工程力学：第四章扭转

4、定性分析横截面上的应力
（1） 0 0
（2） 0 0
因为同一圆周上剪应变相同，所以同 一圆周上剪应力大小相等，并且方向 垂直于其半径方向。
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5、剪应变的变化规律：
tg aa' Rd
dx dx
c
tg
bb1 dx
d
dx
d
dx
二）物理关系： 弹性范围内 max P
G → G
G
G E
2(1 )
dα
γ
τb
τp
τ
τ
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三、剪应力互等定理
在相互垂直的两个面上，剪
a
应力总是成对出现的，并且大小 相等，方向同时指向或同时背离 dy
两个面的交线。
´
c
MZ 0
z
dx
(dy t)dx ( dxt)dy
´
b
d t
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§4—3 圆轴扭转应力
一、圆轴扭转时横截面上的应力（超静定问题） 几何关系：由实验找出变形规律→应变的变化规律； 物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律； 静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系→应力的计算公式。 一）、几何关系： 1、实验：
2.已知:功率 P马力(Ps)，转速 n转／分(r／min；rpm)。 外力偶矩：
m 7024 P (N m) n
四、内力(扭矩)： （截面法）
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四、内力(扭矩)： T
m
1.内力的大小:（截面法） m
m
Tx
取左段： m 0, T m 0 x T m
取右段为研究对象：
m
mx 0, m T 0
（3） t D, 认为剪应力沿壁厚均匀
t
分布,而且方向垂直于其半径方向。
D
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5、剪应力的计算公式：
dA →τdA →（τdA）r0 。 dA=（r0dα）t。
T
AdA.r0
2 0
r0
2td
r02t2
T
2r0 2t
二、剪切虎克定律
γ τpτs
在弹性范围内剪应力 与剪应变成正比关系。
p,
1
§4–1 引言 §4–2 薄壁圆筒的扭转应力 §4–3 圆轴扭转应力 §4–4 圆轴扭转强度与动力传递 §4–5 圆轴扭转变形与刚度计算 §4–6 非圆截面轴扭转 §4–7 薄壁杆扭转
作业
2
§4—1 引 言
一、工程实例 1、螺丝刀杆工作时受扭。 F
F
m
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
3、机器中的传动轴工作时受扭。
m
m
3
4
二、扭转的概念 受力特点：杆两端作用着大小相等、方向相反的力偶，且作 用面垂直杆的轴线。
变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。
轴：主要发生扭转变形
的杆。
mA
轴
mB
m
m
三、外力：m （外力偶矩）
5
1.已知：功率 P千瓦(KW），转速 n转／分(r／min； rpm)。 外力偶矩： m 9549 P (N m) n
→
G
d
dx
方向垂直于半径。
ab
a’ b'
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应力分布
（实心截面）
（空心截面）
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三）静力关系：
A dA dA dA
T
A dA
A G 2
d
dx
dA
G
d
dx
A
2dA
dA
O A
令 Ip A 2dA
T
GI p
d
dx
代入物理关系式
G
d
dx
得：
d
dx
T GI p
T
Ip
圆轴扭转时横截面上任一点的剪应力计算式。
[例] 已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从 动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。
m2
m3
m1
m4
n
A
B
C
D
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[例] 已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从 动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。
受力后：
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2、变形规律：
圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动 了一个不同的角度。
纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。
3、剪应变（角应变）：直角角度的改变量。
4、定性分析横截面上的应力 （1） 0, 0
（2） 0 0
'
'
因为圆周上剪应变相同，所以剪应力沿圆周均匀分布。
2、变形规律：
圆周线—形状、大小、间距 不变，各圆周线只是绕轴线 转动了一个不同的角度。
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2、变形规律： 圆轴线——形状、小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动
了一个不同的角度。
纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。 3、平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状、大
小、间距不变，半径仍为直线。
1-1截面：
m x
0,
T1
m2
0
n A 1 B 2 C3
m2
x
T1 m3 T2
T3
m2
x
T1 m2 4.78kN m
D 2 - 2截面：
mx 0, T2 m2 m3 0,
x
m4
T2 m2 m3
9.56kN m
3 - 3截面：
T（kN.m）
–
4.78
–
6.37 mx 0, m4 T3 0 ,
解：①计算外力偶矩
m 9549 P n
m1
9549
P1 n
9549
500 300
15.9 103 (N
m)
m2
m3
9549
P2 n
9549 150 300
4.78(kN.m)
m4
9549
P4 n
9549 200 300
6.37(kN.m)
②求扭矩（扭矩按正方向设）
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m2 1 m3 2 m1 3 m4
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二、圆轴中τmax的确定
横截面上
— max
T IP
max
T IP
max
T
WT
Ip—截面的极惯性矩，单位：m4 , mm 4
WT
Ip
max
WT —抗扭截面模量，单位：m3, mm3.
整个圆轴上——等直杆：
max
Tm a x WT
三、公式的使用条件：
1、等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。
T
x 扭矩－ T
T m
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2、内力的符号规定：以变形为依据，按右手螺旋法则判断。 右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若 其矢量方向背离所在截面则扭矩规定为正值，反之为负值。
+
T
-
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3、注意的问题
（1）、截开面上设正值的扭矩方向。 （2）、在采用截面法之前不能将外力简化或平移。
4、内力图（扭矩图）：表示构件各横截面扭矩沿轴线变化的图形。 作法：同轴力图：
x T3 m4 6.37kN m
③绘制扭矩图
9.56
BC段为危险截面。
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§4—2 薄壁圆筒轴的扭转
一、薄壁圆筒横截面上的应力(壁厚
t
1 10
r0
,r0：为平均半径）
实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式。
1、实验：
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实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式。 1、实验： 受力前：