运动学的两类问题

0
0
1 v2 3x 2x3 2
v (6 x 4 x 3)1/2
运动学第 二类问题
6
例6、一质点沿 x 轴作匀变速直线运动，加速 度为a，初速度为 v0 ，初始位置为 x0 ，求任一 时刻质点的速度和位置。
解： a dv dt
v
t
积分： dv adt
v0
0
得：v v0 at
v dx dt
第二类：已知速度或加速度以及初始条件，求质点的 运动方程。
这类问题要应用积分的方法来求，在计算上较为 复杂一些。
2
例2、一气球以速率 v0 从地面上升,由于风的影响,随着高 度的上升,气球的水平速率按 vx=by 增大,其中b 是正的常 数, y 是从地面算起的高度, x 轴取水平向右的方向.求: (1) 气球的运动方程; (2) 气球飘移的距离与高度的关系.
5
例5、一质点沿 x 轴运动,其加速度 a 与位置坐 标的关系为 a=3+6x2 (SI) , 如果质点在原点处的 速度为零 , 试求其在任意位置 x 处的速度 v 。
解 : 本题的关键是得出 x 与 v 的关系
a
dv dt
dv dx dx dt
v dv dx
3
6 x2
v
vdv
x(3 6x2 )dx
运动学的两类问题
1
运动方程是运动学问题的核心，有了质点的位矢 方程，就可求出质点在任一时刻的位置、速度和加速 度，从而了解质点的全部运动状态。 实际的运动学问题中，有两种基本类型：
第一类：已知质点的运动方程，求速度和加速度。 这类问题我们可以根据速度和加速度的定义
用求导的办法求出质点在任意时刻（或任意位置） 时的速度和加速度。
积分：
x
dx
x0
t
vdt
0
t
0 (v0 at)dt
得：x
x0
v0t
1 2
at 2
运动学第 二类问题
7
例速7度、一v质0 点20，在i 加某速参度考系运a 动12，ti初8位j。(S置I求) rt0=03.5is时j，该初 质点的 y 坐标和 t=1s 时该点的速率。
解：由已知得到：
vy v0 y ayt
解: 令t=o 时气球位于坐标原点，由已知，有:
vy
dy dt
v0
(1)
vx
dx dt
by
(2)
y
t
由(1)式
dy
0
0v0dt
得: y v0t
由(2)式:
x
t
dx
0
0 bv0tdt
得:
x
1 2
bv0t
2
得到运动方程:
r
1 2
bv0t 2i
气球的距离与高度的关系:
v0tj
x by2
2v0
运动学 第二类问题 （二维情况）
3
例3、质点的运动方程：r
(t
2)i
(4t
t
3
)
j (SI
)
求：（1）质点第一秒末的速度和加速度；（2）
在 t=1 秒到 t=3 秒时间间隔内质点运动的平均
速度和平均加速度。
解：（1）v
dr
i
(4
3t 2 ) j
Fra Baidu bibliotek
dt
,
a
dv
6tj
dt
t=1 时:
再由
ax
dvx dt
12t
,
y
y0
1 2
ayt 2
vx
t
20 vx
12tdt
0
得到：vx 20 6t 2
vx 26(m / s)
t 0.5s 时 y 2(m) , t 1s 时 vy 8(m / s)
v vx2 vy2 27.2(m / s)
运动学第二类问题（二维情况）
8
解：（1）本题是一维情况，用正负表示方向
v dx 6 2t(m / s) , a dv 2(m s2 )
dt
dt
（2） 质点作匀减速直线运动，在t=3质点“回头”。
（3）x x5 x1 (6 5 52 ) (6112 ) 0
s x3 x1 x5 x3 8(m)
运动学第一类问题（一维情况）
v
i
j (m
/
s)
,
a
6
j (m
s2)
(2)
v
r t
r(t
3) r(t 31
1)
i 9j
a
v
v(t
3) v(t
1)
12
j
t
31
运动学第 一类问题
4
例4、一质点沿x 轴作直线运动，其运动方程为已知 ： x=6t-t2 (SI) 求：（1）质点在任意时刻 t 的速度和加速 度；（2）简述质点运动情况；（3）求 t=1 秒到 t=5 秒间质点的位移和路程。