(整理)常见数学思想方法应用举例

常见数学思想方法应用举例

所谓数学思想，就是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性认识.所谓数学方法，就是解决数学问题的根本程序，是数学思想的具体反映.数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学的行为.运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种量的积累达到一定程序时就产生了质的飞跃，从而上升为数学思想.

其实，在初中数学中，许多数学思想和方法是一致的，两者之间很难分割.它们既相辅相成，又相互蕴含.因此，在初中数学教学中，加强学生对数学方法的理解和应用，以达到对数学思想的了解，是使数学思想与方法得到交融的有效方法.比如化归思想，可以说是贯穿于整个初中阶段的数学，具体表现为从未知到已知的转化、一般到特殊的转化、局部与整体的转化，课本引入了许多数学方法，比如换元法，消元降次法、图象法、待定系数法、配方法等。在教学中，通过对具体数学方法的学习，使学生逐步领略内含于方法的数学思想；同时，数学思想的指导，又深化了数学方法的运用.

初中阶段《数学大纲》要求我们了解的常用的基本数学思想有：整体思想与分类的思想、数形结合的思想、化归的思想、函数与方程的思想，抽样统计思想等.

《数学大纲》中要求“了解”的方法有：分类法、类比法、反证法等。要求“理解”或“会应用”的方法有：建模法、待定系数法、消元法、降次法、代入法、加减法、因式分解法、配方法、公式法、换元法、图象法(也称坐标法)以及平行移动法、翻折法等. 1、 整体思想

整体思想是一种常见的数学方法，它把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的有机联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径.往往能起到化繁为简，化难为易的效果.它在解方程的过程中往往以换元法的形式出现.

例1、整体通分法计算11

2

+--x x x

解：原式1

1

11)1)(1(1122--

=----+=--+=x x x x x x x x x 评注：本题若把1,+x 单独通分，则运算较为复杂；一般情况下，把分母为1的整式看作一个整体进行通分，运算较为简便.

例2、整体代入法：（绵阳市05）已知实数a 满足0822=-+a a ，求3

412131

12

22+++-⨯-+-+a a a a a a a 的值。 解：化简得原式2

)1(2+=

a ，由0822=-+a a 得9)1(2=+a ，∴ 原式9

2=.

评注：本题通过整体变形代入，起到降次化简的显著效果.

例3、换元法(温州市05)用换元法解方程(x 2＋x)2＋(x 2＋x)＝6时设x 2

＋x ＝y ，则原方程可变形为（ ）

A 、y 2＋y －6＝0

B 、y 2－y －6＝0

C 、y 2－y ＋6＝0

D 、y 2

＋y ＋6＝0 解：选A

例4、平移法(泸州05改编)如图，在宽为20m ，长为30m 的矩形地面

上修建两条同样宽的道路，余下的耕地面积为551m 2，试求道路的宽x = m

地合并为一个整体，而面积却没有改变，得方程

551)30(20=--x x ）（得=x 2、分类思想

分类思考的方法是一种重要的数学思想，同时也是一种解题策略。在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，按照一定的标准，把有关问题转化为几个部分或几种情况，从而使问题明朗化，然后逐

个加以解决，最后予以总结得出结论的思想方法.

例5、定义分类（潍坊市05）已知圆A 和圆B 相切，两圆的圆心距为8cm ，圆A 的半径为3cm ，则圆B 的半径是（ ）．

A 、5cm

B 、11cm

C 、3cm

D 、5cm 或11cm

解：选D （按定义分内切与外切两种）.

例6、位置分类(资阳市05)若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b (a >b )，则此圆的半径为A 、 2

a b + B 、 2

a b - C 、 2

a b +或2

a b - D 、 a +b 或a -b （ ）

解析：需考虑点P 在圆内与圆外两中情况，选C.

例7、系数分类：（淄博市04改编）若关于x 的0122

=-+x kx 有实数根，则k 的取值范围是 （Ａ）k ＞－1 （Ｂ）k ≥－1 （Ｃ）k ＞－1且k ≠0 （Ｄ）k ≥－1且k ≠0 解：分系数00≠=k k 与两种情况讨论，选B .

例8、运算法则分类（衢州市04改编）根据下图所示的程 序计算函数值，若输出的γ值为2，则输入的χ值为（ ） A 、－2 B 、0 C 、2、－2 D 、2、－2、0 解：选A 。

例9、取值分类：(日照05改编)已知a 、b 满足122

=-a a ，122

=-b b ，则

a

b

b a +值等于 . 解：（1）当b a =时，值为2；当b a ≠时，b a ,是0122

=--x x 的两异根，值为6-. 3、方程思想

方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，是研究数量关系的重要工具.我们把所要研究的问题中的已知与未知量之间的相等关系，通过建立方程或方程组，并求出未知量的值，从而使问题得解的思想方法称为方程思想.方程思想在实际问题、代数和几何中都有着广泛的应用.

1） 用方程思想解实际问题 例10、国家为了加强对香烟产销的宏观管理,对销售香烟实行征收附加税政策.现在知道某种品牌的香烟每条的市场价格为70元,不加收附加税时,每年产销100万条,若国家征收附加税,每销售100元征税x 元(叫做税率x%),则每年的产销量将减少10x 万条.要使每年对此项经营所收取附加税金为168万元,并使香烟的产销量得到宏观控制,年产销量不超过50万条,问税率应确定为多少?

解析：根据题意得70(100-10x).x%=168,x 2

-10x+24=0,解得 x 1=6, x 2=4, 当x 2=4时,100-10×4=60>50,不符合题意,舍去, x 1=6时,100-10×6=40<50, ∴税率应确定为6%.

评注：数学应贴近生活，关注生活，在近年中考中越来越得到重视，应用题不失为一个很好的载体. 2）用方程思想解有关函数题

基本类型有：通过列方程或方程组求待定系数，进而求出函数解析式；研究函数图象的交点，解决函数图象与坐标轴交点等有关问题.

例11、（镇江市05）已知反比例函数x

k

y =的图像与一次函数y kx b =+的图像相交于点（2，1）. 求：（1）k b ，的值；

（2）两函数图像的另一个交点的坐标.

第9题图