11-4毕萨定律(新)

右手螺旋前进法则
I
r
dB
二. 运动电荷的磁场
dB = 4 π
=4 π
μ
o
I dl sina r
2 2
S +
dl
+
μ
o
n qv S dl sina r
＜
I
v
+
r r ) dB μ qv sin( v 、 B= = r π dN 4
μ qv dN sin( v 、 r =
π 4
o 2 o
I = n qvS
o 2 2 o 2 2
μ
dB
a
μ I cosβ dβ = πa
o
4
电流元的dB已经有了，接 下去对整体载流导线产生 磁感应强度量值的积分。
μ I cosβ dβ dB = π a
o
4
电流元的dB已经有了，接 下去对整体载流导线产生 磁感应强度量值的积分。
dl
I dl
B = dB = β
o
β2
讨论：
当螺线管为无限长时：
B =μ o n I
作为经验公式记住！
β1
π
、
β2
0
归纳总结
利用毕奥 萨伐尔 (Biot-savart) 解题思路： 定律求磁感应强度的分布
1.将载流导线无限分割成电流元Idl ，任一电流 元在空间某点处产生磁感应强度用dB 表示。 2.由磁场的叠加原理求得整根载流导线所产生的 磁感应强度B ＝ dB
比例系数
dB ∝ I dl sin a r
2 o 2
a 表示电流元和
矢径之间的夹角 ∨
可写为
真空磁导率
μ I dl sin a dB = r π 4
a = ( I dl 、r )
dB = 4 π
μ
o
I dl sina r
2
μ
o
真空中的磁导率
7
1
此数据加以 适当记忆！
1
μ o =4 π ×10 ( H . m
当直线电流为“无限长”时：
I
β
π
1
取
o
2
β
2
取 2
π
β2 β1
μ I B=
dB
sin β ( 2 － sinβ 1） a π 4 πa 4
o
o
a 作为经验 公式记住
μ I =
×2
μ I = 2π a
μ B = πI 2 a
o
无限长载流直导线外任意一点 处的磁感应强度的量值公式。
注意：这里的a是考察点到无限长直线电流的垂直距离
2.
载流圆线圈轴线上的磁场
研究载流圆线圈轴线上P点处 的磁感应强度B 大小和方向 攫取载流圆线圈上的电 流元Idl，并设定电流元 到P 的矢径为r
I dl
R
90
0
r
θ
dB
根据右手螺旋前进法则
I
·
I dl
x
·
P
I dl × r
可以确定电流元Idl 在P点 处磁感应强度dB 的方向
dB
其中电流元和矢径的夹角
半无限长载流螺线管轴线上
P点处的磁感应强度B：
（5）一段圆弧在圆心处产生的磁场
μ I θ B= 4 πR
o
0
θ
0
一段圆弧所对 应的圆心角。
上面的计算结果可作为经验公式使用，必须牢 记！对某些形状比较复杂的载流导线或导体， 可看作这些简单电流的组合。
I dl
a
β
I
l
90
0
r
β
dB
的方向： I dl × r
右手螺旋前进法则
dB
a
· P
dB 的大小：
dB = 4 π
μ
o
I dl sina r
2
1. 载流直导线的磁场
dB 的方向： dB 的大小：
I dl × r
右手螺旋前进法则
o
dB = 4 π
μ
I dl sina r
2
以下是数学关 系的变化过程
▲
如果按照本教材 （P82图11-9中角度的取向）
β2
分析的思路基本相同，就 是积分角度不同。
I
β1
μ I B=
o
cosβ 1 － cosβ 2） ( a π 4
取 0 ，β 2 取π
o
当直线电流为“无限长”时：
dB a
β
1
μ I B = πa 2
作为经验公式记住！
如果是半无限长，则：
μoI 1 × μoI B= = 4π a 2 2π a
毕奥
萨伐尔定律
(历史上曾经称：毕奥－萨伐尔.拉普拉斯定律）
Law of Biot－Savartg
一个用于计算载流导线和运动电荷周围磁 感应强度B 的大小和方向的重要工具
m
m S
en
S
I
+ I
dl
+
I
+
v
....................
× × × × × × × × × × × × × × × × × × × ×
解题步骤： （1）用定律写出载流导线上任一电流元
在空间某点产生的磁感应强度：

。
dB = 4 π
μ I dl × r
o
r
3
并判别其方向。
（2）由磁场叠加原理计算载流导线在空间某点产生的 B
B = dB = 4 π
化为分量式 。
μ I dl × r
o
r
3
（3）选取适当的坐标系，把矢量积分式
B = dB
1 E= 4 π ε
0
q r ( r r )
2
此式表明运动电荷激发的电场和磁场是紧 密相关的,从而加速奠定了电磁场的理论。
§11-4 毕奥
萨伐尔定律的应用
1. 载流直导线的磁场
求载流导线外任意一点P的 磁感应强度B（已知P点与 载流导线的垂直距离为a）
在载流导线上攫 取电流元 I dl
▲
dl
电流元 I dl 到 P点的矢径为r
P
l ctgβ = l = R ctgβ R 2 β dβ csc = dl R
.
β1
β
R
β2
dl
l
R
× × × × × × × ×× × × × × × × ×× × × ×
μ n I dl R dB =
o 2 2 o
2 3 2 2
P β
2( R + l )
2 2
·
R
dl
μ n I ( R csc β dβ =
3
2 2
1 2
3
μ IR
o
2 3 2
2( x 2+ R 2 )
=(x + R )
2 2
3 2
B=
μ IR
o
2 3 2
讨论：
（1）在圆心处，x = 0
R
2( x 2+ R 2 )
B= 2 R
o
μ I
I
·
P
x
·
作为经验公式记住！ 如果是载流半圆环圆心处，则： （2）引入磁场中新的物理量：磁矩m
1 × μ oI B = 2 2R
β2
I
β1
a
dB a
如果按照本教材 （P82图11-9中角度的取向）
μ I B=
o
cos β ( a π 4
1
－ cos β 2）
（2）无限长直线电流的磁场
（2）无限长直线电流的磁场
μ I B = πa 2
o
a 是考察点到无限长直 线电流的垂直距离 如果是半无限长，则：
（3）载流圆线圈轴线上P 点处的磁感应强度B
o 2 o
μ
2
o
2
o
2
μ I sin d l θ B = dB x = 4 πr
o 2
I dl
R
90
0
r
θ
dB
sin θ =R r
I
·
I dl
x
·
P
μ I =
o
πr r 4
2 o
R
d l
3 2
dB
dl = 2π R
2π R
= =
μ IR
4π ( x + R )
2 2
r = (x + R )
N
线圈的匝数
S
线圈所包围的面积
已知：
B=
μ IR
o 2
2 3 2
2( x + R )
2
m＝N I S e n
（2）引入磁矩后，圆电流轴线 处的磁感应强度可表示为：
B= =
μ IR
o 2
2 3 2
2( x + R ) μ oI R 2
2
m × IS
2( x + R )
2 2
3 2
m × Iπ R
磁矩
dB 的大小
dB = 4 π
μ
a = 90
o
0
o
I dl sina μ I dl =4 π r r
2
2
再在载流圆线圈的下端攫取电流元Idl，并确定dB的方向
再在载流圆线圈的下端攫取电流元Idl，并确定dB的方向 建三维坐标： I dl R
90
0
r
θ
y dB
注意到 dB矢量在三维 坐标上分量的对称性：
用矢量形式表示的毕奥
) 或 ( 亨利.米 萨伐尔定律
)
dB = 4 π
μ
o
I dl × r r
3
I dl μ = π 4
o
r
2
×(
r） r 电流元对某
处电场强度 的贡献。
载流导线对 某处电场强 度的贡献。
B =4 π
μ I dl × r
o
r
3
计算时先应该注意B的方向，然 后再进行量值的（或积分）处理
2
m en
S
B=
μ m 2π r
o
I
3
3. 有限长载流螺线管轴线上P点的磁场 已知载流圆电流轴线上 的磁感应强度的量值是
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
P
B=
μ IR
o 2
2 3 2
.
β1
β
R
β2
dl
2( x + R )
2
l
R
× × × × × × × ×× × × × × × × ×× × × ×
)
v
载流粒子数
＜
2
d N = n S dl
运动电荷不仅产生 电场还产生磁场！
μ q v ×r B=4 r π
o 3
运动电荷除了产生电场外， 还在其周围激发磁场。
q
r
＋
E
B
v
.
μ q v ×r B=4 r π
o 3
由上两式得：
若电荷运动速度远小 于光速，则空间一点 的电场强度为
B =με
o
0v × E
1
μ I cosβ β d πa 4
o
l
r
β2 β1
μ I sinβ = 4 πa μ I =
o
β2
β1
2
dB
a
讨论：
sinβ ( a π 4
－ sinβ 1 ）
当直线电流为“无限长”时：
载流导线外任意 一点P 的磁感应强 度B 的量值
μ I B=
o
( sinβ a π 4
2
－ sinβ 1）
讨论：
2( R + R ctgβ )
2
l
)R 2
3 2
μ n I ( R csc β dβ =
o
2
)R 2
3 2
2( R + R ctgβ )
2
2
2
μ n I ( R csc β dβ =
o
2
2 R cscβ
3 3
)R 2
μ n I ( R csc β dβ dB =
o
2
2 R cscβ
3 3
)R
2
=-
∴
I
·
I dl
x
z
·
θ
P
B y = Bz = 0
x
dB
只有x 轴向上 是叠加加强的
已知
I dl sina μ I dl dB 的大小 dB = 4 =4 π π r r μ I θ dl B = dB x = dB sinθ = 4 π r sin μ I sin d l θ = 4 πr
0
sin a = sin ( 90 +β )
= cosβ
dl l
I dl
a
β
I
l = a tgβ
dl = a sec β dβ r = a secβ
2
r
90
0
β
dB
a
·l = a sec β dβ r = a secβ
2
dl
I dl
l
r
β2 β1
I dl sina dB = 4 π r μ I a sec β dβ cosβ =4 π a sec β
用矢量形式表示的毕奥
萨伐尔定律
dB = 4 π
μ
o
I dl × r r
3
I dl μ = π 4 r
o 2
r ×( ） r r
B =4 π
一个用于计算载流导线和运 动电荷周围磁感应强度B 的 大小和方向的重要工具 磁感应强度B 方向的判断
μ I dl × r
o 3
dB
90
0
I
r
I dl
I dl × r
螺线管单位长度上的电流作为dI、考察距离为l
∴
B=
n
∴
μ IR
o
2 3 2
2( R 2 + x 2 )
dB = =
μ
o
dI R2
2 2
2( R + l )
3 2
单位长度上的匝数
μ n I dl R
o 2 2
2 3 2
d I = n I dl
2( R + l )
从分解图中有以 下的几何关系：
. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
（4）统一变量，确定积分限再积分。 如果各个电流元在所求点产生的dB 方向都相同， 则矢量积分：
B = dB 就可写出标量积分： B = dB
几个常用的经验公式
（1）一段直线电流的磁场
几个常用的经验公式
（1）一段直线电流的磁场
μ I B=
o
I
β2 β1
( sinβ a π 4
2
－ sinβ 1） dB
= 4 R
o
μ I
与静电场中引入电偶极子的电矩相类似，
在磁场中引入磁矩m 来描述载流线圈的性质。
与静电场中引入电偶极子的电矩相类似， 在磁场中引入磁矩m 来描述载流线圈的性质。 磁矩