个数的唯一性尚未证明，在本节中，我们首先利用行列式来定义矩阵的秩，然后给出利用初等变换求矩阵的秩的方法.定理：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，即若A~B则R（A）=R(B)为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换变成阶梯矩阵解体矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩利用矩阵值得概念，能够讨论线性方程组有解的条件，然后通过研究向量组的线性相关性，向量组的秩等重要概念，讨论线性方程组的结构。
线性代数课件 矩阵的初等变换
第i列
第 j列
11
(2) 以数 k 0 乘某行或某列，得初等倍乘矩阵。
以数k 0乘单位矩阵的第i行( ri k )，得初等 矩阵E ( i ( k )).
1 1 E ( i ( k )) k 1 1
标准形矩阵
特点：左上角为一个单 位矩阵,其他位置上的元素全 都为 0 .
9
二、初等矩阵
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应 用广泛. 定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方 阵称为初等矩阵. 1 0 0 r 4r 1 0 4 1 3 例如 E 0 1 0 ~ 0 1 0 0 0 1 0 0 1 三种初等变换对应着三种初等方阵. 1. 对调两行或两列； 2. 以数 k 0 乘某行或某列； 3. 以数 k 乘某行（列）加到另一行（列）上去．
3
定义3 如果矩阵 A 经有限次初等变换变成 矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作A ~ B．
等价关系的性质：
（1）自反性 A A；
（2）对称性 若 A B , 则 B A; （3）传递性 若 A B, B C, 则 A C.
4
行阶梯形矩阵：
特点： （1）可划出一 条阶梯线，线的 下方全为零； （2）每个台阶 只有一行，
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”)．
定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 初等变换．
初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同．
ri rj 逆变换 ri rj ; 1 ri k 逆变换 ri ( ) 或 ri k; k ri krj 逆变换 ri ( k )rj 或 ri krj .
矩阵的初等变换及其应用
㊀㊀㊀㊀㊀㊀矩阵的初等变换及其应用矩阵的初等变换及其应用Һ顾江永㊀（宿迁学院文理学院，江苏㊀宿迁㊀２２３８００）㊀㊀ʌ摘要ɔ矩阵的初等变换在代数学中具有重要的地位，本文给出了运用初等变换求解方程组的基础解系㊁特征值㊁多项式的最大公因式和Ｊｏｒｄａｎ标准形相似变换矩阵等方法，这些方法具有直观㊁简捷㊁有效等特点．ʌ关键词ɔ初等变换；基础解系；最大公因式；相似变换矩阵ʌ基金项目ɔ２０１９江苏省高校教学研究一般项目（２０１９ＳＪＡ１９９７）一㊁引㊀言矩阵的初等变换包括矩阵的初等行变换和矩阵的初等列变换，矩阵的初等行（列）变换有三种形式［１］：（１）交换两行（列）；（２）任一行（列）的ｋ倍（ｋʂ０）；（３）任一行（列）的ｋ倍加到另一行（列）．在代数学中，矩阵的初等变换有着非常重要且广泛的应用，它常被应用于行列式的计算㊁方程组以及矩阵方程的求解㊁向量线性关系的判定㊁求矩阵的秩以及逆㊁λ－矩阵的不变因子和矩阵的Ｊｏｒｄａｎ标准形等．张家宝给出了初等变换求逆的几种方法［２］；石擎天等研究了初等变换求解方程组的特殊方法［３］；于莉琦等介绍了初等变换在行列式㊁矩阵和方程组中的应用［４］．本文给出了矩阵的初等变换求解方程组的基础解系㊁最大公因式和Ｊｏｒｄａｎ标准形的相似变换矩阵等方法及应用．二㊁预备知识引理１［５］㊀设矩阵Ａｍˑｎ的秩为ｒ，且Ａｍˑｎ＝ＰＥｒ０００æèçöø÷Ｑ，其中Ｐｍˑｍ，Ｑｎˑｎ为可逆矩阵，则有Ｐ－１００Ｅｎæèçöø÷ＡＥｎæèçöø÷Ｑ－１＝Ｅｒ０００Ｑ－１æèççöø÷÷．证明㊀因为Ａｍˑｎ＝ＰＥｒ０００æèçöø÷Ｑ，所以Ｅｒ０００æèçöø÷＝Ｐ－１ＡｍˑｎＱ－１，故Ｐ－１００Ｅｎæèçöø÷ＡＥｎæèçöø÷Ｑ－１＝Ｐ－１ＡＥｎæèçöø÷Ｑ－１＝Ｐ－１ＡＱ－１Ｑ－１æèçöø÷＝Ｅｒ０００Ｑ－１æèççöø÷÷，注：引理１给出了化一个矩阵为标准形的求Ｑ－１的方法．引理２㊀设矩阵Ａｍˑｎ的秩为ｒ，则矩阵ＡＥｎæèçöø÷仅经初等列变换可以化为β１，β２， ，βｒ，０， ，０Ｑ－１æèçöø÷，其中β１，β２， ，βｒ线性无关，且ＡＱ＝β１，β２， ，βｒ，０， ，０()．证明㊀因为Ａｍˑｎ的秩为ｒ，所以Ａｍˑｎ的列秩等于ｒ，即矩阵Ａｍˑｎ列向量组的最大线性无关组由ｒ个向量构成，不妨设为β１，β２， ，βｒ，故由初等变换的性质可得ＡＥｎæèçöø÷仅经初等列变换可以化为β１，β２， ，βｒ，０， ，０Ｑ－１æèçöø÷．引理３［６］㊀设Ａ是数域Ｐ上的ｎ阶方阵，将矩阵λＥ－Ａ经初等变换化为上三角形矩阵ｆ１（λ）０ ０∗ｆ２（λ）０︙︙⋱︙∗∗ｆｎ（λ）æèççççöø÷÷÷÷，则ｆｉ（λ）＝０（ｉ＝１，２， ，ｎ）在数域Ｐ上的根即为矩阵Ａ的全部特征根．证明㊀根据初等变换的性质可知，初等变换不改变λＥ－Ａ＝０的根，故ｆ１（λ）０ ０∗ｆ２（λ） ０︙︙⋱︙∗∗ｆｎ（λ）＝ｆ１（λ）ｆ２（λ） ｆｎ（λ）＝０的根即为矩阵Ａ的全部特征根．引理４㊀设ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ）， ，ｆｓ（ｘ）是数域Ｐ上的多项式，且ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ）， ，ｆｓ（ｘ）()Ｔ经初等行变换化为ｄ（ｘ），０， ，０()Ｔ，则ｄ（ｘ）即为ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ）， ，ｆｓ（ｘ）的最大公因式．证明㊀由辗转相除法原理直接可得［１］．三㊁主要结论定理１㊀设齐次线性方程组Ａｍˑｎｘ＝０，其系数矩阵Ａｍˑｎ的秩为ｒ，且Ａｍˑｎ＝ＰＥｒ０００æèçöø÷Ｑ，又设Ｑ－１＝（η１， ，ηｒ，ηｒ＋１， ，ηｎ），则ηｒ＋１，ηｒ＋２， ，ηｎ是线性方程组Ａｍˑｎｘ＝０的基础解系．证明㊀设Ｑｘ＝ｙ１︙ｙｒ︙ｙｎæèçççççöø÷÷÷÷÷＝ＹｒＹｎ－ｒæèçöø÷，由Ａｍˑｎｘ＝ＰＥｒ０００æèçöø÷Ｑｘ＝ＰＥｒ０００æèçöø÷ＹｒＹｎ－ｒæèçöø÷＝０，可得Ｙｒ＝ｙ１︙ｙｒæèççöø÷÷＝０，所以ｘ＝Ｑ－１ＹｒＹｎ－ｒæèçöø÷＝Ｑ－１０︙０ｙｒ＋１︙ｙｎæèççççççöø÷÷÷÷÷÷．㊀㊀㊀㊀㊀令Ｑ－１＝（η１， ，ηｒ，ηｒ＋１， ，ηｎ），则ｘ＝ｙｒ＋１ηｒ＋１＋ｙｒ＋２ηｒ＋２＋ ＋ｙｎηｎ．因为Ｑ是可逆矩阵，则ηｒ＋１，ηｒ＋２， ，ηｎ线性无关，所以ηｒ＋１，ηｒ＋２， ，ηｎ为方程组的一个基础解系．定理２［７］㊀设Ａ是数域Ｐ上的ｎ阶方阵，矩阵λＥｎ－ＡＥｎæèçöø÷经初等变换化为φ１（λ）０⋱０φｎ（λ）Ｑ（λ）æèççççöø÷÷÷÷（其中初等行变换只能在前ｎ行进行）．设Ｑ（λ）的第ｊ列为ｑｊ（λ），若λ－λ０()ｋ为φｊ（λ）的初等因子，则Ａｑｊ（λ０），ｑᶄｊ（λ０）１！，ｑᵡｊ（λ０）２！， ，ｑ（ｋ－１）ｊ（λ０）（ｋ－１）！æèçöø÷＝ｑｊ（λ０），ｑᶄｊ（λ０）１！，ｑᵡｊ（λ０）２！， ，ｑ（ｋ－１）ｊ（λ０）（ｋ－１）！æèçöø÷λ０１００λ００︙︙⋱１００λ０æèççççöø÷÷÷÷．证明㊀由题设知，存在可逆矩阵Ｐ（λ），Ｑ（λ），使得Ｐ（λ）λＥｎ－Ａ()Ｑ（λ）＝φ１（λ）０⋱０φｎ（λ）æèççöø÷÷．因为ｑｊ（λ）是Ｑ（λ）的第ｊ列，所以Ｐ（λ）λＥｎ－Ａ()ｑｊ（λ）＝（０， ，０，φｊ（λ），０， ，０）Ｔ．又设ｑｊ（λ）的幂级数展开式为ｑｊ（λ）＝ｑｊ（λ０）＋ｑᶄｊ（λ０）１！λ－λ０()＋ｑᵡｊ（λ０）２！λ－λ０()２＋ ，代入Ｐ（λ）λＥｎ－Ａ()ｑｊ（λ）＝（０， ，０，φｊ（λ），０， ，０）Ｔ，得λ０Ｅｎ－Ａ()ｑｊ（λ０）＝０，λ０Ｅｎ－Ａ()ｑᶄｊ（λ０）＋ｑｊ（λ）＝０，λ０Ｅｎ－Ａ()ｑ（ｋ－１）ｊ（λ０）（ｋ－１）！＋ｑｋ－２()ｊ（λ０）ｋ－２()！＝０．上面等式两边相加㊁移项并提取矩阵Ａ可得Ａ(ｑｊ（λ０），ｑᶄｊ（λ０）１！，ｑᵡｊ（λ０）２！， ，ｑ（ｋ－１）ｊ（λ０）（ｋ－１）！)＝(ｑｊ（λ０），ｑᶄｊ（λ０）１！，ｑᵡｊ（λ０）２！， ，ｑ（ｋ－１）ｊ（λ０）（ｋ－１）！)λ０１００λ０ ０︙︙⋱１００λ０æèççççöø÷÷÷÷．四㊁应用举例例１㊀求多项式ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ），ｆ３（ｘ）的最大公因式，其中ｆ１（ｘ）＝ｘ４＋２ｘ３＋４ｘ２＋３ｘ＋２，ｆ２（ｘ）＝ｘ４＋ｘ３＋３ｘ２＋ｘ＋２，ｆ３（ｘ）＝ｘ３＋２ｘ２＋３ｘ＋２．解㊀因为ｆ１（ｘ）ｆ２（ｘ）ｆ３（ｘ）æèççöø÷÷＝ｆ１（ｘ）－ｆ２（ｘ）ｆ２（ｘ）－ｘｆ３（ｘ）ｆ３（ｘ）æèççöø÷÷＝ｘ３＋ｘ２＋２ｘ－ｘ３－ｘ＋２ｘ３＋２ｘ２＋３ｘ＋２æèççöø÷÷＝ｘ３＋ｘ２＋２ｘｘ２＋ｘ＋２ｘ２＋ｘ＋２æèççöø÷÷＝ｘ３＋ｘ２＋２ｘｘ２＋ｘ＋２０æèççöø÷÷＝ｘ２＋ｘ＋２００æèççöø÷÷，所以由引理４知，ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ），ｆ３（ｘ）的最大公因式为ｄ（ｘ）＝ｘ２＋ｘ＋２．例２㊀求齐次线性方程组ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＋ｘ５＝０，３ｘ１＋２ｘ２＋ｘ３＋ｘ４－３ｘ５＝０，５ｘ１＋４ｘ２＋３ｘ３＋３ｘ４－ｘ５＝０{的基础解系．解㊀对系数矩阵Ａ施行初等行变换如下Ａ＝１１１１１３２１１－３５４３３－１æèççöø÷÷ ｒ２－３ｒ１ｒ３－５ｒ１１１１１１０－１－２－２－６０－１－２－２－６æèççöø÷÷ ｒ１＋ｒ２ｒ２ˑ（－１）ｒ３－ｒ２１０－１－１－５０１２２６０００００æèççöø÷÷．又１０－１－１－５０１２２６１０００００１０００００１０００００１０００００１æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷ ｃ３＋ｃ１ｃ４＋ｃ１ｃ５＋５ｃ１１０００００１２２６１０１１５０１０００００１０００００１０００００１æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷ ｃ３－２ｃ２ｃ４－２ｃ２ｃ５－６ｃ２１０００００１０００１０１１５０１－２－２－６００１０００００１０００００１æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷则由引理２知，方程组的基础解系为η１＝（１，－２，１，０，０）Ｔ，η２＝（１，－２，０，１，０）Ｔ，η３＝（５，－６，０，０，１）Ｔ．ʌ参考文献ɔ［１］王萼芳，石生明．高等代数（第五版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１９：５．［２］张家宝．浅谈求逆矩阵的几种方法［Ｊ］．数学学习与研究，２０２０（１０）：４－５．［３］石擎天，黄坤阳．线性方程组求解及应用［Ｊ］．教育教学论坛，２０２０（１２）：３２５－３２７．［４］于莉琦，高恒嵩．初等变换概述［Ｊ］．数学学习与研究，２０１９（０６）：１１６．［５］徐仲，陆全，等．高等代数考研教案（第２版）［Ｍ］．西安：西北工业大学出版社，２００９．［６］卢博，田双亮，等．高等代数思想方法及应用［Ｍ］．北京：科学出版社，２０１７．［７］朱广化．关于‘相似变换矩阵的简单求法“的改进［Ｊ］．数学通报，１９９４（１１）：４４－４６．。
矩阵初等变换的性质及其应用
摘要本文探讨矩阵初等变换的性质及其在代数中的若干应用，主要从矩阵的逆、矩阵的秩、求解线性方程组及矩阵方程、求一元多项式的最大公因式、求解指派问题等若干方面进行阐述。
关键词：矩阵的初等变换；矩阵的秩；可逆矩阵；线性方程组；最大公因式AbstractThis paper is mainly to discuss the application of the elementary transfor mation of matrix in algebra, using matrix elementary transformation to solve th e matrix inverse, matrix rank, solving linear equations and matrix equations, on e yuan polynomial greatest common divisor, solving assignment problem of the se aspects of the application.Keywords:Elementary transformation of matrix;Matrix rank;Invertible matrix;System of linear equations;Greatest common factor目录1 引言 ............................. 错误!未定义书签。
2 矩阵的初等变换及其性质 (1)2.1 矩阵初等变换的定义.......................... 错误!未定义书签。
2.2 矩阵初等变换相关性质 (2)3 矩阵初等变换的若干应用 (2)3.1 利用矩阵初等变换求矩阵的逆 (1)3.2 利用矩阵的初等变换来求矩阵的秩 (5)3.3 利用矩阵初等变换求解线性方程组及矩阵方程 (7)3.4 利用矩阵的初等变换求一元多项式最大公因式 (11)3.5 利用矩阵初等变换解决指派问题 (13)参考文献 (16)矩阵初等变换的性质及其应用矩阵及其理论在众多领域中都发挥着重要的作用,而矩阵的初等变换是矩阵理论的核心和灵魂。
初等变换与矩阵的乘法应用
初等变换与矩阵的乘法应用矩阵是线性代数中的重要概念之一，而初等变换是矩阵运算的重要工具之一。
在数学和工程领域，初等变换与矩阵的乘法应用广泛，能够帮助我们解决各种实际问题。
本文将探讨初等变换与矩阵的乘法在数学和工程中的应用。
一、初等变换的基本概念与分类初等变换是指矩阵的行（列）允许进行的三种基本运算，包括互换两行（列），某一行（列）乘以一个非零常数，以及某一行（列）加上另一行（列）的若干倍。
这三种运算构成了初等变换的基本操作。
初等变换可以分为三类：互换两行（列）的操作，将某一行（列）乘以一个非零常数的操作，以及将某一行（列）加上另一行（列）的若干倍的操作。
这些操作在矩阵乘法中起到重要的作用，能够通过变换将矩阵化为简化行阶梯形矩阵，从而解决线性方程组、计算行列式等问题。
二、初等变换的应用举例1. 线性方程组求解通过初等变换，我们可以将线性方程组表示为增广矩阵的形式，然后利用矩阵的乘法运算进行计算。
例如，考虑如下线性方程组： 2x + 3y + 4z = 53x + 4y + 5z = 64x + 5y + 6z = 7将其写成增广矩阵的形式：[2, 3, 4, 5][3, 4, 5, 6][4, 5, 6, 7]然后利用初等变换，通过矩阵的乘法运算将其转化为简化行阶梯形矩阵，从而求得方程组的解。
2. 矩阵求逆矩阵的逆是线性代数中一个重要的概念，通过初等变换和矩阵的乘法，我们可以求得矩阵的逆。
逆矩阵的运用在计算机图形学、电路分析等领域具有重要意义。
3. 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量是矩阵理论中的重要内容，初等变换和矩阵的乘法可以帮助我们求解矩阵的特征值与特征向量，从而得到矩阵的谱分解、对角化等结果。
三、矩阵的乘法应用举例1. 线性变换线性变换是矩阵乘法在几何学中的一个应用，它可以将向量映射到其他向量空间中。
通过定义一个线性变换矩阵，可以实现对向量的旋转、平移、伸缩等操作，广泛应用于计算机图形学、机器人学等领域。
矩阵的初等变换及其应用
矩阵的初等变换及其应用
矩阵初等变换包括三种变换：
1.交换任意两行或列。
2.用一个数与一行或列中所有数相乘。
3.把某一行或列中的某个数加上另一行或列中对应的数的k倍。
初等变换的主要应用有：
1.解线性方程组：通过初等变换把系数矩阵化为一个容易求解的三角矩阵。
2.计算矩阵的秩：通过初等变换把矩阵化为阶梯形矩阵，可以方便地求出矩阵的秩。
3.求逆矩阵：通过初等变换把原矩阵化为一个对角矩阵，然后对角线上的元素取倒数得到逆矩阵。
关于矩阵初等变换的两个定理及应用
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矩阵的初等变换及应用(吴礼斌)
对 B 进一步化为行简化矩阵
3. 求逆矩阵
版权所有，安徽财经大学统计与应用数学学院吴礼斌，13955236046
2
线性代数
0 1 1 设矩阵 A = 1 1 2 ，求 A −1 。 2 −1 0
解：A 是 3 阶矩阵，在 A 的右边写上 3 阶单位矩阵，并对其施行初等行变换，得
版权所有，安徽财经大学统计与应用数学学院吴礼斌，13955236046 5
线性代数
其中 c1 , c 2 为任意常数。 （2）求解齐次线性方程组
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 0, 3x + 2 x + x + x − 3x = 0, 1 2 3 4 5 5 x1 + 4 x2 + 3x3 + 3x4 − x5 = 0, x2 + 2 x3 + 2 x4 + x5 = 0.
再由行简化形矩阵写出原方程组的同解方程组为
x1 − 2 x2 − 2 x4 = −4 +1 x =5 2 4 2 x3
移项得
x1 = −4 + 2 x 2 + 2 x 4 5 −1 x3 = 2 2 x4
令 x2 = c1 , x4 = c2 ，代入上面同解方程组得原方程组的通解（一般表示形式）为
线性代数
矩阵的初等行变换及应用
一、矩阵的初等行变换概念
定义。 初等行 定义。对矩阵进行下列三种变换，称为矩阵的初等 初等行变换。 变换 (1)交换矩阵某两行的位置； (2)用一个非零数乘以矩阵某一行的每一个元； (3)将矩阵某一行的元都乘以数 λ 后对应加到另一行上. 并称(1)为换法行变换，称(2)为倍法行变换，称(3)为倍加行变换. 若把对矩阵施行的三种“行”变换改为对“列”的三种变换，称为矩阵的初等列 变换。矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换 初等变换。 初等变换。 为了表示的方便，我们引入如下的一组变换运算符号： ri ↔ rk 表示交换矩阵的第 i 行与第 k 行的位置；
3.1 矩阵的初等变换及其应用
在科学技术与经济管理领域，线性方程组是许多问题的数学模型，因此，线性方程组的求解问题十分重要，本章将研究更一般的线性方程组的求解问题。
一、矩阵的初等变换
用消元法求解简单线性方程组时，其消元步骤是对方程组施以下列变换：
(i) 对调某两个方程在方程组中的位置；
(ii) 以数 乘某一方程的两端；
(iii) 把某一方程的两端乘以数 后加到另一方程的两端.
这些变换称为线性方程组的初等变换，由此引出矩阵的初等行变换.
定义6 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
(i) 对调两行(对调 两行,记作 );
(ii) 以数 乘某一行中的所有元素(第 行乘 ,记作 );
(iii) 把某一行所有元素的 倍加到另一行对应的元素上去(第 行的 倍加到第 行上,记作 ).
.
解
上式中最后一个矩阵为行阶梯矩阵，由此即可看出 .
若Ｄ含有矩阵Ｂ的第 行元素，同时含有矩阵Ｂ的第 行元素，那么由行列式的性质知Ｄ与矩阵Ａ中的一个相应 阶子式相等，所以也有Ｄ＝０.
综上，则得 .
又因为，将Ｂ的第 行的乘以 加到第 行得到矩阵Ａ，所以同理可得 .故
由定理3知，求矩阵的秩只需利用初等行变换将矩阵化为行阶梯形矩阵，然后确定矩阵的秩.
例4 求矩阵Ａ的秩，其中
用 阶初等方阵 左乘矩阵 得
其结果相当于对矩阵Ａ施行第一种初等行变换:把Ａ的第 行与第 行对调( )；类似地可以验证：以 左乘矩阵Ａ,其结果相当于以数 乘Ａ得第 行( )；以 左乘矩阵Ａ,其结果相当于把Ａ的第 行乘 加到第 行上( ).
综上所述,可得下述定理.
定理1设Ａ是一个 矩阵,对Ａ施行一次初等行变换,相当于在Ａ的左边乘以相应的 阶初等方阵;对Ａ施行一次初等列变换,相当于在Ａ的右边乘以相应的 阶初等方阵.
多项式矩阵的初等变换
多项式矩阵的初等变换多项式矩阵是指矩阵的元素是多项式的矩阵。
初等变换是矩阵运算中常用的一种方式，可以通过对矩阵进行一系列基本操作来改变其性质。
本文将介绍多项式矩阵的初等变换方法及其应用。
1.行交换：通过交换矩阵的两行来改变行的顺序。
例如，将第一行与第二行交换，可以写作R1<->R2。
2.行倍乘：将矩阵的某一行的所有元素乘以一个非零常数。
例如，将第一行的元素都乘以2，可以写作2R1。
3.行加减：将某一行的所有元素与另一行的对应元素相加或相减，然后替换该行。
例如，将第一行的元素分别加到第二行上，可以写作R2=R2+R1。
在实际问题中，多项式矩阵的初等变换被广泛应用。
以下是一些常见的应用场景：1.线性方程组的求解：通过初等变换，可以将线性方程组转化为简化的行阶梯形矩阵，从而求解出未知数的值。
2.矩阵的秩计算：通过初等变换，可以将矩阵转化为行阶梯形矩阵，进而计算出矩阵的秩。
3.矩阵的相似性判定：通过初等变换，可以将矩阵转化为标准型，从而判断两个矩阵是否相似。
4.多项式插值：通过初等变换，可以将多项式插值问题转化为线性方程组求解问题，从而得到多项式的系数。
多项式矩阵的初等变换是一种常用的矩阵运算方法，通过行交换、行倍乘和行加减操作，可以改变矩阵的性质以及解决实际问题。
在实际应用中，初等变换广泛用于线性方程组求解、矩阵的秩计算、矩阵相似性判定和多项式插值等领域。
熟练掌握多项式矩阵的初等变换方法对于数学问题的解决具有重要意义。
1.张广福，陈皓，袁启土.数学分析[M].高等教育出版社，2013.2.蒋继宗.线性代数与几何[J].高等教育出版社，2018.。
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矩阵初等变换及应用王法辉摘要：矩阵初等变换是高等代数的重要组成部分。
本文对初等变换进行了研究探讨，详细介绍了与矩阵初等变换有关的基础知识。
在阐述矩阵初等变换方法及应用原理的基础上，首先重点讨论该方法在解决高等代数相关计算问题上的应用，如求多项式的最大公因式、求逆矩阵解矩阵方程、求解线性方程组、判定向量的线性相关性、化二次型为标准型、求空间的基等。
尤其是利用矩阵初等变换法求空间的基(解空间、特征子空间、核、值域等)的问题的计算,以具体实例生动的展示出问题的内在关系,最后给出了该方法在解决实际问题中的应用。
本文理论分析与实际相结合，凸现了矩阵初等变换法直接、便利、有效的威力与作用。
关键词：矩阵初等变换；最大公因式；线性相关性；二次型；空间的基1 导言在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程。
在数学的学习和应用中，矩阵理论是高等代数的重要组成部分，矩阵初等变换方法更是贯穿高等代数理论的始终。
应用初等变换证明命题过程容易被接受，同时也是解决高等代数相关计算问题最直接、便利、有效的方法。
此外，还有大量的各种各样的，表面上看完全没有联系的问题的解决,都可以通过相同的方法实现：矩阵的初等变换。
因此，对矩阵初等变换方法及应用进行探讨，无疑是十分必要和重要的。
目前，有许多文献涉及到对矩阵初等变换方法该的讨论，但比较零散。
在研读文献的基础上，对矩阵初等变换的内涵进一步挖掘，使矩阵初等变换方法的威力作用得以充分展示是重要也是必要的。
2 矩阵及其初等变换2.1 矩阵由n m ⨯个数)j ,,,2,1(==m i a ij（i =1,2, ,j =1,2,n ， ）排成m 行n 列的数表 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 称为m 行n 列的矩阵，简称n m ⨯矩阵。
2.2 矩阵的初等变换及初等矩阵矩阵有行列之分，因此有如下定义定义1 矩阵的初等行（列）变换是指如下三种变换(1)交换矩阵某两行（列）的位置，记为j i r r ↔ )(j i c c ↔；(2)把某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，记为j i kr r + )(j i kc c +；(3)用一个非零常数k 乘以某一行（列），记为i kr )(i kc ，k ≠0；矩阵的初等行变换及初等列变换统称为矩阵的初等变换。
定义2 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。
有以下3种形式(1)互换矩阵E 的i 行和j 行的位置，得⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1101111011),( j i P ；(2)用数域P 种非零数c 乘E 的i 行，得⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=111))(( c c i P ； (3)把矩阵E 的j 行的k 倍加到i 行，有⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1111))(, k k j i P （。
定义3 如果B 可以由A 经过一系列初等变换得到，矩阵A 与B 称为等价的。
2.3 矩阵初等变换的若干性质矩阵的初等变换改变了矩阵的元素,但矩阵初等变换具有以下性质（1）对矩阵A 施行初等行（列）变换，其列（行）向量组之间的线性关系保持不变。
（2）对矩阵A 施行初等行变换相当于左乘相应的初等矩阵，施行初等列变换相当于右乘相应的初等矩阵。
（3）可逆矩阵可以表示成一系列初等矩阵的乘积。
初等矩阵的逆矩阵也是初等矩阵。
（4）初等变换不改变矩阵的秩。
3 矩阵初等变换在高等代数计算问题中的应用矩阵初等变换与线性方程组的求解密不可分，不仅给解线性方程组带来了极大方便，同时也发展和完善了矩阵理论本身，极大丰富了矩阵理论的应用领域。
矩阵的初等变换方法更是贯穿高等代数理论的始终，在高等代数有关理论的证明及相关计算问题中更是起着巨大的作用。
3.1 求多项式的最大公因式3.1.1 基本概念以][x P 表示数域P 上的一元多项式环。
定义1（最大公因式） 设)()(x g x f ，是][x P 中两个多项式，][x P 中多项式)(x d 称为)()(x g x f ，的一个最大公因式，如果它满足(1) )(x d 是)()(x g x f ，的公因式；(2) )()(x g x f ，的公因式全是)(x d 的因式。
定义2 以][x P 中的一元多项式为元素的矩阵称为多项式矩阵。
定义3 以下3种变换称为多项式矩阵的初等行变换(1) 交换多项式矩阵的某两行；(2) 用零次多项式(P 中不等于零的数)乘以多项式矩阵的某一行；(3) 用一个多项式乘以多项式矩阵的某一行再加到另一行。
且分别称以上三种变换为第1类，第2类，第3类多项式矩阵的初等行变换。
所说的初等行变换总是指多项式矩阵的行初等变换，所说的矩阵总是指多项式矩阵。
3.1.2 主要结果在高等代数中，求数域P 上两个多项式的最大公因式通常是利用辗转相除法，当多项式的次数较高时，辗转相除法计算较繁琐。
由于多项式辗转相除法主要表现为系数间的运算，因此通常利用分离系数法，使运算相对简化。
同样地，为了简化求多项式最大公因式的运算，考虑将要求最大公因式的两个多项式的系数与二行矩阵表示式对应起来。
考虑][x P 中的多项式)0()()0()(01110111≠++++=≠++++=----m m m m m n n n n n b b x b xb x b x g a a x a x a x a x f 其中i a j b ∈P (0,1,2,;0,1,2,)i n j m ==,引入如下记号 当m n =时,（)(x f ,)(x g ）↔⎥⎦⎤⎢⎣⎡--011011b b b b a a a a n n n n；当m n >时，（)(x f ,)(x g ）↔⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-010111000b b b a a a a a a m m m n n。
由于多项式的最大公因式具有以下基本性质（1） （)(x f ,)(x g ）=（)(x g ,)(x f ）；（2） 若（)(x f ,)(x h ）=1，则（)(x f ,)(x g ）=（)(x f ,)()(x h x g ）；（3）（)(x f ,)(x g ）=（)()(x kg x f +,)(x g ）, P k ∈；因此，如上引入的二行矩阵反映了以下事实（1）交换二行矩阵两行的位置，得到的矩阵仍然对应这两个多项式的最大公因式；（2）二行矩阵某一行的k 倍加于另一行得到的矩阵仍然对应这两个多项式的最大公因式。
上述事实意味着数域P 上多项式的最大公因式（)(x f ,)(x g ）可以利用二行矩阵进行初等行变换求得。
具体实施步骤为（1）根据多项式的系数作出（)(x f ,)(x g ）对应的二行矩阵；（2）利用第1、2类初等行变换使得二行矩阵中的行出现端首(左端或右端)为0；（3）向左(或向右)平移二行矩阵中某行，使得这一行端首的0去掉。
这表明（)(x f ,)(x g ）的次数在降低。
反复利用（1）、（2）、（3）直到出现二行矩阵的两行元素对应成比例为止。
3.1.3 计算举例例1 已知数域P 上的一元多项式7787)(346+-+-=x x x x x f ，7373)(235-+-=x x x x g求))(),((x g x f 。
解 构造二行矩阵A 并实施初等行变换⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----−−→−⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=-070370373140731400070370377087012131r r A−−→−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----−−−−−−−−−→−+12149070370300731407314r r 首项不为零将第一行元素轮换使其14147070033990707022⎡⎤--⎢⎥−−−−−−−−−−→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦将第二行元素轮换使其首项不为零1228271414777070000000332727999970700707002222r r +⎡⎤⎡⎤----⎢⎥⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦212431477000002727997070022r r +⎡⎤--⎢⎥−−−−−−−−−→−−−−→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦将第一行元素轮换使其不为零770000027270700700⎡⎤--⎢⎥−−−−−−−−−−→⎢⎥--⎣⎦将第二行元素轮换使其首项不为零1212777000000000000272770070007007000r r -⎡⎤--⎡⎤⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥--⎣⎦--⎣⎦700000001001000-⎡⎤−−−−−−→⎢⎥⎣⎦第二行除以（）第二行元素共轮换过3次，所以最大公因式为1)(3+=x x d 。
例2 求多项式3442)(234-+--=x x x x x f ，3452)(23+--=x x x x g ，6116)(23-+-=x x x x h 的最大公因式。
解 构造三行矩阵A 并进行初等行变换12r 12443109000254302543161160161160r A +----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--−−−→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦01090025430161160-⎡⎤⎢⎥−−−−−−−−−−→--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦对第二行进行轮换，使其首项不为21312,1090010900051430514300062060620600r r r r ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−−→-−−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦轮换⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---−−−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−−→−++⨯⨯001031000054251400090100131010053514100901131221,61,51r r r r r r⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−→−⨯⨯0003-10006-2009-01003100062000901103,7532轮换r r1212039003900026000260001300013000r r ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−→-−−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦轮换所以3))(),(),((-=x x h x g x f 。
3.2 求逆矩阵 解矩阵方程3.2.1 可逆矩阵定义若对n 级矩阵A 有n 级矩阵B 使E BA AB ==则称A 是可逆的，B 称为A 的可逆矩阵。
其中E 为n 级单位矩阵。
3.2.2 初等变换求逆的原理和步骤由于可逆矩阵A 可表示为一系列初等矩阵的乘积，故由E A A =-1有⎩⎨⎧==EA P P EA P P S s 11因此有如下求逆步骤（1）构造n n 2⨯的矩阵[]E A ｜；（2）对上述矩阵实行初等行变换，当用初等行变换把A 化为单位阵，则E 的位置变成A 的逆矩阵，即[]E A ｜→ []1-A E ｜需要指出的是在此过程中只能用初等行变换。