二次根式的乘除法

中科教育学科教师辅导讲义
年 级：九 辅导科目：数学
知识点一二次根式的乘法
★二次根式的乘法法则：i a b = •.. ab （a _0,b _0）
★二次根式的乘法法则的拓展：、a 「b c h.J abc （a _ 0,b _0,c _0） 例 1 计算：（1）.3 7
（2） . 1
（_• 8）
（3） -4 3 2
V 2
（5）
｛扛 2Xe
（ 6）4
血占
知识点二 积的算术平方根（即二次根式乘法法则的逆用）
★把.a •. b =『ab （a _0,b _0）反过来，就得到.ab ；a b （a _ 0,b _ 0），也就是说，积的算术平方根等 于各因式算术平方根的积
注意：（1）化简时要把所有能开得尽方的因数（或因式）移到根号外面；
（2）在利用「王一0,b 一0）时，要特别注意满足条件 a —0,b_ 0 例2计算与化简，使被开方数不含完全
平方的因式（或因数）
（1） 300 （ 2） 8a 4
（3） -2 3 （- 6）
（4） （-36） （-4）
（5） a 3b 4 （ 6） 一172-82
知识点三二次根式的除法
★二次根式的除法法则： 孚=十：（a 王0,b 王0）
学员编号: 学员姓名: 课时数：2 学科教师：郭姗姗
(4)卫聖
<3b
知识点四 商的算术平方根（即二次根式除法法则的逆用）
★商的算术平方根用式子可表示为：V-.:」0』0），也就是说，商的算术平方根，等于两个算术
平方根的商 、、亠 注意：
（1） 商的算术平方根的性质的限制条件是 a_0,b ・0,它与积的算术平方根的限制条件类似，但 也有
区别，因为分母不能为0,即除式b 不能为0,所以除式b 必须是正数
（2） a = V （a_0,b 0）中的字母可以是数，也可以是代数式，无论是数还是代数式，只有满 V b vb 足a_0,b 0
，才能用此性质进行计算 知识点五最简二次根式
★被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因数（或因式）的幕的指数都小于 2,像这样的二次根式
称为最简二次根式
注意：最简二次根式要从以下两点来解释
（1） 根号下是整数或整式；
（2） 被开方数中不含能开的尽的因数或因式，也就是每个因数或因式的指数都是
1
例5下列各式中属于最简二次根式的是（
）
A 、存
B 、丫 8a
C 、
D 、Jx 3+1
\'3
知识点六化二次根式为最简二次根式
★化简二次根式，就是把二次根式化为最简二次根式
注意：（1） 由于二次根式的被开方数必须是非负数，又因为分母不能是 0,所以公式中分子的被开方数
要大于或者等于0,分母的被开方数要大于0,即公式要满足条件a_0,b 0
(2) 当二次根式前面有系数时，可类比单项式与单项式相除的法则， 把系数和被开方数分别相除
作为积的因式，即
mja 壬(nVb) =
m
J^(a 兰 0,b a 0)
n b
例3计算:
(1) .18「2
(3) 2
”(；8
)
(3)
:-9 7 -4
6
(5) 2」(一
例4化简:
★把一个二次根式化为最简二次根式的一般步骤：
（1） 把根号下的带分数化为假分数，把绝对值小于 1的小数化为分数；
（2） 把被开方数中的多项式进行因式分解； （3） 使被开方数中不含分母；
（4） 把被开方数中能开的尽方的因数或者因式利用公式 .a 1 2 =a （a_O ）去掉根号；
（5） 化去分母中的根号； （6） 约分
例6把下列各式化为最简二次根式：
（1）
18
（2） 3 —
（3） 8x 2y 3（x _ 0, y _ 0） （4） x 2y 4 x 4y 2 （x _ 0, y _ 0）
\ 12
知识点七分母有理化 ★把分母中的根号化去的过程，叫做分母有理化
（1） 在计算二次根式除法时，当分母中的被开方数不能开的尽方时，常用分母有理化的方法化简 （2） 分母有理化的依据是：分数（或分式）的基本性质和二次根式的性质 a 2 =a （a _ 0）, C a ）2二a （a 一
0）
★分母有理化的方法是：将分子和分母都乘一个恰当的二次根式（即分母的有理化因式），化去分母中 的根号
如果被开方数是分数或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成两个算术平方根的形式，然后 将分子、分母同乘一个恰当的因式进行化简，如｛扌=j a = £^^5 = *5^，也可以根据分式的基本性质, 将分子、分母都乘同一个不为零的整式，将分母化成完全平方式，然后利用商的算术平方根的性质化简，
注意：（1） '.a 的有理化因式是va ， m\a （m = 0）的有理化因式是 a ；
例8化简: 典型例题剖析
（2）如果已知二次根式不是最简二次根式,
要先把它化为最简二次根式后, 再确定其有理化因式
如
例7化简:
-4 2
(3)
题型一 公式"• b = . ab(a _0,b _0)及 a = a (a_O,b_O)的运用 <b V b 例1 （ 1）.
成立的条件是
A 、 x _1
(2)当
-a
例2不改变原式的值，将根号外的非负因数移到根号内
4、计算:
(1) 2.3
-35
(3) a
题型二二次根式的化简
例3已知a : b ，化简二次根式
-a 3b 的正确结果是（
） A 、-a 、-ab
-a., ab
a ab
a - ab
题型三二次根式的乘除运算
例 4 计算：(1) .15 - . 20
2
（
2）
已订…
6）
题型四 实数大小的比较 例5比较2 3和3 2的大小 课后作业:
1、下列二次根式中，不是最简二次根式的是（
A 、 . a 2
1
B 、 2x 1 C
—2b
D 、 0.2m
4
2、如果
ab 0,a b =：：0，那么下列各式:
a a
a b
｛厂昭；呢£=
1
；
-b ，其中正确的是（ ）
3、比较大小：（1）
4、. 3和7
(2) - 4.5 和- 5 3。