概率及概率空间
高等教育：概率论基础ch1.5
三、概率的公理化定义
在公理化结构中，概率是针对事件定义的，即
对应于事件域F中的每一个元素A有一个实数P(A)与
之对应。
集合函数：从集合到实数的映射。 概率是定义在事件域F 上的集合函数。
在公理化结构中，只规定概率应满足的性质， 而不具体给出它的计算公式或计算方法。
2019/12/17
数科院
Ch1.5-11
=
lim P(
n
i =1
Ai )
n
记Sn = Ai ,则Sn F , n = 1, 2, ,且Sn Sn＋1，即Sn是F i=1
中一个单调不减的集序列，这时上式可一写成
lim
n
P(Sn
)
=
P(lim n
Sn
)
2019/12/17
数科院
Ch1.5-27
下连续的定义
对于F 上的集合函数P，若它对F 中任何一个单
调不减的集序集{Sn}都有
lim
n
P(Sn
)
=
P(lim n
Sn
)成
立，则称集函数P是下连续的.
因此我们有：
2019/12/17
有限可加性 下连续性
数科院
可列可加性
？
Ch1.5-28
定理 若P 是F上满足P()=1的非负集合函数，
则它具有可列可加性的充要条件是 (i) 它是有限可加的 (ii)它是下连续的
•样本点：随机试验的可能结果，用表示； 可以看成是抽象的点
•样本空间：试验的所有可能结果组成的集合，即
样本点的全体，记作 •事件： 样本空间的一个子集，常用大写字母A、
B、C 等表示；事件A发生当且仅当A所包含
概率空间和概率分布的关系
概率空间和概率分布的关系Probability space and probability distribution are closely related concepts in the field of probability theory. A probability space consists of three components: a sample space, a set of events, and a probability measure. The sample space is the set of all possible outcomes of an experiment, the set of events is a collection of subsets of the sample space, and the probability measure assigns probabilities to each event in the set of events. The probability distribution, on the other hand, describes the likelihood of each possible outcome of a random variable. It provides a mathematical model for the randomness inherent in a system or process.概率空间和概率分布在概率论领域密切相关。
概率空间包括三个组成部分：样本空间、事件集和概率度量。
样本空间是实验的所有可能结果的集合，事件集是样本空间的子集的集合，概率度量给事件集中的每个事件分配概率。
另一方面，概率分布描述了随机变量每个可能结果的可能性。
它为系统或过程中固有的随机性提供了数学模型。
In a probability space, the sample space represents all the possible outcomes of an experiment, which is the foundation of the entireprobability theory. It provides a framework for analyzing uncertainty and making predictions based on statistical data. The set of events in a probability space is crucial for determining the probability of various outcomes and understanding the likelihood of different scenarios. The probability measure assigns a numerical value to each event in the set of events, representing the likelihood of that event occurring. It is a fundamental concept that enables us to quantify uncertainty and make informed decisions.在概率空间中，样本空间代表实验的所有可能结果，这是整个概率论的基础。
概率和统计的基本概念知识点总结
概率和统计的基本概念知识点总结概率和统计是数学中的两个重要分支，被广泛应用于各个领域，包括自然科学、社会科学和工程学等。
本文将对概率和统计的基本概念进行总结和阐述，并提供一些实际应用案例。
1. 概率的基本概念概率是描述事件发生可能性的数值，通常用一个介于0和1之间的数表示。
概率的计算可以根据事件的性质和概率空间来进行。
1.1 事件与样本空间事件是指在一次试验中可能发生的一种或几种结果。
样本空间是指试验的所有可能结果的集合。
事件是样本空间的子集。
1.2 随机试验与概率空间随机试验是指具有以下特点的实验：可以在相同的条件下重复进行，并且每次试验的结果无法提前确定。
概率空间包括样本空间和概率函数。
1.3 概率函数概率函数是一个将样本空间的事件映射到实数区间[0,1]的函数。
它满足以下条件：对于任意样本空间的事件A，概率函数P(A)具有非负性、规范性和可列可加性。
2. 统计学的基本概念统计学是研究收集、整理、分析和解释数据的方法和技术的学科。
统计学分为描述统计和推断统计两个方面。
2.1 描述统计描述统计是用图表、统计量等方法对数据进行总结和描述的过程。
常用的描述统计方法包括平均数、中位数、众数、方差、标准差等。
2.2 推断统计推断统计是通过对样本数据进行分析，得出关于总体的结论或推断的过程。
推断统计方法包括假设检验、置信区间估计等。
3. 概率与统计的应用案例概率和统计的理论在实际生活和科学研究中有着广泛的应用。
以下是几个典型的案例：3.1 风险评估概率与统计能够用于评估风险和制定保险政策。
根据历史统计数据和概率模型，可以估计某种风险发生的可能性，并制定相应的保险费率。
3.2 质量控制概率与统计可以用于质量控制中的过程监控和产品检验。
通过收集数据并进行统计分析，可以判断生产过程是否处于控制状态，以及产品是否符合质量标准。
3.3 经济预测概率与统计可以应用于经济领域的预测和决策。
通过对历史数据进行分析，可以建立经济模型并做出相应的预测，帮助政府和企业做出合理决策。
概率论的基本概念与公式
概率论的基本概念与公式概率论是数学中的一个重要分支，研究事件发生的可能性和规律。
本文将介绍概率论的基本概念与公式，包括样本空间、事件、概率、概率分布等内容。
一、样本空间在概率论中，样本空间是指一个随机试验中所有可能结果的集合。
用S表示样本空间。
例如，掷一枚硬币的样本空间为S={正面，反面}。
二、事件事件是样本空间的子集，表示某一特定结果或结果的集合。
常用大写字母A、B、C等表示事件。
发生事件A的条件是实验结果属于事件A。
三、概率概率是对随机事件发生可能性的数值度量，用P(A)表示事件A的概率。
概率的取值范围介于0和1之间，即0≤P(A)≤1。
当P(A)=0时，表示事件A不可能发生；当P(A)=1时，表示事件A必然发生。
四、概率公式1.加法公式加法公式用于计算两个事件A和B的并集事件。
若A和B是互不相容的事件，则有：P(A∪B) = P(A) + P(B)2.乘法公式乘法公式用于计算两个事件A和B同时发生的概率。
若A和B是相互独立的事件，则有：P(A∩B) = P(A) * P(B)3.条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
条件概率用P(A|B)表示，读作“在B发生的条件下A发生的概率”。
计算条件概率的公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)4.全概率公式全概率公式用于计算一个事件A的概率，通过已知与A有关的多个条件事件的概率来确定。
全概率公式的公式为：P(A) = P(A|Bi) * P(Bi)，其中i表示条件事件的个数，Bi表示条件事件。
五、概率分布概率分布是指随机变量的所有可能取值及其对应的概率。
常见的概率分布包括离散概率分布和连续概率分布。
离散概率分布适用于随机变量的取值为一系列离散值的情况，如二项分布、泊松分布等；连续概率分布适用于随机变量的取值为连续范围内的情况，如正态分布、指数分布等。
六、期望与方差期望是随机变量的预期值，表示随机变量取值的平均水平。
随机过程知识点-概率空间
第一章：预备知识§1.1 概率空间随机试验，样本空间记为Ω。
定义1.1 设Ω是一个集合，F 是Ω的某些子集组成的集合族。
如果 （1）∈ΩF ；（2）∈A 若F ，∈Ω=A A \则F ； （3）若∈n A F ， ，，21=n ，则∞=∈1n nAF ；则称F 为-σ代数(Borel 域)。
(Ω,F )称为可测空间，F 中的元素称为事件。
由定义易知： .216\,,)5)4(111F A A A i F A F B A F B A F i i n i i n i i i ∈=∈∈∈∈∅∞=== ，，则，，，）若（；则若（；定义1.2 设(Ω,F )是可测空间，P(·)是定义在F 上的实值函数。
如果()()()()∑∞=∞==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∅=⋂≠=Ω≤≤∈1121,,,31210,)1(i i i i j i A P A P A A j i A A P A P F A 有时，当）对两两互不相容事件（；）（；任意则称P 是()F ,Ω上的概率，（P F ，，Ω）称为概率空间，P(A)为事件A 的概率。
定义1.3 设（P F ，，Ω）是概率空间，F G ⊂，如果对任意G A A A n ∈,,,21 ，,2,1=n 有： (),11∏===⎪⎪⎭⎫⎝⎛ni i n i i A P A P则称G 为独立事件族。
§1.2 随机变量及其分布随机变量X ，分布函数)(x F ，n 维随机变量或n 维随机向量，联合分布函数，{}T t X t ∈,是独立的。
§1.3随机变量的数字特征定义1.7 设随机变量X 的分布函数为)(x F ，若⎰∞∞-∞<)(||x dF x ，则称)(X E ＝⎰∞∞-)(x xdF为X 的数学期望或均值。
上式右边的积分称为Lebesgue-Stieltjes 积分。
方差，()()[]EY Y EX X E B XY --=为X 、Y 的协方差，而 DYDX B XYXY =ρ为X 、Y 的相关系数。
条件概率 测度论
条件概率测度论
条件概率和测度论是概率论的两个重要概念。
条件概率是指在某个条件或限制下，某一事件发生的概率。
测度论则是概率论的基础，它定义了概率空间和事件集合，并给出了概率测度的性质和运算规则。
在测度论中，概率空间是一个三元组（Ω，F，P），其中Ω是一个样本空间，F是Ω上的一个σ代数，P是一个定义在F上的概率测度。
事件集合是由F中的元素构成的，每个元素都对应一个事件。
概率测度P给出了每个事件发生的概率。
条件概率是在某个已知条件下，某个事件发生的概率。
在测度论中，条件概率可以通过转移测度来定义。
转移测度是将一个概率测度从原来的样本空间Ω映射到另一个样本空间的一个函数。
在条件概率的定义中，转移测度的作用是将原来的概率测度P映射到一个新的概率测度P'上，使得P'满足条件概率的定义。
通过测度论和条件概率的定义，我们可以进一步探讨概率论中的其他概念，例如随机变量、分布函数、期望、方差等。
这些概念在概率论中有着广泛的应用，可以用于解决各种不确定性和风险问题。
时间概率空间概率
时间概率空间概率时间概率与空间概率是概率论中的两个基本概念，分别涉及到事件在时间和空间上的概率分布。
时间概率主要是研究某个事件在一段时间内发生的概率；而空间概率则是研究某个事件在一定范围内出现的概率。
本文将分别介绍时间概率和空间概率的理论基础、常见模型以及应用领域。
一、时间概率时间概率是指在一定时间段内某个事件发生的概率。
概率论中计算时间概率的方法与计算空间概率的方法类似，首先需要确定事件集合和样本空间。
然后，根据概率的定义，事件集合中所有事件的概率之和应该等于1。
在时间概率中，我们通常会用几率（odds）来度量某个事件的概率。
几率是指事件发生的概率与事件不发生的概率的比值，即：几率= P(E)/P(E’) = P(E)/(1-P(E))其中，P(E)和P(E’)分别表示事件发生和事件不发生的概率。
几率的取值范围是从0到正无穷，几率越大表示事件发生的可能性越高，几率越小则表示事件不发生的可能性越高。
常见的时间概率模型包括泊松分布、指数分布和正态分布等。
泊松分布用来描述随机事件的数量或发生次数，如某个时间段内到店顾客的数量、某个时间段内电话的数量等。
指数分布则用来描述连续随机事件发生的时间间隔，如某个人开始等待服务到得到服务之间的时间、某个机器发生故障到被修复之间的时间等。
而正态分布则用来描述连续随机变量的概率分布，如测试得到的血糖值、身高和体重等。
时间概率广泛应用于各种领域，如金融、物流、流量分析、医学等。
在金融领域，时间概率常用于建立股票、债券和货币交易的数学模型，以预测市场变动和制定投资策略。
在物流领域，时间概率则用来规划仓库存货、预测订单到达时间，以确保供应链的高效运转。
在流量分析领域，时间概率可以用来预测网站的流量，并通过分析用户访问模式来设计更好的营销策略。
在医学领域，时间概率则可用来分析药物治疗的效果、疾病治愈率和患病率等。
空间概率是指在一定空间范围内某个事件出现的概率。
与时间概率类似，计算空间概率的前提也是确定事件集合和样本空间，然后计算事件集合中所有事件的概率之和等于1。
概率论与随机过程：1-2,3 事件的概率 概率空间
（1）因k个数字完全不同，实际为不可重复的排列，基本事件个数为：
C
k n
k!
P( A)
C
k n
k!
Nk
(2) 同理
P(B) (N r)k Nk
(3) 同理
P(C )
C
m k
(N
1) k m
Nk
(4) 在这k个数字中，最大数不大于M的取法有Mk种。而最
大数不大于M-1的取法有(M-1)k种。
P(D) M k (M 1)k Nk
例：取球，袋中a个白，b个红球，一一取出，不放回，
求事件Ak={第k次取出白球}的概率。 解：试验为将a+b个球编号一一不放回取出，全部取出
解：令B={恰有k件次品}
P(B)=？
P(B)
M k
N n
M k
N n
M件 次品
这是一种无放回抽样.
次品 正品
N-M件 正品
……
例3 n双相异的鞋共2n只，随机地分成n堆， 每堆2只 . 问:“各堆都自成一双鞋”(事件A)的 概率是多少？
解：把2n只鞋分成n堆,每堆2只
的分法总数为 (2n)!
a 1
N
b 2
所以，所求概率为：
P( A)
Ca ab
N
a 1
N
b 2
N ab
(二) 放球问题
n个球，随机的放入N个盒（n≤ N），每盒容量不限， 观察放法：
(1)某指定的n个盒中各有一个球A1,求P(A1)； (2)恰有n个盒中各有一球Ａ2,求P(A2); (3)某指定的盒子中恰有k个球A3,求P(A3).
随机过程第一章 预备知识及补充
n
PAn,i.o. P(A) 0
命题 1.3（波莱尔－坎泰利（Borel-Cantelli）第二引理）：如果An , n 1 为独立的事件
序列，使得 P( An ) ，则 n1
PAn,i.o. 1
第一引理证明：
根据定义 1.4 对事件序列An , n 1 上极限的定义可知，因为样本点 在无穷多个事件
n1
n1
假定一些事件组成了一个可数的集合，那么这集合中的至少一个事件发生的概率不大于每个事件
发生的概率的和。）；
当 An , n 1, 2,两两互不相容时，则 P( An ) P( An ) ；
n1
n1
概率函数 P 的一个重要性质是连续性，为了更精确地阐明这一性质，需要引进极限事
件的概念。定义如下：
An , n 1发生，则在 An ,k 1也同样发生，从而在
An 亦发生；另一方面，如果
nk
k 1 nk
样本点 在
An ，则对于 k 1， 在 An 发生，从而对于 k 1至少有一个 n k ，
k 1 nk
nk
即 n k ，使得 在 An 发生，因此有 在无穷多个 An 发生。
若 An An1, n 1，称事件序列An , n 1 为递增的；
当 An An1, n 1，则事件序列An , n 1 为递减的。
如果
An
,
n
1
是一递增的事件序列，那么我们定义一个新的事件，记为
lim
n
An
：
lim
n
An
Ai ；
i 1
如果
An
,
n
1
是一递减的事件序列，那么我们定义一个新的事件，记为
第1节、概率空间 随机变量
x
结束
§1 概率空间 随机变量
§1
概率空间 随机变量
例6. 向（0,1）区间上随机地掷一个点。按例3，Ω= （0,1）。规定函数X(w) =w，0<w<1。这样,X(w)是(Ω, F, P)上 的随机变量。 既然对任意一个实数x，有 ( : X () x) F ，那么对Ω的就子 集 ( : X () x) 可以讲概率。 定义： 设(Ω, F, P)是概率空间，而X=X(w)是(Ω, F, P)上的 随机变量。对任意一个实数x，有概率
F {w1 , w2 ,, w6（ , w1 , w2） （ , w1 , w3） ,（ , w5 , w6） （ , w1 , w2 , w3） ,（ , w4 , w5 , w6） , （w1 , w2 , w3 , w4） ,（ , w3 , w4 , w5 , w6） （ , w1 , w2 , w3 , w4 , w5） ,（ , w2 , w3 , w4 , w5 , w6） , （w1 , w2 , w3 , w4 , w5 , w6） }
三、随机变量及其概率分布
在随机试验中，若存在一个变量，它依试验出现的结果改 变而取不同的数值，则称此变量为随机变量。由于随机试验出 现的结果带有随机性，因而随机变量的取值也带有随机性。从 数学角度看，样本空间Ω中每一个样本点w（试验可能结果）对 应有一个数X(w)，这就是随机变量；或者说随机变量是定义在 样本空间Ω上的函数。但是，对这个函数需要有一些要求。
简述样本空间和概率的定义
简述样本空间和概率的定义在概率论中，样本空间和概率是两个重要的概念。
样本空间是指所有可能的结果的集合，而概率则是指某个事件发生的可能性大小。
下面将对这两个概念进行详细的解释。
样本空间样本空间是指所有可能的结果的集合。
例如，掷一枚硬币的样本空间就是{正面，反面}，掷一个骰子的样本空间就是{1，2，3，4，5，6}。
样本空间通常用S表示，其元素称为样本点。
为了更好地理解样本空间，我们可以考虑一些实际问题。
例如，在一场足球比赛中，可能的结果是主队胜、客队胜或平局。
这些结果的集合就是该比赛的样本空间。
样本空间是概率论中的基础概念，它是其他概念如事件、概率等的基础。
在进行概率计算时，我们通常需要将问题转化为样本空间中的事件，并计算这些事件发生的概率。
概率概率是指某个事件发生的可能性大小。
概率的取值范围是0到1之间，其中0表示不可能发生，1表示一定会发生，而0.5表示发生和不发生的可能性相等。
概率的计算方法有多种，其中最常用的是经典概型和统计概型。
经典概型适用于样本空间中所有元素的概率相等的情况，例如掷一个公正的骰子。
在这种情况下，我们可以通过计算事件发生的有利结果数与样本空间大小的比值来计算概率。
统计概型则适用于样本空间中各元素的概率不等的情况，例如抛一枚硬币。
在这种情况下，我们可以通过实验来估计概率，即将事件发生的次数除以实验总次数。
除了经典概型和统计概型，概率还有条件概率、贝叶斯公式、期望等概念。
这些概念在实际问题中都有广泛的应用，例如在医学诊断、金融风险评估、机器学习等领域中都有重要的作用。
总结样本空间和概率是概率论中的基础概念，样本空间是所有可能结果的集合，而概率是某个事件发生的可能性大小。
概率的计算方法有多种，其中最常用的是经典概型和统计概型。
这些概念在实际问题中都有广泛的应用，是概率论中必不可少的概念。
1-5概率空间
例
P(A)=P(B)=P(C)=1/4, P(AB)=0, P(AC)=P(BC)=1/6, 求 A、B、C 都不出现的概率. 解：因为A、B、C 都不出现的概率为
P( ABC) = 1− P( A∪ B ∪C)
= 1−P(A)−P(B)−P(C)+P(AB)+P(AC)+P(BC)−P(ABC) = 1−1/4−1/4−1/4+0+1/6+1/6−0 =1−5/12 = 7/12
若 Ai ∈ F , i = 1, 2 ,... 且两两互不相容，则 P ( U Ai ) =
n =1 ∞
∑ P( A )
i =1 i
∞
概率的性质
性质1 性质1 P(φ)=0. 性质2 (有限可加性 性质2 (有限可加性) 有限可加性)
性质3 (对立事件公式 性质3 (对立事件公式)
P( A) = 1 − P( A)
利用数学归纳法证明
匹配问题） 封信， 只信封， 例（匹配问题 某人写好 封信，又写好 只信封， 匹配问题 某人写好n封信 又写好n只信封 然后在黑暗中把每封信放入一只信封中， 然后在黑暗中把每封信放入一只信封中，试求至少 有一封信放对的概率。 有一封信放对的概率。 解：记Ai={第i封信与信封符合}，则所求事件为 A1 U A1 U L U An
i =1 i =1 k k
古典概率的性质： 古典概率的性质： (1)非负性 对任一事件 有 非负性: 对任一事件A,有 非负性 0≤P(A) ≤1 (2)规范性 对必然事件Ω,有 P(Ω)=1 规范性: 规范性 对必然事件Ω 有 Ω (3)有限可加性 若事件 1, A2, …, An 有限可加性: 若事件A 有限可加性 两两互斥,则 两两互斥 则
近代概率论基础第一章 概率空间
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一、概率空间及其三要素
1、样本空间
是一非空集合，称为样本空间；其中的元素称
为样本点，相应于随机试验的结果。
2、 F 与可测空间 我们把事件A定义为 的一个子集，它包含若干
近代概率论基础
任课教师: 范胜君
E-mail: f_s_j@
教材 李贤平 编 《概率论基础》 高教出版社 2005.
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一、内容与学时 第一章 概率空间
（5 学时）
第二章 条件概率与统计独立性（5 学时） 共
第三章 随机变量与分布函数 （6 学时） 32 学
件为 x y 20
可能的结果全体是边长为60的正方形中的点，能会
面的点的区域用阴影标出，故所求的概率为
p
602 402 602
5 9
y
60
实际上，我们假定了两人到达的时间 20 在7点到8点之间的机会均等且互不影响。 0 20
60 x
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例2 在圆周上任取三点A，B，C，试求这三点构成的 三角形为锐角三角形的概率
B
N
A
C
1 2
1 2
B
A C
B
A M
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同一问题有三种不同的答案，细究其原因，发 现是在取弦时采用了不同的等可能性假定。在第一 种解法中，假定端点在圆周上均匀分布，在第二种 解法中，假定弦的中点在直径上均匀分布，而在第 三种解法中，又假定弦的中点在圆内均匀分布。这 三种答案针对三种不同的随机试验，对于各自的随 机试验而言，它们都是正确的。
概率的基本概念
概率的基本概念概率是数学中一个重要的概念，用于描述某个事件发生的可能性大小。
它是通过对事件发生的次数进行统计分析得出的，可以用来预测未知事件的发生概率。
在生活和科学研究中，概率是一个极为常用的工具。
本文将介绍概率的基本概念，包括概率的定义、性质和计算方法。
一、概率的定义概率可以用数值来表示，其取值范围在0和1之间。
其中，0表示事件不可能发生，1表示事件一定会发生。
在某些情况下，概率也可以超出0到1的范围。
例如，当概率为0.5时，表示事件发生和不发生的可能性均等。
二、概率的性质1. 互斥性：互斥事件指的是两个事件不能同时发生。
例如，掷一枚硬币时，它只能正面或反面朝上，不可能两面都朝上。
对于互斥事件A和B，它们的概率之和等于各事件概率的和，即P(A或B) = P(A) + P(B)。
2. 完备性：完备事件指的是一组互斥事件的集合，它们的概率之和等于1。
例如，掷一枚硬币时，正面朝上和反面朝上是完备事件。
即P(正面朝上) + P(反面朝上) = 1。
3. 加法定理：加法定理是概率计算中的重要定理，用于计算两个事件同时发生的概率。
对于两个事件A和B，其概率之和减去它们同时发生的概率，等于两个事件分别发生的概率之和，即P(A或B) = P(A)+ P(B) - P(A和B)。
4. 乘法定理：乘法定理是概率计算中的另一个重要定理，用于计算两个事件同时发生的概率。
对于两个事件A和B，其概率等于事件A发生的概率乘以在事件A发生的条件下事件B发生的概率，即P(A和B) = P(A) * P(B|A)，其中P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率。
三、概率的计算方法1. 等可能概型：当每个事件发生的可能性相等时，使用等可能概型来计算概率。
例如，投掷一枚均匀的骰子，每个点数出现的可能性相等。
这时，某个事件发生的概率等于该事件发生的次数除以总事件数。
2. 频率法：通过对事件进行大量重复实验并统计结果的方法来计算概率。
信息的概念是什么信息是指各个事物运动的状态及状态变化
27
例 2－2－3
• 电视屏上约有 500 × 600= 3 × 105个格点，按每 点有10 个不同的灰度等级考虑，则共能组成
• n= 103105 个不同的画面。按等概率1/ 103105 计算， 平均每个画面可提供的信息量为
n
H ( X ) p(xi ) log2 p(xi ) log2 103105 i 1
• 什么叫数据？ 载有信息的可观测、可传输、可存储及可处理的信
号均称为数据。
• 通信系统的性能指标有哪些？ 通信系统的性能指标主要是有效性、可靠性、安全性、
经济性。
2
回顾上一讲内容
• 信源输出的消息分为几类？ a. 离散消息，例如由字母、文字、数字等符号组成 的符号序列或者单个符号； b. 连续消息，例如话音、图像、在时间上连续变化 的电参数等。
回顾上一讲内容
• 信息的概念是什么？ 信息是指各个事物运动的状态及状态变化的方式。
人们从来自对周围世界的观察得到的数据中获得信息。 信息是抽象的意识或知识，它是看不见、摸不到的。 人脑的思维活动产生的一种想法，当它仍储存在脑子 中的时候它就是一种信息。
• 消息的概念是什么？ 消息是指包含有信息的语言、文字和图像等，例
如我们每天从广播节目、报纸和电视节目中获得各种 新闻及其他消息。在通信中，消息是指担负着传送信 息任务的单个符号或符号序列。这些符号包括字母、 文字、数字和语言等。
1
回顾上一讲内容
• 信号是什么？ 信号是消息的物理体现，为了在信道上传输消息，
就必须把消息加载（调制）到具有某种物理特征的信 号上去。信号是信息的载荷子或载体，是物理性的。 如电信号、光信号等。
13
第二节 离散信源熵和互信息
概率论笔记整理
概率论笔记整理
概率论是研究随机现象的数学学科，它为各种随机事件、随机变量和随机过程提供了数学模型和理论框架。
以下是概率论的一些重要概念和笔记整理：
1. 概率空间：概率空间是一个三元组（Ω, F, P），其中Ω是样本空间，F是事件域，P是概率函数。
2. 随机事件：随机事件是样本空间Ω的一个子集，它包含样本点。
3. 概率：概率是一个实数，表示随机事件发生的可能性。
概率函数P定义在事件域F上，满足P(A) ≥ 0且P(Ω) = 1。
4. 条件概率：条件概率是在给定某个事件B发生的情况下，另一个事件A发生的概率。
条件概率记作P(A|B)，它满足P(A|B) ≥ 0，P(Ω|B) = 1，且P(A|B) = P(A∩B)/P(B)。
5. 独立性：如果两个事件A和B相互独立，则P(A∩B) = P(A)P(B)。
6. 随机变量：随机变量是从样本空间到实数的映射。
常见的随
机变量包括离散型和连续型。
7. 期望值：期望值是随机变量所有可能取值的概率加权和。
期望值的计算公式为E(X) = Σ xP(X=x)。
8. 方差：方差是随机变量与其期望值的差的平方的期望值，即D(X) = E[(X-E(X))^2]。
9. 协方差：协方差是两个随机变量的线性相关程度的度量。
协方差的计算公式为Cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]。
10. 随机过程：随机过程是一个时间序列或空间序列的随机变量的集合。
常见的随机过程包括马尔科夫链和泊松过程。
以上是概率论的一些基本概念和笔记整理，当然还有很多深入的内容和细节需要进一步学习和掌握。
第一讲概率论基本知识
第一章 概率论基础知识概率论是随机过程的基础，在传统的概率论中，限于各种原因，往往借助于直观理解来说明一些基本概念，这对于简单随机现象似乎无懈可击，但对于一些复杂随机现象就难以令人信服了.随着随机数学理论的不断完善，随机过程越来越成为现代概率论的一个重要分支和发展方向. 为了更好地学习随机过程，我们必须对基础概率论的理论有一个比较深入和全面的了解.本章就是在此基础上系统介绍概率论基础知识，包括概率空间、随机变量及其分布、数学期望的若干性质、特征函数和母函数、随机变量列的收敛性及其相互关系、条件数学期望等.1．1 概率空间概率论是研究随机现象统计规律的一门数学分科，由于随机现象的普遍性，使得概率论具有极其广泛的应用.随机试验是概率论的基本概念之一，随机试验所有可能结果组成的集合称为这个试验的样本空间，记为Ω.Ω中的元素ω称为样本点，Ω中的子集A 称为随机事件，样本空间Ω也称为必然事件，空集Φ称为不可能事件.定义 1.1 设Ω是一个集合，F 是Ω的某些子集组成的集合簇（collection ）（或称集类），如果 （1）Ω∈F ；（2）若A ∈F ，则\A A =Ω∈F ；（取余集封闭） （3）若n A ∈F ,1,2,n = ，则1n n A ∞=∈ F ；（可列并封闭）则称F 为σ-代数（sigma algebra -）（B orel 域或事件域（field of events ）），（,ΩF ）称为可测空间（m easurable space ）.由定义可以得到 （4）Φ∈F ；（5）若,A B ∈F ，则\A B ∈F ；（取差集封闭）（6）n A ∈F ,1,2,n = ，则1ni i A = ，1ni i A = ，1i i A ∞= ∈F （有限交，有限并，可列交封闭）定义1.2 设（,ΩF ）为可测空间，()P ⋅是定义在F 上的实值函数，如果 （1）任意A ∈F ,0()1P A ≤≤；（非负性） （2）()1P Ω=；（正规性）（3）对两两互不相容事件12,,A A （当i j ≠时，i j A A =Φ ），有11()i ii i P A P A ∞∞==⎛⎫=⎪⎝⎭∑ （可列可加性）. 则称P 是（,Ω F）上的概率（p r o b a b i l i ），(,ΩF ，P ）称为概率空间（probability space ），()P A 为事件A 的概率. 由定义知（4）,A B ∈F ,A B ⊂，则(\)()()P B A P B P A =- （可减性）一事件列{,1}n A n ≥称为单调增列，若1,1n n A A n +⊂≥；称为单调减列，若1,n n A A +⊃1n ≥. 显然，如果{,1}n A n ≥为单调增列，则1lim n in i A A∞→∞==；如果{,1}n A n ≥为单调减列，则1lim n in i A A∞→∞==.（5）（概率的连续性）若{,1}n A n ≥是递增或递减的事件列，则lim ()(lim )n n n n P A P A →∞→∞=定义1.3 设(,ΩF ，P ）为概率空间，B ∈F ，且()0P B >，如果对任意A ∈F ，记()(|)()P AB P A B P B =则称(|)P A B 为事件B 发生条件下事件A 发生的条件概率（conditional probability ）. 由条件概率的定义可得到： （1）乘法公式 设,A B ∈F ，则()()(|)P AB P B P A B =一般地，若i A ∈F ,1,2,,i n = ，且121()0n P A A A -> ，则121121312121()()(|)(|)(|)n n n P A A A P A P A A P A A A P A A A A --=（2） 全概率公式 设(,ΩF ，P ）是概率空间，A ∈F ，i B ∈F ,1,2,,i n =()i j B B i j =Φ≠，且1,()0,ni i i B P B ==Ω> ，则1()()(|)niii P A P B P A B ==∑（3） （Bayes 公式）设(,ΩF ，P ）是概率空间，A ∈F ，i B ∈F ,1,2,,i n =()i j B B i j =Φ≠，且1,()0,()0ni i i B P B P A ==Ω>> ，则1()(|)(|)()(|)i i i niii P B P A B P B A P B P A B ==∑一般地，若12,,,n A A A ∈ F ，有11()()nni ii i P A P A ===∏ , 则称F 为独立事件簇.1.2 随机变量及其分布随机变量是概率论的主要研究对象之一，随机变量的统计规律用分布函数来描述. 定义 1.4 设(,ΩF ，P ）为概率空间，()X X ω=是定义在Ω上的实值函数，如果对于任意实数x ，有()1(,]Xx --∞={}:()X x ωω≤∈F ，则称()X ω为F上的随机变量（random variable ），简记为..r v X .随机变量实质上是（,ΩF ）到(,R B ()R ）上的可测映射（函数），记1(){()|X XB B σ-=∈B ()R }⊂F ，称()X σ为随机变量X 所生成的σ域.称{}()1()():()((,])(,]F x P X x P X xP X x P Xx ωω-=≤=≤=∈-∞=-∞为随机变量X 的分布函数(distribution function )(简记.d f ).由定义，分布函数有如下性质：（1）()F x 为不降函数：即当12x x <时，有12()()F x F x ≤； （2）()lim ()0,x F F x →-∞-∞==()lim ()1x F F x →+∞+∞==；（3）()F x 是右连续的，即()()F x F x ο+=可以证明，定义在R 上的实值函数()F x ，若满足上述三个性质，必能作为某个概率空间(,ΩF ，P ）上某个随机变量的分布函数.推广到多维情形，类似可得到定义 1.5 设(,ΩF ，P ）为概率空间，()12()(),(),,()n X X X X X ωωωω== 是定义在Ω上的n 维空间n R 中取值的向量实值函数.对于任意12(,,,)n n x x x x R =∈ ，有{}1122:(),(),,()n n X x X x X x ωωωω≤≤⋅⋅⋅≤∈F ，则称()X X ω=为n 维随机变量，称12()(,,,)n F x F x x x P =⋅⋅⋅={}1122:(),(),,()n n X x X x X x ωωωω≤≤⋅⋅⋅≤为()12()(),(),,()n X X X X X ωωωω==⋅⋅⋅的联合分布函数.随机变量有两种类型：离散型随机变量和连续型随机变量，离散型随机变量的概率分布用概率分布列来描述：(),1,2,k k p P X x k === ，其分布函数为()k k x xF x p ≤=∑；连续型随机变量的概率分布用概率密度函数()f x 来描述，其分布函数为()()x F x f t dt -∞=⎰.类似地可定义n 维随机变量12(,,,)n X X X X = 的联合分布列和联合分布函数如下： 对于离散型随机变量12(,,,)n X X X X = ，联合分布列为()121122,,,n x x x n n p P X x X x X x ====其中,i i i x I I ∈为离散集，1,2,,i = n ，X 的联合分布函数为： 1,12,,121,2,,(,,,)(,,,)n i i nn x x n x y i n F y y y p y y y R ≤==⋅⋅⋅∈∑对于连续型随机变量12(,,,)n X X X X = ，如果存在n R 上的非负函数12(,,,)n f x x x ，对于任意12(,,,)nn y y y R ∈ ，有12(,,,)n X X X X = 的联合分布函数12121212(,,,)...(,,,)n y y y n n n F y y y f x x x dx dx dx -∞-∞-∞⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎰⎰⎰12(,,,)n f x x x 为X 的联合密度函数.1.3 数学期望及其性质设()X X =⋅是定义在概率空间(,ΩF ，P ）上的.r v ，如果||X dP Ω<∞⎰，就称.r v .X的数学期望（expectation ）或均值存在（或称.r v .X 是可积的），记为E X ，有下列定义：EX XdP Ω=⎰利用积分变换，也可写成()EX xdF x +∞-∞=⎰.设()g x 是1R 上的B orel 可测函数，如果.r v .()g X 的数学期望存在，即|()|E g X <∞，由积分变换可知()()()()Eg X g X dP g x dF x +∞Ω-∞==⎰⎰设k 是正整数，若.r v .k X 的数学期望存在，就称它的k 阶原点矩（k th -moment aboutthe origin ），记为k α，即()kkk EXx dF x α+∞-∞==⎰设k 是正整数，若.r v .||k X 的数学期望存在，就称它的k 阶绝对原点矩（k th - absolute m o m e n tabout the origin ），记为k β，即 ||||()kkk E X x dF x β+∞-∞==⎰类似地，X 的k 阶中心矩（k th - central moment ）k μ和k 阶绝对中心矩（k th -absolutely central moment ）k υ分别定义为1()()()kkk E X EX x dF x μα+∞-∞=-=-⎰1||||()kkk E X EX x dF x να+∞-∞=-=-⎰我们称二阶中心矩为方差（variance ），记为V a r X 或D X ，显然有22221VarX μναα===-关于数学期望，容易验证下列的性质：（1）若.r v .X ，Y 的期望E X 和E Y 存在，则对任意实数,αβ，()E X Y αβ+也存在，且()E X Y EX EY αβαβ+=+（2）设A ∈F ，用A I 表示集A 的示性函数，若E X 存在，则()A E XI 也存在，且()A AE XI XdP =⎰（3）若{}k A 是Ω的一个划分，即()i j A A i j =Φ≠ ，且i iA Ω= ，则iA i EX XdP XdP Ω==∑⎰⎰关于矩的存在性，有如下的必要条件和充分条件定理1.1 设对.r v X 存在0p >，使||pE X <∞，则有lim (||)0px x P X x →∞≥=定理1.2 设对.r v X 0(.)a s ≥，它的.d f 为()F x ，那么E X <∞的充要条件是(1())F x dx ∞-<∞⎰此时EX =(1())F x dx ∞-⎰推论1.1 ||E X <∞的充要条件是0()F x dx -∞⎰与0(1())F x dx +∞-⎰均有限，这时有EX =(1())F x dx ∞-⎰()F x dx -∞-⎰推论 1.2 对于0,||pp E X <<∞<∞的充要条件是11(||)p n P X n ∞=≥<∞∑，也等价于11(||)p n nP X n ∞-=≥<∞∑1.4 特征函数和母函数特征函数是研究随机变量分布又一个很重要的工具，用特征函数求分布律比直接求分布律容易得多，而且特征函数有良好的分析性质.定义 1.6 设X 是n 维随机变量（随机向量），分布函数为()F x ，称()F x 的Fourier Stieltjes -变换()()(),itXitxg t E ee dF x t ∞-∞==-∞<<∞⎰为X 的特征函数(characteristic function ).简记.c f从本质上看，特征函数是实变量t 的复值函数，随机变量的特征函数一定是存在的. 当X 是离散型随机变量，分布列(),1,2,k k p P X x k === ，则1()kitx k k g t ep ∞==∑当X 是连续型随机变量，概率密度函数为()f x ，则()(),itxg t ef x dx t ∞-∞=-∞<<∞⎰从定义，我们能够看出特征函数有如下性质： （1）(0)1;g =（2）（有界性）|()|1;g t ≤ （3）（共轭对称性）()();g t g t -=（4）（非负定性）对于任意正整数n 及任意实数12,,,n t t t 和复数12,,,n z z z ，有,1()0nk l k l k l g t t z z =-≥∑（5）（连续性）()g t 为n R 上一致连续函数；（6）有限多个独立随机变量和的特征函数等于各自特征函数的乘积，即随机变量12,,,n X X X 相互独立，12n X X X X =+++ 的特征函数为：12()()()()n g t g t g t g t =其中()i g t 为随机变量i X 的特征函数；（7）（特征函数与矩的关系）若随机变量X 的n 阶矩n EX 存在，则X 的特征函数()g t 可微分n 次，且当k n ≤时，有()(0)k k k g i EX =；（8）随机变量的分布函数由其特征函数唯一确定.定理1.3 (B ocher 定理) n R 上函数()g t 是某个随机变量特征函数当且仅当()g t 连续非负定且(0)1g =.定理1.4 （逆转公式） 设()F x 是随机变量X 的分布函数，相应的特征函数为()g t 若12,x x 为()F x 的连续点，则12211()()lim()2itx itx TT Tee F x F x g t dt itπ--→∞---=-⎰很显然，具有相同特征函数的两个分布函数是恒等的.由此还可推出一个事实：一个随机变量是对称的，当且仅当它的特征函数是实的. 事实上，由X 的对称性知X 和X -有相同的分布函数，根据定义()()()itX itXg t E e E eg t g t -===-=，也就是说()g t 是实的；反之，从()()()itX itXg t Ee g t g t Ee -===-=知X 和X -有相同的特征函数，因此，它们的分布函数相等，这说明X 是对称的.例1.1 设X 服从(,)B n p ，求X 的特征函数()g t 及2,,EX EX D X解 X 的分布列为{},1,0,1,2,,k k n kn P X k C p q q p k n -===-=()()()n nitxk k n kk it k n kit nnnk k g t eC p qCpe qpe q --=====+∑∑因此 0(0)()|itt d E X ig ipe qnp dt='=-=-+=22222202()(0)()()|it t d EXi g i pe q npq n p dt=''=-=-+=+故 22()D X EX EX npq =-= 例1.2 设~(0,1)X N ，求X 的特征函数()g t解 22()itx xg t edx ∞--∞=由于2222||||itx xxixe xe--=221||xx edx ∞--∞<∞⎰，可对上式两边求导，得2222()()itx xitx xg t ixedx e de∞∞---∞-∞'==-⎰2222()x x itx itx edx tg t ∞∞---∞-∞=--=-于是得到微分方程 ()()g t t g t '+=. 这是变量可分离型方程，有()()dg t tdt g t =-两边积分得 2l n ()2g t tc=-+，得方程的通解为 22()tcg t e -+=.由于(0)1g =，因此，0c =.于是X 的特征函数为22()tg t e -=例1.3 设,X Y 相互独立，~(,),~(,)X B n p Y m p ，证明：~(,)X Y n m p ++ 证明 ,X Y 的特征函数分别为()(),()(),1itnitmX Y g t q pe g t q pe q p =+=+=-X Y +的特征函数为()()()(),1it n mX Y X Y g t g t g t q pe q p ++==+=-即X Y +的特征函数是服从参数为,n m p +二项分布的特征函数，由唯一性定理~(,)X Y n m p ++附表一给出了常用分布的均值、方差和特征函数.在研究只取非负整数值的随机变量时，以母函数代替特征函数比较方便.定义1.7 设随机变量X 的分布列为(),0,1,2,k p P X k k === 其中01k k p ∞==∑，称()()kk k k P s E s p s ∞===∑为X 的母函数（或称概率生成函数）（p r o b a b i l i t y generating function ）.母函数具有下列性质：（1）非负整数值随机变量的分布列由其母函数唯一确定； （2）(1)1P =，()P s 在||1s ≤绝对且一致收敛；（3）若随机变量X 的l 阶矩存在，则可以用母函数在1s =的导数值来表示，特别地， 有2(1),(1)(1)EX P EXP P ''''==+；（4）独立随机变量之和的母函数等于母函数的积.证明 （1）01(),0,1,2,nkkkk k k k k k n P s p s p s p s n ∞∞===+==+=∑∑∑两边对s 求n 阶导数，得到()1()!(1)(1)n k nn k k n Ps n p k k k n p s∞-=+=+--+∑令0s =，则()(0)!n n p n p =，因此()(0),0,1,!n n pp n n ==（3）由0()kk k P s p s ∞==∑，得到11()k kk P s kps∞-='=∑，令1s ↑，得到1(1)kk EX kpP ∞='==∑，类似可得到 2(1)(1)E X PP '''=+ 例1.4 从装有号码为1,2,3,4,5,6的小球的袋中，有放回地抽取5个球，求所得号码总和为15的概率.解 令i X 为第i 次取得的小球的号码，且i X 相互独立，125X X X X =+++ 为所取的球的号码的总和.i X 的母函数为261()()6i P s s s s =+++X 的母函数为 5265655551()()(1)(1)66s P s s s s s s -=+++=--所求概率为()P s 展开式的15s 的系数，因此，5651{15}6P X ==1.5 随机变量列的收敛性定义 1.8设{},;1n X X n ≥概率空间(,ΩF ，P ）上随机变量，如果存在集A ∈F ，()0P A =，当cA ω∈时，有lim ()()n n X X ωω→∞=，则称n X 几乎处处收敛（convergencealm ost everywhere ）到X ，简称n X ..a s 收敛到X ，记为n X X → ..a s下面我们给出..a s 收敛的一个判别准则.定理1.5 n X X → ..a s 的充分必要条件是任一ε>0，有lim (||)0m n m n P X X ε∞→∞=⎧⎫-≥=⎨⎬⎩⎭下面给出定理1.3的一个应用.例1.5 设{}n X 是..r v 列，且11()()2n n n P X n P X n +===-=，1111122n n n P X P X n n ⎧⎫⎧⎫⎛⎫===-=-⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎩⎭⎝⎭对于给定的ε>0,考虑1n ε>，有 1(||)0,2m mm nm n P X n ε∞∞==⎧⎫≥≤→→∞⎨⎬⎩⎭∑，因此 0n X →，..a s定义1.9 设{},;1n X X n ≥概率空间(,ΩF ，P ）上随机变量,如果对任一0ε>，{}lim ||0n n P X X ε→∞-≥=则称n X 依概率收敛（convergence in probability ）到X ，简记Pn X X −−→. 由定义，n X 依概率收敛到X ，那么极限随机变量X ..a s 是唯一的.定义 1.10 设{},;1n X X n ≥概率空间(,ΩF ，P ）上随机变量,若||rn E X （0r >）存在，且lim ||0rn n E X X →∞-=，则称 n X r 阶平均收敛（convergence in mean oforder r ）到X ，特别地，当2r =时，称为均方收敛.定义1.11 设{},;1n X X n ≥概率空间(,ΩF ，P ）上随机变量，其分布函数序列()n F x 满足lim ()()n n F x F x →∞=在每个()F x 连续点处成立，则称n X 依分布收敛（convergence indistribution ）到X .简记dn X X −−→.这里()F x 为X 的分布函数.下面我们不加证明地给出几种收敛之间的关系.a sPn n X X X X −−→⇒−−→dn X X ⇒−−→⇓..k a s n X X −−→且11(||)2kn kk P X X ∞=-≥<∞∑⇑,r rn n X X X X '−−→⇒−−→ 0r r '<< 1.6 条件数学期望设,X Y 是离散型随机变量，对一切使{}0P Y y =>的y ，定义给定Y y =时，X 的条件概率为 {,}{|}{}P X x Y y P X x Y y P Y y ======；给定Y y =时，X 的条件分布函数为(|){|}F x y P X x Y y =≤=； 给定Y y =时，X 的条件期望为(|)(|){|}xE X Y y xdF x y xP Xx Y y =====∑⎰设,X Y 是连续型随机变量，其联合密度函数为(,)f x y ，对一切使()0Y f y ≥，给定Y y =时，X 的条件密度函数为(,)(|)()Y f x y f x y f y =；给定Y y =时，X 的条件分布函数(|){|}F x y P X x Y y =≤==(|)xf x y dx ⎰； 给定Y y =时，X 的条件期望定义为 (|)(|)(|)E X Y y x d F x y x f x y d x===⎰⎰由定义可以看出，条件概率具有无条件概率的所有性质.(|)E X Y y =是y 的函数，y 是Y 的一个可能值，若在Y 已知的条件下，全面考察X 的均值，需要用Y 替代y ，(|)E X Y y =是Y 的函数，显然，它也是随机变量，称为X 在Y 条件下的条件期望（conditional expectation ）.条件期望在概率论、数理统计和随机过程中是一个十分重要的概念，下面我们列举以下性质：设,,X Y Z 为随机变量，()g x 在R 上连续，且,,,[()]EX EY EZ E g Y Z ⋅都存在. （1） 当X 和Y 相互独立时，(|)E X Y EX =； （2） [(|)]EX E E X Y =；（3） [()|]()(|)E g Y X Y g Y E X Y ⋅=； （4） (|)E c Y c =，c 为常数；（5） （线性可加性）[()|](|)(|)E aX bY Z aE X Z bE Y Z +=+ （,a b 为常数）； （6） 若0,X ≥则(|)0,..E X Y a s ≥ 下面只对（2）和（3）证明：证明 （2）离散型情况.设(,)X Y 的联合分布列为{,},,1,2,i j ij P X x Y y p i j ====则 [(|)](|){}jj j y E E X Y E XY y P Y y ===∑{|}{}ji i i j j y x x P X x Y y P Y y ⎡⎤====⎢⎥⎣⎦∑∑ {,}{}ji ii i j i y x x x P X x Y y P Xx EX ⎡⎤======⎢⎥⎣⎦∑∑∑由此可见，E X 是给定j Y y =时X 条件期望的一个加权平均值，每一项(|)j E X Y y =所加的权数是作为条件事件的概率，称(|){}jj j y EX E XY y P Y y ===∑为全期望公式.连续型情形：设(,)X Y 的联合密度函数为(,)f x y ，则[](|)(|)()(|)()Y Y E E X Y E X Y y f y dy xf x y dx f y dy ∞∞∞-∞-∞-∞⎡⎤===⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰(,)(,)x f x y d x d yx f x y dy d x∞∞∞∞-∞-∞-∞-∞⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰()X xf x dx EX ∞-∞==⎰(|)()Y EX E X Y y f y dy ∞-∞==⎰也称为全期望公式.全期望公式表明：条件期望的期望是无条件期望. （3）只需证明对任意使[]()|E g Y X Y y ⋅=存在的y 都有[]()|()(|)E g y X Y y g y E X Y y ⋅===因为[|](|)E X Y y xdF x y ∞-∞==⎰，因此，当y 固定时，[]()|()(|)()(|)E g y X Y y g y xdF x y g y xdF x y ∞∞-∞-∞⋅===⎰⎰()[|]g y E X Y y ==例1.6 设在某一天走进商店的人数是期望为1000的随机变量，又设这些顾客在该商店所花钱数都为期望为100元的相互独立的随机变量，并设一个顾客花钱数和进入该商店的总人数独立，问在给定的一天内，顾客们在该商店所花钱数的期望是多少？解 设N 表示这天进入该商店的总人数，i X 表示第i 个顾客所花的钱数，则N 个顾客所花的总数为1Ni i X =∑.由于 11|N N i i i i E X E E X N ==⎡⎤⎡⎤⎛⎫=⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦∑∑而 1111||N n n i i i i i i E X N n E X N n E X nEX ===⎡⎤⎡⎤⎡⎤=====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑∑∑因此 11|,N i i E X N N E X =⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑[]111N i i E X E N E X E N E X =⎡⎤=⋅=⎢⎥⎣⎦∑由题设 11000,100EN EX == 于是11000100100000Ni i X ==⨯=∑即该天顾客花费在该商店的钱数的期望为100000元.。
简述样本空间和概率的定义
简述样本空间和概率的定义样本空间是概率论中的一个重要概念，用来描述随机试验中所有可能结果的集合。
而概率则是用来描述事件发生的可能性大小的数值。
本文将分别从样本空间和概率的定义与特点进行阐述。
我们来了解一下样本空间的概念。
样本空间是指在一个随机试验中，可能出现的所有结果所组成的集合。
通常用Ω表示样本空间，其中Ω={ω1,ω2,ω3,...}，表示试验可能出现的所有结果。
每个结果ωi 称为样本点，而样本点的集合就是样本空间。
样本空间的定义可以通过一个简单的例子来理解。
假设我们要掷一枚骰子，那么样本空间就是{1,2,3,4,5,6}，其中每个元素表示骰子掷出的点数。
又如，如果我们要抽取一张扑克牌，那么样本空间就是一副扑克牌的所有牌面组成的集合。
样本空间的特点有以下几点：1. 样本空间是一个集合，它包含了所有可能的结果。
在实际问题中，样本空间可能是有限的，也可能是无限的。
2. 样本空间中的每个元素都是一个样本点，表示可能出现的一个结果。
每个样本点都是互不相同的，且都具有明确的含义。
3. 样本空间可以通过列举、描述或定义的方式来确定。
在实际问题中，我们可以根据问题的特点来确定样本空间的定义方式。
接下来，我们来了解一下概率的定义。
概率是用来描述事件发生的可能性大小的一种数值。
在随机试验中，事件是指样本空间的一个子集，表示试验的某种结果。
概率可以用来描述事件发生的可能性大小，通常用P(A)表示事件A发生的概率。
概率的特点有以下几点：1. 概率的取值范围在0和1之间，即0≤P(A)≤1。
其中，0表示事件不可能发生，1表示事件一定会发生。
2. 概率的大小反映了事件发生的可能性大小，概率越大，事件发生的可能性越高。
3. 概率可以通过频率、几何概型、古典概型等方式进行计算。
具体的计算方法会根据问题的不同而有所差异。
在计算概率时，我们常常使用概率公式来进行计算。
对于离散型随机变量，概率可以通过事件的样本点数与样本空间的样本点数之比来计算。
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fn(A)＝
nA n
.
频率在某种意义反应了事件发生的可能性大小。
频率的缺陷是其取之依赖于具体的试验。
7
3. 频率具有稳定性 大量次的观察，发现事件发生的频率具有稳定性。
例1 抛一枚硬币,观察事件“正面向上”发生的规律。
实验者 蒲丰 K.皮尔逊 K.皮尔逊
N 4040 12000 24000
nH 2048 6019 12012
4
40 互不相容事件 50 逆事件 A B =
A B
A B =
A
B S
A
S
BA
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5
随机事件的运算规律
交换律: 结合律: 分配律:
A B B A, A B B A
A A A, A A A
A B C A B C A B C A B C
A B C A B A C A B C A B A C
Ａ1
A2
P( A1) P( A2 ) P( A3 ) P( A1A2 )
A3
P( A1 A3 ) P( A2 A3 ) P( A1 A2 A3 )
15
推论3 设A1，A2，…，A
P( Ai) P(Ai)
p
(
A i
A
j
)
P(A A A ) i jk
同理可求出P（ AB) r p （3）因 A B= AB ，所以 P( AB ) 1 p(A B) 1 r．
17
古典概型
概率统计定义的优点：
1.适用的范围广； 2.提供了估算概率的方法； 3.提供了一种检验理论或假设正确与否的方法。
概率统计定义的不足： 1.要确定某事件的概率，就必须进行大量实验，这
反演律（De Morgan定律）:
A A , A A
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6
2.1.1 频 率
1. 随机事件的发生可能性有大小之分
投一枚均匀的骰子，考察下列事件发生的可能性大
小．令Ａ＝出现点数２，Ｂ＝出现偶数点，则B比A更
容易出现。
2. 频率的定义 定义 如果在n次重复试验中事件A发生了nA次，则称 nA/n为事件A在n次试验中发生的频率，记为fn(A)，即
证明 由右图可知 A B=A (B - AB)且
A(B - AB)=Φ，ABB
Ａ
Ｂ
由概率可加性及性质３得 P(A B)=P(A)+P(B - AB)=P(A)+P(B) - P(AB）
推论1. P(A∪B )≤ P(A)+P(B).
推论2. 设随机事件A1, A2, A3 ,
则
P( A1 A2 A3 )
推论2 若AB, 则P(B)≥P(A).
Ａ Ω
B
Ω
13
性质4 对于任一事件A，有 P(A) 1 P( A). 因 A U A , AA ,
则有 1 P() P(A) P(A),
于是有 P(A) 1 P(A).
A
A
14
性质5 设任意两个事件A、B，则 P(AB)=P(A)+P(B)－P(AB)
n
n
U fn ( Ak ) fn (Ak ).
k 1
k 1
1.1.2 概率的定义
简单说来，随机事件A发生可能性大小的度量（数 值），称为A发生的概率，记作P(A)．
10
1. 概率的一般（公理化）定义
定义 设E是随机试验，Ω是它的样本空间，对于E的 每一事件A对应于一个实数P(A)，称P(A)为事件A的概 率，若P(A)满足下列三个条件：
在实际中难以办到； 2.即使有条件大量实验也无法确切的指出何数为濒率
(1) 0≤P(A)≤1; (2) P(Ω)=1； (3) 对于两两互不相容的事件A1，A2，…，有
P( Ak) P(Ak)
k 1
k 1
以上三个条件分别称为概率的非负性、规范性及可列
可加性。
利用概率的定义可以推出概率的一些重要性质。
11
2. 概率的性质
性质1 P() 0. 因为 U UL U UL , 由可列可加性
P() P() P() L P() L ,
0 P() 1, 故 P() 0.
性质2 若A1，A2，…，An为两两互不相容的事件，则
n
n
P(U
i1
Ai
)
i1
P(
Ai
).
由可列可加性有
n
P(U Ai ) P(A1 UL U An U UL ) i1 p(A1) L p(An ) p() L
fn(H) 0.5070 0.5016 0.5005
。 n无穷大
m/n稳定值
8
事件发生 的频繁程度
频率 频率的性质
事件发生 的可能性的大小
稳 定值
概率 概率的定义
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9
4.频率的性质 (1) 0≤fn (A)≤1; (2) fn (Ω) =1；
(3) 若A1，A2，…，An 是两两互不相容的事件，则
p(A1) L p(An ).
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性质3 设A，B是两事件，若AB,
则 P (B－A) = P (B) － P (A).
Ｂ
证明 由于
B =A∪(B－A) 且 A . (B－A) =
Φ,
P(B) = P(A)+ P(B－A), 于是 P(B－A) = P(B)－P(A).
A
推论1 Ｐ(B-A)=P(B)-P(AB).
含的一个基本事件在试验中出现．
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2
事件间的关系与运算
10 包含关系 A B
A
20 事件的并 A B 30 事件的交 A B 50 互不相容事件 A B 60 逆事件 A B =
A B =
B S
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3
20 事件的并 A B 30 事件的交 A B
A
B
S
A
B
S
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i 1
i 1
1i jn
1i jk n
L (1)n1 P( A1A2 L An ).
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例 1 设事件A、B、A∪B的概率分别为p、q、r，求P（AB）,
P（A B）， P（ AB）， P（AB ）
解 （1）因为P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB），所以 P（AB）= p+q-r．
（2）因为A B=A-AB且ABA，故 P（A B ) P(A) P(AB) p ( p q r) r q
2.1 概率的定义 1.频率 2 概率的定义 3 概率的性质
1
1. 概率的概念
随机事件
定义：
•随机事件 : 在一定条件下，对随机现象进行一次实 验的每一个可能结果；
•必然事件 : 在一定条件下必然要发生的事件，记 作；
•不可能事件 : 在一定条件下不可能发生的事件，记 作。
•基本事件 : 在随机实验中，不能分解的事件； 我们称一个随机事件发生当且仅当它所包