第三章《导数及其应用》章末总结

第三章章末总结
知识再
靈点解读•
知识点一导数与曲线的切线
利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两
种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方
程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点
为Q(x i, y i),则切线方程为y—y i = f' (x i)(x—x i)，再由切线过点P(x o, y o)得
y o—y i= f' (x i)(x o—x i) ①
又y i= f(x i) ②
由①②求出x i, y i的值.
即求出了过点P(x o , y o)的切线方程.
【例il已知曲线f(x) = x3—3x,过点A(0,佝作曲线f(x)的切线，求曲线的切线方程.
知识点二导数与函数的单调性
利用导数研究函数的单调区间是导数的主要应用之一，其步骤为：
(i)求导数f' (x)；
⑵解不等式f' (x)>0或f' (x)<0;
(3)确定并指出函数的单调增区间、减区间.
特另幾注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“U”连接. 【例2】求下列函数的单调区间：
x ’
(1)f(x)= 2+ sin x;
知识点三导数与函数的极值、最值
利用导数研究函数的极值和最值是导数的另一主要应用.
1•应用导数求函数极值的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)解方程f (x)= 0的根；
(3)检验f' (x)= 0的根的两侧f' (x)的符号.
若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；
若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；
否则，此根不是f(x)的极值点.
2•求函数f(x)在闭区间［a, b］上的最大值、最小值的方法与步骤：
(1)求f(x)在(a, b)内的极值;
(2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为
最小值；
特别地，①当f(x)在(a, b)上单调时，其最小值、最大值在区间端点处取得，②当f(x)
在(a, b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(小)值，则可以断定f(x)在该点处取
得最大(小)值，这里(a, b)也可以是(—^o,+^o )•
【例31设|<a<1，函数f(x) = x3—|ax2+ b (— 1 < x< 1)的最大值为1,最小值为一J,求
3 2 2
常数a, b.
知识点四导数与参数的范围
已知函数的单调性求参数的取值范围时，可以有两种方法：一是利用函数单调性的定义，
二是利用导数法.利用导数法更为简捷.在解决问题的过程中主要处理好等号的问题，因为
f' (x)>0(或f' (x)<0)仅是一个函数在某区间上递增(或递减)的充分不必要条件，而其充要条
件是：f' (x)> 0(或f' (x) w 0)，且f' (x)不恒为零•禾U用导数法解决取值范围问题时可以有两个基本思路：一是将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f' (x) > 0或f' (x)w 0
恒成立，用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“=”时是否满足题意；另
一思路是先令f' (x)>0(或f' (x)<0)，求出参数的取值范围后，再令参数取“=”，看此时f(x)是否满足题意.
【例4 已知函数f(x) = x2+ :(XM 0，常数a€ R).若函数f(x)在x€ ［2 , +^ )上是单调递增的，求a的取值范围.
1
【例5丨已知f(x)= x3—^x2—2x+ 5,当x€ ［—1,2］时，f(x)<m恒成立，求实数m的取值范围.
章末总结答案
重点解读
【例1解设切点为(X0, y o),
则由导数定义得切线的斜率k= f' (X0)= 3x2-3,
•••切线方程为y= (3X1 2—3)x+ 16,
又切点(x o, y o)在切线上，
•- y o= 3(x^5—1)X0+ 16,
即x0—3x o= 3(x0 —1)x o+ 16,
解得X o= —2,
•切线方程为9x—y+ 16 = 0.
【例2解⑴函数的定义域是R ,
f' (X) = - + COS X,令2+ COS x>0,
2n — n
解得2kn— y<x<2kn+ 23- (k€ Z),
令2+ cosx<0,
2 n 4 n
解得2kn+ 3<x<2kn+ ~ (k€ Z),
2n 2 n
因此，f(x)的单调增区间是2kn— 3, 2kn+ — (k€ Z),单调减区间是
3 3
2 n — 4 n
2kn+ —, 2kn+ —(k€ Z).
⑵函数f(x)= x(x —a)2= X3—2ax2+ a2x 的定义域为R ,
a
由f' (x) = 3x2—4ax+ a2= 0,得X1= - , X2= a.
3
①当a>0 时，X1<X2.
•函数f(x)的单调递增区间为一a, 3 , (a , + m),
单调递减区间为 3 , a .
②当a<0 时，X1>X2 ,
•函数f(x)的单调递增区间为(一a, a) , 3, + m ,
a
单调递减区间为 a , a.
③当a= 0时，f' (x) = 3x2>0，•函数f(x)的单调区间为(一a, +a),即f(x)在R上是增加的.
【例 3 丨解令f' (x) = 3x2—3ax= 0 , 得X1= 0 , x2 = a.
x0f(x)b f(0)>f(a) f(1)>f( 1)f(0)
3
f(1)的大小•因为f(0) —f(1) = 2a—1>0 ,所以f(x)的最大值为f(0) = b.所以b= 1.
1
又f( —1) —f(a) = ?(a+ 1)2(a —2)<0 ,
a < 16. 1
【例 5丨解■/ f(x) = x 3 — 2x 4— 2x + 5, • f ' (x)= 3x 2— x — 2.
令 f ' (x) = 0,即卩 3x 2 — x — 2= 0, • x = 1 或 x =—-
3
3 3 2/
当x = 1时，f(x)取得极小值f(1) = 7. 又 f( — 1) = 11, f(2) = 7,
因此，f(x)在［—1,2］上的最大值为f(2) = 7. 要使f(x)<m 恒成立， 需 f(x)max <m ,即卩 m>7. 所以，所求实数 m 的取值范围是(7,+8).
4
当 x € — 3, 1 时，f ' (x)<0, f(x)为减函数； 当 x € (1,2)时，f ' (x)>0, f(x)为增函数. 所以，当x =— 2时，f(x)取得极大值f — 2 = 157 ； 3 3 所以f(x)的最小值为f( — 1) = — 1 —严+ b =—严, -2，所以a=f (x) = 2x — a 2宀 a 所以—|a =- [例 4| 解 f 要使f(x)在[2 , 则f (x) > 0在x € [2 , + 8)上恒成立，
2x 3 — a
即一2 >0在x € [2 , + 8)上恒成立. x
T x 2>o ,.・.2x 3 — a> 0,
••• aw 2x 3在 x € [2 , + 8)上恒成立. --aW (2x 3)min .
■/ x € [2 , + 8), y = 2x 3是单调递增的， •- (2x 3) min = 16 ,「・ aW 16.
2x 3 —16
当a = 16时，f' (x)= 尹 》0(x€ [2 ,+8))有且只有
厂x 2 . + 8 )上是单调递增的, f ' (2) = 0 ,• a 的取值范围是
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当x € — 1 , — 3 时，f' (x)>0 , f(x)为增函数；
(2) f(x)= x(x—a)2.。