圆周角 第二课时教案
28.3圆心角和圆周角(第二课时圆周角)教学设计-2023-2024学年冀教版数学九年级上册
题目：证明一个圆周角等于它所夹的圆心角的一半。
答案：略。
5. 题型五：圆周角定理的综合应用
题目：在一个圆中，有两个圆周角分别为30度和60度，求这两个圆周角所对的圆心角的和。
答案：根据圆周角定理，30度圆周角所对的圆心角为60度，60度圆周角所对的圆心角为120度。所以，这两个圆周角所对的圆心角的和为60度+120度=180度。
首先，通过探究圆周角定理，学生需要运用逻辑推理能力，从具体的事实和案例中抽象出圆心角和圆周角之间的关系，从而加深对圆的性质和角度概念的理解。学生需要能够运用归纳和演绎的逻辑推理方法，明确圆周角定理的证明过程，并能够运用该定理解决相关问题。
其次，学生需要运用数学建模能力，将圆心角和圆周角的关系运用到实际问题中。通过解决实际问题，学生需要能够建立数学模型，运用圆周角定理进行问题的分析和解答，提高解决几何问题的能力。
- 逻辑推理和证明：引导学生运用归纳和演绎的逻辑推理方法，证明圆周角定理。
- 重点讲解：详细解释圆周角定理的含义和应用，确保学生理解和掌握。
3. 巩固练习（10分钟）
- 练习题：布置一些有关圆周角定理的练习题，让学生独立完成。
- 讨论和解答：学生之间相互讨论，共同解答练习题，巩固对圆周角定理的理解和掌握。
三、重点难点及解决办法
本节课的重点是圆周角定理的理解和应用，难点在于对圆心角和圆周角关系的抽象和逻辑推理。
1. 重点：圆周角定理的理解和应用
- 解决办法：通过具体的图形和实例，让学生直观地感受圆周角定理，然后通过逻辑推理和证明，帮助学生理解和掌握定理。同时，通过大量的练习题，让学生在实际应用中加深对圆周角定理的理解。
八、课堂
1. 课堂评价：
人教版九年级数学上册教案：24.1.4 圆周角(第2课时)
第2课时 圆周角定理的推论和圆内接多边形教学目标知识技能1．能推导和理解圆周角定理的两个推论，并能利用这两个推论解决相关的计算和证明．2．知道圆内接多边形和多边形外接圆的概念，明确不是所有多边形都有外接圆．3．能证明圆内接四边形的性质，并能应用这个性质解决简单的计算和证明等问题． 数学思考与问题解决1．通过圆的特殊内接四边形到圆的一般内接四边形的性质的探究，培养学生观察、分析、概括的能力．2．通过定理的证明探讨过程，促进学生的发散思维；通过定理的应用，进一步提高学生的应用能力和思维能力．3．在解决几何问题时，常常需添加辅助线，以此构建定理所需的基本图形，运用相关图形的性质得到问题的解决．情感态度在教学中渗透事物普遍存在的相互联系、相互转化的观点，让学生体验到用运动的观点来研究图形的思想方法，同时，借助计算机技术，培养学生在数学学习中的动手实践能力，通过让学生充分感受发现问题和解决问题带来的愉悦，培养学生的创新意识．重点难点重点：圆周角定理的两个推论和圆内接四边形的性质的运用．难点：圆内接四边形性质定理的准确、灵活应用以及如何添加辅助线．教学设计活动一：温习旧知1．圆周角定理的内容是什么？2．如图，若BD ︵的度数为100°，则∠BOC ＝________，∠A ＝________.3．如图，四边形ABCD 中，∠B 与∠1互补，AD 的延长线与DC 所夹∠2＝60°，则∠1＝________，∠B＝________.4．判断正误：(1)圆心角的度数等于它所对的弧的度数．()(2)圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．()(答案：1.略；2.100°，50°；3.120°，60°；4.略．)设计意图：在本节课一开始设计“温习旧知”这个环节，不只是对上一节课知识的简单回顾，用意在于要由“旧知”引出“新知”．三个具体问题既全面地“温习旧知”，又为下面的教学环节搭起支架．活动二：探索圆周角定理的“推论”1．请同学们在练习本上画一个⊙O.想一想，以A、C为端点的弧所对的圆周角有多少个？试着画几个．然后教师引导学生：观察下图，∠ABC、∠ADC、∠AEC的大小关系如何？为什么？让学生得出结论后，教师继续追问：如果把这个结论中的“同弧”改为“等弧”，结论正确吗？2．教师引导学生观察下图，BC是⊙O的直径．请问：BC所对的圆周角∠BAC是锐角、直角还是钝角？让学生交流、讨论，得出结论：∠BAC是直角．教师追问理由．3．如图，若圆周角∠BAC＝90°，那么它所对的弦BC经过圆心吗？为什么？由此能得出什么结论？4．师生共同解决教材第87页例4.设计意图：通过设计问题串让学生了解几个推论的由来，同时培养学生的探索精神．活动三：探索圆内接四边形的性质1．教师给学生介绍以下基本概念：圆内接多边形与多边形的外接圆；圆内接四边形与四边形的外接圆．2．要求学生画一画，想一想：在⊙O上任作它的一个内接四边形ABCD，∠A是圆周角吗？∠B、∠C、∠D呢？进一步思考，圆内接四边形的四个角之间有什么关系？3．先打开几何画板，验证学生的猜想，然后再引导学生证明，最后得出结论：圆内接四边形的对角互补．4．课件展示练习：(1)如图，四边形ABCD内接于⊙O，则∠A＋∠C＝________，∠B＋∠ADC＝________；若∠B ＝80°，则∠ADC＝________，∠CDE＝________；(2)如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝100°，则∠BAD＝________，∠BCD＝________；(3)四边形ABCD内接于⊙O，∠A∶∠C＝1∶3，则∠A＝________；(4)如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，∠B＝75°，则∠C＝________.(5)观察并思考：在(1)题图中，∠B和∠CDE什么关系？想一想对于圆的任意内接四边形都有这样的关系吗？(答案：(1)180°，180°，100°，80°；(2)130°，50°；(3)45°；(4)75°；(5)相等，都有．) 设计意图：活动三展示的是本节课的最重要的探究活动，共分为四个环节．第1个环节简单介绍相关概念，由于概念简单，教师不必纠缠；第2个环节“要求画一画，想一想”，学生在教师的引导之下进行思考，初步得出结论；第3个环节先用几何画板从实验的角度去探究结论的正确性，然后教师再引导学生用所学知识证明结论；第4个环节的练习是圆内接四边形的性质的应用．四个环节层层递进，步步深入．活动四：基础练习1．教材第88页练习第5题．2．圆的内接梯形一定是________梯形．3．若四边形ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立()A．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3∶4 B．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝2∶1∶3∶4C．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝3∶2∶1∶4 D．∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝4∶3∶2∶1(答案：1.略；2.等腰；3.B.)活动五：课堂小结与作业布置课堂小结：1.本节课我们学习了圆周角定理的两个推论和圆内接四边形的重要性质，要求同学们理解圆内接四边形和四边形的外接圆的概念，理解圆内接四边形的性质；并初步应用性质进行有关问题的证明和计算．2．我们结合几何画板探索出圆内接四边形的性质，在这一过程中用到了许多数学方法(实验、观察、类比、分析、归纳、猜想等)．因此，同学们要逐步学会并应用这些方法去探讨有关的数学问题，提高我们的数学实践能力与创新能力．作业布置：教材第89～91页习题第5、6、13、14、17题．板书设计圆周角定理的推论和圆内接多边形1．圆周角定理的推论推论1：推论2：2．圆内接多边形与多边形的外接圆；圆内接四边形与四边形的外接圆．3．圆内接四边形及性质：圆内接四边形的对角互补3．小结：(1)由圆周角定理我们得到了哪些推论？圆内接四边形有什么特殊性质？(2)通过本节课的学习，你有什么感受？。
《圆周角》第2课时教案
《圆周角》第2课时教案教学目标:1. 经历探索圆周角定理的另一个推论的过程.2. 掌握圆周角定理的推论”在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等”3. 会运用上述圆周角定理的推论解决简单几何问题.重点: 圆周角定理的推论”在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等”难点:例3涉及圆内角与圆外角与圆周角的关系,思路较难形成,表述也有一定的困难例4的辅助线的添法.教学方法：类比 启发教学辅助：多媒体教学过程:一、旧知回放:1、圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.特征：① 角的顶点在圆上.② 角的两边都与圆相交.2、圆心角与所对的弧的关系3、圆周角与所对的弧的关系4、同弧所对的圆心角与圆周角的关系圆周角定理: 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.二. 课前测验1.100º的弧所对的圆心角等于_______，所对的圆周角等于_______。
2、一弦分圆周角成两部分，其中一部分是另一部分的4倍，则这弦所对的圆周角度数为________________。
3、如图，在⊙O 中，∠BAC=32º，则∠BOC=________。
4、如图，⊙O 中，∠ACB = 130º，则∠AOB=______。
5、下列命题中是真命题的是（ ）（A ）顶点在圆周上的角叫做圆周角。
（B ）60º的圆周角所对的弧的度数是30º （C ）一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角。
（D ）120º的弧所对的圆周角是60º三, 问题讨论问题1、如图1,在⊙O 中,∠B,∠D,∠E 的大小有什么关系?为什么?问题2、如图2，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上任一点，你能确定∠BAC 的度数吗? 问题3、如图3，圆周角∠BAC =90º，弦BC 经过圆心O 吗？为什么？圆周角定理的推论：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
课题：圆周角第二课时 教案
课题
4.3圆周角（2）
课型
新授课
第二课时
教学目标
知识与技能
掌握圆周角定理的推论3，并会熟练运用这些知识进行有关的计算和证明
过程与方法
进一步培养学生观察、分析及解决问题的能力及逻辑推理能力
情感态度与价值观
培养添加辅助线的能力和思维的广阔性
教学重点
圆周角定理的推论的应用
教学难点
推论的灵活应用பைடு நூலகம்及辅助线的添加
问题导学，有效引发学生的积极思考问题，积极参与交流，并自主获取结论。
这个推论是圆中一个很重要的性质，为在圆中确定直角、成垂直关系创造了条件，要熟练掌握
强化对推论3的理解
生通过交流获得知识，梳理知识形成体系。
巩固所学知识
附板书设计：圆周角（2）
圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
教与学策略
知识是通过学生自己动口、动手、动脑，积极思考、主动探索获得．我将课堂交给学生，让学生自己去探索，发现验证知识.自主探索，研讨发现，得出结论是本节课主要的学习方法.
课前准备（教具、活动准备等）
教师：多媒体、课件、圆规、三角板等
学生：圆形硬纸片若干、直尺、圆规、量角器等
教学过程
教学步骤
教师活动
能力：在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角或构成相似三角形，这种基本技能技巧一定要掌握．
课本20页习题4.5第1.2.3
让学生自主练习
让学生充分交流
学生先个人自主探索，然后交流讨论，获得结论。
学生自我反省，交流总结
以题目的形式复习上节学习内容，增加复习的实效性。
圆周角2教案
圆周角定理推论：
例4
圆内接多边形：
性质：
作业安排 课堂小结
板书设计 课后记
论 1：同弧或等弧 所对的圆周角相 等。 问题： 思考： 如图半圆或直径 所对的圆周角是 多少度？90 度的 学生尝试独立思考 圆周角所对的弦 写出解答过程，教 是 什 么 特 殊 的 师评价补充改正。 弦？ 推论 2： 半圆（或直径） 所对的圆周角是 直角，90 度的圆 周角所对的弦是 直径。 课本 87 页例 4 课件出示教师教 给学生解题方 法。 多边形的外接 圆：若一个多边 教师观察学生课件 形各顶点都在同 演示的过程，体会 一个圆上，那么， 概念。 这个多边形叫做 圆内接多边形， 这个圆叫做这个 多边形的外接 圆。（图略）
教学内容 课标对本节 课的教学要
圆周角（2） 1、掌握圆周角定理的推论，了解推论的证明过程，并会应用其进行证明 和计算。 2、知道什么是圆内接四边形及其性质，会应用性质进行计算。
求 教学目标
教学重点 难点 教学准备 教学时间
知识与技能： 1、能推导和理解圆周角定理的两个推论，并能利用这两个推论解决相关的计算和 证明。 2、知道圆内接多边形和多边形外接圆的概念，明确不是所有多边形都有外接圆。 过程与方法： 通过定理的证明探讨过程，促进学生的发散思维；通过定理的应用，进一步提高学 生的应用能力和思维能力。 情感态度与价值观： 在教学中渗透事物普遍存在的相互关系、相互转化的观点，让学生体验到用运动的 观点来研究图形的思想方法。
性质：圆内接四边
形的对角互补。
练习：88 页 1、2、
3、4、5
进一步提高学生应 用定理的能力。
通过具体图形的认 识，更能促进使学 生生成圆内接多边 形和多边形的外接 圆的概念。
2022年精品 《圆周角2》名师优秀教案
圆周角〔第二课时〕〔张丹丹〕一、教学目标〔一〕学习目标1探索同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧和弦的关系2探索同弦所对圆周角的关系3记住圆周角定理的推论并能运用其解决实际问题4知道圆内接多边形及多边形的外接圆的概念，掌握圆的内接四边形的性质〔二〕学习重点1探索同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧的关系2知道圆内接多边形及多边形的外接圆的概念，掌握圆的内接四边形的性质〔三〕学习难点1探索同弦所对圆周角的关系2圆的内接四边形中对角的关系二、教学设计〔一〕课前设计1预习任务〔1〕在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧和弦也相等．〔2〕在同圆或等圆中，同弦所对的圆周角相等或互补．〔3〕圆内接四边形的对角互补．2预习自测〔1〕如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°，那么∠BAO的度数是〔〕A．55°B．60°C．65°D．70°【知识点】圆周角定理．【数学思想】数形结合【解题过程】解：连接OB，∵∠ACB=25°，∴∠AOB=2×25°=50°，由OA=OB，∴∠BAO=∠ABO，∴∠BAO=〔180°﹣50°〕=65°．应选C．【思路点拨】连接OB，要求∠BAO的度数，只要在等腰三角形OAB中求得一个角的度数即可得到答案，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOB=50°，然后根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理即可求得．【答案】C．〔2〕如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦．假设∠OBC=60°，那么∠BAC的度数是〔〕A．75°B．60°C．45°D．30°【知识点】圆周角定理．【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵∠OBC=60°，∴∠BAC=180°﹣∠ACB﹣∠ABC=30°．应选D．【思路点拨】根据AB是⊙O的直径可得出∠ACB=90°，再根据三角形内角和为180°以及∠OBC=60°，即可求出∠BAC的度数．【答案】D．〔3〕如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，那么∠OAD∠OCD=度．【知识点】圆周角定理；平行四边形的性质【数学思想】数形结合【解题过程】解：连接OB∵四边形OABC为平行四边形∴AB=OC=OB=OA=BC∴△OAB和△OBC都为等边三角形∴∠OAB=∠OCB=60°∵四边形ABCD为圆的内接四边形∴∠DAB∠DCB=180°∴∠OAD∠OCD=180°﹣60°﹣60°=60°【思路点拨】由四边形OABC为平行四边形，根据平行四边形对角相等，即可得∠B=∠AOC，由圆周角定理，可得∠AOC=2∠ADC，又由内接四边形的性质，可得∠B∠ADC=180°，即可求得∠B=∠AOC=12021∠ADC=60°，然后由三角形外角的性质，即可求得∠OAD∠OCD的度数．【答案】60°〔4〕如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，AC交于⊙O点E，∠BAC=45°．假设AE=1，那么BC=．【知识点】圆周角定理；等腰直角三角形【数学思想】数形结合【解题过程】解：∵AB是圆的直径，∴∠AEB=90°，又∵∠BAC=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，那么AB=，BE=AE=1，那么EC=AC﹣AE=AB﹣AE=﹣1，在直角△BCE中，BC=．故答案是：．【思路点拨】首先利用圆周角定理证明△ABE是等腰直角三角形，那么求得AB、BE的长度，那么EC即可求得，然后再在直角△BCE中，利用勾股定理即可求解．【答案】二课堂设计1知识回忆〔1〕把顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
《圆周角》第2课时 教学设计【初中数学人教版九年级上册】
第二十五章 圆24. 1 圆的有关性质 教学设计第 1 课时本节是新人教版九年级上册数学第24章《圆》的内容，本节要求了解圆周角与圆心角的关系.探索圆周角的性质和直径所对圆周角的特征.能运用圆周角的性质解决问题.学生在探索圆周角与圆心角的关系的过程中，学会运用分类讨论的数学思想、转化的数学思想解决问题.引导学生对图形的观察发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心.1. 了解圆周角与圆心角的关系；探索圆周角的性质和直径所对圆周角的特征；能运用圆周角的性质解决问题.2. 通过观察、比较，分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力；通过观察图形，提高学生的识图能力；通过引导学生添加合理的辅助线，培养学生的创造力；学生在探索圆周角与圆心角的关系的过程中，学会运用分类讨论的数学思想、转化的数学思想解决问题.3. 引导学生对图形的观察发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心.4. 【教学重点】探索圆周角与圆心角的关系，发现圆周角的性质和直径所对圆周角的特征. 【教学难点】发现并论证圆周角定理．教师：多媒体课件； 学生：“五个一”◆教材分析◆教学目标◆教学重难点◆◆课前准备◆◆教学过程 ◆一、提出问题，思考引入问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？问题2 如图，∠BAC的顶点和边有哪些特点?二、合作交流，探究新知（一）圆周角的定义顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.判一判：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.（二）圆周角定理及其推论1. 测量与猜测如图，连接BO , CO ,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC 与∠BOC 存在怎样的数量关系.◆教学过程◆2. 推导与论证⏹圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）⏹圆心O在∠BAC 的内部⏹圆心O 在∠BAC 的外部3. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于该弧它所对的圆心角的一半；圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等.圆周角和直径的关系：半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°.（三）圆内接多边形如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.1.探究性质如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，⊙O 为四边形ABCD 的外接圆. 猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关系为：∠A + ∠C = 180º，∠B + ∠D = 180º2.证明猜想∵弧BCD 和弧BAD 所对的圆心角的和是周角，∴∠A＋∠C＝180°，同理∠B＋∠D＝180°，3.归纳总结推论：圆的内接四边形的对角互补.推论：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.三、应用新知例1 如图，⊙O 的直径AC 为10 cm，弦AD 为 6 cm.（1）求DC 的长；（2）若∠ADC 的平分线交⊙O 于B, 求AB、BC 的长．例2 如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A 的度数为()A．30° B．45° C．60° D．75°四、巩固新知1．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=110°，∠B=80°，则∠C = ，∠D = .2．⊙O的内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 ，则∠D= .3. 如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G. 求证：∠FGD ＝∠ADC.4. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是()A．120° B．100°C．80° D．60°5. 在圆内接四边形ABCD 中，∠A，∠B，∠C的度数之比是2︰3︰6.求这个四边形各角的度数.五、归纳小结◆教学反思略.。
九年级数学下册 2.2.2 圆周角(课时2)教案 (新版)湘教版
圆周角【知识与技能】1.巩固圆周角概念及圆周角定理.2.掌握圆周角定理的推论:直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.3.圆内接四边形的对角互补.【过程与方法】在探索圆周角定理的推论中,培养学生观察、比较、归纳、概括的能力.【情感态度】在探索过程中感受成功,建立自信,体验数学学习活动充满着探索与创造,交流与合作的乐趣.【教学重点】对直径所对的圆周角是直角及90°的圆周角所对的弦是直径这些性质的理解.【教学难点】对圆周角定理推论的灵活运用是难点.一、情境导入，初步认识1.如图,木工师傅为了检验如图所示的工作的凹面是否成半圆,他只用了曲尺(它的角是直角)即可,你知道他是怎样做的吗?【分析】当曲尺的两边紧靠凹面时,曲尺的直角顶点落在圆弧上,则凹面是半圆形状,因为90度的圆周角所对的弦是直径.解:当曲尺的两边紧靠凹面时,曲尺的直角顶点落在圆弧上,则凹面是半圆形状,否则工作不合格.2.半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.3.圆内接四边形的对角互补.【教学说明】半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对弦是直径都是圆周角定理可推导出来的.试着让学生简单推导,培养激发他们的学习兴趣.二、思考探究，获取新知1.直径所对的圆周角是直角,90°的角所对的弦是直径.如图，∠C1、∠C2、∠C3所对的圆心角都是∠AOB，只要知道∠AOB的度数，就可求出∠C1、∠C2、∠C3的度数.【教学说明】∵A、O、B在一条直线上,∠AOB是平角,∠AOB=180°，由圆周角定理知∠C1=∠C2=∠C3=90°,反过来也成立.2.讲教材P54例3【教学说明】在圆中求角时，一种方法是利用圆心角的度数求,另一种方法是把所求的角放在90°的三角形中去求.3.讲圆内接四边形和四边形的外接圆的概念.如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做多边形的外接圆;圆内接四边形对角互补.例1如图所示,OA为⊙O的半径,以OA为直径的圆⊙C与⊙O的弦AB相交于点D,若OD=5cm,则BE=10cm.【教学说明】在题中利用两个直径构造两个垂直，从而构造平行，产生三角形的中位线，从而求解.例2如图,已知∠BOC=70°,则∠BAC=_____，∠DAC=______.【分析】由∠BOC=70°可得所对的圆周角为35°，又∠BAC与该圆周角互补，故∠BAC=145°.而∠DAC+∠BAC=180°,则∠DAC=35°.答案:145°35°例3如图,点A、B、D、E在⊙O上,弦AE、BD的延长线相交于点C.若AB是⊙O的直径,D是BC的中点.(1)试判断AB、AC之间的大小关系,并给出证明;(2)在上述题设条件下,△ABC还需满足什么条件,使得点E一定是AC的中点(直接写出结论)【教学说明】连接AD,得AD⊥BC,构造出Rt△ABD≌Rt△ACD.解：（1）AB=AC.证明:如图,连接AD,则AD⊥BC.∵AD是公共边,BD=DC,∴Rt△ABD≌Rt△ACD,∴AB=AC.(2)△ABC为正三角形或AB=BC或AC=BC或∠BAC=∠B或∠BAC=∠C.三、运用新知，深化理解1.(湖南湘潭中考）如图，AB是半圆O的直径，D是AC的中点，∠ABC=40°,则∠A等于（）A.30°B.60°C.80°D.70°2.如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=40°，点D在圆上，则∠ADC=_______.3.(山东威海中考)如图,AB为⊙D的直径,点C、D在⊙O上.若∠AOD=30°,则∠BCD的度数是______.4.(浙江金华中考）如图，AB是⊙O的直径，C是»BD的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F.(1)求证:CF=BF;(2)若CD=6,AC=8,则⊙O的半径为,CE的长是_____.【教学说明】①遇到直径常设法构造直角三角形；②注意：“角→弧→角”之间转化.【答案】1.D 2.50°3.105°4.解：（1）AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°,∴∠A+∠CBA=90°.又CE⊥AB，∠ECB+∠CBA=90°,∠BCE=∠A,又»»CD BC=，∴∠A=∠CBD，∴∠ECB=∠DBC，∴CF=BF.(2)半径为5.CE=·6810AC BCAB⨯= =4.8.四、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？在学生回答基础上.2.教师强调:①半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；②圆内接四边形定义及性质;③关于圆周角定理运用中,遇到直径,常构造直角三角形.1.教材P57第7~9题.2.完成同步练习册中本课时的练习.本节课是在巩固圆周角定义及定理的基础上开始，运用定理推导出半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及圆内接四边形性质定理的,学生见证了从一般到特殊的这一过程,使学生明白从特殊到一般又从一般到特殊的多种解决问题的途径,激发学生的求知欲望.。
人教版九年级数学上册《圆周角》教学设计(第二课时)
圆周角（2）教学设计教学目标：掌握圆周角定理的两个推论掌握圆内接四边形的性质能运用圆周角定理及其推论、圆内接四边形的性质进行证明和计算教学重点：圆周角定理的两个推论、圆内接四边形的性质教学难点：圆周角定理及其推论、圆内接四边形的性质进行证明和计算教学过程：一探索圆周角定理的的推论问题1 通过上一堂课的学习，我们已经掌握了圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
在圆周角定理的探索过程中，我们知道：一条弧可以对着不同的圆周角，那么这些圆周角之间有什么关系呢？也就是说，同弧或等弧所对的圆周角之间有什么关系呢？师生活动：学生画出弧BC所对的几个圆周角和圆心角，先观察、猜想，根据定理得到结论：一条弧所对的圆周角相等。
再思考同弧或等弧的情况。
如果学生遇到困难，教师可根据情况提示学生：考虑圆周角与圆心角之间的关系、弧与圆心角之间的关系，通过弧相等得到结论。
设计意图：让学生经历观察、猜想、证明得出推论的探索过程，得到圆周角定理的推论，进一步认识与圆有关的角和弧之间的关系问题2 如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上任一点，你能确定∠BAC的度数吗?师生活动：先让学生动手量一量，然后讨论交流，最后让学生自己归纳发现的结论．方法一：学生从圆周角、圆心角和弧的关系入手考虑；方法二：连接OA，从三角形内角和考虑．设计意图：让学生自己探究并说明理由，加深对圆周角、圆心角和弧的关系的理解．让学生自己归纳，培养学生归纳总结的能力．如图，圆周角∠BAC ＝90º，弦BC经过圆心O吗？为什么？师生活动：让学生先独立思考，然后小组讨论交流，最后全班展示交流，并让学生自己归纳发现的结论．设计意图：培养学生逆向思维的能力和自主探究的能力．让学生自己归纳，培养学生归纳总结的能力．二应用圆周角定理与推论问题3 如图，⊙O的直径AB为10厘米，弦AC为6厘米，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC，AD和BD的长．师生活动：先让学生自主探究（引导学生当看到已知条件中有直径这一条件时，想圆周角定理的推论2；当已知条件中有圆周角之间的关系时，想圆心角之间的关系，进而可转化成弧、弦之间的关系）再组织学生交流．设计意图：应用圆周角定理及其推论解决问题，巩固所学内容。
圆周角 第二课时教案
（3）如果一个圆周角是90°，它所对的弦是哪一条？
学生动手探究，交流总结。利用圆周角定理可以得出：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周
角所对的弦是直径。
2、问题2：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，
它们所对的弧一定相等吗？为什么？
学生讨论回答，得出结论。
例2：如图，AB是⊙O的直径，D是圆上任意一点（不与A、B重合），连接BD，并延长到C，使DC=DB，连接AC，判断△ABC的形状？
导析：AB作为⊙O的直径有无直接作用？怎样将圆周角定理推论利用起来？
学生探究方法。
连接AD，由AB是⊙O的直径，可以得出∠ADB
=90°，即AD⊥BC，
又因为BD=CD，所以可以得出AD为BC的垂直平分线，所以AB=AC，即△ABC为等腰三角形。
知识小结
知识巩固
三、课堂小结
引导学生作知识总结：
⑴圆周角定理推论内容，⑵辅助线的添加方法：构造直径所对的圆周角。
四、课堂练习
P93 2、3
五、作业
1பைடு நூலகம்P95 11
2、补充：如图，在圆内接四边形ABCD中，AC平分BD，且AC⊥BD，
∠BAD=70°18′，求四边形其它各角的度数。
六、板书设计
复习提问
探索新知
应用新知
3、范例：
例1：如图，⊙O的直径AB=10㎝，弦AC为㎝，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长。
导析：已知直径可以得到什么结论？在直
角三角形中有哪些已知条件？如何求出未知边的长度？
解：∵AB是直径
∴∠ACB=90°
在Rt△ABC中，
BC=
人教版数学九年级上册24.1.4圆周角(第2课时)教学设计
（一）导入新课
1.教学活动设计：
-利用多媒体展示生活中含有圆周角的物体，如时钟、风扇、自行车轮等，引导学生观察并思考这些物体上的圆周角特点。
-提问学生：“你们知道什么是圆周角吗？圆周角有哪些特点？”激发学生对圆周角的兴趣。
2.教学目的：
-通过生活中的实例，让学生感知圆周角的存在，为新课的学习做好铺垫。
2.自主探究，构建概念：
-让学生通过画圆、量角等活动，直观感受圆周角的特点。
-引导学生通过小组合作，探讨圆周角的定义，推导圆周角定理及推论。
-教师适时给予提示和引导，帮助学生理解圆周角的性质和定理。
3.实践应用，巩固知识：
-设计具有挑战性的练习题，让学生独立完成，巩固圆周角的知识。
-通过实际案例，如园林设计、道路规划等，让学生运用圆周角知识解决实际问题。
-对本节课学习的圆周角的定义、定理、推论进行梳理和归纳。
-总结圆周角知识在实际生活中的应用。
2.教学方法：
-学生分享学习体会，总结圆周角知识的关键点。
-教师点评学生的发言，强调重点知识，并对本节课进行总结。
五、作业布置
为了巩固学生对圆周角知识的掌握，提高学生的应用能力和思维能力，特布置以下作业：
1.基础知识巩固：
-激发学生的好奇心，引导学生积极思考，为新知的探究奠定基础。
（二）讲授新知
1.教学内容：
-圆周角的定义：从圆上任意两点分别向圆内引两条不重合的射线，所形成的角叫做圆周角。
-圆周角定理：ห้องสมุดไป่ตู้周角的度数等于它所对圆弧的度数的一半。
-圆周角推论：圆内接四边形的对角互补。
2.教学方法：
-采用讲解、演示、举例等教学方法，让学生理解圆周角的定义及性质。
人教版九年级数学上册《24.1.4 圆周角》第2课时 教案
第二十四章圆24.1 圆的有关性质24.1.4 圆周角（第2课时）一、教学目标1．理解圆内接多边形的定义．2．掌握圆内接四边形的性质．二、教学重点及难点重点：探索圆内接四边形性质．难点：发现并论证圆内接四边形性质．三、教学用具多媒体课件，三角板、直尺、圆规、量角器。
四、相关资源《圆内接多边形、圆内接四边形》图片五、教学过程【知识回顾，引入新课】1．复习圆周角的定义和圆周角定理及推论师生活动：学生回顾圆周角的定义和圆周角定理及推论，并回答问题；教师演示课件导入．2．圆内接多边形的定义问题观察下列图中的多边形，这样的多边形有什么特点？探究圆内接四边形的性质.学生活动：学生在回顾圆周角的基础上观察上述多边形（四边形）的特征，教师引导学生类比观察并归纳出圆内接多边形的定义．设计意图：在复习圆周角的基础上，为得出圆内接多边形打下了良好的基础．【合作探究，形成新知】圆内接四边形的四个角之间有什么关系？你会证明吗？师生活动：学生回答，教师补充．结论：圆内接四边形的对角互补．【例题分析，深化提升】例如图，在⊙O中，∠CBD=30°，∠BDC=20°，求∠A．解：∵∠CBD=30°，∠BDC=20°，∴∠C=180°-∠CBD-∠BDC=130°．∴∠A=180°-∠C=50°（圆内接四边形的对角互补）．设计意图：让学生在例题中加深对本节所学知识的理解．教师通过学生解答，及时发现问题，评价教学效果．【练习巩固，综合应用】1．如图，在⊙O中，AD=DC，则图中相等的圆周角有( )．A．5对B．6对C．7对D．8对2．如图，已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的⊙O交AB，AC于点D，E．求证：△DOE是等边三角形．3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点．若∠B=110°，求∠ADE的度数．参考答案1．D2．证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°．∵OB=OC=OE=OD，∴△OBD和△OEC都为等边三角形．∴∠BOD=∠EOC=60°．∴∠DOE=60°．∴△DOE为等边三角形．3．110°设计意图：加深对圆周角定理及其推论和圆内接四边形的性质的理解．六、课堂小结师生活动：学生小组内进行交流，谈一谈本节课的收获．教师提示学生从以下四个方面入手：1．学到了哪些知识；2．掌握了哪些数学方法；3．体会到了哪些数学思想；4．还有哪些发现与猜想？设计意图：让学生总结出自己的收获，理清思路，整理经验，从而形成良好的学习习惯，同时也提出自己的疑问和困惑便于教师及时回馈．七、板书设计24.1 圆的有关性质——24.1.4 圆周角（2）1．圆内接多边形定义2．圆内接四边形性质。
【精】 《圆周角(第2课时)》精品教案
《圆周角（第2课时）》精品教案课题24.1.4圆周角单元第二十四章学科数学年级九年级上学习目标情感态度和价值观目标在圆周角定理的推论的发现过程中，不断变化图形，树立运动变化和对立统一的辩证证唯物主义观点。
能力目标通过圆周角定理的实际应用，发现圆内接四边形的对角互补的推论，进一步发展合情推理和演绎推理能力，感悟从特殊到一般、化一般为特殊的数学思想。
知识目标 1.了解并证明圆周角定理的推论：圆内接四边形的对角互补。
2.能应用圆周角定理及其推论解决问题。
重点圆内接四边形的对角互补。
难点圆周角定理及其推论的综合运用。
学法自主探究、合作交流；教法引导发现、直观演示教学法；教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课一、复习旧知1、还记得圆周角的定义吗？2、请你说出圆周角定理及推论。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等.推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 教师提出问题，学生回忆上节课知识思考作答。
通过复习，强化学生已学相关的知识，为学生自主探究做奠基。
讲授新课二、探究新知活动1，抢答：1.你能用三角尺画出下面这个圆的圆心吗？学生联系已学知识，独立思考，理清题意，整理思复习圆周角定理及其推论，运用已学2.填空：如图，∠BAC=55°，∠CAD=45°，则∠DBC=_____°，∠BDC=_____°，∠BCD=______°3.如图，BD是⊙O的直径，∠ABC=130°则∠ADC=______°活动2：讨论请看我们做的抢答习题第2、3题，同学们有没有发现什么规律，请大家以小组为单位讨论后发言。
学生小组1回答：这个四边形的四个顶点，点A，点B，点C，点D都在⊙O上。
学生小组2回答：这个四边形的对角和是180°。
学生小组3回答：……学生小组4回答：……教师总结：同学们真是火眼金睛，找到的特点很多。
九年级数学(上)人教出版圆周角(二)课堂教案
圆周角（二）课堂教案
年
级：九年级
学
科：数学上（人教）
复习
圆心角的概念
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角．
所对的弦为AB，
所对的弧为AB ．
探究（一）
圆周角的概念
O
O
O
角的顶点在圆上，角的两边与圆的位置关
系都有哪些类型？请同学们尝试画一画.
探究（一）
圆周角的概念
O
O
O
∴
AD=BD =
2
AB= 5 2（cm）．
2
C
A
O
D
B
小结
1.圆周角，圆心角与弧之间的关系
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
小结
1.圆周角，圆心角与弧之间的关系
小结
2.直径与直角之间的关系
半圆（或直径）所对的圆周角是直角,
90°的圆周角所对的弦是直径．
小结
1.圆周角，圆心角O
F
3
M
C
1
N
,
1
∠FCN= ∠FON,
2
1
∴∠MCN= ∠MON．
2
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
P
如图，∠P是 MN 所对的圆周角，
∠O是MN 所对的圆心角.
O
M
N
1
∴∠P= ∠O，
2
如图，∠P，∠Q是 MN 所对的圆周角，则 ∠P=∠Q.
证明： 连接OM，ON.
（4）是
（5）不是
（6）不是
P
O
M
N
探究（二）
优弧与劣弧上的圆周角
人教版九年级数学上册24.1.4 圆周角(二) 教案
数学学科课时教学设计
课时
它是学生已经掌握圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题基础上，对圆内接四边形的性质进行探索，在圆的有关说理、作图、计算中有应用，是角度转换的重要方法。
学生已经掌握圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题
展知识应用、拓展迁移：投影展示，学生说出解
决问题方法、思路；拓展迁移：学生板书并讲
解
（教师不代讲、少干预，引导恰当，用短语激励
学生，对学生明显错误的地方可及时纠正）
各小组派代表发
言，组内补充。
其
他小组帮助解决
发言小组提出的
共同疑难，展示时
有补充、有纠错、
有质疑、有挑战。
评展示结束后，教师精讲。
1、强调圆内接四边形性质的几何语言描述。
2、圆内接四边形性质的应用。
全体学生认
真听讲，适时通过
红笔做好笔记，并
和老师一起思考
总结归纳
检
ppt投影出堂测两道题，教师留给学生足够的时
间进行思考，并简单加以点拨。
所有学生必做
堂测设计在⊙O中，点C为劣弧AB的中点，连接AC并延长至D，使CA=CD，连接DB 并延长交⊙O于点E，连接AE.
（1）求证：AE是⊙O的直径；
（2）求证：AE=DE
板书设计
教学反思
检查结果及修改意见：合格不合格
组长（签字）：
检查日期：年月日。
数学人教版九年级上册圆周角第二学时教学设计
<圆周角定理>教案（第二课时）教学目标： (1) 了解并证明圆周角定理的推论3（2）进一步理解圆周角的概念,、定理、推论及简单应用；（3）继续培养学生观察、分析、归纳和逻辑推理的能力，渗透“特殊到一般”，由“一般到特殊”，分类，归纳的数学思想方法．教学活动设计：一、问题引领，启动思维1圆周角定义：顶点在圆上，两边与圆相交的角叫圆周角。
2、圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。
推论1：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。
推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。
教师引导：在记忆圆周角定理及其推论时比较绕口，其实，只要我们找出它们是叙述的那两个量之间的关系，记忆起来就变得容易得多，小组讨论一下找出它们是叙述的那两个量之间的关系？学生回答：定理—圆周角和弧的度数推论1—圆周角和圆心角推论2—圆周角和圆周角教师总结：这样记忆起来思路就变得很清晰。
3、在得出圆周角定理的过程中，你运用了哪些数学方法？圆心在圆周角的边上圆心在圆周角内圆心在圆周角外学生回答：1、运用了分类的数学思想思想2、运用了从特殊到一般的数学3、运用了转化的数学思想教师进一步提问：具体讲解一下哪些地方运用了这些数学思想？学生回答：1、由圆心所处于圆周角的不同位置进行分类。
2、由圆心在圆周角的一边上这种特殊位置进行论证，推广到其他两种情况3、当其他两种情况的论证有困难时，将他们转化成第一种情况。
教师总结：学习数学时，要注意数学思想的灵活应用。
二、任务驱动，自主探究教师提问：圆中特殊的弦是什么？特殊的圆周角是多少？他们之间有着怎样的关系？问题1：如图，AB是⊙O的直径，请问：∠C1、∠C2、∠C3的度数是。
问题2：若∠C1、∠C2、∠C3是直角，那么∠AOB是。
推论3：直径所对的圆周角是直角90度的圆周角所对的弦是直径教师提问：直径所对的圆周角是直角在证明题目时的用处是什么？学生回答：用于寻找90度的圆周角，即用于构造直角教师提问：90度的圆周角所对的弦是直径在证明题目时的用处是什么？学生回答：用于判断弦是否是直径由学生写出数学表达式：三、合作交流，答疑解难（一）、判断：1、等弧所对的圆周角相等2、相等的圆周角所对的弧也相等3、90度的叫所对的弦是直径4、同弦所对的圆周角相等教师解惑：同弦所对的圆周角相等，那个小组能解释一下为什么是错误的？教师画图解释：一条弦所对的圆周角有两个，他们的关系是互补。
《圆周角(第二课时)》教案
《圆周角（第二课时）》教案直径所对的圆周角都相等（都是直角）.直径是特殊的弦，那么对于一般情况的弦，它所对的圆周角是否也相等呢？有没有和第一条推论类似的结论呢？即同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等吗？我们来研究“同弦”的情形（“等弦”与“同弦”类似）：弦AC所对的圆周角都相等吗？我们任意画出弦AC所对的几个圆周角：∠B，∠D，∠E，∠F.问题1:请同学们观察这四个角，思考这些圆周角的大小关系.这四个圆周角按位置可以分两类，角的顶点在弦的上方，或者在弦的下方.其中两对角的关系：∠B=∠F，∠D=∠E.问题2:能否用学过的知识加以证明呢？通过观察我们可以发现，∠B和∠F的顶点在弦的上方，它们都对着同一条弧：劣弧ADC，由圆周角定理的第一条推论可知，同弧所对的圆周角相等，所以∠B=∠F.∠D和∠E的顶点在弦的下方，都对着同一条优弧ABC.所以同理可得：∠D=∠E.问题3: ∠B与∠D的关系呢？也相等吗？不一定相等.只有当弦AC是直径时，由圆周角定理的第二条推论：直径所对的圆周角都是直角，∠B与∠D相等.当弦AC不是直径时，∠B与∠D 不相等.我们来研究此时∠B和∠D的数量关系.问题就变成了研究这个四边形的一组对角之间的关系.在研究这个问题之前，我们先来观察四边形ABCD有什么特点？它的四个顶点都在圆上，四个内角都是圆周角，四条边都是圆的弦.我们把这样的四边形叫做圆内接四边形.什么样的四边形呢？引出圆内接四边形的定义：如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆.概念辨析：如下图所示，四边形ACBO是不是圆内接四边形？请同学们自己画一个圆，再画出它的任意一个内接四边形，测量一组对角的度数，并猜想：圆内接四边形ABCD 的对角有什么关系.可能有同学已经有了猜想：圆内接四边形ABCD 的对角互补. 证明：连接OA ，OC .性质：圆内接四边形的对角互补.延伸：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.再回到最开始的问题，同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等吗?正确答案是：相等或互补.圆的内接四边形也可以扩展到圆的内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.180.A C ∠+∠=︒同理：12360∠+∠=︒又，()112=180.2B D ∴∠+∠=∠+∠︒112B ∠=∠，122D ∠=∠，7min巩固练习例1 如图，点A，B，C在⊙O上，若∠AOB= ，则∠ACB=_______.变式：当∠AOB为时，∠ACB =_______.当∠AOB为时，∠ACB=_______.小结：不同于圆内接四边形，四边形ACBO的三个顶点在圆上，一个顶点为圆心，若练习如图，点A，B是⊙O上两点，C为⊙O上任一点，若∠AOB= ，则∠ACB= __________.下面请同学们试一试这道提高题吧.例2如图,在圆内接四边形ABCD中,(1)求证：(2)求四边形ABCD的面积.解答如下：（1）证明证法一：连接BD.100︒__________.AOB ACBα∠=∠=，则1802α︒-35145︒︒或70︒100︒α60.AB AD BAD AC a=∠=︒=，，60ACD∠=︒；ABD∴∆是等边三角形.60AB AD BAD=∠=︒，，证法二： ︵AB =︵AD ，四边形ABCD 是圆内接四边形，（2）解：∵四边形ABCD 内接于⊙O . 又5min拓展提升（一）平行四边形请同学们画一个圆内接平行四边形，观察一下你画出的平行四边形有什么特点？1.画一个圆；2.画一条弦AD ；3.画AD 的平行线段BC ，使BC = AD ，点B 在圆上；4.平行移动线段BC ，使点C 落在圆上. 此时，四边形ABCD 即为圆内接平行四边形..CD E DE BC AE =延长至点，使，连接.AE AC ∴=60,.ACD ACE ∠=︒∴∆又是等边三角形.AC a =23.4ABCD S a =四边形即AB AD =，.ACB ACD ∴∠=∠180.BCD BAD ∴∠+∠=︒60BAD ∠=︒又，120.BCD ∴∠=︒160.2ACD BCD ∴∠=∠=︒∴.ADE ABC ∴∠=∠.AD AB DE BC ==，ABC ACDABCD S S S ∆∆∴=+四边形.ADE ACD ACE S S S ∆∆∆=+=.ADE ABC ∴∆≅∆.ADE ABC ∆≅∆2133.224ACE S a a a ∆∴=⋅⋅=接下来我们看一下演示视频.观察图形，圆内接平行四边形是矩形.这是我们的猜想，还需要进行证明.证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴圆内接平行四边形是矩形.（二）菱形研究思路与圆内接平行四边形是一样的.因为圆内接平行四边形是矩形，菱形是有一组邻边相等的平行四边形，所以圆内接菱形就是有一组邻边相等的矩形，即正方形.∴圆内接菱形是正方形.请同学们课下探究圆内接梯形.1min课堂小结下面我们对本节课所学的知识进行小结，在今天这节课上，我们利用圆周角性质，研究了圆内接四边形的定义、性质及应用.定义：如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆.第二个图不是圆内接四边形，但也是很重要的基本图形.性质：圆内接四边形的对角互补.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.180.A C∴∠+∠=︒.A C∴∠=∠18090.2A︒∴∠==︒1.如图，AB为⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，若，则∠BCD 的度数是_________.2.如图，已知∠EAD 是圆内接四边形ABCD 的一个外角，并且BD =DC . 求证：AD 平分∠EAC .知能演练提升一、能力提升1.如图,☉O 中,OC ⊥AB ,∠APC=28°,则∠BOC 的度数为( )A.14°B.28°C.42°D.56°2.如图,A 是☉O 上一点,BC 是直径,AC=2,AB=4,点D 在☉O 上且平分BC ⏜,则DC 的长为( )A.2√2B.√5C.2√5D.√103.如图,AB 是☉O 的直径,点C ,D ,E 在☉O 上,若∠AED=20°,则∠BCD 的度数30AOD ∠=︒为()A.100°B.110°C.115°D.120°⏜=AD⏜,AC交BD于点G.若∠4.如图,BD是☉O的直径,点A,C在☉O上,ABCOD=126°,则∠AGB的度数为()A.99°B.108°C.110°D.117°5.如图,已知BC是☉O的直径,半径OA⊥BC,点D在劣弧AC上(不与点A,点C 重合),BD与OA交于点E.设∠AED=α,∠AOD=β,则()A.3α+β=180°B.2α+β=180°C.3α-β=90°D.2α-β=90°⏜的中点,若∠ABC=30°,则弦AB的6.如图,☉O的半径为5,AB为弦,点C为AB长为.(第6题图)7.如图,已知AB=AC=AD,∠CBD=2∠BDC,∠BAC=44°,则∠CAD的度数为.⏜=BC⏜=AC⏜,点P为劣弧BC⏜上的一点.8.如图,已知AB(1)求∠BPC的度数;(2)求证:PA=PB+PC.⏜上一点(点C不★9.如图,△ABC的三个顶点都在☉O上,并且点C是优弧AmB与点A,B重合).设∠OAB=α,∠C=β.(1)当α=35°时,求β的度数;(2)猜想α与β之间的关系,并给予证明.二、创新应用★10.我们知道:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角,叫做圆周角.因为一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,而圆心角的度数等于它所对的弧的度数,所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.类似地,我们定义:顶点在圆外,并且两边都和圆相交的角叫圆外角.如图,∠DPB是圆外角,那么∠DPB⏜和AC⏜的度数有什么关系?的度数与它所夹的两段弧BD(1)请把你的结论用文字表述为(不能出现字母和数字符号):.(2)证明你的结论.知能演练·提升一、能力提升1.D2.D3.B如图,连接AC.∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.∵∠AED=20°,∴∠ACD=20°,∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=110°,故选B.4.B5.D6.5√3如图,连接OC,OA,∵∠ABC=30°,∴∠AOC=60°.⏜的中点,∵AB为弦,点C为AB∴OC⊥AB..在Rt△OAE中,AE=5√32∴AB=5√3.7.88°∵AB=AC=AD,∴∠ABC=∠ACB,点B,C,D在以A为圆心,AB为半径的圆周上, ∴∠BDC=1∠BAC,2∠CAD=2∠CBD.∵∠BAC=44°,∴∠BDC=22°,∵∠CBD=2∠BDC=44°,∴∠CAD=88°.⏜=BC⏜=AC⏜,8.(1)解∵AB∴AB=BC=AC.∴∠BAC=60°.又∠BPC+∠BAC=180°,∴∠BPC=120°.(2)证明如图,在PA上截取PD=PC,连接DC,∵AB=AC=BC,∴∠APB=∠APC=60°.∴△PCD为等边三角形.∴∠ADC=120°.又∠CAD=∠PBC,且AC=BC,∴△ACD≌△BCP.∴AD=PB.∴PA=AD+PD=PB+PC.9.解(1)如图,连接OB,则OA=OB,∴∠OBA=∠OAB=35°,∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=110°.∴β=∠C=1∠AOB=55°.2(2)α与β之间的关系是α+β=90°.证法一:如图,连接OB,则OA=OB,∴∠OBA=∠OAB=α,∴∠AOB=180°-2α.∴β=∠C=1∠AOB2=1(180°-2α)=90°-α.2∴α+β=90°.证法二:如图,连接OB,则OA=OB,∴∠AOB=2∠C=2β.过点O作OD⊥AB于点D,则OD平分∠AOB,∴∠AOD=1∠AOB=β.2在Rt△AOD中,∠OAD+∠AOD=90°,∴α+β=90°.证法三:如图,延长AO交☉O于点E,连接BE,则∠E=∠C=β.∵AE是☉O的直径,∴∠AOE=180°,∴∠ABE=90°,∴∠BAE+∠E=90°,即α+β=90°.二、创新应用10.分析本题是一道结论探索题,解题的关键是如何将圆外角∠DPB与圆周角联系⏜所对的圆周角,∠DAB是BD⏜所对的圆周角,再根据三角起来.不妨连接AD,这时∠D是AC形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和找到这三个角的联系,从而使问题解决.解(1)圆外角的度数等于它所夹的两段弧度数差的一半.(2)如图,连接AD,则∠DPB=∠DAB-∠D.因为∠DAB=12×BD ⏜的度数,∠D=12×AC ⏜的度数, 所以∠DPB=12×(BD⏜的度数-AC ⏜的度数), 即圆外角的度数等于它所夹的两段弧度数差的一半.。
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（3）如果一个圆周角是90°，它所对的弦是哪一条？
学生动手探究，交流总结。利用圆周角定理可以得出：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周
角所对的弦是直径。
2、问题2：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，
它们所对的弧一定相等吗？为什么？
学生讨论回答，得出结论。
圆周角 第二课时
教学目标：
1、知识教学点：
掌握圆周角定理和推论的内容，并能运用它们进行证明或计算。
2、能力要求：
（1）能运用圆周角定理和推论来解决一些简单的实际问题；
（2）通过例题的讲解，提高学生分析问题和解决问题的能力.
3、德育渗透：
学生讨论交流，培养学生合作探究的能力。
教学重难点：
1、圆周角定理及推论的运用；
例2：如图，AB是⊙O的直径，D是圆上任意一点（不与A、B重合），连接BD，并延长到C，使DC=DB，连接AC，判断△ABC的形状？
导析：AB作为⊙O的直径有无直接作用？怎样将圆周角定理推论利用起来？
学生探究方法。
连接AD，由AB是⊙O的直径，可以得出∠ADB
=90°，即AD⊥BC，
又因为BD=CD，所以可以得出AD为BC的垂直平分线，所以AB=AC，即△ABC为等腰三角形。添加。
教具：
圆规、三角板、量角器。
教学过程：
一、复习提问
1、“顶点在圆上的角叫圆周角”这句话对吗？
2、圆周角定理的内容是什么？
二、探索新知
1、问题1，思考回答。
（1）想一想，半圆所对的圆心角是多少度？圆周角是多少度？
（学生拿出准备好的圆，画出一个半圆所对的圆心角和圆周角，再量出它们的度数）
3、范例：
例1：如图，⊙O的直径AB=10㎝，弦AC为㎝，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长。
导析：已知直径可以得到什么结论？在直
角三角形中有哪些已知条件？如何求出未知边的长度？
解：∵AB是直径
∴∠ACB=90°
在Rt△ABC中，
BC=
∵CD平分∠ACB
∴
∴AD=BD
又在Rt△ABD中， ∴AD=BD= ㎝
三、课堂小结
引导学生作知识总结：
⑴圆周角定理推论内容，⑵辅助线的添加方法：构造直径所对的圆周角。
四、课堂练习
P93 2、3
五、作业
1、P95 11
2、补充：如图，在圆内接四边形ABCD中，AC平分BD，且AC⊥BD，
∠BAD=70°18′，求四边形其它各角的度数。
六、板书设计
复习提问
探索新知
应用新知