三角形五心性质概念整理

合集下载

三角形的五心

三角形的五心内心（三角形三条内角平分线交点）三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。

即内切圆的圆心。

内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（通过全等易证明）。

性质设△ABC的内切圆为☉O(半径r)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2。

1、三角形的三个角平分线交于一点，该点即为三角形的内心。

2、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r。

3、r=S/p。

证明：S△ABC=S△OAB+S△OAC+S△OBC=(cr+br+ar)/2=rp, 即得结论。

4、△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2。

5、∠BOC=90°+∠A/2。

6、点O是平面ABC上任意一点，点O是△ABC内心的充要条件是：a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0。

7、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)。

8、△ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么△ABC内心I的坐标是：(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c))，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))。

9、(欧拉定理)△ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI2=R2-2Rr。

10、内角平分线分三边长度关系：如图：△ABC中，AD是∠A的角平分线，D在BC上，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，d=AD。

设R1是△ABD的外接圆半径，R2是△ACD的外接圆半径，则有：BD/CD=AB/AC证明：由正弦定理得b/sinB=c/sinC，d=2R1sinB=2R2sinC，∴R1/R2=sinC/sinB=c/b.又BD=2R1sinBAD，CD=2R2sinCAD，∠CAD=∠BAD，∴BD/CD=R1/R2=c/b=AB/AC11、内切圆半径r=外心外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。

三角形五心性质概念整理超全资料全

重心1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。

证明方法：设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x，y）则该点到三顶点距离平方和为：(x1-x)2+(y1-y)2+(x2-x)2+(y2-y)2+(x3-x)2+(y3-y)2=3x2-2x(x1+x2+x3)+3y2-2y(y1+y2+y3)+x12+x22+x32+y12+y22+y32=3[x-1/3*(x1+x2+x3)]2+3[y-1/3*(y1+y2+y3)]2+x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2-1/3(y1+y2+y3)2显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时上式取得最小值x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2-1/3(y1+y2+y3)2最终得出结论。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其坐标为[(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3]；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3，纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3，纵坐标：（Z1+Z2+Z3）/35、三角形到三边距离之积最大的点。

6、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量），则M点为△ABC的重心，反之也成立。

7、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）心设△ABC的切圆为☉I(r)，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．1、三角形的心到三边的距离相等，都等于切圆半径r．2、∠BIC=90°+∠BAC/2．3、在RtΔABC中,∠A=90°,三角形切圆切BC于D，则S△ABC=BD×CD4、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC心的充要条件是：向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)．5、在△ABC中，若三个顶点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么△ABC心I的坐标是：(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))．6、(欧拉定理)△ABC中，R和r分别为外接圆为和切圆的半径，O和I分别为其外心和心，则OI2=R2-2Rr．7、△ABC中：a,b,c分别为三边，S为三角形面积，则切圆半径r=2S/(a+b+c)8、双曲线上任一支上一点与两交点组成的三角形的心在实轴的射影为对应支的顶点。

三角形五心性质概念整理(超全)

重心1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其坐标为[(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3]；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3，纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3，纵坐标：（Z1+Z2+Z3）/35、三角形内到三边距离之积最大的点。

6、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量），则M点为△ABC的重心，反之也成立。

7、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）内心设△ABC的内切圆为☉I(r)，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．1、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r．2、∠BIC=90°+∠BAC/2．3、在RtΔABC中,∠A=90°,三角形内切圆切BC于D，则S△ABC=BD×CD4、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)．5、在△ABC中，若三个顶点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么△ABC内心I的坐标是：(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))．6、(欧拉定理)△ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI2=R2-2Rr．7、△ABC中：a,b,c分别为三边，S为三角形面积，则内切圆半径r=2S/(a+b+c)8、双曲线上任一支上一点与两交点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。

三角形五心的性质【超全总结】

资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流重心的性质：（三条中线的交点）1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。

5. 以重心为起点，以三角形三定点为终点的三条向量之和等于零向量。

外心的性质：（三条边的垂直平分线的交点）1、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

2、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

3、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。

C1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。

4、外心到三顶点的距离相等垂心的性质：（三条高的交点）1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。

（此直线称为三角形的欧拉线）3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。

内心的性质：（三个内角的角平分线的交点）1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。

2、P为ΔABC所在空间中任意一点，点O是ΔABC内心的充要条件是：Po=(a×PA+b×PB+c×PC)/(a+b+c).3、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC4、(欧拉定理) ΔABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI2=R2-2Rr．5、（内角平分线分三边长度关系）△ABC中，O为内心，∠A、∠B、∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.6、内心到三角形三边距离相等。

三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)[参照]

三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)[参照]
三角形的重心：是指三角形内任意一点，它到三条边上三个顶点连线的质心，即三角形的外心和所有顶点的重心。

外心：指三角形的外接圆心，也就是三条边的质心，即三角形的重心。

垂心：指三角形的垂心，也就是三角形所有内角的质心，即三角形的重心。

内心：指三角形内角平分线的交点，也就是三角形各内角的质心，即三角形的重心。

旁心：指三角形的垂直平分线的交点，也就是三角形各边的质心，即三角形的重心。

五心数学定义

五心数学定义
五心数学定义主要涉及到三角形的五种特殊点，即重心、外心、内心、垂心和旁心。

以下是关于这些点的详细定义：
1. 重心：三角形的三条中线相交于一点，这点称为三角形的重心。

重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)。

此外，重心有一个重要的性质，即重心将中线分为2:1的两部分，也就是说，从顶点到重心的距离是从重心到对边中点的距离的两倍。

2. 外心：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点称为三角形的外心。

外心到三角形的三个顶点的距离相等，也就是说，外心是三角形外接圆的圆心。

3. 内心：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点称为三角形的内心。

内心到三角形的三边的距离相等，也就是说，内心是三角形内切圆的圆心。

4. 垂心：三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

5. 旁心：与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形旁心。

旁心是一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。

这五个点各自具有独特的性质，并在几何学中发挥着重要的作用。

对于理解和解决与三角形相关的问题，这些定义和性质都是非常有价值的工具。

三角形的五心

三角形的五心（重心、外心、垂心、内心、旁心）一、重心 1、定义：重心是三角形三边中线的交点。

2、性质：（1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

（2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

（3）重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

（4）在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为123123((x x x )3,(y y y )3)++++。

（5）重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。

（6）重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

二、外心1、定义：三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

2、性质：（1）三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

（2）若O 是△ABC 的外心，则∠BOC=2∠A （∠A 为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A （∠A 为钝角）。

（3）当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

（4）计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。

c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

重心坐标：( (c2+c3)/2c ，(c1+c3)/2c ，(c1+c2)/2c )。

（5）外心到三顶点的距离相等。

三、垂心1、定义：三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

2、性质：（1）三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

（2）三角形外心O 、重心G 和垂心H 三点共线，且OG ∶GH=1∶2。

（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line ））。

（3）垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

（4）垂心分每条高线的两部分乘积相等。

四、内心1、定义：三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。

三角形中心的性质

三角形中心的性质
三角形中心：仅当三角形是正三角形的时候，重心、垂心、内心、外心四心合一心，称做正三角形的中心。

1三角形的五心
(1)重心:三条中线的交点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍;重心分中线比为1：2;
(2)垂心：三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。

(3)内心：三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。

即内切圆的圆心，到三边距离相等。

(4)外心：是指三角形三条边的垂直平分线也称中垂线的相交点。

是三角形的外接圆的圆心的简称，到三顶点距离相等。

(5)旁心：一条内角平分线与其它二外角平分线的交点(共有三个)，是三角形的旁切圆的圆心的简称。

2等边三角形的性质
(1)等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。

(2)等边三角形每条边上的中线、高线和角平分线互相重合。

(三线合一)
(3)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或角的平分线所在的直线。

(4)等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边
三角形的中心。

(四心合一)
(5)等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值。

(6)等边三角形拥有等腰三角形的一切性质。

三角形的五“心”及其性质

三角形的五“心”及其性质
三角形的五心是指三角形内部的五个特殊点，包括重心、外心、内心、垂心和旁心。

1. 重心：三角形三个顶点与其对边的中点连接所交于一点，这个点被
称为重心。

重心到三角形三边的距离相等，重心将三角形划分为三个
面积相等的小三角形。

2. 外心：三角形三个顶点的垂直平分线相交于一点，这个点被称为外心。

外心是三角形外接圆圆心，即三角形三个顶点与外心的连线的长
度相等。

3. 内心：三角形三个顶点的角平分线相交于一点，这个点被称为内心。

内心是三角形内切圆圆心，即三角形三条边与内心的连线的垂直距离
相等。

4. 垂心：三角形三个顶点的高的延长线相交于一点，这个点被称为垂心。

垂心是三角形三条高的交点，即垂心到三角形三个顶点所在的直
线距离相等。

5. 旁心：三角形的旁心有三个，分别对应三条边。

旁心是指三角形的
外切圆圆心，即三角形的一条边外边的一条角的角平分线与另外两条
边延长线的交点。

这些五心有一些重要的性质：
- 重心是三角形的重要重心之一，它将三角形分成三个面积相等的小三
角形。

- 外心是三角形外接圆圆心，外接圆的直径是三角形的边长，外心到三
个顶点的距离相等。

- 内心是三角形内切圆圆心，内接圆与三个边相切，内心到三个边的距
离相等。

- 垂心是三角形三条高的交点，垂心到三个顶点所在的直线距离相等。

- 旁心是三角形外切圆圆心，外切圆与三条边相切，旁心到相对应的边
的距离相等。

三角形的“五心”

三角形的“五心”
一米阳光
三角形有“五心”，在初中数学人教版中明确重心（八年级）、内心和外心（九年级），其实还有垂心和旁心。

下面简单介绍它们的定义和性质：
1、内心
定义：三角形三条角平分线的交点，即三角形内切圆的圆心。

性质：三角形的内心在三角形的内部，到三角形三边的距离相等。

2、外心
定义：三角形三边垂直平分线（中垂线）的交点，即三角形外接圆的圆心。

性质：锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心在直角三角形斜边上（是斜边中点）；钝角三角形的外心在三角形外部。

三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等。

3、重心
定义：三角形三条中线的交点。

性质：三角形的重心在三角形的内部，三角形的重心到三角形顶点距离等于它到对边中点距离的2倍。

4、垂心
定义：三角形三条高（高线）所在直线的交点。

性质：锐角三角形的垂心在三角形内部；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外部。

三角形的垂心是垂足三角形的内心。

5、旁心
定义：三角形任意两个外角平分线和第三个内角平分线的交点。

性质：三角形的旁心在三角形的外部，三角形的旁心到三角形三边的距离相等。

三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)

三角形五心定理（三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。

一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。

（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2∶1。

2、重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形 3 个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（ (X1+X2+X3)/3 ，（ Y1+Y2+Y3)/3 。

二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

2、若 O 是△ ABC 的外心，则∠ BOC=2 ∠A （∠ A 为锐角或直角）或∠ BOC=360° -2∠A （∠ A 为钝角）。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量： d1 ，d2 ，d3 分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。

c1=d2d3 ，c2=d1d3 ，c3=d1d2 ；c=c1+c2+c3 。

重心坐标： ( (c2+c3)/2c ，(c1+c3)/2c ， (c1+c2)/2c ) 。

5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这 7 个点可以得到 6 个四点圆。

三角形的五心

1、重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。

该点叫做三角形的重心。

2、外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。

该点叫做三角形的外心。

3、垂心定理：三角形的三条高交于一点。

该点叫做三角形的垂心。

4、内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。

该点叫做三角形的内心。

5、旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。

该点叫做三角形的旁心。

三角形有三个旁心。

三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心。

当且仅当三角形是正三角形的时候重心、外心、垂心、内心,四心合一心,称做正三角形的中心.
重心的几条性质及证明方法：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

如图，在△ABC中，O为重心，所以AD,BE,CF是三条中线，过D、F分别作BE的G平行线交AC于H、G点,交AD于P点。

∵FG是△ABD的中位线，∴点P是OA的中点，
同理，DH是△BCE的中位线, ∴点O、P是线段AD的三等分点．∴AO:OD=2:1.。

三角形的五心性质

三角形的五心性质内心是三条角平分线的交点，它到三边的距离相等。

外心是三条边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。

重心是三条中线的交点，它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。

垂心是三条高的交点，它能构成很多直角三角形相似。

重心和三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；外心到三顶点的距离相等；垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点构成的三角形的垂心；内心到三边距离相等；重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍，该点叫做三角形的重心。

外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点，该点叫做三角形的外心。

垂心定理：三角形的三条高交于一点，该点叫做三角形的垂心。

内心定理：三角形的三内角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心。

重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（z1+z2+z3）/3. 三角形内心的性质设⊿BC的内切圆为☉I(r)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．1、三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心．2、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r．3、r=S/p．4、在Rt△ABC 中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．5、∠BIC=90°+A/2．6、点O是平面ABC上任意一点，点I是⊿ABC内心的充要条件是：a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0．7、点O是平面ABC上任意一点，点I是⊿ABC内心的充要条件是：向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)．8、⊿ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么⊿ABC内心I的坐标是：(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))．9、(欧拉定理)⊿ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr．10、（内角平分线分三边长度关系）⊿ABC中，0为内心，∠A 、∠B、∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.三角形外心的性质设⊿ABC的外接圆为☉G(R)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．1、三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心. 2、锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合. 3、GA=GB=GC=R. 3、∠BGC=2∠A，或∠BGC=2(180°-∠A). 4、R=abc/4S⊿ABC. 5、点G是平面ABC上一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件是：(向量GA+向量GB)·向量AB= (向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量GA)·向量CA=向量0. 6、点G是平面ABC上一点，点P是平面ABC上任意一点，那么点G是⊿ABC 外心的充要条件是：向量PG=((tanB+tanC)向量PA+(tanC+tanA)向量PB+(tanA+tanB)向量PC)/2(tanA+tanB+tanC). 7、点G是平面ABC上一点，点P是平面ABC上任意一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件是：向量PG=(cosA/2sinBsinC)向量PA+(cosB/2sinCsinA)向量PB+(cosC/2sinAsinB)向量PC. 8、设d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。

三角形五心分别为

三角形五心及定律三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。

三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，内心定理，垂心定理，旁心定理的总称一、重心定理1.定义：三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

2.重心的性质：（1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中点。

EC、FB交于G。

求证：EG=1/2CG。

证明：过E作EH∥BF交AC于H。

∵AE=BE，EH//BF；∴AH=HF=1/2AF(平行线分线段成比例定理)又∵AF=CF，∴HF=1/2CF，∴HF:CF=1/2；∵EH∥BF∴EG:CG=HF:CF=1/2，∴EG=1/2CG（2）重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

证明方法：在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA'、BOB'、COC'分别为a、b、c边上的中线。

根据重心性质知：OA'=1/3AA'OB'=1/3BB'OC'=1/3CC'过O，A分别作a边上高OH'，AH可知OH'=1/3AH则，S△BOC=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S△ABC同理可证S△AOC=1/3S△ABCS△AOB=1/3S△ABC所以，S△BOC=S△AOC=S△AOB（3）重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

（4）在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。

（5.）以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。

二、外心定理1.定义：三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

（三角形有且只有一个外接圆。

）2.外心的性质：（1）三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。

三角形重心垂心外心内心相关性质介绍

三角形的“五心”所谓三角形的“五心”是指三角形的重心、垂心、外心、旁心及内心。

当三角形是正三角形时，重心、垂心、外心及内心重合为一点，统称为三角形的中心。

一、三角形的外心（1个）定义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。

ABC ∆的外心一般用字母O 表示。

性质：1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。

2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,. 3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠21,21,21 4.直角三角形的外心在斜边中点。

二、三角形的内心（1个）定义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。

ABC ∆的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。

2. CE CD BD BF AF AE ===,,3. 三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半w 径．； =++CD BF AE 三角形的周长的一半。

4.,2190A BIC ∠+=∠ B CIA ∠+=∠2190 ，C AIB ∠+=∠2190 。

三、三角形的旁心（3个）定义：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，即三角形的旁心。

性质：1. 旁心到三角形一边及其他两边延长线的距离相等。

即，到三边距离相等。

2. 三角形有三个旁心。

这三个旁心到三角形三条边的延长线的距离相等3. 与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫旁心。

四、三角形的垂心定义：三角形三条高的交点叫垂心。

ABC ∆的垂心一般用字母H 表示。

直角三角形的垂心在直角顶点上。

性质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。

2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的垂心为A ，△ACH 的垂心为B 。

三角形五心性质归纳总结

三角形的“五心”性质归纳总结任何三角形都有五心，分别是重心、垂心、外心、内心、旁心。

我们可以用14个字便能准确快捷地区分并记住五心，“中重、高垂、垂直平分外、分内、外分旁”，最后一字为三角形的某种心，前三种为边上的某种线，后两种为三角形内角或外角的平分线。

中重：三角形三边中线的交点，为三角形的重心；在三角形的内部；此点到顶点的距离是到对边中点距离的2倍。

高垂：三角形三边高线的交点，为三角形的垂心；锐角三角形垂心在内部，直角三角形在直角顶点，钝角三角形在外部。

垂直平分外：三角形三边垂直平分线的交点，为三角形的外心；锐角三角形的外心在内部，直角三角形在斜边中点，钝角三角形在外部；此点为△外接圆的圆心，到三顶点的距离相等，这个距离叫外接圆半径R.分内：三角形三内角平分线的交点，为三角形的内心；在三角形的内部，此点为三角形内切圆的圆心，到三边的距离相等，此距离为内切圆半径r.重心、垂心、外心、内心均只有唯一的一点，作图时只需作出二线，第三线一定过此点。

外分旁：三角形相邻二外角的平分线的交点，为三角形的旁心。

任何三角形都有三颗旁心，且不相邻的内角平分线过旁心，旁心到三边的距离相等。

到三角形三边距离相等的点共有四点，内心及旁心。

在初中阶段外心、内心我们经常在圆部分接触和应用，一定要掌握它们的特性，重心、旁心、垂心偶尔接触只需了解。

等腰三角形的重心、垂心、外心、内心及其中一颗旁心在同一直线上即底边的高线上。

等边三角形是最完美的三角形，因而前四心及一颗旁心合一，外接圆半径R 为内切圆半径r 的2倍，R=33a （a 为边长）（∠OAD=30°，∴R=2r,高为23a,则，R=33a ，r=63a ）直角三角形的外接圆半径为斜边的一半（2C ），内切圆半径为21（a+b-c ）,c 为斜边的长。

如图 S=21AC ·BC=21r （AC+BC+AB ） ∴r=AB BC AC BC AC ++⋅.=c b a ab ++ =22)(b a b a ab+++=21（a+b-c ）例1. 已知等边三角形ABC 是⊙O 的内接三角形，若⊙O 的半径为8cm 时，求△ABC 的内切圆面积。

三角形的五心

三角形的五心
一定理
重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的
离是它到对边中点距离的2倍。

该点叫做三角形的重心。

外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。

该点叫做三角形的外心。

垂心定理：三角形的三条高交于一点。

该点叫做三角形的垂心。

内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。

该点叫做三角形的内心。

旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。

该点叫做三角形的旁心。

三角形有三个旁心。

外心：垂直平分线交点，到各顶点距离相等，所以是外接圆圆心，简称外心；内心：角平分线交点，到各边距离相等，所以是内切圆圆心，简称内心；
垂心：各边高（垂线）交点，所以叫垂心：
重心：各边中线的交点，
.三角形共有六心内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。

性质：到三边距离相等。

外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。

性质：到三个顶点距离相等。

重心：三条中线的交点。

性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。

垂心：三条高所在直线的交点。

性质：此点分每条高线的两部分乘积
旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点
性质：到三边的距离相等。

界心：经过三角形一顶点的把三角形周长分成1：1的直线与三角形一边的交点。

性质：三角形共有3个界心，三个界心分别与其对应的三角形顶点相连而成的三条直线交于一点。

欧拉线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。

三角形的几个心的定义及性质

三角形的几个心的定义及性质
内心是三条角平分线的交点,它到三边的距离相等.
外心是三条边垂直平分线的交点,它到三个顶点的距离相等.
重心是三条中线的交点,它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.
垂心是三条高的交点,它能构成很多直角三角形相似.
旁心是一个内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点,它到三边的距离相等.
三角形五心是指三角形的重心、外心、内心、垂心、旁心。

三条中线的交点是重心，三边垂直平分线的交点是外心，三条内角平分线的交点为内心，三角形三条高线的交点为垂心。

重心、外心、内心、垂心只有一个，但旁心有三个。

与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切
圆的圆心叫做三角形旁心。

三角形五心性质[]

三角形的五心定理一、三角形五心定义内心是二角形的二内角平分线交点.也是二角形内切圆的圆心.重心是三角形的三条中线的交点.（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）文档来自于网络搜索外心是三角形的三边的垂直平分线的交点.三角形外接圆的圆心. 垂心是三角形的三条高的交点旁心是三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线的交点.三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心文档来自于网络搜索二、三角形五心性质内心:1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一2、P 为AABC 所在平面上任意一点，点 0是A ABC 内心的充要条件是：向量— (ax PA + bx PB +c x PC)a +b +c3、O 为三角形的内心， A 、B 、C 分别为三角形的三个顶点，延长AO 交BC 边于 N ，则有 AO : ON = AB : BN =AC :CN =(AB + AC): BC . 重心：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.即重心到三条边的距离与三条边的长成反比.3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（X 1 + X 2 + X 3 y 1 + y 2 + y 3）3 3外心：1、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合档来自于网络搜索2、若0是 MBC 的外心，则N BOC=2NA （N A 为锐角或直角）或N BOC =360°-2N A (N A 为钝角).向另外两个顶点向量的点乘。

c^ d 2d 3, c^d 1d 3, c^ = d 1d 2 ；c = ci +c 2+c 3. 重心坐标：（°十°3 c '十c3 G + c2）.文档来自于网络搜索2c ' 2c ' 2c2 : 1.3、计算外心的坐标应先计算下列临时变量:d i , d 2 , d 3分别是三角形三个顶点连4、外心到三顶点的距离相等垂心：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆.2、三角形外心0、重心G和垂心H三点共线，且OG:GH =1:2.(此直线称为三角形的欧拉线(Eulerline ))3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的4、垂心分每条高线的两部分乘积相等.OA OB =OB OC =OC OA旁心:1、每个三角形都有三个旁心2、旁心到三边的距离相等注：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。

三角形五心及其性质

引言概述:三角形是几何学中最基本、最重要的图形之一，三角形的性质和特点被广泛研究和应用。

其中，三角形的五心是三角形内外最重要的五个点：重心、外心、垂心、内心和旁心。

五心之间的关系和性质对于解决三角形相关问题和证明定理具有重要的作用。

本文将详细介绍三角形的五心及其性质。

正文内容：一、重心1. 三角形的重心是三边中线的交点，也是中位线和高线的交点。

2. 重心到顶点的距离是中点到顶点距离的2/3，是高线的距离的2/3。

3. 重心将三角形分割为六个三角形，其中三个三角形的面积相等。

二、外心1. 三角形的外心是三边垂直平分线的交点，也是三角形的三条角平分线的交点。

2. 外心到顶点的距离等于外心到对边的距离，也等于外心到三角形内切圆的半径。

三、垂心1. 垂心是三边垂直平分线的交点，也是三角形内心和外心连线的中点。

2. 垂心到顶点的距离等于垂心到底边垂足的距离。

四、内心1. 三角形的内心是三边的内切圆的圆心，也是三边角平分线的交点。

2. 内心到三边的距离相等，等于三角形的内切圆的半径。

3. 内心到三角形各顶点的连线所围成的三个小三角形的面积相等。

五、旁心1. 旁心是三边的旁切圆的圆心，也是外角平分线的交点。

2. 旁心到其所在边的距离相等，等于旁切圆的半径。

3. 旁心和顶点之间的连线与三角形所在边垂直。

总结：三角形的五心（重心、外心、垂心、内心和旁心）是三角形内外部最重要的五个点，它们分别有着独特的性质和作用。

通过研究五心之间的关系和性质，可以更深入地理解三角形的结构和性质。

五心的位置和特点对于解决三角形相关问题和证明定理具有重要的作用。

理解和应用五心的性质可以帮助我们更好地理解和应用三角形的定理与性质，从而更好地解决相关问题。