高三数学精准培优专题练习6：三角函数

培优点六 三角函数
1．求三角函数值 例1：已知π3π044βα<<
<<
，π3
cos 45
α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3π5sin 413β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()sin αβ+的值． 【答案】
5665
【解析】∵3πππ442
αββα⎛⎫+=
+--- ⎪⎝⎭， ()3ππ3πsin sin πcos π44244αββαβα⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫∴+=+---=-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
3ππ3ππ=cos cos sin sin 4444βαβα⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
∵π3π044βα<<
<<，ππ024α∴-<-<，3π3π
π44
β<+<，
π4sin 45α⎛⎫
∴-=- ⎪⎝⎭，3π12cos 413β⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，
()1234556sin 13551365αβ⎛⎫∴+=--⋅-⋅=
⎪⎝⎭
．
2．三角函数的值域与最值
例2：已知函数()πππcos 22sin sin 344f x x x x ⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭，
（1）求函数()f x 的最小正周期和图像的对称轴方程； （2）求函数()f x 在区间ππ,122⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
的值域．
【答案】（1）πT =，对称轴方程：()ππ
32k x k =
+∈Z ；（2）⎡⎤⎢⎥⎣⎦
． 【解析】（1）()πππcos 22sin sin 344f x x x x ⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭
1cos 2222x x x x x x ⎫=+⎪⎪⎝⎭⎝⎭
221cos22sin cos 2x x x x =++-
11
cos22cos22cos222
x x x x x =--
πsin 26x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
πT ∴= 对称轴方程：()ππππ
2π6232k x k x k -
=+⇒=+∈Z ． （2）()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∵ππ,122x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，ππ5π2,636x ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦，
(
)πsin 26f x x ⎡⎤⎛
⎫∴=-∈⎢⎥ ⎪⎝
⎭⎣⎦．
3．三角函数的性质
例3：函数(
)2cos 2f x x x =+（ ） A ．在ππ,36⎛⎫
-- ⎪⎝⎭上单调递减
B ．在ππ,63⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递增
C ．在π,06⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上单调递减
D ．在π0,6⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增
【答案】D
【解析】(
)1π2cos 222cos 22sin 226f x x x x x x ⎫⎛
⎫=+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
， 单调递增区间：()πππππ
2π22πππ26236
k x k k x k k -+≤+≤+⇒-+≤≤+∈Z
单调递减区间：
()ππ3ππ2π2π22πππ26263
k x k k x k k +≤+≤+⇒+≤≤+∈Z ∴符合条件的只有D ．
一、单选题
1．若π1sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫
+
⎪⎝⎭
的值为（ ） A ．1
3-
B ．79-
C ．13
D ．79
对点增分集训
【答案】B
【解析】由题得2ππππcos 2=cos π2cos 2cos23336αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+--=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2π1712sin 12699α⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=---=--⨯=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣
⎦．故答案为B ．
2．函数()π2sin 26f x x ⎛
⎫=-+ ⎪⎝⎭的一个单调递增区间是（ ）
A ．ππ,63⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
B ．π5π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
D ．π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【答案】B
【解析】∵()π2sin 26f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴()π2sin 26f x x ⎛
⎫=-- ⎪⎝⎭，
令
ππ3π2π22π,262k x k k +≤-≤+∈Z ，得π5π
ππ,36
k x k k +≤≤+∈Z ． 取0k =，得函数()f x 的一个单调递增区间是π5π,36⎡⎤
⎢⎥⎣⎦．故选B ．
3．已知1tan 4tan θθ+
=，则2πcos 4θ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭（ ）
A ．1
5
B ．14
C ．13
D ．12
【答案】B
【解析】由1tan 4tan θθ+=，得sin cos 4cos sin θθ
θθ
+=，即
22sin cos 4sin cos θθθθ+=， ∴1sin cos 4θθ=，∴2π1cos 2π1sin 212sin cos 2cos 4222θθθθθ⎛
⎫++ ⎪--⎛⎫⎝⎭+=== ⎪⎝⎭ 1
121424
-⨯=
=，故选B ． 4．关于函数()()π3sin 213f x x x ⎛
⎫=-+∈ ⎪⎝⎭R ，下列命题正确的是（ ）
A ．由()()121f x f x ==可得12x x -是π的整数倍
B ．()y f x =的表达式可改写成()π3cos 216f x x ⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭
C ．()y f x =的图象关于点3π,14⎛⎫
⎪⎝⎭对称
D ．()y f x =的图象关于直线π
12
x =-对称 【答案】D
【解析】函数()()π3sin 213f x x x ⎛
⎫=-+∈ ⎪⎝
⎭R ，周期为2ππ2T ==，
对于A ：由()()121f x f x ==，可能1x 与2x 关于其中一条对称轴是对称的，此时12x x -不是π的整数倍，故错误
对于B ：由诱导公式，πππ5π3sin 213cos 213cos 213236x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-+=--+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，故错误
对于C ：令3π
4x =
，可得3π3ππ153sin 213144322f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⨯-+=⨯--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，故错误，
对于D ：当π
12
x =-
时，可得πππ3sin 113121263f ⎛⎫⎛⎫
-=--+=-⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，()f x 的图象关于直线π
12
x =-
对称，故选D ． 5．函数()2πππcos 2sin sin 555f x x x ⎛
⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值是（ ）
A ．1
B ．π
sin
5 C ．π
2sin 5
D
【答案】A
【解析】由题意可知：2πππππππcos cos cos cos sin sin 5555555x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+=++=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则：()2πππππππcos 2sin sin cos cos sin sin cos 5555555f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+++=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
所以函数的最大值为1．本题选择A 选项．
6．函数()()sin 0y x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则ω，ϕ的值分别可以是（ ）
A ．1，π
3
B ．1，2π3
-
C ．2，
2π3 D ．2，π
3
-
【答案】D
【解析】由图可知，该三角函数的周期4πππ33T =-=，所以2π2T
ω==， 则()sin 2y x ϕ=+，
因为ππ32f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以该三角函数的一条对称轴为ππ
5π32212x +
=
=， 将5π,112⎛⎫
⎪⎝⎭
代入()sin 2y x ϕ=+，可解得π3ϕ=-，所以选D ．
7．已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛
⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，π4x =-和π4x =分别是函数()f x 取得零点
和最小值点横坐标，且()f x 在ππ,1224⎛⎫
- ⎪⎝⎭单调，则ω的最大值是（ ）
A ．3
B ．5
C ．7
D ．9
【答案】B
【解析】∵()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛
⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，π4x =-和π4x =分别是函数()f x 取得零点和
最小值点的横坐标，∴
ππ4424kT T ⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭，即()π21
24
k T k +=∈Z ． 又∵2π
T ω
=
，0ω>，∴()21k k ω=+∈*N ，
又∵()f x 在ππ,1224⎛⎫
- ⎪⎝⎭单调，∴ππ24122T ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，
又∵2π
T ω
=
∴8ω≤，
当3k =，7ω=时，()()sin 7f x x ϕ=+，由π4x =
是函数()f x 最小值点横坐标知π4
ϕ=-， 此时，()f x 在ππ,1228x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭递减，ππ,2824x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭递增，不满足()f x 在ππ,1224⎛⎫
- ⎪⎝⎭单调，
故舍去；
当2k =，5ω=时，()()sin 5f x x ϕ=+由π4x =
是函数()f x 最小值点横坐标知π
4
ϕ=， 此时()f x 在ππ,1224⎛⎫
- ⎪⎝⎭单调递增，故5ω=．故选B ．
8．已知函数()cos sin f x x x =⋅，给出下列四个说法：
2014π3f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
①②函数()f x 的周期为π； ()f x ③在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；()f x ④的图象关于点π,02⎛⎫
- ⎪⎝⎭中心对称
其中正确说法的序号是（ ） A ．②③ B ．①③ C ．①④ D ．①③④
【答案】B
【解析】()()()πcos πsin πcos sin f x x x x x +=++=-，所以函数()f x 的周期不为π，②错，()()()πcos 2πsin 2πcos sin f x x x x x +=++=，周期为2πT =．
2014π4πππ=cos sin 3333f f ⎛⎫
⎛⎫
=-= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，①对． 当ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()1cos sin sin 22f x x x x ==，ππ2,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在ππ,44⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦上单调
递增．
③对．π13π1,4242f f
⎛⎫
⎛⎫
-=--=- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，所以④错．即①③对，填①③．故选B ． 9．已知0ω>，函数()πsin 4f x x ω⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则ω的取值范围是（ ）
A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
B ．(]0,2
C ．15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【答案】C
【解析】∵π,π,02x ω⎛⎫
∈> ⎪⎝⎭
，π1πππ,π4244x ωωω⎛⎫∴+∈++ ⎪⎝⎭，
∵函数()πsin 4f x x ω⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，∴周期2ππT ω=≥，解得2ω≤，
∵()πsin 4f x x ω⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭的减区间满足：ππ3π2π2π,242k x k k ω+<+<+∈Z ，
∴取0k =，得1πππ242 π3π
π42
ωω⎧⎪⎪⎨+≥+⎪⎪⎩≤，解之得1524ω≤≤，
即ω的取值范围是15,24⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，故选C ．
10．同时具有性质：①()f x 最小正周期是π；②()f x 图象关于直线π
3
x =
对称；③()f x 在ππ,63⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦上是增函数的一个函数是（ ） A ．πsin 23x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
B ．πsin 26y x ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
C ．πcos 23y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
D ．πsin 23y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
【答案】B
【解析】函数πsin 26x y ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
的最小正周期为2π4π12
T ==，不满足①，排除A ； 函数πsin 26y x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的最小正周期为2ππ2T ==，满足①，
π3x =
时，2ππsin 136y ⎛⎫=-=
⎪⎝⎭取得最大值，π3x ∴=是πsin 26y x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的一条对称轴，满足②；
又ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，πππ2,622x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，πsin 26y x ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，满足③，B 满足题意；
函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在ππ,63x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦，即[]π20,π3x +∈时单调递减，不满足③，排除C ；
π3x =
时，2ππ1sin 362y ⎛⎫=+=
⎪⎝⎭不是最值，π3x ∴=不是πsin 26y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的一条对称轴，不满足②，
排除D ，故选B ．
11．关于函数()1
π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像或性质的说法中，正确的个数为（ ）
①函数()f x 的图像关于直线8π
3
x =
对称； ②将函数()f x 的图像向右平移π3个单位所得图像的函数为1
π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；
③函数()f x 在区间π5π,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增；④若()f x a =，则1
πcos 233a x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】A
【解析】①令()1πππ262x k k +=+∈Z ，解得()2π2π3x k k =+∈Z ，当1k =时，则8π
3x =
，故正确
②将函数()f x 的图像向右平移π
3个单位得：1ππ12sin 2sin 2362y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，故错误
③令()π1ππ2π2π2262k x k k -+<+<+∈Z ，解得()4π2π
4π4π33
k x k k -+<<+∈Z ，故错误
④若()f x a =，即1
π2sin 2
6x a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则
1ππ1πcos sin 2322
3x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦61
πsin 22a x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故错误
故选A ．
12．函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛
⎫=+>>≤ ⎪⎝⎭的图象关于直线π3x =对称，它的最小正
周期为π，
则函数()f x 图象的一个对称中心是（ ）
A ．π,012⎛⎫
- ⎪⎝⎭
B ．π,13⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】D 【解析】由2π
πω
=，解得2ω=，可得()()sin 2f x A x ϕ=+，
再由函数图象关于直线π
3x =
对称，故π2πsin 33f A A ϕ⎛⎫⎛⎫
=+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故可取π6ϕ=-，
故函数()πsin 26f x A x ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭，
令π2π,6x k k -
=∈Z ，可得ππ,212k x k =+∈Z ，故函数的对称中心ππ,0212k k ⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭
Z ，， 令0k =可得函数()f x 图象的对称中心是π,012⎛⎫
⎪⎝⎭，故选D ．
二、填空题
13．函数πcos 24y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间是_________．
【答案】π3ππ,π88k k ⎡
⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z
【解析】由π2π22ππ4k x k ≤+
≤+，即π3π
ππ88
k x k -≤≤+
，k ∈Z ， 故函数的单调减区间为π3ππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ，故答案为π3ππ,π88k k ⎡
⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．
14．已知()0,πα∈，且3cos 5α=，则πtan 4α⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭_________________．
【答案】1
7
【解析】∵()0,πα∈，且35cos α=
，4sin 5α∴==，4tan 3
α=， 4
1
πtan 113tan 441tan 713
ααα--⎛
⎫-=== ⎪+⎝
⎭+，故答案为17．
15．函数(
)sin 22f x x x =-在π0,2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭的值域为_________．
【答案】(
⎤⎦
【解析】(
)sin 22f x x x =-，∵π0,2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，()20,πx ∴∈，
ππ2π2,333x ⎛⎫-
∈- ⎪⎝⎭
，πsin 23x ⎛⎤⎛
⎫-∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦
， (
)(f x ⎤∈⎦
，故答案为(
⎤⎦
． 16．关于()()π4sin 2,3f x x x ⎛
⎫+∈ ⎪⎝⎭R ＝，有下列命题
①由()()120f x f x ==可得12x x -是π的整数倍；
②()y f x =的表达式可改写成π4cos 26y x ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭；
③()y f x =图象关于π,06⎛⎫
- ⎪⎝⎭对称；
④()y f x =图象关于π
6
x =-对称．
其中正确命题的序号为________(将你认为正确的都填上)． 【答案】②③
【解析】对于①，()()π4sin 2,3f x x x ⎛
⎫+∈ ⎪⎝
⎭R ＝的周期等于π，而函数的两个相邻的零点间
的距离等于π2，故由()()120f x f x ==可得12x x -必是π2
的整数倍，故错误 对于②，由诱导公式可得，函数()πππ4sin 24sin 2326f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎣⎦ ππ4cos 24cos 266x x ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，故②正确 对于③，由于π6x =-时，函数()4sin 00f x ==，故()y f x =的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭
对称，故正确 对于④，()ππ2π32x k k +=+∈Z ，解得()ππ122k x k =+∈Z ，即π6x =-不是对称轴，故错误 综上所述，其中正确命题的序号为②③
三、解答题
17．已知()π2sin 2cos26f x x a x ⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭()a ∈R ，其图象在π3x =取得最大值． （1）求函数()f x 的解析式；
（2）当π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，且()65f α=，求sin2α值．
【答案】()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
；（2． 【解析】（1）()πππ2sin 2cos 22sin 2cos 2cos 2sin cos 2666f x x a x x x a x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝
⎭ ()
21cos 2x a x =++，
由在π3
x =取得最大值，()π2π2π1cos 333f a ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭ ()220a ∴+=，即2a =-，经检验符合题意 ()π
cos22sin 26f x x x x ⎛⎫∴=-=- ⎪⎝
⎭．
（2）由π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πππ2,662α⎛⎫⎛⎫∴-∈- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭， 又()π62sin 265f αα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，π3sin 265α⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，得ππ20,62α⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π4cos 265α⎛⎫∴-= ⎪⎝
⎭， ππππππsin2sin 2+sin 2cos cos 2sin 666666αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
341552=+⨯=．
18．已知函数()()2πsin sin 02f x x x x ωωωω⎛⎫=++> ⎪⎝
⎭ 的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）求函数()f x 在区间2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的取值范围． 【答案】（1）1ω=；（2）30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
．
【解析】（1）()1cos211π1cos2sin 222262x f x x x x x ωωωωω-⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭， 因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>，所以2ππ2ω
=解得1ω=． （2）由（1）得()π1sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭， 因为2π03x ≤≤，所以ππ7π2666x -≤-≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝
⎭． 因此π130sin 2622x ⎛⎫≤-+≤ ⎪⎝⎭，即()f x 的取值范围为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
．。