连续时间信号与系统的时域分析课件
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第二章 信号与系统的时域分析
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17
二 卷积积分(The convolution integral) 若 (t ) h(t ) 则 (t ) h(t ) = h (t )
x t x h t
x(t ) x( ) (t )d y(t ) x( )h (t )d
则 y(t ) ak yk (t )
k
4
信号与系统的时域分析:
一般的信号都可以表示为延迟冲激的线性组合。
结合系统的叠加性和时不变性,就能够用LTI的单位
冲激响应来完全表征任何一个LTI系统的特性。这样
一种表示在离散情况下称为卷积和;在连续时间情
况下称为卷积积分。
5
分析方法:
对信号分解可在时域进行,也可在频域或变换域 进行,相应地产生了对LTI系统的时域分析法、频 域分析法和变换域分析法。
h( n n kk n h ) uu (n k )k
1
1
k
0
...
0
k
n
12
运算过程:
k k) ,再随参变量 为 h(
点值累加,得到
将一个信号 xk 不动,另一个信号反转后成为
下,将 xk 与 hn k 对应点相乘,再把乘积的各
n
移位.在每个 n 值的情况
x( [ n] y x x[ (n n] )* [ (n) h2 (n n)] x ) y( n n) (h h1 ) 1 n h2 h (n ) h( n) h2 x(t ) 11 y(t ) x(t ) [h1 (t ) h2 (t )] h1 (t ) h2 (t )
0
16
对一般信号 x(t ) ,可以分成很多 宽度的区段, 用一个阶梯信号 x (t ) 近似表示 x(t ) .当 0 时,
二 卷积积分(The convolution integral) 若 (t ) h(t ) 则 (t ) h(t ) = h (t )
x t x h t
x(t ) x( ) (t )d y(t ) x( )h (t )d
则 y(t ) ak yk (t )
k
4
信号与系统的时域分析:
一般的信号都可以表示为延迟冲激的线性组合。
结合系统的叠加性和时不变性,就能够用LTI的单位
冲激响应来完全表征任何一个LTI系统的特性。这样
一种表示在离散情况下称为卷积和;在连续时间情
况下称为卷积积分。
5
分析方法:
对信号分解可在时域进行,也可在频域或变换域 进行,相应地产生了对LTI系统的时域分析法、频 域分析法和变换域分析法。
h( n n kk n h ) uu (n k )k
1
1
k
0
...
0
k
n
12
运算过程:
k k) ,再随参变量 为 h(
点值累加,得到
将一个信号 xk 不动,另一个信号反转后成为
下,将 xk 与 hn k 对应点相乘,再把乘积的各
n
移位.在每个 n 值的情况
x( [ n] y x x[ (n n] )* [ (n) h2 (n n)] x ) y( n n) (h h1 ) 1 n h2 h (n ) h( n) h2 x(t ) 11 y(t ) x(t ) [h1 (t ) h2 (t )] h1 (t ) h2 (t )
0
16
对一般信号 x(t ) ,可以分成很多 宽度的区段, 用一个阶梯信号 x (t ) 近似表示 x(t ) .当 0 时,
信号与系统第二章第一讲
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i
则相应于1的k阶重根,有k项:
( A1t k 1 A2t k 2 Ak 1t Ak )e1t ( Ai t k i )e1t
i 1
k
例2-3
信 号 与 系 统
求如下所示的微分方程的齐次解。
Hale Waihona Puke d3 d2 d r (t ) 7 2 r (t ) 16 r (t ) 12r (t ) e(t ) 3 dt dt dt
等式两端各对应幂次的系数应相等,于是有:
信 号 与 系 统
特解为: 联立解得:
3B1 1 4 B1 3B2 2 2 B 2 B 3 B 0 2 3 1
统
线性时不变系统
线性的常系数微分方程
按照元件的约束特性及 系统结构的约束特性
也即:
具体系统物理模型
常系数微分方程建立
(1)元件端口的电压与电流约束关系
iR (t ) R
信 号 与 系 统
vR (t )
C
vR (t ) iR (t ) R
dvC (t ) iC (t ) C dt
vR (t ) Ri R (t )
与
时域经典法就是直接求解系统微分方程的方法。这种方 系 法的优点是直观,物理概念清楚,缺点是求解过程冗繁,应 用上也有局限性。所以在20世纪50年代以前,人们普遍喜欢 统 采用变换域分析方法(例如拉普拉斯变换法),而较少采用时 域经典法。20世纪50年代以后,由于δ(t)函数及计算机的普 遍应用,时域卷积法得到了迅速发展,且不断成熟和完善, 已成为系统分析的重要方法之一。时域分析法是各种变换域 分析法的基础。
信 号 与 系 统
is (t )
则相应于1的k阶重根,有k项:
( A1t k 1 A2t k 2 Ak 1t Ak )e1t ( Ai t k i )e1t
i 1
k
例2-3
信 号 与 系 统
求如下所示的微分方程的齐次解。
Hale Waihona Puke d3 d2 d r (t ) 7 2 r (t ) 16 r (t ) 12r (t ) e(t ) 3 dt dt dt
等式两端各对应幂次的系数应相等,于是有:
信 号 与 系 统
特解为: 联立解得:
3B1 1 4 B1 3B2 2 2 B 2 B 3 B 0 2 3 1
统
线性时不变系统
线性的常系数微分方程
按照元件的约束特性及 系统结构的约束特性
也即:
具体系统物理模型
常系数微分方程建立
(1)元件端口的电压与电流约束关系
iR (t ) R
信 号 与 系 统
vR (t )
C
vR (t ) iR (t ) R
dvC (t ) iC (t ) C dt
vR (t ) Ri R (t )
与
时域经典法就是直接求解系统微分方程的方法。这种方 系 法的优点是直观,物理概念清楚,缺点是求解过程冗繁,应 用上也有局限性。所以在20世纪50年代以前,人们普遍喜欢 统 采用变换域分析方法(例如拉普拉斯变换法),而较少采用时 域经典法。20世纪50年代以后,由于δ(t)函数及计算机的普 遍应用,时域卷积法得到了迅速发展,且不断成熟和完善, 已成为系统分析的重要方法之一。时域分析法是各种变换域 分析法的基础。
信 号 与 系 统
is (t )
信号与系统分析第二章 连续时间系统的时域分析
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第二章 连续时间系统的时域分析
2.1.1
对系统进行分析时, 首先要建立系统的数学模型。 对于电的系统, 只要利用理想的电路元件, 根据基尔霍 夫定律, 就可以列出一个或一组描述电路特征的线性 微分方程。 现举例来说明微分方程的建立方法。
第二章 连续时间系统的时域分析
例2.1 图2.1所示为RLC串联电路, 求电路中电流i(t) 与激励e(t)之间的关系。
第二章 连续时间系统的时域分析
(3)
y(t) C 1 e t C 2 e 6 t5 2c 0 1o 2 t)s 5 3 (s0i2 n t) (
D(p)y(t)=N(p)f(t)
y(t) N(p) f (t) D(P)
式(2.15)中的 N ( p ) 定义为转移算子, 用H(p)表示,
D (P)
(2.14) (2.15)
H (p ) N D ( (P p ) ) b a m n p p m n a b n m 1 1 p p n m 1 1 a b 1 1 p p a b 0 0 (2.16)
t0
解 (1) 齐次解。 由例2.4 yh (t)=C1e-t+C2e-6t
第二章 连续时间系统的时域分析
(2) 特解。 查表2.2, yp(t)=B1cos (2t)+B2sin(2t)
-14B1+2B2-6=0 2B1+14B2=0
于是,
B15201,
B2530
yp(t)5 20 c 1o2ts) (530 si2 nt)(
第二章 连续时间系统的时域分析
3. 用算子符号表示微分方程, 不仅书写简便, 而且在建 立系统的数学模型时也很方便。 把电路中的基本元件R、 L、 C的伏安关系用微分算子形式来表示, 可以得到相应 的算子模型, 如表2.1所示。
连续时间信号的时域分析和频域分析
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时域与频域分析的概述
时域分析
研究信号随时间变化的规律,主 要关注信号的幅度、相位、频率 等参数。
频域分析
将信号从时间域转换到频率域, 研究信号的频率成分和频率变化 规律。
02
连续时间信号的时
域分析
时域信号的定义与表示
定义
时域信号是在时间轴上取值的信号, 通常用 $x(t)$ 表示。
表示
时域信号可以用图形表示,即波形图 ,也可以用数学表达式表示。
05
实际应用案例
音频信号处理
音频信号的时域分析
波形分析:通过观察音频信号的时域波形,可 以初步了解信号的幅度、频率和相位信息。
特征提取:从音频信号中提取出各种特征,如 短时能量、短时过零率等,用于后续的分类或 识别。
音频信号的频域分析
傅里叶变换:将音频信号从时域转换 到频域,便于分析信号的频率成分。
通信系统
在通信系统中,傅里叶变 换用于信号调制和解调, 以及频谱分析和信号恢复。
时频分析方法
01
短时傅里叶变换
通过在时间上滑动窗口来分析信 号的局部特性,能够反映信号的 时频分布。
小波变换
02
03
希尔伯特-黄变换
通过小波基函数的伸缩和平移来 分析信号在不同尺度上的特性, 适用于非平稳信号的分析。
将信号分解成固有模态函数,能 够反映信号的局部特性和包络线 变化。
频域信号的运算
乘法运算
01
在频域中,两个信号的乘积对应于将它们的频域表示
相乘。
卷积运算
02 在频域中,两个信号的卷积对应于将它们的频域表示
相乘后再进行逆傅里叶变换。
滤波器设计
03
在频域中,通过对频域信号进行加权处理,可以设计
第二章LTI系统的时域分析ppt课件
![第二章LTI系统的时域分析ppt课件](https://img.taocdn.com/s3/m/d7bfd25c91c69ec3d5bbfd0a79563c1ec5dad70a.png)
注意:为方便起见,对单一零状态系统进行讨论时常常仅用y(t)代表yf(t)。
y( t ) a0 y当( tf)(t b)0f (t()t )时 h( t ) a0h( t ) b0 ( t )
2、h(t)的求解方法 (1) 利用阶跃响应与冲激响应的关系求解
此方法适用于简单电路,前提是阶跃响应g(t)简单易求。
y( t ) yh( t ) yp( t )
1、齐次解yh(t)
y( n )( t ) an1 y( n1 )( t ) a1 y( t ) a0 y( t ) 0
特征方程
的解
n n1 a1 a0 0
➢ 齐次微分方程的特征根:特征方程的 n 个根λi (i=1,2,…,n) ; ➢ 齐次解yh(t)的函数形式由特征根确定;
零状态 系统
y f ( t ) h( t )
yf(t)= g(t)
➢ 零状态系统:在激励 f(t) 的作用下将产生零状态响应yf(t);
➢ 如果激励是单位冲激信号δ(t),产生的响应称为单位冲激响应,用h(t)表示。 ➢ 如果激励是单位阶跃信号ε(t),产生的响应称为单位阶跃响应,用g(t)表示。
n
m
ai y(k i) bj f (k j)
i0
j0
(an 1, m n)
差分方程的经典解分为齐次解yh(k)和特解yp(k)。
y(k) yh (k) yp (k)
1、差分方程的齐次解
n阶前向齐次差分方程 y(k n) an1y(k n 1) a1y(k 1) a0 y(k) 0
i1
y( t
)
yh( t
)
yp( t
)
C
1e
C2 t
ie
信号与系统引论 课件 郑君里 第2章 连续时间系统的时域分析
![信号与系统引论 课件 郑君里 第2章 连续时间系统的时域分析](https://img.taocdn.com/s3/m/7c4bad5d77232f60ddcca12b.png)
网络拓扑约束:由网络结构决定的电压电流约束关系,
KCL,KVL。
例2-1
电阻 电感 电容
求并联电路的端电压v(t)与激励is(t)间的关系。
1 iR iR t v t R i s t R L 1 t i L t v d L d v t iC t C 元件特性约束 dt
E (常数)
B(常数)
B1t p B2 t p1 B p t B p1
tp e t
cos t sin t
Be t
B1 cos t B2 sin t
t p e t sin t B1t p B2 t p 1 B p t B p 1 e t cos t
2.2 系统数学模型(微分方程)的建立
对于电路系统,主要是根据元件特性约束和网络拓扑
约束列写系统的微分方程。
对于其他物理系统,根据实际系统的物理特性列写系 统的微分方程。 元件特性约束:表征元件特性的关系式。例如二端元
件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及
四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。
等式两端各对应幂次的系数应相等,于是有
3 B1 1 4 B1 3 B2 2 2 B 2 B 3 B 0 2 3 1
联解得到
1 2 10 B1 , B2 , B3 3 9 27
所以,特解为
1 2 2 10 rp t t t 3 9 27
i L (0 ) i L (0 )
例2-6 如图示出RC一阶电路,电路中无储能,起始电
压和电流都为零,激励信号e(t)=u(t),求t >0系统的响
应——电阻两端电压vR(t)。
信号与系统课件(郑君里版)第二章
![信号与系统课件(郑君里版)第二章](https://img.taocdn.com/s3/m/616221dba58da0116c17494b.png)
e ,t≥0;y(0)=2,y’(0)= 2 t ,t≥0;y(0)= 1, e
t
-1
y’(0)=0时的全解。
解: (1) 特征方程为
2 + 5λ+ 6 = 0
其特征根λ1= – 2,λ2= – 3。 齐次解为
yh (t ) C1e2t C2e2t
由表2-2可知,当f(t) = 2 e t
y fh (t ) C f 1e
2t
C f 2e
t
其特解为常数 3 , 于是有
y f (t ) C f 1e2t C f 2et 3
C1 1 C 2 4
根据初始值求得:
y f (t ) e2t 4et 3,t 0
四.系统响应划分
自由响应+强迫响应 (Natural+forced) 暂态响应+稳态响应 (Transient+Steady-state) 零输入响应+零状态响应 (Zero-input+Zero-state)
零输入响应
2.2 冲激响应和阶跃响应
一.冲激响应 1.定义 系统在单位冲激信号δ(t) 作用下产生的零状态响 应,称为单位冲激响应,简称冲激响应,一般用h(t)表 示。
t
ht
H
[例2.2.1] 描述某系统的微分方程为y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)求其 冲激响应h(t)。
相互关系
零输入响应是自由响应的一部分,零状态响应有自由响 应的一部分和强迫响应构成 。
y (t ) e 2t 3 y x (t ) y f (t ) (2e 2t 4e t ) (e 2t 4e t 3),t 0
第2章 连续时间信号和离散时间信号的时域分析
![第2章 连续时间信号和离散时间信号的时域分析](https://img.taocdn.com/s3/m/3c03eba20029bd64783e2cd4.png)
第2章 连续时间信号和离散时间信号的时域分析
2.单位冲激信号 1) 单位冲激信号(Delta函数)的定义
∞ δ (t )dt = 1 ∫ ∞ (2-14) δ (t ) = 0 t ≠ 0 冲激信号用箭头表示,如图2.8(a)所示。冲激信号具有强度,其
强度就是冲激信号对时间的定积分值。在图中以括号注明,以与信 号的幅值相区分。 冲激信号可以延时至任意时刻 t0 ,以符号 δ (t t 0 ) 表示,定义 为
Ae st = Ae(σ + jω
0 )t
= Aeσ t cos(ω0 t ) + jAeσ t sin(ω0 t )
(2-8)
式(2-8)表明,一个复指数信号可以分解为实部﹑虚部两部分。 实部﹑虚部分别为幅度按指数规律变化的正弦信号。若 σ < 0 ,复指 数信号的实部﹑虚部为减幅正弦信号,波形如图2.4(a)﹑(b)所示。 若 σ > 0 ,其实部﹑虚部为增幅正弦信号,波形如图2.4(c)﹑(d)所 示。
第2章 连续时间信号和离散时间信号的时域分析
4.抽样函数 抽样函数是指 sin t 与 t 之比构成的函数,其定义如下:
sin t Sa(t ) = t
抽样函数的波形如图2.5所示。
(2-10)
图2.5 抽样函数的波形 抽样函数具有以下性质:
Sa(0) = 1, Sa(kπ) = 0 ,k
= ±1, ±2,L ∫∞ Sa(t )dt = π
第2章 连续时间信号和离散时间信号的时域分析
应用阶跃信号与延时阶跃信号,可以表示任意的矩形波脉冲信号。 例如,图2.7(a)所示的矩形波信号可由图2.7(b)表示,即 :
f (t ) = u (t T ) u (t 3T )
信号与系统-吴大正PPT课件
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■ 第 17 页
§1.2 信号的描述和分类
信号的描述 信号的分类 几种典型确定性信号
■ 第 18 页
一、信号的描述
信号是信息的一种物理体现。它一般是随时间或 位置变化的物理量。
信号按物理属性分:电信号和非电信号。它们 可以相互转换。
电信号容易产生,便于控制,易于处理。本课 程讨论电信号——简称“信号”。
▲
■
第1页
信号与系统
是电子技术、信息工程、通信工程 等专业重要的学科基础课
课程介绍
Signals and Systems
电子技术、 信息工程、 通信工程 等专业的 考研课程
■
第3页
课程位置
先修课
后续课程
《高等数学》 《通信原理》
《线性代数》 《数字信号处理》
《复变函数》 《自动控制原理》
《电路分析基础》 《数字图像处理》
▲
■
第7页
参考书目
(1)郑君里等. 信号与系统(第二版) . 北京:高等教育出 版社, 2000 (2) 管致中等 . 信号与线性系统 (第四版) . 北京:高等 教育出版 社, 2004 (3)A.V.OPPENHEIM. 信号与系统 (第二版) .北京 :电 子工业出版 社, 2002 (4)王松林、张永瑞、郭宝龙、李小平.信号与线性系统 分析 (第4版) 教学指导书. 北京:高等教育出版 社, 2006
▲
■
第8页
信号与系统
第一章 信号与系统
第二章 连续系统的时域分析
第三章 离散系统的时域分析
第四章 傅里叶变换和系统的频域分析
第五章 连续系统的s域分析
第六章 离散系统的z域分析
第七章 系统函数
第八章 系统的状态变量分析
§1.2 信号的描述和分类
信号的描述 信号的分类 几种典型确定性信号
■ 第 18 页
一、信号的描述
信号是信息的一种物理体现。它一般是随时间或 位置变化的物理量。
信号按物理属性分:电信号和非电信号。它们 可以相互转换。
电信号容易产生,便于控制,易于处理。本课 程讨论电信号——简称“信号”。
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信号与系统
是电子技术、信息工程、通信工程 等专业重要的学科基础课
课程介绍
Signals and Systems
电子技术、 信息工程、 通信工程 等专业的 考研课程
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课程位置
先修课
后续课程
《高等数学》 《通信原理》
《线性代数》 《数字信号处理》
《复变函数》 《自动控制原理》
《电路分析基础》 《数字图像处理》
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参考书目
(1)郑君里等. 信号与系统(第二版) . 北京:高等教育出 版社, 2000 (2) 管致中等 . 信号与线性系统 (第四版) . 北京:高等 教育出版 社, 2004 (3)A.V.OPPENHEIM. 信号与系统 (第二版) .北京 :电 子工业出版 社, 2002 (4)王松林、张永瑞、郭宝龙、李小平.信号与线性系统 分析 (第4版) 教学指导书. 北京:高等教育出版 社, 2006
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第8页
信号与系统
第一章 信号与系统
第二章 连续系统的时域分析
第三章 离散系统的时域分析
第四章 傅里叶变换和系统的频域分析
第五章 连续系统的s域分析
第六章 离散系统的z域分析
第七章 系统函数
第八章 系统的状态变量分析
信号与线性系统(管致中)
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1 p 1 p
1 d t p x(t )d x(t ) p dt
?
t dx(t ) 1 p x(t ) x() dt p
1 p =1 p
dx (t ) dy (t ) dt dt
当且仅当x() 0时等号成立
x(t ) y (t ) C
注:初始条件
rzs (0 ) 0, rzs ' (0 ) 0
零输入响应和零状态响应
r (t )(全响应) rzi (t )(零输入响应 rzs (t(零状态响应) ) )
2. 用叠加积分的方法求解零状态响应:原理——系统的叠加性
若f1 (t ) r1 (t ),f 2 (t ) r2 (t )
转移算子:
N ( p) r (t ) e (t ) D( p)
N ( p) H ( p) D( p)
转移算子描述了响应函数和激励函数在时域中的关系
2-2 系统方程的算子表示法
二、算子多项式的运算法则 1、代数运算:
( p a)( p b) p 2 (a b) p ab
B0不可解
i f (t ) (B0 t )e2t
i(t ) in (t ) i f (t ) (C1 B0 )e2t C2e3t tet
其中待定常数C1+B0,C2由初始条件确定:
i(0) C1 B0 C2 1 1, C1 B0 2, C2 1
(杜阿美积分,卷积积分)
零输入响应 自然响应
零状态响应 受迫响应
对于一个稳定的系统而言,系统的零输入响应必然是
自然响应的一部分
零状态响应中又可以分为自然响应和受迫响应两部分。 零输入响应和零状态响应中的自然响应部分和起来构 成总的自然响应,零状态响应中有外加激励源作用产生的 响应是受迫响应
《信号、系统与数字信号处理》第二章 连续时间信号与系统的频域分析
![《信号、系统与数字信号处理》第二章 连续时间信号与系统的频域分析](https://img.taocdn.com/s3/m/7743dc19da38376baf1faefd.png)
0 21
/4
/2
(b)相位图
图2.1-2例2.1-2的频谱图
二、指数形式的傅里叶级数
利用欧拉公式将三角形式的傅里叶级数,表示为 复指数形式的傅氏级数
其中
f t F n1 e jn1t
n
F n1
1 T
t0 T t0
f t e jn1tdt
F n1 是复常数,通常简写为 Fn 。
21t
5
4
2
sin
1t
1 2
sin
31t
解:将 f t 整理为标准形式
f
(t)
1
2cos 1t来自4cos 21t
5
4
1 2
cos
31t
2
1
2
cos
1t
4
cos
21t
4
1 2
cos
31t
2
振幅谱与相位谱如图2-1所示。
cn
2
1
1
1/2
0 1 21 31
(a) 振幅图
n
/4
31
第二章 连续时间信号与系统的频域分析 ——Fourier变换
2. 1 周期信号的傅里叶级数分析 2. 2 非周期信号的频谱--傅里叶变换 2. 3 傅里叶变换的性质及定理 2. 4 系统的频域分析方法 2. 5 无失真传输系统与滤波
LTI系统分析的一个基本任务,是求解系统对任意 激励信号的响应,基本方法是将信号分解为多个基本信 号元。
一、三角形式傅里叶级数
周期信号: f t f t nT
其中
T
是信号的最小重复时间间隔,f1
1 是信号的基波频率。 T
若 f t 满足狄里赫利条件,则 f t 可以展开为三角形
《信号与系统》第二版_(郑君里)_高等教育出版社课件
![《信号与系统》第二版_(郑君里)_高等教育出版社课件](https://img.taocdn.com/s3/m/3d68b0afb0717fd5360cdca0.png)
10
2021/4/2
零输入响应与零状态响应(cont.)
例2 7 设有如图所示的RC电路,电容两端有起始电压u( C 0),激 励源为e(t),求t 0时系统响应 电容两端电压u( C t)。 解:列写系统的微分方程为
d dt
uc (t)
1 RC
uc (t)
1 RC
e(t )
根
据微分方
程
的
一般表达式可
t
e RCuc (t) uc (0 )
1 RC
t
e RCe( )d
0-
R
+
+ e(t) uc (0 ) C
-
整
理
得:uc
(t
)=e
t RC
uc
(0
)
1 RC
t
e
t RC
e(
)d
0-
零输入响应
零状态响应
+
uc (t)
-
smilegs2001@
11
2021/4/2
零输入响应与零状态响应(cont.)
uR (t) RiL (t) 联立上式得
+
is (t)
-
R
iC (t) +
C
uc (t)
-
iL (t)
+
L uL (t)
-
带入(5)式得iL
(t )
iS
(t )
C
duC (t) dt
代入(3)式得
L
diL (t) dt
uC (t)
RiL (t)........................(1)
KVL:
uL
第2章连续系统的时域分析ppt课件
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y(0)=c1+c2+…+cn+yp(0) y′(0)=λ1c1+λ2c2+…+λncn+y′p(0) … y(n-1)(0)=λn-1 1c1+ λn-1 2c2+…+λn-1 ncn+y(n-1)p(0)
《 信号与线性系统》
第2章 连续系统的时域分析
例2―7描述某线性非时变连续系统的微分方程为 y″(t)+3y′(t)+2y(t)=f(t) , 已 知 系 统 的 初 始 条 件 是 y(0)=y′(0)=0,输入激励f(t)=e-tu(t),试求全响应y(t)。
《 信号与线性系统》
第2章 连续系统的时域分析
例2―5求微分方程y″(t)+y(t)=f(t)的齐次解。 解由特征方程λ2+1=0解得特征根是一对共轭复数 λ1,2=±j,因此,该方程的齐次解
yh(t)=c1cost+c2sint 2. 特解的函数形式与激励函数的形式有关。表2―1 列 出 了 几 种 类 型 的 激 励 函 数 f(t) 及 其 所 对 应 的 特 征 解 yp(t)。选定特解后,将它代入到原微分方程,求出其 待定系数Pi,就可得出特解。
y(t)=yx(t)+yf(t)
(2―17)
《 信号与线性系统》
第2章 连续系统的时域分析
在零输入条件下,式(2―7)等式右端均为零,化为 齐次方程。若其特征根全为单根,则其零输入响应
n
yx(t) cxieit
i1
(2―18)
式中cxi为待定常数。 若系统的初始储能为零,亦即初始状态为零,这
时式(2―7)仍为非齐次方程。若其特征根均为单根,则 其零状态响应
《 信号与线性系统》
第2章 连续系统的时域分析
例2―7描述某线性非时变连续系统的微分方程为 y″(t)+3y′(t)+2y(t)=f(t) , 已 知 系 统 的 初 始 条 件 是 y(0)=y′(0)=0,输入激励f(t)=e-tu(t),试求全响应y(t)。
《 信号与线性系统》
第2章 连续系统的时域分析
例2―5求微分方程y″(t)+y(t)=f(t)的齐次解。 解由特征方程λ2+1=0解得特征根是一对共轭复数 λ1,2=±j,因此,该方程的齐次解
yh(t)=c1cost+c2sint 2. 特解的函数形式与激励函数的形式有关。表2―1 列 出 了 几 种 类 型 的 激 励 函 数 f(t) 及 其 所 对 应 的 特 征 解 yp(t)。选定特解后,将它代入到原微分方程,求出其 待定系数Pi,就可得出特解。
y(t)=yx(t)+yf(t)
(2―17)
《 信号与线性系统》
第2章 连续系统的时域分析
在零输入条件下,式(2―7)等式右端均为零,化为 齐次方程。若其特征根全为单根,则其零输入响应
n
yx(t) cxieit
i1
(2―18)
式中cxi为待定常数。 若系统的初始储能为零,亦即初始状态为零,这
时式(2―7)仍为非齐次方程。若其特征根均为单根,则 其零状态响应
第2章-连续时间信号与系统的时域分析PPT课件
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第二章连续时间信号与系统的时域分析
第二章 连续时间信号与系统的时域分析
第一节 单位阶跃信号与单位冲激信号 第二节 LTI连续系统的时域响应 第三节 冲激响应与阶跃响应 第四节 卷积积分及其应用
-
1
第二章连续时间信号与系统的时域分析
第一节 单位阶跃信号与单位冲激信号
一、单位阶跃函数与单位冲激函数
单位阶跃信号 (unit step function)用(t)表
求:当f(t)=t2,y(0+)=1,y’(0+)=1时的全解。
例5:已知某LTI连续系统的方程为
y ( t ) 4 y ( t ) 4 y ( t ) 2 f ( t ) 8 f ( t )
求:当f(t)=e-t,y(0+)=3,y’(0+)=4时的全响应。
-
15
第二章连续时间信号与系统的时域分析
例6:如图所示电路图,其中R=5,L=1H,
C=1/6F,is(t)=4A,uc(0-)=0,i(0-)=0,电感电流
为i(t)为响应,求系统全响应。
+ uR(t) -
解:激励is(t),响应i(t)
ic(t)is(t)i(t)
iS(t)
ic(t)
R
+
C vc(t)
-
i(t) + L uL(t) -
-
21
第二章连续时间信号与系统的时域分析
例9:描述某线性时不变系统的微分方程为: y”(t)+4y’(t)+3y(t)=f’(t)+4f(t)
已知输入: f(t)=2e-2t(t)
y(0+)=1 y’(0+)=7 (1)求系统的零状态响应yf(t); (2)求系统的零输入响应yx(t); (3)全响应y(t)。
第二章 连续时间信号与系统的时域分析
第一节 单位阶跃信号与单位冲激信号 第二节 LTI连续系统的时域响应 第三节 冲激响应与阶跃响应 第四节 卷积积分及其应用
-
1
第二章连续时间信号与系统的时域分析
第一节 单位阶跃信号与单位冲激信号
一、单位阶跃函数与单位冲激函数
单位阶跃信号 (unit step function)用(t)表
求:当f(t)=t2,y(0+)=1,y’(0+)=1时的全解。
例5:已知某LTI连续系统的方程为
y ( t ) 4 y ( t ) 4 y ( t ) 2 f ( t ) 8 f ( t )
求:当f(t)=e-t,y(0+)=3,y’(0+)=4时的全响应。
-
15
第二章连续时间信号与系统的时域分析
例6:如图所示电路图,其中R=5,L=1H,
C=1/6F,is(t)=4A,uc(0-)=0,i(0-)=0,电感电流
为i(t)为响应,求系统全响应。
+ uR(t) -
解:激励is(t),响应i(t)
ic(t)is(t)i(t)
iS(t)
ic(t)
R
+
C vc(t)
-
i(t) + L uL(t) -
-
21
第二章连续时间信号与系统的时域分析
例9:描述某线性时不变系统的微分方程为: y”(t)+4y’(t)+3y(t)=f’(t)+4f(t)
已知输入: f(t)=2e-2t(t)
y(0+)=1 y’(0+)=7 (1)求系统的零状态响应yf(t); (2)求系统的零输入响应yx(t); (3)全响应y(t)。
信号与系统分析PPT全套课件 (3)可修改全文
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f (2t)
倒相
f (t)
f (t)
1.3 信号时域变换
例1-8
1.4 信号时域运算
相加
f1(t)
f2 (t)
fn (t)
相乘 f1(t)
f2 (t)
y(t) f1(t) f2 (t) fn (t) y(t) f1(t) f2 (t)
1.4 信号时域运算
数乘
f (t)
a
y(t) af (t)
y
(
k
)
(0
)
y (k) (0 )
y y
(0
(k)
) (0
)
y zi
(0
y
(k zi
)
) (0
y )
zs (0
y
(k zs
) ) (0
)
在零输入条件下,且系统的内部结构和参数 不发生变化时,有:
y(0 y (k )
) (0
)
yzi (0
y
(k zi
)
) (0
)
3.初始状态和初始值的确定
A1 y1(t) A2 y2 (t)
y(t)
y(t t0 )
1.7 线性时不变系统的性质
微分性
f (t)
df (t) dt
积分性
f (t)
t
f ( )d
系统 系统
y(t)
dy(t) dt
y(t)
t
y( )d
1.8 信号与系统分析概述
1.8.1 基本内容与方法
确定信号和线性时不变系统
建立与求解系统的数学模型
2.2.2 零输入响应与零状态响应
1.零输入响应 2.零状态响应
信号与系统第二章(陈后金)2PPT课件
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2 1 0 1 2
x [k]
3
22
1
k
2 1 0 1 2 3
x [ k ] 3 [ k 1 ] [ k ] 2 [ k 1 ] 2 [ k 2 ]
2021/4/8
28
二、基本离散时间序列
5.单位阶跃序列
定义:
u[k] 1
2 1 0 1 2
✓ [k]与u[k]的关系:
[k]u[k]u[k1]
2021/4/8
1 k 0 u[k]0 k 0
k
k
u[k] [n] n 29
二、基本离散时间序列
6.矩形序列
1 0kN1
RN[k]0 otherwise
N 1
R N[k]u[k]u[kN ][km ] m 0 RN[k] 1
k
21 0 1 2
N1
2021/4/8
30
二、基本离散时间序列
7.斜坡序列
即0N = m2p , m = 正整数时,信号是周期信号。
如果0 /2p m/N , N、m是不可约的整数, 则信号的周期为N。
2021/4/8
23
[例]判断下列离散序列是否为周期信号.
1) x1[k] = cos(kp/6)
0 /2p 1/12, 由于1/12是不可约的有理数,
故离散序列的周期N=12。
-1 0 1 2 3
k
➢ 序列的列表表示
表示k=0的位置
x[k]=[0, 2, 0, 1, 3, 1, 0]
2021/4/8
18
二、基本离散时间序列
1.实指数序列
r >1
x[k]Akr, kZ
0< r <1
r <1
x [k]
3
22
1
k
2 1 0 1 2 3
x [ k ] 3 [ k 1 ] [ k ] 2 [ k 1 ] 2 [ k 2 ]
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28
二、基本离散时间序列
5.单位阶跃序列
定义:
u[k] 1
2 1 0 1 2
✓ [k]与u[k]的关系:
[k]u[k]u[k1]
2021/4/8
1 k 0 u[k]0 k 0
k
k
u[k] [n] n 29
二、基本离散时间序列
6.矩形序列
1 0kN1
RN[k]0 otherwise
N 1
R N[k]u[k]u[kN ][km ] m 0 RN[k] 1
k
21 0 1 2
N1
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30
二、基本离散时间序列
7.斜坡序列
即0N = m2p , m = 正整数时,信号是周期信号。
如果0 /2p m/N , N、m是不可约的整数, 则信号的周期为N。
2021/4/8
23
[例]判断下列离散序列是否为周期信号.
1) x1[k] = cos(kp/6)
0 /2p 1/12, 由于1/12是不可约的有理数,
故离散序列的周期N=12。
-1 0 1 2 3
k
➢ 序列的列表表示
表示k=0的位置
x[k]=[0, 2, 0, 1, 3, 1, 0]
2021/4/8
18
二、基本离散时间序列
1.实指数序列
r >1
x[k]Akr, kZ
0< r <1
r <1
信号与系统--连续时间信号和系统的时域分析课件
![信号与系统--连续时间信号和系统的时域分析课件](https://img.taocdn.com/s3/m/8c8e3088f121dd36a32d82e7.png)
得:
LC 2
d
2r( t dt 2
)
L R
dr( t dt
)
r(
t
)
e(
t
)
二阶常系数线性微分方程
温州大学瓯江学院
信号与系统
三、 用算子符号表示微分方程
1、定义:算子作用于某一时间函数时,此时间函数将进行 算子所表示的特定运算。
•微分算子(Differential operator):
p d ; dt
p dt
3. 1 Px p
t
[
dx dt
]t
d
x( t ) x( )
若x( ) 0, 则 1 Px=x p
4.Px Py , 其中P不能消去 dx = dy 两边积分得 x y C
dt dt
温州大学瓯江学院
信号与系统
引入算子后,可以简化系统模型的表示,如:
列方程的基本方法: 节点分析法和网孔电流法。
温州大学瓯江学院
信号与系统
例1:已知电路,求输出电容电压。 一阶系统:
电源:
us (t)
电容电压: uc (t)
VCR
Ri 电阻电压:
RC duc (t) dt
KVL
RC
duc (t) dt
uc
(t)
us
(t)
一阶常系数线性微分方程
温州大学瓯江学院
(
p2
5
p
3 2
)i2
(t)
0.5
pf
(t)
d2 dt 2
i2
(t
)
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通过分离变量,上式可改写为
21
对两边积分得
其中,k是积分常数。从而可得
其中,C=ek是待定系数,由系统的初始条件 决定。例如,将初始状态yx(o)代入式(2-14)即 可得
22
从而得到一阶齐次方程的解为 二阶齐次方程的一般形式为
其中,a,b是常数。其算子方程为
23
将上式中的D(p)作因式分解 从而将式(2-16)改写为
第2章 连续时间信号与系统的时域分析
2.1 系统微分方程的建立及算子表示 2.2 零输入响应 2.3 零状态响应 2.4 卷积积分 2.5 LTI连续时间系统时域分析举例
1
LTI连续系统的时域分析,归结为:建立并 求解线性微分方程。
由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间 t,故称为时域分析法。这种方法比较直观 ,物理概念清楚,是学习各种变换域分析法 的基础。
2
2.1系统微分方程的建立及算子表示
2.1.1系统方程的算子表示法
如上面所示,描写线性系统的激励函数和响应函数
间关系的微分方程形式看起来很复杂,为了方便起见,
把微分算子用符号p来代表,如令
,通过引入
算子符号,可以把微积分方程在形式上变成代数方程。
它的优点一是简化方程的列写(特别是联立方程消元),
一是通过引入系统转移算子H(p)的概念,便于形成系
像代数式那样相乘和因式分解。 特殊情况:
10
2.1系统微分方程的建立及算子表示
特殊一: 这里也像代数式中一样,分子分母中的p
可以消去。但是
这里除非x(-∞) = 0,否则分母和分子中的p 就不能消去。这表明在一般情况下,有
11
2.1系统微分方程的建立及算子表示
特殊二: 若将式
两边积分,可得
( c为积分t
6it
d dt
et
15
例题
如下图所示电路,et 为激励信号,响应为 i2t ,
用算子法求其算子方程、传输算子以及微分方程。
1 2H
et
i1 t 1H
1
1 2 p
i2 t
2 et
i1 t p
1
i2 t
2
16
1 2 p
et
i1 t p
1
i2 t
2
3
p 1i1 pi1 t
对于等式px =py,双方的算子p一般也不好消
去。
以上讨论说明,代数量的运算规则对于算子 符号一般也可以用,只是在分子分母中或在 等式两边中的算子符号不能随便消去。
12
2.1系统微分方程的建立及算子表示
3.算子方程组的消元 为了要从一个n阶电路的n元一次算子方程组 得到一个形式为
的一元n阶算子方程,必须将原方程组中除响 应变量.y(t)以外的其他未知量系统消去。在掌 握了算子的运算规则之后,就可以较为方便 地做到这一点。
d dt
yt an yt
dm b0 dt m
d m1
f t b1 dt m1
f
t
...
bm 1
d dt
f t bm f t
算子方程
pn yt a1 pn1 yt ... an1 pyt an yt b0 pm f t b1 pm1 f t ... bm1 pf t bm f t
13
电感和电容的算子表示
电感
L t
L
d dt
iL
t
LpiL
t
Lp 电感算子符号,理解为电感的感抗值
电容
C
t
1 C
t
iC d
1 Cp
iC
t
1 电容算子符号,理解为电容的容抗值
Cp
14
Lp p
R
L
iL
5 1H
et
i t
1F 6
C
1 6
Cp p
5
p
6 p
it
et
p2it 5 pit 6it pet
5
d dt
i2
t
3 2
i2
t
1 2
d dt
et
17
2.2 零输入响应yx(t)
2.2.1 yx(t)的定义 2.2.2 yx(t)的求法 2.2.3 系统的自然模式
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18
2.2.1 yx(t)的定义
系统在无外加激励作用下,仅由系统的初始 状态所引起的响应称为系统的零输入响应, 记为yx(t)。系统的零输入响应完全由系统的结 构与状态决定,而与激励信号无关。
统分析的统一的方法。
先引入算子的定义,再由定义导出其“运算”规则, 最后介绍如何用算子法列写微分方程。
3
微分算 子
算子符号
p d dt
px dx , dt
pn
dn dt n
,
pn x
dnx dt n
积分算 子
1 t d
p
1 x
t
xd
p
4
2.1系统微分方程的建立及算子表示
例 用算子法表示下面的微分方程。
解:根据微分算子与积分算子的定义,上式可 表示为 还可以将上式改写为
5
2.1系统微分方程的建立及算子表示
例 利用广义微分算子与广义积分算子来表示 下面的微分方程。
解:由广义微分算子与广义积分算子可写微 分方程的算子方程如下
其中
6
微分方程的算子形式
dn dt n
yt a1
d n1 dt n1
yt ... an1
ft
yt
N p D p
f t
yt H p f t
D p H p
8
2.1系统微分方程的建立及算子表示
例2-3 求下面微分方程的转移算子H(p)
解:可将上述方程改写为
根据转移算子的定义,上式可进一步表示为
也即
9
2.1系统微分方程的建立及算子表示
2.算子的运算规则 (1)由P的多项式所组成的运算符号可以
7
pn yt a1 pn1 yt ... an1 pyt an yt b0 pm f t b1 pm1 f t ... bm1 pf t bm f t
N p
y t
b0 pm b1 pm1 ... bm1 p bm pn a1 pn1 ... an1 p an
t p
pi2 t 3i2 t
e
t
0
利用克莱姆法则, 解出:
3 p 1 et
i2t
p 3p1
0 p
pet
2 p2 10 p 3
1 2
p2
5
p p
3
/
2
et
p p3
系统函数为:H p
2
p2
p 5p
3/2
p2
5p
3 2
i2 t
1 2
pet
微分方程为: d 2
dt 2
i2
t
在式(2-8)中令f (t) = 0,得到齐次方程
yx(t)就是齐次方程(2-11)的解。
19
其中,D(p)称为系统的特征多项式,方程D(p) =0叫做系统的特征方程,特征方程的根称系统 的特征根。 先来讨论比较简单的一阶、二阶齐次方程的 情况,然后推广至n阶方程。
20
一阶与二阶齐次方程的解 一阶齐次方程的一般形式为 即
21
对两边积分得
其中,k是积分常数。从而可得
其中,C=ek是待定系数,由系统的初始条件 决定。例如,将初始状态yx(o)代入式(2-14)即 可得
22
从而得到一阶齐次方程的解为 二阶齐次方程的一般形式为
其中,a,b是常数。其算子方程为
23
将上式中的D(p)作因式分解 从而将式(2-16)改写为
第2章 连续时间信号与系统的时域分析
2.1 系统微分方程的建立及算子表示 2.2 零输入响应 2.3 零状态响应 2.4 卷积积分 2.5 LTI连续时间系统时域分析举例
1
LTI连续系统的时域分析,归结为:建立并 求解线性微分方程。
由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间 t,故称为时域分析法。这种方法比较直观 ,物理概念清楚,是学习各种变换域分析法 的基础。
2
2.1系统微分方程的建立及算子表示
2.1.1系统方程的算子表示法
如上面所示,描写线性系统的激励函数和响应函数
间关系的微分方程形式看起来很复杂,为了方便起见,
把微分算子用符号p来代表,如令
,通过引入
算子符号,可以把微积分方程在形式上变成代数方程。
它的优点一是简化方程的列写(特别是联立方程消元),
一是通过引入系统转移算子H(p)的概念,便于形成系
像代数式那样相乘和因式分解。 特殊情况:
10
2.1系统微分方程的建立及算子表示
特殊一: 这里也像代数式中一样,分子分母中的p
可以消去。但是
这里除非x(-∞) = 0,否则分母和分子中的p 就不能消去。这表明在一般情况下,有
11
2.1系统微分方程的建立及算子表示
特殊二: 若将式
两边积分,可得
( c为积分t
6it
d dt
et
15
例题
如下图所示电路,et 为激励信号,响应为 i2t ,
用算子法求其算子方程、传输算子以及微分方程。
1 2H
et
i1 t 1H
1
1 2 p
i2 t
2 et
i1 t p
1
i2 t
2
16
1 2 p
et
i1 t p
1
i2 t
2
3
p 1i1 pi1 t
对于等式px =py,双方的算子p一般也不好消
去。
以上讨论说明,代数量的运算规则对于算子 符号一般也可以用,只是在分子分母中或在 等式两边中的算子符号不能随便消去。
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2.1系统微分方程的建立及算子表示
3.算子方程组的消元 为了要从一个n阶电路的n元一次算子方程组 得到一个形式为
的一元n阶算子方程,必须将原方程组中除响 应变量.y(t)以外的其他未知量系统消去。在掌 握了算子的运算规则之后,就可以较为方便 地做到这一点。
d dt
yt an yt
dm b0 dt m
d m1
f t b1 dt m1
f
t
...
bm 1
d dt
f t bm f t
算子方程
pn yt a1 pn1 yt ... an1 pyt an yt b0 pm f t b1 pm1 f t ... bm1 pf t bm f t
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电感和电容的算子表示
电感
L t
L
d dt
iL
t
LpiL
t
Lp 电感算子符号,理解为电感的感抗值
电容
C
t
1 C
t
iC d
1 Cp
iC
t
1 电容算子符号,理解为电容的容抗值
Cp
14
Lp p
R
L
iL
5 1H
et
i t
1F 6
C
1 6
Cp p
5
p
6 p
it
et
p2it 5 pit 6it pet
5
d dt
i2
t
3 2
i2
t
1 2
d dt
et
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2.2 零输入响应yx(t)
2.2.1 yx(t)的定义 2.2.2 yx(t)的求法 2.2.3 系统的自然模式
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2.2.1 yx(t)的定义
系统在无外加激励作用下,仅由系统的初始 状态所引起的响应称为系统的零输入响应, 记为yx(t)。系统的零输入响应完全由系统的结 构与状态决定,而与激励信号无关。
统分析的统一的方法。
先引入算子的定义,再由定义导出其“运算”规则, 最后介绍如何用算子法列写微分方程。
3
微分算 子
算子符号
p d dt
px dx , dt
pn
dn dt n
,
pn x
dnx dt n
积分算 子
1 t d
p
1 x
t
xd
p
4
2.1系统微分方程的建立及算子表示
例 用算子法表示下面的微分方程。
解:根据微分算子与积分算子的定义,上式可 表示为 还可以将上式改写为
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2.1系统微分方程的建立及算子表示
例 利用广义微分算子与广义积分算子来表示 下面的微分方程。
解:由广义微分算子与广义积分算子可写微 分方程的算子方程如下
其中
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微分方程的算子形式
dn dt n
yt a1
d n1 dt n1
yt ... an1
ft
yt
N p D p
f t
yt H p f t
D p H p
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2.1系统微分方程的建立及算子表示
例2-3 求下面微分方程的转移算子H(p)
解:可将上述方程改写为
根据转移算子的定义,上式可进一步表示为
也即
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2.1系统微分方程的建立及算子表示
2.算子的运算规则 (1)由P的多项式所组成的运算符号可以
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pn yt a1 pn1 yt ... an1 pyt an yt b0 pm f t b1 pm1 f t ... bm1 pf t bm f t
N p
y t
b0 pm b1 pm1 ... bm1 p bm pn a1 pn1 ... an1 p an
t p
pi2 t 3i2 t
e
t
0
利用克莱姆法则, 解出:
3 p 1 et
i2t
p 3p1
0 p
pet
2 p2 10 p 3
1 2
p2
5
p p
3
/
2
et
p p3
系统函数为:H p
2
p2
p 5p
3/2
p2
5p
3 2
i2 t
1 2
pet
微分方程为: d 2
dt 2
i2
t
在式(2-8)中令f (t) = 0,得到齐次方程
yx(t)就是齐次方程(2-11)的解。
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其中,D(p)称为系统的特征多项式,方程D(p) =0叫做系统的特征方程,特征方程的根称系统 的特征根。 先来讨论比较简单的一阶、二阶齐次方程的 情况,然后推广至n阶方程。
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一阶与二阶齐次方程的解 一阶齐次方程的一般形式为 即