二次函数与几何综合压轴题题型归纳

一、二次函数和特殊多边形形状 二、二次函数和特殊多边形面积 三、函数动点引起的最值问题 四、常考点汇总

1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-=

2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：⎪⎭

⎫

⎝⎛++22B A B A y y x x ， 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系：

（1）两直线平行⇔21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交⇔21k k ≠ （3）两直线重合⇔21k k =且21b b = （4）两直线垂直⇔121-=k k

3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下：

① 用∆和参数的其他要求确定参数的取值围；

② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式）

③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x 的一元二次方程()0122

2

＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。

4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上）

例：若抛物线()3132

+++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定

此抛物线的解析式。

5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下：

已知关于x 的方程2

3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总

有一个固定的根。

解：当0=m 时，1=x ；

当0≠m 时，()032

≥-=∆m ，()m m x 213∆±-=

，m

x 3

21-=、12=x ；

综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。

6、函数过固定点问题，举例如下：

已知抛物线22

-+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。

解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122

；

∴ ⎩

⎨⎧=-=+-01 02 2x x y ，解得：⎩⎨⎧=-=1 1 x y ；

∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。

（题目要求等价于：关于m 的方程()x m x y -=+-122

不论m 为何值，方程恒成立）

小结．．

：关于x 的方程b ax =有无数解⇔⎩

⎨⎧==0 0

b a 7、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴）

（1）如图，直线1l 、2l ，点A 在2l 上，分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ，使得MN AM +之和最小。

（2）如图，直线1l 、2l 相交，两个固定点A 、B ，分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ，使得

AN MN BM ++之和最小。

（3）如图，B A 、是直线l 同旁的两个定点，线段a ，在直线l 上确定两点E 、F （E 在F 的左侧 ），使得四边形AEFB 的周长最小。

8、在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法

三角形的面积求解常用方法：如右图，S △PAB =1/2 ·PM ·△x=1/2 ·AN ·△y 9、函数的交点问题：二次函数（c bx ax y ＋＋＝2

）与一次函数（h kx y ＋＝）

（1）解方程组⎩⎨⎧h

kx y c

bx ax y ＋＝＋＋＝ 2可求出两个图象交点的坐标。

（2）解方程组⎩⎨⎧h

kx y c bx ax y ＋＝＋＋＝ 2，即()02

＝－＋－＋h c x k b ax ，通过∆可判断两个图象的交点

的个数

有两个交点 ⇔ 0＞∆ 仅有一个交点 ⇔ 0=∆ 没有交点 ⇔ 0＜∆

10、方程法

（1）设：设主动点的坐标或基本线段的长度

（2）表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量 （3）列方程或关系式

11、几何分析法

特别是构造“平行四边形”、“梯形”、“相似三角形”、“直角三角形”、“等腰三角形”等图形时，利用几何分析法能给解题带来方便。

几何要求 几何分析

涉及公式

应用图形 跟平行有关的图形

平移

2121k k l l ＝∥⇔、2

12

1x x y y k --= 平行四边形 矩形

梯形 跟直角有关的图形 勾股定理逆定理 利用相似、全等、平行、对顶角、互余、互补等

()()22B A B A x x y y AB -+-=

直角三角形 直角梯形 矩形 跟线段有关的图形

利用几何中的全等、中垂线的性质等。

()

()2

2

B A B A x x y y AB -+-=

等腰三角形 全等

【例题精讲】

一 基础构图：

y=322

--x x （以下几种分类的函数解析式就是这个）

★和最小，差最大 在对称轴上找一点P ，使得PB+PC 的和最小，求

出P 点坐标

在对称轴上找一点P ，使得PB-PC 的差最大，求出P 点坐标

★求面积最大 连接AC,在第四象限找一点P ，使得ACP ∆面积最大，求出P 坐标

★ 讨论直角三角形 连接AC,在对称轴上找一点P ，使得ACP ∆为直角三角形，

求出P 坐标或者在抛物线上求点P

，使△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形．

★ 讨论等腰三角形 连接AC,在对称轴上找一点P ，使得ACP ∆为等腰三角形，

求出P 坐标