数值计算方法 迭代法的收敛性与稳定性 - 迭代法的收敛性与稳定性

稳
(2) G-S迭代法收敛 (G) 1 ，其中G (D L)1U .
定
性
(3) SOR迭代法收敛 (L ) 1 ，其中L (D L)1[(1 )D U].
一阶定常迭代法的基本定理
8 x1 3 x2 2 x3 20,
例4
考察用Jacobi方法解方程组
33,
的收敛性.
迭
代 法 的
n2
个数列极限存在且有
lim
k
a(k ij
)
aij
(i, j 1, 2,
记为 lim(k ).
, n) ，则{ Ak }称收敛于 A
收 敛 性
定理1
lim
k
Ak
A lim k
Ak
A
0,其中||·||为矩阵的任意一种
与 算子范数.
稳
定 性
定理2
lim
k
Ak
A
x
Rn
都有 lim k
迭 代
6
x1
3 x2
12 x3
36.
法
因为方程组的矩阵A 及迭代矩阵J 为
的
收
8 3 2
0
3 / 8 2 / 8
敛
A 4 11 1, J D1(L U ) 4 / 11 0 1 / 11 .
性 与
6 3 12
6 / 12 3 / 12 0
稳 定
得迭代矩阵 J
的特征方程为
2 必存在一种范数 . ，使得
A ( A) 1 ( A) 1
2 lim A k 0
k
而 Ak A k ，于是
lim Ak ＝lim A k 0
k
k
即 lim Ak 0 k
一阶定常迭代法的基本定理
定理4 迭代法基本原理
迭
设有方程组 x Bx f 及一阶定常迭代法
代 法
一阶定常迭代法的基本定理
定理3和定理4的结论和起来即为
迭
(1)迭代法 x(k1) Bx(k) f 收敛 lim Bk 0
代
法
(2)迭代法 x(k1) Bx(k) f 收敛 (B) 1.
的
收 敛
推论 设 Ax b，其中A D L U 为非奇异矩阵且D 为非奇异矩阵
性 与
则有 (1) Jacobi迭代法收敛 (J ) 1，其中J D1(L U ).
x(k1) Bx(k ) f
的
对任意选取初始向量 x(0) ，迭代法收敛的充要条件是 （B) 1.
收
敛 性
（k） x (k ) x B (k1) ... B k (0) 0
与 稳
lim x(k) x lim k 0 lim Bk 0
k
k
k
定 性
(B) 1
( (0) x (0) x)
Ak
x
Ax.
一阶定常迭代法的基本定理
例3
设有矩阵序列{ Ak } ，其中Ak Bk 而
迭 代 法
B
0
1
,
B2
2
0
2 2
,, Bk
k
0
kk 1 k
,
的 收
且设 1 ，考查矩阵序列极限.
敛 性
显然, 当 1 时, 则有
与
稳 定 性
lim
k
Ak
lim Bk
k
0 0
00 .
一阶定常迭代法的基本定理
性
一阶定常迭代法的基本定理
例5
考察用迭代法解方程组的收敛性. 其中
迭 代
x(k1) Bx(k)
f,
B
0 3
2 0
,
f
5 5
.
法
的
收 敛 性 与
方程组的迭代矩阵B的特征方程为 det( I B)
3
矩阵B的特征值为1,2 6，即 (B) 1.
2 2 6
稳
定
这说明用迭代法解此方程组不收敛.
的
收
常用结论
( Ak ) [( A)]k
Ax x Ak x k x
敛
性 与
( A) A
由 i 的任意性
( A)
max
1 i n
i
A
稳 定
事实上：对 A的 i 及特征向量 ui
性
i ui i ui Aui A ui
i A
由i 的任意性：( A)
max
1in
i
A . 当 A对称时，( A)
A 2.
一阶定常迭代法的基本定理
迭
设线性方程组 Ax b ,(3.1) 其中 A (aij ) Rnn 为非奇异矩阵，记 x* 为
代 (3.1) 精确解，且设有等价的方程组
法
的
Ax b x Bx f .
收 敛 于是 性
x Bx f (3.2)
与 稳
设有解 Ax b 的一阶定常迭代法
定理3
设 A (aij )nn
，则lim Ak k
0（零矩阵）的充要条件： A 1.
迭 代
必要性
法 的
lim Ak 0 lim Ak 0
k
k
收
敛
0 ( Ak ) [( A)]k Ak
性
与 lim[( A)]k 0
稳
k
定 ( A) 1
性
充分性
若 ( A) 1，则对 1 ( A) 1
敛 性
(k1) B (k) , (k) Bk (0) (k 0,1,2,).
与 稳
研究迭代法(3.3)收敛性问题就是要研究迭代矩阵B 满足什么条件时，
定
有 Bk 0(零矩阵)(k ).
性
一阶定常迭代法的基本定理
定 义 设有矩阵序列 Ak (ai(jk ) ) Rnn及 Ak (aij ) Rnn ，如果
4
x1
11x2
x3
33,
的收敛性.
迭 代
6
x1
3 x2
12 x3
36.
法
解得
的
收 敛
1 0.3082,2 0.1841 0.3445i,3 0.1841 0.3445i,
性 与
1 0.3082 1, 2 3 0.3592 1.
稳
定
即(J ) 1 所以用Jacobi方法解方程组是收敛的.
det(I
J)
3
3 88
3 176
性
3 0.034090909 0.039772727 0,
解得 1 0.3082,2 0.1841 0.3445i,3 0.1841 0.3445i,
一阶定常迭代法的基本定理
8 x1 3 x2 2 x3 20,
例4
考察用Jacobi方法解方程组
第 六
线性插方程值组的法迭代解法
章
主讲教师：刘春凤
一阶定常迭代法的基本定理 关于解某些特殊方程组迭代法的收敛性
一阶定常迭代法的基本定理
迭 代 法
矩阵的谱半 径
设i (i 1, 2,
A的谱定义为：{1，2，...n }.
, n)为 n 阶方阵的特征值，A的谱半径定义为：
( A)
max{
1in
i
}
定 性
x(k1) Bx(k) f .
(3.3)
一阶定常迭代法的基本定理
有意义的问题是：迭代矩阵 B 满足什么条件时，由迭代法产生的
迭
向量序列{ x(k ) } 收敛到x* .
代
法
引进误差向量 (k) x(k) x (k 0,1,2,). 由(3.3)式减(3.2)得到
的 收
误差向量的递推公式