平面向量的数量积及应用

富县高级中学集体备课教案

年级：高三科目：数学授课人：

课题第三节►►平面向量的数量积及应用

第 1 课时

三维目标(1)考查两个向量的数量积的求法；(2)利用两个向量的数量积求向量的夹角、向量的模；(3)利用两个向量的数量积证明两个向量垂直．

重点(1)理解数量积的意义，掌握求数量积的各种方法；

(2)理解数量积的运算性质。

中

心

发

言

人

难点利用数量积解决向量的几何问题.

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教学过程一．知识梳理

1．平面向量的数量积

若两个__________向量a与b，它们的夹角为θ，则数量_____________叫做a与b的数量积(或内积)，记作______.

规定：零向量与任一向量的数量积为______.

两个非零向量a与b垂直的充要条件是______，两个非零向量a与b平行的充要条件是__________________________.

2．平面向量数量积的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影_________的乘积．

3．平面向量数量积的重要性质

(1)e·a＝a·e＝__________________；

(2)非零向量a，b，a⊥b⇔ __________________；

(3)当a与b同向时，a·b＝__________；

当a与b反向时，a·b＝____________，a·a＝________，|a|＝____________；(4)cosθ＝__________________；

(5)|a·b|______|a||b|.

4．平面向量数量积满足的运算律

(1)a·b＝____________(交换律)；

(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝__________(λ为实数)；

(3)(a＋b)·c＝__________________.

5．平面向量数量积有关性质的坐标表示

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝__________，由此得到：

(1)若a ＝(x ，y )，则|a |2

＝______________，或|a |＝____________. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点间的距离|AB |＝|AB →

|＝______________.(3)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，

y 2)，则a ⊥b ⇔______.

二．学情自测

1．下列四个命题中真命题的个数为( ) ①若a ·b ＝0，则a ⊥b ；

②若a ·b ＝b ·c ，且b ≠0，则a ＝c ； ③(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )；

④(a ·b )2＝a 2·b 2

.

A ．4个

B ．2个

C ．0个

D ．3个 2．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →

＝( )

A ．－32

B ．－23 C.23 D.32

3．已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，λa ＋b 与a 垂直，则λ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2

4．已知a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 上的投影为( )

A.13

B.135

C.655

D.65 5．已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与b 的夹角是( ) A.

π6 B.π4 C.π3 D.π2

三．典例精析

1平面向量数量积的运算

【例1】 (1)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →等于( ) A ．－16 B ．－8 C ．8 D ．16 (2)若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x 等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3

思维启迪：(1)由于∠C ＝90°，因此选向量CA →，CB →

为基底．

(2)先算出8a －b ，再由向量的数量积列出方程，从而求出x .

2.向量的夹角与向量的模

【例2】 已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |；

(3)若AB →＝a ，BC →

＝b ，求△ABC 的面积．

思维启迪：运用数量积的定义和|a |＝a ·a . 3.向量数量积的综合应用

【例3】 已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)(0<α<β<π)．

(1)求证：a ＋b 与a －b 互相垂直；

(2)若k a ＋b 与a －k b 的模相等，求β－α.(其中k 为非零实数)

思维启迪：(1)证明两向量互相垂直，转化为计算这两个向量的数量积问题，数量积为零即得证． (2)由模相等，列等式、化简． 4.

平面向量与三角函数的交汇 【例4】 已知在锐角△ABC 中，两向量p ＝(2－2sin A ，cos A ＋sin A )，q ＝(sin A －cos A,1＋sin A )，且p 与q 是共线向量．

(1)求A 的大小；

(2)求函数y ＝2sin 2B ＋cos ⎝⎛

⎭⎫

C －3B 2取最大值时，B 的大

小．

四 易错警示（平面向量与解三角形答题模板）

【示例】 (12分)已知角A ，B ，C 是△ABC 的内角，a ，b ，c 分别是其对边长，向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23sin A 2，cos 2A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫

cos A 2，－2，m ⊥n . (1)求角A 的大小；

(2)若a ＝2，cos B ＝3

3，求b 的长． 教 后 反 思

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