线性空间与线性变换内积空间
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
X=CY
(12 ...n )Y
例 已知空间R中两组基（I）{Eij} （II）；{ 2 1 0 1 0 0 0 0 } 0 0 1 0 3 1 0 3 1. 求从基（I）到基（II）的过渡矩阵C。 2. 求向量 7 3 在基（II）的坐标Y。 1 2
基(basis)：线性空间的极大无关组； 维数(dimension)：基中向量的个数； 常见线性空间的基与维数： Fn，自然基{e1，e2，…,en}，dim Fn =n Rmn ，自然基{Eij}，dim Rmn =mn。 F[t]3 ，自然基{1，t，t2}，dimF[t]3 =3 C[a，b]， {1，x，x2，x3…x n-1 …}C[a,b]， dim C[a，b]= 约定： 本书主要研究有限维线性空间。
五、坐标
坐标的来历：设{1，2，…， n } 是空间V的一 组基， V, 可以由基1，2，…， n唯一 线性表示 =x11+x22+…+xn n 则x1 ，x2， …， xn 是在基{i}下的坐标。
要点： 坐标与基有关 坐标的表达形式
例1：求 下的坐标。
R22中向量
子空间本身就是线性空间。 子空间的判别方法可以作为判别线性空间的方 法
子空间和非子空间的例子： V={x=(x1，x2，0｝R 3， V={x=(x1，x2，1｝R 3，
矩阵AR m×n， •齐次线性方程组AX=0的解集合： S=｛X ： AX=0｝Rn， •非齐次线性方程的解集合： M=｛X ： AX=b｝Rn，
3. 映射
映射：设S 与S’ 是两个集合，一个法则（规则）
: S S ，它使S中的每个元素a 都有 S’中一
'
个确定的元素 a’ 与之对应，记为
(a) a 或 a a
称为集合S到 S’ 的映射，a’ 称为a 在映射
下的象，而a 称为 a’ 在映射σ下的一个原象.
变换：S到S自身的映射. 例如： 1 ( A) det A, A K nn 将方阵映射为数
课程概述
《矩阵论》课程是专门为工科研究生开设的数 学课程。 《矩阵论》的内容是根据国家教育部课程指导 委员会关于工科研究生数学课程教学的基本要 求编写而成。 《矩阵论》介绍的理论是现代数学的重要基础 。 《矩阵论》是工科研究生必备的核心基础知识 ，是工科研究生的必修课。
I. 先修课程
《矩阵论》主要以大学《线性代数》为先修课 程，可以同济大学数学系编著的《线性代数》 教材书为参考书。 《矩阵论》还以大学《高等数学》为先修课程 ，可以同济大学数学系编著的《高等数学》教 材书为参考书。 本课程假定读者已经学习过上述两门大学课程 或已经掌握相关的知识。
四、线性空间的基和维数
抽象的线性空间的元素称之为向量(vector) 所有的线性空间中的向量的线性相关性定义 和Rn一样：
定义形式和向量空间Rn中的定义一样。 有关性质与定理和Rn中的结果一样。
因此，要研究线性空间，只需要研究它的最 大线性无关组----即为基(basis)
四、线性空间的基和维数
二、线性空间的概念 线性空间=集合+两种运算（所成完美集合） Example
R 3={x=（x1，x2，x3）T：xi R} ={空间中所有向量}
定义向量的加法，数与向量的乘积。 运算封闭 八条运算律成立
线性空间=集合+两种运算（所成完美集合） Definition:(线性空间或向量空间)
要点：
3 1 在基{E } ij 4 5
例2 设空间F[x]4的两组基为： {1，x，x2，x3}和 {1，（ x - 1）1，（ x - 1）2，（ x - 1）3} 求f（x）=2+3x+4x2+x 3在这两组基下的坐标。
归纳： 有了基，就可以将一个抽象的线性空间中的元素和 一个实际的 R n 元素对应起来，从而将抽象具体化 进行研究。
•C[a，b]={f（x）：f（x）在[a，b]上连续}
运算：函数的加法和数乘
•Example： V=R+，F=R， a b=ab， a=a
不是线性空间的集合
V={X=（x1，x2，1）T：xi R} 运算：向量加法和数乘向量 要证明一个集合不是线性空间，定义中有很多漏 洞可以攻击。
§1.2
子空间
概述：线性空间V中，向量集合V可以有集 合的运算和关系： Wi V， W1W2， W1W2， 问题： 这些关系或运算的结果是否仍然为 线性空间 ？
1、 子空间的概念
定义： 设非空集合WV，W ，如果W 中的元素关于V中的线性运算为线性空间， 则称W是V的子空间。 判别方法：Important Theorem W是子空间 W对V的线性运算封闭。
向量可由1，2，…，s线性表示;（其工作可由多人 合力完成） 向量组1，2，…，s线性无关 任何一个向量不能由其余向量线性表示 要使k11+k22+…+kss =0, 只有系数都为0 向量组1，2，…，s线性相关 其中一个向量可以由其余向量线性表示 要使k11+k22+…+kss =0, 必须有非零系数
重要的子空间：生成子空间 设向量组｛1，2，· · · ， m｝V，由它们的一 切线性组合生成的子空间： Span{1，2，· · · ，m }=L(1，2，· · · ， m) = ｛k11+k22+· · · +kmm| ki} 生成子空间的重要的性质： 1 ）如果 1 ， 2 ， · · · ， m 线性无关，则其为生成子空 间Span{1，2，· · · ，m }的一组基； 2）如果1，2，· · · ，r是向量组1，2，· · · ，m的最 大线性无关组，则 Span{1，2，· · · ，m } 1 ， 2 ， · · · ， r是 Span{1， 2， · · · ， m }的一 组基
子集合：设 S1与S 2 表示两个集合，如果集合
都是集合 S 2 的元素，即由 a S1 a S 2 ， 那么就称 S1是S 2 的子集合，记为
S1 S 2或S 2 S1
S1 S2且S1 S2 S1 S2
相等：即
集合的交： S1 S 2 x x S1且x S 2 集合的并： S1 S2 x x S1或x S2
• 集合V 与数域F • 向量的加法和数乘向量运算 （运算之后的结果跑不出去） • 八条运算律 （能够保证向量的混合运算几乎与数的运算一样完美）
常见的线性空间
F=R或C
Fn={X=（x1，x2，…，xn）T：x F} 运算：向量加法和数乘向量 Fmn = {A=[aij]mn：a ijF}； 运算：矩阵的加法和数乘矩阵 Rmn ；Cmn 。 F[t]n ={f(x)=a0 + a1x+ a2x2+...+an-1xn-1 ：aiR} 运算：多项式的加法和数乘
*例3 设R22中向量组{Ai}
1 1 0 2 A1 A2 1 2 1 3 3 1 A3 0 1
2 4 A4 3 7
1 讨论{Ai}的线性相关性. 2求向量组的秩和极大线性无关组. 3把其余的向量表示成极大线性无关组的 线性组合.
例1.1.8 P8
n 线性空间V与F 的同构
坐标关系
V
Fn
V的基{1，2，。。。 n}
由此建立一个一一对应关系
V，X Fn， （）=X （1+2）=（1）+（2） （k）=k（）
在关系下，线性空间V和Fn同构。
同构的性质
定理1.3:V 中向量{1，2，…n}线性相关 它们的坐标{X1 , X2, … ,Xn}在Fn中线性 相关。 同构保持线性关系不变。 应用： 借助于空间Fn中已经有的结论和方法研 究一般线性空间的线性关系。
2、子空间的“交空间”与“和空间”
过 渡 矩 阵
C的第i列是 i 在基{i }下的坐标
2 坐标变换公式
已知 空间中两组基：
{1 , 2 ,..., n } {1 , 2 ,..., n }
满足: ( 1 , 2 ,..., n ) (1 , 2 ,..., n )Cnn
: (1 2 ... n )X ; 讨论X和Y的关系
六、基变换和坐标变换
讨论：
不同的基之间的关系 同一个向量在不同基下坐标之间的关系
1 基变换公式 {1 , 2 ,..., n } 设空间中有两组基：{1 , 2 ,..., n }
过渡矩阵C的性质： C为可逆矩阵
则( 1 , 2 ,..., n ) (1 , 2 ,..., n )Cnn
相等，记为 1 2.
乘法：设 , 依次是集合S到 S1 ， S1到S 2 的 映射，乘积 定义如下
(a) ( (a)), a S
是S到 S 2 的一个映射. 注： ， ( ) ( ) （ 是S 2到S3 的映 射）
集合的和： S1 S 2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx y x S1 , y S 2
例如
1,2,3 2,3,4 1,2,3,4 1,2,3 2,3,4 3,4,5,6,7
2. 数域 数域：是一个含0和1,且对加，减，乘，除（0 不为除数）封闭的数集.
例如：有理数域Q，实数域R，复数域C.
1.1 线性空间(Linear Spaces)
一. 集合与映射 1. 集合 集合：作为整体看的一堆东西. 集合的元素：组成集合的事物. 设S表示集合，a表示S的元素，记为a∈S 读为a属于S；用记号 aS 表示a 不属于S. 集合的表示：(1 ) 列举法
(2) 特征性质法 M a a具有的性质 例如 P ( x, y ) x 2 y 1 空集合：不包含任何元素的集合，记为
2 (a) aI , a K
将数映射为矩阵
3 ( f (t )) f ' (t ), f (t ) Pn 可看成变换。
其中 Pn是次数不超过 n的实系数多项式的集合.
' 相等：设 1与 2都是集合S到 S 的映射，如果对 a S 1 (a) 1与 2 于 都有 ，则称 2 (a)
II. 主要内容
课程主要包括以下六项内容： (1) 线性空间与线性变换； (2) 内积空间； (3) 矩阵的标准形； (4) 矩阵分解； (5) 范数理论及其应用； (6) 矩阵分析及其应用。
第1章：线性空间与线性变换
内容： 线性空间的一般概念 重点：空间结构和其中的数量关系 线性变换 重点：其中的矩阵处理方法 特点： 研究代数结构——具有线性运算的集合。 看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系。 研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。 学习特点：具有抽象性和一般性。
线性空间的一般性的观点：
线性空间的简单性质（共性）： （1） V中的零元素是惟一的。 （2） V中任何元素的负元素是惟一的。 数0 （3）数零和零元素的性质： 0=0，k0=0，k =0 =0 或k=0 （ 4） = （ 1）
向量0
三、向量组的探讨（Review)
向量的线性相关与线性无关：
三、向量组的探讨（Review)
向量组的极大线性无关组： 1，2，…，s为向量组A的一个部分组 （精英组合） 满足 向量组1，2，…，s线性无关 （彼此工作不可替代） 任意A的向量可以由1，2，…，s线性表示 （公司的任何人的工作可由精英组合完成） 向量组的秩(rank)：最大无关组中向量的个数
(12 ...n )Y
例 已知空间R中两组基（I）{Eij} （II）；{ 2 1 0 1 0 0 0 0 } 0 0 1 0 3 1 0 3 1. 求从基（I）到基（II）的过渡矩阵C。 2. 求向量 7 3 在基（II）的坐标Y。 1 2
基(basis)：线性空间的极大无关组； 维数(dimension)：基中向量的个数； 常见线性空间的基与维数： Fn，自然基{e1，e2，…,en}，dim Fn =n Rmn ，自然基{Eij}，dim Rmn =mn。 F[t]3 ，自然基{1，t，t2}，dimF[t]3 =3 C[a，b]， {1，x，x2，x3…x n-1 …}C[a,b]， dim C[a，b]= 约定： 本书主要研究有限维线性空间。
五、坐标
坐标的来历：设{1，2，…， n } 是空间V的一 组基， V, 可以由基1，2，…， n唯一 线性表示 =x11+x22+…+xn n 则x1 ，x2， …， xn 是在基{i}下的坐标。
要点： 坐标与基有关 坐标的表达形式
例1：求 下的坐标。
R22中向量
子空间本身就是线性空间。 子空间的判别方法可以作为判别线性空间的方 法
子空间和非子空间的例子： V={x=(x1，x2，0｝R 3， V={x=(x1，x2，1｝R 3，
矩阵AR m×n， •齐次线性方程组AX=0的解集合： S=｛X ： AX=0｝Rn， •非齐次线性方程的解集合： M=｛X ： AX=b｝Rn，
3. 映射
映射：设S 与S’ 是两个集合，一个法则（规则）
: S S ，它使S中的每个元素a 都有 S’中一
'
个确定的元素 a’ 与之对应，记为
(a) a 或 a a
称为集合S到 S’ 的映射，a’ 称为a 在映射
下的象，而a 称为 a’ 在映射σ下的一个原象.
变换：S到S自身的映射. 例如： 1 ( A) det A, A K nn 将方阵映射为数
课程概述
《矩阵论》课程是专门为工科研究生开设的数 学课程。 《矩阵论》的内容是根据国家教育部课程指导 委员会关于工科研究生数学课程教学的基本要 求编写而成。 《矩阵论》介绍的理论是现代数学的重要基础 。 《矩阵论》是工科研究生必备的核心基础知识 ，是工科研究生的必修课。
I. 先修课程
《矩阵论》主要以大学《线性代数》为先修课 程，可以同济大学数学系编著的《线性代数》 教材书为参考书。 《矩阵论》还以大学《高等数学》为先修课程 ，可以同济大学数学系编著的《高等数学》教 材书为参考书。 本课程假定读者已经学习过上述两门大学课程 或已经掌握相关的知识。
四、线性空间的基和维数
抽象的线性空间的元素称之为向量(vector) 所有的线性空间中的向量的线性相关性定义 和Rn一样：
定义形式和向量空间Rn中的定义一样。 有关性质与定理和Rn中的结果一样。
因此，要研究线性空间，只需要研究它的最 大线性无关组----即为基(basis)
四、线性空间的基和维数
二、线性空间的概念 线性空间=集合+两种运算（所成完美集合） Example
R 3={x=（x1，x2，x3）T：xi R} ={空间中所有向量}
定义向量的加法，数与向量的乘积。 运算封闭 八条运算律成立
线性空间=集合+两种运算（所成完美集合） Definition:(线性空间或向量空间)
要点：
3 1 在基{E } ij 4 5
例2 设空间F[x]4的两组基为： {1，x，x2，x3}和 {1，（ x - 1）1，（ x - 1）2，（ x - 1）3} 求f（x）=2+3x+4x2+x 3在这两组基下的坐标。
归纳： 有了基，就可以将一个抽象的线性空间中的元素和 一个实际的 R n 元素对应起来，从而将抽象具体化 进行研究。
•C[a，b]={f（x）：f（x）在[a，b]上连续}
运算：函数的加法和数乘
•Example： V=R+，F=R， a b=ab， a=a
不是线性空间的集合
V={X=（x1，x2，1）T：xi R} 运算：向量加法和数乘向量 要证明一个集合不是线性空间，定义中有很多漏 洞可以攻击。
§1.2
子空间
概述：线性空间V中，向量集合V可以有集 合的运算和关系： Wi V， W1W2， W1W2， 问题： 这些关系或运算的结果是否仍然为 线性空间 ？
1、 子空间的概念
定义： 设非空集合WV，W ，如果W 中的元素关于V中的线性运算为线性空间， 则称W是V的子空间。 判别方法：Important Theorem W是子空间 W对V的线性运算封闭。
向量可由1，2，…，s线性表示;（其工作可由多人 合力完成） 向量组1，2，…，s线性无关 任何一个向量不能由其余向量线性表示 要使k11+k22+…+kss =0, 只有系数都为0 向量组1，2，…，s线性相关 其中一个向量可以由其余向量线性表示 要使k11+k22+…+kss =0, 必须有非零系数
重要的子空间：生成子空间 设向量组｛1，2，· · · ， m｝V，由它们的一 切线性组合生成的子空间： Span{1，2，· · · ，m }=L(1，2，· · · ， m) = ｛k11+k22+· · · +kmm| ki} 生成子空间的重要的性质： 1 ）如果 1 ， 2 ， · · · ， m 线性无关，则其为生成子空 间Span{1，2，· · · ，m }的一组基； 2）如果1，2，· · · ，r是向量组1，2，· · · ，m的最 大线性无关组，则 Span{1，2，· · · ，m } 1 ， 2 ， · · · ， r是 Span{1， 2， · · · ， m }的一 组基
子集合：设 S1与S 2 表示两个集合，如果集合
都是集合 S 2 的元素，即由 a S1 a S 2 ， 那么就称 S1是S 2 的子集合，记为
S1 S 2或S 2 S1
S1 S2且S1 S2 S1 S2
相等：即
集合的交： S1 S 2 x x S1且x S 2 集合的并： S1 S2 x x S1或x S2
• 集合V 与数域F • 向量的加法和数乘向量运算 （运算之后的结果跑不出去） • 八条运算律 （能够保证向量的混合运算几乎与数的运算一样完美）
常见的线性空间
F=R或C
Fn={X=（x1，x2，…，xn）T：x F} 运算：向量加法和数乘向量 Fmn = {A=[aij]mn：a ijF}； 运算：矩阵的加法和数乘矩阵 Rmn ；Cmn 。 F[t]n ={f(x)=a0 + a1x+ a2x2+...+an-1xn-1 ：aiR} 运算：多项式的加法和数乘
*例3 设R22中向量组{Ai}
1 1 0 2 A1 A2 1 2 1 3 3 1 A3 0 1
2 4 A4 3 7
1 讨论{Ai}的线性相关性. 2求向量组的秩和极大线性无关组. 3把其余的向量表示成极大线性无关组的 线性组合.
例1.1.8 P8
n 线性空间V与F 的同构
坐标关系
V
Fn
V的基{1，2，。。。 n}
由此建立一个一一对应关系
V，X Fn， （）=X （1+2）=（1）+（2） （k）=k（）
在关系下，线性空间V和Fn同构。
同构的性质
定理1.3:V 中向量{1，2，…n}线性相关 它们的坐标{X1 , X2, … ,Xn}在Fn中线性 相关。 同构保持线性关系不变。 应用： 借助于空间Fn中已经有的结论和方法研 究一般线性空间的线性关系。
2、子空间的“交空间”与“和空间”
过 渡 矩 阵
C的第i列是 i 在基{i }下的坐标
2 坐标变换公式
已知 空间中两组基：
{1 , 2 ,..., n } {1 , 2 ,..., n }
满足: ( 1 , 2 ,..., n ) (1 , 2 ,..., n )Cnn
: (1 2 ... n )X ; 讨论X和Y的关系
六、基变换和坐标变换
讨论：
不同的基之间的关系 同一个向量在不同基下坐标之间的关系
1 基变换公式 {1 , 2 ,..., n } 设空间中有两组基：{1 , 2 ,..., n }
过渡矩阵C的性质： C为可逆矩阵
则( 1 , 2 ,..., n ) (1 , 2 ,..., n )Cnn
相等，记为 1 2.
乘法：设 , 依次是集合S到 S1 ， S1到S 2 的 映射，乘积 定义如下
(a) ( (a)), a S
是S到 S 2 的一个映射. 注： ， ( ) ( ) （ 是S 2到S3 的映 射）
集合的和： S1 S 2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx y x S1 , y S 2
例如
1,2,3 2,3,4 1,2,3,4 1,2,3 2,3,4 3,4,5,6,7
2. 数域 数域：是一个含0和1,且对加，减，乘，除（0 不为除数）封闭的数集.
例如：有理数域Q，实数域R，复数域C.
1.1 线性空间(Linear Spaces)
一. 集合与映射 1. 集合 集合：作为整体看的一堆东西. 集合的元素：组成集合的事物. 设S表示集合，a表示S的元素，记为a∈S 读为a属于S；用记号 aS 表示a 不属于S. 集合的表示：(1 ) 列举法
(2) 特征性质法 M a a具有的性质 例如 P ( x, y ) x 2 y 1 空集合：不包含任何元素的集合，记为
2 (a) aI , a K
将数映射为矩阵
3 ( f (t )) f ' (t ), f (t ) Pn 可看成变换。
其中 Pn是次数不超过 n的实系数多项式的集合.
' 相等：设 1与 2都是集合S到 S 的映射，如果对 a S 1 (a) 1与 2 于 都有 ，则称 2 (a)
II. 主要内容
课程主要包括以下六项内容： (1) 线性空间与线性变换； (2) 内积空间； (3) 矩阵的标准形； (4) 矩阵分解； (5) 范数理论及其应用； (6) 矩阵分析及其应用。
第1章：线性空间与线性变换
内容： 线性空间的一般概念 重点：空间结构和其中的数量关系 线性变换 重点：其中的矩阵处理方法 特点： 研究代数结构——具有线性运算的集合。 看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系。 研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。 学习特点：具有抽象性和一般性。
线性空间的一般性的观点：
线性空间的简单性质（共性）： （1） V中的零元素是惟一的。 （2） V中任何元素的负元素是惟一的。 数0 （3）数零和零元素的性质： 0=0，k0=0，k =0 =0 或k=0 （ 4） = （ 1）
向量0
三、向量组的探讨（Review)
向量的线性相关与线性无关：
三、向量组的探讨（Review)
向量组的极大线性无关组： 1，2，…，s为向量组A的一个部分组 （精英组合） 满足 向量组1，2，…，s线性无关 （彼此工作不可替代） 任意A的向量可以由1，2，…，s线性表示 （公司的任何人的工作可由精英组合完成） 向量组的秩(rank)：最大无关组中向量的个数