导数复习PPT优秀课件
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3.2导数的计算(27张PPT)
;
(7) y 3 x; 2
例3 :日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯
净度的提高，所需净化费用不断增加。已知1吨水净化
到纯净度为x%时所需费用（单位:元）为：
c(x)= 5284 (80 x 100). 100 x
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率;
(1)90%;
(2)98%.
x
x
f (x) (x2) ' lim y lim 2x x x2 lim (2x x) 2x.
x x0
x0
x
x0
公式三：（x2）' 2x
二、几种常见函数的导数
4) 函数y=f(x)=1/x的导数.
解: y f (x) 1 , x
y f (x x) f (x) 1 1 x x x x (x x)x
y
'
1 x2
探究：
表示y=C图象上每一点处的切线 斜率都为0
表示y=x图象上每一点处的切线 斜率都为1
这又说明什么?
这又说明什么?
画出函数y=1/x的图像。根据图像， 描述它的变化情况。并求出曲线在 点（1,1）处的切线方程。
x+y-2=0
3.2.2基本初等函数 的导数公式及导数 的运算法则
高二数学 选修1-1
y f (x x) f (x) C C 0,
y 0, x
f (x) C lim y 0. x0 x
公式一：C 0 (C为常数)
二、几种常见函数的导数
2) 函数y=f(x)=x的导数. 解: y f (x) x,
y f (x x) f (x) (x x) x x,
(1) c '(90) 5284 52.84 (100 90)2
《导数及其应用》课件(复习课
存在性：在闭区间[a，b]上连续函 数f(x)在[a，b]上必有最大值与最 小值．
求最大（小）值的方法：函数f(x)在闭区间[a，b]上最值求 法：
1. 求出f(x)在(a，b)内的极值； 2. 将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中较大的一个是最大值，
较小的一个是最小值.
例 6(05 北京 15)已知函数 f x x3 3x2 9x a . （Ⅰ）求 f x 的单调递减区间； （Ⅱ）若 f x 在区间2, 2 上的最大值为 20,求它在该
（II）由（I）知，
f
(x)
3mx2
6(m
1) x
3m
6
= 3m( x
1)
x
1
2 m
当 m 0 时,有1 1 2 ,当 x 变化时, f (x) 与 f (x) 的变化如下表： m
x
,1
2 m
1 2 m
1
2 m
,1
1
1,
f (x)
0
0
f (x)
极小值
极大值
故由上表知,当
m
0 时,
f
解： f/(x)=3x2－ 1，
∴k= f/(1)=2
∴所求的切 线方程为：
y－2=2(x －1),
即 y=2x
例1．已经曲线C：y=x3x+2和点(1,2)求在点A处 的切线方程？
变式1：求过点A的切线方程？
解：变1：设切点为P（x0，x03－x0+2）， k= f/(x0)= 3 x02－1，
∴切线方程为 y－ ( x03－x0+2)=(3 x02－1)(x－x0)
又∵切线过点A(1,2) ∴2－( x03－x0+2)=( 3 x02－1)(1－x0) 化简得(x0－1)2(2 x0+1)=0，
导数的应用复习PPT课件
3 2
解：
f ( x)＝6x 2 12ax
2 令f ( x) 0,即6x 12ax 0
即x( x 2a) 0
(1)当2a 0时,即a 0, 则0 x 2a
所以f ( x)的单调减区间为（0， 2a )
（2）当2a 0时,即a 0, 则2a x 0
所以f ( x)的单调减区间为（2a， 0)
练习3、（浙江卷）设/(x)是函数(x)的导函
y
数 ,y=/(x) 的图象如右图所示 , 则 y=(x) 的图 象最有可能的是 ( )
y y
y=f'(x)
O
1
2
x
O
1
2
x
O
1
2
x
y
(A)
2 1
y
(B)
O
x
1
2
x
(C)
(D)
例2:已知函数f（x）=ax3+3x2-x+1在R上是减函 数，求实数a的取值范围 .
导数主要有哪 些方面的应用?
1、求函数在某点的切线方程 2、判断单调性、求单调区间 3、求函数的极值 4、求函数的最值
…
应用一、判断单调性、求单调区间
函数的导数与函数的单调性之间的关系？
（1）定义法（2） 判断函数单调性的常用方法： 导数法
要点·疑点·考点
一般地，设函数y＝f（x），
1)如果在某区间上f′(x)>0，那么f（x） 为该区间上的增函数， 2)如果在某区间上f′(x)<0，那么f（x） 为该区间上的减函数。
一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其 附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所 有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是 函数的一个极大值，如果f(x0)的值比x0 附近所有各点的函数值都小，我们就 说f(x0)是函数的一个极小值。 极大值与极小值统称为极值.
解：
f ( x)＝6x 2 12ax
2 令f ( x) 0,即6x 12ax 0
即x( x 2a) 0
(1)当2a 0时,即a 0, 则0 x 2a
所以f ( x)的单调减区间为（0， 2a )
（2）当2a 0时,即a 0, 则2a x 0
所以f ( x)的单调减区间为（2a， 0)
练习3、（浙江卷）设/(x)是函数(x)的导函
y
数 ,y=/(x) 的图象如右图所示 , 则 y=(x) 的图 象最有可能的是 ( )
y y
y=f'(x)
O
1
2
x
O
1
2
x
O
1
2
x
y
(A)
2 1
y
(B)
O
x
1
2
x
(C)
(D)
例2:已知函数f（x）=ax3+3x2-x+1在R上是减函 数，求实数a的取值范围 .
导数主要有哪 些方面的应用?
1、求函数在某点的切线方程 2、判断单调性、求单调区间 3、求函数的极值 4、求函数的最值
…
应用一、判断单调性、求单调区间
函数的导数与函数的单调性之间的关系？
（1）定义法（2） 判断函数单调性的常用方法： 导数法
要点·疑点·考点
一般地，设函数y＝f（x），
1)如果在某区间上f′(x)>0，那么f（x） 为该区间上的增函数， 2)如果在某区间上f′(x)<0，那么f（x） 为该区间上的减函数。
一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其 附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所 有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是 函数的一个极大值，如果f(x0)的值比x0 附近所有各点的函数值都小，我们就 说f(x0)是函数的一个极小值。 极大值与极小值统称为极值.
高考数学-导数-专题复习课件
)
v0t
,求1物gt体2 在时刻
2
时的瞬t0时速度.
解析：
s(t)
v0
1 2
g
2t
v0
gt
∴物体在 t时0 刻瞬时速度为 s(t0 ) v0 gt0. 题型四 导数的几何意义及几何上的应用
【例4】(12分)已知曲线 y 1 x3 4 .
33
（1）求曲线在点P（2，4）处的切线方程； （2）求过点P（2，4）的曲线的切线方程.
x0
x0
x0
典例分析
题型一 利用导数求函数的单调区间
【例1】已知f(x)= e-xax-1,求f(x)的单调增区间.
分析 通过解f′(x)≥0,求单调递增区间.
解 ∵f(x)= -aexx -1,∴f′(x)= -a. ex 令f′(x)≥0,得 ≥ae. x 当a≤0时，有f′(x)＞0在R上恒成立； 当a＞0时，有x≥ln a. 综上，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(-∞,+∞); 当a＞0时，f(x)的单调增区间为［ln a,+∞).
分析 (1)在点P处的切线以点P为切点.关键是求出切线斜率k=f′(2). (2)过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点坐标.
解（1）∵y′= ,…x2……………………………2′ ∴在点P（2，4）处的切线的斜率 k y |x..23′ 4. ∴曲线在点P（2,4）处的切线方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0……………………………………….4′ (2)设曲线 y 1 x过3 点4 .P（2，4）的切线相切于点
33
则切线的斜率 k y |xx0……x02…. …………..6′
∴切线方程为
y
(1 3
导数的课件ppt
导数的课件
目录
Contents
• 导数的定义与几何意义 • 导数的计算 • 导数在几何中的应用 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的历史与发展
01 导数的定义与几何意义
导数的定义
总结词
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，是函数值随自变量变化的瞬时速度。
详细描述
导数是微积分中的一个基本概念，它表示函数在某一点处的切线斜率。具体来说 ，对于可导函数$f(x)$，其在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$定义为函数在$x_0$附近 的小范围内变化时，函数值$f(x)$随自变量$x$变化的瞬时速度。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。
详细描述
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。也就是说，对于可导函数 $f(x)$，其在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$等于函数图像在点$(x_0, f(x_0))$处的 切线的斜率。
导数与切线斜率
总结词
导数与切线斜率是等价的，导数即为 函数在某一点处的切线斜率。
通过导数的符号变化，可以判断函数的凹凸性。
详细描述
在凹区间内，二阶导数大于0；在凸区间内，二阶导数小于0。
04 导数在实际问题中的应用
导数在物理中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体的速度和 加速度，例如在分析物体的运动 轨迹时，可以运用导数来计算瞬
时速度和加速度。
弹性分析
在物理中，弹性分析是一个重要的 概念，导数可以用来描述弹性体的 应变和应力之间的关系，帮助我们 理解物体的弹性行为。
对于两个函数的和或差， 其导数等于两个函数导数 的和或差。
乘法运算规则
对于两个函数的乘积，其 导数为两个函数导数的乘 积加上被乘函数自身的导 数。
目录
Contents
• 导数的定义与几何意义 • 导数的计算 • 导数在几何中的应用 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的历史与发展
01 导数的定义与几何意义
导数的定义
总结词
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，是函数值随自变量变化的瞬时速度。
详细描述
导数是微积分中的一个基本概念，它表示函数在某一点处的切线斜率。具体来说 ，对于可导函数$f(x)$，其在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$定义为函数在$x_0$附近 的小范围内变化时，函数值$f(x)$随自变量$x$变化的瞬时速度。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。
详细描述
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。也就是说，对于可导函数 $f(x)$，其在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$等于函数图像在点$(x_0, f(x_0))$处的 切线的斜率。
导数与切线斜率
总结词
导数与切线斜率是等价的，导数即为 函数在某一点处的切线斜率。
通过导数的符号变化，可以判断函数的凹凸性。
详细描述
在凹区间内，二阶导数大于0；在凸区间内，二阶导数小于0。
04 导数在实际问题中的应用
导数在物理中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体的速度和 加速度，例如在分析物体的运动 轨迹时，可以运用导数来计算瞬
时速度和加速度。
弹性分析
在物理中，弹性分析是一个重要的 概念，导数可以用来描述弹性体的 应变和应力之间的关系，帮助我们 理解物体的弹性行为。
对于两个函数的和或差， 其导数等于两个函数导数 的和或差。
乘法运算规则
对于两个函数的乘积，其 导数为两个函数导数的乘 积加上被乘函数自身的导 数。
导数的概念和计算(复习课件)
复习题
已知函数 y = x^3 + 2x^2 + 3x + 4，求该函数的导数。
已知函数 y = sin(x)，求该函数 的导数。
已知函数 y = cos(x)，求该函数 的导数。
答案与解析
答案 y' = 2x
y' = 3x^2
答案与解析
y' = 4x^3 y' = cos(x)
y' = -sin(x)
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感谢聆听
导数的概念和计算(复习课件)
目
CONTENCT
录
• 导数的定义和几何意义 • 导数的计算 • 导数在研究函数中的应用 • 导数的实际应用 • 复习题与答案
01
导数的定义和几何意义
导数的定义
总结词
导数是描述函数在某一点附近的变化率的重要工具。
详细描述
导数定义为函数在某一点处的切线的斜率，即函数在这一点附近的小变化量与 自变量小变化量的比值，当小变化量趋近于0时的极限值。
信号处理
导数可以用来分析信号的 频谱和滤波，例如傅里叶 变换和小波变换。
优化设计
导数可以用来优化工程设 计，例如结构优化和机械 优化，提高产品的性能和 效率。
05
复习题与答案
复习题
02
01
03
计算下列函数的导数 y = x^2 y = x^3
复习题
y = x^4
y = sin(x)
y = cos(x)
04
导数的实际应用
导数在经济学中的应用
80%
边际分析
导数可以用来分析经济函数的边 际变化，例如边际成本、边际收 益和边际利润等，帮助企业做出 更优来解决经济学中的最 优化问题，例如最大利润、最小 成本等，通过求导找到最优解。
《高等数学导数》课件
答案
2. 求下列函数的极值：
$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$，极值点为 $x=1 pm sqrt{2}$，极大值为 $f(1+sqrt{2}) = 1 + 2sqrt{2}$，极小值为 $f(1-sqrt{2}) = 1 - 2sqrt{2}$。
$f'(x) = ln x + 1$，极值点为 $x=1$，极大值为 $f(1) = 0$。
《高等数学导数》ppt 课件
contents
目录
• 导数的基本概念 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的扩展 • 习题与答案
CHAPTER 01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点的变化率，表示 函数在该点的切线斜率。
详细描述
导数定义为函数在某一点附近取得的 最小变化率，即函数在这一点处的切 线斜率。导数的计算公式为lim(x→0) [f(x+h) - f(x)] / h，其中h趋于0。
2. 求下列函数的极值：
01
03 02
习题
$f(x) = frac{1}{x}$
$f(x) = e^x$
答案
01
1. 求下列函数的导数：
02
$y' = 2x + 2$
03
$y' = -frac{1}{x^2}$
答案
• $y' = \sin x + x \cdot \cos x$
答案
• $y' = e^x$
总结词
导数的四则运算在解决实际问题中具 有广泛的应用，例如在经济学、物理
学和工程学等领域。
详细描述
导数的四则运算法则是基于极限理论 推导出来的，通过这些法则，可以方 便地求出复杂函数的导数。
高等数学导数的概念ppt课件.ppt
x0 处的右 (左) 导数, 记作
y
y x
o
x
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定理2. 函数 是
在点 可导的充分必要条件 且
简写为 f (x0) 存在
f(x0 )
定理3. 函数 在点 处右 (左) 导数存在
在点 必 右 (左) 连续.
若函数
在开区间
内可导, 且
都存在 , 则称
在闭区间
上可导.
显然:
f
(0)
lim
x 0
sin x
x
0
0
1
ax 0
f
(0)
lim
x 0
x0
a
故 a 1 时
此时
在
都存在,
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作业
P49 5 , 7, 9
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题
1. 设
存在, 且
求
解: 因为
1 f (1 (x)) f (1)
lim
2 x0
(x)
在闭区间 [a , b] 上可导
与 f(b)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
练习：讨论下列函数在x=0时候的连 续性与可导性.
练习：习题2.1题8
f
x
xk
sin
1 x
,
x0
0, x 0.
若函数在x 0连续，则
lim f x lim xk sin 1 f 0 0,
x0
x0
x
必须满足 lim xk 0， k 0即可. x0
反例:
在 x = 0 处连续 , 但不可导. o
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
《几个常用函数的导数》ppt课件
THANKS
详细描述
导数具有连续性、可加性、可乘性和链式法则等重要 性质。连续性指函数在某点的导数等于该点切线的斜 率；可加性指两个函数的和或差的导数等于两个函数 导数的和或差；可乘性指常数与函数的乘积的导数等 于该常数与函数导数的乘积；链式法则指复合函数的 导数等于复合函数内部函数的导数乘以外部函数的导 数。这些性质是导数计算的基础，有助于理解和掌握 导数的应用。
详细描述
函数的极值点是导数为零的点。在极值点处，函数的行为会发生显著变化。通过求导并找出导数为零 的点，我们可以确定函数的极值。此外，我们还可以使用二阶导数测试来确定极值是极大值还是极小 值。
04
导数的计算方法
定义法求导
总结词
通过极限定义来推导导数的计算方法 。
详细描述
定义法求导是导数的基本计算方法， 它基于极限的定义，通过求极限来得 到函数的导数。对于可导的函数，其 导数可以通过定义法直接计算。
02
常见函数的导数
一次函数的导数
1 2
3
一次函数形式
$y = ax + b$
导数公式
$f'(x) = a$
举例
$y = 2x + 3$，导数为$f'(x) = 2$
指数函数的导数
指数函数形式 导数公式 举例
$y = a^x$ $f'(x) = a^x ln a$ $y = e^x$，导数为$f'(x) = e^x$
03
导数的应用
利用导数求切线斜率
总结词
切线斜率是函数在某一点的导数值，它描述了函数在该点的变化率。
详细描述
在数学和物理中，切线斜率是函数图像在某一点的切线的斜率，它等于该点的导 数值。通过求导，我们可以找到切线的斜率，从而更好地理解函数在该点的行为 。
1.导数复习课件
欢迎各位专家莅临指导！
导数复习第一讲
高二数学组
导数知识点回顾 1导数的物理意义
s t vt vt at
k f x0
2某点处导数的几何意义 这一点处的导数即为这一点 处切线的斜率
3：某点处导数的定义 当 Dx 0 时
4：常见函数的导数：
c 0
3 a 2
课堂练习:
3.若函数 y ax 1在 R 内 是减函数,则 a的范围(a 0 )
3
y 变式：若将函数改为
则结果为（a 0 ）
ax x
3
4.函数f x 2 x sin x在 , 上( A ) A.是增函数 B.是减函数 C.有最大值 D.有最小值 分析: y 2 cos x 1,3
A. f( x )g( x ) > f( b )g( b )
B. f( x )g( a ) > f( a )g( x ) C. f( x )g( b ) > f( b )g( x )
D. f( x )g( x ) > f( a )g( a )
1 2 例3.若函数f x x x bx c 2
7.
以上几题是考查导数的运算及几何意 义。 下面来借助导数研究函数的单调性问 题……..
导数在研究函数中的应用
1.函数的单调性: f x 增函数 f x 0 f x 减函数 f x 0 注：若函数f(x)在区间a, b内单调 增函数,则 f x 0 若函数f(x)在区间 a, b内单调 减函数,则 f x 0
(6)(sinx )
'
x
cos x
(7) cosx sin x
导数复习第一讲
高二数学组
导数知识点回顾 1导数的物理意义
s t vt vt at
k f x0
2某点处导数的几何意义 这一点处的导数即为这一点 处切线的斜率
3：某点处导数的定义 当 Dx 0 时
4：常见函数的导数：
c 0
3 a 2
课堂练习:
3.若函数 y ax 1在 R 内 是减函数,则 a的范围(a 0 )
3
y 变式：若将函数改为
则结果为（a 0 ）
ax x
3
4.函数f x 2 x sin x在 , 上( A ) A.是增函数 B.是减函数 C.有最大值 D.有最小值 分析: y 2 cos x 1,3
A. f( x )g( x ) > f( b )g( b )
B. f( x )g( a ) > f( a )g( x ) C. f( x )g( b ) > f( b )g( x )
D. f( x )g( x ) > f( a )g( a )
1 2 例3.若函数f x x x bx c 2
7.
以上几题是考查导数的运算及几何意 义。 下面来借助导数研究函数的单调性问 题……..
导数在研究函数中的应用
1.函数的单调性: f x 增函数 f x 0 f x 减函数 f x 0 注：若函数f(x)在区间a, b内单调 增函数,则 f x 0 若函数f(x)在区间 a, b内单调 减函数,则 f x 0
(6)(sinx )
'
x
cos x
(7) cosx sin x
导数PPT课件
7.(2009· 福建)若曲线 f(x)＝ax5＋ln x 存在垂直于 y 轴的切 线，则实数 a 的取值范围是(－∞，0).
1 解析 ∵f′(x)＝5ax ＋ ，x∈(0，＋∞)， x 1 4 ∴由题知 5ax ＋ ＝0 在(0，＋∞)上有解. x 1 即 a＝－ 5在(0，＋∞)上有解. 5x 1 ∵x∈(0，＋∞)，∴－ 5∈(－∞，0). 5x ∴a∈(－∞，0).
②求单调区间时，首先要确定定义域，然后再根据 f′(x)>0(或 f′(x)<0)解出在定义域内相应的 x 的范围； ③在证明不等式时，首先要构造函数和确定定义域，其 次运用求导的方法来证明. (3)求可导函数的极值与最值 ①求可导函数极值的步骤 求导数 f′(x)→求方程 f′(x)＝0 的根→检验 f′(x)在方 程根左右值的符号，求出极值(若左正右负，则 f(x)在这 个根处取极大值；若左负右正，则 f(x)在这个根处取极 小值). ②求可导函数在［a，b］上的最值的步骤 求 f (x)在(a，b)内的极值→求 f(a)、f(b)的值→比较 f(a)、 f(b)的值和极值的大小.
第7讲
导
数
高考要点回扣
1.导数的概念及运算 (1)定义 f(x＋Δx)－f(x) Δy f ′(x)＝ lim ＝ lim . Δx Δx→0 Δx Δx→0 (2)几何意义 曲线 y＝f(x)在 P(x0，f(x0))处的切线的斜率为 k＝ f′(x0)(其中 f′(x0)为 y＝f(x)在 x0 处的导数).
解析 由条件知 g′(1)＝2， 又∵f′(x)＝［g(x)＋x2］′＝g′(x)＋2x， ∴f′(1)＝g′(1)＋2＝2＋2＝4.
3.已知函数 f(x)的导数 f′(x)＝(x＋1)2(x－1)(x－2)， 则函 数 f(x)的极值点的个数为 A.1 个 C.3 个 B.2 个 D.4 个 ( B )
演示版导数复习课件.ppt
原函数的单调性
原函数与其导函数的单调性 无关系.
原函数的极值点
原函数图象上点的切线的斜
.精品课件.
14
练习: 设 f x是 函 数 f(x) 的 导 函
数 ,y=/(x) 的 图 象 如 左 图 所 示 , 则
C y=(x)的图象最y 有可能
的是( y
)
2
O1
x
y
O
1
2 x
(A)
(B)
y
y
1
O
2x
B A .0
2.函数 f
x
B
s.i3n
4
Hale Waihona Puke C1 . x ,则f
D.
1
(
)
A.0
B . -1
C. 2 1
2
D . .精品课件.
2 1 2
6
3.已知f x x2 2xf 1, 则
f 1 ( -2 ) f 0 ( -4 )
4.曲线y x3 3x2 6x 10
的切线中,斜率最小的切线方程 .
.精品课件.
4
6:函数的和差积商的导数
cf x cf x
f x gx f x gx
f xgx f xgx f xgx
f x gx
'
f 'xgx f xg'x g x 2.精品课件.
(gx 0)
5
s 课堂练习: 1.直线运动的物体位移
与时间 t的关系是 s 3t t2则它的初
速度为（ B） 2 3 2t
变式引申
可导函数f( x )、g( x )定义域为R且
恒大于零，f xgx f xgx 0
则当a<x<b时有 ( )
导数概念课件
02
导数的性质
函数单调性与导数的关系
总结词
函数单调性与导数正负有关
详细描述
如果函数在某区间的导数大于0，则函数在此区间单调递增；如果导数小于0， 则函数在此区间单调递减。
极值与导数的关系
总结词
极值点导数为0或不存在
详细描述
函数在极值点处的导数为0或不存在，即一阶导数为0或不可导点。
曲线的切线与导数的关系
导数概念ppt课件
• 导数的基本概念 • 导数的性质 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的历史与发展
01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是描述函数在某一点附近的变化 率的重要工具 斜率，它描述了函数在该点附近的局 部变化趋势。通过求导，可以找到函 数值随自变量变化的速率和方向。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线斜率，它 反映了函数图像在该点的切线状 态。
详细描述
在几何上，导数表示函数图像在 某一点的切线斜率。这个切线与x 轴的夹角即为该点的导数值，表 示函数在该点附近的变化趋势。
导数的物理意义
总结词
导数的物理意义在于描述物理量随时间或空间的变化率。
详细描述
在物理学中，许多物理量都可以表示为函数形式，如速度、加速度、密度等。导 数可以帮助我们理解这些物理量如何随时间或空间变化，从而揭示物理现象的本 质。例如，速度是位移函数的导数，加速度是速度函数的导数等。
对于两个函数的乘积，其导数 为第一个函数的导数乘以第二 个函数加上第一个函数乘以第 二个函数的导数。即，若 $u(x)$ 和 $v(x)$ 可导，则 $(uv)' = u'v + uv'$。
对于两个函数的商，其导数为 被除函数的导数除以除函数的 导数。即，若 $u(x)$ 和 $v(x)$ 可导且 $v(x) neq 0$， 则 $frac{u'}{v'} = frac{u'v}{uv'}$。
3.1 导数的概念 课件 (共21张PPT)《高等数学》(高教版).ppt
(2)若极限 点 处的右导数，记作
,即：
存在，则称其为函数 在
定理1 函数
在点 处可导的充分必要条件是
在点 处的左导数和右导数都存在且相等，即
．
例1 讨论函数
在 处的连续性和可导性．
解:因为
又
，所以函数
在 处的连续.
由于
，所以函数
在 处不可导．
例2 讨论函数
解:因为 连续.
又因为 处不可导．
在 处的连续性和可导性．
在点
分析:设函数
在点 处可导，则
故函数
在点 处一定连续．
随堂练习
1、设 解:
，判断 在点 函数
处的连续性与可导性. 在 处连续.
函数 在 处不可导.
2、若函数
处处可导，求 的值.
解: 函数 在 处可导，则在
处处可导.由于函数
可导必连续.得
再根据函数在 处可导，
则左右导数存在且相等.
故
时，
函数 在点
或 ，即
函数
在点 处的导数就是导函数 在点 处的函数值
，即
注：若函数
在区间
在区间 上不可导.
内有一点处不可导，则称函数
由导数的定义可知，求函数
个步骤：
(1)求增量
；
(2)算比值
；
(3)取极限
例1 求函数
的导数．
解：
常量函数的导数为
的导数可分为以下三 ．
例6 求函数 解：
的导数．
例7 求函数 解：
,所以函数
在 处的
，所以函数
在
从图形上看，曲线 线．这也说明函数 原点外，处处可导.因 连续.
在原点O处具有垂直于 轴的切
《导数期末复习》课件
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是函数图像在某点的切线斜率。
详细描述
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线斜率。如果函数在某点可导，那么 该点的切线斜率就是该点的导数值。切线与x轴的夹角正切值即为导数值。
导数与切线斜率
总结词
导数与切线斜率是等价的。
详细描述
导数和切线斜率是密切相关的概念。如果函数在某点可导，那么该点的导数值就 是该点切线的斜率。因此，导数和切线斜率是等价的，它们都表示函数在该点的 变化趋势。
导数在工程学中的应用
总结词
导数在工程学中用于优化设计、控制过程和提高效率。
详细描述
在工程领域，导数可以用于优化设计，例如找到使结构 强度最大化的最优形状或尺寸；在控制工程中，导数可 以帮助我们找到使系统状态达到最优的控制策略；在机 械工程中，导数可以用于分析机器的运动状态和效率。
VS
详细描述
在物理学中，导数可以用来描述物体运动 的速度和加速度。速度是描述物体位置变 化的快慢，而加速度是描述物体速度变化 的快慢。导数可以用来计算物体在某一时 刻的速度和加速度，从而更好地理解物体 的运动状态。
曲线的切线斜率与加速度
总结词
导数可以用来计算曲线的切线斜率，而切线 斜率与加速度有密切关系。
隐函数求导法则
总结词
掌握隐函数求导法则是学习导数的难 点之一。
详细描述
隐函数求导法则是学习导数的难点之 一，需要理解隐函数的定义和性质， 掌握隐函数求导的方法和技巧，以便 更好地解决与隐函数相关的问题。
03
导数的应用
利用导数研究函数的单调性
总结词
通过求导判断函数的单调性，进而解决实际问题。
详细描述
02
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3.1导数的概念
1、曲线的切线 2、瞬时速度
由上述两个意义抽象出导数的概念，
并由此得出求导数的方法。
求函数 y f(x)在点 x 0处的导数方法
（1）求函数的增量
yf(x0 x)f(x0)
（2）求平均变化率
yf(x0x)f(x0)
x
x
（3）求极限，得导数
f
(x0)
limy x0 x
（3） y3x3six n4coxs
y 9 x2six n 3 x 3co x 4 ssixn
例2、求下列函数的导数
（1）
y
x x2 1
（2）
y
1 x2 (1 x2 )2
y 1cosx
x 1
ysinx(xco1x)s2x1
（3）
y 1sinx 1cosx
y
cosxsinx1 (1cosx)2
例2、圆柱形金属饮料罐的容积一
定，它的高与底面半径应怎样选
取，才能使所用料最省？
当 h2R时，
Ro
R3 V
h 2 3V
h
2
2
S(R)2V2R232V
R
例3、已知某商品生产成本 C与产
量 q的函数关系为 C1004q，
价格 p与 q的函数关系式为： p 25 1 q ，求产量q为何值
f(x)f(x0)
则称 f (x0 ) 是 f (x) 函数的一个极大值， 记为 yminf(x0)
一般地，当函数y f(x)在点 x 0 处连续，
判断是极大值和极小值的方法是：
（1） 如果在点 x 0 附近的左侧 f(x)0，
右侧 f(x)0，那么 f (x0 ) 是极大值；
（2） 如果在点 x 0 附近的左侧 f(x)0，
8
时，利润 L最大？
分析：利润 L等于收入 R减去成本C
Rqpq(25 1q)
LRC1q22q 1 8100
q
8
84时，Lman782
(0q20)0
例1、求下列函数的导数
（1） y3x3coxs
y9x2sinx （2） y(3x31)2 (x2)
y1x5 41x8 22x
导数的几何意义：
求函数 y f(x)在点 x 0处的导数
的几何意义是：
曲线 y f (x)在点 P(x0, f(x0))处
的切线的斜率为 k f(x0) 切线方程是：
y f(x 0 )f(x 0 )x ( x 0 )
3.2 常 用 的 几 个 导 数 公 式
（1） C0 常数的导数为0
(,2)和 (1,) 是增函数 (2,1) 是减函数
3.8 函 数 的 极 值
一般地，函数 f (x) 在点 x 0 处有定义， 如果对 x 0 附近的所有的点，都有
f(x)f(x0)
则称 f (x0) 是 f (x)函数的一个极大值， 记为 ymanf(x0)
如果对 x 0 附近的所有的点，都有
（1） 如果 f (x)0 ，则为增函数； （2） 如果 f (x)0，则为减函数； （3） 如果 f (x)0，则为常数函数；
例1、求下列函数的单调区间
（1） f(x)2x36x27 (,0) 和 (2,) 是增函数 (0,2) 是减函数
（2） f(x)2x33x21x2 1
右侧 f(x)0，那么 f (x0 ) 是极小值；
注意：导数为0的点不一定是极值点， 而极值点一定有导数为0．
1、求下例函数的极值
（1）
y1x3 4x4 3
（2） y(x21)31
（3）
y
x x2 3
（4） y1 x2 1
3.8 函数的最大值与最小值
最大值与最小值定理
运用举例
例1、求下列函数的最值
（1） yx42x25 x[2,2]
（2） y4x2(x22)2 x[2,2]
例1、在边长为60cm的正方形铁皮 的四角切去相等的小正方形，再 把它的边沿虚线折起，做成一个 无盖的方底箱子，箱底边长为多 少时，箱子的容积最大？最大容 积是多少？
x40时，yman16000 x
（2） [ f( x ) g ( x ) ] f ( x ) g ( x ) f( x ) g ( x )
（3）gf((xx))f(x)g(xg)2(xf)(x)g(x)
(g(x)0)
3.4 复合函数的导数
设函数 u(x) 在点 x处有导数 ux (x)
一般地，在闭区间[ a , b ]上连续函数 y f(x)在[ a , b ]上必有最大值与最
小值．
设函数 y f(x)闭区间 [ a , b ]上连续
在(a, b)内可导，求 f (x) 在 [ a , b ]上 最大值与最小值的步骤：
（1）求 f ( x)在 [ a , b ]内的极值；
（2）将 f ( x)的各极值与 f (a) ，f (b) 比较，其中最大的一个是最大值， 最小的一个是最小值；
函数 yf(u)在点 x的对应点 u处有导数
yu f(u) ，则复合函数 yf((x))
在点处也有导数，且 yx yu ux
或写作 fx ((x) )f(u)(x)
1、求下列函数的导数
（1）
y
1 (1 3x)3
（2）
5
y x 1 x
2、求下列函数的导数
（1） ysin x2si3nx
（2）
yxcox2ssi3 nx()
6
（3） ysin3(4x)
3
3、求下列函数的导数 （1） yx2ln 2x(23x1 )
（2） ye2xco3sx
（3） ylg(si2nx)
3.6 函 数 的 单 调 性
一般地，设函数y f(x)在某个区间 内可导，
（2） (xn)nபைடு நூலகம்n1 (nQ)
（3） (sixn )coxs （4） (co x)ssix n
（5） (ex) ex
(ax)axlna (a 0 且 a 1)
（6） (ln x) 1
x
(loagx)
1xloga e
(a 0
且
a 1)
3.3 函数的和、差、积、商的导数 （1） (f( x ) g ( x ) ) f( x ) g ( x )
1、曲线的切线 2、瞬时速度
由上述两个意义抽象出导数的概念，
并由此得出求导数的方法。
求函数 y f(x)在点 x 0处的导数方法
（1）求函数的增量
yf(x0 x)f(x0)
（2）求平均变化率
yf(x0x)f(x0)
x
x
（3）求极限，得导数
f
(x0)
limy x0 x
（3） y3x3six n4coxs
y 9 x2six n 3 x 3co x 4 ssixn
例2、求下列函数的导数
（1）
y
x x2 1
（2）
y
1 x2 (1 x2 )2
y 1cosx
x 1
ysinx(xco1x)s2x1
（3）
y 1sinx 1cosx
y
cosxsinx1 (1cosx)2
例2、圆柱形金属饮料罐的容积一
定，它的高与底面半径应怎样选
取，才能使所用料最省？
当 h2R时，
Ro
R3 V
h 2 3V
h
2
2
S(R)2V2R232V
R
例3、已知某商品生产成本 C与产
量 q的函数关系为 C1004q，
价格 p与 q的函数关系式为： p 25 1 q ，求产量q为何值
f(x)f(x0)
则称 f (x0 ) 是 f (x) 函数的一个极大值， 记为 yminf(x0)
一般地，当函数y f(x)在点 x 0 处连续，
判断是极大值和极小值的方法是：
（1） 如果在点 x 0 附近的左侧 f(x)0，
右侧 f(x)0，那么 f (x0 ) 是极大值；
（2） 如果在点 x 0 附近的左侧 f(x)0，
8
时，利润 L最大？
分析：利润 L等于收入 R减去成本C
Rqpq(25 1q)
LRC1q22q 1 8100
q
8
84时，Lman782
(0q20)0
例1、求下列函数的导数
（1） y3x3coxs
y9x2sinx （2） y(3x31)2 (x2)
y1x5 41x8 22x
导数的几何意义：
求函数 y f(x)在点 x 0处的导数
的几何意义是：
曲线 y f (x)在点 P(x0, f(x0))处
的切线的斜率为 k f(x0) 切线方程是：
y f(x 0 )f(x 0 )x ( x 0 )
3.2 常 用 的 几 个 导 数 公 式
（1） C0 常数的导数为0
(,2)和 (1,) 是增函数 (2,1) 是减函数
3.8 函 数 的 极 值
一般地，函数 f (x) 在点 x 0 处有定义， 如果对 x 0 附近的所有的点，都有
f(x)f(x0)
则称 f (x0) 是 f (x)函数的一个极大值， 记为 ymanf(x0)
如果对 x 0 附近的所有的点，都有
（1） 如果 f (x)0 ，则为增函数； （2） 如果 f (x)0，则为减函数； （3） 如果 f (x)0，则为常数函数；
例1、求下列函数的单调区间
（1） f(x)2x36x27 (,0) 和 (2,) 是增函数 (0,2) 是减函数
（2） f(x)2x33x21x2 1
右侧 f(x)0，那么 f (x0 ) 是极小值；
注意：导数为0的点不一定是极值点， 而极值点一定有导数为0．
1、求下例函数的极值
（1）
y1x3 4x4 3
（2） y(x21)31
（3）
y
x x2 3
（4） y1 x2 1
3.8 函数的最大值与最小值
最大值与最小值定理
运用举例
例1、求下列函数的最值
（1） yx42x25 x[2,2]
（2） y4x2(x22)2 x[2,2]
例1、在边长为60cm的正方形铁皮 的四角切去相等的小正方形，再 把它的边沿虚线折起，做成一个 无盖的方底箱子，箱底边长为多 少时，箱子的容积最大？最大容 积是多少？
x40时，yman16000 x
（2） [ f( x ) g ( x ) ] f ( x ) g ( x ) f( x ) g ( x )
（3）gf((xx))f(x)g(xg)2(xf)(x)g(x)
(g(x)0)
3.4 复合函数的导数
设函数 u(x) 在点 x处有导数 ux (x)
一般地，在闭区间[ a , b ]上连续函数 y f(x)在[ a , b ]上必有最大值与最
小值．
设函数 y f(x)闭区间 [ a , b ]上连续
在(a, b)内可导，求 f (x) 在 [ a , b ]上 最大值与最小值的步骤：
（1）求 f ( x)在 [ a , b ]内的极值；
（2）将 f ( x)的各极值与 f (a) ，f (b) 比较，其中最大的一个是最大值， 最小的一个是最小值；
函数 yf(u)在点 x的对应点 u处有导数
yu f(u) ，则复合函数 yf((x))
在点处也有导数，且 yx yu ux
或写作 fx ((x) )f(u)(x)
1、求下列函数的导数
（1）
y
1 (1 3x)3
（2）
5
y x 1 x
2、求下列函数的导数
（1） ysin x2si3nx
（2）
yxcox2ssi3 nx()
6
（3） ysin3(4x)
3
3、求下列函数的导数 （1） yx2ln 2x(23x1 )
（2） ye2xco3sx
（3） ylg(si2nx)
3.6 函 数 的 单 调 性
一般地，设函数y f(x)在某个区间 内可导，
（2） (xn)nபைடு நூலகம்n1 (nQ)
（3） (sixn )coxs （4） (co x)ssix n
（5） (ex) ex
(ax)axlna (a 0 且 a 1)
（6） (ln x) 1
x
(loagx)
1xloga e
(a 0
且
a 1)
3.3 函数的和、差、积、商的导数 （1） (f( x ) g ( x ) ) f( x ) g ( x )