高二数学必修五导学案

§1.1.1 正弦定理

学习目标 1. 掌握正弦定理的内容；

2. 掌握正弦定理的证明方法；

3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．

学习过程 一、课前准备 CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动． 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？

显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大

而 ．能否用一个等式把这种关系精确地表

示出来？

二、新课导学

※ 学习探究 探究1：在初中，我们已学

过如何解直角三角形，下面

就首先来探讨直角三角形

中，角与边的等式关系. 如

图，在Rt ∆ABC 中，设

BC =a ，AC =b ，AB =c ，

根据锐角三角函数中正弦函数的定义，

有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c

C c

==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c

A B C ==

．

( 探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，

有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b

A B =

， 同理可得sin sin c b

C B =

， 从而sin sin a b A B =sin c

C

=． 类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系

式仍然成立．请你试试导.

新知：正弦定理

在一个三角形中，各边和它所对角的 的比

相等，即 sin sin a b A B =sin c

C =

． 试试：

（1）在ABC ∆中，一定成立的等式是（ ）． A ．sin sin a A b B = B .cos cos a A b B = C . sin sin a B b A = D .cos cos a B b A = （2）已知△ABC 中，a ＝4，b ＝8，∠A ＝30°，则∠B 等于 ．

[理解定理]

（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的

正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数

k 使sin a k A =， ，sin c k C =；

（2）sin sin a b A B =sin c C =

等价于 ，sin sin c b C B =，sin a A =

sin c

C

． （3）正弦定理的基本作用为：

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，

如sin sin b A a B

=；b = ． ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以

求其他角的正弦值，

如sin sin a

A B b =；sin C = ． （4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它

的边和角的过程叫作解三角形．

※ 典型例题

例1. 在ABC ∆中，已知45A =o ，60B =o ，42a =cm ，解三角形．

变式：在ABC ∆中，已知45B =o ，60C =o ，12a =cm ，解三角形．

例2.

在45,2,,ABC c A a b B C ∆===o 中，求和．

变式

：在60,1,,ABC b B c a A C ∆===o 中，求和．

三、总结提升

※ 学习小结

1. 正弦定理：

sin sin a b A B =sin c

C

=

2. 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义， 还有 ②等积法，③外接圆法，④向量法. 3．应用正弦定理解三角形： ①已知两角和一边；

②已知两边和其中一边的对角．

※ 知识拓展 sin sin a b A B =2sin c

R C

==，其中2R 为外接圆直径.

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 在ABC ∆中，若cos cos A b

B a

=，则ABC ∆是（ ）

. A ．等腰三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．直角三角形 D ．等边三角形 2. 已知△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶1∶4， 则a ∶b ∶c 等于（ ）.

A ．1∶1∶4

B ．1∶1∶2

C ．1∶

1 D ．2∶2

3. 在△ABC 中，若sin sin A B >，则A 与B 的大小关系为（ ）.

A. A B >

B. A B <

C. A ≥B

D. A 、B 的大小关系不能确定 4. 已知∆ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，则::a b c = ．

5. 已知∆ABC 中，∠A 60=︒

，a =

sin sin sin a b c

A B C ++++= ．

1. 已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120︒，解此三角形．

2. 已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k ≠0)，求实数k 的取值范围为．