高等代数重点的技巧总结共35页
学习高等代数应掌握的主要方法
1. 带余除法（多项式除多项式） 2. 综合除法 3. 辗转除法 4. 关于最大公因式的常用证明方法（两种） 5. 关于多项式互素的常用证明方法（两种） 6. 多项式有无重因式的判别法 7. 整系数多项式在有理数域上不可约的艾森 施坦因判别法 8. 有理系数多项式的有理根的求法
三、利用参照物： 1. n维向量空间中任何n+1个向量都线性相关；
2. 如果向量组 1 , 2 , , m 中的每个向量都可 由向量组 1 , 2 , , s 线性表示，并且 m s ,
那么 1 , 2 , , m 线性相关； 3. 如果一个向量组的秩小于（等于）它所含向量 的个数，那么这个向量组线性相关（无关）.
第三章 行列式
1. 2. 3. 4项及其符号的方法； 计算行列式的方法； 克莱姆法则; 齐次线性方程组有非零解的判断方法.
第四章 向量空间
1. 判断向量组线性相关（无关）的方法； 2. 求向量组的极大无关组与秩的方法； 3. 求向量空间的基、维数、某向量关于指定基 的坐标的方法； 4. 在有限维向量空间V中，把一个线性无关的 向量组扩充成V的一个基的方法.
四、 F n 中的n个向量线性相关（无关） 的充分必要条件是以它们为行（列）构成的行 列式等于零（不等于零）. n F 中的m个向量线性相关（无关）的充分 必要条件是以它们为系数列向量的齐次线性方 程组有非零解（只有零解）.
附：判断向量组线性相关（无关）的方法
一、根据定义． 二、利用向量组内部的关系 1. 单个向量 线性相关的充分必要条件是 =0； 2. 两个向量线性相关的充分必要条件是二者成比 例； 3.两个以上 (含两个)向量线性相关的充分必要条件 是其中至少有一个向量是其余向量的线性组合; 4. 如果一个向量组中有一部分向量线性相关，那 么这个向量组线性相关; 5. 含有零向量的向量组线性相关.
高等代数知识点总结
特殊行列式的计算方法
二阶行列式
一般形式为a11a22-a12a21，计算方法为 将a11和a22相乘，然后减去a12和a21的乘 积。
三阶行列式
一般形式为 a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32a13a22a31-a12a21a33-a11a23a32，计 算方法为将每一项都按照这个公式进行展开 ，然后将各项相加即可得到结果。
3
互换行列式的两行(列)，行列式的值变号，即 |...|=|-...|。
行列式的定义与性质
01
若行列式的某行(列)所有元素都是两数乘积，则可以对该行(列) 进行拆项，拆项后行列式的值不变。
02
若行列式的某行(列)所有元素都是同一个数，则可以对该行(列)
进行提公因式，提公因式后行列式的值不变。
若行列式的两行(列)对应元素互为相反数，则可以对该行(列)进
线性变换可以用于图像旋转，通 过矩阵乘法可以实现图像的旋转 。
线性变换可以用于图像剪切，通 过矩阵乘法可以实现图像的剪切 。
二次型在经济分析中的应用
要点一
投入产出模型
要点二
经济均衡模型
二次型可以用于描述投入产出模型，通过求解二次型的特 征值可以得到经济的平衡状态。
二次型可以用于描述经济均衡模型，通过求解二次型的特 征值可以得到经济的均衡状态。
03
线性变换的运算
两个线性变换的加法定义为对应元素之间的加法运算；数与线性变换的
乘法定义为数乘运算；两个线性变换的乘法定义为对应元素之间的乘法
运算。
线性变换的矩阵表示
线性变换的矩阵表示
设V是数域P上的线性空间，T是V的线性变换，对于V中 的任意一组基ε1,ε2,...,εn，有 $T(α)=T(ε1α1+ε2α2+...+εnαn)=T(ε1α1)+T(ε2α2)+... +T(εnαn)=ε1T(α1)+ε2T(α2)+...+εnT(αn)$，则称矩阵 A=(T(α1),T(α2),...,T(αn))为线性变换T关于基ε1,ε2,...,εn 的矩阵表示。
高等代数知识点总结
f : A B, a f (a).
如果 f (a) b B ，则 b 称为 a 在 f 下的像， a 称为 b 在 f 下的原像。 A 的所有元素
称为矩阵的行（列）初等变换。
定义（齐次线性方程组） 数域 K 上常数项都为零的线性方程组称为数域 K 上的齐次
线性方程组。 这类方程组的一般形式是
a11x1 a12 x2 a1n xn 0, a12 x1 a22 x2 a2n xn 0, ...... am1x1 am2 x2 amn xn 0.
f (x) a0 (x 1 )(x 2 )......(x n ) 证明 利用高等代数基本定理和命题 1.3，对 n 作数学归纳法。
2．高等代数基本定理的另一种表述方式
定义 设 K 是一个数域， x 是一个未知量，则等式
a0 x n a1 x n1 ...... an1 x an 0
命题 变元个数大于方程个数的齐次线性方程组必有非零解； 证明 对变元个数作归纳。 说明 线性方程组的解的存在性与数域的变化无关（这不同于高次代数方程）。事实上， 在（通过矩阵的初等变换）用消元法解线性方程组时，只进行加、减、乘、除的运算。如果
所给的是数域 K 上的线性方程组，那么做初等变换后仍为 K 上的线性方程组，所求出的解 也都是数域 K 中的元素。因此，对 K 上线性方程组的全部讨论都可以限制在数域 K 中进行。
命题 n 次代数方程在复数域C内有且恰有 n 个根（可以重复）。
命题（高等代数基本定理的另一种表述形式）给定C上两个n次、m次多项式
高等代数知识点总结课件
二阶行列式计算较为简单，直接按照定义进行计算即可。三 阶行列式可以利用代数余子式展开，也可以利用对角线法则 进行计算。高阶行列式可以利用递推法或化简法进行计算。
矩阵的秩的定义与性质
总结词
矩阵的秩是矩阵中线性无关的行（或列） 向量的个数，具有一些重要的性质。
VS
详细描述
矩阵的秩具有一些重要的性质，如秩的传 递性、秩的唯一性、秩的性质等。矩阵的 秩可以用来判断线性方程组的解的情况， 如当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时， 线性方程组有解。
利用秩判断线性方程组解的情况
总结词
利用矩阵的秩可以判断线性方程组解的情况。
详细描述
当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时，线性 方程组有解；当系数矩阵的秩小于增广矩阵 的秩时，线性方程组无解；当系数矩阵的秩 大于增广矩阵的秩时，线性方程组有无穷多 解。此外，利用矩阵的秩还可以判断线性方 程组解的个数和类型。
逆矩阵的性质
逆矩阵是唯一的；逆矩阵与原矩阵的乘积为单位矩阵；逆矩阵的逆矩阵是原矩阵。
逆矩阵的求法
高斯消元法、伴随矩阵法、初等变换法等。
线性方程组的解法
高斯消元法
将增广矩阵转化为上三角矩阵，从而得到解。
回带求解
将得到的上三角矩阵的解回代到原方程组中， 得到未知数的值。
克拉默法则
当方程组系数行列式不为0时，可以用克拉默 法则求解唯一解。
准型有助于简化二次型的计算和性质研究。
二次型的正定性判断
总结词
正定性判断是确定二次型是否为正定的过程， 正定的二次型具有一些重要的性质。
详细描述
正定性判断是二次型研究中的一个重要问题。 一个二次型被称为正定的，如果它对应于一 个正定矩阵。正定的二次型具有一些重要的 性质，如存在唯一的极小值点，且该极小值 点是全局最小值点。此外，正定的二次型还 具有一些几何意义，如对应于一个凸多面体
高等代数知识点总结
分块三角矩阵的行列式
Cauchy-Binet 公式
Vandermonde 行列式
定义
性质
*
*
分块三角形行列式
Laplace定理 (按第i1,...,ik行展开)
Cauchy-Binet公式 设U是m×n矩阵, V是n×m矩阵, m≥n, 则
*
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重要结论： 带余除法定理 对于任意多项式f(x)和非零多项式g(x)，有唯一的q(x)和r(x)使得 f(x)=g(x)q(x)+r(x)，r(x)=0或degr(x)<degg(x). 最大公因式的存在和表示定理 任意两个不全为0的多项式都有最大公因式，且对于任意的最大公因式d(x)都有u(x)和v(x)使得 d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x) 互素 f(x)和g(x)互素有u(x)和v(x)使得 f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.
向量组等价：
S和T等价，即S,T可以互相表示 S,T的极大无关组等价 S,T的秩数相等，且其中之一可由另一表示
对于向量组S，T，下列条件等价
线性相关与线性表示： 1,...,r线性相关当且仅当其中之一可由其余的线性表示 若,1,...,r线性相关,而1,...,r线性无关,则可由1,...,r线性表示,且表法唯一
A,B等价有可逆矩阵P,Q使得A=PBQ 每个秩数为r的矩阵都等价于
矩阵等价
*
可逆矩阵vs列满秩矩阵
对于n阶矩阵A,下列条件等价 A是可逆矩阵 |A|0 秩A=n 有B使得AB=I或BA=I A是有限个初等矩阵之积 A(行或列)等价于I A的列(行)向量组线性无关 方程组Ax=0没有非零解 对任意b,Ax=b总有解 对某个b,Ax=b有唯一解 A是可消去的(即由AB=AC或BA=CA恒可得B=C) 对于m×r矩阵G,下列条件等价 G是列满秩矩阵, G有一个r阶的非零子式 秩G=列数 G有左逆,即有K使得KG=I 有矩阵H使得(G, H)可逆 G行等价于 G的列向量组线性无关 方程组Gx=0没有非零解 对任意b,若Gx=b有解则唯一 对某个b,Gx=b有唯一解 G是左可消去的(即由GB=GC恒可得B=C)
(完整版)高等代数知识点归纳
1122,,0,.i j i j in jn A i j a A a A a A i j ⎧=⎪++=⎨≠⎪⎩L==()mn A O A A O A BO BO BBO A AA B B O B O*==**=-1(1)211212112111()n n nnn n n n n n n a Oa a a a a a a Oa O---*==-K N N 1范德蒙德行列式：()1222212111112n i j nj i nn n n nx x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L111代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ijij ij M A A M ++=-=-分块对角阵相乘：11112222,A B A B A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒11112222A B AB A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1122nn n A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭分块矩阵的转置矩阵：TTT TT A B A C C D BD ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1121112222*12n Tn ijn n nn A A A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭LL M M M L ，ij A 为A 中各个元素的代数余子式. **AA A A A E ==,1*n A A -=, 11A A --=.分块对角阵的伴随矩阵：***A BA B AB ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111A B BA---⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 1231111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3211111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭矩阵的秩的性质：① ()A O r A ≠⇔≥1; ()0A O r A =⇔=;0≤()m n r A ⨯≤min(,)m n④ ()(),,()0m n n s r A r B n A B r AB B Ax ⨯⨯+≤⎧=⇒⎨=⎩若若0的列向量全部是的解⑤ ()r AB ≤{}min (),()r A r B⑥ 若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===； 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.⑦ 若()()()m n Ax r AB r B r A n AB O B O A AB AC B C ο⨯⇔=⎧⎪=⎧⎪=⎨⎪⇒=⇒=⎧⎨⎪⎨⎪⎪=⇒=⎩⎩⎩ 只有零解在矩阵乘法中有左消去律；若()()()n s r AB r B r B n B ⨯=⎧=⇒⎨⎩ 在矩阵乘法中有右消去律.⑧ ()rr E O E O r A r A A OO OO ⎛⎫⎛⎫=⇒⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭若与唯一的等价，称为矩阵的等价标准型. ⑨ ()r A B ±≤()()r A r B +, {}max (),()r A r B ≤(,)r A B ≤()()r A r B +⑩ ()()A O O A r r A r B O B B O ⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()()A C r r A r B O B ⎛⎫≠+ ⎪⎝⎭①n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1. ③(,)0αβ=. 记为：αβ⊥④21ni i a α====∑⑤1α==. 即长度为1的向量.内积的性质：① 正定性② 对称性③ 线性性12n A λλλ=L 1ni A λ=∑tr ，A tr 称为矩阵A 特征值与特征向量的求法(1) 写出矩阵A 的特征方程0A E λ-=，求出特征值i λ. (2) 根据()0i A E x λ-=得到 A 对应于特征值i λ的特征向量.设()0i A E x λ-=的基础解系为 12,,,i n r ξξξ-L 其中()i i r r A E λ=-. 则A 对应于特征值i λ的全部特征向量为1122,i i n r n r k k k ξξξ--+++L 其中12,,,in r k k k -L 为任意不全为零的数.3. ①1P AP B -= （P 为可逆矩阵）②1P AP B -= （P 为正交矩阵）③A 与对角阵Λ相似.（称Λ是A 7. 矩阵对角化的判定方法① n 阶矩阵A 可对角化 (即相似于对角阵) 的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量. 这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵，1P AP -为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征值. 设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有：121n P AP λλλ-⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭O .② A 可相似对角化⇔()i i n r E A k λ--=，其中i k 为i λ的重数⇔A 恰有n 个线性无关的特征向量.○注：当iλ=0为A 的重的特征值时，A 可相似对角化⇔i λ的重数()n r A =-=Ax ο=基础解系的个数.③ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值⇒A 可相似对角化. 正交矩阵 T AA E =③ 正交阵的行列式等于1或-1； ⑤ 两个正交阵之积仍是正交阵；⑥ A 的行（列）向量都是单位正交向量组.施密特正交规范化 123,,ααα线性无关,112122111313233121122(,)(,)(,)(,)(,)(,)βααββαβββαβαββαββββββ=⎧⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=--⎪⎩正交化单位化：111βηβ= 222βηβ= 333βηβ=1. ① 二次型 11121121222212121112(,,,)(,,,)n n n n Tn ij i j n i j n n nn n a a a x a a a x f x x x a x x x x x x Ax a a a x ==⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑L L L L L L L L L L其中A 为对称矩阵，12(,,,)T n x x x x =L② A 与B 合同 TC AC B =. （,,A B C 为实对称矩阵为可逆矩阵）求C (A I)→(B C^T) 这个变换先进行行变换 再进行一致的列变换 最后 求得C 和C^T③ 正惯性指数 二次型的规范形中正项项数p 负惯性指数二次型的规范形中负项项数r p - ④ 两个矩阵合同⇔它们有相同的正负惯性指数⇔他们的秩与正惯性指数分别相等. ⑤ 两个矩阵合同的充分条件是：A 与B 等价 ⑥ 两个矩阵合同的必要条件是：()()r A r B =2. 12(,,,)Tn f x x x x Ax =L 经过合同变换可逆线性变换x Cy = 化为21ni i f d y =∑标准形.① 正交变换法② 配方法（1）若二次型含有i x 的平方项，则先把含有i x 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行， 直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形;（2） 若二次型中不含有平方项，但是0ij a ≠ (i j ≠), 则先作可逆线性变换()1,2,,,i i j j i jkk x y y x y y k n k i j x y=-⎧⎪=+=≠⎨⎪=⎩L 且,3.12,,,n x x x L 不全为零，12(,,,)n f x x x >L 0.正定二次型对应的矩阵.4. ()Tf x x Ax =为正定二次型⇔（之一成立）： （1） x ο∀≠ ，Tx Ax >0； （2）A 的特征值全大于0； （3）f 的正惯性指数为n ； （4）A 的所有顺序主子式全大于0；（5）A 与E 合同，即存在可逆矩阵C 使得TC AC E =； （6）存在可逆矩阵P ，使得TA P P =；(),nT A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==⇔∀≠≠≠⇔∀∈=≅可逆的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ，0总有唯一解 是正定矩阵 R 12,s iA p p p p nB AB E AB E⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪=⋅⋅⋅⎪==⎪⎩ 是初等阵存在阶矩阵使得 或 ()A r A n A A A Ax A ολ<=⇔==不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩特征向量。
知识点总结高等代数
第二章行列式知识点总结一行列式定义1、n 级行列式111212122212n n ij nn n nna a a a a a a a a a =1等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积1212n j j nj a a a 2的代数和,这里12n j j j 是一个n 级排列;当12n j j j 是偶排列时,该项前面带正号；当12n j j j 是奇排列时,该项前面带负号,即：1212121112121222()1212(1)n n nn n j j j ij j j nj nj j j n n nna a a a a a a a a a a a a τ==-∑;2、等价定义121212()12(1)n n ni i i ij i i i n ni i i a a a a τ=-∑和121211221212()()(1)n n n n n ni i i j j j ij i j i j i j ni i i j j j a a a a ττ+=-∑和3、由n 级排列的性质可知,n 级行列式共有!n 项,其中冠以正号的项和冠以负号的项不算元素本身所带的负号各占一半;4、常见的行列式1上三角、下三角、对角行列式 2副对角方向的行列式 3范德蒙行列式：二、行列式性质1、行列式与它的转置行列式相等;2、互换行列式的两行列,行列式变号;3、行列式中某一行列中所有的元素都乘以同一个数,等于用这个数乘以此行列式;即：某一行列中所有的元素的公因子可以提到整个行列式的外面;4、若行列式中有两行成比例,则此行列式等于零;5、若某一行列是两组数之和,则这个行列式等于两个行列式之和,而这两个行列式除这一行列以外全与原来行列式的对应的行列一样;6、把行列式某一行列的各元素乘以同一数然后加到另一行列对应的元素上,行列式不变;三、行列式的按行列展开1、子式1余子式：在n 级行列式ij D a =中,去掉元素ij a 所在的第i 行和第j 列后,余下的n-1级行列式称为ij a 的余子式,记作ij M ;2代数余子式：(1)i j ij ij A M +=-称为ij a 的代数余子式;3k 级子式：在n 级行列式ij D a =中,任意选定k 行和k 列(1)k n ≤≤,位于这些行列交叉处的2k 个元素,按原来顺序构成一个k 级行列式M,称为D 的一个k 级子式;当()k n <时,在D 中划去这k 行和k 列后余下的元素按照原来的次序组成的n k -级行列式M '称为k 级子式M 的余子式;2、按一行列展开1行列式任一行列的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值,即 按第i 行展开1122(1,2,,);i i i i in in D a A a A a A i n =+++= 按第j 列展开1122(1,2,,);j j j j nj nj D a A a A a A j n =+++=2行列式某一行列的元素与另一行列的对应元素的代数余子式乘积之和等零,即11220();i j i j in jn a A a A a A i j +++=≠或11220,().i j i j ni nj a A a A a A i j +++=≠3、按k 行k 列展开拉普拉斯定理：在n 级行列式中,任意取定k 个行k 列(11)k n ≤≤-,由这k 行k 列元素组成的所有的k 级子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式的值; 4、其他性质1设A 为n 阶方阵,则A A '=； 2设A 为n 阶方阵,则n kA k A =；3设,A B 为n 阶方阵,则AB A B =,但A B A B ±≠±； 4设A 为m 阶方阵,设B 为n 阶方阵,则00A A AB BB*==*,但A B A B ±≠±;5行列式的乘法定理：两个n 级行列式乘积等于n 级行列式四、行列式的计算1、计算行列式常用方法：定义法、化三角形法、递推法、数学归纳法、拉普拉斯定理等等;具体计算时需要根据等到式中行或列元素的特点来选择相应的解题方法;方法一：递推法分为直接递推法和间接递推法;用直接递推法的关键是找出一个关于1n D -的代数式来表示n D ,依次从1234n D D D D D →→→→,逐级递推便可以求出n D 的值;方法二：数学归纳法;第一步发现和猜想；第二步证明猜想的正确性;第二步的关键是首先要得到n D 关于1n D -和2n D -的递推关系式;方法三：加边法;加边法是将所要计算的n 级行列式适当地添加一行一列或m 行m 列得到一个新的n+1或m+1级行列式,保持行列式的值不变,但是所得到的n+1或m+1级行列式较易计算;其一般做法如下：11111111111100n nn n n n n a a a a a a a a a a =或111111111111100nn nn n n a a b a a a a b a a =特殊情况取121n a a a ===或121n b b b ===;方法四：拆行列法;将所给的行列式拆成两上或若干个行列式之和,然后再求行列式的值;拆行列法有两种情况：一是行列式中有某行列是两项之和,可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行列没有两项和形式,这时需作保持行列式值不变,使其化为两项和;方法五：析因子法;如果行列式D 中有一些元素是变数x 或某个参变数的多项式,那么可以将行列式D 当作一个多项式()f x ,然后对行列式()f x 实行某些变换,求出()f x 的互素的一次因式,使得()f x 与这些因式的乘积()g x 只相差一个常数因子c,根据多项式相等的定义,比较()f x 与的()g x 某一项系数,求出c 值,便可求得()D cg x =;2、行列式计算中常用的类型：类型一：“两条线”型行列式非零元分布在两条线上,例如,*等等;注：“两条线”型行列式一般采取直接展开降阶法计算,或用拉普拉斯定理展开,降阶后的行列式或为三角形行列式,或得到一个递推公式; 类型二：“三条线”行列式非零元分布在三条线上; 1“三对角”行列式,;注：“三对角”行列式可以按如下方法进行求解;首先得到一个一般的递推公式12n n n D pD qD --=+,然后可以用以下两种方法之一求出n D 的表达式：先计算123,,D D D 等,找出规律进行猜想,然后再用数学归纳法进行证明;间接递推法：借助于行列式中元素的对称性,交换行列式构造出关于n D 和1n D -的方程组,从而消去1n D -就可解得n D ;2“爪型”行列式;注：“爪型”行列式可以按行列提取公因子,然后化为上下三角形行列式进行求解;3Hessenerg型行列式;类型三：各行列元素之和相等或多数相等仅个别不相等的行列式; 注：行加法或列加法再化为三角形行列式进行求解;类型四：除主对角线外其余元素相同或成比例型行列式; 注：拆行列法或再结合其他方法进行求解; 类型五：可利用范德蒙行列式计算的行列式; 类型六：其他形式行列式;五、克莱姆法则1、克莱姆法则：如果含有n 个未知量的n 个方程的线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的系数行列式不等于零,即111110nn n a a D a a =≠, 则方程组有唯一解： 其中(1,2,)j D j n =是把系数行列式D 中第j 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n 级行列式;2、含n 个未知量的n 个方程的齐次线性方程组111122121122221122000n n n nn n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩只有零解的充要条件是系数行列式0D ≠；有非零解的充要条件是系数行列式0.D =。
天津市考研数学复习资料高等代数重点知识总结
天津市考研数学复习资料高等代数重点知识总结高等代数是数学专业考研中的一门重要课程，也是数学学科中的核心内容之一。
它是一门研究向量空间、线性变换、线性方程组等代数结构的学科，对于培养数学思维和解决实际问题具有重要的意义。
以下是天津市考研数学复习资料中关于高等代数的重点知识总结。
一、向量空间及其基本性质向量空间是研究向量之间线性组合和代数运算的一种数学结构。
主要包括向量空间的定义、零向量的存在性、向量加法和数量乘法的封闭性等基本性质。
向量空间中的向量可以进行加法和数量乘法的运算，并满足相应的运算规则。
二、线性变换及其性质线性变换是指保持向量空间中向量加法和数量乘法运算规则的映射。
线性变换具有保持零向量不变、保持向量加法运算和数量乘法运算的线性性质。
线性变换可以通过矩阵的方式进行表示，并具有一些重要的性质，如线性变换的线性性、线性变换的可逆性等。
三、线性方程组线性方程组是一组关于未知量的线性方程的集合。
研究线性方程组的主要内容包括解的存在唯一性、向量空间的维数、线性方程组的解集结构等。
解线性方程组的方法主要有高斯消元法、矩阵法、向量法等。
四、特征值与特征向量特征值和特征向量是研究线性变换或矩阵性质的重要工具。
特征值是线性变换对于某个特定的向量方向的拉伸或压缩，特征向量是在拉伸或压缩下方向不变的向量。
通过求解特征值和特征向量，可以揭示线性变换的一些重要性质，如对角化、相似对角化等。
五、二次型及规范形二次型是一个多项式函数，它的项数为2，且每一项的次数为2。
研究二次型的主要目的是通过合适的变量变换，将二次型化为规范形，以便于分析和求解。
规范形是一种特殊的形式，具有简洁清晰的特性。
六、矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值和特征向量与线性变换的特征值和特征向量具有相似的性质。
矩阵的特征值是矩阵对应的线性变换对某个特定向量方向的拉伸或压缩，特征向量是在拉伸或压缩下方向不变的向量。
求解矩阵的特征值和特征向量是研究和分析矩阵性质的重要方法。
线性代数高等代数知识点总结
• 当c1,...,cr不全为0时，必有c11+...+crr0 • 当c11+...+crr＝0时，必有c1＝...＝cr＝0 • 1,...,r的秩数等于r • (1,...,r)是列满秩矩阵
24
3. 秩A=秩B
4. A，B的标准型相同
18
多角度看可逆阵
n阶方阵A可逆 AB BA E A 0 (非退化阵) Ax 0 只有零解 Ax b 有唯一解
A的行最简形为E. A为初等阵的乘积
r A n (满秩) A的行(列)向量组的秩都是n.
原向量组一个极大无关组
第一等价链
r( A) n（满秩） A 0 A可逆（非奇异、非退化 ） A的n个行（列）向量线性无 关
齐次线性方程组 非齐次线性方程组
AX o只有零解 AX b有唯一解
第二等价链
r( A) n（不满秩） A 0 A不可逆（奇异、退化） A的n个行（列）向量线性相 关
本章所需掌握的题型：
行列式计算（重点） 1、具体阶数行列式计算 2、较简单的n阶行列式计算
与行列式定义、性质有关的问题
需利用行列式进行判定的问题 如：1、“Crammer”法则判定方程组的解况
2、矩阵可逆性 3、向量组相关性（向量个数＝向量维数） 4、两个矩阵相似的必要条件 5、矩阵正定、半正定的必要条件
1. n元线性方程组Ax=b有解系数矩阵与增广矩阵 的秩数相等. 具体地，
① 当秩A＜秩(A b)时，方程组无解 ② 当秩A＝秩(A b)＝n时，方程组有唯一解 ③ 当秩A＝秩(A b)＜n时，方程组有无穷解
高代数重难点归纳doc
高等代数重难点指导第一章多项式一、重难点归纳与分析(一)基本内容1．一元多项式的基本概念与基本性质：主要讨论数域的概念、一元多项式的定义与运算规律。
2．一元多项式的整除性理论：主要讨论带余除法与余数定理、整除的基本概念与基本性质、最大公因式和互素的基本概念与基本性质。
3．一元多项式的因式分解理论：主要讨论不可约多项式的基本概念与基本性质、因式分解及其唯一性定理、三个特殊数域上的多项式分解。
4．一元多项式的根与重根：主要讨论重因式的定义与性质、多项式的根、多项式根的个数定理。
多元多项式则主要讨论多元多项式的基本概念、字典排列法与对称多项式。
（二）重难点归纳教学重点：整除概念，带余除法及整除的性质，最大公因式、互素、辗转相除法、不可约多项式概念、性质，k重因式与k重根的关系。
；教学难点：因式分解及唯一性定理，多项式根的理论，复（实）系数多项式分解定理，本原多项式，Eisenstein判别法。
二、题型归类与分析本章的基本题型主要有：1．关于一元多项式的基本概念，通常有一元多项式的比较次数法、比较系数法，用以确定多项式的次数及证明有关命题。
2．关于一元多项式整除性理论，通常有多项式整除性的检验、最大公因式的求法、互素的判别、按幂展开等等，可采取综合除法、带余除法、辗转相除法、待定系数法、反证法及利用多项式的整除、最大公因式、互素等定义与性质求证有关命题。
3．关于一元多项式的因式分解理论，通常有多项式的可约性判别、因式分解、重因式的判别等等，可采取艾森斯坦判别法、克龙莱克尔分解法、求有理根的分解法、分离重因式法、辗转相除法以及利用不可约多项式的定义与性质求证有关命题。
4．关于一元多项式的根与重根，通常有根的检验及重根的判别、根与系数的关系以及求多项式的根与重根等等，可利用辗转相除法、结式判别法、分离重因式法、艾森斯坦判别法等进行讨论，以及利用某些基本定理求解。
5．关于多元多项式，通常有对称多项式化初等对称多项式的化法与对称多项式的应用，其中化对称多项式为初等对称多项式的方法主要有公式法、首项消去法及待定系数法；应用对称多项式，可以对具有对称多项式形式的线性方程组求解、进行因式分解、进行恒等式的证明及求多元多项式的零点。
高等代数知识点总结
高等代数知识点总结高等代数是一门研究抽象代数结构的数学学科。
它是线性代数的拓展，主要涉及向量空间、线性变换、矩阵理论、线性方程组、特征值与特征向量、行列式等知识点。
以下是高等代数的主要知识点的总结。
1.向量空间：向量空间是高等代数的核心概念之一、它是一组满足特定性质的向量的集合。
向量空间具有几何和代数两种性质，包括加法、数乘、零向量、负向量等。
2.线性变换：线性变换是一种保持向量空间线性组合关系的变换。
它可以通过矩阵来表示，矩阵的乘法与线性变换的复合运算等价。
线性变换的性质包括保持加法和数乘、保持零向量、保持线性组合等。
3.矩阵理论：矩阵是高等代数中常用的工具，用于表示线性变换、求解线性方程组等。
矩阵具有加法、数乘、乘法等运算规则，还可以求逆矩阵、转置矩阵等。
矩阵的秩、特征值与特征向量等性质也是矩阵理论的重要内容。
4.线性方程组：线性方程组是高等代数中的基本问题之一、它是一组包含线性方程的方程组，可以用矩阵形式表示。
线性方程组的求解可以通过消元法、高斯消元法、矩阵求逆等方法来实现。
5.特征值与特征向量：特征值与特征向量是线性变换的重要性质。
特征值是线性变换在一些向量上的纵向缩放比例，特征向量是特征值对应的非零向量。
特征值与特征向量在很多应用中起到重要作用，如矩阵对角化、求解微分方程等。
6.行列式：行列式是矩阵的一个标量量。
行列式的值代表矩阵所对应的线性变换对单位面积进行的放缩倍数。
行列式具有反对称性、线性性、乘法性等性质，可以用于求解矩阵的逆、计算特征值等。
7.正交性与正交变换：正交性是高等代数中的一个重要概念。
向量空间中的两个向量称为正交，如果它们的内积为零。
正交性和正交变换在几何、物理、信号处理等领域有广泛应用。
8.对称性与对称变换：对称性是高等代数中的一个重要概念。
对称性指的是其中一变换下，物体经过变换后保持不变。
对称性与对称变换在几何、物理、化学等领域有广泛应用。
总结起来，高等代数是一门研究抽象代数结构的学科，主要涉及向量空间、线性变换、矩阵理论、线性方程组、特征值与特征向量、行列式、正交性与正交变换、对称性与对称变换等知识点。
高等代数知识点总结
高等代数知识点总结高等代数是数学中非常重要的一个分支，它涉及到了许多抽象的概念和理论。
在学习高等代数的过程中，我们需要掌握一些基本的知识点，这些知识点对于我们理解和运用高等代数都具有重要的意义。
本文将对高等代数中的一些重要知识点进行总结，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一领域的知识。
首先，我们需要了解高等代数中的一些基本概念。
代数结构是高等代数中的一个重要概念，它包括群、环、域等。
群是一个集合，配上一个二元运算，满足封闭性、结合律、单位元和逆元的性质。
环是一个集合，配上两个二元运算，满足加法封闭性、乘法封闭性、分配律和单位元的性质。
域是一个集合，配上两个二元运算，满足加法和乘法构成交换群的性质。
了解这些代数结构的定义和性质对于我们理解高等代数中的各种代数系统具有重要的意义。
其次，我们需要掌握高等代数中的线性代数知识。
线性代数是高等代数中的一个重要分支，它涉及到向量空间、线性变换、特征值和特征向量等概念。
向量空间是线性代数中的一个重要概念，它包括了一组满足一些性质的向量，例如加法封闭性、数乘封闭性和满足向量空间公理的性质。
线性变换是一个向量空间到自身的映射，它保持了向量空间的线性结构。
特征值和特征向量是线性代数中非常重要的概念，它们在矩阵对角化、矩阵相似等问题中起着重要的作用。
另外，我们还需要了解高等代数中的一些重要定理和结论。
比如，矩阵的特征值和特征向量定理、矩阵的对角化定理、矩阵的相似对角化定理等。
这些定理和结论对于我们理解矩阵的性质和运用矩阵进行计算都具有重要的意义。
最后，我们需要掌握高等代数中的一些重要技巧和方法。
比如，矩阵的运算技巧、线性方程组的解法、矩阵的特征值和特征向量的计算方法等。
这些技巧和方法对于我们解决实际问题和进行高等代数的计算都具有重要的意义。
总之，高等代数是数学中非常重要的一个分支，它涉及到了许多抽象的概念和理论。
在学习高等代数的过程中，我们需要掌握一些基本的知识点，包括代数结构、线性代数、重要定理和结论，以及一些重要的技巧和方法。
高等代数知识点归纳总结
ai\ Ajl + a i2 A/2 + …a in A 加=n （%-Xjj<i^n代数余子式和余子式的关系：Af,=(-1)^4- 分块对角阵相乘：A =AX = A'A = \A\E f |A*|=|4-,, * =|A 「.a2n-\〃（n-l ）（T 尸 4〃的〃 …%范德蒙德行列式:分块对角阵的伴随矩阵:BXAB*|A |, i =j,分块矩阵的转置矩阵:B 、 A21 . A2 ♦4 A,2"丁 c 「、H D\\,4为|川中各个元素的代数余子式.42〃.Ann ）矩阵转置的性质： (A 『)『 = A(AB)T = EFTW)* =(A T矩阵可逆的性质： ⑷尸二AA -1=IT (A-l )k=(A ky' =A-k伴随矩阵的性质： (A*)*=K 2A(AB)* = B*A* A*(川)*=(4*尸=俞W )* =("r(A*) = <n 若r(A) = 〃 1 若 r(A) ="-1 0 若r(A)<〃-1AB =\A\\BA k=A "AA*=A*A = |A]£ (无条件恒成立)(A/x-1 (X \-i/D-i 、％qa\的1矩阵的秩的性质：① A w O <=> r(A) 21; A = O = r(A) = 0 ; 0 r(A wx/J ) < min(m, n)④若A“x”，纥xs ,若 «AB)=。
=> <⑤ r(AB)^min{r(A),r(B)}1 r(A) + r(B)<n〔屈勺列向量全部是Ax = 0的解⑥若P 、。
可逆,⑦若「(4川)=〃, 则r(A) = r(PA) = r(AQ) = r(PAQ)； 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.U>Ar = o 只有零解r( AB) = r(B) • =A 在矩阵乘法中有左消去律[ AB=^B =°^AB = AC n B = C i i[r(AB) = r(5)3在矩阵乘法中有右消去律(F n\⑧若"A) = 〃nA 与唯一的'等价，称1。
高等代数知识点总结精编版
高等代数知识点总结精编版高等代数是数学的一个分支，包括了对抽象代数结构的研究。
它涵盖了一系列的知识点和概念，如线性代数、矩阵论、群论、环论、域论等等。
以下是高等代数的一些重要知识点的总结。
1.线性代数：线性代数是高等代数的基础，涉及向量空间、线性变换、矩阵等概念。
其中，向量空间的概念是线性代数的核心，它包括了向量的加法和数乘运算，并满足一些性质。
线性变换是一种特殊的函数，它保持向量空间的线性结构。
矩阵是线性变换的代数表示，可以通过矩阵乘法来描述线性变换的复合。
2.矩阵论：矩阵论是研究矩阵及其性质的数学分支。
它包括对矩阵的基本运算规则的研究，如矩阵加法、乘法、转置等。
矩阵的秩是一个重要的概念，它描述了矩阵的线性相关性。
矩阵的特征值和特征向量是矩阵论中的另一个关键概念，它们和矩阵的对角化密切相关。
3.群论：群论是一门研究代数结构的分支学科，集中研究代数运算封闭的集合及其运算的性质。
一个群是一个集合，其中包含了一个二元操作，并且满足封闭性、结合律、存在单位元和存在逆元等性质。
群的子群、正规子群、商群等概念在群论中都有重要的应用。
4.环论：环论是研究环及其性质的数学分支。
一个环是一个集合，它包含了两个二元运算，并且满足一些性质，如封闭性、结合律、分配律等。
环的子环、理想、商环等概念在环论中有着重要的应用。
5.域论：域论是研究域及其性质的数学分支。
一个域是一个集合，它包含了两个二元运算，并且满足一些性质，如封闭性、结合律、分配律、存在单位元和存在逆元等。
域的子域、扩域、代数扩张等概念在域论中有着重要的应用。
以上只是高等代数的一部分知识点介绍，其中每个方向都有更详细和深入的内容。
高等代数在数学中有着广泛的应用，如在线性方程组求解、线性回归、图论、密码学等方面都有重要的作用。
对高等代数的学习对于理解和应用数学都具有重要的意义和价值。
高等代数知识点复习资料整理
f
a
p n1 1
p nt t
其中a是非零常数, p1,…,pt, 是互不相同的首一既约多
项式, n1,…,nt是正整数. 进一步,a, p1,…,pt,n1,…,nt由f
唯一确定.
• 重因式
f无重因式当且仅当f与其导式互素.
5
代数学基本定理：
下列陈述等价， 1. 复数域上次数≥1的多项式总有根 2. 复数域上的n次多项式恰有n个根 3. 复数域上的既约多项式恰为一次式 4. 复数域上次数≥1的多项式可分解成一次式之积. 5. 实数域上的次数＞1的既约多项式只有无实根的二
次式 6. 实数域上次数≥1的多项式可分解成一次式和二次
式之积
6
• 复数域上的标准分解定理
在复数域上，每个次数大于1的多项式f都有如下的
标准分解
f
a ( x x1 ) n1 ( x x t ) nt
其中a是f的常数项, x1,…,xt 是f全部互不相同的根, n1,…,nt分别是这些根的重数.
r(AB)≤r(A), r(B) r(AT)=r(A)
伴 随
n, 若r(A)=n
(A*)*=|A|n2A* |A*|=|A|n1 r(A*)= 1, 若r(A)=n-1
0, 若r(A)<n-1
其 它
A-1=|A|-1A*
AA*=A*A=|A|E 当A可逆时，
A*＝|A|A1
定义 性质
若P,Q可逆，则 r(A)=r(PA)=r(AQ)
d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x)
• 互素
f(x)和g(x)互素有u(x)和v(x)使得 f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.
4
• 因式分解唯一定理
考研数学高等代数：重点知识点与解题技巧
矩阵与行列式的典型题型
• 矩阵的加法和减法 • 矩阵的乘法和除法 • 矩阵的转置和逆矩阵 • 行列式的计算和性质 • 矩阵的秩和行列式的值 • 矩阵的相似和合同 • 矩阵的对角化和实对称矩阵 • 矩阵的初等变换和线性方程组 • 矩阵的范数和条件数 • 矩阵的奇异值和特征值
线性方程组的典型题型
多项式的运算与因式分解
添加标题
多项式的加法和减法
添加标题
80
多项式的因式分解
添加标题
因式分解的应用和实例
添加标题
多项式的乘法和除法
添加标题
因式分解的方法和技巧
添加标题
多项式与多项式函数的关系和区 别
多项式函数与泰勒级数
多项式函数： 由多项式组成 的函数
0 1
泰勒级数：将 函数展开为无 穷级数的形式
添加标题
行列式计算：利用行列式的性质 和公式进行计算
添加标题
矩阵的秩：求解矩阵的秩的方法 和技巧
添加标题
矩阵的对角化：求解矩阵的对角 化的方法和技巧
线性方程组求解技巧
项标题
高斯消元法：通过 行变换将系数矩阵 化为阶梯形，然后
进行回代求解
项标题
矩阵法：利用矩阵 的性质和运算法则 求解线性方程组
项标题
度和质量
03
复习方法：采用适合自己的复习方法，如
做题、看书、听课等
04
定期检查：定期检查自己的复习进度和效
果，及时调整复习计划
精选教材与辅导资料
教材推荐：《高等代数》、《线性代数》等 辅导资料推荐：《考研数学复习全书》、《考研数学真题解析》等 视频课程推荐：张宇、汤家凤等名师的考研数学课程 复习策略：先理解基础知识，再通过做题巩固，最后总结解题技巧和思路。
最新高等代数知识点总结
最新高等代数知识点总结高等代数是数学领域中的一门重要基础课程，它涵盖了众多关键的知识点，为后续更深入的数学学习和相关领域的研究提供了坚实的理论基础。
以下是对最新高等代数知识点的详细总结。
一、多项式多项式是高等代数中的重要概念之一。
一个多项式可以表示为＄f(x) ＝ a_n x^n ＋ a_{n-1} x^｛n-1} ＋＼cdots ＋ a_1 x ＋ a_0$ ，其中＄a_i$ 是系数，＄x$ 是变量，＄n$ 是多项式的次数。
多项式的运算包括加法、减法和乘法。
在多项式的乘法中，需要运用分配律和指数法则进行计算。
多项式的整除性是一个关键的概念。
如果存在多项式＄g(x)＄使得＄f(x) ＝ q(x)g(x)＄，则称＄g(x)＄整除＄f(x)＄。
多项式的根是使多项式的值为零的数。
利用代数基本定理，我们知道在复数域上，＄n$ 次多项式有＄n$ 个根（重根按重数计算）。
二、行列式行列式是一个数值，它由方阵的元素按照一定的规则计算得出。
对于二阶行列式，其计算公式为＄＼begin{vmatrix}a ＆ b ＼＼ c ＆d\end{vmatrix} ＝ad bc$ ；对于更高阶的行列式，可以通过按行（列）展开法则进行计算。
行列式具有许多重要的性质，例如：行列式转置后其值不变；某一行（列）乘以一个数加到另一行（列）上，行列式的值不变；交换两行（列），行列式的值变号等。
利用行列式可以求解线性方程组。
如果系数行列式不为零，则线性方程组有唯一解，其解可以通过克莱姆法则求得。
三、矩阵矩阵是一个数表，它可以表示线性变换。
矩阵的运算包括加法、减法、乘法和数乘。
矩阵乘法需要注意其运算规则，一般情况下，矩阵乘法不满足交换律，但满足结合律和分配律。
逆矩阵是一个重要的概念，如果存在矩阵＄B$ 使得＄AB ＝ BA＝ I$ （＄I$ 为单位矩阵），则称＄B$ 是＄A$ 的逆矩阵。
矩阵的秩是矩阵的一个重要数值特征，它表示矩阵中行（列）向量组的线性无关的最大个数。