概率及概率空间
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推论2 若AB, 则P(B)≥P(A).
Ａ Ω
B
Ω
13
性质4 对于任一事件A，有 P(A) 1 P( A). 因 A U A , AA ,
则有 1 P() P(A) P(A),
于是有 P(A) 1 P(A).
A
A
14
性质5 设任意两个事件A、B，则 P(AB)=P(A)+P(B)－P(AB)
含的一个基本事件在试验中出现．
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2
事件间的关系与运算
10 包含关系 A B
A
20 事件的并 A B 30 事件的交 A B 50 互不相容事件 A B 60 逆事件 A B =
A B =
B S
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3
20 事件的并 A B 30 事件的交 A B
A
B
S
A
B
S
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2.1 概率的定义 1.频率 2 概率的定义 3 概率的性质
1
1. 概率的概念
随机事件
定义：
•随机事件 : 在一定条件下，对随机现象进行一次实 验的每一个可能结果；
•必然事件 : 在一定条件下必然要发生的事件，记 作；
•不可能事件 : 在一定条件下不可能发生的事件，记 作。
•基本事件 : 在随机实验中，不能分解的事件； 我们称一个随机事件发生当且仅当它所包
反演律（De Morgan定律）:
A A , A A
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6
2.1.1 频 率
1. 随机事件的发生可能性有大小之分
投一枚均匀的骰子，考察下列事件发生的可能性大
小．令Ａ＝出现点数２，Ｂ＝出现偶数点，则B比A更
容易出现。
2. 频率的定义 定义 如果在n次重复试验中事件A发生了nA次，则称 nA/n为事件A在n次试验中发生的频率，记为fn(A)，即
证明 由右图可知 A B=A (B - AB)且
A(B - AB)=Φ，ABB
Ａ
Ｂ
由概率可加性及性质３得 P(A B)=P(A)+P(B - AB)=P(A)+P(B) - P(AB）
推论1. P(A∪B )≤ P(A)+P(B).
推论2. 设随机事件A1, A2, A3 ,
则
P( A1 A2 A3 )
n
n
U fn ( Ak ) fn (Ak ).
k 1
k 1
1.1.2 概率的定义
简单说来，随机事件A发生可能性大小的度量（数 值），称为A发生的概率，记作P(A)．
10
1. 概率的一般（公理化）定义
定义 设E是随机试验，Ω是它的样本空间，对于E的 每一事件A对应于一个实数P(A)，称P(A)为事件A的概 率，若P(A)满足下列三个条件：
i 1
i 1
1i jn
1i jk n
L (1)n1 P( A1A2 L An ).
16
例 1 设事件A、B、A∪B的概率分别为p、q、r，求P（AB）,
P（A B）， P（ AB）， P（AB ）
解 （1）因为P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB），所以 P（AB）= p+q-r．
（2）因为A B=A-AB且ABA，故 P（A B ) P(A) P(AB) p ( p q r) r q
4
40 互不相容事件 50 逆事件 A B =
A B
A B =
A
B S
A
S
BA
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5
随机事件的运算规律
交换律: 结合律: 分配律:
A B B A, A B B A
A A A, A A A
A B C A B C A B C A B C
A B C A B A C A B C A B A C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱP() P() P() L P() L ,
0 P() 1, 故 P() 0.
性质2 若A1，A2，…，An为两两互不相容的事件，则
n
n
P(U
i1
Ai
)
i1
P(
Ai
).
由可列可加性有
n
P(U Ai ) P(A1 UL U An U UL ) i1 p(A1) L p(An ) p() L
同理可求出P（ AB) r p （3）因 A B= AB ，所以 P( AB ) 1 p(A B) 1 r．
17
古典概型
概率统计定义的优点：
1.适用的范围广； 2.提供了估算概率的方法； 3.提供了一种检验理论或假设正确与否的方法。
概率统计定义的不足： 1.要确定某事件的概率，就必须进行大量实验，这
fn(A)＝
nA n
.
频率在某种意义反应了事件发生的可能性大小。
频率的缺陷是其取之依赖于具体的试验。
7
3. 频率具有稳定性 大量次的观察，发现事件发生的频率具有稳定性。
例1 抛一枚硬币,观察事件“正面向上”发生的规律。
实验者 蒲丰 K.皮尔逊 K.皮尔逊
N 4040 12000 24000
nH 2048 6019 12012
fn(H) 0.5070 0.5016 0.5005
。 n无穷大
m/n稳定值
8
事件发生 的频繁程度
频率 频率的性质
事件发生 的可能性的大小
稳 定值
概率 概率的定义
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9
4.频率的性质 (1) 0≤fn (A)≤1; (2) fn (Ω) =1；
(3) 若A1，A2，…，An 是两两互不相容的事件，则
Ａ1
A2
P( A1) P( A2 ) P( A3 ) P( A1A2 )
A3
P( A1 A3 ) P( A2 A3 ) P( A1 A2 A3 )
15
推论3 设A1，A2，…，An 是 n 个随机事件， 则
n
n
n
n
P( Ai) P(Ai)
p
(
A i
A
j
)
P(A A A ) i jk
p(A1) L p(An ).
12
性质3 设A，B是两事件，若AB,
则 P (B－A) = P (B) － P (A).
Ｂ
证明 由于
B =A∪(B－A) 且 A . (B－A) =
Φ,
P(B) = P(A)+ P(B－A), 于是 P(B－A) = P(B)－P(A).
A
推论1 Ｐ(B-A)=P(B)-P(AB).
(1) 0≤P(A)≤1; (2) P(Ω)=1； (3) 对于两两互不相容的事件A1，A2，…，有
P( Ak) P(Ak)
k 1
k 1
以上三个条件分别称为概率的非负性、规范性及可列
可加性。
利用概率的定义可以推出概率的一些重要性质。
11
2. 概率的性质
性质1 P() 0. 因为 U UL U UL , 由可列可加性
在实际中难以办到； 2.即使有条件大量实验也无法确切的指出何数为濒率
Ａ Ω
B
Ω
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性质4 对于任一事件A，有 P(A) 1 P( A). 因 A U A , AA ,
则有 1 P() P(A) P(A),
于是有 P(A) 1 P(A).
A
A
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性质5 设任意两个事件A、B，则 P(AB)=P(A)+P(B)－P(AB)
含的一个基本事件在试验中出现．
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事件间的关系与运算
10 包含关系 A B
A
20 事件的并 A B 30 事件的交 A B 50 互不相容事件 A B 60 逆事件 A B =
A B =
B S
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20 事件的并 A B 30 事件的交 A B
A
B
S
A
B
S
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2.1 概率的定义 1.频率 2 概率的定义 3 概率的性质
1
1. 概率的概念
随机事件
定义：
•随机事件 : 在一定条件下，对随机现象进行一次实 验的每一个可能结果；
•必然事件 : 在一定条件下必然要发生的事件，记 作；
•不可能事件 : 在一定条件下不可能发生的事件，记 作。
•基本事件 : 在随机实验中，不能分解的事件； 我们称一个随机事件发生当且仅当它所包
反演律（De Morgan定律）:
A A , A A
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2.1.1 频 率
1. 随机事件的发生可能性有大小之分
投一枚均匀的骰子，考察下列事件发生的可能性大
小．令Ａ＝出现点数２，Ｂ＝出现偶数点，则B比A更
容易出现。
2. 频率的定义 定义 如果在n次重复试验中事件A发生了nA次，则称 nA/n为事件A在n次试验中发生的频率，记为fn(A)，即
证明 由右图可知 A B=A (B - AB)且
A(B - AB)=Φ，ABB
Ａ
Ｂ
由概率可加性及性质３得 P(A B)=P(A)+P(B - AB)=P(A)+P(B) - P(AB）
推论1. P(A∪B )≤ P(A)+P(B).
推论2. 设随机事件A1, A2, A3 ,
则
P( A1 A2 A3 )
n
n
U fn ( Ak ) fn (Ak ).
k 1
k 1
1.1.2 概率的定义
简单说来，随机事件A发生可能性大小的度量（数 值），称为A发生的概率，记作P(A)．
10
1. 概率的一般（公理化）定义
定义 设E是随机试验，Ω是它的样本空间，对于E的 每一事件A对应于一个实数P(A)，称P(A)为事件A的概 率，若P(A)满足下列三个条件：
i 1
i 1
1i jn
1i jk n
L (1)n1 P( A1A2 L An ).
16
例 1 设事件A、B、A∪B的概率分别为p、q、r，求P（AB）,
P（A B）， P（ AB）， P（AB ）
解 （1）因为P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB），所以 P（AB）= p+q-r．
（2）因为A B=A-AB且ABA，故 P（A B ) P(A) P(AB) p ( p q r) r q
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40 互不相容事件 50 逆事件 A B =
A B
A B =
A
B S
A
S
BA
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5
随机事件的运算规律
交换律: 结合律: 分配律:
A B B A, A B B A
A A A, A A A
A B C A B C A B C A B C
A B C A B A C A B C A B A C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱP() P() P() L P() L ,
0 P() 1, 故 P() 0.
性质2 若A1，A2，…，An为两两互不相容的事件，则
n
n
P(U
i1
Ai
)
i1
P(
Ai
).
由可列可加性有
n
P(U Ai ) P(A1 UL U An U UL ) i1 p(A1) L p(An ) p() L
同理可求出P（ AB) r p （3）因 A B= AB ，所以 P( AB ) 1 p(A B) 1 r．
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古典概型
概率统计定义的优点：
1.适用的范围广； 2.提供了估算概率的方法； 3.提供了一种检验理论或假设正确与否的方法。
概率统计定义的不足： 1.要确定某事件的概率，就必须进行大量实验，这
fn(A)＝
nA n
.
频率在某种意义反应了事件发生的可能性大小。
频率的缺陷是其取之依赖于具体的试验。
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3. 频率具有稳定性 大量次的观察，发现事件发生的频率具有稳定性。
例1 抛一枚硬币,观察事件“正面向上”发生的规律。
实验者 蒲丰 K.皮尔逊 K.皮尔逊
N 4040 12000 24000
nH 2048 6019 12012
fn(H) 0.5070 0.5016 0.5005
。 n无穷大
m/n稳定值
8
事件发生 的频繁程度
频率 频率的性质
事件发生 的可能性的大小
稳 定值
概率 概率的定义
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4.频率的性质 (1) 0≤fn (A)≤1; (2) fn (Ω) =1；
(3) 若A1，A2，…，An 是两两互不相容的事件，则
Ａ1
A2
P( A1) P( A2 ) P( A3 ) P( A1A2 )
A3
P( A1 A3 ) P( A2 A3 ) P( A1 A2 A3 )
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推论3 设A1，A2，…，An 是 n 个随机事件， 则
n
n
n
n
P( Ai) P(Ai)
p
(
A i
A
j
)
P(A A A ) i jk
p(A1) L p(An ).
12
性质3 设A，B是两事件，若AB,
则 P (B－A) = P (B) － P (A).
Ｂ
证明 由于
B =A∪(B－A) 且 A . (B－A) =
Φ,
P(B) = P(A)+ P(B－A), 于是 P(B－A) = P(B)－P(A).
A
推论1 Ｐ(B-A)=P(B)-P(AB).
(1) 0≤P(A)≤1; (2) P(Ω)=1； (3) 对于两两互不相容的事件A1，A2，…，有
P( Ak) P(Ak)
k 1
k 1
以上三个条件分别称为概率的非负性、规范性及可列
可加性。
利用概率的定义可以推出概率的一些重要性质。
11
2. 概率的性质
性质1 P() 0. 因为 U UL U UL , 由可列可加性
在实际中难以办到； 2.即使有条件大量实验也无法确切的指出何数为濒率