2018年9月浙江省名校协作体高三联考数学试题

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2018届浙江省新高考研究联盟高三第四次联考数学word版含答案

绝密★考试结束前2018届浙江省新高考研究联盟高三第四次联考数学说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

参考公式：如果事件,A B 互斥, 那么柱体的体积公式 ()()()P A B P A P B +=+ V Sh =如果事件,A B 相互独立, 那么其中S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高 ()()()··P A B P A P B =锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p , 那么n13V Sh =次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高()()1 0,1,)2,(,kn k n k n P k C p p k n -==⋯－球的表面积公式台体的体积公式2 4S R =π12()13V h S S =+ 球的体积公式其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积,343V R =πh 表示台体的高其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知,{|0},{|2},U R A x x B x x ==>=≤-则()U A C B =（ ▲ ）A ．∅B ．{|2}x x >-C ．{|0}x x >D ．{|02}x x x ><-或2．已知i 是虚数单位，,,a b R ∈则“1a b ==”是“2()2a bi i -=-”的（ ▲ ） A ．充分不必要条件 B ．充分必要条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．必要不充分条件3．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ▲ ）A ．若,m n αα∥∥，则m n ∥B ．若,,m m n n αβ⊥⊂∥，则αβ⊥C ．若,n αβα⊥⊂，则n β⊥D ．若,,m n αβαβ⊂⊂∥，则m n ∥4. 在二项式251()x x-的展开式中，含7x 的项的系数是（ ▲ ） A ．10-B. 10C. 5-D. 55．已知函数)||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f ，其导函数)(x f '的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式为（ ▲BCB AA ．1()2cos()24f x x π=-B ．1()4sin()24f x x π=-C ．1()2cos()24f x x π=+ D ．)421sin(4)(π+=x x f6. 若实数,x y 满足12121x y x y x y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则由点P (,)x y x y -+形成的平面区域的面积是（ ▲ ）A. 3B.32 C. 6 D. 347．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S )(*N n ∈，且{}n S 为等差数列，则等比数列{}n a 的公比q （ ▲ ）A ．可以取无数个值B ．只可以取两个值C ．只可以取一个值D ．不存在8．把分别标有数字1,2,3,4,5,6的六个不同小球放入甲、乙、丙三个盒子中，要求每个盒子放入两个小球，1号球不能放入甲盒子，2号球不能放入乙盒子.则不同的放球方法数是（ ▲ ） A ．24B. 30C. 36D. 429．如图所示，已知等腰直角ABC ∆中，090ACB ∠=，斜边2AB =，点D 是斜边AB 上一点（不同于点A 、B ），ACD ∆沿线段CD 折起形成一个三棱锥A CDB '-，则三棱锥A CDB '-体积的最大值是（ ▲ ） A. 1 B.21C.31 D. 6110．动直线l 与抛物线x y 42=交于A 、O 为坐标原点，则OA OB （ ▲ ） A. 无最大值，无最小值 C. 有最大值，无最小值 D. 有最大值，有最小值非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分。

浙江省名校新高考研究联盟2018届高三下学期第一次联考数学试卷理科含解析

2018-2018学年浙江省名校新高考研究联盟高三（下）第一次联考数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设全集U=R，且A={x||x﹣1|＞2}，B={x|x2﹣6x+8＜0}，则（∁U A）∩B=（）A．[﹣1，4）B．（2，3）C．（2，3]D．（﹣1，4）2．已知m＞0且m≠1，则log m n＞0是（1﹣m）（1﹣n）＞0的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（）A．B．C．D．4．已知定义域为R的函数f（x）不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是（）A．∀x∈R，f（﹣x）≠f（x）B．∀x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x）C．∃x0∈R，f（﹣x0）≠f（x0）D．∃x0∈R，f（﹣x0）≠﹣f（x0）5．已知数列{a n}满足a n=（n∈N*），若{a n}是递减数列，则实数a 的取值范围是（）A．（，1）B．（，）C．（，1）D．（，）6．已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△AFO与△BFO面积之和的最小值是（）A．B．C．D．7．如图四边形ABCD，AB=BD=DA=2．BC=CD=，现将△ABD沿BD折起，使二面角A﹣BD﹣C的大小在[，]，则直线AB与CD所成角的余弦值取值范围是（）A．[0，]∪（，1）B．[，]C．[0，] D．[0，]8．设函数f：N•→N•，并且对所有正整数n，有f（n+1）＞f（n），f（f（n））=3n，则f A．2018 B．3858 C．4180 D．6185二、填空题：（本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每题4分，共36分．）9．双曲线的实轴长是______，渐近线方程是______．10．函数f（x）=sinx﹣cosx﹣1的最小正周期是______，单调递增区间是______．11．已知{|a n|}是首项和公差均为1的等差数列，则a2=______，若S2=a1+a2，则S2的所有可能值组成的集合为______．12．若2a=6，b=log23，则a﹣b=______．13．已知一平面与一正方体的12条棱的所成角都等于α，则sinα=______．14．若实数x，y满足|x|+|y|≤1，则|4x+y﹣2|+|3﹣x﹣2y|的最小值是______，取到此最小值时x=______，y=______．15．空间四点A，B，C，D满足||=2，||=3，||=4，||=7，则•的值为______．三、解答题：（本大题共5个题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．在△ABC中，已知AB=2，．（Ⅰ）若BC=3，求AC的长；（Ⅱ）若点D为AC中点，且，求sinA的值．17．已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，且AC⊥BD，AC与BD交于O，PO⊥底面ABCD，PO=2，，E，F分别是AB，AP的中点．（1）求证：AC⊥EF；（2）求二面角F﹣OE﹣A的余弦值．18．设f（x）=x2+bx+c（b，c∈R），函数f（x）在区间（2，3]上有最大值1．（Ⅰ）若c=4，求b的值；（Ⅱ）当|x|＞2时，f（x）＞0恒成立，求b+的取值范围．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，离心率为e．直线l：y=ex+a 与x轴、y轴分别交于点A，B两点，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设．（Ⅰ）若，求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若△PF1F2为等腰三角形，求λ的值．20．设数列{a n}满足a1=a，a n+1a n﹣a n2=1（n∈N*）（I）若a3=，求实数a的值；（Ⅱ）设b n=（n∈N*）．若a=1，求证≤b n＜（n≥2，n∈N*）．2018-2018学年浙江省名校新高考研究联盟高三（下）第一次联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设全集U=R，且A={x||x﹣1|＞2}，B={x|x2﹣6x+8＜0}，则（∁U A）∩B=（）A．[﹣1，4）B．（2，3）C．（2，3]D．（﹣1，4）【考点】绝对值不等式的解法；交、并、补集的混合运算；一元二次不等式的解法．【分析】利用绝对值是表达式的解法求出集合A，二次不等式的解法求解集合B，然后求解（∁U A）∩B．【解答】解：A={x||x﹣1|＞2}={x|x＞3或x＜﹣1}，∁U A={x|﹣1≤x≤3}．B={x|x2﹣6x+8＜0}={x|2＜x＜4}，∴（∁U A）∩B={x|2＜x≤3}．故选：C．2．已知m＞0且m≠1，则log m n＞0是（1﹣m）（1﹣n）＞0的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据对数不等式以及不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若m＞1，由log m n＞0得n＞1，此时1﹣m＜0，1﹣n＜0，则（1﹣m）（1﹣n）＞0成立，若0＜m＜1，由log m n＞0得0＜n＜1，此时1﹣m＞0，1﹣n＞0，则（1﹣m）（1﹣n）＞0成立，即充分性成立，若（1﹣m）（1﹣n）＞0则或，当0＜m＜1，n=0时，满足，但log m n＞0无意义，即必要性不成立，即log m n＞0是（1﹣m）（1﹣n）＞0的充分不必要条件，故选：A3．如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图复原的几何体是正四棱锥，求出底面面积，正四棱锥的高，即可求出体积．【解答】解：如图据条件可得几何体为底面边长为2的正方形，侧面是等边三角形高为2的正四棱锥，故其体积V=×4×=．故选C．4．已知定义域为R的函数f（x）不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是（）A．∀x∈R，f（﹣x）≠f（x）B．∀x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x）C．∃x0∈R，f（﹣x0）≠f（x0）D．∃x0∈R，f（﹣x0）≠﹣f（x0）【考点】全称命题；特称命题．【分析】根据定义域为R的函数f（x）不是偶函数，可得：∀x∈R，f（﹣x）=f（x）为假命题；则其否定形式为真命题，可得答案．【解答】解：∵定义域为R的函数f（x）不是偶函数，∴∀x∈R，f（﹣x）=f（x）为假命题；∴∃x0∈R，f（﹣x0）≠f（x0）为真命题，故选：C．5．已知数列{a n}满足a n=（n∈N*），若{a n}是递减数列，则实数a 的取值范围是（）A．（，1）B．（，）C．（，1）D．（，）【考点】数列的函数特性．【分析】依题意，a n=（n∈N*），{a n}是递减数列，可知，解之即可得答案．【解答】解：∵a n=（n∈N*），且{a n}是递减数列，∴，即，解得＜a＜．故选D．6．已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△AFO与△BFO面积之和的最小值是（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及•=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．【解答】解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（m，0），x=ty+m代入y2=x，可得y2﹣ty﹣m=0，根据韦达定理有y1•y2=﹣m，∵•=2，∴x1•x2+y1•y2=2，从而（y1•y2）2+y1•y2﹣2=0，∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1•y2=﹣2，故m=2．不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又F（，0），∴S△BFO+S△AFO=••y1+••|y2=（y1+）≥•2=当且仅当y1=，即y1=时，取“=”号，∴△BFO与△AFO面积之和的最小值是，故选：B．7．如图四边形ABCD，AB=BD=DA=2．BC=CD=，现将△ABD沿BD折起，使二面角A﹣BD﹣C的大小在[，]，则直线AB与CD所成角的余弦值取值范围是（）A．[0，]∪（，1）B．[，]C．[0，] D．[0，]【考点】异面直线及其所成的角．【分析】取BD中点O，连结AO，CO，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与CD所成角的余弦值取值范围．【解答】解：取BD中点O，连结AO，CO，∵AB=BD=DA=2．BC=CD=，∴CO⊥BD，AO⊥BD，且CO=1，AO=，∴∠AOC是二面角A﹣BD﹣C的平面角，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，B（0，﹣1，0），C（1，0，0），D（0，1，0），设二面角A﹣BD﹣C的平面角为θ，则，连AO、BO，则∠AOC=θ，A（），∴，，设AB、CD的夹角为α，则cosα==，∵，∴cos，∴|1﹣|∈[0，]．∴cos．故选：D．8．设函数f：N•→N•，并且对所有正整数n，有f（n+1）＞f（n），f（f（n））=3n，则f A．2018 B．3858 C．4180 D．6185【考点】抽象函数及其应用．【分析】可令n=1，可得f（f（1））=3，讨论f（1）=1，2，3，即可判断f（1）=2，f（2）=3，进而求得f（3）=6，f（6）=9，…，f（54）=81，…，得到n与f（n）的关系，总结出一般规律，即可得到f）=3，f（n）为正整数，若f（1）=1，把f（1）=1带进去，就成了f（1）=3，矛盾．要是f（1）=2，那就是f（2）=3，可能正确，要是f（1）=3，那就是f（3）=3，不满足f（n+1）＞f（n）．所以f（1）=2，所以f（f（2））=f（3）=6，f（f（3））=f（6）=9，f（9）=f（f（6））=18，f（18）=f（f（9））=27，f（27）=f（f（18））=54，f（54）=f（f （27））=81，…，即有n∈[1，2]，f（n）∈[2，3]，即f（n）与n一一对应；n∈[3，6]，f（n）∈[6，9]，即f（n）与n一一对应；n∈[9，18]，f（n）∈[18，27]，即f（n）与n一一对应；n∈[27，54]，f（n）∈[54，81]，即f（n）与n一一对应；…；则得到一般的规律，任意的n为自然数，存在m为自然数，n∈[3m，3m+1]，n=3m+k，①n∈[3m，2•3m]，0≤k≤3m，f（n）=f（3m+k）=2•3m+k；②n∈[2•3m，3m+1]，3m≤k≤3m+1，f（n）=f（3m+k）=2•3m+3m+3（k﹣3m）=3k．2018∈[2•36，37]，2018=36+1286，f9．双曲线的实轴长是2，渐近线方程是y=x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的标准方程分别进行求解即可．【解答】解：由双曲线的方程得a2=1，b2=3，则a=1，b=，则双曲线的实轴长2a=2，渐近线方程为y=±x=x，故答案为：2，y=x10．函数f（x）=sinx﹣cosx﹣1的最小正周期是2π，单调递增区间是[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．【分析】利用两角和与差的正弦公式，由周期公式求得周期，再由复合函数的单调性求得原函数的单调递增区间．【解答】解：f（x）=sinx﹣cosx﹣1=．∴T=2π；由，得，k∈Z．∴f（x）的单调递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．故答案为：2π，[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．11．已知{|a n|}是首项和公差均为1的等差数列，则a2=±2，若S2=a1+a2，则S2的所有可能值组成的集合为{﹣3，﹣1，1，3} ．【考点】等差数列的通项公式．【分析】解：由题意|a n|=n，分别求出a1、a2的值，再求对应的S2即可．【解答】解：由题意|a n|=n，n∈N*，∴a1=±1，a2=±2；当a1=1，a2=2时，S2=3；当a1=1，a2=﹣2时，S2=﹣1；当a1=﹣1，a2=﹣2时，S2=﹣3；当a1=﹣1，a2=2时，S2=1；所以S2的所有可能值组成的集合为{﹣3，﹣1，1，3}．故答案为：±2；{﹣3，﹣1，1，3}．12．若2a=6，b=log23，则a﹣b=1．【考点】对数的运算性质．【分析】根据对数的定义和对数的运算性质计算即可．【解答】解：∵2a=6，b=log23∴a=log26，∴a﹣b=log26﹣log23=log22=1，故答案为：113．已知一平面与一正方体的12条棱的所成角都等于α，则sinα=．【考点】棱柱的结构特征．【分析】棱A1A，A1B1，A1D1与平面AB1D1所成的角相等，平面AB1D1就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面．则∠A1AO=θ，即可得出．【解答】解：∵棱A1A，A1B1，A1D1与平面AB1D1所成的角相等，∴平面AB1D1就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面．则∠A1AO=θ，设棱长为：1，A1O=，AO==，易知sinθ===．故答案为：．14．若实数x，y满足|x|+|y|≤1，则|4x+y﹣2|+|3﹣x﹣2y|的最小值是，取到此最小值时x=，y=．【考点】绝对值三角不等式．【分析】分情况讨论目标函数化简，画出约束条件所表示的可行域，结合图形找出最优解，可求出目标函数的最小值．【解答】解：（1）当时，作出满足约束条件的可行域如图，令z=|4x+y﹣2|+|3﹣x﹣2y|=3x﹣y+1，则y=3x+1﹣z，∴y=3x+1﹣z过点C时，1﹣z取得最大值，z取得最小值．解方程组得．∴z=3x﹣y+1=．（2）当时，作出满足约束条件的可行域如图，令z=|4x+y﹣2|+|3﹣x﹣2y|=﹣5x﹣3y+5，则y=﹣+，∴y=﹣+经过点C时，取得最大值，z取得最小值，由（1）知，C（，），∴z=﹣5x﹣3y+5=．（3）当3﹣x﹣2y＜0时，不存在符合条件的可行域，综上，|4x+y﹣2|+|3﹣x﹣2y|的最小值是．故答案为：，，．15．空间四点A，B，C，D满足||=2，||=3，||=4，||=7，则•的值为19．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】将向量，，，转化为以，，，的式子，计算||2﹣||2+||2﹣||2，又•=（﹣）•（﹣），展开即可得到所求值．【解答】解：||2﹣||2+||2﹣||2=（）2﹣（）2+（）2﹣（）2=（﹣）2﹣（﹣）2+（﹣）2﹣（﹣）2=2（•+•﹣•﹣•）=4﹣9+16﹣49=﹣38，即有•+•﹣•﹣•=﹣19，又•=（﹣）•（﹣）=•+•﹣•﹣•=19．故答案为：19．三、解答题：（本大题共5个题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．在△ABC中，已知AB=2，．（Ⅰ）若BC=3，求AC的长；（Ⅱ）若点D为AC中点，且，求sinA的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由cosB的值，以及BC与AB的长，利用余弦定理求出AC的长即可；（Ⅱ）法1：利用余弦定理列出关系式，联立求出a与b的值，再利用正弦定理即可确定出sinA的值；法2：由题意得到=（+），两边平方后求出a的值，进而求出b的值，再由sinB的值，利用正弦定理求出sinA的值即可．【解答】解：（Ⅰ）∵cosB=，AB=2，BC=3，∴由余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=4+9﹣4=9，则AC=3；（Ⅱ）法1：在△ABC中，设BC=a，AC=b，∵AB=c=2，cosB=，由余弦定理得：b2=a2+4﹣a①，在△ABD和△BCD中，由余弦定理得：cos∠ADB=，cos∠BDC=，∵cos∠ADB=﹣cos∠BDC，∴=﹣，即b2=2a2﹣9②，联立①②，解得：a=3，b=3，∵cosB=，B为三角形内角，∴sinB=，由正弦定理=得：sinA===；法2：根据题意得：=（+），两边平方得：（c2+a2+2ac•cosB）=，把c=2代入得：1+a2+a=，即3a2+4a﹣39=0，分解得：（3a+13）（a﹣3）=0，解得：a=﹣（舍去）或a=3，∵AB=c=2，cosB=，∴sinB==，由余弦定理得：b2=a2+4﹣a，把a=3代入得：b=3，由正弦定理=得：sinA===．17．已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，且AC⊥BD，AC与BD交于O，PO⊥底面ABCD，PO=2，，E，F分别是AB，AP的中点．（1）求证：AC⊥EF；（2）求二面角F﹣OE﹣A的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）以O为原点，建立空间坐标系，求出的坐标，通过计算得出AC⊥EF；（2）求出平面OEF的法向量，则|cos＜＞|为所求二面角的余弦值．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是等腰梯形，∴OA=OB，OC=OD．∵AC⊥BD，AB=2，CD=，∴OA=OB=2，OC=OD=1．以O为原点，以OB，OC，OP为坐标轴建立空间直角坐标系，则A（0，﹣2，0），B（2，0，0），C（0，1，0），P（0，0，2）．∵E，F分别是AB，AP的中点，∴E（1，﹣1，0），F（0，﹣1，1），∴=（0，3，0），=（﹣1，0，1），∴=0，∴AC⊥EF．（2）=（1，﹣1，0），=（0，﹣1，1），设平面OEF的法向量为=（x，y，z），则，∴，令z=1，得=（1，1，1）．∵OP⊥平面OAE，∴=（0，0，2）为平面OAE的一个法向量．∵cos＜，＞===，∴二面角F﹣OE﹣A的余弦值为．18．设f（x）=x2+bx+c（b，c∈R），函数f（x）在区间（2，3]上有最大值1．（Ⅰ）若c=4，求b的值；（Ⅱ）当|x|＞2时，f（x）＞0恒成立，求b+的取值范围．【考点】二次函数的性质；函数恒成立问题．【分析】（1）由函数f（x）图象开口向上且在区间（2，3]上有最大值1，得f（3）=1，解出b；（2）由f（3）=1可得bc之间的关系式和b的取值范围，然后讨论△与0的关系，结合当|x|＞2时，f（x）＞0恒成立进一步确定b的范围，最后得到b+的表达式，求出此表达式的值域即可．【解答】解：（I）c=4时，f（x）=）=x2+bx+4，f（x）图象开口向上，对称轴为x=﹣，∵函数f（x）在区间（2，3]上有最大值1，f（3）=1，即5+b=1，解得b=﹣4．（II）∵函数f（x）在区间（2，3]上有最大值1，∴即，∴c=﹣8﹣3b．∴△=b2﹣4c=b2+12b+32=（b+6）2﹣4．∵b≥﹣5，∴△≥﹣3．①若△=0，即b=﹣4时，f（x）=0的解为x=﹣=2，符合题意，②若△＜0，即﹣5≤b＜﹣4时，f（x）＞0恒成立，符合题意，③若△＞0，即b＞﹣4时，∵当|x|＞2时，f（x）＞0恒成立，∴，即，无解．综上，﹣5≤b≤﹣4．∴b+=b﹣．令g（b）=b﹣，则g′（b）=1+＞0，∴g（b）在（﹣5，﹣4]上是增函数，∵g（﹣5）=﹣，g（﹣4）=﹣，∴b+的取值范围是[﹣，﹣]．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，离心率为e．直线l：y=ex+a 与x轴、y轴分别交于点A，B两点，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设．（Ⅰ）若，求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若△PF1F2为等腰三角形，求λ的值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）直线l：y=ex+a与x轴、y轴分别交于点A，B（0，a）两点，根据=，可得M，代入椭圆方程即可得出．（II）若△PF1F2为等腰三角形，P是点F1关于直线l的对称点，可得：|AF1|=|BF1|，即=，可得e=．由，可得M，代入椭圆方程解出即可得出．【解答】解：（I）直线l：y=ex+a与x轴、y轴分别交于点A即，B （0，a）两点，∵=，∴M，代入椭圆方程可得： +=1，b2=a2﹣c2，化为：（4e2﹣1）2=0，解得e=．（II）若△PF1F2为等腰三角形，P是点F1关于直线l的对称点，∴|PA|=|AF1|，|PB|=|BF1|，|PA|=|PB|，∴|AF1|=|BF1|，∴=，化为：a2=3c2，解得e==．∴=1﹣，解得=．∵，∴M，代入椭圆方程可得： +=1，∴3（λ﹣1）2+=1，化为：（3λ﹣2）2=0，解得．20．设数列{a n}满足a1=a，a n+1a n﹣a n2=1（n∈N*）（I）若a3=，求实数a的值；（Ⅱ）设b n=（n∈N*）．若a=1，求证≤b n＜（n≥2，n∈N*）．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）由已知得a2a﹣a2=1，解得，由a3=，得=或=2，由此能求出实数a的值．（Ⅱ）由已知得=，由=2，能证明=b2，再用数学归纳法证明b n＜，n≥2．由此能证明≤b n＜（n≥2，n∈N*）．【解答】（Ⅰ）解：∵数列{a n}满足a1=a，a n+1a n﹣a n2=1（n∈N*），∴a2a﹣a2=1，解得，∵a3=，∴，解得=或=2，由=解得a∈∅，由=2，解得a=1．∴实数a的值为1．（Ⅱ）证明：当a=1时，数列{a n}满足a1=1，a n+1a n﹣a n2=1（n∈N*），∴，∴=2，，=，…∵b n=（n∈N*），∴=，∵a n＞0，∴=2，当且仅当，即a n=1=a1时，取等号，∴=b2，再证b n＜，n≥2．（a）n=2时，，满足．（b）假设当n=k，（k＞2）时有b k＜，等价于，∵，∴k，当n=k+1时，＜=，∴只需证＜．证明如下：∵k＞2，∴k＞，∴9k＞16，∴25k＞16（k+1），∴5＞4，∴＞2，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴n=k+1时，成立．综合（a），（b）知b n＜．综上所述：≤b n＜（n≥2，n∈N*）．2018年9月18日。

浙江省名校协作体2017-2018学年高三上学期9月联考数学试题 Word版含答案

2017-2018学年第一学期浙江省名校协作体试题高三年级数学学科第I 卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.） 1.复数=--i i12 A.223i - B. 223i + C. 223i +- D. 223i -- 2.“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.给出下列，其中正确的为A.若直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，则a 和c 共面B.直线a 与平面α不垂直，则直线a 与平面α内的所有的直线都不垂直C.直线a 与平面α不平行，则直线a 与平面α内的所有的直线都不平行D.异面直线b a ,不垂直，则过a 的任何平面与b 都不垂直4.下列四个函数：||sin x y =，||cos x y =，|tan |x y =，|sin |ln x y -=，以π为周期，在)2,0(π上单调递减且为偶函数的是A. ||sin x y =B.||cos x y =C.|tan |x y =D.|sin |ln x y -=5.点P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 左支上的一点，其右焦点为)0,(c F ，若M 为线段FP 的中点，且M 到坐标原点的距离为8c，则双曲线的离心率e 的取值范围是 A.]8,1( B.⎥⎦⎤ ⎝⎛34,1 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛35,34 D.]3,2(6.已知正三棱柱111C B A ABC -的侧棱长与底面边长相等，则直线1AB 与侧面11A ACC 所成角的正弦值等于 A.46 B.410 C.22 D.237.已知定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()4(x f x f =+，且当20≤≤x 时，{}x x x x f -+-=2,2min )(2，若方程0)(=-mx x f 恰有两个实数根，则实数m 的取值范围是A.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,3131, B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,3131, C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤ ⎝⎛--2,3131,2D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2,3131,28.已知函数a x e x x f -+=)(，x a e x x g --+=4)2ln()(，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x 使3)()(00=-x g x f 成立，则实数a 的值为A.12ln --B. 12ln -C. 2ln -D. 2ln第II 卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9.双曲线13:22=-y x C 的渐近线方程是；若抛物线)0(22>=p px y 的焦点与双曲线C 的一个焦点重合，则=p .10.一个几何体的三视图如右图所示，正视图与侧视图为全等的矩形，俯视图为正方形，则该几何体的表面积为；体积为 .11.已知函数1)sin 21(2sin )(2+-⋅=x x x f ，则)(x f 的最小正周期=T ；=)(T f .12.已知1634=-ba a ，ba a 1log 2+=，则=a ；=b . 13.已知函数x e x x f 2)(=，若)(x f 在]1,[+t t 上不单调．．．，则实数t 的取值范围是 . 14.已知点)0,1(m A -，)0,1(m B +，若圆03188:22=+--+y x y x C 上存在一点P 使得0=⋅PB PA，则正实数．．．m 的最小值为 .15.如图，正方形1111D C B A ABCD -的棱长为3，在面对角线D A 1上取点M ，在面对角线D C 1上取点N ，使得MN //平面C C AA 11，当线段MN 长度取到最小值时，三棱锥11MND A -的体积为 .三、解答题：本大题共5小题，共74分16.（本小题满分14分）已知圆9)1(:22=+-y x C 内有一点)2,2(P ，过点P 作直线l 交圆C 于B A ,两点（Ⅰ）当直线l 经过圆心C 时，求直线l 的方程；（Ⅱ）当直线l 的倾斜角为︒45时，求弦AB 的长.17.（本小题满分15分）在△ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为c b a ,,，已知2=c ，3π=C（Ⅰ）当C C B A sin )2sin(2sin 2=++时，求△ABC 的面积；（Ⅱ）求△ABC 周长的最大值.18.（本小题满分15分）如图，在梯形ABCD 中，AB//CD ，AD=DC=CB=1，︒=∠60ABC ，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，CF=1. （Ⅰ）求证：BC ⊥平面ACFE ；（Ⅱ）点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 所成二面角为)90(︒≤θθ，试求θcos 的取值范围.19.（本小题满分15分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，经过椭圆C 上一点P 的直线22342:+-=x y l 与椭圆C 有且只有一个公共点，且点P 横坐标为2. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若AB 是椭圆的一条动弦，且25||=AB ，O 为坐标原点，求△AOB 面积的最大值20.（本小题满分15分）已知函数R a a x ax x f ∈-+=|,|)(3（Ⅰ）若1-=a ，求函数),0[),(+∞∈=x x f y 的图象在1=x 处的切线方程；（Ⅱ）若4)(x x g =，试讨论方程)()(x g x f =的实数解的个数；（Ⅲ）当0>a 时，若对于任意的]2,[1+∈a a x ，都存在),2[2+∞+∈a x ，使得1024)()(21=x f x f ，求满足条件的正整数a 的取值集合.。

数列与数学归纳法

专题39 数列与数学归纳法【热点聚焦与扩展】数学归纳法是一种重要的数学方法，其应用主要体现在证明等式、证明不等式、证明整除性问题、归纳猜想证明等．本专题主要举例说明利用数学归纳法证明数列问题.1、数学归纳法适用的范围：关于正整数n 的命题（例如数列，不等式，整除问题等），则可以考虑使用数学归纳法进行证明2、第一数学归纳法：通过假设n k =成立，再结合其它条件去证1n k =+成立即可.证明的步骤如下：（1）归纳验证：验证0n n =（0n 是满足条件的最小整数）时，命题成立（2）归纳假设：假设()0,n k k n n N =≥∈成立，证明当1n k =+时，命题也成立（3）归纳结论：得到结论：0,n n n N ≥∈时，命题均成立 3、第一归纳法要注意的地方：（1）数学归纳法所证命题不一定从1n =开始成立，可从任意一个正整数0n 开始，此时归纳验证从0n n =开始（2）归纳假设中，要注意0k n ≥，保证递推的连续性（3）归纳假设中的n k =，命题成立，是证明1n k =+命题成立的重要条件.在证明的过程中要注意寻找1n k =+与n k =的联系4、第二数学归纳法：在第一数学归纳法中有一个细节，就是在假设n k =命题成立时，可用的条件只有n k =，而不能默认其它n k ≤的时依然成立.第二数学归纳法是对第一归纳法的补充，将归纳假设扩充为假设n k ≤，命题均成立，然后证明1n k =+命题成立.可使用的条件要比第一归纳法多，证明的步骤如下：（1）归纳验证：验证0n n =（0n 是满足条件的最小整数）时，命题成立（2）归纳假设：假设()0,n k k n n N ≤≥∈成立，证明当1n k =+时，命题也成立（3）归纳结论：得到结论：0,n n n N ≥∈时，命题均成立.5.注意点：对于归纳猜想证明类问题，有三个易错点.一是归纳结论不正确；二是应用数学归纳法，确认n 的初始值n 0不准确；三是在第二步证明中，忽视应用归纳假设.【经典例题】例1.【2018届重庆市第一中学5______. 【答案】【解析】分析：由题意首先求得.详解：由题意结合以下用数学归纳法进行证明：，综上可得数列的通项公式是正确的.据此可知：利用等差数列前n结合对勾函数的性质可知，当或点睛：本题的关键在于合理利用归纳推理得到数列的通项公式.归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．例2. 设S n为数列{a n}的前n项和，满足S n＝2a n－2 (n∈N*)（1{a n}的通项公式a n；（2）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想．【答案】（1（2）见解析.当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×a4－2，∴a4＝16.由此猜想：(n∈N*)．(2)证明：①当n＝1时，a1＝2，猜想成立．②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时，猜想成立，即，那么n＝k＋1时，a k＋1＝S k＋1－S k＝2a k＋1－2a k∴a k＋1=2a k，这表明n＝k＋1时，猜想成立，由①②知猜想成立．点睛：数学归纳法被用来证明与自然数有关的命题：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.例3的值；的通项公式.【答案】.由此猜想下面用数学归纳法证明之：.点睛：运用数学归纳法证明数学问题的步骤及其需要注意的问题：1；第二步：归纳递推（即假设；3得到的形式应与前面的完全一致.例4.【2018届浙江省温州市高三9月一模】已知数列．（1（2（3，求证：．【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）利用数学归纳法可证明；（2（3）由（2求和公式可证结论.（2所以，数列（3）由（2时，例5.已知函数()()2ln ,10bf x ax x f x=--= （1）若函数()f x 在1x =处切线斜率为0，'21111n n a f n a n +⎛⎫=-+ ⎪-+⎝⎭，已知14a =，求证：22n a n ≥+（2）在（1）的条件下，求证：1211121115n a a a +++<+++【答案】见解析下面用数学归纳法证明：22n a n ≥+ 当1n =时，1422a n =≥+成立假设()n k k N *=∈成立，则1n k =+时1n k ∴=+时，不等式成立（2）()212121n n n n n a a na a a n +=-+=-+由（1）可知22n a n ≥+ 121n n a a +∴≥+例6．【浙江省绍兴市2018届5（1（2，证明：【答案】（1）见解析；（2）见解析详解：（1②假设当，综上所述.（2）由（1即点睛：解决数列与函数、不等式的综合问题的关键是从题设中提炼出数列的基本条件，综合函数与不等式的知识求解；数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点．例7．【福建省南平市2018届5（Ⅱ）-1，，的最大整数．证明：【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）见解析.详解：1上为增函数；2同理可得.（Ⅱ）-1，?时（未证明，直接得出不扣分）猜想当时，下面用数学归纳法证明猜想正确.1.2.时，有由（Ⅰ）知例8.为常数且，（1（2（3）用数学归纳法证明你的猜想．【答案】（1（2；（3）证明见解析．（2），则，，，由此猜想数列的通项公式应为．（3）①当时，猜想显然成立，②假设时，猜想成立，即，则当时，，即当时，猜想成立．由①②知，对一切正整数都成立．例9.(1)(2).【答案】（1）（2时，时，证明见解析.详解：(1) 设数列{b n }的公差为d,由题意得,∴b n =3n －2 .(2)证明：由b n =3n －2知S n =log a (1+1)+log a a =log a ［)…(1+ ］a b n+1=log a于是，比较S n a b n+1 的大小的大小取n=1，有(1+1)=取n=2，有推测 (1+1)(1+*)①当n=1时，已验证(*)式成立②假设n=k(k ≥1)时(*)式成立，即则当n=k+1时，即当n=k+1时，(*)式成立由①②知，(*)式对任意正整数n 都成立于是，当a ＞1时，S n a b n+1 ,当 0＜a ＜1时，S n a b n+1 .例10.【2018年浙江省高考模拟】已知数列{}n x 满足： 111,1n n x x x +==. 证明：当*n N ∈时，（1）10n n x x +<<；（2）11323n n n n x x x x ++-<；（3）122233n n n x --⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析由数列的递推式，以及（2）的结论可得1113110323n n x x +⎛⎫-≥-> ⎪⎝⎭，根据等比数列的通项公式即可证明232n n x -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，再结合已知可得11312n n n x x x ++=≤，即可证明不等式成立.详解：（1）数学归纳法证明： 0n x > 当1n =时， 110x =>成立假设n k =时0k x >，成立，那么1n k =+时，假设10k x +≤，则110k k x x +=≤，矛盾所以10k x +>，故0n x >得证所以111n n n x x x ++=>，故10n n x x +<< （2）由11n n x x +=得1196n n n n x x x x ++-+ (2111646n n n x x x +++=++-设()(2646(0)f x x x x x =++->则 ()'24f x x =-251492248⎫=+-⎪⎭ （3）由（2）得1113110323n n x x +⎛⎫-≥-> ⎪⎝⎭，则113n x -≥ 1211133322n n x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以232n n x -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭()1102x x ≤≥1112n x +≤，所以11312n n n x x x ++=≤，故123n n x x +≥ 所以123n n x -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以122233n n n x --⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【精选精练】1__________ .【答案】点睛：项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题顺利得到解决，关键是注意两点：一是首尾两项的变化规律；二是相邻两项之间的变化规律. 2．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为______________．【答案】【解析】试题分析：由题意得：“金鱼”图需要火柴棒的根数依次构成一个等差数列，首项为8，公差为6，因此第n3（1（2）根据（1（3【答案】（1（2），证明见解析；（3（2 下面用数学归纳法加以证明：1，结论成立，即.时，结论也成立；（3）由（24，且满足（1，根据计算结果，猜想（2）用数学归纳法证明你猜想的结论.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】分析：（1，，，根据计算结果，猜想（2）用数学归纳法证明猜想的结论.由此猜想（2②假设当由题意得∴当时猜想也成立，由①和②，可知猜想成立，即点睛：（1）在利用数学归纳法证明数学问题时，一定要注意利用前面的设，否则就是伪数学归纳法，是错误的.（2式解题.5（1（2）用数学归纳法证明你猜想的结论.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.由此猜想（2②假设当由题意得由①和②，可知猜想成立，即6（1的值，由此猜想数列的通项公式；（2）用数学归纳法对你的结论进行证明．【答案】（1（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1的值，根据共同规律猜想即可；（2）对于纳法证明即可.①当7的值．【答案】（1（2.）可猜想：，证明：当，等式成立，假设，则当时，等式也成立，综上所述，对任意自然数8．已知数列数列{a n }的通项公式an ＝(－1)n(2n －1)(n ∈N *)，S n 为其前n 项和． (1)求S 1，S 2，S 3，S 4的值；(2)猜想S n 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．【答案】(1)S 1＝－1，S 2＝2，S 3＝－3，S 4＝4；(2)答案见解析. 【解析】试题分析：(Ⅰ)根据()()121nn a n =--，代入1,2,3,4n =计算，可求1234,,,S S S S 的值；(Ⅱ)由(Ⅰ)猜想n S 的表达式，再根据数学归纳法的证题步骤进行证明，检验1n =时等式成立，假设n k =时命题成立，证明1n k =+时命题也成立即可.试题解析：(1)依题意可得S 1＝－1，S 2＝－1＋3＝2，S 3＝－1＋3－5＝－3，S 4＝－1＋3－5＋7＝4；(2)猜想：Sn ＝(－1)n·n.证明：①当n ＝1时，猜想显然成立；②假设当n ＝k 时，猜想成立，即Sk ＝(－1)k·k，那么当n ＝k ＋1时，Sk ＋1＝(－1)k·k＋ak ＋1＝(－1)k·k＋(－1)k ＋1(2k ＋1)＝(－1)k ＋1·(k＋1)．即n ＝k ＋1时，猜想也成立．故由①和②可知，猜想成立.【方法点睛】本题考查归纳推理以及数学归纳法的应用，属于中档题.由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现十分有用,观察、实验、对有限的资料作归纳整理，提出带规律性的说法是科学研究的最基本的方法之一.通过不完全归纳法发现的规律，用数学归纳法加以证明才能应用. 9．设0t >， ()txf x t x=+，令11a =， ()1n n a f a +=， n N +∈. （1）写出2a ， 3a ， 4a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的结论.【答案】(1)a 1＝1，a 2＝1t t +，a 3＝222t t t +；a 4＝3323t t t +，猜想a n ＝()1121n n n t t n t ---+-（n ∈N +）；(2)证明见解析. 试题解析：（1）∵a 1＝1， ∴a 2＝f （a 1）＝f （1）＝1tt +， a 3＝f （a 2）＝222t t t +；a 4＝f （a 3）＝3323t t t +，猜想a n ＝()1121n n n t t n t ---+- （n ∈N +）；（2）证明：①易知，n ＝1时，猜想正确.②假设n ＝k 时猜想正确，即a k ＝()1121k k k t t k t ---+-，则a k ＋1＝f （a k ）＝kk t a t a ⋅+=()()11211121=1k k k k k k k k k t t t k t t t t kt t t k t -------⋅+-+++-.这说明n ＝k ＋1时猜想正确.由①②知，对于任何n ∈N +，都有a n ＝()1121n n n t t n t ---+-.点睛：数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据． 10.【2017浙江，22】已知数列{x n }满足：x 1=1，x n =x n+1+ln(1+x n+1)（*∈N n ）．证明：当*∈N n 时，（Ⅰ）0＜x n+1＜x n ；（Ⅱ）2x n+1? x n ≤12n n x x +；（Ⅲ）112n +≤x n ≤212n +．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析．【解析】（Ⅱ）由111)1ln(+++>++=n n n n x x x x 得2111111422(2)ln(1)n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++【名师点睛】本题主要考查数列的概念、递推关系与单调性等基础知识，不等式及其应用，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力，属于难题．本题主要应用：（1）数学归纳法证明不等式；（2）构造函数2()2(2)ln(1)(0)f x x x x x x =-+++≥，利用函数的单调性证明不等式；（3）由递推关系证明．11．【2018届浙江省名校协作体高三上学期联考】已知无穷数列{}n a 的首项112a =， *1111,2n n n a n N a a +⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）证明： 01n a <<；（Ⅱ）记()211n n nn n a a b a a ++-=， n T 为数列{}n b 的前n 项和，证明：对任意正整数n ， 310n T <. 【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析.【解析】试题分析; （I ）运用数学归纳法推理论证，（Ⅱ）由已知12211n n n a a a +=>+，即1n n a a +>，可得数列{}n a 为递增数列. 又1111112n n n n n a a a a a +⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭ 112n n a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，易知1n n a a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为递减数列，试题解析：（Ⅰ）证明：①当1n =时显然成立； ②假设当n k = ()*k N ∈时不等式成立，即01k a <<，那么当1n k =+时，11112k k k a a a +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ > 1·12=，所以101k a +<<，即1n k =+时不等式也成立.综合①②可知， 01n a <<对任意*n N ∈成立. （Ⅱ）12211n n n a a a +=>+，即1n n a a +>，所以数列{}n a 为递增数列. 又1111112n n n n n a a a a a +⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭ 112n n a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，易知1n n a a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为递减数列，所以111n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭也为递减数列，所以当2n ≥时，111n n a a +- 22112a a ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭154245⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 940=所以当2n ≥时， ()211n n nn n a a b a a ++-== ()()11111940n n n n nn a a a a a a +++⎛⎫--<- ⎪⎝⎭当1n =时， 11934010n T T b ===<，成立；当2n ≥时， 12n n T b b b =+++ < ()()()32431994040n n a a a a a a +⎡⎤+-+-++-⎣⎦综上，对任意正整数n ， 310n T <12（1（2（31的数组成的数列，试用数学归纳法证明【答案】（1（2）165.（3）见解析.（3只要证明（Ⅰ）当=右边，.综合（Ⅰ）.∴不等式 .点睛：本题主要考查二项式定理的应用、初等函数求导公式以及数学归纳法证明不等式，属于难题.利用数学归纳法证明结论的步骤是:(1)（2；（3）得出结论.。

2018届浙江省高三第二次五校联考文科数学试题及答案

2018学年浙江省五校联考第二次考试数学（文科）试题卷本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页, 选择题部分1至2页, 非选择题部分3至4页．满分150分, 考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．参考公式：柱体的体积公式V =Sh 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式 V =13Sh 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高台体的体积公式1()123V h S S =++ 其中S 1,S 2分别表示台体的上,下底面积球的表面积公式S =4πR 2其中R 表示球的半径，h 表示台体的高球的体积公式V =43πR3其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 在C ∆AB 中，“C 0AB⋅A =”是“C ∆AB 为直角三角形”的（ ▲ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件2. 已知数列{}n a 满足：21n a n n =+，且910n S =，则n 的值为（ ▲ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．103．要得到函数sin 2y x =的图象，只需将函数πcos(2)3y x =-的图象（ ▲ ）A ．向右平移π6个单位长度B ．向左平移π6个单位长度C ．向右平移π12个单位长度D ．向左平移π12个单位长度4．若αβ、是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为（ ▲ ）①若直线m α⊥，则在平面β内，一定不存在与直线m 平行的直线． ②若直线m α⊥，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m 垂直． ③若直线m α⊂，则在平面β内，不一定存在与直线m 垂直的直线． ④若直线m α⊂，则在平面β内，一定存在与直线m 垂直的直线． A ．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 5．已知菱形ABCD 的对角线AC 长为1，则ADAC =（ ▲ ）A ．4B ．2C ．1D ．216．设x R ∈, 对于使22x x M -+≤成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做22x x -+ 的上确界. 若,a b R +∈，且1a b +=，则122a b--的上确界为（ ▲ ） A ．5-B ．4-C ．92D ．92-7．如图，已知椭圆C 1：112x +y 2=1，双曲线C 2：22a x —22by =1（a >0，b >0），若以C 1的长轴为直径的圆与C 2的一条渐近线交于A 、B 两点，且C 1与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则C 2的离心率为（ ▲ ） A ．5 B ．5 C ．17 D ．71428. 如图，正ABC ∆的中心位于点G (0,1)，A (0,2)，动点P 从A 点出发沿ABC ∆的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度(02)AGP x x π∠=≤≤，向量OP 在(1,0)a =方向的投影为y （O 为坐标原点），则y 关于x 的函数()y f x =的图像是（ ▲ ）非选择题部分（共110分）二、填空题（本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每空4分，共36分．）9．设全集U R =，集合2{|340}A x x x =--<，2{|log (1)2}B x x =-<，则A B =▲ ，AB = ▲ ，RC A = ▲ .10．若变量,x y 满足202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2x y+的最大值为 ▲ ，_____21的取值范围-+x y ▲ . 11. 已知命题p ：R x ∈∃，x-1>lnx ．命题q ：R x ∈∀，0>x ，则⌝p ： ▲ ，命题p∧（⌝q ）是 ▲ （填真命题或假命题）。

2018学年第一学期浙江省名校协作体试题高三年级数学学科试题

2018年9月浙江省名校协作体高三联考数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，（）A.B.C.D.2.双曲线的焦距是（）A.2B.C.D.43.在中，内角所对的边长分别为，已知，，，则（）A.B.C.D.4.某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（）A.B.4C.2D.5.已知函数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.在一个箱子中装有大小形状完全相同的3个白球和2个黑球，现从中有放回地摸取5次，每次随机摸取一球，设摸得的白球个数为，黑球个数为，则（）A.，B.，C.，D.，7.若变量满足约束条件，则（）A.有最小值，无最大值B.有最大值，无最小值C.有最小值，最大值D.无最小值也无最大值8.已知，函数，记的最小值为，则（）A.在上是增函数，在上是减函数B.在上是减函数，在上是增函数C.在R上是奇函数D.在R上是偶函数9.已知公差为的等差数列的前项和为，若存在正整数，对任意正整数，恒成立，则下列结论不一定成立的是（）A.B.有最小值C.D.10.已知，是边（不包括端点）上的动点，将沿直线折起到，使在平面内的射影恰在直线上，则（）A.当时，两点的距离最大B.当时，两点的距离最小C.当时，两点的距离最小D.当时，两点的距离最大二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.11.已知，，则________，________.12.已知是虚数单位，复数满足，则_________，_________.13.已知展开式第三项的二项式系数为15，则________，含的项的系数是_________.14.已知，，则的最大值为________，的取值范围是_________.15.已知平面向量满足，，若，则的取值范围是_________.16.用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中6个格子，每个格子染一种颜色，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为_________.17.设函数，若对任意的实数和实数，总存在，使得，则实数的最大值是________.三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.（本题满分14分）已知函数的最小正周期为.（1）求的值；浙江高考墙Q Q2754808740（2）求函数在区间上的取值范围.19.（本题满分15分）如图，在三棱锥中，和均为等腰三角形，且，.（1）判断是否成立，并给出证明（2）求直线与平面所成角的正弦值.20.（本题满分15分）已知数列满足，，设数列满足.（1）求数列的前项和及的通项公式；（2）求证：.21.（本题满分15分）如图所示，已知抛物线的焦点为，，是抛物线上的两点，线段的中垂线交轴于点，若.（1）求点的坐标；（2）求面积的最大值.22.（本题满分15分）已知函数.（1）当时，直线是曲线的切线，求实数的值；（2）若是函数的两个极值点，且，求的取值范围.2018学年第一学期浙江省名校协作体试题模拟卷高三年级数学学科答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1-5B D A B B6-10C A D C C二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把答案填在题中横线上）11．，．12．，.13．，14．，．15．16．2017．浙江高考墙Q Q2754808740三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18．解：（Ⅰ）------------------2分--------------------------------------------5分由，得；-----------------------------------------7分（Ⅱ），因为，所以，------------------------------10分所以．------------------------------------------------------------14分19．解：（Ⅰ）⊥不成立，证明如下：-------------2分假设⊥，因为，且，所以面，---------5分所以，这与已知矛盾，------7分所以⊥不成立．（Ⅱ）解法1：取中点，中点，连，由已知计算得，------------9分由已知得,且，所以平面，所以平面平面，--------------12分取中点，连，则平面，从而，就是直线与平面所成的角，因为，，所以----------------------15分解法2：如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，-----------------------------------------9分设，由解得：-----------------------------11分，因为平面的法向量是，--------13分由------------15分20．解：I.由得由易得，所以两边取对数得到即……………2分又是以2为公比的等比数列，即……………………6分又………………………7分I I证法一、用数学归纳法证明：当时，左边为=右边，此时不等式成立；………8分假设当时，不等式成立，则当时，左边………10分=右边当时，不等式成立。

浙江省2018年9月浙江省名校协作体高三联考数学试题及答案

2018年9月浙江省名校协作体高三联考数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合}11|{<<-=x x P ，}20|{<<=x x Q ，=Q P （）A. )2,1(-B. )1,0(C. )0,1(-D. )2,1(2.双曲线1322=-y x 的焦距是（） A. 2 B. 22 C. 32 D. 43.在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，已知45=A ，60=B ，3=b ，则=a （）A. 2B.6 C. 223 D. 6234.某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（）A. 38B. 4C. 2D. 345.已知函数x x f ln )(=，则“0)(>x f ”是“0))((>x f f ”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6.在一个箱子中装有大小形状完全相同的3个白球和2个黑球，现从中有放回地摸取5次，每次随机摸取一球，设摸得的白球个数为X ，黑球个数为Y ，则（）A. )()(Y E X E >，)()(Y D X D >B. )()(Y E X E =，)()(Y D X D >C. )()(Y E X E >，)()(Y D X D =D. )()(Y E X E =，)()(Y D X D = 7.若变量y x ,满足约束条件⎩⎨⎧-≥≥-122x y x ，则y x z -=2（）A. 有最小值3-，无最大值B. 有最大值1-，无最小值C. 有最小值3-，最大值1-D. 无最小值也无最大值8.已知R a ∈，函数||||||)(||||a x e a x e x f x x --+-+=，记)(x f 的最小值为)(a m ，则（）A. )(a m 在)0,(-∞上是增函数，在),0(+∞上是减函数B. )(a m 在)0,(-∞上是减函数，在),0(+∞上是增函数C. )(a m 在R 上是奇函数D. )(a m 在R 上是偶函数9.已知公差为d 的等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若存在正整数0n ，对任意正整数m ，000<⋅+m n n S S 恒成立，则下列结论不一定成立的是（）A. 01<d aB. ||n S 有最小值C. 0100>⋅+n n a aD. 02100>⋅++n n a a10.已知ABC ∆，D 是边BC （不包括端点）上的动点，将ABD ∆沿直线AD 折起到BD A '∆，使B '在平面ADC 内的射影恰在直线AD 上，则（）A. 当CD BD =时，C B ,'两点的距离最大B. 当CD BD =时，C B ,'两点的距离最小C. 当CAD BAD ∠=∠时，C B ,'两点的距离最小D. 当AD BD ⊥时，C B ,'两点的距离最大二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.11.已知54sin =α，),2(ππα∈，则=αcos ________，α2tan ________. 12.已知i 是虚数单位，复数z 满足i i z =+⋅)2(，则=z _________，=||z _________.13.已知nx )21(+展开式第三项的二项式系数为15，则=n ________，含2x 的项的系数是_________.14.已知R b a ∈,，222=-+ab b a ，则b a +的最大值为________，ab 的取值范围是_________.15.已知平面向量,满足5||=，5=⋅，若52||≤-，则||的取值范围是_________.16.用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中6个格子，每个格子染一种颜色，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为_________.17.设函数|2|)(b ax xx f ++=，若对任意的实数a 和实数b ，总存在]3,1[0∈x ，使得m x f ≥)(0，则实数m 的最大值是________.三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本题满分14分）已知函数)0(21cos sin 3cos )(2>-+=ωωωωx x x x f 的最小正周期为π. （1）求ω的值；（2）求函数)(x f 在区间]2,0[π上的取值范围.19.（本题满分15分）如图，在三棱锥ABC P -中，PAC ∆和ABC ∆均为等腰三角形，且90=∠=∠BAC APC ，4==AB PB .（1）判断PC AB ⊥是否成立，并给出证明；（2）求直线PB 与平面ABC 所成角的正弦值.20.（本题满分15分）已知数列}{n a 满足31=a ，n n n a a a 221+=+，设数列}{n b 满足))(1(log 2*∈+=N n a b n n .（1）求数列}{n b 的前n 项和n S 及}{n a 的通项公式；（2）求证：)2(1131211≥<-++++n n b n .21.（本题满分15分）如图所示，已知抛物线x y C 4:2=的焦点为F ，),(11y x A ，))(,(2122x x y x B ≠是抛物线C 上的两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点P ，若4||||=+BF AF . （1）求点P 的坐标；（2）求PAB ∆面积的最大值.22.（本题满分15分）已知函数)()(R a x a e x f x∈+=-.（1）当0=a 时，直线kx y =是曲线)(x f y =的切线，求实数k 的值；（2）若21,x x 是函数)(x f 的两个极值点，且21x x <，求)(1x f 的取值范围.2018学年第一学期浙江省名校协作体试题模拟卷高三年级数学学科答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1-5 BDABB 6-10 CADCC二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把答案填在题中横线上）11．53- ，724． 12．i 5251+.13．6，60 14．22，]2,32[-．15．⎡⎣ 16．20 17．332-4三、解答题（本大题共5小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18．解：（Ⅰ）()1cos 2122x f x ω+=+-------------------2分c o s 23x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭--------------------------------------------5分由22ππω=，得1ω=；-----------------------------------------7分（Ⅱ）()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为[0,]2x π∈，所以22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，------------------------------10分所以1(),12f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．------------------------------------------------------------14分19．解：（Ⅰ）AB ⊥PC 不成立，证明如下：-------------2分假设AB ⊥PC ，因为AB AC ⊥，且PC AC C=，所以AB ⊥面PAC ，---------5分所以AB PA ⊥，这与已知4PB AB ==矛盾，------7分所以AB ⊥PC 不成立．（Ⅱ）解法1：取AC 中点O ，BC 中点G ，连,,PO OG PG ，由已知计算得2PO OG PG ===，------------9分由已知得,AC PO AC OG ⊥⊥, 且PO OG O =，所以AC ⊥平面POG ，所以平面ABC ⊥平面POG ，--------------12分取OG 中点H ，连BH ，则PH ⊥平面ABC ，从而，PBH ∠就是直线PB 与平面ABC 所成的角，因为PH =4PB =，所以sin 4PH PBH PB ∠==----------------------15分解法2：如图，以A 为原点，,AB AC 所在直线为,x y 轴建立空间直角坐标系，则()()()0,0,0,4,0,0,0,4,0A B C ，-----------------------------------------9分设(),,P x y z ，由()()222222222841648x y z x y z x y z ⎧++=⎪⎪-++=⎨⎪+-+=⎪⎩解得：(1,P -----------------------------11分(3,2,PB =--，因为平面ABC 的法向量是()0,0,1n =，--------13分由sin PB n PB nθ=⋅ =------------15分20．解：I.由n n n a a a 221+=+得2211121）（+=++=++n n n n a a a a 由31=a 易得0>n a ，所以两边取对数得到）（）（1log 21log )1(log 22212+=+=++n n n a a a 即n n b b 21=+ ……………2分又02)1(log 121≠=+=a b}{n b ∴是以2为公比的等比数列，即n n b 2= 221-=∴+n n S ……………………6分又)1(log 2+=n n a b 122-=∴nn a ………………………7分 II 证法一、用数学归纳法证明：1当2=n 时，左边为261131211<=++=右边，此时不等式成立；………8分2假设当2≥=k n 时，不等式成立，则当1+=k n 时，左边12112121121312111-++++-++++=+k k k k………10分121121211-++++<+k k k k个k k k k k 2212121+++<1+<k =右边∴当1+=k n 时，不等式成立。

名校新高考研究联盟2018届第二次联考数学试卷(含答案)

（Ⅱ）
...........7 分
1 当x [ , 2]时, f ( x) 1恒成立, f (1) 1, a 1, 2 ........9 分
a 1 bx ln x x ln x x x
f ( x)
..........12 分
令g ( x)
1 1 x ln x, 则g ( x) 2 ln x 1, g (1) 0 x x
（Ⅱ）
设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),
x ty m 2 (t 2 4) y 2 2tmy m 2 8 0 x y2 1 2 8 .............7 分
（1）设直线l AB : x ty m则有
由 0得 : 2t 2 m2 8 0
an 1 ln(an 1) an 1
an 1 ln(an 1) 1 ，即 an an 1 an 1
浙江省名校新高考研究联盟 2018 届第二次联考数学参考答案第 4 页共 6 页
所以 0 an 1 an （2）因为 an 1
..........4 分
A B
........4 分
（2）方法一：（向量法）过点 D 在平面 PDCE 中作 DQ PE ，交 PE 于点 Q 由已知可得 PQ 空间直角坐标系
浙江省名校新高考研究联盟 2018 届第二次联考数学参考答案第 1 页共 6 页
1 ，以 D 为原点，分别以 DA, DC , DQ 所在的直线为 x, y, z 轴，建立 2
...............8 分
m2 (t 2)m 4t 8 0解得m 2 t或m 4

浙江省2018年五校联考数学试题最终稿学参考答案

1 5
13． 26 2 34 ,
125 2 3
17． 4 33
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分 14 分）解：（Ⅰ）由 (b c) a (2
2 2
2)bc得
b 2 c 2 a 2 2bc,
km 1 x ，解得 xQ 1 k2 k
…………………………9 分
由 PB : y kx m 联立 OQ : y
∴ PQ 1 k
2
km 4k 1 k2 m
∴ S OPQ
PQ OQ 2

m 1 km 4k 1 k2 …………………………12 分 2 2 1 k 1 k2 m
EG EF sin
o

…………………15 分
方法（体积法）作，则由面面可得面 2 PE BF PBF , 由解得点到面距离从而 VP ACD VD PAC , D PAC h
ABCD, 3 , 2
PE
ABCD
sin
h 3 AD 4
20．（本小题满分 15 分）
xx 1 ' g x x ln x , 可得： f x 0 x 1 解: （Ⅰ）设 x 2x x 所以是增函数，得即欲证成立 g x g x .g 1 0, （5分） L L

2
x 1 ln x x 1 x ' x （Ⅱ）① f x ln x 0 x 1 2 2 2 2 x x 1 ln x x 1 ln x
当 k 1 时取等号

衢州、湖州、丽水2018年9月三地市高三教学质量检测数学试卷及答案

衢州、湖州、丽水2018年9月三地市高三教学质量检测试卷数学考生须知：（与答题卷上的要求一致）1．全卷分试卷和答题卷，考试结束后，将答题卷上交。

2．试卷共4页，有3大题，22小题。

满分150分，考试时间120分钟。

3．答题前，请务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。

4.请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效。

作图时先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。

选择题部分（共40分）一、选择题：本大题有10小题，每小题4分，共40分。

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{}0A x x =>，{}(2)(1)0B x x x =-+<，则A B =A ．(0,2)B ．(0,1)C ．(1,2)-D ．(1,)-+∞2. ()61x +展开式中含4x 项的系数是 A ．36CB ．46C C ．56C D ．66C3. 若,x y 满足约束条件0,3,2,x x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩3z x y =+的最大值是A ． 6B ．7C ．8D ．9 4. 已知等比数列{}n a 满足1322a a a +=-，则公比q =A ．1-B ． 1C ． 2- 错误！未找到引用源。

D ． 25. 已知a 为实数，“1a >”是“23a a <”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6. 已知随机变量ξ的分布列如右所示若2E ξ=，则D ξ的值可能是A ．43 B.32C. 2D.237. 已知,a b 是正实数，若22a b +≥，则A ．12ab ≥ B.22142b a +≥ C. 1122a b+≥ D.221a b +≥ 8. 如图，11122233,,OA B A A B A A B ∆∆∆等的等边三角形，且123,,,O A A A 若点123,,P P P 分别是边112233,,AB A B A B 上的动点，记113I OB OP =⋅，222I OB OP =⋅，331I OB OP =⋅，则 A ．321I I I >> B.132I I I >> C.312I I I >> D.213I I I >> 9. 已知函数21()(0)f x ax bx a x=+->有两个不同的零点12,x x ，则 A ． 12120,0x x x x +<< B ． 12120,0x x x x +>>C ． 12120,0x x x x +<>D ． 12120,0x x x x +><10. 已知三棱柱ABC A B C '''-，AA '⊥平面ABC ，P 是A B C '''∆内一点，点,E F 在直线BC 上运动，若直线PA 和AE 所成角的最小值与直线PF 和平面ABC 所成角的最大值相等，则满足条件的点P 的轨迹是 A ．直线的一部分 B ．圆的一部分 C ．抛物线的一部分 D ．椭圆的一部分非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。

2018学年第二学期浙江省名校协作体参考答案高三年级数学参考答案

故 amin = 2 2 −1 ----------------------------------------------------------------------------14 分 19．证明：（1）连结 AC ，交 BD 于点 O ，则 BM = 1 = BN
BP 2 BO ∴ MN // PO -------------------------------------------------------------------------------------2 分从而 MN / / 面 PAC ---------------------------------------------------------------------------3 分（2）连结 PO ， PN Q PA = PC , O 是 AC 中点 ∴ PO ⊥ AC ,又 PA = PC = 5 ， AO = 2
+L+
1 2n −1
−
1 2n +1
--------13
分
= 5−3⋅ 1 < 5 4 2 2n +1 4
即 Tn
<
5 4
--------------------------------------------------------------------------------------15
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2018 学年第二学期浙江省名校协作体参考答案
高三年级数学
首命题：金华一中次命题兼审校：衢州二中
审核：长兴中学
一、选择题
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
答案 C

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