抽屉原理
什么是抽屉原理
什么是抽屉原理
抽屉原理是一种用以解释某种情况下的现象或情况的原理，常常用于说明在一定条件下，将若干物体均匀放置在一定数量的抽屉或容器中，那么必然会有至少一个抽屉或容器中放置的物体数量超过平均值。
此原理源自于数学和概率统计学中的原理。
抽屉原理的具体内容可以通过以下例子来说明：假设有10个
苹果，要将它们放入5个抽屉中，不论如何放置，至少会有一个抽屉中放置的苹果数量超过平均值，即至少会有一个抽屉中放置2个或以上的苹果。
这个原理适用于很多不同的情况，包括计算机科学、组合数学、概率统计学等领域。
例如，在计算机科学中，抽屉原理可以用来解释哈希函数的冲突现象，即在将大量的键映射到有限数量的哈希槽中时，必然会有多个键映射到同一个槽中。
需要注意的是，抽屉原理并不是指完全相同的物体或情况，而是指在一定条件下的某种相似性的现象。
它虽然不能提供精确的答案，但对于解释和推断问题有一定的参考价值，因为它揭示了现实世界中很多不可避免的规律和现象。
抽屉原理的公式是什么
抽屉原理的公式是什么抽屉原理，也称为鸽巢原理，是数学和计算机科学中一条重要的基本原理。
它最早由德国数学家小弗里德里希·里夏尔于1834年提出，为了描述一种常见现象：当往n+1个抽屉中放入n个物体时，至少有一个抽屉会装多于一个物体。
这一原理在许多领域中都有重要的应用，特别是在集合论、概率论、信息论、密码学等方面。
抽屉原理的本质是一种计数原理，它基于一些简单的数学观察，不涉及复杂的推理。
其核心思想是将抽屉看作是集合，将物体看作是元素，然后通过计算元素数量和集合数量的关系来推导结论。
抽屉原理的公式可以表述为：对于 n 个抽屉和 m 个物体，当 m > n 时，至少有一个抽屉中至少放入了两个物体。
抽屉原理的证明可以通过反证法进行。
假设所有的抽屉最多只放入了一个物体，如果每个抽屉都满了，那么一共只能放入n个物体，冲突出现在 m > n 的情况下。
所以至少有一个抽屉中放入了两个物体或更多。
抽屉原理的应用非常广泛。
下面将介绍一些典型的应用场景。
应用场景一：生日问题在一个房间里，有多少人的时候存在两个人生日相同的概率很大？这就是生日问题。
将人的生日看作是物体，将每天的日期看作是抽屉。
根据抽屉原理，我们可以通过计算元素数量和集合数量的关系来解决这个问题。
假设每年有365天（不考虑闰年），那么将人的生日映射到365个抽屉中，当人数超过抽屉数量时，根据抽屉原理就可以确定至少有两个人生日相同。
这个问题的具体计算可以使用概率论中的计算技巧，但抽屉原理提供了解决问题的基本思路。
应用场景二：抽卡游戏在很多电子游戏或纸牌游戏中，都存在通过抽取卡牌的方式来获得不同的结果。
当抽取的卡牌数量超过卡牌种类时，至少会出现两张相同的卡牌。
以抽取纸牌游戏为例，假设一副扑克牌有52张，将抽取的牌看作是物体，将不同牌面的种类看作是抽屉。
当抽取的牌数超过52时，根据抽屉原理可以确定至少有两张相同的牌。
这个原理可以帮助人们在游戏中进行策略的制定和玩法的优化。
抽屉原理的简介与应用
抽屉原理的简介与应用1. 简介抽屉原理，也被称为鸽巢原理，是数学中的一条基本原理。
它由德国数学家戈尔德巴赫于18世纪中期提出，原理的核心思想是：如果有n个物体被放入n个抽屉中，且n大于抽屉的数量，那么至少存在一个抽屉中至少有两个物体。
2. 应用抽屉原理在数学中有广泛的应用，也被其他领域所借鉴和应用。
2.1 计算数学在计算数学中，抽屉原理常用于证明问题的存在性。
例如，在计算图论中，我们可以通过抽屉原理来证明在有限的图中，存在必定长度的路径或环。
这对于优化算法和网络分析非常重要。
2.2 概率与统计抽屉原理在概率和统计学中也有着重要的应用。
例如，假设我们有一个袋子里面有10颗红球和20颗蓝球，我们从袋子中随机抽取了30颗球。
根据抽屉原理，至少会有一个颜色的球抽到的数量将会超过其颜色的球的总数。
这可以用来解决一些概率和统计问题。
2.3 计算机科学在计算机科学中，抽屉原理也有着广泛的应用。
例如，在散列函数中，抽屉原理可以用来解决冲突的问题。
散列函数将一组键映射到一个有限的范围内，当不同的键映射到相同的范围时，就会发生冲突。
根据抽屉原理，当键的数量超过范围时，至少会有一个范围中存在多个键，这样就可以通过其他方法解决冲突。
2.4 数据库管理在数据库管理中，抽屉原理也经常被应用。
例如，在索引管理中，抽屉原理可以被用来解决索引冲突的问题。
当多个记录的索引值相同或非常接近时，就会发生索引冲突。
根据抽屉原理，当记录的数量超过索引的数量时，至少会有一个索引位置存在多个记录，这样就需要采取其他策略来处理冲突。
3. 总结抽屉原理作为一条基本的数学原理，有着广泛的应用。
它在计算数学、概率与统计、计算机科学和数据库管理等领域都扮演着重要的角色。
通过抽屉原理，我们可以解决一些问题的存在性、冲突以及优化等方面的问题。
因此，学习抽屉原理对于理解和应用这些领域的知识是非常有帮助的。
抽屉原理
一．第一抽屉原理原理1：把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。
证明（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n+k(k≥1)，这不可能.原理2：把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。
证明（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn 个物体,与题设不符，故不可能。
原理3：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。
二．第二抽屉原理把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。
例1：400人中至少有2个人的生日相同.例2：我们从街上随便找来13人，就可断定他们中至少有两个人属相相同.例3: 从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。
例4:从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。
例5：从数1，2，...，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不同。
三．抽屉原理与整除问题整除问题：把所有整数按照除以某个自然数m的余数分为m类，叫做m的剩余类或同余类，用[0]，[1]，[2]，…，[m-1]表示.每一个类含有无穷多个数，例如[1]中含有1，m+1，2m+1，3m+1，….在研究与整除有关的问题时，常用剩余类作为抽屉.根据抽屉原理，可以证明：任意n+1个自然数中，总有两个自然数的差是n的倍数。
(证明：n+1个自然数被n整除余数至少有两个相等（抽屉原理），不妨记为m=a1*n+b n=a2*n+b，则m-n整除n)。
例1 证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数。
四．经典练习：1．木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色不相同，则最少要取出多少个球？解析：把3种颜色看作3个抽屉，若要符合题意，则小球的数目必须大于7，故至少取出8个小球才能符合要求。
抽屉原理是什么意思
抽屉原理是什么意思抽屉原理（也称为鸽巢原理）是数学中的一个重要原理，它描述的是一种概率现象。
抽屉原理可以简单地概括为：如果有n+1个物体要放进n个抽屉中，那么无论如何放置，至少有一个抽屉中必然会有两个或更多物体。
抽屉原理最早可以追溯到古希腊数学家彼得·建设者（Peter C. D）在1939年提出的鸽巢定理，后来由是美国数学家罗森（R. R*) 在1964年将其普及并以抽屉原理的名字命名。
这个原理的简单解释是很容易理解的。
假设有5个苹果和4个抽屉，我们需要将这些苹果放入抽屉中去。
无论如何摆放，必然会有至少一个抽屉中放入了两个或更多的苹果。
这是因为若将5个苹果放入4个抽屉，我们只能在某一个抽屉中放2个苹果，而按照抽屉原理的规定，至少会有一个抽屉中放入了两个或更多的物体。
抽屉原理的应用非常广泛，不仅仅局限于数学领域。
它可以应用于各个领域，如计算机科学、生物学、物理学等。
在计算机科学中，抽屉原理可以用于解决许多问题。
例如，在散列函数中，如果我们将 n个关键字映射到 m个槽位中（假设 n>m），那么至少会有一个槽位中有多个关键字映射。
这是因为抽屉原理告诉我们，无论以何种方式映射，始终会有两个关键字映射到同一个槽位上。
生物学中，抽屉原理可以用于解释遗传学中的基因频率。
在一个种群中，如果有 n 个个体，而有 m 种不同的基因，则至少会有个体携带相同的基因，而原因也是抽屉原理的应用。
物理学中，抽屉原理可以类比于波动理论。
例如，如果我们在一条线上有 n 个波峰，而只有 m 个波谷（n>m），则必然会有至少两个波峰在同一个波谷之间。
抽屉原理指导我们认识到，波动现象中特定的波峰和波谷的存在不能无限地隔离。
在生活中，我们也可以看到抽屉原理的应用。
例如，如果我们参加一个聚会，那么如果参与人数超过了场地的容纳能力，那么至少会有两个人被安排坐在同一张桌子上。
总结一下，抽屉原理是一种重要的概率现象，可以简单地概括为：在一定条件下，将多个物体放置到较少的容器中，必然会出现某个容器放入了两个或更多物体。
抽屉原理的定义是什么
抽屉原理的定义是什么1. 引言抽屉原理（也被称为鸽笼原理）是一种基本的数学原理，它在各个领域都有广泛的应用。
在数学、计算机科学和其他一些领域，抽屉原理用于解决众多问题，特别是计数和概率问题。
本文将讨论抽屉原理的定义、原理以及其应用。
2. 抽屉原理的定义抽屉原理是指，当将n+1个物体放入n个抽屉中时，至少有一个抽屉里面会放有两个或两个以上的物体。
换句话说，如果有更多的物体要放入比抽屉数更少的抽屉中，那么至少会有一个抽屉中会有多个物体。
具体来说，假设有n个抽屉和m个物体，如果m > n，那么至少会有一个抽屉中有两个或两个以上的物体。
3. 抽屉原理的证明为了证明抽屉原理，我们可以采用反证法。
假设没有任何一个抽屉中放有两个或两个以上的物体，那么每个抽屉最多只能放一个物体。
如果有n个抽屉，那么最多只能放n个物体。
但是，假设我们有m > n个物体，这与前提矛盾。
因此，我们可以得出结论，至少会有一个抽屉中放有两个或两个以上的物体。
4. 抽屉原理的例子4.1 学生选择课程考虑一个学生选择课程的例子。
假设有10门课程和8名学生。
每个学生选择了至少一门课程。
根据抽屉原理，至少有一个学生选择了两门或两门以上的课程。
这是因为学生数（8）大于课程数（10）。
4.2 双生子生日问题另一个例子是双生子生日问题。
假设有365天，365个抽屉代表每一天，而抽屉里放置的是人的出生日期。
根据抽屉原理，当我们有至少366个人时，至少会有两个人在同一天出生。
这个问题揭示了在很小的数量下，会有出现概率较高的事件。
5. 抽屉原理的应用抽屉原理在计算机科学和数学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用：•密码学：在密码学中，抽屉原理用于解释概率分布和碰撞的概念。
它帮助我们理解两个不同的消息可能具有相同哈希值的概率。
•图论：在图论中，抽屉原理有助于解决图的着色问题。
根据抽屉原理，当要给少于或等于n个节点的图着色时，至少需要n种颜色。
•计算机算法：抽屉原理还用于处理算法设计中的情况，例如哈希冲突。
抽屉原理
抽屉原理抽屉原理，又叫狄利克雷抽屉原理，它是一个重要而又基本的数学原理。
抽屉原理（一）：把多于n 个的元素，按任一确定的方式分成n 个集合，那么存在一个集合中至少含有两个元素。
抽屉原理（二）：把多于m ×n 个元素分成n 个集合，那么一定有一个集合中至少有m +1个元素。
抽屉原理（三）：把m 1+m 2+…+m n +k (k ≥1)个元素分成n 个集合，那么，存在一个i ，在第i 个集合中至少有m i +1个元素。
应用抽屉原理来解题，首先要审题，即要分清什么作为“元素”，什么作为“抽屉”；其次要根据题目的条件和结论，结合有关的数学知识，恰当地设计抽屉，这是应用抽屉原理解题的关键。
一、分割图形造“抽屉”例1．在边长为1的等边三角形内（包括边界），任意选定10个点，求证：至少有三个点，它们两两之间的距离不大于12． 证明：如右图，等边三角形ABC 三边中点为D 、E 、F ，DE 、EF 、FD 把边长为1的三角形分成了四个边长为12的正三角形．10个点都在这四个正三角形“抽屉”中，根据抽屉原理（二），至少有三个点落入同一个区域里，此三个点可连成一个三角形，任意两点之间的距离不大于12．例2．在边长为1的正方形内，任意给定5个点，试证：其中必有两个点，它们之间的距离不超过22． 例3．在3×4的长方形中，放置6个点.试证：可以找到两个点，它们的距离不大于5．例4．在半径为1的圆内任给6个点.求证：其中必有两个点，它们之间的距离不超过1．例5．在直径为5的圆中放入10个点.求证：其中必有两个点，它们之间的距离小于2．二、利用余数造“抽屉”例6．求证：任意互异的8个整数中，一定存在6个整数x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，使得(x 1−x 2)(x 3−x 4)(x 5−x 6) 恰是105的倍数．分析：105=3×5×7，而3、5、7两两互质，所以只要能找到两个数，比如x1，x2，使得x1−x2是7的倍数，同理x3−x4是5的倍数，x5−x6是3的倍数，题目即得证．证明：根据抽屉原理（一），在任意8个整数中，必有两个整数被7除同余，那么，它们的差一定是7的倍数．假设这两个数为x1，x2，使得x1−x2=7k1．在余下的6个数中，必有两个数被5除同余，这两个数的差一定是5的倍数，假设两数为x3，x4，则有x3−x4=5k2．在余下的4个数中，必有两个整数被3除所得余数相同，那么它们的差一定是3的倍数，假设两数为x5，x6，则有x5−x6=3k3．(x1−x2)(x3−x4)(x5−x6)=7k1∙5k2∙3k3=105×(k1∙k2∙k3)所以，从任意8个互异的整数中，一定可以找到6个数x1，x2，x3，x4，x5，x6，使得(x1−x2)(x3−x4)(x5−x6)恰是105的倍数．例7．求证：在任给的52个整数中，必有两个数，它们的差恰是100的倍数．例8．求证：从任意n个自然数a1，a2，a3，…，a n中，总可以找到若干个数，它们的和是n的倍数．三、竞赛题选例例9．时钟的表盘上按标准的方式标着1、2、3、4……、11、12这12个数，在其上任意做n个120°的扇形，每一个都恰好覆盖4个数，每两个覆盖的数不全相同。
抽屉原理
解： 第一行中的5个小方格用黑、白两种颜色去染，至少有 3个小方格同色.不妨设第一行的前3个为白格. 现在考虑位于这3个白格下面的那个3×4的长方形，用黑、 白两种颜色去染这个3×4的长方形，有以下两种情况： ①若在某一行的3个方格中出现两个白格，则它们与上方第 一行相应的两个白格可组成四角同为白色的长方形。 ②若在4×3的长方形的任意一行的3个小方格中都不含两个 白格，也就是每一行的3个小方格所涂的颜色只有一白二黑 或三黑，则只有下面（1）、（2）、（3）、（4）共4种可 能.如果（4）出现在某一行中，那么不管其他三行（1）、 （2）、（3）、（4）中的哪种情况，必有一个四角为黑色 小方格的长方形.如果（4）未出现，则在这四行中只能出现 （1）、（2）、（3）这3种情况，由抽屉原理可知，必有 两行染色方式完全相同，显然这两行中的4个黑色小方格可 构成四角同黑的长方形.
A
B
C
D
E
例2．一副扑克牌（去掉两张 王牌），每人随意摸两张牌， 至少有多少人才能保证他们当 中一定有两人所摸两张牌的花 色情况是相同的？
例2．一副扑克牌（去掉两张王牌），每人随意摸两张牌， 至少有多少人才能保证他们当中一定有两人所摸两张牌的花 色情况是相同的？
解: 扑克有方块、梅花、黑桃、红桃4种花色， 2张牌的花色可以有：2方块，2梅花，2红桃，2黑 桃，1方块1梅花，1方块1黑桃，1方块1红桃，1梅 花1黑桃，1梅花1红桃，1黑桃1红桃共计10种情况.
证法1：每一列的三个格用黑、白两种颜色染色.所有 可能的染法只有如下图中的八种：
如果某一列是方式（1），即三格均为白色， 则其余6列中只要再有第（1）（2）（3）（4）种方式之 一（即该列中至少有两个白格）显然存在一个四角格都是 白色的长方形. 若第（1）、（2）、（3）、（4）种方式均未出现，其余 6列就只能是（5）、（6）、（7）、（8）这四种方式， 根据抽屉原理，其中至少有两列染色方式完全一样. 又（5）～（8）中每一列至少有两格染黑色，所以一定存 在一个长方形，它的四角格颜色都是黑色。 同理可知，如果有一列是第（8）种方式，即三格均为黑 色，那么也存在四角同色的长方形。 如果在7列中（1）、（8）两种方式都未出现，则只有 （2）、（3）、（4）、（5）、（6）、（7）这六种方式 染这4列， 根据抽屉原理，至少有两列染色方式完全一样，所以仍然 存在四角同色的长方形
什么叫抽屉原理
什么叫抽屉原理抽屉原理，又称鸽巢原理，是离散数学中的一个重要概念。
它在计算机科学、信息论、密码学等领域有着广泛的应用。
抽屉原理的核心思想是，如果有n个物品要放到m个抽屉里，且n大于m，那么至少有一个抽屉里会放多于一个物品。
抽屉原理最早的数学表述可以追溯到德国数学家Dirichlet提出的“鸽巢原理”，他认为如果有n只鸽子要放到m个巢里，且n大于m，那么至少有一个巢里会放多于一个鸽子。
这个概念后来被推广到了更一般的情况，即n个物品放到m个抽屉中。
抽屉原理的应用非常广泛。
在计算机科学中，抽屉原理被用来证明哈希算法的冲突不可避免，也被用来解决一些图论中的问题。
在信息论中，抽屉原理被用来证明数据压缩算法的存在性。
在密码学中，抽屉原理被用来分析密码学算法的安全性。
可以说，抽屉原理是离散数学中最基本的原理之一，它的重要性不言而喻。
抽屉原理的证明方法有很多种，其中比较直接的一种方法是采用反证法。
假设所有的抽屉里都放了不多于一个物品，然后根据n个物品和m个抽屉的关系，通过推理可以得出矛盾，从而证明了抽屉原理的成立。
除了直接的证明方法，抽屉原理还可以通过一些具体的例子来加深理解。
比如，假设有11个苹果要放到10个抽屉里，根据抽屉原理，至少有一个抽屉里会放多于一个苹果。
这个例子直观地展示了抽屉原理的成立。
在实际应用中，抽屉原理可以帮助我们解决一些实际问题。
比如，在生活中，如果有12个月要安排在10个月份里，那么至少会有一个月份有安排了多于一个的活动。
在排课的情况下，如果有11个学生要安排在10节课里，那么至少会有一节课有多于一个的学生安排在其中。
这些都是抽屉原理在实际生活中的应用。
总的来说，抽屉原理是离散数学中一个非常重要的概念，它在计算机科学、信息论、密码学等领域有着广泛的应用。
通过理论证明和具体例子的分析，我们可以更好地理解抽屉原理的内涵和应用，为我们在实际问题中的解决提供了有力的工具。
抽 屉 原 理
抽屉原理知识要点:把4个苹果任意放在3个抽屉里,其中至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果,可以这样想:如果一只抽屉里只有一个苹果,那么3个抽屉最多只有3个苹果,所以一定有一个抽屉里至少放2个。
这种推理的依据，就是抽屉原理。
1、抽屉原理：把多于n个的苹果放进n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两个或两个以上的苹果。
2、方法：应用抽屉原理要注意确定什么是“抽屉”，什么是“苹果”，苹果的数目一定要大于抽屉的个数。
即满足“苹果多，抽屉少”这一条件，就可以利用抽屉原理。
3、抽屉原理的结论只是肯定了“存在”“总是”或“至少有”，而不是确切地说在哪一个抽屉里有，更不能说出具体每个抽屉的苹果个数。
4、概念：抽屉原则一：如果n＋k(k≥1)个物体放入n个抽屉里，则至少有一个抽屉里放有两个或两个以上的物体。
抽屉原则二：如果把mn＋k(k≥1)个物体放进n个抽屉里，则至少有一个抽屉中放有m＋1个或更多个物体。
1、六年级有45名学生参加小学数学竞赛，成绩都是整数，满分是100分。
已知2名学生的成绩在60分以下，其余学生的成绩均在75~95之间，问：至少有几名学生的成绩相同？2、少先队员组织文体活动共500人参加，其中有拔河、游泳和打羽毛球三个项目，规定每人必须参加一项或两项活动。
至少有几名队员参加的项目相同？3、从顶点起，每隔1米种一棵树，如果把3块“爱护树木”的小牌分别挂在3棵树上，那么不管怎么挂，至少有2棵挂牌的树，它们之间的距离为偶数？4、用1、2、3、4四个数字任意写一个1万位数，从这个数中，任意截取相邻的四位数字，可以组成许多个四位数，在这些四位数中，至少有多少个相同？5、学校买来历史、文艺、科普三种图书若干本，每个学生从中任意借2本，那么至少多少个学生中，一定有两人所借图书种类完全相同？6、有10副白色和10副红色式样相同的手套，都散乱放在箱子里，不看而取，问至少从箱子里拿出多少只手套，才能保证有同样颜色的一副手套？7、一个袋子里装有一些球，这些球仅只有颜色不同，其中红球10个，白球9个，黄球8个，蓝球2个。
抽屉原理
抽屉原理抽屉原理又叫鸽笼原理，是德国数学家狄里克雷首先发现的，所以又叫狄里克雷原理。
这类问题似乎都有“存在”、“必有”、“至少有”这样的字眼。
在解决这类问题时，只要求证明存在，一般并不要求指出哪一个，也不需要确定通过什么方式把这个存在的东西找出来。
一、原理抽屉原理(一)：把多于．．n个的物体任意分放进n个空抽屉里（n是非0自然数），那么一定有．．．．了2个物体。
．．．1个抽屉里至少放进抽屉原理(二)：把多于．．k．n个的物体任意分放进n个空抽屉里（k、n都是非0自然数），那么一定有．．．．了（k+1）个．．．1个抽屉里至少放进物体。
抽屉原理（一）是抽屉原理（二）的特殊情况。
二、解决抽屉原理问题的关键：1、确认什么是被投放的“物体”，什么是“抽屉”；2、正确构造“抽屉”——最重要的关键；3、分清问题属于下述三类问题中的哪一类。
三、抽屉原理问题的三种类型和解法（一）已知被投物体的个数和抽屉数，求某一个抽屉里至少可以放进的物体个数。
方法：要把a个物体放进n个空抽屉，如果a÷n＝b……c （c≠0且c﹤n），那么一定有一个抽屉至少可以放进（b．＋．1．）个物体。
而不是（b+c）个物体。
（二）已知被投物体的个数和某一个抽屉里至少可以放进的物体个数，求抽屉数。
方法：（被投物体的个数-1）÷（某一个抽屉里至少可以放进的物体个数－1）＝n……c (c﹤n)，则n就是所求的抽屉数。
（三）已知抽屉数和某一个抽屉里至少可以放进的物体个数，求被投物体的个数。
方法：抽屉数×（某一个抽屉里至少可以放进的物体个数－1）＋1，就是所求的被投物体的个数。
（2011—04—21）。
抽屉原理
抽屉原理一、起源抽屉原理最先是由19 世纪的德国数学家迪里赫莱(Dirichlet)运用于解决数学问题的,所以又称"迪里赫莱原理",也有称"鸽巢原理"的.这个原理可以简单地叙述为"把10个苹果,任意分放在9 个抽屉里,则至少有一个抽屉里含有两个或两个以上的苹果".这个道理是非常明显的,但应用它却可以解决许多有趣的问题,并且常常得到一些令人惊异的结果.抽屉原理是国际国内各级各类数学竞赛中的重要内容,本讲就来学习它的有关知识及其应用.二、抽屉原理的基本形式定理1,如果把n+1 个元素分成n 个集合,那么不管怎么分,都存在一个集合,其中至少有两个元素.证明:(用反证法)若不存在至少有两个元素的集合,则每个集合至多1 个元素,从而n 个集合至多有n 个元素,此与共有n+1 个元素矛盾,故命题成立.在定理1 的叙述中,可以把"元素"改为"物件",把"集合"改成"抽屉",抽屉原理正是由此得名.同样,可以把"元素"改成"鸽子",把"分成n 个集合"改成"飞进n 个鸽笼中"."鸽笼原理"由此得名.解答抽屉原理的关键：假设有3 个苹果放入2 个抽屉中，则必然有一个抽屉中有2 个苹果，她的一般模型可以表述为：第一抽屉原理：把（ mn+1）个物体放入n 个抽屉中，其中必有一个抽屉中至少有（ m+1）个物体。
若把3 个苹果放入4 个抽屉中，则必然有一个抽屉空着，她的一般模型可以表述为：第二抽屉原理：把（ mn－1）个物体放入n 个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（ m—1）个物体。
抽屉原理一把4 只苹果放到3 个抽屉里去，共有4 种放法，不论如何放，必有一个抽屉里至少放进两个苹果。
同样，把5 只苹果放到4 个抽屉里去，必有一个抽屉里至少放进两个苹果。
抽屉原理
抽屉原理一、知识要点抽屉原理又称鸽巢原理，它是组合数学的一个基本原理，最先是由德国数学家狭利克雷明确地提出来的，因此，也称为狭利克雷原理。
把3个苹果放进2个抽屉里，一定有一个抽屉里放了2个或2个以上的苹果。
这个人所皆知的常识就是抽屉原理在日常生活中的体现。
用它可以解决一些相当复杂甚至无从下手的问题。
原理1：把n+1个元素分成n类，不管怎么分，则一定有一类中有2个或2个以上的元素。
原理2：把m个元素任意放入n（n＜m＝个集合，则一定有一个集合呈至少要有k个元素。
其中 k＝（当n能整除m时）〔〕＋1 （当n不能整除m时）（〔〕表示不大于的最大整数，即的整数部分）原理3：把无穷多个元素放入有限个集合里，则一定有一个集合里含有无穷多个元素。
二、应用抽屉原理解题的步骤第一步：分析题意。
分清什么是“东西”，什么是“抽屉”，也就是什么作“东西”，什么可作“抽屉”。
第二步：制造抽屉。
这个是关键的一步，这一步就是如何设计抽屉。
根据题目条件和结论，结合有关的数学知识，抓住最基本的数量关系，设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数，为使用抽屉铺平道路。
第三步：运用抽屉原理。
观察题设条件，结合第二步，恰当应用各个原则或综合运用几个原则，以求问题之解决。
例1、教室里有5名学生正在做作业，今天只有数学、英语、语文、地理四科作业求证：这5名学生中，至少有两个人在做同一科作业。
证明：将5名学生看作5个苹果将数学、英语、语文、地理作业各看成一个抽屉，共4个抽屉由抽屉原理1，一定存在一个抽屉，在这个抽屉里至少有2个苹果。
即至少有两名学生在做同一科的作业。
例2、木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？解：把3种颜色看作3个抽屉若要符合题意，则小球的数目必须大于3大于3的最小数字是4故至少取出4个小球才能符合要求答：最少要取出4个球。
例3、班上有50名学生，将书分给大家，至少要拿多少本，才能保证至少有一个学生能得到两本或两本以上的书。
抽屉原理
抽屉原理桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面至少放两个苹果。
抽屉原理有时也被称为鸽巢原理。
第一抽屉原理原理1：把多于n+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。
原理2：把多于mn(m乘n)+1（n不为0）个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有不少于（m+1）的物体。
原理3 ：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。
第二抽屉原理把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体(例如，将3×5-1=14个物体放入5个抽屉中，则必定有一个抽屉中的物体数少于等于3-1=2)。
运用抽屉原理的核心是分析清楚问题中，哪个是物件，哪个是抽屉。
例如，属相是有12个，那么任意37个人中，至少有几个人属相相同呢？这时将属相看成12个抽屉，则一个抽屉中有37/12，即3余1，余数不考虑，而向上考虑取整数，所以这里是3+1=4个人，但这里需要注意的是，前面的余数1和这里加上的1是不一样的。
因此，在问题中，较多的一方就是物件，较少的一方就是抽屉，比如上述问题中的属相12个，就是对应抽屉，37个人就是对应物件，因为37相对12多。
最差原则最差原则，即考虑所有可能情况中，最不利于某件事情发生的情况。
例如，有300人到招聘会求职，其中软件设计有100人，市场营销有80人，财务管理有70人，人力资源管理有50人。
那么至少有多少人找到工作才能保证一定有70人找的工作专业相同呢？此时我们考虑的最差情况为：软件设计、市场营销和财务管理各录取69人，人力资源管理的50人全部录取，则此时再录取1人就能保证有70人找到的工作专业相同。
因此至少需要69*3+50+1=258人。
根据第二抽屉原理推导：mn+1个人的时候必有m+1个人找到的工作专业相同，所以是要求出mn+1的人数，现在已知n=4，m+1=70。
考虑到人力资源专业只有50人，得出mn+1=(69*3+50)+1=258人。
什么是抽屉原理
什么是抽屉原理抽屉原理，又称鸽巢原理，是一种基本的组合数学原理。
它最早由德国数学家德尔·费歇特在19世纪提出，并由意大利数学家拉蒂亚在20世纪初给出了更为精确的表述。
抽屉原理在计算机科学、密码学、概率论等领域都有着广泛的应用。
抽屉原理的核心思想是，如果有n个物品要放到m个抽屉中，且n>m，那么至少有一个抽屉中至少有两个物品。
这个原理的直观解释是，如果有更多的物品要放到较少的抽屉中，那么必然会出现某个抽屉里放不下的情况，从而导致至少有一个抽屉里有多个物品。
抽屉原理的应用非常广泛。
在密码学中，抽屉原理可以用来证明一些密码学算法的安全性，例如生日攻击。
在概率论中，抽屉原理可以用来证明一些概率事件的发生概率。
在计算机科学中，抽屉原理可以用来分析算法的时间复杂度和空间复杂度。
除了上述应用之外，抽屉原理还有一些更加有趣的应用。
例如在生活中，我们经常会遇到这样的情况，一个班级有30个学生，但是只有25个座位，那么根据抽屉原理，至少会有5个学生共用一个座位。
再比如，如果一个国家有1000万人口，但是只有1000个不同的姓氏，那么根据抽屉原理，至少会有10000个人拥有相同的姓氏。
抽屉原理在解决实际问题时，通常需要结合一些其他的数学知识和技巧。
例如在证明某个事件必然发生时，需要通过逻辑推理和数学推导来进行论证。
在计算机科学中，抽屉原理通常与数据结构和算法相结合，用来分析和设计高效的算法。
总之，抽屉原理是一种非常基础但又非常重要的数学原理，它在解决实际问题时有着广泛的应用。
通过理解和掌握抽屉原理，我们可以更好地理解和应用数学知识，提高解决实际问题的能力。
希望本文对抽屉原理有所帮助，谢谢阅读。
抽屉原理的分类
抽屉原理的分类抽屉原理（也称为鸽巢原理或鸽笼原理）是由瑞士数学家德里克·斯特里奇与英国逻辑学家恩斯特·累克于20世纪初提出的一个基本概念，用于描述一个重要的原理：如果将n+1个物体放进n个抽屉里，至少会有一个抽屉里会放入两个物体。
抽屉原理的分类主要分为基本抽屉原理、进化版抽屉原理和亥姆霍兹定理三类。
1. 基本抽屉原理（Pigeonhole Principle）：基本抽屉原理是最简单、最直接的抽屉原理表现形式。
它指的是，当将多于一个的物体分配到有限个的容器（抽屉）中，必然会出现一个容器中放入两个或以上的物体。
这个原理可以应用于很多实际问题，例如：班级里的学生数量超过了座位数，那么必然会有两个学生坐在同一个座位上。
2. 进化版抽屉原理（Generalized Pigeonhole Principle）：进化版抽屉原理是对基本抽屉原理的扩展和应用。
它指出，如果有n个容器和m个物体，而m>n，则至少有一个容器中必须放置⌈m/n⌉个物体。
其中，⌈m/n ⌉表示m除以n并向上取整。
这个原理可以应用于更复杂的问题，例如：如果有11个苹果放在10个篮子里，那么至少有一个篮子里会有2个苹果。
3. 亥姆霍兹定理（Helmholtz Principle）：亥姆霍兹定理是抽屉原理的一个推论和应用，它指出，如果有m个元素分配到n个位置（经过一些规则），则至少有⌈m/n⌉个位置上会有元素。
这个原理可以应用于更加复杂的问题，例如：在棋盘上放置国际象棋的棋子，无论如何放置，都会有至少⌈m/64⌉个位置上会有棋子。
抽屉原理的应用广泛，既可以用于数学和逻辑问题的求解，也可以用于算法和计算机科学的设计中。
通过抽屉原理，我们可以得出一些重要的推论和结论，帮助我们分析和解决各种实际问题。
总之，抽屉原理是数学和逻辑中的一个基本概念，它描述了一种容器和物体之间的关系，即在一定条件下，将多个物体放入有限个容器中，必然会有一个容器中放入两个或以上的物体。
抽屉原理
抽屉原理一．什么是抽屉原理？实例1：把3个苹果放在两个抽屉里，不论怎样放，“必有一个抽屉里至少放了2个苹果”。
实例2：把七只山雀,任意装入3只鸟笼内，则其中必有一只鸟笼至少装有3只山雀。
上述问题共同点都是在“任意放入”的条件下，得出“必然的结论”，这就是抽屉原理的基本思想二．抽屉原理的几种常见形式原理1。
把m 件物体，任意放在)(m n n <个抽屉里，则其中必有一个抽屉里至少放有两件物体。
原理2。
把)1(≥+k k mn 个物体放进n 个抽屉，则至少有一个抽屉里要放进1+m 个或更多个物体原理3。
把)1(321≥++++k k m m m m n 个物体放入n 个抽屉里，那么或在第一个抽屉里至少放入11+m 个物体，或在第二个抽屉里至少放入12+m 个物体，……，或在第n 个抽屉里至少放入1+n m 个物体。
原理4。
把m 个物体任意放在n 只抽屉里，那么总有一只抽屉里，至多有⎥⎦⎤⎢⎣⎡n m 个物体。
三．构造抽屉的几种常用方法在运用抽屉原理解题时，怎样才能构造出符合条件的抽屉呢？关键要合理地进行分类，无论怎样分类，都应当先确定分类的对象，再确定分类的标准，下面就常见的的设计抽屉的方法介绍如下1．分割图形构造抽屉例1． 在边长为1的正三角形中任意放置五个点，则必有两点，它们之间的距离不超过21。
分析：在正三角形内（包括边界）任意两点间的距都不超过其边长（其它多边形无此性质），根据这个性质，如果能把原来正三角形划分为四个边长为21的正三角形即可 解：设正三角形ABC 边长为1，连接三边中点DE 、EF 、FD ，则构成四个边长为21的小正三角形，任意放置五个点，依据抽屉原理，至少在一个小正三角形内（包括边界）不少于两点，它们之间的距离不大于小正三角形的边长。
即证。
例2． 在一个边长为1的正方形内任意给定9点，求证：在以这些点为顶点的各个三角形中，必有一个三角形，它的面积不大于81。
分析：首先要考虑这个正方形需要分割几块，才能保证在某一块里至少有3个点，根据抽屉原理319=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡k ，可知,4=k 这就是说，把正方形分割成4块， 证明：将正方形分成四个面积为41的小正方形，根据抽屉原理2，至少有一个小正方形EFGH 所含（在内部或周界上）的给定点不少于3149=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡个，设为A 、B 、C ，显然，若A 、B 、C共线，则命题成立，如果它们不共线，总可以用如图的方法将ABC ∆部分，那么212121==+≤+=∆∆∆EFGH MFGN EMNH CBD ABD ABC S S S S S S例3． 把93⨯的矩形分成27个单位小方格，将每个小方格任意涂上红色或蓝色。
抽屉原理
一、 知识点介绍抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用．许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决．二、 抽屉原理的定义（1）举例桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。
（2）定义一般情况下，把n ＋1或多于n ＋1个苹果放到n 个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。
我们称这种现象为抽屉原理。
三、 抽屉原理的解题方案（一）、利用公式进行解题 苹果÷抽屉＝商……余数余数：（1）余数＝1， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （2）余数＝x ()()11x n - ， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （3）余数＝0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里 （二）、利用最值原理解题将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法．抽屉原理是一种特殊的思维方法，不但可以根据它来做出许多有趣的推理和判断，同时能够帮助同学证明很多看似复杂的问题。
本讲的主要教学目标是： （1） 理解抽屉原理的基本概念、基本用法； （2） 掌握用抽屉原理解题的基本过程； （3） 能够构造抽屉进行解题；抽屉原理（4）利用最不利原则进行解题；（5）利用抽屉原理与最不利原则解释并证明一些结论及生活中的一些问题。
（一）、直接利用公式进行解题（1）求结论【例1】6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有1只，一定有一个笼子里有2只鸽子．对吗？【巩固】年级一班学雷锋小组有13人．教数学的张老师说：“你们这个小组至少有2个人在同一月过生日．”你知道张老师为什么这样说吗？【例2】人的头发平均有12万根，如果最多不超过20万根，那么13亿中国人中至少有人的头发的根数相同。
抽屉原理技巧解法
抽屉原理技巧解法引言抽屉原理是指如果有n个物体放在m个抽屉中，并且n > m，那么至少有一个抽屉中会放置多于一个物体。
这个原理很常见，应用广泛，可以用来解决许多实际问题。
本文将介绍抽屉原理的基本概念，并提供一些技巧和解法来应用抽屉原理。
什么是抽屉原理？抽屉原理，也被称为鸽笼原理，是数学中的一种基本原理。
它表明，如果将n+1个物体放入n个容器中，那么至少有一个容器中将放置多于一个物体。
抽屉原理可以用来解决很多实际问题，特别是在计数和概率方面。
抽屉原理的应用1. 鸽巢原理鸽巢原理是抽屉原理的一种应用，它指出如果有n个鸽子进入m个鸽巢，并且n > m，那么至少有一个鸽巢中会有多于一个鸽子。
这个原理可以应用于各种问题，例如在群体中寻找重复的元素，或者在计算机编程中对某些结果进行分类。
2. 生日问题生日问题是抽屉原理的另一个应用，它涉及到在一个具有固定人数的群体中，至少有两个人生日相同的概率问题。
根据生日问题，当群体的人数超过365人时，至少有两个人的生日是相同的。
这个问题可以用来解释概率论中的碰撞问题，并在密码学中有重要的应用。
3. 数独问题数独问题是一种利用抽屉原理解决的逻辑谜题。
它通过将9x9方格划分为9个3x3的小方格，并使用数字1到9填充每个方格，以满足每行、每列和每个小方格内的数字不重复的条件。
数独问题可以通过抽屉原理来解决，即在填充数字时，当某个方格的候选数字唯一时，它将成为必填数字。
4. 数据库设计在数据库设计中，抽屉原理可以用于确定关系数据库中的键和索引。
通过在表中选择恰当的列作为索引，可以提高数据库的性能，加快查询速度。
然而，根据抽屉原理，如果索引列的基数过高（即重复值太多），那么查询可能会变慢。
因此，在数据库设计中合理应用抽屉原理有助于提高性能。
抽屉原理的技巧和解法1. 分类和统计抽屉原理常常被用来解决分类和统计问题。
具体来说，在一组数据中，如果需要将数据按照某个准则分类，那么根据抽屉原理，至少有一个分类将包含多于一个数据。
总结抽屉原理
总结抽屉原理抽屉原理（Pigeonhole Principle）是一种数学原理，用于解释在一些有限的情况下，对于某种分布或关系的约束。
该原理指出，如果将多于抽屉数量的物体放入抽屉中，那么至少有一个抽屉将不为空。
抽屉原理有时也被称为鸽巢原理或鸽笼原理，常常应用于计数问题和构造性证明。
它可以帮助我们理解和解决各种实际问题。
以下是对抽屉原理的总结。
原理说明抽屉原理可以简单地用以下方式描述：如果有若干个物体要分别放入有限数量的抽屉中，若n个物体要被分配到m个抽屉里，其中n > m，则至少有一个抽屉会包含多个物体。
这个原理的关键在于物体的数量超过了抽屉的数量，所以必然会有一些抽屉是不可避免地要放入多个物体。
通过这个原理，可以推断出一些实际问题的结论，并应用于解决问题。
应用案例抽屉原理在许多领域都有着广泛的应用，以下是几个常见的案例：生日相同的人假设一个房间里有365个人，每个人的生日都是随机的且独立的，那么至少有两个人会生日相同。
这是因为将365个人映射到365个可能的生日（抽屉），根据抽屉原理，至少有一个抽屉里会有两个人。
字符串匹配在字符串匹配问题中，假设有一个长度为n的字符串和一个长度为m的子字符串，我们想要找到子字符串在主字符串中的所有出现位置。
根据抽屉原理，如果将子字符串的每个可能位置（抽屉）与主字符串进行比较，那么至少有一个抽屉会匹配成功。
鸽巢收费站在一个有15个鸽巢的鸽巢收费站中，每个鸽巢最多只能容纳5只鸽子。
如果有16只鸽子要通过收费站，根据抽屉原理，至少会有一个鸽巢要容纳多于5只鸽子。
证明方法抽屉原理的证明方法常用的有两种：鸽舍原理证明和对角线方法。
鸽舍原理证明鸽舍原理证明方法利用了反证法。
首先，假设没有一个抽屉包含多个物体，即每个抽屉最多只能放一个物体。
然后通过计数的方式推导出物体的总数量小于或等于抽屉的数量，与已知条件相矛盾。
因此，反证法证明了至少有一个抽屉会包含多个物体。
对角线方法对角线方法是通过构造方式来证明抽屉原理。
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试证明：这六个点中至少有两个点的距离不大于20厘米。
2.在今年入学的一年级新生中有370多人是在同一年出生的。
请你证明：他们中至少有两个人是在同一天出生的。
3.夏令营有400个小朋友参加，问：在这些小朋友中，(1)至少有多少人在同一天过生日？(2)至少有多少人单独过生日？(3)至少有多少人不单独过生日？4.学校举行开学典礼，要沿操场的400米跑道插40面彩旗。
试证明：不管怎样插，至少有两面彩旗之间的距离不大于10米。
5.在100米的路段上植树，问：至少要植多少棵树，才能保证至少有两棵之间的距离小于10米？6.在一付扑克牌中，最少要拿多少张，才能保证四种花色都有？7.在一个口袋中有10个黑球、6个白球、4个红球。
问：至少从中取出多少个球，才能保证其中有白球？8.口袋中有三种颜色的筷子各10根，问：(1)至少取多少根才能保证三种颜色都取到？(2)至少取多少根才能保证有两双颜色不同的筷子？(3)至少取多少根才能保证有两双颜色相同的筷子？9.据科学家测算，人类的头发每人不超过20万根。
试证明：在一个人口超过20万的城市中，至少有两人的头发根数相同。
10.第四次人口普查表明，我国50岁以下的人口已经超过8亿。
试证明：在我国至少有两人的出生时间相差不超过2秒钟。
11.证明：在任意的37人中，至少有四人的属相相同。
12.跳绳练习中，一分钟至少跳多少次才能保证在某一秒钟内，至少跳了两次？13.一个正方体有六个面，给每个面都涂上红色或白色。
证明：至少有三个面是同一颜色。
14.袋里有红、白、蓝、黑四种颜色的单色球，从袋中任意取出若干个球。
问：至少要取出多少个球，才能保证有三个球是同一颜色的？15.一只鱼缸里有很多条鱼，共有五个品种。
问：至少捞出多少条鱼，才能保证有五条相同品种的鱼？16.某小学五年级的学生身高(按整厘米计算)，最矮的为138厘米，最高的为160厘米。
如果任意从这些学生中选出若干人，那么，至少要选出多少人，才能保证有五人的身高相同？17.体育组有足球、蓝球和排球，上体育课前，老师让一班的11名同学往操场拿球，每人最多拿两个。
试证明：至少有两个同学拿球的情况完全一样。
18.口袋里放有足够多的红、白、兰三种颜色的球，现有31个人轮流从袋中取球，每人各取三个球。
证明：至少有4个人取出球的颜色完全相同。
19.蓝子里有苹果、梨、桃和桔子，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，问至少有多少个小朋友，才能保证至少有两个小朋友拿的水果完全一样？20.学校开办了语文、数学、美术和音乐四个课外学习班，每个学生最多可以参加两个(可以不参加)。
问：至少在多少个学生中，才能保证有两个或两个以上的同学参加学习班的情况完全相同？21.为了丰富暑假生活，学校组织甲、乙两班进行了一次军棋对抗赛，每班各出五人，同时对弈。
比赛时天气很热，学校给选手们准备了两种饮料，有可乐，有汽水，每个选手都选用了一种饮料。
试证明：至少有两对选手，不但甲班选手选用的饮料相同，而且乙班选手选用的饮料也相同。
22.在上题中，如果学校为比赛准备了可乐、汽水和果汁三种饮料，那么比赛时每班至少出多少人，才能保证至少有两对选手，甲班选手选用的饮料相同，乙班选手选用的饮料也相同？23.100名少先队员选大队长，候选人是甲、乙、丙三人，选举时每人只能投票选举一人，得票最多的人当选。
开票中途累计，前61张选票中，甲得35票，乙得10票，丙得16票。
问：在尚未统计的选票中，甲至少再得多少票就一定当选？24.有一批四种颜色的小旗，任意取出三面排成一行，表示各种信号。
证明：在200个信号中至少有4个信号完全相同。
25.库房里有一批蓝球、排球、足球和手球，每人任意搬运两个。
证明：在41个搬运者中至少有5人搬运的球完全相同。
26.库房里有一批蓝球、排球、足球和手球，每人任意搬运三个。
问：在61个搬运者中至少有几人搬运的球完全相同？27.六年一班27个同学排成三路纵队外出参观，同学们都戴着红色或白色的太阳帽。
求证：在9个横排中，至少有两排同学所戴帽子的颜色顺序完全相同。
28.有n个队参加的足球比赛，已经赛了n+1场。
证明：必有一个队少赛了3场。
划分图形29.在一个3×4平方米的矩形中，任意点5个点，试证明：至少有两个点的距离不大于2.5米。
30.在边长为1的正三角形中，任意放入5个点，证明：其中至少有两个点的距离不大于1/2。
31.在边长为1的正三角形内，任意放入十个点，求证：必有两个点的距离不大于1/3。
32.在一个半径为10米的圆形旱冰场上，有七位同学在滑旱冰，试证明：一定有两个同学间的距离不大于10米。
33.在边长为1的正方形内，任意放入9个点，则其中必有3个点，它们构成的三角形的面积不大于1/8。
34.在一个矩形内任意放五点，其中任意三点不在一条直线上。
试证明：在以这五点为顶点的三角形中，至少有一个的面积小于矩形面积的四分之一。
*35.在平面上给定9个点，其中任意三个点中总有两个点之间的距离小于1。
证明：存在半径为1的圆，该圆含这些点的数目不少于5个。
*36.在面积为3的图形内放置5个面积为1的图形。
证明：无论怎样放置，总可以找到两个图形，它们重叠部分的面积不小于1/5。
整数分组37.证明：在任意的四个自然数中，至少有两个数的差是3的倍数。
38.任意取多少个自然数，才能保证至少有两个数的差是7的倍数？为什么？39.证明：任取12个自然数，至少有两个自然数被11除的余数相同。
40.任意给定四个自然数：a<b<c<d，求证：在b-a，c-a，d-a，c-b，d-b，d-c这六个差数中，(1)至少有一个是3的倍数；(2)至少有两个是偶数。
41.证明：在从1开始的前10个奇数中任取6个，一定有两个数的和是20。
42.从1、4、7、10、…、37、40这14个数中任取8个数，试证：其中至少有两个数的和是41。
43.从1、5、9、13、17、…、77、81这21个数中，任意取出12个数。
试证：其中至少有两个数的和是78，有两个数的和是86。
44.证明：在自然数1～100中任取21个数，其中一定有两个数的差(大数减小数)小于5。
45.证明：在自然数1～125中任取7个数，其中一定有两个数的商(大数除以小数)不大于2。
46.证明：在自然数20～160中任取6个数，其中一定有两个数的比值不小于2/3，不大于3/2。
47.设x1、x2、…、xn是n个小于1的正数。
证明：其中必有两个数的48.证明：从前100个自然数中任意取出51个数，其中至少有两个数，较大的数是较小的数的整数倍。
49.从1、3、5、7、…、37、39这20个奇数中任意取出14个，试证明：其中至少有两个数，一个数是另一个数的倍数。
50.从2、4、6、8、…、30、32这16个偶数中任意取出9个，试证明：其中至少有两个数，一个数是另一个数的倍数。
51.从1、3、5、…、97、99中最多可以选出多少个数，使它们当中的每一个数都不是另一个数的倍数？52.证明：从八个连续自然数中任意选出五个，其中必有两个数的差等于4。
53.从1、2、3、…、1992、1993这些数中最多可以选出多少个数，使其中每两个数的差不等于4。
54.证明：对于任意的七个自然数，其中必有四个数的和是4的倍数。
55.证明：对于任意的七个自然数，其中必有两个数的和或差是10的倍数。
*56.证明：对于任意的四个自然数，必可从中选出一个或几个，使它们的和是4的倍数。
*57.证明：对于任意的n个自然数，其中必有若干个数的和是n的倍数。
*58.在一次智力竞赛中，数学老师让全班47个同学每人想一个自然数，并说：“无论你们怎样想，在你们中间总有若干人所想的数之和是47的倍数。
”同学们不太相信，可是每次试验老师都成功了。
你知道这是为什么吗？*60.证明：对于任意的自然数n，一定存在另一个自然数，它是n的整数倍，并且仅由数码3和0组成。
61.从前11个自然数中任意取出6个，求证：其中有两个数互质。
62.证明：在前2n个自然数中，任意取出n+1个，其中必有两个数互质。
*63.设自然数n具有如下性质：从前n个自然数中任取21个，其中必有两个数的差是5。
求这样的n中最大的那个。
*64.在上题中，如果将“从前n个自然数中任取21个”改为“从前n个自然数中任取20个”呢？65.求证：对于任意的8个自然数，一定能从中找到6个数a、b、c、d、e、f，使得(a-b)(c-d)(e-f)是105的倍数。
66.证明：对于任意的20个自然数，一定可以从中找到a、b、c、d、e、f六个数，使得(a-b)(c-d)(e-f)是1995的倍数。
67.任意写一个由数字1、2、3组成的三十位数，从这三十位数中任意截取相邻三位，可得一个三位数。
证明：从所有不同位置截取的三位数中，至少有两个相同。
68.任意写一个由数字1、2、3、4、组成的六十七位数，从这六十七位数中任意截取相邻三位，可得一个三位数。
证明：从所有不同位置截取的三位数中，至少有两个相同。
69.将自然数1、2、3、…、31、32按任意次序排成一圈，证明：其中必有相邻的三个数之和不小于50。
70.将400本书随意分给若干名同学，但每人不得超过11本，试证明：至少有七名问学得到的书的本数相同。
71.六个小朋友每人至少有一本书，一共有20本书，试证明：至少有两个小朋友有相同数量的书。
72.全班有40个同学，共有不到780本书，试证明：至少有两个同学有相同数量的书。
73.10个小朋友每人有10块糖，如果每人每天至少吃3块，吃完为止。