第八章弹性杆件横截面上正应力分析

的
对于坐标轴的静矩。
正
应
力
工 程 力 学
形心轴——通过平面图形形心的坐标轴。
第 八 章
杆
（1）
件
横
截
面 截面对其形心轴的静矩必为零；反之，若截面对某轴的 上 静矩等于零，则该轴必为截面的形心轴。
的
正
应
力
工
程
力 组合图形的静矩和形心位置
学 • 组合图形—由几个简单图形（如矩形、圆形或三角
形等规则图形）组成的图形。
面 分别为图形对于z轴和y轴的惯性半径。 上 （1）惯性半径恒为正； 的 （2）惯性半径的单位为m或mm。
正 应 力
工 程 力
学 例 求图形矩形截面对其对称轴y和z的惯性矩和惯 性半径。
第 八 章
杆 件 横 截 面 上 的 正 应 力
工 程 力 学
第 八 章
杆 件 横 截 面 上 的 正 应 力
第 • 组合图形的静矩——整个图形对某一轴的静矩等于
八 各组成部分对该轴静矩的代数和。
章
若已知各个简单图形的面积为Ai，又已知各个简单
杆 图形的形心坐标为（y C i ，z C i ），
件 横
（2）
截 面
• 将式（2）代入（1），得组合图形形心位置计
上 算公式。
的
（3）
正
应
力
工 程
力 例 一矩形截面如图示，已知b,h,y1,试求有阴影线部分的面 学 积对于对称轴z的静矩。
正 应
（3）静矩的单位为 m 3 或 m m 3 。
力
工
程
力
形心
学 平面图形的形心—平面图形几何形状的中心。若将平
第 八 章
面图形表示为匀质等厚薄片，则它的重心与截面图形
的形心重合。设该图形的形心坐标为（z c ，y c ），则由
重心坐标公式有
杆
件
横
截
面
上
因此，已知截面的面积和其形心的坐标，可求得该截面
应 可能减少。
力
工
程
力
学
例
图示矩形截面，y C ，z C 为截面的对称轴，试求
第 截面图形对 y 1 ，z 1 轴及 y 2 ，z 1 轴的惯性矩和惯性积。
八
章
杆 件 横 截 面 上 的 正 应 力
工 程 力 学
第 八 章
杆 件 横 截 面 上 的 正 应 力
工 程 力 学
第 八 章
杆 件 横 截 面 上 的 正 应 力
工 程 力
学 极惯性矩
第
定义
八
章
为图形对点O的极惯性矩。
杆
件
横
截 （1）惯性矩及极惯性矩与坐标设置有关；
面 （2）惯性矩及极惯性矩恒为正；
上 （3）惯性矩及极惯性矩的单位为 m 4 或 m m 4 。
的
正
应
力
工 程
力 平面图形的半径
学
将惯性矩表示为图形面积与某一长度平方的乘积，
第 八 章
定义
杆 件 横 截
工 程 力 学
若z轴和y轴均为图形的形心轴z C 和 y C ，则S y =S z = 0 ，
第 于是有
八 章
杆
件
横 惯性矩和惯性积的平行移轴公式。
截 式中的a，b的正负号由截面形心在
坐标系的象限确
面 定。
上 注意：（1）在界面对所有平行轴的惯性矩中，以对通过
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的 其形心的轴的惯性矩为最小；
正
（2 )由形心轴移轴后所得的惯性积则有可能增加也
横
积、惯性半径、形心主轴和形心主惯性矩等。
截
面
上
的
正
应
力
工
程 力
§8-1 与应力分析相关的截面图形的几何性质
学
1. 静矩
第 如图所示为一具有任意形状的截面图形，设其面积为A，
八 选图示Oxy坐标系。
章
杆 件
定义
横
截 分别为图形对于z轴和y轴的静矩
面
上 （1）静矩与坐标轴的设置有关；
的 （2）静矩可正、可负可为零；
第 八 章
杆 件 横 截 面 上 的 正 应 力
工 程 力 学
第 八 章
杆 件 横 截 面 上 的 正 应 力
工
程
力
学
2. 平面图形的惯性矩、极惯性矩及惯性积
第 具有任意形状的截面图形的面积为A。 八 选定Oyz坐标系。
章
定义
杆 件 横 截 面
上 分别为图形对于z轴和y轴的惯性矩。
的 正 应 力
工 程 力
学 例 求直径为D的圆形截面对过圆心O的正交坐标轴y 和Z的惯性矩和惯性半径。
第 八 章
杆 件 横 截 面 上 的 正 应 力
工 程 力 学
第 八 章
杆 件 横 截 面 上 的 正 应 力
工
程
力 平面图形的惯性积
学
如图所示为一具有任意形状的截面图形，设其面积为 第 A。选图示Oxy坐标系。
学
图示为任意平面图形，其中y轴平行于 y 1 轴，
第
Z轴平行于 z 1 轴。且
八
章
杆
件
横
截
面
上 的
应用静矩、惯性矩和惯性积的定义，得图形对 z 1 轴与 y 1
轴的惯性矩与惯性积分别为
正
应
力
工 程 力 学
第 八 章
杆 件 横 截 面 上 的 正 应 力
工 程 力 学
第 八 章
杆 即有
件 横 截 面 上 的 正 应 力
工
程
力
学
工程力学
第
八
章
第八章
杆 弹性杆件横截面上的正应力分析
件 横 截 面 上 的 正 应 力
工 程 力 学
• 杆件内力（轴力、扭矩剪力，弯矩）—取决于外
第
力大小。
八
章
• 杆件应力、变形—取决于内力与杆件截面的几何
形状及尺寸等几何量。
杆
• 截面图形的几何性质—与材料的；力学性质无关
件
的截面几何量：面积、形心、静矩、惯性矩、惯性
杆
件
横
得
截
面
上
的
同理可以写出 I y1 , I y1z1 的表达式。
正
应
力
工 程 力 学
第 八 章
杆
此即为惯性矩和惯性积的转轴公式。
件
横
截
面
上
即截面图形对于通过同一点的任意一对相互垂直的坐
八
章 定义
杆
件
横
截 为图形通过点O的一对坐标 轴（y,z）的惯性积。
面 （1）惯性积可正，可负，可为零；
上 的
（2）其单位为 m 4 或 m m 4 。
正 当y,z两坐标轴中有一根为图形的对称轴时，则其
应 惯性积 I y z =0。
力
工 程
力 组合图形的惯性矩和惯性积
学
组合图形对某一轴的惯性矩（或惯性积）等于各组合 第 图形对同一轴的惯性矩（或惯性积）之和。
工
程
力
学
4. 惯性矩和惯性积的转轴公式
第 八
设新坐标系 O y 1 z 1 由原坐标系 O y z 绕点O旋转 角( 角以
逆时针旋转为正)而得。
章
杆
图形上任一微面积dA在两个坐标系内的坐标(y,z)和( y 1 ,z 1 )
之间的关系为
件
横 截
(a)
面
上
(b)
的
正
应
力
工 程 力 学
第 八
章 应用三角函数关系式
八 章
杆 件 横 截 面 上 的 正 应 力
工 程 力
学 对图示空心矩形图形，可采用负面积法求其对z轴的惯 性矩，如
第 八 章
杆 件 横 截 面 上 的 正 应 力
工
程
力
学
对图示空心圆截面，可求得
第 八 章
杆
件
横
截
面
其中， = d 为内外径之比
上
D
的
正
应
力
工
程
力 3. 惯性矩和惯性积的平行移轴公式