第二章牛顿运动定律作业

(Motion and Force)
1
内容概要
牛顿运动定律 常见的几种力 牛顿运动定律的应用（重点）
2
牛顿第一定律
牛顿第一定律(Newton’s first Law of Motion) 任何物体都保持静止的或沿一条直线作匀速运动的状
态，除非作用在它上面的力迫使它改变这种状态。
第一定律引进了两个重要概念 » 惯性 (inertia) —— 质点不受力时保持静止或匀速 直线运动状态的性质，其大小用质量量度。
惯性参考系…
常用惯性系
地心参考系：因地球公转，不是惯性系，但a公转很 小，是近似的惯性系,是一般工程上可用的较好的惯
性系。
a公转 610-3 m/s2
太阳参考系是很好的惯性系 在此参考系中描述太阳系中星体的运动时，观察
到的现象与牛顿定律给出的结果精确符合。 现代天文观测：太阳绕我们银河中心公转的法向
v
q
两边积分得 v dv gl cos d
0
0
v 2gl sinq (5)
v
2gl sinq
32
* 例 题 4…
又由(1)、(2)、(3)、(5)式得
T 3mg sinq a g cosq an 2g sinq
故 a an2 a2 g 1 3sin2 q
m1
m2
其中，m1、m2分别称为粒子1、粒子2的（惯性）质量。
由 m1 v2 m2 v1
可看出，m大的物体较难改变运动状态或
速度，m小者较易。
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惯性质量…
若以粒子2作标准，规定其质量为1kg ,则粒子1的 质量为：
m1 m2
v2 v1
m2
v2 kg v1
——质量的操作型定义
W mg
弹性力——发生形变的物体要恢复原状，对与它接触的 物体产生的力。
正压力（支持力）—— 垂直于接触面而指向对方
绳内张力—— 沿着绳而指向绳要收缩的方向
弹簧的弹力： fx kx
O fx
x
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常见的几种力…
摩擦力—— 沿接触面 干摩擦——固体间的摩擦。 » 静摩擦力 0 fs μs N » 滑动摩擦力 fk＝μk N
动量(momentum)——质点的动量等于其质量和速度 的乘积。
p mv
单位：kg•m/s 量纲：LMT-1
9
牛顿第二定律…
牛顿第二定律的数学表达（基本的普遍形式）
F dp d(mv) dt dt
dm v m dv
dt
dt
经典物理学认为，质点的质量与质点的运动状态无关， 所以有以下的牛顿第二定律的常见的数学表达式：
vy

mg k0
k0t
(1 e m
)
y
由 vy

dy dt
及
y0
0，
得:
y(t)

mg k0
t 2m3k202g
k0 t
(e m
1)
例 题 2…
vy

mg k0
k0t
(1 e m
)
y(t)

mg
t

m2 g
k0 t
(e m
1)
k0
k02
第四步：讨论结果 问：当t 时速率为零吗?
26
例 题 3…
根据（1）、（3）、（4）式得出：
a k g (5)
a 为一负常量，所以物块作匀减速曲线运动。
则物块速度为：
v v 0 a t v0 k gt ( 6 )
fk
则物块速率为：v v0 k gt
N2
O
法向加速度与速度之间的关系式为：
an v2 R
m 恒定时
F
ma
Fra Baidu bibliotek10
力的独立作用原理与力的叠加原理
力的独立作用原理：实验表明,如果几个力同时作用于 一质点上，则这些力各自产生自己的效果而互不影响。
力的叠加原理：几个力（分力）同时作用在质点上所产 生的效果与这几个力的矢量和（合力）单独作用时所产 生的效果完全一样。
F Fi F1 F2
质点的静止或匀速直线运动状态，也即没有加速度的状 态就叫做平衡状态。
平衡条件：合力为零， Fi 0 。
i
Fix 0 i
分量形式：
Fiy 0 i
Fiz 0
i
教材P76例题2.1
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常力作用下的直线运动 例题1
在光滑桌面上放置一质量 m1 5.0 kg 的物块，用轻绳 通过一无摩擦轻滑轮将它和另一质量为 m2 2.0 kg 的物
答：t 时的速率称为终极速率，用 vt 表示。
见教材P50。
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质点作曲线运动 例题3
例 在水平桌面上有一质量为m的物块沿一半径为R的圆形 轨道（未画出）作顺时针运动，物块与轨道接触的下底面
与轨道间的滑动摩擦系数为 k （物块侧面与轨道间无摩
擦），物块的初速率为 v0 。
求：t 时刻物块的加速度大小a 、速率v和物块侧面受到轨 道作用力的大小。 分析：属于已知某些力和运动轨迹，求加速度大小、速率 和某些力的问题。
由此，我们可以得到任意物体的（惯性）质量。
8
牛顿第二定律
由前面所述的实验可知：物体运动状态的改变源于相 互作用，即力。m1运动状态变化是由于m2对它的作用， m2运动状态变化是由于m1对它的作用。 牛顿第二定律( Newton’s second Law of Motion )
物体的动量对时间的变化率与所加的外力成正比，并 且发生在这外力的方向上。
解：画出t 时刻物块的受力图。
N1
fk
N2 mg
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例 题 3…
在水平面上建立如图所示的自然坐标系。
根据牛二定律列方程：
fk
fk ma (1)
N2 man
(2)
N2 O
s
竖直方向上物块处于平衡，所以 N1 mg ( 3)
利用滑动摩擦力与支持力之间的关系式有：
fk k N1 ( 4 )
解：某时刻t 夹角为,画此时摆球的
受力图， 如图建立自然坐标系。
lm
q
lm

O
nˆ T s

ˆ mg
30
* 例 题 4…
根据牛二定律列方程：
T mg sin man (1)
mg cos ma
(2)
利用运动学关系式有：
an v2 l
(3)
a dv dt (4)
( 7)
s
27
例 题 3…
则根据（6）、（7）式得到法向加速度为：
an v0 k gt 2 R
( 8)
将（5）、（8）式代入（9）式可得到加速度大小：
a a2 an2 (9)
fk
将（8）式代入（2）式可解得 N2 ： O
N2
N2 mv0 k gt 2 R
s
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加速度 a 1.810-10 m/s2
当今认为最好的惯性系——FK4系。是由选定的 1535个恒星的平均静止位形作为基准的5参考系。
惯性质量
（惯性）质量(mass)
实验：在惯性系中测量 v10、v20、v1 、v2
方法：铺以白纸且调至水平的平台上放置两气垫滑块 （粒子1和粒子2），滑块可等时间间隔地利用高压放 电打火花，在白纸上形成斑点。测量相邻斑点的距离 可确定滑块的速度，斑点的排列方位给出运动方向。 多次改变两滑块的初速度，测量出两滑块的速度增量。
当有几个力同时作用在质点上时，牛顿第二定律的数 表达式为：
Fi ma 11
牛顿第三定律
牛顿第三定律(Newton’s third Law of Motion)
前面所述的实验表明：
v2

v1
m1 m2
v1
所以
lim m2v2 lim m1v1
t0 t
结果表明：只要同样是粒子 1 和粒子2 相碰，不管
v10、v20 如何改变，总 有 v2 v1 。
1
v10 v20
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v1 v2
惯性质量…
即有：
v2
v1
实验表明：只与粒子1和粒子2的本身属性有关，而与
粒子1、粒子2的运动状态无关，我们把这一性质称为 粒子的（惯性）质量。
定义：
分别建立如图所示的两种平面直角坐标系，列式情况各如 何？
x
F
m1
T y
T
m2
21
变力作用下的直线运动 例题2
例 考虑空气阻力的落体运动。
已知：m, vy0 0, y0 0, f阻力 k0v, k0 0，k0为粘滞阻力系数
求：vy (t), y(t)
分析：属于已知力求运动的问题。但某些力是与运动有
例 题 3…
问：若物块与轨道接触的表面均有摩擦，情况又如何？ （物块所受切向力的大小依然为常量吗？） 另：教材习题2.23
29
*例题4
例 单摆在垂直面内摆动。 已知：m, l, v0 0
求: 夹角为q 时摆球的速率 v ,绳中
的张力大小 T 和加速度 a 。
分析：属于已知某些力和运动轨迹， 求速率、加速度和其他力的问题。
关的变量。
O
解：第一步：画质点m的受力图。
f阻
第二步：建立直角坐标系，据牛顿 m
第二定律列方程。
mg
k0vy

m
dvy dt
mg
22
y
例 题 2…
mg

k0vy

m
dvy dt
第三步：解上述微分方程
1.分离变量
2.两边分别积分
vy
dvy
t
dt
0
g

k0 m
vy
0
f阻 O
m
mg
3.得解:
哪些参考系是惯性系呢？
并不存在绝对（精确意义下）的惯性系 只能靠观察和实验来确定 相对已知惯性系静止或作匀速直线运动的参考系也
是惯性系
常用惯性系 地面参考系：因地球自转，不是惯性系，但a自转很 小，是近似的惯性系，是一般工程上可用的惯性
系。
a自转 3.410-2m/s2 4
t0 t
即有 dp2 dp1 dt dt
因为现在只存在粒子1和粒子2的相互作用，所以
F12 F21
12
牛顿第三定律…
第三定律揭示了力的两个性质 成对性—— 物体之间的作用是相互的。 同时性—— 相互作用之间相互依存1，3 同生同灭。
常见的几种力
重力——由于地球吸引而使其表面附近的物体受到的 力。
块相连。若用 F 30 N 的水平力向左拉 m1 ，求两物块
的加速度大小与绳中张力的大小。
分析：分别对于两物块而言，都是已知部分力，如何求 加速度？
问：能否对两物块这 个“整体”应用牛顿 第二定律？
F
T
m1
T
?
m2
T T 20
例 题 1…
问：如何建立坐标系？如何根据牛顿第二定律列出标量式？
lm

O
nˆ T s

ˆ mg
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* 例 题 4…
由（2）、（4）式得：dv g cos
dt
利用chain rule （连锁律）消去dt ：
即
dv ds
ds dt

dv ds
v

g cos
lm

O
Ts

v mg
由于 ds ld , 所以有 v dv gl cos d
湿摩擦——流体间或流体与固体间的摩擦。
» 粘性阻力
v 较小时，f v v 较大时，f v2
v 很大时，f 与v 的高次方成正比。
15
力与运动的关系
物体的受力情 况与初始条件
决定 判断
物体的运动形 式与运动轨迹
16
牛顿定律的应用
牛顿定律的应用
动力学的 两类问题
微分问题：已知运动求力 积分问题：已知力求运动
lm
q an T
a

a mg
tg 1 an tg 1 2g sinq
a
g cosq
注意： 1.上述结果是普遍解适用于任意位置。 2.中学：利用机械能守恒定律求速率。 33
作业
习题：2.2，2.23，2.26
34
桥梁是加速度 a
解题步骤
定对象
看运动
隔离体
画力图
建坐标
列方程
解方程
论结果 17
牛顿定律的应用…
分析综合地运用牛顿定律、运动学规律解题要注意把 握三个环节： 对象分离
分 分 过程分段
研究部分
析
受力分析
时空关系
综 联 依存关系
把握关系
合
因果关系
各个部分
法
合 各个过程
认识整体
各种因素
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牛顿运动定律的应用 质点的平衡
» 力 ( force) —— 物体对物体的作用。
第一定律定义了一种参考系—— 惯性参考系
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惯性参考系
惯性（参考）系(inertial frame) ——在这种参考系中 观察，一个不受力作用的物体将保持静止或匀速直线运 动状态不变。这样的参考系称为惯性（参考）系。 或者：牛顿定律成立的参考系称为惯性（参考）系。