圆锥曲线方程及性质
普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]
高三新数学第一轮复习教案(讲座33)—圆锥曲线方程及性质
一.课标要求:
1.了解圆锥曲线的实际背景,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用; 2.经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程,掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质;
3.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道双曲线的有关性质。
二.命题走向
本讲内容是圆锥曲线的基础内容,也是高考重点考查的内容,在每年的高考试卷中一般有2~3道客观题,难度上易、中、难三档题都有,主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性质,从近十年高考试题看主要考察圆锥曲线的概念和性质。圆锥曲线在高考试题中占有稳定的较大的比例,且选择题、填空题和解答题都涉及到,客观题主要考察圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本方法。
对于本讲内容来讲,预测07年:
(1)1至2道考察圆锥曲线概念和性质客观题,主要是求值问题;
(2)可能会考察圆锥曲线在实际问题里面的应用,结合三种形式的圆锥曲线的定义。
三.要点精讲
1.椭圆
(1)椭圆概念
平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数(大于21||F F )的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫椭圆的焦距。若M 为椭圆上任意一点,则有21||||2MF MF a +=。
椭圆的标准方程为:22221x y a b +=(0a b >>)(焦点在x 轴上)或1
22
22=+b
x a y (0a b >>)(焦点在y 轴上)。
注:①以上方程中,a b 的大小0a b >>,其中222
c a b =-; ②在22221x y a b +=和22
221y x a b
+=两个方程中都有0a b >>的条件,要分清焦点的位置,
只要看2
x 和2y 的分母的大小。例如椭圆
221x y m n
+=(0m >,0n >,m n ≠)当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆;当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。
(2)椭圆的性质
①范围:由标准方程22
221x y a b
+=知||x a ≤,||y b ≤,说明椭圆位于直线x a =±,
y b =±所围成的矩形里;
②对称性:在曲线方程里,若以y -代替y 方程不变,所以若点(,)x y 在曲线上时,点(,)x y -也在曲线上,所以曲线关于x 轴对称,同理,以x -代替x 方程不变,则曲线关于y 轴对称。若同时以x -代替x ,y -代替y 方程也不变,则曲线关于原点对称。
所以,椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是对称中
心,椭圆的对称中心叫椭圆的中心;
③顶点:确定曲线在坐标系中的位置,常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中,令0x =,得y b =±,则1(0,)B b -,2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点。同理令0y =得x a =±,即1(,0)A a -,2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点。
所以,椭圆与坐标轴的交点有四个,这四个交点叫做椭圆的顶点。
同时,线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为2a 和2b ,a 和
b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
由椭圆的对称性知:椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ;在22Rt OB F ?中,2||OB b =,
2||OF c =,22||B F a =,且2222222||||||OF B F OB =-,即222c a c =-;
④离心率:椭圆的焦距与长轴的比c
e a
=叫椭圆的离心率。∵0a c >>,∴01e <<,
且e 越接近1,c 就越接近a ,从而b 就越小,对应的椭圆越扁;反之,e 越接近于0,c 就越接近于0,从而b 越接近于a ,这时椭圆越接近于圆。当且仅当a b =时,0c =,两焦
点重合,图形变为圆,方程为222
x y a +=。
2.双曲线
(1)双曲线的概念
平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线(12||||||2PF PF a -=)。
注意:①(*)式中是差的绝对值,在1202||a F F <<条件下;12||||2PF PF a -=时为双曲线的一支(含2F 的一支);21||||2PF PF a -=时为双曲线的另一支(含1F 的一支);②当122||a F F =时,12||||||2PF PF a -=表示两条射线;③当122||a F F >时,
12||||||2PF PF a -=不表示任何图形;④两定点12,F F 叫做双曲线的焦点,12||F F 叫做焦距。
椭圆和双曲线比较:
椭 圆
双 曲 线
定义 1212||||2(2||)PF PF a a F F +=>
1212||||||2(2||)PF PF a a F F -=<
方程
22
221x y a b
+= 22
221x y b a
+= 22
221x y a b
-= 22
221y x a b
-= 焦点
(,0)F c ±
(0,)F c ±
(,0)F c ±
(0,)F c ±
注意:如何有方程确定焦点的位置!
(2)双曲线的性质
①范围:从标准方程122
22=-b
y a x ,看出曲线在坐标系中的范围:双曲线在两条直线
a x ±=的外侧。即22a x ≥,a x ≥即双曲线在两条直线a x ±=的外侧。
②对称性:双曲线122
22=-b
y a x 关于每个坐标轴和原点都是对称的,这时,坐标轴是双
曲线的对称轴,原点是双曲线122
22=-b
y a x 的对称中心,双曲线的对称中心叫做双曲线的中
心。
③顶点:双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线122
22=-b
y a x 的方程里,
对称轴是,x y 轴,所以令0=y 得a x ±=,因此双曲线和x 轴有两个交点)0,()0,(2a A a A -,他们是双曲线122
22=-b
y a x 的顶点。
令0=x ,没有实根,因此双曲线和y 轴没有交点。
1)注意:双曲线的顶点只有两个,这是与椭圆不同的(椭圆有四个顶点),双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。
2)实轴:线段2A A 叫做双曲线的实轴,它的长等于2,a a 叫做双曲线的实半轴长。虚轴:线段2B B 叫做双曲线的虚轴,它的长等于2,b b 叫做双曲线的虚半轴长。
④渐近线:注意到开课之初所画的矩形,矩形确定了两条对角线,这两条直线即称为
双曲线的渐近线。从图上看,双曲线122
22=-b
y a x 的各支向外延伸时,与这两条直线逐渐接
近。
⑤等轴双曲线:
1)定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式:a b =; 2)等轴双曲线的性质:(1)渐近线方程为:x y ±= ;(2)渐近线互相垂直。 注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一,即可推知双曲线为等轴双曲线,同时其他几个亦成立。
3)注意到等轴双曲线的特征a b =,则等轴双曲线可以设为:)0(2
2
≠=-λλy x ,当0>λ时交点在x 轴,当0<λ时焦点在y 轴上。
⑥注意
19
162
2=-y x 与221916y x -=的区别:三个量,,a b c 中,a b 不同(互换)c 相同,还有焦点所在的坐标轴也变了。
3.抛物线
(1)抛物线的概念
平面内与一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F 不在定直线l 上)。定点F 叫做抛物线的焦点,定直线l 叫做抛物线的准线。
方程()022
>=p px
y 叫做抛物线的标准方程。
注意:它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上,焦点坐标是F (2
p
,0),它的准线方程是2
p
x -
= ; (2)抛物线的性质
一条抛物线,由于它在坐标系的位置不同,方程也不同,有四种不同的情况,所以抛物线的标准方程还有其他几种形式:px y 22
-=,py x 22
=,py x 22
-=.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表: 标准方程
22(0)y px p =>
22(0)
y px p =->
22(0)x py p =>
22(0)
x py p =->
图形
焦点坐标 (,0)2
p
(,0)2p - (0,)2p
(0,)2p -
准线方程 2p x =-
2p x =
2p y =-
2p y =
范围 0x ≥ 0x ≤ 0y ≥ 0y ≤ 对称性
x 轴 x 轴 y 轴 y 轴 顶点 (0,0) (0,0) (0,0) (0,0) 离心率 1e = 1e =
1e =
1e =
说明:(1)通径:过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径;(2)抛物线的几何性
o F x y l o
x y
F l
x y
o
F l
质的特点:有一个顶点,一个焦点,一条准线,一条对称轴,无对称中心,没有渐近线;(3)注意强调p 的几何意义:是焦点到准线的距离。
四.典例解析
题型1:椭圆的概念及标准方程
例1.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是(4,0)-、(4,0),椭圆上一点P 到两焦点距离的和等于10;
(2)两个焦点的坐标分别是(0,2)-、(0,2),并且椭圆经过点35
(,)22
-;
(3)焦点在x 轴上,:2:1a b =,c =
(4)焦点在y 轴上,22
5a b +=,且过点(;
(5)焦距为b ,1a b -=;
(6)椭圆经过两点35(,)22
-,。
解析:(1)∵椭圆的焦点在x 轴上,故设椭圆的标准方程为22
221x y a b
+=(0a b >>),
∵210a =,4c =,∴222
9b a c =-=,
所以,椭圆的标准方程为
22
1259
x y +=。 (2)∵椭圆焦点在y 轴上,故设椭圆的标准方程为22
221y x a b
+=(0a b >>),
由椭圆的定义知,
2a ===
∴10a =,又∵2c =,∴222
1046b a c =-=-=,
所以,椭圆的标准方程为
22
1106
y x +=。
(3)∵c =
2226a b c -==,①
又由:2:1a b =代入①得2
2
46b b -=, ∴2
2b =,∴2
8a =,又∵焦点在x 轴上,
所以,椭圆的标准方程为22
182x y +=。 (4)设椭圆方程为22
221y x a b
+=,
∴221b =,∴2
2b =,
又∵225a b +=,∴2
3a =,
所以,椭圆的标准方程为22
132
y x +=. (5)∵焦距为6,∴3c =, ∴222
9a b c -==,又∵1a b -=,∴5a =,4b =,
所以,椭圆的标准方程为
2212516x y +=或22
12516y x +=. (6)设椭圆方程为22
1x y m n
+=(,0m n >), 由2
235()()221351m n m n
?-?+=???+=??得6,10m n ==, 所以,椭圆方程为
22
1106
y x ++=. 点评:求椭圆的方程首先清楚椭圆的定义,还要知道椭圆中一些几何要素与椭圆方程间的关系。
例2.(1)(06山东)已知椭圆中心在原点,一个焦点为F (-23,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是 。
(2)(06天津理,8)椭圆的中心为点(10)E -,,它的一个焦点为(30)F -,,相应于焦点F 的准线方程为7
2
x =-
,则这个椭圆的方程是( ) A.
22
2(1)21213x y -+=
B.
22
2(1)21213x y ++= C.
2
2(1)15
x y -+=
D.
2
2(1)15
x y ++= 解析:(1
)已知22222224
2,161164(b a b c y x a a b c
F =??==????=?+=??-=???-??为所求; (2)椭圆的中心为点(1,0),E -它的一个焦点为(3,0),F -
∴ 半焦距2c =,相应于焦点F 的准线方程为7
.2
x =-
∴
252a c =,22
5,1a b ==,则这个椭圆的方程是22(1)15
x y ++=,选D 。 点评:求椭圆方程的题目属于中低档题目,掌握好基础知识就可以。
题型2:椭圆的性质
例3.(1)(06山东理,7)在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为2,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为( )
(A)2 (B)
22 (C) 2
1
(D)42
(2)(1999全国,15)设椭圆22
22b
y a x +=1(a >b >0)的右焦点为F 1,右准线为l 1,
若过F 1且垂直于x 轴的弦的长等于点F 1到l 1的距离,则椭圆的离心率是 。
解析:(1)不妨设椭圆方程为22221x y a b +=(a >b >0),则有
22
21b a c a c
=-=,据此求出e =
2
2
,选B 。 (2)21
;解析:由题意知过F 1且垂直于x 轴的弦长为a b 22,
∴c c a a b -=222,∴c a 12=,∴21=a c ,即e =2
1
。 点评:本题重点考查了椭圆的基本性质。 例4.(1)(2000京皖春,9)椭圆短轴长是2,长轴是短轴的2倍,则椭圆中心到其准线距离是( )
A.
4
3
B.
55
4
C.
35
8
D.
33
4 (2)(1998全国理,2)椭圆3
122
2y x +=1的焦点为F 1和F 2,点P 在椭圆上.如果线段PF 1的中点在y 轴上,那么|PF 1|是|PF 2|的( )
A.7倍
B.5倍
C.4倍
D.3倍
解析:(1)D ;由题意知a =2,b =1,c =3,准线方程为x =±c
a 2,
∴椭圆中心到准线距离为
3
3
4. (2)A ;不妨设F 1(-3,0),F 2(3,
0)由条件得P (3,±23),即|PF 2|=23,|PF 1|=2
147,因此|PF 1|=7|PF 2|,故选A 。
点评:本题主要考查椭圆的定义及数形结合思想,具有较强的思辨性,是高考命题的方向。
题型3:双曲线的方程
例5.(1)已知焦点12(5,0),(5,0)F F -,双曲线上的一点P 到12,F F 的距离差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程;
(2)求与椭圆
22
1255
x y +=
共焦点且过点的双曲线的方程; (3)已知双曲线的焦点在y 轴上,并且双曲线上两点12,P P 坐标分别为
9
(3,2),(,5)4
-,求双曲线的标准方程。
解析:(1)因为双曲线的焦点在x 轴上,所以设它的标准方程为
22
221x y a b
-=(0,0)a b >>, ∵26,210a c ==,∴3,5a c ==,∴222
5316b =-=。
所以所求双曲线的方程为
22
1916
x y -=; (2)椭圆
22
1255
x y +=的焦点
为-,可以设双曲线的方程为22221x y a b
-=,则22
20a b +=。
又∵过点,∴22182
1a b
-=。
综上得,22
20a b =-=
221=。 点评:双曲线的定义;方程确定焦点的方法;基本量,,a b c 之间的关系。
(3)因为双曲线的焦点在y 轴上,所以设所求双曲线的标准方程为22
2
21(0,0)y x a b a b
-=>>①; ∵点12,P P 在双曲线上,∴点12,P P 的坐标适合方程①。
将9(3,,5)4-
分别代入方程①中,得方程组:22
2
2222(319()
2541
a
b a
b ?--=????-=?? 将21a 和21b 看着整体,解得221116
119
a b ?=????=??,
∴2216
9
a b ?=??=??即双曲线的标准方程为221169y x -=。 点评:本题只要解得22
,a b 即可得到双曲线的方程,没有必要求出,a b 的值;在求解的
过程中也可以用换元思想,可能会看的更清楚。
例6.(06上海卷)已知双曲线中心在原点,一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5:4,则双曲线的标准方程是____________________.
解析:双曲线中心在原点,一个顶点的坐标为(3,0),则焦点在x 轴上,且a=3,焦距与
虚轴长之比为5:4,即:5:4c b =,解得5,4c b ==,则双曲线的标准方程是22
1916
x y -=; 点评:本题主要考查双曲线的基础知识以及综合运用知识解决问题的能力。充分挖掘双曲线几何性质,数形结合,更为直观简捷。 题型4:双曲线的性质
例7.(1)(06福建卷)已知双曲线122
22=-b
y a x (a >0,b <0)的右焦点为F ,若过点F 且
倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是
( )
A.( 1,2)
B. (1,2)
C.[2,+∞]
D.(2,+∞)
(2)(06湖南卷)过双曲线M:2
2
21y x b
-=的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲
线M 的两条渐近线分别相交于B 、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M 的离心率是 ( )
C.
3
D.2
(3)(06陕西卷)已知双曲线x 2a 2 - y 22 =1(a>2)的两条渐近线的夹角为π
3 ,则双曲线的离心率
为( )
A.2
B. 3
C.263
D.23
3
解析:(1)双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ,若过点F 且倾斜角为60o 的
直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率
b
a
, ∴ b
a
≥3,离心率e 2=22222c a b a a +=
≥4,∴ e ≥2,选C 。 (2)过双曲线1:222
=-b y x M 的左顶点A (1,0)作斜率为1的直线l :y=x -1, 若l 与
双曲线M 的两条渐近线22
20y x b
-=分别相交于点1122(,),(,)B x y C x y , 联立方程组代入
消元得22
(1)210b x x -+-=,
∴ 122
1222111x x b x x b ?
+=??-???=?-?
,x 1+x 2=2x 1x 2,
又||||BC AB =,则B 为AC 中点,2x 1=1+x 2,代入解得1214
12
x x ?=????=-??,
∴ b 2=9,双曲线
M 的离心率e=10c
a
=,选A 。
(3)双曲线22212
x y a -=(a >2)的两条渐近线的夹角为π
3 ,则23tan 63a π==,∴
a 2=6,双曲线的离心率为23
3
,选D 。
点评:高考题以离心率为考察点的题目较多,主要实现c b a ,,三元素之间的关系。
例8.(1)(06江西卷)P 是双曲线22
x y 1916
-=的右支上一点,M 、N 分别是圆(x +5)
2+y 2=4
和(x -5)2+y 2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为( ) A. 6 B.7 C.8 D.9
(2)(06全国卷I )双曲线2
2
1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍,则m = A .14-
B .4-
C .4
D .1
4
(3)(06天津卷)如果双曲线的两个焦点分别为)0,3(1-F 、)0,3(2F ,一条渐近线方程为x y 2=
,那么它的两条准线间的距离是( )
A .36
B .4
C .2
D .1 解析:(1)设双曲线的两个焦点分别是F 1(-5,0)与F 2(5,0),则这两点正好是两圆的圆心,当且仅当点P 与M 、F 1三点共线以及P 与N 、F 2三点共线时所求的值最大,此时|PM|-|PN|=(|PF 1|-2)-(|PF 2|-1)=10-1=9故选B 。
(2)双曲线2
2
1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍,∴ m<0,且双曲线方程为
2214
x y -+=,∴ m=1
4-,选A 。
(3)如果双曲线的两个焦点分别为)0,3(1-F 、)0,3(2F ,一条渐近线方程为x y 2=
,
∴ 229
2a b b a
?+=?
?=?
?,解得2236a b ?=?=?,所以它的两条准线间的距离是222a c ?=,选C 。 点评:关于双曲线渐近线、准线及许多距离问题也是考察的重点。 题型5:抛物线方程
例9.(1))焦点到准线的距离是2;
(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),求它的标准方程。
解析:(1)y 2
=4x ,y 2
=-4x ,x 2
=4y ,x 2
=-4y ;
方程是x 2
=-8y 。
点评:由于抛物线的标准方程有四种形式,且每一种形式中都只含一个系数p ,因此只
要给出确定p 的一个条件,就可以求出抛物线的标准方程。当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后,它的标准方程就唯一确定了;若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定,则所求的标准方程就会有多解。 题型6:抛物线的性质
例10.(1)(06安徽卷)若抛物线2
2y px =的焦点与椭圆22
162
x y +=的右焦点重合,则p 的值为( )
A .2-
B .2
C .4-
D .4 (2)(浙江卷)抛物线2
8y x =的准线方程是( )
(A) 2x =- (B) 4x =- (C) 2y =- (D) 4y =- (3)(06上海春)抛物线x y 42=的焦点坐标为( )
(A ))1,0(. (B ))0,1(. (C ))2,0(. (D ))0,2(
解析:(1)椭圆22
162
x y +=的右焦点为(2,0),所以抛物线22y px =的焦点为(2,0),则4p =,故选D ;
(2)2p =8,p =4,故准线方程为x =-2,选A ;
(3)(直接计算法)因为p=2 ,所以抛物线y 2=4x 的焦点坐标为 。应选B 。
点评:考察抛物线几何要素如焦点坐标、准线方程的题目根据定义直接计算机即可。
例11.(1)(全国卷I )抛物线2
y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是( ) A .
43 B .75 C .8
5
D .3 (2)(2002全国文,16)对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件: ①焦点在y 轴上; ②焦点在x 轴上;
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6; ④抛物线的通径的长为5;
⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1)。 (3)(2001广东、河南,10)对于抛物线y 2=4x 上任意一点Q ,点P (a ,0)都满足|PQ |≥|a |,则a 的取值范围是( )
A.(-∞,0)
B.(-∞,2]
C.[0,2]
D.(0,2)
能使这抛物线方程为y 2=10x 的条件是 .(要求填写合适条件的序号) 解析:(1)设抛物线2
y x =-上一点为(m ,-m 2),该点到直线4380x y +-=的距离
为2|438|5
m m --,当m=32时,取得最小值为43,选A ;
(2)答案:②,⑤
解析:从抛物线方程易得②,分别按条件③、④、⑤计算求抛物线方程,从而确定⑤。 (3)答案:B
解析:设点Q 的坐标为(42
y ,y 0),
由 |PQ |≥|a |,得y 02+(4
2
y -a )2≥a 2.
整理,得:y 02(y 02+16-8a )≥0, ∵y 02≥0,∴y 02+16-8a ≥0.
即a ≤2+820y 恒成立.而2+8
2
0y
的最小值为2.
∴a ≤2.选B 。
点评:抛物线问题多考察一些距离、最值及范围问题。
五.思维总结
在复习过程中抓住以下几点:
(1)坚持源于课本、高于课本,以考纲为纲的原则。高考命题的依据是《高考说明》.并明确考点及对知识点与能力的要求作出了明确规定,其实质是精通课本,而本章考题大多数是课本的变式题,即源于课本,因此掌握双基、精通课本是关键;
(2)在注重解题方法、数学思想的应用的同时注意一些解题技巧,椭圆、双曲线、抛物线的定义揭示了各自存在的条件、性质及几何特征与圆锥曲线的焦点、焦半径、准线、离心率有关量的关系问题,若能用定义法,可避免繁琐的推理与运算;
(3)焦半径公式:抛物线上一点P (x 1,y 1),F 为抛物线的焦点,对于四种抛物线的焦半径公式分别为(p >0):
221122112:;2:222:;2:22
p
p y px PF x y px PF x p
p x py PF y x py PF y ==+
=-=-+==+=-=-+