第八章弹性杆件横截面上正应力分析

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《材料力学》第八章课后习题参考答案

解题方法与技巧归纳
受力分析
在解题前首先要对物体进行受力分析，明确各力的大小和方向，以便后续进行应力和应变的计算。
图形结合
对于一些复杂的力学问题，可以画出相应的示意图或变形图，帮助理解和分析问题。
公式应用
熟练掌握材料力学的相关公式，能够准确应用公式进行计算和分析。
检查结果
在解题完成后，要对结果进行检查和验证，确保答案的正确性和合理性。
压杆稳定
探讨细长压杆在压缩载荷作用下的稳定性问题。
解题方法与技巧
准确理解题意
仔细审题，明确题目要求和考查的知识点。
选择合适的公式
根据题目类型和所给条件，选用相应的公式进行计算。
注意单位换算
在计算过程中，要注意各物理量的单位换算，确保计算结果的准确性。
检查答案合理性
得出答案后，要检查其是否符合实际情况和物理规律，避免出现错误。
相关题型拓展与延伸
组合变形问题
超静定问题
涉及多种基本变形的组合，如弯曲与扭转的组合、拉伸与压缩的组合等，需要综合运用所学知识进行分析和计算。
超静定结构是指未知力数目多于静力平衡方程数目的结构，需要通过变形协调条件或力法、位移法等方法进行求解。
稳定性问题
疲劳强度问题
研究细长压杆在压力作用下的稳定性问题，需要考虑压杆的临界力和失稳形式等因素。
研究材料在交变应力作用下的疲劳破坏行为，需要了解疲劳极限、疲劳寿命等概念和计算方法。
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重点知识点回顾
材料的力学性质
包括弹性、塑性、强度、硬度等基本概念和性质。
杆件的拉伸与压缩
涉及杆件在拉伸和压缩状态下的应力、应变及变形分析。

工程力学(杆件弯曲受力分析计算)

教学设计三杆件弯曲受力分析计算在学习绘制杆件弯曲受力分析图后，我们来学习一下杆件的弯曲受力分析计算，即我们杆件弯曲时在横截面上产生的弯曲正应力和弯曲剪应力的计算。

问题一，杆件弯曲横截面正应力计算问题梁在弯曲变形时，梁轴线方向截面纤维曲线，下部拉伸变长，上部压缩变短。

我们选取杆件的某段横截面，其截面上某处的微分段面积dA如图8.2所示。

由该截面的积分得到，截面为弯矩M大小为公式8.1。

（公式8.1）根据广义胡可定律得到公式8.2与弯曲应变几何条件分析公式8.3得到公式8.4。

（公式8.2）（公式8.3）（公式8.4）其中，ρ为梁弯曲的曲率半径。

将公式8.4和8.1合并得到公式8.5。

（公式8.5）分析公式8.5，其中：为截面绕Z轴的惯性矩。

公式8.5变形为8.6。

ρρρρρεyydxdx==-+=∆=dθdθdθdθy)dθ(⎰⋅=AyM dAσεσ⋅=EρεσyEE==⎰⎰⎰=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=AA AyEyyEyM dAdAdA2ρρσZAIy=⎰dA2（公式8.6）将公式8.6与公式8.4合并，得到公式8.7（公式8.7）公式8.7为杆件弯曲截面上弯曲正应力一般计算公式。

如图8.2所示，y 为惯性轴到所计算应力位置的距离，分析公式我们发现当y 为0时，截面正应力为零，当y 等于截面高度一半时，截面正应力最大，说明在杆件中间有一条纤维线在受力弯曲时既不拉伸变长也不压缩变短，我们称这条纤维曲线为杆件的中性轴，此轴所在的水平层称为中性层，而在杆件截面上下边缘处，存在最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力，也就是极值问题的出现。

我们引入新的物理量W ，抗弯截面模量，它的计算式为8.8。

（公式8.8）公式8.7可以化简为极值公式8.9。

（公式8.9）例题分析讲解【例1】图8.3所示，悬臂矩形截面杆件，截面O 1上有A 、B 、C 、D 点，求它们的弯曲正应力。

【解】计算悬臂梁的弯矩计算梁截面的惯性矩计算抗弯截面模量计算各点的正应力yIW Z=m kN 6.488.130212⋅=⨯⨯=M 001067.0124.02.01233=⨯==bh I 00533.0124.02.0622=⨯==bh W Z WM Z =σZZ I E M ⋅=ρ1y I M ZZ=σ（拉）MPa 12.900533.06.48===Z Z a W M σ（压）m 9.12kN a d ⋅=-=σσ0b =σ（压）4.55MPa 0.1106700.06.48b c =⨯==y I M Z Z σ问题二，杆件弯曲横截面剪应力计算问题与弯曲正应力不同，在截面上各点的弯曲剪应力指向相同，不论是否在中性层的上侧还是下侧；在同一剪力段，同一层的各点剪应力大小相同。

材料力学第8章应力状态分析

点。设想以A点为中心，用相互垂直的6个截面截取一个边长无限小的立方
体，我们将这样的立方体称为单元体。取决于截取平面的倾角变化，围绕同一个点，可以截取出无数个不同的单元体，
图8.1（b）为依附着杆件横截面所截取单元体(图8.1（c）为其平面图形式)，而图8.1（d）为依附着45°斜截面所截取的单元体。由于杆件轴向拉伸时，横截面上只有正应力，且与杆件轴向平行的截面没有应力，因此，图8.1（b）中的单元体只在左右两个面上有正应力作用。对于图8.1（d）中的单元体，根据拉压杆斜截面应力分析（2.3节）可知，其4个面上既有正应力又有切应力。
又有切应力。围绕A，B，C三点截取单元体如图8.2(d)所示，单元体的前后
两面为平行于轴线的纵向截面，在这些面上没有应力，左右两面为横截面的一部分，根据切应力互等定理，单元体B和C的上下两面有与横截面数值相等
的切应力。至此，单元体各面上的应力均已确定。注意到图8.2（d）各单元
体前后面上均无应力，因此也可用其平面视图表示(见图8.2（e）)。
图8.2
从受力构件中截取各面应力已知的单元体后，运用截面法和静力平衡条件，可求出单元体任一斜截面上的应力，从而可以确定出极值应力。
围绕构件内一点若从不同方向取单元体，则各个截面的应力也各不相同。其
中切应力为零的截面具有特殊的意义，称为主平面；主平面上的正应力称为主应力。一般情况下，过构件内任一点总能找到3个互相垂直的主平面，因
图8.3
运用截面法可以求出与 z 截面垂直的任意斜截面 ac 上的应力（见图 8.3
（ a ））。设斜截面 ac 的外法线 n 与 x 轴的夹角为 α （斜截面 ac 称为 α 截面），并规定从 x 轴正向逆时针转到斜截面外法线 n 时 α 角为正

杆件横截面上的应力

F
F:横截面上的轴力 A：横截面的面积
拉压杆斜截面上的应力
横截面----是指垂直杆轴线方向的截面；斜截面----是指任意方位的截面。
F
F
F
①全应力：
②正应力：
③切应力：
1） α=00时， σmax＝σ 2）α＝450时， τmax=σ/2
试计算图示杆件1-1、2-2、和3-3截面上正应力.已知横截面面积A=2×103mm2
在上下边缘处：
y = 0，
b
h
max
图示矩形截面简支梁受均布荷载作用，分别求最大剪力所在的截面上a,b,c三点处的切应力。作出剪力图各点处的切应力
矩形截面简支梁，加载于梁中点C，如图示。求σmax , τmax 。
二、工字形截面梁的切应力
横截面上的切应力(95--97)％由腹板承担,而翼缘仅承担了(3--5) ％,且翼缘上的切应力情况又比较复杂.为了满足实际工程中计算和设计的需要仅分析腹板上的切应力.
主应力及最大切应力
①切应力等于零的截面称为主平面由主平面定义，令tα =0
可求出两个相差90o的a0值，对应两个互相垂直主平面。
②令
得：
即主平面上的正应力取得所有方向上的极值。
③主应力大小：
④由s１、s３、0按代数值大小排序得出：s1≥0≥s3
极值切应力：
①令：
②
可求出两个相差90o 的a1，代表两个相互垂直的极值切应力方位。
C
A
B
40
yc
FS
_
+
M
0.25
0.5
+
_
平面应力状态的应力分析主应力
一、公式推导：

工程力学中的杆件和梁的应力分析

工程力学中的杆件和梁的应力分析工程力学是工程学科的重要分支之一，它研究物体在受力作用下的力学性质。

在工程实践中，杆件和梁是常见的结构构件，其应力分析是工程设计和计算的基础。

本文将从杆件和梁的应力分析角度探讨工程力学中的相关知识。

一、杆件的应力分析杆件是一种细长的结构构件，承受轴向力的作用。

在杆件的静力学中，应力是一个重要参数，用于描述杆件内部受力的强度和稳定性。

杆件的应力可以分为正应力和切应力。

1. 正应力正应力是指垂直于杆件截面的作用力在该截面上的单位面积，通常用σ表示。

正应力的计算可以使用公式：σ = F / A其中，F为作用力的大小，A为截面积。

正应力可以分为拉应力和压应力两种情况。

当作用力沿着杆件的轴向，方向与截面的法线方向一致时，称为拉应力。

拉应力是正值，表示杆件受拉的状态。

当作用力沿着杆件的轴向，方向与截面的法线方向相反时，称为压应力。

压应力是负值，表示杆件受压的状态。

2. 切应力切应力是指杆件截面上作用力的切向力与该截面上的单位面积之比，通常用τ表示。

切应力的计算可以使用公式：τ = F / A其中，F为作用力的大小，A为截面积。

切应力主要存在于杆件的连接部分，例如螺纹连接、焊接连接等。

切应力会引起杆件的剪切变形和破坏，需要在设计过程中加以考虑。

二、梁的应力分析梁是一种用于承受弯曲力的结构构件，具有横截面的特点。

在梁的应力分析中，主要考虑的是弯矩和截面弯曲应力。

1. 弯矩弯矩是指作用在梁上的力对其产生的弯曲效应。

在工程实践中，梁通常是直线形状，因此弯矩在横截面上呈现出分布的特点。

弯矩可以通过力学平衡和弹性力学原理进行计算。

弯矩的大小与力的大小和作用点的位置有关，计算公式为：M = F * d其中，M为弯矩，F为作用力的大小，d为作用点到梁的某一端的距离。

2. 截面弯曲应力截面弯曲应力是指由于弯曲效应，在梁的横截面上产生的应力。

截面弯曲应力的大小与弯矩和横截面的几何形状有关，计算可以使用弯曲应力公式进行。

《工程力学(工程静力学与材料力学)(第3版)》习题解答：第8章剪应力分析

1．绘出梁的剪力图和弯矩图；
2．确定梁内横截面上的最大拉应力和最大压应力；
3．确定梁内横截面上的最大切应力；
4．画出横截面上的切应力流。
知识点：弯曲切应力公式的应用、切应力流
难度：难
解答：
1．图（a）：
kN
， kN
剪力与弯矩图如图（b）、（c）；
2．形心C位置
MPa
MPa
3． m3
MPa
4．切应力流如图（e）。
（A）下移且绕点O转动；
（B）下移且绕点C转动；
（C）下移且绕z轴转动；
（D）下移且绕轴转动。
知识点：弯曲中心、薄壁截面梁产生平面弯曲的加载条件
难度：一般
解答：
正确答案是D。
8－19试判断下列图示的切应力流方向哪一个是正确的。
知识点：横向弯曲时梁横截面上的切应力流、弯曲切应力分析方法
难度：难
解答：
（A）细长梁、横截面保持平面；
（B）弯曲正应力公式成立，切应力沿截面宽度均匀分布；
（C）切应力沿截面宽度均匀分布，横截面保持平面；
（D）弹性范围加载，横截面保持平面。
知识点：弯曲时梁横截面上切应力分析
难度：易
解答：
正确答案是B。
公式推导时应用了局部截面的正应力合成的轴力，该正应力则要求弯曲正应力公式成立；另外推导时在时，应用了沿截面宽度均匀分布假设。
难度：难
解答：
正确答案是D。
8－21简支梁受力与截面尺寸如图所示。试求N－N截面上a、b两点的铅垂方向的切应力以及腹板与翼缘交界处点c的水平切应力。
知识点：弯曲切应力公式的应用、切应力流
难度：难
解答：
FQ = 120kN，形心C位置。

材料力学作业(8-11)

第八章应力应变状态分析一、选择或填空题1、过受力构件内任一点，取截面的不同方位，各个面上的（）。

A 、正应力相同，切应力不同；B 、正应力不同，切应力相同；C 、正应力相同，切应力相同；D 、正应力不同，切应力不同。

2、在单元体的主平面上（）。

A 、正应力一定最大；B 、正应力一定为零；C 、切应力一定最小；D 、切应力一定为零。

3、图示矩形截面悬臂梁，A-A 为任意横截面，1点位于截面上边缘，3点位于中性层，则1、2、3点的应力状态单元体分别为（）。

A-AA B C4、图示单元体，其最大主应力为（）A 、σ；B 、2σ；C 、3σ；D 、4σ。

5、下面单元体表示构件A 点的应力状态。

6、图示单元体，如果MPa 30=ασ，则βσ=（） A 、100Mpa ； B 、50Mpa ； C 、20MPa ； D 、0MPa 。

8、图示应力圆对应于单元体( )。

9、已知单元体及应力圆如图所示，σ1所在主平面的法线方向为( )。

A 、n 1；B 、 n 2；C 、n 3；D 、n4。

二、计算题1、已知应力状态如图所示，试用解析法计算图中指定截面上的正应力和切应力。

2、试画图示应力状态的三向应力圆，并求主应力、最大正应力和最大切应力。

3、边长为20mm的钢立方块置于刚性模中，在顶面受力F=14kN作用。

已知材料的泊松比为0.3，求立方体各个面上的正应力。

4、图示矩形截面梁某截面上的弯矩和剪力分别为M=10 kN.m，Q=120 kN。

试绘出截面上1、2、3、4各点的应力状态单元体，并求其主应力。

第九章强度理论一、选择题或填空题 1、在冬天严寒天气下，水管中的水会受冻而结冰。

根据低温下水管和冰所受力情况可知（）。

A 、冰先破裂而水管完好；B 、水管先破裂而冰完好；C 、冰与水管同时破裂；D 、不一定何者先破裂。

【工程力学课后习题及答案全解】第8章弹性杆件横截面上的正应力分析习题解

（A）y3 z3、y4 z4 是主轴；（B）除 y2 z2 外，其余三对均为主轴；（C）除 y1z1 外，其余三对均为主轴；（D）仅 y3 z3 为主轴。正确答案是 B 。
习题 8-9 图
8－10 图示直角三角形截面中，A、B 分别为斜边和直角边中点，y1z1、y2 z2 为两对互相平行的直角坐标轴。试判断下列结论中，哪一个是正确的。
— 39 —
σa
=
−175Ea Es
= −175 70 200
= −61.25 MPa（压）
8－14 从圆木中锯成的矩形截面梁，受力及尺寸如图所示。试求下列两种情形下 h 与 b 的比值：
（1）横截面上的最大正应力尽可能小；（2）曲率半径尽可能大。解：（1） σ = M z = M z = 6M z
正确答案是 A 。解：若用右手系，y 轴坐标朝上为正，则由 h1 = b1 得
Sz
(I)
=
3 2
b1h12
>
0
，
Sz
(II)
=
−2b1h12
<
0
若考虑正负号，则应选 A；若考虑静矩的绝对值，则应选 B。
8－7 图示矩形中 y1、z1 与 y2、z2 为两对互相平行的坐标轴。试判断下列关系式中，哪一个是正确的。
解：变形谐调：
FNs = FNa Es As Ea Aa FNs + FNa = FP
（1）（2）
⎧ ⎪⎪FNs ⎨ ⎪⎪⎩FNa
= =
Es As Es As + Ea Aa
Ea Aa Es As + Ea Aa
FP FP
（压）
（1）
σs
=
FNs As

第八章轴向拉压杆的强度计算

x截面上的轴力为
表明该杆的轴力是截面位置x 的连续函数，
称为轴力方程。该轴力方程表明FN是关于截面位置x的一次函数，轴力图如图所示。
时，时，沿杆长的分布规律如图（c）所示；并可得
横截面上的正应力沿杆长呈线性分布。
时，时，
2、斜截面上的应力
在下一节拉伸与压缩试验中会看到，铸铁试件压缩时，其断面并非横截面，而是斜截面。这说明仅计算拉压杆横截面上的应力是不够的，为了全面分析解决杆件的强度问题，还需研究斜截面上的应力。
在曲线中d点之前试件沿长度方向其变形基本上是均匀的但当超过d点之后试件的某一局部范围内变形急剧增加横截面面积显著减小形成图示的颈该现象称为由于颈部横截面面积急剧减小使试件变形增加所需的拉力在下降所以按原始面积算出的应力按原始面积算出的应力fa称为名义称为名义应力应力也随之下降如图中dg段直到g点试件断其实此阶段的真实应力即颈部横截面上的应力随变形增加仍是增大的如图中的虚线dg所示
应力是内力的集度，内力或应力均产生在杆件内部，是看不到的。
应力与变形有关，所以研究应力还得从观察变形出发。
试验现象（矩形截面试件）：周线：平移，形状不变，保持平行；纵向线：伸长，保持平行，与周线正交。
拉（压）杆横截面上的内力是轴力，其方向垂直于横截面，因此，与轴力相应的只可能是垂直于截面的正应力，即拉（压）杆横截面上只有正应力，没有切应力。
0.33
胡克定律只适用于在杆长为l长度内F 、FN、E、A均为常值的情况下，即在杆为l长度内变形是均匀的情况。若杆件的轴力FN及抗拉（压）刚度EA沿杆长分段为常数，则
式中FNi、(EA) i和li为杆件第i段的轴力、抗拉（压）刚度和长度。若杆件的轴力和抗拉（压）刚度沿杆长为连续变化时，则

杆件的应力和强度设计(2)

强度计算
等截面杆： FN，max s
A
smax—拉(压)杆的最大工作应力， [s]—材料拉伸(压缩)时的许用应力。
强度条件的应用
三类常见的强度问题
•校核强度：已知外力，s ，A，判断
s max＝
FN A
max
？

s
是否能安全工作？
•截面设计：已知外力，s ，确定
F 4.25 kN
三、圆轴扭转应力
m

m
通过试验、观察变形、
作出假设（平面假设）
t

T
I
t max
T Wt
1）纵向线都倾斜了一个夹角，且仍为直线（有切应力）
2）圆周线间的间距没有改变（无正应力）
3）圆周线的大小和形状均未改变（切应力方向垂直于径向）
结论：圆轴扭转时，横截面上
只有切应力且垂直于径向。
合理安排梁的载荷
P
L
5L
6
6
Mmax

5 PL 36
q
L
Mmax

1 2
qL2
合理安排梁的约束
q
L
Mmax

1 8
qL2
P/ L
L
1 Mmax 8 PL
q
L 5
3 5
L
L 5
Mmax

1 qL2 40
3. 合理设计梁的外形
等强度梁：梁的每个横截面上的最大正应力都等于许用应力的梁。
smaxW Mzxxs
A FN，max
s
•确定承载能力：已知A，s ，确定
FN ＝As
例一空心圆截面杆, 外径 D 20 mm ,内径 d 15 mm ,承受

杆件横截面上的应力课件

分类
根据作用力的方向与截面法线的关系，应力可分为正应力与剪应力。正应力是指垂直于截面的力，剪应力是指与截面相切的力。
杆件横截面上的应力分布
均匀分布
在均匀受力的杆件横截面上，应力分布是均匀的。
不均匀分布
在非均匀受力的杆件横截面上，应力分布是不均匀的，可能存在应力集中现象。
应力对杆件性能的影响
当杆件横截面上的拉压应力达到最大拉压应力值时，杆件发生拉压破坏。
最大弯曲应力准则
当杆件横截面上的弯曲应力达到最大弯曲应力值时，杆件发生弯曲破坏。
校核方法与步骤
静力校核
根据杆件承受的静力荷载，计算出杆件横截面上的应力和应变，并与许用应力和安全系数进行比
较，判断是否满足强度要求。
动力校核
根据杆件承受的动力荷载，计算出杆件横截面上的应力和应变，并与许用应力和安全系数进行比
扭转变形引起的应力分析
扭转变形
当杆件受到垂直于其轴线的扭矩作用时，会在其横截面上产生扭转变形。扭转变形的大小与扭矩和横截面面积有关，计算公式为θ=T/GIP，其中T为扭矩， GIP为截面对主轴z的抗扭截面模量。
VS
扭转变形引起的切应力
在扭转变形过程中，除了扭转变形外，还会在横截面上产生扭转变形引起的切应力。扭转变形引起的切应力的大小与扭矩和杆件截面的转动惯量有关，计算公式为 τ=T/It，其中It为截面对主轴t的抗扭截面模量。
计算分析
根据建立的模型，进行计算和分析，得出杆件横截面上的应力分布和大小。
结果评估
将计算结果与设计规范和标准进行对比，评估结构的应力和
安全性能。
案例分析结论与建议
结论
通过对实际工程中的杆件横截面应力问题进行案例分析，可以得出杆件横截面上的应力分布和大小，评估结构的应力和安全性能。

《谢奇之-工程力学》杆件基本变形横截面上的应力

桥梁结构应力分析
在桥梁设计中，需要分析不同工况下的应力分布，以确保桥梁的安全性和稳定性。
机械零件的疲劳强度
在机械运转过程中，某些关键零件会受到周期性载荷，导致疲劳断裂。对零件进行疲劳强度分析，可以预测其使用寿命。
建筑结构的稳定性
建筑结构在风、地震等外力作用下会发生变形，分析结构的应力分布有助于评估其稳定性。
有限元法
有限元法是一种数值计算方法，通过将杆件横截面离散成有限个小的单元，并对每个单元进行应力分析来计算横截面上的应力。
有限元法适用于各种形状和材料的杆件，且可以模拟复杂的边界条件和载荷情况。
有限元法的优点是适用范围广、精度高、可以处理复杂的非线性问题，但计算量大、需要较高的计算机技术和软件支持。
04
应力的计算方法
截面法
截面法是工程中常用的应力计算方法之一，通过在杆件横截面上选择一个或多个代表性点，并分析这些点
的应力状态来计算横截面上的应力。
截面法适用于各种形状和材料的杆件，只需要知道杆件横截面的几何尺寸和材料属性即可。
截面法可以通过实验测量和数值计算两种方式进行，实验测量需要制作专门的试件进行测试，数值计算则
可以通过计算机软件实现。
解析法
01
解析法是通过数学公式和定理来计算应力的方法，适用于简单形状和材料的杆件。
02
解析法需要建立杆件横截面的力学模型，并利用弹性力学、材
料力学等理论公式进行计算。
解析法的优点是计算精度高，适用于理论分析和设计计算，但
03
适用范围较窄，对于复杂形状和材料的杆件难以应用。
05
应力的影响与控制
应力的影响
变形与开裂
应力会导致材料发生变形，当应力超过材料的屈服极限时，

工程力学(静力学与材料力学)习题及答案 )-正应力分析

习题7-1图习题7-2图习题7-3图工程力学（静力学与材料力学）习题第7章弹性杆件横截面上的正应力分析7－1 桁架结构受力如图示，其上所有杆的横截面均为20mm ×50mm 的矩形。

试求杆CE 和杆DE 横截面上的正应力。

7－2 图示直杆在上半部两侧面受有平行于杆轴线的均匀分布载荷，其集度p = 10kN/m ，在自由端D 处作用有集中呼F P = 20 kN 。

已知杆的横截面面积A = 2.0×10-4m 2，l = 4m 。

试求：1．A 、B 、E 截面上的正应力；2．杆内横截面上的最大正应力，并指明其作用位置。

7－3 图示铜芯与铝壳组成的复合材料杆，轴向拉伸载荷F P 通过两端的刚性板加在杆上。

试：1．写出杆横截面上的正应力与F P 、d 、D 、E c 、E a 的关系式；2．若已知d = 25mm ，D = 60mm ；铜和铝的单性模量分别为E c = 105GPa 和E a = 70GPa ，F P = 171 kN 。

试求铜芯与铝壳横截面上的正应力。

习题7-4图习题7-5图习题7-6图习题7-7图 7－4 图示由铝板钢板组成的复合材料柱，纵向截荷F P 通过刚性平板沿着柱的中心线施加在其上。

试：1．导出复合材料柱横截面上正应力与F P 、b 0、b 1、h 和E a 、E s 之间的关系式；2．已知F P = 385kN ；E a = 70GPa ，E s = 200GPa ；b 0 = 30mm ，b 1 = 20mm ，h = 50mm 。

求铝板与钢板横截面上的最大正应力。

7－5 从圆木中锯成的矩形截面梁，受力及尺寸如图所示。

试求下列两种情形下h 与b 的比值：1．横截面上的最大正应力尽可能小；2．曲率半径尽可能大。

7－6 梁的截面形状为正方形去掉上、下角，如图所示。

梁在两端力偶M z 作用下发生弯曲。

设正方形截面时，梁内最大正应力为0σ；去掉上、下角后，最大正应力变为0max σσk =，试求：1．k 值与h 值之间的关系；2．max σ为尽可能小的h 值，以及这种情形下的k 值。

河海大学材料力学第八章杆类构件静力学设计第二节

s u = sb (脆性材料) s u = ss (塑性材料)
要保证杆件安全而正常地工作，其最大工作应力显然不能超过材料的极限应力。考虑到在实际使用中存在的一些不利因素，如杆件可能承受超过设计值的载荷，实际材料的极限应力可能小于试验结果，计算时所取的计算简图可能不完全符合实际情况，杆件尺寸制造不准确等等，以及还必需给杆件必要的强度储备，因此设计时不能使杆件的最大工作应力等于极限应力，而必须小于极限应力。
3、若材料的[s ] ≠ [s - ] (如铸铁等)，以及中性轴不
是截面的对称轴，则需分别对最大拉应力和最大压应力作强度计算。
4、对于实心截面杆，在一般受力情况下，正应力强度起控制作用，不必校核切应力强度。但对于薄壁截面，如焊接工字型钢梁，以及集中载荷作用在靠近支座处，从而使梁的最大弯矩较小而最大剪力较大等这些情况，则需要校核切应力强度。
z FA=10kN
yb
FB=110kN
8kN•m (+)
(–)
M图 (2)确定危险截面、危险点危险截面：截面B， C
危险点：截面B和C上a、b两点
截面B
16kN•m
sa = 29.4MPa(拉) < [s +] sb = 87.0MPa(压) < [s -]
截面C
sa = 14.7MPa(压) < [s -] sb = 43.5MPa(拉) > [s +]
例：T型截面铸铁梁，Iz=26.1×10 6mm4，y1=48mm，
y2=142mm， [s +] =40MPa，[s -] =110MPa ，试校核该梁的强度。超过[s +] 8.75%，该梁不安全
40kN 200kN/m

工程力学研究生入学考试大纲

<<工程力学>>研究生入学考试大纲第一篇刚体静力学1．引论物体的受力分析方法与受力图2．力系的等效与简化力对点的矩；力对轴的矩；主矢与主矩；对力偶及力偶系的应用;力线平移定理;空间一般力系的简化;简化的最后结果;力螺旋;合力矩定理.3.力系的平衡平衡条件;平衡方程;平面力系平衡方程应用于简单多刚体系统;空间力系平衡方程的应用.4.刚体静力学专门问题桁架静力分析的基本方法;滑动摩擦;摩擦角与自锁现象;考虑摩擦的平衡问题;滚动摩擦.第二篇弹性静力学5.引论弹性体及其理想化;弹性体受力与变形特征.6.杆件的内力分析内力主矢主矩及内力分量;纵向载荷引起的内力图;梁的剪力图与弯矩图;刚架的剪力图与弯矩图;复杂载荷作用下杆件的内力图.7.弹性杆件横截面上的正应力分析应力应变及其相互关系;杆件横截面上的正应力分析;正应力公式的应用;中性轴的概念及其位置;截面核心的概念.8.弹性杆件横截面上的切应力分析圆轴扭转时横截面上的切应力;非圆截面杆扭转时的切应力;弯曲中心.9.应力状态分析一点处应力状态描述及其分类;正负号规则;微元的局部平衡,应力坐标变换;应力圆的应用;主应力主方向与面内最大切应力;三向应力状态的特例分析;广义虎克定律;各向同性材料个弹性常数之间的关系;总应变比能;体积改变比能与形状改变比能.10.杆件横截面的位移分析微段的变形;杆件的总体变形与横截面的位移;积分法确定梁的挠度与转角;叠加法求变形及位移;简单的超静定问题.11.弹性平衡稳定性分析弹性稳定性的基本概念;确定分叉载荷的平衡方法12.失效分析与设计准则应力-应变曲线;弹性模量;比例极限;弹性极限;屈服应力;应变硬化与颈缩;拉延行为;强度极限;延伸率;韧性指标;卸载与再加载时材料的力学行为;单向压缩时材料的力学行为;材料在单向应力状态下的失效判据;杆件失效概念与失效分类;屈服准则;断裂准则;稳定性设计准则.13.杆类构件的静力学设计拉压杆的强度设计;梁的强度设计;梁的刚度设计;轴的强度设计;压杆稳定性设计;组合变形杆件的强度设计;提高构件强度的途径;提高构件刚度的途径;提高压杆承载能力的途径.第三篇工程运动学1.点的一般运动点的运动方程速度与加速度;变矢量法;直角坐标法;弧坐标法;切向加速度;法向加速度.2 点的复合运动绝对运动相对运动与牵连运动;矢量的绝对导数与相对导数;速度合成定理;加速度合成定理;科氏加速度;3. 刚体平面运动刚体平面于的自由度广义坐标与运动方程;平面运动分解为平移与转动;平面运动的角速度概念;基点法;速度投影定理法;瞬时速度中心法;平面图形上各点的加速度分析;平面运动分解为转动与转动.第四篇工程动力学4.质点在惯性与非惯性参考系中的动力学质点在惯性系中的运动微分方程;质点动力学第二类问题的应用; 质点在非惯性系中的运动微分方程;牵连惯性力与科氏惯性力的概念.定理5.质点系动量定理动量定理与质量中心运动定理;应用于简单刚体系统;应用于定常质量流;变质量质点的运动微分方程.6.质点系动量矩定理质点系动量矩定理及应用; 质点系相对于质心动量矩定理;刚体平面运动微分方程及应用7.质点系动能定理动量与能量;内力之功与理想约束力之功;质点系的动能与刚体的动能;质点系的动能定理与机械能守恒;质点系普遍定理的综合应用.8. 达朗贝尔原理达朗贝尔原理与惯性力; 达朗贝尔原理的质点系形式;刚体惯性力系的简化;动静法的应用.9.碰撞碰撞的力学特征与模型;动力学普遍定理在碰撞问题中的应用;恢复系数;两球的斜碰撞;刚体的碰撞;撞击中心.10.振动单自由度线性系统的自由振动; 单自由度线性系统的受迫振动;第五篇分析力学1.引论约束;广义坐标与自由度;虚位移与虚功;理想约束.2.虚位移原理虚位移原理及其应用;保守系统和势能的基本概念;势能驻值定理;最小势能原理.3.分析动力学基础分析动力学的基本概念达朗贝尔-拉格朗日原理及应用;拉格朗日方程的推导,形式及应用;拉格朗日方程的首次积分.参考教材：《工程力学教程》（I、II、III第一版），高等教育出版社，范钦珊。

工程力学第8章杆件横截面上的正应力分析

2 A 2 A A
展开后，并利用静矩、惯性矩和惯性积的定义，得
I z1 = I z + 2aS z + a 2 A I y1 z1 = I y z + aS y + bSz + abA I y1 = I y + 2bS y + b 2 A
(8－17)
如果 y、z 轴通过图形形心，则上述各式中的 Sy＝Sz ＝0，于是，由上式得到
S z = AyC S y = Az C
(8－2)
或
ydA A S y ∫AzdA zC = = A A yC = Sz = A
∫
A
(8－3)
这就是图形形心坐标与静矩之间的关系。根据上述关于静矩的定义以及静矩与形心之间的关系可以看出：
n 静矩与坐标轴有关，同一平面图形对于不同的坐标轴有不同的静矩。对某些坐标轴静矩为正；对另外一些坐标轴静矩则可能为负；对于通过形心的坐标轴，图形对其静矩等于零。 n 如果已经计算出静矩，就可以确定形心的位置；反之，如果已知形心在某一坐标系中的位置，则可计算图形对于这一坐标系中坐标轴的静矩。
I P = ∫ r 2 dA,
A
(8－7)
为图形对于点 O 的截面二次极矩或极惯性矩（second polar moment of an area）。定义积分
I yz = ∫A yzd A,
பைடு நூலகம்
(8－8)
为图形对于通过点 O 的一对坐标轴 y、z 的惯性积 (product of inertia) 。定义
(8－4)
再利用式（8－3），即可得组合图形的形心坐标：
S yC = z = A
∑Ay

北航材料力学第八章应力状态分析

应力应变状态分析
y
y x
§8-2
y
dx dy
平面应力状态应力分析
什么是平面应力状态？
x
dz
x
•微体有一对平行表面不受力的应力状态。由此推断
x
微体仅有四个面作用有应力；应力作用线均平行于不受力表面；平面应力状态的应力分析问题：已知x , y, x , y, 求任意平行于z轴的斜截面上的应力。
Page 2
第八章
应力应变状态分析

关于微体：
围绕杆件内某点所截取的一个边长无限小的长方体；每个面上的应力分布差异可忽略，认为其均匀分布；
微体相对的两个面上的应力视为过该点的、法向相反的两个平面在该点的应力，等值、反向；微体三个相邻表面上的应力分别代表了过该点的、互相垂直的三个平面在该点的应力状况；微体的任意截面上的应力均匀，并且代表了同法向平面在该点的应力
第八章
应力应变状态分析
第八章
§8-1 §8-2
应力应变状态分析
引言平面应力状态应力分析
§8-3
§8-4 §8-5 §8-6 §8-7 §8-8
应力圆
平面应力状态的极值应力与主应力复杂应力状态的最大应力平面应变状态应变分析各向同性材料的应力、应变关系复杂应力状态下的应变能与畸变能
§8-9
复合材料的应力、应变关系
纯剪切受力状态
y
应力应变状态分析
单向受力状态
x x
双向等拉

x

R=x
R=x/2 o
C
C

o

o

x/2
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第八章

杆件某个截面轴力和正应力

杆件某个截面轴力和正应力
，及附有一个参考答案
钢杆件某个截面轴力和正应力概述
钢杆件在机械结构中具有重要意义，其轴力和正应力是工程设计师关注的重要
能力参数之一。

轴力和正应力是相对于该钢杆件的某个截面位置所受到的拉应力和压应力，尤其是其所承受的最大载荷和最大拉伸应力。

钢杆件轴力与正应力的物理意义
钢杆件轴力和正应力分别是在主要截面位置的表达。

如果挤压轴的横截面处有
压力，就有正应力，最大拉伸应力是对称的，比如一根钢杆件的弯曲两端处有受力，而轴力是真正的轴向应力，由于其介质的不同而产生的结构轴心的应力。

钢杆件轴力与正应力的计算
轴力与正应力都可以用正负矩形矩阵来表示，表示该钢杆件截面位置周围空间
拉伸与剪切作用，其数值可以通过力学计算和测试因素获得。

其中，正应力由<截
面内力>、<截面外力>、<入射温度差>及<膨胀冲击加载应力>等因素共同决定，而
轴力则由<分布力>及<梁端预应力>等因素决定。

钢杆件轴力与正应力的应用
该钢杆件的轴力与正应力的研究，不仅有助于工程设计帮助更好地理解结构受
力特性，而且也可以提供有效评估材料性能、预测材料受拉断裂等结构受损风险等。

因此，该钢杆件轴力与正应力的有效测试与分析，深受结构设计者的重视。

总结
本文通过对钢杆件某个截面轴力和正应力的讨论及分析，总结了此类材料在机
械结构设计中的作用及其对结构设计师的重要性。

钢杆件轴力与正应力的测试分析，不仅可以提供有效评估材料性能，而且还能够更好地了解该结构的受力特性。