连续时间信号与系统的时域分析课件
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解:根据微分算子与积分算子的定义，上式可 表示为 还可以将上式改写为
5
2.1系统微分方程的建立及算子表示
例 利用广义微分算子与广义积分算子来表示 下面的微分方程。
解：由广义微分算子与广义积分算子可写微 分方程的算子方程如下
其中
6
微分方程的算子形式
dn dt n
yt a1
d n1 dt n1
yt ... an1
对于等式px =py，双方的算子p一般也不好消
去。
以上讨论说明，代数量的运算规则对于算子 符号一般也可以用，只是在分子分母中或在 等式两边中的算子符号不能随便消去。
12
2.1系统微分方程的建立及算子表示
3.算子方程组的消元 为了要从一个n阶电路的n元一次算子方程组 得到一个形式为
的一元n阶算子方程，必须将原方程组中除响 应变量.y(t)以外的其他未知量系统消去。在掌 握了算子的运算规则之后，就可以较为方便 地做到这一点。
统分析的统一的方法。
先引入算子的定义，再由定义导出其“运算”规则， 最后介绍如何用算子法列写微分方程。
3
微分算 子
算子符号
p d dt
px dx , dt
pn
dn dt n
,
pn x
dnx dt n
积分算 子
1 t d
p
1 x
t
xd
p
4
2.1系统微分方程的建立及算子表示
例 用算子法表示下面的微分方程。
t p
pi2 t 3i2 t
e
t
0
利用克莱姆法则， 解出:
3 p 1 et
i2t
p 3p1
0 p
pet
2 p2 10 p 3
1 2
p2
5
p p
3
/
2
et
p p3
系统函数为：H p
2
p2
p 5p
3/2
p2
5p
3 2
i2 t
1 2
pet
微分方程为： d 2
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i2
t
5
d dt
i2
t
3 2
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t
1 2
d dt
et
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2.2 零输入响应yx(t)
2.2.1 yx(t)的定义 2.2.2 yx(t)的求法 2.2.3 系统的自然模式
返回首页
18
2.2.1 yx(t)的定义
系统在无外加激励作用下，仅由系统的初始 状态所引起的响应称为系统的零输入响应， 记为yx(t)。系统的零输入响应完全由系统的结 构与状态决定，而与激励信号无关。
2
2.1系统微分方程的建立及算子表示
2.1.1系统方程的算子表示法
如上面所示，描写线性系统的激励函数和响应函数
间关系的微分方程形式看起来很复杂，为了方便起见，
把微分算子用符号p来代表，如令
，通过引入
算子符号，可以把微积分方程在形式上变成代数方程。
它的优点一是简化方程的列写(特别是联立方程消元)，
一是通过引入系统转移算子H(p)的概念，便于形成系
7
pn yt a1 pn1 yt ... an1 pyt an yt b0 pm f t b1 pm1 f t ... bm1 pf t bm f t
N p
y t
b0 pm b1 pm1 ... bm1 p bm pn a1 pn1 ... an1 p an
像代数式那样相乘和因式分解。 特殊情况：
10
2.1系统微分方程的建立及算子表示
特殊一： 这里也像代数式中一样，分子分母中的p
可以消去。但是
这里除非x(-∞) = 0，否则分母和分子中的p 就不能消去。这表明在一般情况下，有
11
2.1系统微分方程的建立及算子表示
特殊二： 若将式
两边积分，可得
（ c为积分常数）
ft
yt
N p D p
f t
yt H p f t
D p H p
8
2.1系统微分方程的建立及算子表示
例2-3 求下面微分方程的转移算子H(p)
解：可将上述方程改写为
根据转移算子的定义，上式可进一步表示为
也即
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2.1系统微分方程的建立及算子表示
2.算子的运算规则 （1）由P的多项式所组成的运算符号可以
第2章 连续时间信号与系统的时域分析
2.1 系统微分方程的建立及算子表示 2.2 零输入响应 2.3 零状态响应 2.4 卷积积分 2.5 LTI连续时间系统时域分析举例
1
LTI连续系统的时域分析，归结为：建立并 求解线性微分方程。
由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间 t，故称为时域分析法。这种方法比较直观 ，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法 的基础。
在式(2-8)中令f (t) = 0，得到齐次方程
yx(t)就是齐次方程(2-11)的解。
19
其中，D(p)称为系统的特征多项式，方程D(p) =0叫做系统的特征方程，特征方程的根称系统 的特征根。 先来讨论比较简单的一阶、二阶齐次方程的 情况，然后推广至n阶方程。
20
一阶与二阶齐次方程的解 一阶齐次方程的一般形式为 即
d2 dt 2
it
5
d dt
it
6it
d dt
et
15
例题
如下图所示电路，et 为激励信号，响应为 i2t ，
用算子法求其算子方程、传输算子以及微分方程。
1 2H
et
i1 t 1H
1
1 2 p
i2 t
2 et
i1 t p
1
i2 t
2
16
1 2 p
et
i1 t p
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1
i2 t
2
3
p 1i1 pi1 t
通过分离变量，上式可改写为
21
对两边积分得
其中，k是积分常数。从而可得
其中，C=ek是待定系数，由系统的初始条件 决定。例如，将初始状态yx(o)代入式(2-14)即 可得
22
从而得到一阶齐次方程的解为 二阶齐次方程的一般形式为
其中，a,b是常数。其算子方程为
23
将上式中的D(p)作因式分解 从而将式(2-16)改写为
13
电感和电容的算子表示
电感
L t
L
d dt
iL
t
LpiL
t
Lp 电感算子符号，理解为电感的感抗值
电容
C
t
1 C
t
iC d
1 Cp
iC
t
1 电容算子符号，理解为电容的容抗值
Cp
14
Lp p
R
L
iL
5 1H
et
i t
1F 6
C
1 6
Cp p
5
p
6 p
it
et
p2it 5 pit 6it pet
d dt
yt an yt
dm b0 dt m
d m1
f t b1 dt m1
f
t
...
bm 1
d dt
f t bm f t
算子方程
pn yt a1 pn1 yt ... an1 pyt an yt b0 pm f t b1 pm1 f t ... bm1 pf t bm f t
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2.1系统微分方程的建立及算子表示
例 利用广义微分算子与广义积分算子来表示 下面的微分方程。
解：由广义微分算子与广义积分算子可写微 分方程的算子方程如下
其中
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微分方程的算子形式
dn dt n
yt a1
d n1 dt n1
yt ... an1
对于等式px =py，双方的算子p一般也不好消
去。
以上讨论说明，代数量的运算规则对于算子 符号一般也可以用，只是在分子分母中或在 等式两边中的算子符号不能随便消去。
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2.1系统微分方程的建立及算子表示
3.算子方程组的消元 为了要从一个n阶电路的n元一次算子方程组 得到一个形式为
的一元n阶算子方程，必须将原方程组中除响 应变量.y(t)以外的其他未知量系统消去。在掌 握了算子的运算规则之后，就可以较为方便 地做到这一点。
统分析的统一的方法。
先引入算子的定义，再由定义导出其“运算”规则， 最后介绍如何用算子法列写微分方程。
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微分算 子
算子符号
p d dt
px dx , dt
pn
dn dt n
,
pn x
dnx dt n
积分算 子
1 t d
p
1 x
t
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4
2.1系统微分方程的建立及算子表示
例 用算子法表示下面的微分方程。
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利用克莱姆法则， 解出:
3 p 1 et
i2t
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2 p2 10 p 3
1 2
p2
5
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系统函数为：H p
2
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微分方程为： d 2
dt 2
i2
t
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i2
t
3 2
i2
t
1 2
d dt
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2.2 零输入响应yx(t)
2.2.1 yx(t)的定义 2.2.2 yx(t)的求法 2.2.3 系统的自然模式
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2.2.1 yx(t)的定义
系统在无外加激励作用下，仅由系统的初始 状态所引起的响应称为系统的零输入响应， 记为yx(t)。系统的零输入响应完全由系统的结 构与状态决定，而与激励信号无关。
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2.1系统微分方程的建立及算子表示
2.1.1系统方程的算子表示法
如上面所示，描写线性系统的激励函数和响应函数
间关系的微分方程形式看起来很复杂，为了方便起见，
把微分算子用符号p来代表，如令
，通过引入
算子符号，可以把微积分方程在形式上变成代数方程。
它的优点一是简化方程的列写(特别是联立方程消元)，
一是通过引入系统转移算子H(p)的概念，便于形成系
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pn yt a1 pn1 yt ... an1 pyt an yt b0 pm f t b1 pm1 f t ... bm1 pf t bm f t
N p
y t
b0 pm b1 pm1 ... bm1 p bm pn a1 pn1 ... an1 p an
像代数式那样相乘和因式分解。 特殊情况：
10
2.1系统微分方程的建立及算子表示
特殊一： 这里也像代数式中一样，分子分母中的p
可以消去。但是
这里除非x(-∞) = 0，否则分母和分子中的p 就不能消去。这表明在一般情况下，有
11
2.1系统微分方程的建立及算子表示
特殊二： 若将式
两边积分，可得
（ c为积分常数）
ft
yt
N p D p
f t
yt H p f t
D p H p
8
2.1系统微分方程的建立及算子表示
例2-3 求下面微分方程的转移算子H(p)
解：可将上述方程改写为
根据转移算子的定义，上式可进一步表示为
也即
9
2.1系统微分方程的建立及算子表示
2.算子的运算规则 （1）由P的多项式所组成的运算符号可以
第2章 连续时间信号与系统的时域分析
2.1 系统微分方程的建立及算子表示 2.2 零输入响应 2.3 零状态响应 2.4 卷积积分 2.5 LTI连续时间系统时域分析举例
1
LTI连续系统的时域分析，归结为：建立并 求解线性微分方程。
由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间 t，故称为时域分析法。这种方法比较直观 ，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法 的基础。
在式(2-8)中令f (t) = 0，得到齐次方程
yx(t)就是齐次方程(2-11)的解。
19
其中，D(p)称为系统的特征多项式，方程D(p) =0叫做系统的特征方程，特征方程的根称系统 的特征根。 先来讨论比较简单的一阶、二阶齐次方程的 情况，然后推广至n阶方程。
20
一阶与二阶齐次方程的解 一阶齐次方程的一般形式为 即
d2 dt 2
it
5
d dt
it
6it
d dt
et
15
例题
如下图所示电路，et 为激励信号，响应为 i2t ，
用算子法求其算子方程、传输算子以及微分方程。
1 2H
et
i1 t 1H
1
1 2 p
i2 t
2 et
i1 t p
1
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2
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1 2 p
et
i1 t p
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i2 t
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p 1i1 pi1 t
通过分离变量，上式可改写为
21
对两边积分得
其中，k是积分常数。从而可得
其中，C=ek是待定系数，由系统的初始条件 决定。例如，将初始状态yx(o)代入式(2-14)即 可得
22
从而得到一阶齐次方程的解为 二阶齐次方程的一般形式为
其中，a,b是常数。其算子方程为
23
将上式中的D(p)作因式分解 从而将式(2-16)改写为
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电感和电容的算子表示
电感
L t
L
d dt
iL
t
LpiL
t
Lp 电感算子符号，理解为电感的感抗值
电容
C
t
1 C
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1 Cp
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1 电容算子符号，理解为电容的容抗值
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算子方程
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